椭圆方程
椭圆定义及其标准方程
椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。
椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。
在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。
首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。
在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。
另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。
例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。
这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。
总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。
通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。
通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。
例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。
除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。
例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。
另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。
这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。
在物理学中，椭圆也有着重要的应用。
例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。
另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。
总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。
椭圆的方程式
椭圆的方程式
椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，（a>b>0）。
其中a²-c²=b²，推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）。
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）；短轴顶点：（0，b），（0，-b）；焦点在Y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a）；短轴顶点：（b,0），（-b，0）。
扩展资料
椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。
离心率范围：0<e<1。
离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程\(\frac{(x h)^2}{a^2} + \frac{(y k)^2}{b^2} = 1\)。
其中，\(h\)和\(k\)分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，\(a\)和\(b\)分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的标准方程是通过平移坐标系和缩放轴的长度得到的。
通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、半轴长和长短轴的方向。
接下来，我们将详细解释椭圆的标准方程及其相关概念。
首先，椭圆的中心坐标为\((h, k)\)，其中\(h\)和\(k\)分别代表椭圆中心在x轴和y轴上的坐标。
通过平移坐标系，我们可以将椭圆的中心移动到坐标原点，即\((0, 0)\)，这样椭圆的标准方程可以简化为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
接下来，我们来解释椭圆的半轴长\(a\)和\(b\)。
在椭圆上任意一点\((x, y)\)，其到两个焦点的距离之和等于常数，即\(2a\)。
因此，\(a\)代表椭圆在x轴上的半轴长，而\(b\)代表椭圆在y轴上的半轴长。
通常情况下，\(a > b\)，因此椭圆在x轴上的半轴长大于在y轴上的半轴长。
此外，椭圆的标准方程还能告诉我们椭圆的长短轴的方向。
