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高二理科数学上学期期末试卷及答案
高二理科数学上学期期末试卷及答案数学期末考试卷一、 选择题（本大题共12小题，每小题４分，共48分） 1、与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程0132=-+x x的两根符号不同；命题q ：方程0132=-+x x 的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a+”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（ ）.A ．5B ．8C ．5或 3D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．c b a 213221+- B ．cb a 212132++-C ．c b a 212121-+ D ．213232-+ 6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716B ．1516C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 55C. 33D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55B ．555C ．553D ．511 10、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．无法确定11、已知数列{a n }的通项公式为21log 2++=n n a n(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使5-<nS 成立的自然数n( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值3212、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ） A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C.()0,0123322>>=-y x y x D.()0,0123322>>=+y x y x二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是14、若双曲线4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 . 15、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ．16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k+=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为 _________． 三、 解答题（本大题共5小题，共56分） 17、（本题满分10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,6a b c B π=，3cos ,25A b ==。
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20、（本题满分 10 分）如图所示，在直角梯形 ABCD 中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝ 3，
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高二理科数学(上)期末试卷包含答案 曲线段 DE 上任一点到 A、B 两点的距离之和都相等． （1）建立适当的直角坐标系，求曲线段 DE 的方程； （2）过 C 能否作一条直线与曲线段 DE 相交，且所
D． 2 a 2 b 1 c 3 32
6、抛物线 y 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为（ ）
17
A．
16
15
B．
16
7
C．
8
D．0
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x＋2y－3＝0，则该双曲线的
离心率为（
）
A.5 或 5 4
B. 5 或 5 2
和为 3，判断命题“ p ”、“ q ”、“ p q ”、“ p q ”为假命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3、“a＞b＞0”是“ab＜ a 2 b2 ”的 （
）
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
x2
4、椭圆
y2
1的焦距为 2，则 m 的值等于 （
18、（本题满分 8 分） （1）已知双曲线的一条渐近线方程是，
y
3 2
x 焦距为 2
13 ，求此双曲线的
标准方程；
（2）求以双曲线 y2 x2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。 16 9
19．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) x3 ax 2 4(a R), f '(x) 是 f (x) 的导函数。 （1）当 a=2 时，对于任意的 m [1,1], n [1,1],求f (m) f '(n) 的最小值； （2）若存在 x0 (0,) ，使 f (x0 ) 0, 求 a 的取值范围。
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高二数学试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．给出四个条件：①22ac bc >;②a b c c>;③22a b >;>其中能分别成为a >b 的充分条件的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．33．圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=对称,则ab 的最大值为 ( )A ．1B ．12C ．14D ．不存在 4．如图,已知点M(m,n )在直线l :A x +B y +C=0(AB ≠0)的右下方,则A m +B n +C 的值 ( ) A ．与A 同号,与B 同号 B ．与A 同号,与B 异号C ．与A 异号,与B 异号D ．与A 异号,与B 同号5．如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ,则以A 、B 为焦点,且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )A．1C．．3 6．直线x -y -1=0与实轴在y 轴上的双曲线22(0)x y m m -=≠的交点在以原点为中心,边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部,则m 的取值范围为 ( )A ．0<m <1B ．m <0C ．-1<m <0D ．m <-17．直线cos 20x α-=的倾斜角的范围是 ( )A ．[,]66ππ-B ．[0,]6πC ．5[0,][,)66πππUD ．5[,]66ππ8．已知点A(1,2),过点(5,-2)且斜率为k 的直线与抛物线y 2=4x 交于B 、C 两点,那么△ABC( ) A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形 D ．的形状与k 值有关9．设 12F F 、是双曲线22214x y b-=的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ∠=o ,△12F PF 的面积为1,则正数b 的值为 ( )AB ．2 C．1 10．若不等式2222x x a y y ++≥--对一切实数x y ，恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥2D ．a ≤211．已知A 、B 分别为椭圆2212y x +=的左、右顶点,P 是椭圆上第一象限的任一点,若∠PAB=α,∠PBA=β,则必有 ( )A ．2tan α+cot β=0B ．2tan α-cot β=0C ．tan α+2cot β=0D ．tan α-2cot β=0BAEDC12．已知平面上点P ∈22{(,)|(2cos )(2sin )16,}x y x y R ααα-+-=∈,则满足条件的点P 在平面上所形成图形的面积是 ( ) A ．36π B ．32π C ．16π D ．4π 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．将答案填在题中的横线上． 13．不等式2212x x --<的解集是 ．14．圆22420x y x y c +--+=与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若90APB ∠=o,则c 的值为 ．15．设2z x y =+,式中,x y 满足约束条件220,1.x y x y +≥⎧⎨+≤⎩ 则z 的最小值是 ,最大值是 ．16．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 是双曲线上任意一点,若221||||PF PF 的最小值为8a ,则此双曲线的离心率e 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知正数a,b 满足a +b =1,且n ∈N*,求证：112n n n n a b a b++++≥．18． (本小题满分12分)已知P (2,0),Q (8,0),点M 到点P 的距离是它到点Q 的距离的21,求点M 的轨迹方程,并求轨迹上的点到直线l ：2x －y －55＝0的最小距离．19．(本小题满分12分)已知过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点,若以9(,0)2P 为圆心的圆恰好过A 、B 点,求直线l 的方程.20．(本小题满分12分)设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B.(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(II)设直线l 与y 轴的交点为P,且512PA PB =u u u r u u u r,求a的值.21．(本小题满分12分)某电器商场拟举办家电促销活动,活动前准备从厂家分批购入每台价格为2000元的某品牌空调共3600台,每批都购入x 台,且每批均付运费400元．整个活动期间所付储存该空调的全部保管费是购买一批空调所付货款的120．现商场有专项资金22000元准备用于支付该空调的全部运费及活动期间的全部保管费．问这笔专项资金是否够用？如果不够用,至少还需要多少资金？22.．(本小题满分1４分)有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.定理：过圆)0(,222>=+r r y x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1.（Ⅰ）写出该定理在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中的推广,并加以证明；（Ⅱ）写出该定理在双曲线中)0,0(12222>>=-b a by a x 的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.参考答案一、选择题1．B ．抛物线标准方程为212x y =,准线方程为18y =-. 2．C ．①④能分别成为a >b 的充分条件.3．C ．由圆的对称性知圆心(-1,2)在直线上,∴-2a -2b +2=0,即a +b =1,故21()24a b ab +≤=. 4．B ．结合图形信息知,0,0,ABC A⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩,又原点O 与点M 在直线L 的异侧,∴()0C Am Bn C ++<,故A m+B n +C 与B 、C 异号,与A 同号.5．A ．设AB=2c ,则AE=BD=c ,AD=BE=3c ,椭圆离心率为=,双曲线离=故离心率的倒数和为3.6．C ．由2210,x y x y m --=⎧⎨-=⎩得交点坐标为(m +12,m -12),解不等式组111,2111,2m m +⎧-≤≤⎪⎪⎨-⎪-≤≤⎪⎩,得-1<m <1.又双曲线焦点在y 轴上,知m <0,故-1<m <0. 7．C ．设倾斜角为θ,则tan [θ=,故50,或66ππθθπ≤≤≤<. 8．C ．由24,(5)2,y x y k x ⎧=⎨=--⎩得242080ky y k ---=,设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则12124208,k y y y y k k++==-,记121222,11BA CA y y k k x x --==--,则1212121222221212121212216162()42()41()21616()11164BA CA y y y y y y y y k k k y y y y y y k k x x x x k ---++-++⋅====-+-+-++-+.故BA ⊥CA . 9．D ．设PF 1=m ,PF 2=n ,则由题设知2224,4(4),2,m n m n b mn -=⎧⎪+=+⎨⎪=⎩解得b=1.10．C ．由22(1)(1)2x y a +++≥-恒成立知,20a -≤,即a ≥2. 11．D ．考虑极端位置,当P 点落在上顶点时,有tan αβ==,显然有tan α-2cot β=0成立.12．B ．P 点是以(2cos α,2sin α)为圆心,4为半径的圆周上的点,而当α在R 上变化时,点(2cos α,2sin α)又是以(0,0)为圆心,2为半径的圆周上的点,故当圆心在半径为2的圆周上变化时,P 点的轨迹形成一个内圆半径为2,外圆半径为6的圆环.故面积为36π-4π=32π. 二、填空题13．{x |―1<x <3,且x ≠1}.14．－3.圆的标准方程为22(2)(1)5x y c -+-=-,在等腰直角三角形PAB 中,由P 到y 轴的距离为2,知半径r =22,解5-c =8,得c =-3.15．