高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第4讲 合情推理与演绎推理习题

2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第4讲 合情推理与演绎推理习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理 ( )A ．结论正确 B.大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确[答案] C[解析] 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B.2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①②正确，③④⑤⑥错误．3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝ ( )A ．28 B.76 C ．123 D ．199[答案] C[解析] 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝ ( )A.18B.19C.164 D ．127[答案] D[解析] 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1︰3，故V 1V 2＝127.5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 ( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n[答案] A[解析] 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．6．如图所示，一个质点在第一象限和坐标轴上运动，在第一秒钟内它由原点运动到点(0,1)，然后按图中所示在与x 轴、y 轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是 ( )A ．(44,25) B.(45,25) C ．(25,45) D ．(24,44)[答案] D[分析] 归纳出质点到达点(n ，n )处时，移动的单位长度及方向．[解析] 质点到达点(1,1)处，走过的单位长度是2，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反；质点到达点(2,2)处，走过的单位长度是6＝2＋4，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；质点到达点(3,3)处，走过的单位长度是12＝2＋4＋6，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反；质点到达点(4,4)处，走过的单位长度是20＝2＋4＋6＋8，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；…… 猜想：质点到达点(n ，n )处，走过的单位长度是2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)，且n 为偶数时，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；n 为奇数时，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反．所以2 000秒后是指该质点到达点(44,44)后，继续移动了20个单位，由图中规律可得该质点沿与x 轴相反的方向前进了20个单位，即该质点所处位置的坐标是(24,44)．二、填空题7．观察下列等式：13＋23＝1；73＋83＋103＋113＝12；163＋173＋193＋203＋223＋233＝39；…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________.(最后结果用m ，n 表示)[答案] m 2－n 2[解析] 将13＋23＝1变为3×0＋13＋3×1－13＝12－02；将73＋83＋103＋113＝12变为3×2＋13＋3×2＋23＋3×4－23＋3×4－13＝42－22；将163＋173＋193＋203＋223＋233＝39变为3×5＋13＋3×5＋23＋3×7－23＋3×7－13＋3×8－23＋3×8－13＝82－52，所以3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2. 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.[答案]T 8T 4，T 12T 8[解析] 对于等比数列，通过类比，在等比数列{b n }中前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 9．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形.[答案] 28[解析] 设第n 个图中小正方形个数为a n ，则a 1＝3，a 2＝a 1＋3＝6，a 3＝a 2＋4＝10，a 4＝a 3＋5＝15，a 5＝a 4＋6＝21，a 6＝a 5＋7＝28. 10．如图所示，点P 在已知三角形ABC 的内部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P 关于△ABC 的面积坐标，其中μ＝△PBC 的面积△ABC 的面积，υ＝△APC 的面积△ABC 的面积，ω＝△ABP 的面积△ABC 的面积；若点Q满足BQ →＝13BC →＋12BA →，则点Q 关于△ABC 的面积坐标为________.[答案] (12，16，13)[解析] 由点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →可知Q 到BC ，AC ，AB 三边的距离分别是三边相应高的12，16，13，所以S △QBC ＝12s ，S △AQC ＝16s ，S △AQB ＝13s (s 为△ABC 的面积)．故点Q 关于△ABC 的面积坐标为(12，16，13)．三、解答题11．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . [证明] ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，∴sin A ＞sin(π2－B )＝cos B ，同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [答案] (1)34 (2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34[解析] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.B 组 能力提升1．(2015·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第 ( )A ．22项 B.23项 C ．24项 D ．25项[答案] C[解析] 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．故选C.2．(2015·福建漳州八校联考)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝ ( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 本题主要考查类比推理，球的体积与表面积．设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________.[答案] 341[解析] 边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，…，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×8＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－(27＋2×8×92)＝341，故所求总数为341.4．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c .若a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0，求证： (1)a ＞0且－2＜b a＜－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． [证明] (1)∵f (0)＞0，f (1)＞0， ∴c ＞0,3a ＋2b ＋c ＞0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a ＞c ＞0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b ＜0且2a ＋b ＞0， ∴－2＜b a＜－1.(2)方法一：∵抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为(－b 3a ，3ac －b 23a )，－2＜ba＜－1，∴13＜－b 3a ＜23.又∵f (0)＞0，f (1)＞0，而f (－b 3a )＝－a 2＋c 2－ac 3a＜0，∴方程f (x )＝0在区间(0，－b 3a )与(－b 3a，1)内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．方法二：∵f (0)＞0，f (1)＞0， 而f (12)＝34a ＋b ＋c ＝－14a ＜0，∴抛物线与x 轴的两个交点落在区间(0,1)内， 即方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． 方法三：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )＞0， ∴方程f (x )＝0有两个实根．设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2b 3a＞0，x 1x 2＝c3a ＞0，故两根为正．又∵(x 1－1)＋(x 2－1)＝－2b3a－2＜0，(x 1－1)(x 2－1)＝3a ＋2b ＋c3a ＞0，∴两根均小于1，命题得证．5．如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意三角形DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[解析] (1)因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角．证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 因为SBCC 1B 1＝PN ·CC 1，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1， 所以S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1cos α.。