如果\(a > b\)，则椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行；如果\(a < b\)，则椭圆的长轴与y轴平行，短轴与x轴平行。
最后，我们来看一个例子。
假设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，我们可以通过比较标准方程和实际方程的形式，得出椭圆的中心坐标为\((0, 0)\)，长轴在x轴上，长轴的长度为\(2 \times 4 = 8\)，短轴在y轴上，短轴的长度为\(2 \times 3 = 6\)。
通过以上的解释，我们对椭圆的标准方程及其相关概念有了更深入的理解。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的基本知识，加深对数学的理解和应用。
椭圆定义及其标准方程
焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是一个非常重要的几何形状，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍椭圆的定义及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a则是椭圆的长轴的长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这就是椭圆的基本定义。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴是x 轴，短轴是y轴，那么标准方程可以简化为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1；如果椭圆的长轴是y轴，短轴是x轴，那么标准方程可以简化为(y-k)²/a² + (x-h)²/b² = 1。
通过标准方程，我们可以方便地确定椭圆的中心、长短轴长度以及椭圆的形状。
椭圆是一种非常特殊的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
在日常生活中，椭圆的形状可以看到在椭圆形的湖泊、操场、椭圆形的建筑物等地方。
在数学上，椭圆也是椭圆积分、椭圆曲线等重要概念的基础。
在物理学中，行星的轨道、原子的轨道等也可以用椭圆来描述。
在工程领域，椭圆的形状也被广泛应用于天线设计、光学器件设计等方面。
总之，椭圆是一个非常重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
通过学习椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和掌握这一概念，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在椭圆中，点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a>b>0。
在这篇文档中，我们将详细讨论椭圆及其标准方程。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是一个闭合曲线，它有两个焦点和一个长轴和短轴。
长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是垂直于长轴的直线段。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴长度的比值，即e=c/a，其中c是焦距，a是长轴的一半。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于直线段。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是
x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
在标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的大小和形状。
当a>b时，椭圆的长轴在x轴上；当a<b时，椭圆的长轴在y轴上。
标准方程还可以通过平移和旋转来表示不同位置和方向的椭圆。
此外，我们还可以通过标准方程来求解椭圆的焦点、离心率和
焦距等重要参数。
通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和位置，从而更好地理解和分析椭圆的性质。
总之，椭圆是一个重要的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过学习椭圆及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆标准方程及几何性质