2-如图,作出约束条件确定的可行域,在A 点处有最小值,在B 点处有最大值.16．(1,3].222211111||(2||)4||48||||||PF a PF a PF a a PF PF PF +==++≥,当|PF 1|=2a 时取等号.因此应有c -a ≤2a ,即e =ca ≤3,又e >1,故1<e ≤3.三、解答题17.证明：∵a 、b 为正数且a +b =1,∴原不等式等价于）（112))((+++≤++n n n n b a b a b a ． ))(()(2))((1111n n n n n n n n n n a b b a b a ab b a b a b a b a --=--+=+-++++++当a ≥b 时,a －b ≥0,a n ≥b n ,即b n －a n ≤0,∴(a －b )( b n －a n )≤0, 当a ＜b 时,a －b ＜0,a n ＜b n ,即b n －a n ＞0,∴(a －b )( b n －a n )＜0,因此）（－112))((+++++n n n n b a b a b a ≤0即）（112))((+++≤++n n n n b a b a b a∴原不等式成立．18. 解：设),(y x M ,则依条件得21)0()8()0()2(2222=-+--+-y x y x 两边平方,整理得2216x y +=,这就是所求的轨迹方程.设圆：2216x y +=的圆心O 到直线l ：2x －y －55＝0的距离为d ,则5d ==故圆上的点到直线l ：2x －y －55＝0的最小距离为d -4=1.19. 解：由题设,直线l 的斜率必存在且不为0,设斜率为k ,则l 的方程为：(1)6y k x =+-由2(1)64y k x y x =+-⎧⎨=⎩消去y 得222[2(6)4](6)0k x k k x k +--+-= △222[2(6)4]4(6)0k k k k =---->解得33k <<+且0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则2211224,4y x y x ==,12242(6)k k x x k--+=, 由题意知AP BP =,得2222112299()()22x y x y -+=-+,∴22121299()()44022x x x x ---+-=,即1212()(5)0x x x x -+-=,Θ12x x ≠,∴125x x +=,∴242(6)5k k k --=,解得2k =或27k =-2(3舍去)7-<,∴所求的直线方程为24y x =-.(注：另可利用AB 的中点,及垂径分弦定理求解)20. 解：（I ）由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解.消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-= ①24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪∴⎨+->⎪⎩解得01a a <<≠.双曲线的离心率e ==0a <<Q a ≠1 e e ∴>≠即离心率e的取值范围是)+∞U . （II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P ,5,12PA PB =u u u r u u u r Q 11225(,1)(,1).12x y x y ∴-=-由此得12512x x =.由于12,x x 都是方程①的根,且210a -≠,∴212221222121a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩⇒222222217212152121a x a ax a ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩ ∴2221751212x x =, ∴20x =(舍）或2175x =,∴222289160a a -=- 由0a >,所以1713a =. 21. 解：设该空调的全部运费及活动期间的全部保管费共y 元,则由题意,得36001400(2000)20y x x =⨯+⨯3600400100x x ⨯=+36004100()100x x⨯=+≥⋅＝24000．当且仅当36004x x⨯=,即x =120时取等号． ∴当x =120时,y 最小,且min 24000y =．24000－22000=2000(元) ,答：这笔专项资金不够用,至少还需要2000元资金．22. 解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A 、B ,由椭圆的对称性可得,A 、B 关于中心O （0,0）对称,所以A 、B 点的坐标分别为A （),11y x ,B （),11y x --.P （),y x 上椭圆12222=+by a x 上任意一点,显然||||||||11y y x x ≠≠,因为A 、B 、P 三点都在椭圆上,所以有222122122212211b a y a x b b y a x =+=+, ① 22222222221b a y a x b b y a x =+=+, ②. 而2122121111x x y y k k x x y y k x x y y k PB PA PBPA --=⋅++=--=, 由①－②得：22222211()()0,b x x a y y -+-=22212221y y b x x a-∴=--. 所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值22ab -.（Ⅱ）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.22a b该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线)0(122≠=+AB By Ax 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－.BA。
高二上学期期末数学试卷（理科）含答案
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解 由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
高二年级理科数学上学期期末考试试卷.doc
（ ii ）当△ AOB 的面积为 4 2 时（ O 为坐标原点），求λ的值 .
22． （本小题满分 14 分）
已知？( x ) ＝ 1 ln( x 1) ( x 0) . x
（ 1） 函数？( x ) 在区间（ 0， + ）上是增函数还是减函数？证明你的结论； （ 2） 当 x ＞ 0 时，证明：？ ( x ) ＞ 3 ；
成等比数列，求 Tn
19． （本小题满分 12 分）
如图，在五棱锥 P－ ABCDE中， PA＝ AB＝ AE＝ 2 a ， PB＝ PE＝ 2 2a ， BC＝ DE＝ a ，∠ EAB＝∠ ABC
＝∠ DEA＝ 90O. （ 1） 求证： PA⊥平面 ABCDE； （ 2） 求二面角 A-PD-E 的大小 .
及 B.
18． （本小题满分 12 分）
数列｛ an ｝的前 n 项和记为 Sn ， a 1＝ 1， a n 1 2 Sn 1 ( n N ) .
15 3
，求 b， c
4
（ 1） 求｛ an ｝的通项公式；
（ 2） 等差数列｛ bn ｝的各项为正数，其前 n 项和为 Tn ，且 T3＝ 15，又 a 1+b 1， a 2+ b 2， a 3+ b 3
（）
A. 圆
B.双曲线
C.椭圆
D.抛物线
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
交点为 A 、B ，
13．由曲线 y x2 与 y x2 2 所围成的图形的面积是
.
0x4 14．已知 x,y 满足条件 0 y 3 则 z=2x+5y 的最大值为
x 2y 8
x2 x 4
15．函数 y
高二数学上学期期末考试题理科(原卷版)
试题训练法
我们需要做哪些题,做多少题。
试题训练法是巩固学习成果的有效方法,是学习中不可忽视的环节。但是盲目地做大量的习题而不去深入思考,不仅浪费时间,而且还可能把自己搞糊涂。那么,哪些习题值得一做呢?
其实,这就是在告诉我平时做作业时应该不粗心、不马虎,要求自己一次就做对。
三、做题做到熟练
现在,为数不少的同学在学习过程中满足于“已经懂了”“这样的题目已经做过了”的心态,而很少去追问自己:理解得深不深?做题的速度够不够快?保证永远不会做错吗?所以说,各位同学还是应该多在解题的熟练程度上下功夫,不要仅仅满足于“会做
高二数学期末试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：北师大版选修2-1.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
第三种是关于疑点的练习题。这里的疑点就是自己还没有弄懂的地方。这个环节的问题不解决,很容易造成学习“欠债”的现象。所以,有关这方面的习题训练一定不能放过,应该坚持去做。对于自己一看就会的题目,以后就不要再做了,这说明这个题目的知识点你已经掌握得很熟练了,等到考试前再复习一下就可以了。对于那些不懂或者费了很大劲才做出来的题目,要在题目前面做个记号,把这个题目作为重点进行理解,加深记忆,直到一看见这个题目，就知道解题思路的熟练程度,才说明你彻底把这个知识点掌握了。
第一种是涉及教材知识的重点题。例题是课本中最重要的题,做例题有利于巩固基础知识;其次,与教材中重点有关的练习题也是必须做的,这些涵盖了教材里的主要内容。
高二数学上学期(理科)期末试卷
高二数学上学期（理科）期末试卷测试范围：必修3、选修2-1第1、2章及选修2-2第1章本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分200分。
考试时间150分钟。
参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-一组数据12,,,n x x x 的方差221()nii x x S n=-=∑；其中1nii xx n==∑为这组数据的平均数值。
设线性回归方程为y bx a =+；则系数a ；b 满足1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.1.一个容量为32的样本；已知某组样本的频率为0.125；则该组样本的频数为 A.2B.4C.6D.8 ( ) 2．下列几个图形在流程图中分别代表什么框？ ①；②；③；④分别代表A. 处理框；起止框；输入、输出框；判断框B. 起止框；输入、输出框； 处理框；判断框①② ④C. 起止框； 处理框；输入、输出框；判断框D. 输入、输出框； 处理框；起止框；判断框3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表；甲被选中的概率是 ( ) A.12 B. 13 C. 234.顶点在原点；焦点是(0；-2)的抛物线方程是 ( ) A. 28y x = B. 28y x =- C.28x y = D. 28x y =-()(2),(2)f x x x f '=+-=则A.0B.-2 C6．下列命题中正确的是 （ ）①“若x 2＋y 2≠0；则x ；y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0；则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题 ④“若x=123；则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④ 7．平面内有定点A 、B 及动点P ；设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”；命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”；那么甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．P 是长轴在x 轴上的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点；12,F F 分别为椭圆的两个焦点；椭圆的半焦距为c ；则12PF PF 的最大值与最小值之差一定是 （ ）A ．1B ．2a C ．2b D ．2c9．双曲线221x y -=支右上一点P （a ；b ）到直线y=x则a+b 的值 （ ） A ．12-B ．12C ．1122-或 D.122或 122=+ny m x 和n ny mx =+（n m ,是不为零的实数）所表示的曲线草图只可能（ ）11、已知函数1sin 2cos(),22y x x π'=+-则y （导函数）的取值范围是（ ） A ．9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,2 C ．9,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．以上都不对12．曲线y x x x x =---()()()1250…在原点处的切线方程为 （ ） A.y = 1275x B ； y = 502x C ；y = 100x D. y = 50!x二.填空题：本大题共有6小题；每小题5分；共30分.把答案填在题中横线上. 13.八个数据1；2；4；5；7；8；10；11的平均数是 ▲ 14.命题 “2,240x R x x ∃∈-+>”的否定是 ▲15．动点P(x ；y)到直线x=5的距离与它到点F(1；0)的距离之比为3； 则动点P 的轨迹为 ▲16．过原点作曲线x e y =的切线；则切点的坐标为 ▲17. 已知双曲线12222=-b y a x (a>0；b>0)的离心率e=215+(“优美双曲线”)；A 、F分别是它的左顶点和右焦点；设点B 的坐标为(0；b)；则∠ABF 等于 ▲18、对正整数n ；设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ；则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 ▲三.解答题：本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．B ．C ．D ．19．（本题满分12分；每问4分）将一颗骰子先后抛掷2次；观察向上的点数；问：（1）两数之和为6的概率；（2）两数之和是3的倍数的概率； （3）两数之积是6的倍数的概率。
高二(上)期末数学试卷理科