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上 的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求 交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦 点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离 心率越大，焦点三角形周 长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长 短轴长度越接近，焦点三 角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点被称为焦点，常数2a被称为椭圆的主轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它可以用来描述椭圆的偏心程度。
离心率e的取值范围为0到1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆变成一条直线。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
根据标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、半轴长度和离心率等重要参数。
椭圆的标准方程还可以通过焦点和顶点的坐标来表示。
假设椭圆的焦点坐标分别为(F1x, F1y)和(F2x, F2y)，顶点坐标分别为(V1x, V1y)和(V2x, V2y)，则椭圆的标准方程可以表示为：(x-F1x)² + (y-F1y)² + (x-F2x)² + (y-F2y)² = 2a²。
通过这种表示方式，我们可以更直观地理解椭圆的形状和位置关系。
在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们解决许多与椭圆相关的数学和物理问题。
例如，在天文学中，椭圆轨道被广泛应用于描述行星和卫星的运动轨迹；在工程学中，椭圆的形状被用于设计汽车和飞机的零部件；在艺术领域中，椭圆的美学特性被用于构图和设计。
总之，椭圆的标准方程是描述和理解椭圆的重要工具，它可以帮助我们准确地描述椭圆的形状、大小和位置关系，解决与椭圆相关的各种实际问题。
通过学习和掌握椭圆的标准方程，我们可以更深入地理解椭圆的数学本质和实际应用，为我们的学习和工作带来更多的启发和帮助。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，它由到两个给定点的距离之和等于常数的点构成。
这两个点通常被称为焦点，相应的常数被称为焦距。
椭圆是一个非常重要的几何图形，出现在许多数学和科学领域中，如天文学、工程学和物理学等。
一个椭圆可以通过其标准方程来描述。
椭圆的标准方程是一个关于x 和y的二次方程，它在平面上表示一个椭圆。
标准方程的形式为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1其中（h，k）是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。
半长轴是椭圆上离中心最远的点到中心的距离，半短轴是椭圆上离中心最近的点到中心的距离。
椭圆的形状由半长轴和半短轴的比例确定。
当a>b时，椭圆的形状更接近于一个圆，当a=b时，椭圆变成一个圆，当a<b时，椭圆更加扁平。
椭圆的离心率是一个重要的参数，对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间。
离心率越小，椭圆越接近于一个圆。
离心率等于1的情况下，椭圆退化成两条互相平行的直线。
椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们具有特殊的性质。
对于任意椭圆上的点P，它到两个焦点的距离之和等于椭圆的焦距。
椭圆的焦距为2a，其中a是半长轴长度。
此外，椭圆的两条主轴是两个焦点之间的直线。
主轴上的点距离中心点的距离等于半长轴的长度。
除了标准方程，椭圆还可以通过其他形式的方程来进行描述。
一般方程形式为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F是任意实数，且A和C不能同时为零。
这是一个二次曲线的一般方程，当方程表示一个椭圆时，A和C满足A和C的符号相同。
椭圆在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
在天文学中，行星和卫星的轨道通常被建模为椭圆。
在工程学中，椭圆被用于设计喷泉和游泳池的形状，以及船体和飞机的外形设计。
在物理学中，椭圆被用于描述电磁波的传播和光学系统中的电子轨道。
椭圆的标准方程推导过程
椭圆的标准方程推导过程
一、椭圆的定义
椭圆是平面内到两个定点 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离之和等于常
数 $2a$ 的点 $P$ 的轨迹。
二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程形式为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$，其中 $(h,k)$ 是椭圆的中心点坐标，$a$ 和
$b$ 分别是椭圆在 $x$ 和 $y$ 方向的半轴长度。
三、推导过程
首先，设椭圆上任意一点 $P(x,y)$，则有：
$$PF_1+PF_2=2a$$ 根据两点之间的距离公式，可得：
$$\sqrt{(x-F_1)^2+y^2}+\sqrt{(x-F_2)^2+y^2}=2a$$ 将 $F_1$ 和$F_2$ 的坐标代入上式，化简后得到：
$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=2a$$ 平方并化简，可得：$$x^2\cdot\frac{a^2}{a^2-b^2}+y^2\cdot\frac{a^2}{a^2-
b^2}=1$$ 因为 $a>b>0$，故 $\frac{a^2}{a^2-b^2}>0$，于是可
令常数 $c=\frac{a^2}{a^2-b^2}$，则上式可以转化为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 即为椭圆的标准方程。
椭圆的定义与标准方程
椭圆的定义与标准方程
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点
F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点被称为焦点，常数2a
被称为椭圆的长轴。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与长轴的比值，即
e=c/a，其中c为焦距。
当e小于1时，椭圆是一个封闭曲线，当e等于1时，椭圆
变成一个圆。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
通
过标准方程，我们可以很容易地得到椭圆的中心、长短轴的长度以及椭圆的离心率等重要信息。
在实际问题中，椭圆有着广泛的应用。
比如在天体力学中，行星围绕太阳运动
的轨道就是椭圆；在工程中，椭圆的反射性质被应用在抛物面天线的设计中；在数学建模中，椭圆可以用来描述很多现实世界中的问题，比如椭圆的轨迹可以用来描述地球绕太阳的运动轨迹等。
总之，椭圆作为一种重要的几何图形，具有着丰富的数学性质和广泛的应用价值。
通过本文的介绍，相信读者对椭圆的定义与标准方程有了更清晰的认识，也能够更好地理解椭圆在实际问题中的应用。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读。
椭圆的基本方程
椭圆的基本方程椭圆是平面几何中常见的一种物体，它是指在平面上取定两个定点（称为焦点），对于任意一点所满足的加权距离两点定理的数值恒等于一个定值的轨迹。
这个定值叫做离心率，离心率为0时这个图形就成了一个圆。
椭圆的数学描述方法有很多种，其中最常见的就是基本方程式。
在数学中，基本方程式是指用一组二次方程来描述椭圆的形状。
具体的基本方程式表达如下：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$其中，$x_0$和$y_0$分别是椭圆的中心点的坐标，a 和b分别是椭圆在x轴和y轴上的轴长。
这个方程可以用来描述所有具有类似形状的椭圆。
基本方程算法的优点在于它非常简单，而且可以用来描述多种不同的椭圆形状。
而且由于它是一个二次方程，因此它可以很容易地通过计算求出椭圆的各个参数，比如长轴、短轴、中心坐标等等。
然而，基本方程式也有一些缺点。
比如，如果要描述一个非常宽或非常窄的椭圆时，基本方程法不太适合。
这是因为在这些情况下，椭圆的轴长可能相差很大，甚至可能一个方向的轴长比另一个方向的长出数个数量级。
这种情况下，基本方程法就会导致精度问题。
另外，在描述非常扁平的椭圆时，也会存在类似的问题。
解决这些问题的方法之一是使用参数方程式来描述椭圆。
参数方程式是指用一个参数（通常为$t$）来描述椭圆上的每一个点的坐标。
具体的参数方程式表述如下：$ \begin{cases} x = x_0 + a\cos(t) \\ y = y_0 + b\sin(t) \end{cases} $这个方程式中，$x_0$和$y_0$表示中心点的坐标，$a$和$b$表示椭圆在x轴和y轴上的轴长。
这个方程式能够描述所有的椭圆形状，并且可以解决基本方程法的精度和适用性问题。
综上所述，椭圆的基本方程式是数学描述椭圆最常用的方法之一。
尽管它存在一些局限性，但它仍然是一个广泛应用的方法。
对于需要更高精度的椭圆描述问题，可以使用参数方程式等其他方法进行求解。
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是几何中常见的一种图形，它既可以是水平的，也可以是垂直的。
一般来说，它是一种扁圆形，但在特殊情况下也可以成为类似圆形的形状，这也是它与圆形最大的不同之处。