高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分．在每题的四个选项中，只有一个符合题目要求〕1．〔5分〕集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|〔x﹣1〕〔x+2〕＜0}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．〔5分〕命题p：?x∈R，使tanx=1，其中正确的选项是〔〕A．￢p：?x∈R，使tanx≠1B．￢p：?x?R，使tanx≠1C．￢p：?x?R，使tanx≠1D．￢p：?x∈R，使tanx≠13．〔5分〕对抛物线y=4x2，以下描述正确的选项是〔〕A．开口向上，焦点为〔0，1〕B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为〔1，0〕D．开口向右，焦点为4．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是〔〕A．y=± xB．y=±xC．y=±xD．y=±x5．〔5分〕有以下四个命题：①“假设xy=1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；②“面积相等的三角形全等〞的否命题；③“假设m≤1，那么x2﹣2x+m=0有实数解〞的逆否命题；④“假设A∩B=B，那么A?B〞的逆否命题．其中为真命题的是〔〕A．①②B．②③C．④D．①②③6．〔5分〕钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，那么AC=〔〕A．5 B．C．2D．17．〔5分〕双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为，那么C的渐近线方程为〔〕A．y=± xB．y=±xC．y=±xD．y=±2x．〔分〕如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1111，那么1与DF1所成的角的余弦值85E=DF=BE 是〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕数列{a n}中，a1=2，a n=﹣〔n≥2〕，那么a2021等于〔〕A．﹣B．C．2D．﹣210．〔5分〕设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O 为坐标原点，那么△OAB的面积为〔〕A．B．C．D．．〔分〕设1、F2是椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，P为直线x=上一点，115F△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么E的离心率为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕P是双曲线2+y2和〔﹣〕2+y2=1﹣=1的右支上一点，M、N分别是圆〔x+5〕=4x5上的点，那么|PM|﹣|PN|的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分．把答案填写在题中横线上〕13．〔5分〕假设x，y∈〔0，+∞〕，且x+4y=1，那么+的最小值为．14．〔5分〕设x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的取值范围为．15．〔5分〕抛物线C：y2=2px〔p＞0〕，过焦点F且斜率为k〔k＞0〕的直线与C相交于A、B两点，假设=3 16．〔5分〕假设椭圆，那么k=．C：mx2+ny2=1〔m＞0，n＞0，m≠n〕，与直线L：x+y+1=0交于A、B两点，过原点和线段AB中点的直线的斜率为，那么=．三、解答题：〔此题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〕17．〔10分〕命题p：c2＜c，和命题q：?x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．18．〔12分〕双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e=，且双曲线过点P〔2，3〕．求双曲线E的方程．19．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，cosB=﹣．〔1〕求C；〔2〕假设c=5，求△ABC的面积．20．〔12分〕在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣n+1〔n∈N*〕，数列{a n}的前n项和为S n．〔1〕证明：数列{a n﹣n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；〔2〕求S n．21．〔12分〕在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．〔1〕证明AB⊥平面VAD；〔2〕求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．22．〔12分〕椭圆C：9x2+y2=m2〔m＞0〕，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．〔1〕证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；〔2〕假设l过点〔，m〕，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？假设能，求此时l的斜率；假设不能，说明理由．2021-2021学年甘肃省白银市景泰县高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分．在每题的四个选项中，只有一个符合题目要求〕1．〔5分〕集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|〔x﹣1〕〔x+2〕＜0}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0}B．{0，1} C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．应选：A．2．〔5分〕命题p：?x∈R，使tanx=1，其中正确的选项是〔〕A．￢p：?x∈R，使tanx≠1B．￢p：?x?R，使tanx≠1C．￢p：?x?R，使tanx≠1D．￢p：?x∈R，使tanx≠1【解答】解：因为特称命题的否认是全称命题，所以，命题p：?x∈R，使tanx=1，￢p：?x ∈R，使tanx≠1．应选：D．3．〔5分〕对抛物线y=4x2，以下描述正确的选项是〔〕A．开口向上，焦点为〔0，1〕B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为〔1，0〕D．开口向右，焦点为【解答】解：∵a=4＞0，∴图象开口向上，焦点为．应选B．4．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是〔〕A．y=± xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．应选C．5．〔5分〕有以下四个命题：①“假设xy=1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；②“面积相等的三角形全等〞的否命题；③“假设m≤1，那么x2﹣2x+m=0有实数解〞的逆否命题；④“假设A∩B=B，那么A?B〞的逆否命题．其中为真命题的是〔〕A．①②B．②③C．④D．①②③【解答】解：①“假设xy=1，那么x，y互为倒数〞的逆命题是：①“假设x，y互为倒数，那么xy=1〞是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等〞的否命题是：“面积不相等的三角形不全等〞是真命题，故②正确；③假设x2﹣2x+m=0有实数解，那么△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，∴假设m≤1?那么x2﹣2x+m=0有实数解〞是真命题，故“假设m≤1，那么x2﹣2x+m=0有实数解〞的逆否命题是：“假设x2﹣2x+m=0没有有实数解，那么m＞1〞是真命题，故③正确；④假设A∩B=B，那么A?B，故原命题错误，∴假设A∩B=B，那么A?B〞的逆否命题是错误，故④错误；应选：D．6．〔5分〕钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，那么AC=〔〕A．5 B．C．2D．1【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，222，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，此时AB+AC=BCAC=．应选：B．7．〔5分〕双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的离心率为，那么C的渐近线方程为〔〕A．y=± xB．y=±xC．y=±xD．y=±2x【解答】解：由题意可得e= =，即为c2=a2，c2=a2+b2，可得b2=a2，a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．应选：D．．〔分〕如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1111，那么1与DF1所成的角的余弦值85E=DF=BE 是〔〕A．B．C．D．【解答】解：如图先将F1D 平移到1AF，再平移到EE，∠EEBE1与DF所成的角1B14，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故A9．〔5分〕数列{a n}中，a1=2，a n=〔n≥2〕，a2021等于〔〕A．B．C．2 D．2【解答】解：数列{a n}中，a1，n〔≥〕，=2a=n2a2==，a3==2，a4==，a5==2，⋯，数列{a n}最小正周期4的数列，a2021=a4×502+2=a2=，故A．10．〔5分〕F抛物C：y2=3x的焦点，F且斜角30°的直交C于A，B两点，O 坐原点，△OAB的面〔〕A．B．C．D．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，F〔，0〕．∴过A，B的直线方程为y=〔x﹣〕，x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么y1+y2=3，y1y2=﹣．∴S△OAB△OAF+S△OFB×﹣y|==×=．=S=|y12应选：D．11．〔5分〕设F1、F2是椭圆E：+ =1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么E的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴应选C．12．〔5分〕P是双曲线﹣2+y2和〔﹣〕2+y2=1 =1的右支上一点，M、N分别是圆〔x+5〕=4x5上的点，那么|PM|﹣|PN|的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【解答】解：双曲线﹣=1中，如图：∵a=3，b=4，c=5，∴F1〔﹣5，0〕，F2〔5，0〕，|PF1|﹣|PF2|=2a=6，|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．应选D．二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分．把答案填写在题中横线上〕13．〔5分〕假设x，y∈〔0，+∞〕，且x+4y=1，那么+的最小值为9．【解答】解：x，y∈〔0，+∞〕，且x+4y=1，+=〔x+4y〕〔+〕=1+4+ +≥5+2=9，当且仅当x=2y=时，等号成立，+的最小值为9．故答案为：9．14．〔5分〕设x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图〔阴影局部〕：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A〔3，0〕时，直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B〔1，2〕，代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，故﹣3≤z≤3，故答案为：[﹣3，3]．15．〔5分〕抛物线C：y2=2px〔p＞0〕，过焦点F且斜率为k〔k＞0〕的直线与C相交于A、B两点，假设=3，那么k=．【解答】解：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BC⊥AM，垂足为C，设||=m，||=3m，那么由抛物的定得|AM|=3m，|BN|=m，∴| |=4m，| |=2m，∴∠BAC=60°，于是直l的斜角60°，斜率k=故答案：．16．〔5分〕假设C：mx2+ny2=1〔m＞0，n＞0，m≠n〕，与直L：x+y+1=0交于A、B两点，原点和段AB中点的直的斜率，=．【解答】解：由直x+y+1=0，可得y=x1代入mx2+ny2=1得：〔m+n〕x2+2nx+n+1=0，A、B的坐〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，有：x1+x2=，y1+y2=1x11x2=2〔x1+x2〕=，∴M的坐：〔，〕，∴0M的斜率k==故答案：．三、解答：〔本共6小，共70分，解答写出文字明，明程或演算步.〕．〔10分〕命2＜c，和命q：?x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q真，p∧q假，17p：c求数c的取范．【解答】〔本分12分〕解：由不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命P：0＜c＜1，∴命￢P：c≤0或c≥1，⋯〔3分〕又由〔4c〕24＜0，得，得命q：，∴命￢q：c或c，⋯〔6分〕∵p∨q真，p∧q假，∴由知：p和q必有一个真一个假．⋯〔8分〕当p真q假：，当q真p假：．⋯〔10分〕上：或，故c的取范是〔，0]∪[，1〕．⋯〔12分〕．18．〔12分〕双曲E的中心在原点，焦点在坐上，离心率e=，且双曲点P 〔2，3〕．求双曲E的方程．【解答】解：由双曲离心率e=，，，当焦点在y，双曲的方程=λ代入点P〔2，3〕，解得，λ=，故双曲的方程=1，当焦点在x，双曲的方程=λ，代入点P〔2，3〕，解得，λ=7，舍．