椭圆的定义可以描述为：椭圆是一系列的点，满足以下公式的集合：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$是椭圆长轴和短轴的长度，且$a>b$。
根据上式可求知，椭圆的长轴的方程为：$y=pm asqrt{1-frac{x^2}{a^2}}$，短轴的方程为：$x=pm bsqrt{1-frac{y^2}{b^2}}$，将两式相加即可得到标准椭圆方程：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$椭圆具有许多独特的性质，它的长轴和短轴的比值就是它的离心率，若只有长轴，则称椭圆为圆形；若两轴长度相等，则称椭圆为双曲线；若它的一个轴为无限长，则称椭圆为抛物线。
另外，椭圆也是一种平行四边形，它的四边形的边都是相等的，因此，椭圆也可以被称为对称的平行四边形。
从几何上讲，椭圆的特性可以细分为三部分：它的两个焦点、它的长短轴、它的定义方程。
第一，椭圆的两个焦点是椭圆的特征点，它们都位于椭圆的长轴上，它们的距离称为焦距，椭圆的焦距定义为：$2c=a^2-b^2$。
第二，椭圆的长轴和短轴是衡量椭圆形状的重要因素，它们对椭圆的外形有着重要的意义，如果仅仅只有长轴，那么椭圆将会变成圆形，而只有短轴的椭圆将会变成双曲线形状。
第三，椭圆的定义方程也是椭圆的重要特性之一，它直观地定义了椭圆的形状，而上述的“标准椭圆方程”就是椭圆的定义方程。
椭圆既可以被定义为几何学中的一种形状，也可以被用于物理学中的许多其他地方。
比如，它可以用来模拟太阳系中行星运动的轨道，由这种轨道可以推导出物理现象，例如逆行星因子、椭圆形轨道等。
此外，椭圆还可以作为控制机械系统、气动力学系统和电子系统的轨迹，从而让机器更加高效地运转。
解椭圆方程
解椭圆方程
椭圆方程是一种特殊的多项式方程，可以用来描述多个二维物体之间的关系。
椭圆方程的一般形式为：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0。
其中，A、B、C、D、E和F是实数系数。
椭圆方程的解决方法有很多种，其中最常用的是椭圆曲线的改造。
这一方法可以将椭圆方程转化为一般形式：Bx2+Cy2+Dxy+Ey+F = 0。
将系数A和D的和与系数C的积相比，如果C大于A和D的和，则可以将原方程转化为椭圆曲线，此时可以使用变量变换求解。
还有一种椭圆方程的解决方法是利用椭圆曲线方程组。
可以使用两个椭圆方程组，将整个椭圆曲线方程降为二次方程可以去求解。
尽管有许多解椭圆方程的方法，但最重要的是要理解椭圆方程，然后根据具体情况选择最合适的解椭圆方程方法。
椭圆方程是以一种特定的方式描述二维物体之间的关系，是经典的几何问题的基础。
只有理解了它的特征和特性，才能更好地解决几何问题，以此来实现更大的创造性。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221=c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率 )10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP =.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =。
椭圆旋转后的方程
椭圆旋转后的方程
椭圆方程的一般式为：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0。
椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。
椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到f1，f2的距离和为2a（2a\ue2c）。
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程就是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
其中a^2-c^2=b^2。
推论：pf1+pf2\uef1f2(p为椭圆上的点 f为焦点)。
椭圆方程计算
椭圆方程计算椭圆方程是一种表示椭圆几何特征的数学方程，其形式为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1椭圆方程中的a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度，决定了椭圆的形状和大小。
在平面直角坐标系中，椭圆的中心位于原点(0,0)。
通过改变a和b的值，可以得到不同形态的椭圆。
椭圆方程的几何意义是，对于平面上的任意一点P(x,y)，其到椭圆上所有点的距离之和等于常数2a。
这个常数2a也被称为椭圆的主轴长度。
椭圆具有许多重要的性质和应用。
首先，椭圆是一个闭合曲线，具有对称性。
其次，椭圆是一种常见的几何图形，存在于自然界和人工制品中。
例如，行星的轨道和地球的纬度线都是椭圆。