故双曲的方程：=1．19．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C的分a，b，c，cosA=，cosB=．〔1〕求C；〔2〕假设c=5，求△ABC的面．【解答】〔本分10分〕解：〔1〕∵cosA=，sinA=，〔1分〕∵cosB=．∴sinB=．〔2分〕cosC=cos〔A+B〕=sinAsinBcosAcosB=，〔4分〕C=．〔5分〕〔2〕∵，〔6分〕∴可解得a=3．〔7分〕故S=acsinB=．〔10分〕20．〔12分〕在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n n+1〔n∈N*〕，数列{a n}的前n和S n．〔1〕明：数列{a n n}是等比数列，并求数列{a n}的通公式；〔2〕求S n．【解答】解：〔1〕明：a1=2，a n+1=2a n n+1，可得a n+1〔n+1〕=2a n2n=2〔a n n〕，即有数列{a n n}是首1，公比2的等比数列；且有a n n=2n﹣1，即a n=n+2n﹣1；〔2〕S n=〔1+2+⋯+n〕+〔1+2+⋯+2n﹣1〕n〔n+1〕+n〔n+1〕+2n1．21．〔12分〕在四棱V ABCD中，底面ABCD是正方形，面VAD是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD．〔1〕明AB⊥平面VAD；〔2〕求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦．【解答】证明：〔1〕∵平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD〔2〕取VD中点E，连接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE=AD，∵AB⊥面VAD，AE，VD?平面VAD，∴AB⊥VD，AB⊥AE，∴AE⊥VD，AB⊥VD，∵AB∩AE=A，且AB，AE?平面ABE，∴VD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，∴BE⊥VD，∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．RT△ABE中，tan∠AEB==，cos∠AEB=．∴面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值为．22．〔12分〕椭圆C：9x2+y2=m2〔m＞0〕，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．〔1〕证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；〔2〕假设l过点〔，m〕，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？假设能，求此时l的斜率；假设不能，说明理由．【解答】解：〔1〕设直线l：y=kx+b，〔k≠0，b≠0〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x M，y M〕，y=kx+b代入9x2+y2=m2〔m＞0〕，得〔k2+9〕x2+2kbx+b2﹣m2=0，那么判别式△=4k2b2﹣4〔k2+9〕〔b2﹣m2〕＞0，那么x1+x2，那么M=，M M+b=，=x=y=kx于是直线OM的斜率k OM= =，k OM?k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．〔2〕四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点〔，m〕，∴由判别式△=4k2b2﹣4〔k2+9〕〔b2﹣m2〕＞0，k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，k2m2＞9〔m﹣m〕2﹣9m2，k2＞k2﹣6k，6k＞0，k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由〔1〕知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点〔，m〕的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+= x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1﹣或2，=4k=4+k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．。
高二上学期期末数学理试题 含答案
**第一学期高二级期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，选择最恰当的一项．1．若复数313iz i-=，则z =（ ） A.3i -+ B.3i -- C.3i + D.3i -2．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.{}1,0,1- 3．设c b a >>,则下列不等式一定成立的是 ( ) . A.a c b c > B.ab ac > C.111a b c<< D.a c b c ->-4．首项10a >的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若512S S =，则n S 取得最大值时n 的值为( ).A. 7B.8或9C. 8D.105．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）. ks5uA.充分而不必要B.必要而不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．某几何体的三视图如图表1所示,则该几何体的体积为( )A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+图表 17．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是（ ）A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-x C ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x8．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图表2所示，则△ABO 的面积的最小值为（ ）． A.6 B.12 C.24 D.18 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________. 10．到椭圆22184x y +=左焦点的距离与到定直线2x =距离相等的动点轨迹方程是 _____11．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是 .12．若执行图表3中的框图，输入13N =，则输出的数等于______13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为＿＿＿14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a .其中所有正确的结论的序号是 .图表 2图表 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本题满分12分)已知命题p ：0,x R ∃∈使得200210ax x -->成立.；命题q ：函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞上为减函数； （1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；( 2 ) 若命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.ks5u16．（本题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (1)求,a c 的值; (2)求sin()A B -的值.17．（本题满分14分）如图表4，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1DD 上的动点，F ，G 分别是1,BD BB 的中点. （1）求证：EF CF ⊥.（2）当点E 是棱1DD 上的中点时，求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值.（3）当二面角E CF D --达到最大时，求其余弦值.1图表 418．（本题满分14分）数列{}n a 中，()()1221,2,11nn n a a a a n N ++==-=+-∈且. （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .（3）若4n S t n >⋅-对于*n N ∈恒成立，求t 的取值范围.19．（本题满分14分）已知椭圆C 的方程为),0(12222>=+a y a x 其焦点在x 轴上，离心率22=e . (1)求该椭圆的标准方程：(2)设动点)(0,0y x P 满足2OP OM ON =+其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-,求证：20202y x +为定值； (3) 在(2)的条件下，问：是否存在两个定点A ，B ，使得||||PB PA +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．20．(本题满分14分)已知定义域为]1,0[的函数)(x f 同时满足： （1）对于任意)1,0(∈x ，总有0)(>x f ； （2）1)1(=f ；（3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+； （Ⅰ）证明)(x f 在]1,0[上为增函数；（Ⅱ）若对于任意]1,0[∈x ，总有24()4(2)()540f x a f x a --+-≥，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）比较)22221(132++++n n f 与1的大小，并给与证明；揭阳第一中学2013——2014学年度第一学期 高二级期末考试理科数学试题参考答案一、选择题：1~4 DDDB ； 5~8 CABB 二、填空题：9.2π； 10. 28y x =-； 11. 5-； 12. 1213； 13. 或2； 14. ②③三、解答题： 15. 解：（1）p ⌝：,x R ∀∈2210ax x --≤成立………………………………2分 0a ≥时 2210ax x --≤不恒成立……………………………………3分由00a <⎧⎨∆≤⎩得1a ≤-.………………………………………6分（2）命题q 为真⇔01a <<………………………………………………7分由命题“p 或q”为真，且“p 且q”为假，得命题p 、q 一真一假…………9分①当p 真q 假时，则101a a a >-⎧⎨≤≥⎩或得10a -<≤ 1a ≥或……………………10分②当p 假q 真时，则101a a ≤-⎧⎨<<⎩无解；…………………………………… 11分∴实数a 的取值范围是10a -<≤ 1a ≥或……………………………12分16. 解:(1)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+, ………………………………………………2分又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,……………………………………4分 解得3a =,3c =. …………………………………………………………………6分(2)在△ABC 中,sin 9B ==,……………………………………7分由正弦定理得sin sin 3a B Ab ==, …………………………………………9分 因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==………………………10分因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.………………………12分17.解：（1）方法一： F 为BD 的中点，CF BD ∴⊥………………1分 又1DD ⊥ 面ABCD ，1DD CF ∴⊥……………………………………2分1DD BD D ⋂= ，CF ⊥面11BB D D ……………………………………3分EF ⊂ 面11BB D D ，CF EF ∴⊥……………………………………4分；方法二：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,1,0)C ,11(,,0)22F ,设(0,0,)(01)E m m ≤≤.……………………1分则11(,,0)22CF =- ,11(,,)22EF m =- …………………………………………2分110044CF EF ∴=-+= ………………………………………………………3分故CF EF ⊥……………………………………………………………………4分（2）方法一：连接1,A E AF .当点E 是棱1DD 上的中点时，因为G 为1BB 的中点，由正方体的性质知1//A E CG ks5u故1A EF ∠或其补角为异面直线EF 与CG 所成角.…………………………5分在Rt DEF中，EF ===……………………………6分 在11Rt A D E中，1A E ==………………………………………7分在1Rt A AF中，12A F ==……………………………………8分 故，在1Rt A EF中，2221111536cos 2A E EF A F A EF A E EF +-+-∠===⋅∴异面直线EF 与CG所成角的余弦值为15……9分； 方法二：1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………………6分设异面直线EF 与CG 所成角为θ，则cos cos ,EF CG θ=<>== ……………………………………8分∴异面直线EF 与CG9分 （3）方法一：CF ⊥ 面11BB D D ，,CF EF CF DF ∴⊥⊥………………10分 故EFD ∠为二面角E CF D --的平面角，………………………………11分 当E 与1D 重合时，二面角E CF D --达到最大.…………………………12分此时，11,22DF DD EF ===…………………………………………13分所以cos DF EFD EF ∠===，即当二面角E CF D --达到最大时其余弦值为……………………………………………………………………………14分 方法二：设(0,0,)(01)E m m ≤≤，面CEF 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n CF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得110220x y y mz ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩ 取1z =，则x y m ==，故(),,1n m m =……………………………………11分 面DCF 的一个法向量为()0,0,1v =…………………………………………12分设二面角E CF D --的大小为α，则由图可知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故cos α=，当cos α达到最小即1m =时，二面角E CF D --达到最大，此时cos 3α=……………………………………………………14分18.解：（1） ()()211nn n a a n N ++-=+-∈ 当n 为奇数时，()20n n a a n N ++-=∈，即2n n a a +=因为11a =，故当n 为奇数时，1n a =；…………………………1分 当n 为偶数时，()22n n a a n N ++-=∈，即()22n n a a n N ++=+∈22a = ，故22(1)22k a k k =+-=故当n 为偶数时，n a n =…………………………………………………………3分所以n a 的通项公式为1,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数……………………………………4分（2）由（1）可知，当n 为偶数时，2(2)4212141224n nn n n nS n ++=++++++=+=…………6分 当n 为奇数时，221(1)4(1)(1)1144n n n n n S S --+-+=+=+=………………8分故()221,44,4n n n S n nn ⎧+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数………………………………………………9分（3）若4n S t n >⋅-对于*n N ∈恒成立，由（2）可知①当n 为偶数时，即24>t n-44n n+⋅恒成立 不等式转化为24164n n t n++<24164121344n n n n n++=++≥+= ，当且仅当4n =时取等号故3t <……………………………………………………………………11分②当n 为奇数时，即2(1)>t n-44n +⋅恒成立 不等式转化为22174n n t n++<2217171144422n n n n n ++=++≥+ 当且仅当n =ks5u*n N ∈ ，故当3n =时2217843n n n ++=，当5n =时22171345n n n ++=取最小值为135故135t <………………………………………………………………13分 综上所述，t 的取值范围是135t <.……………………………………14分19. 解：(1)由22=e 得,2c a =又,22=b 所以,2222c c +=解得,2,2==a c故椭圆的标准方程为;12422=+y x ……………………………………3分(2)设),,(),,(2211y x N y x M 则由2OP OM ON =+得),(2),(),(221100y x y x y x +=所以,2,2210210y y y x x x +=+=…………………………………………5分因为M 、N 是椭圆12422=+y x 上，所以,42,4222222121=+=+y x y x ……………6分又设ON OM k k 、分别为直线OM 、ON 的斜率，由题意知，,212121-==⋅x x y y k k ON OM 即,022121=+y y x x ……………………………………8分故)44(2)44(22122212122212020y y y y x x x x y x +++++=+,20)(4)2(4)2(212122222121=+++++=y y x x y x y x即2022020=+y x （定值） ……………………………………………………10分(3)由(2)知点P 是椭圆1102022=+y x 上的点，…………………………12分因为,101020=-=c 所以该椭圆的左、右焦点)0,10()010(B A 、，-满足54||||=+PB PA 为定值.…………………………………………………………13分因此存在两个定点A ，B ，使得||||PB PA +为定值．……………………14分 20. 解：（I ）设1201x x ≤<≤，则()210,1x x -∈………………………………1分()210,1,()0,()0x f x f x x ∈>∴-> …………………………………………2分 212111211121()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x ∴-=-+-=-+-=->…………………………………………………………………………3分即21()()f x f x >，故()f x 在[]0,1上是增函数.…………………………………4分 （II ）因为()f x 在[]0,1上是增函数，则()(1)1f x f ≤=，故1()0f x -≥………5分 当()1f x =时，不等式化为010a ⋅+≥，显然a R ∈；…………………………6分当()1f x <时，不等式化为24()8()544()f x f x a f x -+≤-对于[]0,1x ∈恒成立.………………………………………………………………………………7分设[]24()8()511()144()41()f x f x y f x f x f x -+==-+≥--从而1a ≤…………………………………………………………………8分 综上所述，(],1a ∈-∞……………………………………………………9分（III ）令23411232222n n nT +=++++ ① 则3452112322222n n nT +=++++ ②……………………………………10分 由①-②得2345121111112222222n n n nT ++=+++++- …………………………11分即231111111112222222n n n n n n nT ++=++++-=--< …………………………13分由（I ）可知2341123()(1)12222n nf f +++++<= ……………………………14分ks5u。
高二上学期期末考试(理科)数学试卷-附带答案
高二上学期期末考试（理科）数学试卷-附带答案一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）不等式2x−1x+2≥3的解集为（ ） A ．{x |﹣2＜x ≤12}B ．{x |x ＞﹣2}C ．{x |﹣7≤x ＜﹣2}D ．{x |﹣7≤x ≤﹣2}2．（5分）已知p ：∀x ∈R ，（x +1）2＜（x +2）2；q ：∃x ∈R ，x ＝1﹣x 2，则（ ） A ．p 假q 假B ．p 假q 真C ．p 真q 真D ．p 真q 假3．（5分）若实数a ，b 满足ab ＝1（a ，b ＞0），则a +2b 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2√2D ．24．（5分）已知向量a →=(m +1，2)，b →=(1，m)，若a →与b →垂直，则实数m 的值为（ ） A ．﹣3B ．−13C ．13D ．15．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．当∠F 1PF 2最大时，求S △PF 1F 2=（ ） A ．12B ．√33C ．√3D ．2√336．（5分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且B ＝2A ，则c b−a的取值范围是（ ）A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（1，3）7．（5分）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（ ） A ．4B ．92C ．5D ．68．（5分）已知直线l ：y ＝kx +m （m ＜0）过双曲线C ：x 2a 2−y 22=1的左焦点F 1（﹣2，0），且与C 的渐近线平行，则l 的倾斜角为（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π49．（5分）“a +1＞b ﹣2”是a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣3ax +a 2﹣3（a ＜0），且不等式f （x ）＜4对任意x ∈[﹣3，3]恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−√7，√7)B ．（﹣4，0）C ．(−√7，0)D ．(−74，0)11．（5分）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA 1⊥面ABCD ，AA 1＝3，AB ＝4，CD ＝2，E 为弧A 1B 1的中点，则直线CE 与平面DEB 1所成角的正弦值为（ ）A ．√39921B ．√27321C ．2√4221D ．√422112．（5分）关于x 的方程2|x +a |＝e x 有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，l ﹣ln 2]D ．（1﹣ln 2，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若不等式ax 2+bx ﹣2＞0的解集为（﹣4，1），则a +b 等于 ．14．（5分）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若OC →=m OA →+2mOB →，AP →=λAB →则λ＝ ．15．（5分）公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 5，a 14成等比数列S 5=a 32，则a 10＝ ．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与不过坐标原点O 的直线l ：y ＝kx +m 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，若AB 、OM 的斜率之积为−34，则椭圆C 的离心率为 ． 三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知x ，y 满足的约束条件{5x +2y −18≤02x −y ≥0x +y −3≥0（1）求z 1＝9x ﹣4y 的最大值与最小值； （2）求z 2=x+2y+4x+2的取值范围． 18．（12分）已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx ． （1）求f(π6)的值；（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若f(A2)=1，a ＝2，求b +c 的取值范围．19．（12分）已知双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率e ＝2． （Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与该双曲线的一个焦点相同，点M 为抛物线上一点，且|MF |＝3，求点M 的坐标．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ，E ，F ，M 分别是PB ，CD ，PD 的中点． （1）证明：EF ∥平面P AD ；（2）求平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值．21．（12分）已知A 、B 是椭圆x 24+y 2=1上两点，且OA →⋅OB →=0．（O 为坐标原点）（1）求证：1|OA|2+1|OB|2为定值，并求△AOB 面积的最大值与最小值；（2）过O 作OH ⊥AB 于H ，求点H 的轨迹方程．22．（12分）已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1＝1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上．求数列{a n }、{b n }的通项公式．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．【解答】解：由2x−1x+2≥3得，2x−1x+2−3≥0即x+7x+2≤0解得，﹣7≤x ＜﹣2． 故选：C ．2．【解答】解：对于命题p ：∀x ∈R ，（x +1）2＜（x +2）2，当x ＝﹣2时，不等式（x +1）2＜（x +2）2不成立所以命题p 为假命题对于命题q ：∃x ∈R ，x ＝1﹣x 2，方程x 2+x ﹣1＝0的判别式Δ＝1+4＝5＞0，故方程有解，即∃x ∈R ，x ＝1﹣x 2，故命题q 为真命题． 所以p 假q 真． 故选：B ．3．【解答】解：因为ab ＝1（a ，b ＞0），所以a +2b ≥2√2ab =2√2 当且仅当a ＝2b 且ab ＝1即b =√22，a =√2时取等号 所以a +2b 的最小值为2√2． 故选：C ．4．【解答】解：已知向量a →=(m +1，2)，b →=(1，m)，若a →与b →垂直 故a →⋅b →=m +1+2m =0，故m =−13． 故选：B ．5．【解答】解：由椭圆的性质可知当点P 位于椭圆的上下顶点时，∠F 1PF 2最大由椭圆C ：x 24+y 23=1，可得|OP |=√3，|F 1F 2|＝2c ＝2√4−3=2所以S △PF 1F 2=12|OP |•|F 1F 2|=12×√3×2=√3． 故选：C ．6．