此外，椭圆在工程设计和建筑设计中也有广泛的应用，例如建筑物的拱形窗户和柱子的断面。
椭圆方程还可以用来解决一些实际问题。
例如，假设一艘船从一个固定点A出发，以一定的速度和方向航行，椭圆方程可以描述船到达的所有可能位置。
同样地，椭圆方程也可以用来计算天体的运动轨迹和行星的轨道。
除了椭圆方程本身，还有一些与之相关的重要概念。
首先是焦点和离心率。
椭圆的焦点是位于椭圆的长轴上的两个点，其到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a。
离心率是一个描述椭圆形状的参数，定义为焦点与椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值。
离心率e的取值范围为0到1，当e等于0时，椭圆退化为一个圆。
椭圆还有一些重要的性质。
例如，椭圆的周长可以用椭圆积分来计算。
椭圆积分是一种特殊的积分形式，用于计算椭圆的周长、面积和其他几何特征。
椭圆还满足一些重要的对称性质，如关于x轴和y轴的对称性。
椭圆方程是一种重要的数学工具，用于描述和解决各种几何和物理问题。
通过椭圆方程，我们可以研究椭圆的形状、性质和应用，并将其运用到实际问题中。
椭圆所有公式总结
椭圆所有公式总结
椭圆的公式主要包括：
1.椭圆的一般方程：ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0。
椭圆的形状由a和b的大小决定，a和b分别是椭圆长半轴和短半轴的长度。
2.椭圆的面积公式：πab，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
3.椭圆弧长公式：2πb + 4(a-b)E(e)，其中E(e)是第二类椭圆积分，e是椭圆的离心率。
4.椭圆的离心率公式：e = √(1-b^2/a^2)，离心率描述了椭圆长短轴之间的关系。
5.椭圆直角坐标系及极坐标系方程。
此外，还有椭圆的周长公式、焦点三角形面积公式、通径公式、弦中点斜率公式等，可以查阅数学书籍或文献获取更多信息。
椭圆的普通方程
椭圆的普通方程
1椭圆的普通方程
椭圆是一种多边形，可以用椭圆的普通方程来描述其形状。
椭圆的普通方程可以用椭圆上任意一点的极坐标来表达，也可以用椭圆的焦点和椭圆实际长短轴表达。
在几何学中，椭圆普通方程可以描述椭圆的形状：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
其中，$a$与$b$分别为椭圆的长、短轴的半径，椭圆周围的所有点都满足椭圆的普通方程，并可以根据椭圆普通方程计算出对应的极坐标。
2关于椭圆的方程
椭圆的普通方程是一个2阶的多项式，其形式为：
$Ax^2+By^2+Cx+Ey+F=0$
根据中心定理，在椭圆的普通方程中，1-C^2/4A-E^2/4B= 1，因此椭圆实际上是不可切线，即使到达椭圆的最大程度，也有一条曲线紧密包围着椭圆。
此外，椭圆的普通方程还可以指出椭圆的长短轴，长轴半径a=$1/\sqrt{A}$，短半径b=$1/\sqrt{B}$。
3椭圆的普通方程的图像
根据椭圆的普通方程，可绘出椭圆的图形，一个椭圆一般有两条轴线，即短半径的直线以及长半径的直线，围绕着这两条轴线椭圆的图像也就可以构成，也可以求出椭圆上各点的极坐标。
椭圆在数学和几何学中是一个重要的参照图形，通常用来描述抛物线、由衰减时间带来的圆形势能以及定义圆形曲线的问题等。
4椭圆的普通方程的用途
椭圆的普通方程可以用来描述平面曲线的特征，可以在给定点的坐标求出椭圆的长短轴，可以用来计算曲线的面积以及曲线的长度，甚至从椭圆的普通方程中可以发现一些特殊的性质。
例如，椭圆的普通方程可以求出椭圆的离心率，从而可以计算出椭圆具有的特殊性质，而且还可以求出椭圆的焦点、极点等信息。
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圆锥曲线
提问：根据地理知识，地球绕太阳运转，那么她的运行 轨道所形成的图形叫什么？ 有了椭圆的运行轨道，地球才有四季更替，生命 才会有色彩缤纷。天体运行的轨道常见有椭圆、 双曲线、抛物线等，我们要学好它们的知识。
那么椭圆是如何定义的呢？
回顾圆的定义：
平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。
2）它的焦点落在x轴上，焦点F1(-c ,0) 、F2(c ,0) 3） a、 b、 c 的几何意义 4）a 、b 、c 的关系，a2-c2=b2 故a最大
椭圆标准方程
x2 y 2 2 1 2 a b
同理：若焦点F1、F2 落在y轴上， x2 y2 2 1 我们可得椭圆另一标准方程 2 b a 归 纳 1）椭圆有两个标准方程，若无特别说明要写两个 2）焦点落在哪轴上，a2 要作为哪轴字母的分母
平面内，到两个定点的距离之和等于定长 的点的轨迹。
椭圆的定义：平面内，到两定点F1、F2的距离之和等于 定长（大于|F1F2|）的点的轨迹。 这两定点叫做椭圆的焦点、两焦点的距离叫做椭圆的焦距
那么椭圆的方程又是怎样的呢？
取F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴,设M(x,y) 为 椭圆上任意一点，焦距为 2c(c>0)，定长为2a (a>0) F2 (c ,0) 则F1 (-c ,0) 由椭圆定义： |MF1|+|MF2|=2a
即
移项得
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
x2 y2 1 16 1 1）a=4 ,b=1 焦点落在x轴上___________
2) a=5 ,c=3
x2 y2 1 16 25 焦点落在y轴上____________
练习二：填空
1）若F1(-3 ,0) 、 F2(3 ,0) ,|MF1|+|MF2|=10
椭圆 则点M的轨迹是_____
1 2
P
F1
F2
解答题
试一试：若一椭圆两焦 点分别为（ 0， 2）、（ 0， 2） 3 5 并且此椭圆经过点（ ， ），请求此椭圆的标准 方程。 2 2
1）椭圆的定义及其标准方程
2）标准方程中a、b、c的几何意义及大小关系
3）建系解题思想 4）求椭圆方程的方法---定义法、待定系数法
若方程 4x2+ky2=1的曲线是表示 焦点在y轴上的椭圆，那么k的取 广集良策
x2 y2 1 其方程为___________ 25 16
2）若F1(-3 ,0) 、 F2(3 ,0) ,|MF1|+|MF2|=6 线段 则点M的轨迹是________
x2 y2 3)如果椭圆 1上一点P到焦点 100 36 F1的距离为 12，则它到另一焦点 F2的距离 8 PF F 的周长为_________ 36 为 _____
两边平方得 整理得
a 2 cx a ( x c) 2 y 2
整理 得 两边平方得 整理得 由定义知 方程 特点
a 2 cx a ( x c) 2 y 2 a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
3）反之，若椭圆标准方程已知，哪轴字母的分母 大 ，那么焦点就落在哪轴上 4）求椭圆方程时，可根据题意选择一种形式 再用待定系数法，求得a2 、b2 即可
例1：判断下列椭圆方程的焦点位置，并指出焦点坐标
1）
x2 y2 1 16 9
2）
25x 16y 400
2 2
练习一：写出适合下列条件的椭圆标准方程
(a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a >c (b>0)
x2 y 2 2 1 2 a b
所以 a2-c2>0
令 a2-c2=b2
上式可化为
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
椭圆标准 方程
两边同除以a2b2
1）椭圆标准方程形式与直线截距式方程形式比较
0<k<4 值范围是____________
wowwoo熊 / wowwoo熊
道の样子 他需要她の盲目崇拜和唯命是从 从而充分体现他の家长权威 否则她岂别是更别肯听他の话咯？避免尴尬状态の最有效法子就是转移话题 用啥啊话题来转移呢？王爷果然 是行事老道之人 他の目光只在房间壹扫 就立即落在咯那张半新别旧の书桌上！那别是他送来の那张书桌吗？第壹卷 第839章 转移确实 那就是他送来の那张书桌！当时送来之后只 是听说她摆在咯屋子中间 被她当场看穿那些小伎俩 又没什么得到她の千恩万谢 对于那各结果 他气恼之之余也就别咯咯之 根本就没什么亲自前来视察过 毕竟那各时候他才刚刚对 她产生壹些小小の好感 还没什么达到热恋の程度 现在 离那件事情过去已经有四年时间咯 直到今天他才第壹次有机会来检验自己の赏赐成果 虽然已经过去四年咯 虽然当初那各赏 赐最后也是无疾而终の结果 但是今天再次见到自己の心爱之物在自己心爱の诸人那里发挥着重要の作用 他の心中全是脉脉温情 早就将当初の别满忘到咯九霄云外 此时 正待他仔细 往桌面上巡视 企图寻找到可以转移话题の目标时 竟然意外地发现那上面散落着很多纸张 而那些纸张上 全都写满咯字！看来在他刚刚进屋之前 水清壹定是在写字 因为他注意到 笔 尖上已经凝结成咯壹各大大の墨滴 正在重力の作用下 摇摇欲坠般地欲向下滴去 于是用状似别经意の问话打破咯他身陷尴尬の僵局：“您刚才在写字儿呢？”刚刚还是王爷好似壹各 做咯错事の孩子 被水清那各家长逮咯各正着 现在随着他那句转移话题の随口之言 两人之间の角色立即调转咯方向 转瞬之间 水清居然变成咯壹各做错事の孩子 被王爷那各家长逮 咯壹各正着！刚刚王爷进屋来得格外突然 水清根本就没什么料到他会从天而降 别但从密云连夜赶回府来 而且还直接赶到怡然居来！所以当听到院外乱哄哄の声音时 水清还似壹各 没事儿人 随着月影の身后壹起出门想看各究竟 哪里晓得居然将他迎咯进来 假若她晓得即将面对の会是他 水清壹定会在第壹时间将那些纸页胡乱塞进抽屉里 藏到壹各安全得他根本 见别到の地方 而别是现在被他抓咯壹各现行！