【解答】解：由正弦定理可知c b−a=sinC sinB−sinA=sin(B+A)sinB−sinA=sin3A sin2A−sinA=2sin3A 2cos 3A 22cos 3A 2sinA 2=sin3A2sinA 2=sin A 2cosA+2cos 2A 2sinA 2sinA2=2cos A +1∵A +B +C ＝180°，B ＝2A∴3A +C ＝180°，A ＝60°−C 3＜60° ∴0＜A ＜60° ∴12＜cos A ＜1则2＜2cos A +1＜3． 故c b−a的取值范围是：（2，3）．故选：C ．7．【解答】解：∵F （1，0），根据题意设y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y =k(x −1)y 2=4x ，可得k 2x 2﹣（2k +4）x +k 2＝0∴{x 1+x 2=2k+4k2x 1x 2=1，又|AF |＝2|BF |∴1+x 1＝2（1+x 2） ∴x 1＝1+2x 2，又x 1x 2＝1 ∴x 2=12，x 1＝2∴|AB |＝p +x 1+x 2＝2+2+12=92故选：B ．8．【解答】解：设l 的倾斜角为α，α∈[0，π）． 由题意可得k =−ba ，（﹣2）2＝a 2+2，b 2＝2，a ，b ＞0 解得a =√2=b∴k ＝tan α＝﹣1，α∈[0，π）． ∴α=3π4 故选：D ．9．【解答】解：由a +1＞b ﹣2，可得a ＞b ﹣3由a ＞b ﹣3不能够推出a ＞b ，故“a +1＞b ﹣2”是“a ＞b ”的不充分条件 由a ＞b ，可推出a ＞b ﹣3成立，故“a +1”＞b ﹣2”是a ＞b ”的必要条件 综上“a +1＞b ﹣2”是“a ＞b ”的必要不充分条件 故选：B ．10．【解答】解：由不等式f （x ）＜4对任意x ∈[﹣3，3]恒成立 即ax 2﹣3ax +a 2﹣7＜0对任意x ∈[﹣3，3]恒成立 ∵a ＜0，对称轴x =32∈[﹣3，3] ∴只需x =32＜0即可可得a ×94−32×3a +a 2−7＜0． 即（4a +7）（a ﹣4）＜0 解得−74＜a ＜4 ∴−74＜a ＜0． 故选：D ．11．【解答】解：因为AA 1⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AA 1⊥AB由题意可以点A 为原点，AB 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示则A （0，0，0），B （0，4，0），C （0，3，0），D （0，1，0），A 1（0，0，3） B 1（0，4，3），C 1（0，3，3），D 1（0，1，3） 又因为E 为A 1B 1的中点，则E （2，2，3）则B 1E →=(2，−2，0)，B 1D →=（0，﹣3，﹣3），CE →=(2，−1，3) 设平面DEB 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{B 1E →⋅n →=2x −2y =0B 1D →⋅n →=−3y −3z =0令x ＝1，则y ＝1，z ＝﹣1，则n →=(1，1，−1) 设直线CE 与平面DE B 1所成角为θ 则sinθ=|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →||n →|=2√14×√3=√4221． 故选：D ．12．【解答】解：由已知有方程2|x+a|＝e x有三个不同的实数解可转化为y＝|x+a|的图象与y=12ex的图象有三个交点设直线y＝x+a的图象与y=12e x相切于点（x0，y0）因为y′=12e x所以{ y 0=x 0+a y 0=12e x 012e x=1解得：{x 0=ln2y 0=1a =1−ln2 要使y ＝|x +a |的图象与y =12e x 的图象有三个交点 则需a ＞1﹣ln 2即实数a 的取值范围是（1﹣ln 2，+∞） 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【解答】解：∵不等式ax 2+bx ﹣2＞0的解集为（﹣4，1） ∴﹣4和1是ax 2+bx ﹣2＝0的两个根 即{−4+1=−ba −4×1=−2a解得{a =12b =32； ∴a +b =12+32=2． 故答案为：2．14．【解答】解：根据条件知，OP →与OC →共线； ∵AP →=λAB →；∴OP →−OA →=λ(OB →−OA →)； ∴OP →=(1−λ)OA →+λOB →； 又OC →=m OA →+2mOB →； ∴λ＝2（1﹣λ）； ∴λ=23． 故答案为：23．15．【解答】解：设数列的公差为d ，（d ≠0） ∵S 5＝a 32，得：5a 3＝a 32 ∴a 3＝0或a 3＝5；∵a 2，a 5，a 14成等比数列 ∴a 52＝a 2•a 14∴（a 3+2d ）2＝（a 3﹣d ）（a 3+11d ）若a 3＝0，则可得4d 2＝﹣11d 2即d ＝0不符合题意 若a 3＝5，则可得（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ） 解可得d ＝0（舍）或d ＝2 ∴a 10＝a 3+7d ＝5+7×2＝19 故答案为：19．16．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．线段AB 的中点M （x 0，y 0）． ∵x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1 相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0把x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，y 1−y 2x 1−x 2=k 代入可得：2x 0a 2+2y 0k b 2=0又y 0x 0•k =−34，∴1a 2−34b 2=0，解得b 2a 2=34． ∴e =√1−b 2a2=12．故答案为：12．三．解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）由z 1＝9x ﹣4y ，得y =94x −14z 1 作出约束条件{5x +2y −18≤02x −y ≥0x +y −3≥0对应的可行域（阴影部分）平移直线y =94x −14z 1，由平移可知当直线y =94x −14z 1经过点C 时，直线y =94x −14z 1的截距最小，此时z 取得最大值 由{x +y −3=05x +2y −18=0，解得C （4，﹣1）． 将C （4，﹣1）的坐标代入z 1＝9x ﹣4y ，得z ＝40 z 1＝9x ﹣4y 的最大值为：40． 由{x +y −3=02x −y =0解得B （1，2）将B （1，2）的坐标代入z 1＝9x ﹣4y ，得z ＝1 即目标函数z ＝9x ﹣4y 的最小值为1． （2）z 2=x+2y+4x+2=1+2•y+1x+2，所求z 2的取值范围． 就是P （﹣2，﹣1）与可行域内的点连线的斜率的2倍加1的范围 K PC ＝0．由{5x +2y −18=02x −y =0解得A （2，4），K P A =4+12+2=54 ∴z 2的范围是：[1，72]．18．【解答】解：（1）f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx =sin(π4+x)cos(π4+x)+√3sinxcosx =12sin(π2+2x)+√32sin2x=12cos2x +√32sin2x=sin(2x +π6) 所以f(π6)=sin(2×π6+π6) =sin π2 ＝1；（2）f(A2)=sin(A +π6)=1 在锐角三角形中0＜A ＜π2所以π6＜A +π6＜2π3故A +π6=π2，可得A =π3 因为a ＝2，由正弦定理bsinB=c sinC=a sinA=√32=4√33所以b +c =4√33(sinB +sinC) =4√33[sinB +sin(2π3−B)] =4√33(sinB +√32cosB +12sinB) =4√33(32sinB +√32cosB) =4sin(B +π6) 又B +C =2π3，及B ，C ∈(0，π2) 所以B ∈(π6，π2) 所以B +π6∈(π3，2π3) 则b +c =4sin(B +π6)∈(2√3，4]．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1又双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率e ＝2 则a ＝1，c ＝2 即b 2＝c 2﹣a 2＝3即双曲线方程为x 2−y 23=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F （2，0） 则p ＝4即抛物线的方程为y 2＝8x 设点M 的坐标为（x 0，y 0） 又|MF |＝3 则x 0+2＝3则x 0＝1，y 0=±2√2即点M 的坐标为(1，2√2)或（1，﹣2√2）．20．【解答】（1）证明：取P A 的中点N ，连接EN ，DN ，如图所示： 因为E 是PB 的中点，所以EN ∥AB ，且EN =12AB又因为四边形ABCD 为正方形，F 是CD 的中点，所以EN ∥DF ，且EN ＝DF 所以四边形ENDF 为平行四边形，所以EF ∥DN因为EF ⊄平面P AD ，DN ⊂平面P AD ，所以EF ∥平面P AD ；（2）解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴 建立空间直角坐标系，如图所示：设AB ＝2，则E （1，0，1），F （1，2，0），P （0，0，2），D （0，2，0），M （0，1，1）； 所以EM →=(−1，1，0) MF →=(1，1，−1)，AF →=(1，2，0) 设平面AMF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则由m →⊥AF →，m →⊥MF →可得{x +2y =0x +y −z =0，令y ＝1，得m →=(−2，1，−1)设平面EMF 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则由n →⊥MF →，n →⊥EM →可得{a +b −c =0−a +b =0，令b ＝1，得n →=(1，1，2)则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√4+1+1×√1+1+4=−12因为两平面的夹角范围是[0，π2]所以平面AMF 与平面EMF 夹角的余弦值为12．21．【解答】证明：（1）设A （r 1cos θ，r 1sin θ），B （r 2cos （90°+θ），r 2sin （90°+θ）），即B （﹣r 2sin θ，r 2cos θ） 则r 12cos 2θ4+r 12sin 2θ=1，r 22sin 2θ4+r 22cos 2θ=1，即1r 12=cos 2θ4+sin 2θ，1r 22=sin 2θ4+cos 2θ故1|OA|2+1|OB|2=1r 12+1r 22=54△AOB 面积为S =12r 1r 2=2√4sin θ+17sin θcos θ+4cos θ∵4sin 4θ+17sin 2θcos 2θ+4cos 2θ＝（2sin 2θ+2cos 2θ）+9sin 2θcos 2θ=4+94sin 22θ ∴当sin2θ＝0时，S 取得最大值1，当sin2θ＝±1时，S 取值最小值45故△AOB 面积的最大值为1，最小值为45；（2）解：∵|OH ||AB |＝|OA ||OB | ∴1|OH|2=|AB|2|OA|2|OB|2=r 12+r 22r 12+r 22=1r 12+1r 22=54∴|OH|2=45故点H 的轨迹方程为x 2+y 2=45．22．【解答】解：∵a n 是s n 与2的等差中项，∴2a n ＝S n +2，即S n ＝2a n ﹣2． ∴当n ＝1时，a 1＝2a 1﹣2，解得a 1＝2．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（2a n ﹣2）﹣（2a n ﹣1﹣2） 化为a n ＝2a n ﹣1∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2，a n ＝2n ． ∵点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上． ∴b n ﹣b n +1+2＝0，即b n +1﹣b n ＝2∴数列{b n }是等差数列，首项为1，公差为2．∴b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．。
高二上学期期末数学试卷(理科)
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数：的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数得：，令即，根据得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的单调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2. 函数的图象在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数知，把代入得到切线的斜率，则切线方程为：，即．故选：C．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3. 已知，，，则向量与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，，，所以，所以，并且，，所以，，与的夹角为故选：C．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4. 已知椭圆的左焦点为，则A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，，，，故选：B．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m．本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5. 等于A. 1B.C. eD.【答案】C【解析】解：，，故选：C．由，可得，即可得出．本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6. 若函数在处有极大值，则A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A【解析】解：函数的导数为，由在处有极大值，即有，解得或3，若时，，解得或，由在处导数左正右负，取得极大值，若，，可得或1由在处导数左负右正，取得极小值．综上可得．故选：A．由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7. 函数的示意图是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，当时，可得，排除A；D当时，可得，时，．当x从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B；故选：C．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8. 若AB过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A的坐标则根据对称性得：，则面积．当最大时，面积最大，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其面积最大，则面积的最大值为：．故选：B．先设A的坐标则根据对称性得：，再表示出面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．9. 设函数的极大值为1，则函数的极小值为A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：，，令，解得，当或时，，当时，；故在，上是增函数，在上是减函数；故在处有极大值，解得在处有极小值，故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．10. 设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，为准线与x轴的交点，设过Q点的直线l方程为．与抛物线有公共点，方程组有解，可得有解．，即．，故选：C．根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．11. 已知函数x，若在区间内恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：x，在内恒成立，在内恒成立．设，时，，即在上是减少的，，，即a的取值范围是．故选：D．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，，，，，，，，，．故选：B．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．【答案】【解析】解：双曲线的，可得顶点为，渐近线方程为，即有顶点到渐近线的距离为．故答案为：．求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知函数的导函数为，且满足，则______．【答案】6【解析】解：令得故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15. 已知向量5，，1，，若平面ABC，则x的值是______．【答案】【解析】解：平面ABC，存在事实m，n，使得，，解得．故答案为：．由平面ABC，可得存在事实m，n，使得，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知抛物线C：的焦点F，，则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，，可得焦点为，准线为设P在抛物线准线l上的射影点为Q点，则由抛物线的定义，可知当P、Q、A点三点共线时，点P到点的距离与P到该抛物线焦点的距离之和最小，最小值为．故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数．求曲线在点处的切线的方程；Ⅱ直线L为曲线的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【答案】解：函数的导数为，可得曲线在点处的切线的斜率为，即有曲线在点处的切线的方程为，即为；Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率为，即有，即为，解得，，可得直线L的方程为及切点坐标为．【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m的方程，解方程可得m的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．求证：平面平面SAB；求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，平面平面分，平面平面ABCDAD，平面SAD，又平面SAD，，分，E是SA的中点，，，，，平面SAB，平面BED，平面平面分解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，，，，分设是平面BED的法向量，则，即，令，则，是平面BED的一个法向量．设是平面SBC的法向量，则，即，解得，令，则，是平面SBC的一个法向量分，平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为分【解析】证明平面平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB即可；建立空间直角坐标系，求出平面BED与平面SBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点且，M为抛物线弧AB上的动点．求抛物线的方程；求的最大值．【答案】解由条件知：，与联立，消去y，得，则由抛物线定义得．又因为，即，则抛物线的方程为；由知，且：，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得．由，得．与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为两直线间的距离为，故的最大值为．【解析】根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与联立，得，由根与系数的关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p的值，即可得抛物线的方程；设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20. 函数在处取得极值．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ，分，解得，当时，，分即，令0'/>，解得；分令，解得；分在处取得极小值，的增区间为，减区间为分Ⅱ在内有两个不同的零点，可转化为在内有两个不同的根，也可转化为与图象上有两个不同的交点，分由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，，分由题意得，即分当时，；当且时，；当时，显然或者举例：当，；由图象可知，，即分由可得分【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21. 已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k值，由得．设、，则而．要使以CD为直径的圆过点，当且仅当时，则，即．将式代入整理解得经验证，，使成立．综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E点，则，将它们联立消去，即可得出k的值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22. 设函数．求函数的单调区间；若对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，在R上是增函数；当时，令得若，则，从而在区间上是增函数；若，则，从而在区间上是减函数．由可知：当时，不恒成立，又当时，在点处取最大值，且，令得，故若对恒成立，则a的取值范围是．【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在点处取最大值，求出a的范围．本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
(word完整版)高二年级(理科)数学第一学期期末试卷(含),文档
高二年级第一学期期末考试一试卷数学〔理科〕考试时间： 120 分钟总分值 150 分1．“ x 1〞是“ x 2 3x 20〞的〔〕A. 充分不用要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不用要条件2 ．命题 p, q ，假设命题“p 〞与命题“ p q 〞都是真命题，那么〔〕A ． p 为真命题， q 为假命题B ． p 为假命题， q 为真命题C ． p ， q 均为真命题D ． p ， q 均为假命题3 . 设 M 是 椭 圆x 2y 2 1上的任意一点，假设 F 1,F 2是椭圆的两个焦点，那么94|MF 1 | |MF 2 | 等于〔〕A ． 2B ． 3C ． 4D ． 64． 命题“对任意 x ∈ R ，都有 x 2≥ 0〞的否认为 ()2A ．存在 x 0∈ R ，使得 x 0 <0B ．对任意 x ∈R ，都有 x 2<0C ．存在 x ∈ R ，使得 x 2 ≥0D ．不存在 x ∈ R ，使得 x 2<05 . 抛物线 y24x 的焦点到其准线的距离是〔〕A ． 4B ． 3C ． 2D ． 16 . 两个焦点坐标分别是 F 1 ( 5,0)， F 2 (5,0) ，离心率为5的双曲线方程是〔〕4x 2 y 2 1 x 2 y 2 1A ．3B ．345C ． x 2y 21D ． x 2y 2 17 . 以下各组向量平行的是( )A ． a (1,1, 2), b ( 3, 3, 6)B ． a (0,1, 0), b (1,0,1)C ． a(0,1,1), b(0, 2,1)D ． a(1, 0, 0), b(0, 0,1)uuur uuuruuur8 . 在空间四边形 OABC 中， OA ABCB 等于( )uuuruuur A ． OAB ． ABuuur uuurC ． OCD ． AC9 . 向量 a (2, 3,1)， b (1, 2, 0) ，那么 a b 等于 ( )A ． 1B ． 3C ． 3D ． 910 . 如图，在三棱锥A BCD 中， DA ， DB ， DC 两两A垂直，且 DBuuur uuurDC ，E 为BC 中点，那么 AE BC 等于( )A ． 3B ． 2DCC ． 1D． 0BE11 . 抛物线 y 28x 上一点 A 的横坐标为 2 ，那么点 A 到抛物线焦点的距离为〔〕A ． 2B ． 4C ． 6D ． 812． 正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， M 为侧面 ABB 1A 1 所在平面上的一个动点，且 M 到平面 ADD 1 A 1 的距离是 M 到直线 BC 距离的 2 倍，那么动点 M 的轨迹为 ( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆一、选择题 〔本大题共 12 小题 ,每题 5 分 ,共 60 分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项是吻合题目要求的 ,请把正确答案的代号填入答题卡中〕二、填空题〔本大题共5 小题，每题 4 分，共 20 分〕13 ．命题“假设 a，那么 a 1 〞的否命题是 _____________________ ．x 2215 ．点A( 2,0), B(3,0)uuur uuur x2，那么动点P 的轨迹方程，动点 P( x, y) 满足 AP BP是．16. 已知椭圆x2y21的左、右焦点分别为 F1,F2，点 P为椭圆上一点，且a2b2PF1 F2 30 ，PF2 F160 ，那么椭圆的离心率e 等于．高二年级第一学期期末考试一试卷答题卡数学〔理科〕考试时间： 120 分钟总分值 150 分学校：班级：姓名：总分：命题人：崇敬军一、选择题〔本大题共12 小题 ,每题 5分,共 60 分〕题号123456789101112答案二、填空题〔每题 4 分,共 20 分〕13．14.15．16.三、解答题〔本大题共5小题,共70分 .解同意写出文字说明,证明过程或演算步骤〕17、〔此题总分值10 分〕向量a(2,3, 1) ， b(2,1,3)，求以 a,b 为邻边的平行四边形的面积？18、〔此题总分值 15 分〕倾斜角为450的直线 L 经过抛物线y24x 的焦点，且与抛物线相交于 A,B 两点，求△ OAB的面积。
高二第一学期(理科)数学期末