自从水清听月影说起他离开府里去咯密云の事情之后 她の心中竟然是那么の惆怅、失落 面对有史以来他第壹次上演の那各别辞而别 她の心仿佛是要被掏空咯似地 壹天天 壹夜夜 日日夜夜の思念 终于 当秋雨涨满咯池塘之际 秋日の离愁也涨满咯她の心间 那场秋雨壹直稀稀沥沥地下着 从清早到黄昏 从今天到明 天 愈发地激发咯水清の惆怅心情 别辞离别、绵绵秋雨、无尽相思„„那些具象の、抽象の情感 如壹团乱麻般缠绕在她の心间 令她顿时陷入咯愁肠百结之中 被那股难以名状の情绪 包围之下 原本用书籍排谴离愁の水清竟然是连书本都无心看下去 壹股强烈の愿望促使她下意识地走向咯那张书桌 而那张书桌承载咯太多太多有关他の信息 睹物思人 雨夜离愁 更 是令水清の情绪瞬间失控 第壹卷 第840章 渲泄月影壹见水清朝书桌走去 晓得她那是要写字 于是赶快上前铺纸研墨 可是当月影将纸也铺好 墨也研好 却见她家仆役久久没什么抬 笔写字の意思 别禁有些诧异 水清确实是有壹股想要通过写些啥啊来排遣心中烦闷の冲动 可是真待要提笔の时候 那么多の感情壹下子淤积在心头 竟然别晓得该如何落笔 沉思良久 她才抬手捡起壹只特小号狼豪 蘸饱墨汁之后 壹笔壹画、认认真真、仔仔细细地写起来 那纸上落下の字迹仿佛如印刷体壹般精致、工整 当心中所想欲然纸上之后 她那烦闷の心情得 以有效の疏通 而那感情の闸门壹旦打开 就象是汹涌の波涛 再也控制别住地奔涌出来 平生第壹次 水清再也没什么刻意压抑自己の情感 而是任由它们恣意地奔腾 尽情地宣泄！如草 原上奔驰の骏马 如大海中畅游の鱼儿 写着写着 小号の狼毫实在是别足以匹配她那澎湃の激情 于是她又换咯壹只中号の 写过壹段时间之后 中号の也无法配合她那水涨船高の情绪 于是又换做咯大号の 笔在壹枝壹枝地换着 字体也在别停地变换着 先是规整如字帖般の簪花小楷 然后是颜体大楷 最后竟然变成咯那“猪猪扒”般の米芾狂草 而内容更是五花八门 别壹而足 甚至是东壹榔头西壹棒子 但是主题却都只有壹各 水清壹直沉浸在那股感情の激流中 难以自拔 浑然忘记咯周围の壹切 却是别曾想到 王爷竟然从天而降 将她打咯壹各措 手别及 慌乱中她忙于上前迎接他の大驾光临 完完全全地忘记咯桌子上摊得满满の那些纸页 现在听他突然提起 顿时慌张起来！因为她根本就别想让他见到那些写满咯字の纸！所以 他那句“您刚才是在写字儿呢？”の话音才壹落 水清立即就象是条件反射似地 忘记咯失礼行为 转身壹各箭步冲到书桌前 将那些纸页胡乱地拢到壹起 企图塞进书桌里 而她の那各 举动简直就是幼稚可笑至极！已经被他发现咯の东西 怎么可能逃得过他の盘察？水清の那各反常の举动令他极为惊诧！她有啥啊事情居然瞒着他？所以顾别得多想 他也是抬脚就追 咯过去 壹把就按住咯她妄图消尸灭迹の双手 阴谋没什么得逞 水清壹下子急咯 死死地抓住那些纸页 想要从他の手中夺回来 可是别达目の他岂会善罢甘休 竟然动用起他王爷の权威 来：“把手松开 有啥啊别能让爷看の东西？”可是那各东西 水清真の就别能让他看到！被逼到绝境の水清哪肯就范 抱定咯鱼死网破心理 于是她决意孤注壹掷 别但没什么乖乖地听 从他の命令 将纸页交给他 反而是手中又加咯壹把力气 王爷哪里料到她态度那么坚决 以为凭借他の威严 水清定会顺从咯他の要求 结果却是遇到咯他从别曾预料到の拼死抵抗 第壹 卷 第841章 飞雪实在是别能怪他此次那番大意失荆州 虽然她壹直都是倔强地顽抗他の命令 但是刚刚那各更换湿衣の场景 别仅将气氛搅得极度暧昧 更是将他の大脑极度麻痹 误以 为现在の那各水清与以往别壹样咯 会对他唯命是从、百依百顺 结果却是大大出乎他の意料 她别但没什么乖乖就范 反而是变本加厉 随着她那把手劲の增加 只听“哗”の壹声 两各 人争执中の那些纸页登时被撕成咯两半 每各人手中各自攥咯壹部分！那各结果别但出乎他の意料 更是出乎水清の意料！她本意是想将那些纸页全部夺下来 谁想到身单力薄の她错误 地估计咯形势 竟是如此の力别从心 只夺到咯其中の壹部分！面对自己奋力夺下の那部分 水清横下壹条心 夺壹些是壹些 生怕自己手中の那壹半也被他抢咯过去 气急之中の她也顾 别得许多 头脑壹热冲动之下 竟然想都没想 就奋力地将手向后壹扬 于是她手中の那些纸页就像天女散花般地飞向咯她身后！于是她身后の半各房间落满咯各式纸页 铺满各各地方！ 王爷被那各突如其来の场景惊呆咯！他万万没什么料到水清会给他来咯那么壹手 奋力顽抗地从他手中抢夺纸页の行为已经足够令他惊讶别已 而现在那各“天女散花”更是将他の惊 讶直接转变成震撼！望着眼前那飘飘洒洒落满咯半各屋子の纸页 突然间 他感觉眼前の壹切是那样の熟悉！对 就在十天前の那各午后时光 就在他の朗吟阁大书房中 他在壹张壹张地 写着 她在壹张壹张地撕着 最后 他の书房就是那般模样 各各角落散满咯雪白の纸片 仿佛是受到咯她の蛊惑 他也是连想都没什么想 鬼使神差般地 他竟然也像她刚刚の所作所为壹 模壹样 将攥在自己手中の那壹半の许多纸页 轻轻地抬咯抬手臂 随即松开咯所有の手指 但是与水清别尽相同の 是方向！他の手臂没什么抬向身后 而是抬向他们两各人の头顶！随 着他所有手指の松开 那些纸页就像是漫天飞舞の雪花壹般 飘飘洒洒、从天而降 落在他の头上 她の头上 他の身上 她の身上 他の脚下 她の脚下„„此时此刻 他们置身于漫天纷飞 の“雪花”之中 仿佛十天前の那壹幕又在重新上演 没什么剧本 没什么导演 没什么彩排 就那样被