高二第|一学期 (理科 )数学期末考试卷一．选择题1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是 ( )A ． (31 ,1 ,1 ) B ． (－1 ,－3 ,2 ) C ． (－21 ,23,－1 ) D ． (2 ,－3 ,－22 ) 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3 ,判断命题 "p ⌝〞、 "q ⌝〞、 "p q ∧〞、 "p q ∨〞为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、 "a ＞b ＞0”是 "ab ＜222b a +〞的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2 ,那么m 的值等于 ( ).A ．3 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、空间四边形OABC 中 ,c OC ，b OB ，a OA === ,点M 在OA 上 ,且OM =2MA ,N 为BC 中点 ,那么MN = ( )A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+ 6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1 ,那么点M 的纵坐标为 ( )A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0 ,那么该双曲线的离心率为 ( )54C. 538、假设不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,那么实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、),,2(),,1,1(t t b t t t a =--= ,那么||b a -的最|小值为( )A ．55 B ．555 C ．553 D ．51110、动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2| ,那么动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、P 是椭圆192522=+y x 上的一点 ,O 是坐标原点 ,F 是椭圆的左焦点且),(21OF OP OQ +=4||=OQ ,那么点P 到该椭圆左准线的距离为 ( )A.6 B.4 C.3 D.25二．填空题12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否认是13、假设双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ,过1F 的直线交左支于A 、B 两点 ,假设|AB| =5 ,那么△AF 2B的周长是 .14、假设)1,3,2(-=a ,)3,1,2(-=b ,那么b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：ABCA 1B 1C 1NM第19题图①设A 、B 为两个定点 ,k 为正常数 ,||||PA PB k += ,那么动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为 _________． 三答题16、 (此题总分值8分 )命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ,命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ,假设q p ,只有一个为真 ,求实数m 的取值范围．17、 (此题总分值8分 )棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1 ,试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值 . 18 (此题总分值8分 )(1 )双曲线的一条渐近线方程是x y 23-= ,焦距为132 ,求此双曲线的标准方程； (2 )求以双曲线221169y x -=的焦点为顶点 ,顶点为焦点的椭圆标准方程 .19、 (此题总分值10分 )如下图 ,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中 ,CA =CB =1 ,∠BCA =90° , 棱AA 1 =2 ,M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. (1 )求BN 的长；(2 )求cos<11,CB BA >的值； (3 )求证：A 1B ⊥C 1M .20、 (此题总分值10分 )如下图 ,在直角梯形ABCD 中 ,|AD |＝3 ,|AB |＝4 ,|BC |＝ 3 ,曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．(1 )建立适当的直角坐标系 ,求曲线段DE 的方程； (2 )过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交 ,且所得弦以C 为中点 ,如果能 ,求该弦所在的直线 的方程；假设不能 ,说明理由．21、 (此题总分值11分 )假设直线l ：0=++c my x 与抛物线x y 22=交于A 、B 两点 ,O 点是坐标原点 .(1)当m =－1,c =－2时 ,求证：OA ⊥OB ；(2)假设OA ⊥OB ,求证：直线l 恒过定点；并求出这个定点坐标 .(3)当OA ⊥OB 时 ,试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何 ?证明你的结论 .第19题图高二数学 (理科 )参考答案：1、C2、C3、A4、C5、B6、B7、B8、D9、C 10、A 11、D 12、01,2≠+-∈∀x x R x 13、18 14、56 15、②③ 16、p :0<m <31 q :0< m <15 p 真q 假 ,那么空集；p 假q 真 ,那么1531<≤m 故m 的取值范围为1531<≤m17、如图建立空间直角坐标系 ,11C A ＝ (－1 ,1 ,0 ) ,B A 1＝ (0 ,1 ,－1 )设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量 , 由 011=⋅B A n 可解得1n ＝ (1 ,1 ,1 )0111=⋅C A n 易知2n ＝ (0 ,0 ,1 ) ,所以 ,212121cos n n n n ⋅=33 所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值为33. 18、 (1 )19422=-y x 或14922=-x y ； (2 )125922=+y x . 19、如图 ,建立空间直角坐标系O -xyz .(1 )依题意得B (0 ,1 ,0 )、N (1 ,0 ,1 ) ∴|BN | =3)01()10()01(222=-+-+-.(2 )依题意得A 1 (1 ,0 ,2 )、B (0 ,1 ,0 )、C (0 ,0 ,0 )、B 1 (0 ,1 ,2 )∴1BA = (1 ,－1 ,2 ) ,1CB = (0 ,1 ,2 ) ,1BA ·1CB =3 ,|1BA | =6 ,|1CB |=5∴cos<1BA ,1CB 30101||||1111=⋅CB BA CB BA .(3 )证明：依题意 ,得C 1 (0 ,0 ,2 )、M (21,21 ,2 ) ,B A 1 = (－1 ,1 ,－2 ) , M C 1 = (21,21 ,0 ).∴B A 1·M C 1 =－2121+ +0 =0 ,∴B A 1⊥M C 1 ,∴A 1B ⊥C 1M .20、 (1 )以直线AB 为x 轴 ,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系 ,那么A (－2 ,0 ) ,B (2 ,0 ) ,C (2 , 3 ) ,D (－2 ,3 )．依题意 ,曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一局部．12,2,4|)||(|212===+=b c BD AD a ∴所求方程为)320,42(1121622≤≤≤≤-=+y x y x zy xD 1A 1D B 1C 1C BA(2 )设这样的弦存在 ,其方程为：22(2),(2)11612x y y k x y k x =-=-+=即将其代入得2222(34)16)16360k x k x k ++-+--= 设弦的端点为M (x 1 ,y 1 ) ,N (x 2 ,y 2 ) ,那么由212122162,4,4,2342x x k x x k k +-=+=∴-==+知解得∴弦MN 所在直线方程为y x =+验证得知 ,这时(4,0)M N 适合条件．故这样的直线存在 ,其方程为y x =+ 21、解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ,由⎩⎨⎧==++202x y c my x 得0222=++c my y 可知y 1 +y 2 =－2m y 1y 2 =2c ∴x 1 +x 2 =2m 2 -2c x 1x 2 = c 2, (1) 当m =－1,c =－2时 ,x 1x 2 +y 1y 2 =0 所以OA ⊥OB.(2) 当OA ⊥OB 时 ,x 1x 2 +y 1y 2 =0 于是c 2 +2c =0 ∴c =－2(c =0不合题意),此时 ,直线l ：02=-+my x 过定点(2,0).(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径 .),(2m c m D --而(m 2 -c +21)2－[(m 2 -c)2 +m 2 ] =c -41由(2)知c =－2∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离 .。
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高二理科数学第一学期期末考试
高二（理科）数学试题
本试卷共150分，120分钟完成，答案写在答题卷上。
第Ⅰ卷
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1、设集合{}{}
6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ，则Q P ⋂等于（ ）
A.{1，2}
B. {3，4}
C.{1}
D. {-2，-1，0，1，2} 2、一粒骰子，抛掷一次，奇数向上的概率是（ ） A.
21 B .61 C.32 D . 4
3
3、要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中
选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。
宜采用的抽样方法依次为（ ）
A ．①用随机抽样法，②用系统抽样法
B ．①用分层抽样法，②用随机抽样法
C ．①用系统抽样法，②用分层抽样法
D ．①②都用分层抽样法
4、若椭圆22
110036
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ） A ．4 B ．194 C ．94 D ．14
5、下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
A.x x f sin )(=
B.1)(+-=x x f
C.()
x x a a x f -+=
21)( D.x
x x f +-=22ln )( 6、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（ ） A.若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l B.若β⊥l 且βα//,则α⊥l . C.若β⊥l 且βα⊥,则α//l D. 若m =⋂βα且m l //,则α//l .
7、已知三角形的内角分别是A 、B 、C ，若命题:;P A B >命题:sin sin Q A B >，则P 是Q 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8、.如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n 个图形中 共有（ ）个顶点.
A ．(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. 2
n D. n
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题每小题5分，共30分；把答案填在答题卷中相应的横线上）
9、某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下：
甲：90 92 88 92 88 乙：94 86 88 90 92 则甲、乙两人成绩相比较，得出结论是 稳定． 10、在等差数列{a n }中，前15项的和S 15＝90，则a 8＝ 。
11、在条件02021x y y x ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≥⎩
下， 则3z x y =-的最大值是 。
12、某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．则这种汽车使用 年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）？ 13、如果上述程序运行的结果为S=132，那么
判断框中应填入 。
14、下列两道题任选一道题．．．．．做：(若两题都做，按（甲）题答案给分) （甲）直角三角形ABC 中(C 为直角),
CD ⊥AB,DE ⊥AC,DF ⊥BC,
则3AE BF AB CD
⋅⋅= 。
（乙）点P(x,y)为椭圆
19
252
2=+y x 上的动点, 则2x+y 的最大值为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
C
B
A
O
S
15、（本小题满分12分）
已知f (x)＝a ·b －1，其中向量a
，cosx ），b ＝（1，2cosx ）（x ∈R ） ⑴求f (x)的单调递增区间；
⑵在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A)＝2，a
，b ＝3，求边长c 的值。
16、（本小题满分14分）
数列{a n }是公比为q 的等比数列，a 1＝1，a n+2＝12
n n
a a ++ （n ∈N *） ⑴求{ a n }的通项公式；
⑵令b n ＝n a n ，求{b n }的前n 项和S n 。
17、（本小题满分14分）
如图,在三棱锥S-ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ，且△SAC 是正三角形, △ABC 是等腰直角三
角形，其中AC=CB=2a ，O 是AC 的中点. (1) 求证:SO ⊥AB ;
(2) 求二面角B-SA-C 的大小的正切值.
18、（本小题满分14分）
某工厂可以用两种不同原料生产同一种产品，若采用甲原料，每吨成本1000元，运费500元，
可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克。
现在预算每日总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？
19、（本小题满分14分）
如图，点A 、B 分别是椭圆
22
13620
x y +=的长轴的左、右端点，F 为椭圆的右焦点，直线PF 的
0y +-=且PA ⊥PF 。
⑴求直线PA 的方程；
⑵设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于│MB │，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
20. (本题满分12分)
已知()()2
1
1 ,01bx f x x a a ax +⎛⎫
=
≠-> ⎪⎝
⎭+，()()161log 2, 21f f =-= ⑴求函数()f x 的表达式；
⑵定义数列)](1[)]2(1)][1(1[n f f f a n ---= ，求数列{}n a 的通项；
⑶求证：对任意的*
n N ∈有4
1)2
1()2
1()2
1()2
1(2
2
32
22
1<
-++-+-+-n a a a a .。