八年级数学第2讲.判别式与求根公式.提高班.学生版.doc
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
八年级数学第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.学生版
三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短漫画释义满分晋级2倍长中线 与截长补短定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．知识互联网例题精讲思路导航题型一：倍长中线ABD【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．ABQPMDC BA典题精练题型二：截长补短EDCBAFE D CB A MED BED C B AA定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．D CB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=．典题精练思路导航例题精讲【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【例8】 已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．⑴如图1，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，有BM +DN =MN ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；⑵当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证D CBA明．DC B A训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE ．思维拓展训练(选讲)F E D CB A CED B A题型一 倍长中线 课后演练【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA题型二 截长补短 课后演练【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )NEB M A D【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：AC CD AB +=． 复习巩固C【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .F EDCB A第十五种品格：创新巧问巧答从前，有个有智慧的国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。
八年级数学第2讲.判别式与求根公式.提高班.教师版.docx
2一元二次方程的判别式与求根公式满分晋级阶梯方程 10 级判别式与求根公式方程 11 级解特殊复杂方程方程 12 级特殊根问题漫画释义知识互联网寒假班第二讲春季班第七讲春季班第八讲判断风波1题型切片题型切片（两个）对应题目公式法解一元二次方程例 1；例 2；演练 1；演练 2；题型例 3；例 4；演练 3；例 5；例 6；演练 4；演练 5；目标一元二次方程的判别式例 7．编写思路本讲内容的思路把公式法和判别式放在一起，目的是让学生认识到这部分知识的联系，能快速掌握判别式和求根公式。
接下来例题首先要训练用公式法解方程，还补充了一些题目，同学们要自己判断用那种方法简单，训练学生学到知识的同时还要灵活运用，因为中考所有题不可能指出来每道题的方法，同学们要自己判断。
接下来的例题中针对不同的题型进行练习，探究总结了判别式的用法，基本上包含了所有的出题类型。
本讲的最后一部分是2017 年东城区的期中统考原题，此题不仅练习到判别式的用法，还用到了因式分解法解含参方程，综合性较强，难度不算大，适合提高班使用．2模块一公式法解一元二次方程知识导航定义示例剖析公式法的一般步骤：解方程： x23x10①把一元二次方程化为一般式；解： a 1 ，b3，c1②确定 a，b ，c 的值； b 24ac324 1 150③代入 b24ac 中计算其值，判断方程是否有实x b b24ac3 5 3 5数根；2a212④若 b 24ac ≥0 ，代入求根公式求值；否则，原∴ x135，x235方程无实数根．22（先计算 b24ac 减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）夯实基础【例 1】用公式法解方程：⑴ x22x 2 0 ；⑵ 3x2 6 x 1 ；⑶ 3x 1 2 x2；⑷ x 1 x 1 2 2 x ；⑸ x 26x140；⑹323 x+2=0⑺x222x bx+2b +1=0【解析】⑴ a1，b 2 ，c 2 ， b 24ac2412120 ，2∴x1，221213．22⑵ a 3 ，b 6 ，c 1 ， b 24ac6431180 ，∴ x16 3 2，x2 6 3 2 ．6262⑶ a 2 ，b 3 ，c 1 ， b4ac 3421170 ，∴x1317， x231744．1 ， b22⑷ a 1，b 2 2 ，c4ac22411120 ，∴ x12 3 ，x223⑸ =200 ，无实根3⑹ = 15 0 ，无实根⑺ = 7b 2 4 0 ，无实根能力提升【例 2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、 配方法、 公式法和因式分解法． 请选择你认为适当的方法解这个方程．2； ② (x －1) 222 －2x=4．① x －3x+1=0 =3； ③ x －3x=0；④ x【解析】 ① 适合公式法， x 2－3x+1=0 ，∵ a=1， b=－3， c=1， ∴ b 2－4ac=9－4=5 ＞ 0，3+ 5x 2 352 =∴ x 1 =，2② 适合直接开平方法，(x －1) 2－± 3 ，x 1 =1+ 3 ， x 2 =1 3=3 ，x 1=③ 适合因式分解法， x 2-3x=0 ，因式分解得： x(x-3)=0，解得： x 1=0，x 2=3； ④ 适合配方法， x 2－2x=4， x 2－2x+1=4+1=5 ，即 (x －1)2 －±5，=5，开方得： x 1= x 1 =1+ 5 ， x 2 =1 5模块二 一元二次方程根的判别式知识导航定 义示例剖析设一元二次方程为 ax 2 bx c 0(a0) ，其根的 解方程： x 23x 3 0判别式为：b 2 4ac ，则解：b 22方程 ax 2bx c 0(a 0) 有两个不①4ac34 1 3 3 0 ，相等的实数根 x 1,2bb 2 4ac所以原方程无实数根．2a ．② 0 方程 ax 2bx c 0( a 0) 有两个相等的实数根x 1 x 2b ．22 a③ 0bx c0( a 0) 没有实数方程 ax根．4夯实基础【例 3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 7 x 2x 1 0⑵ 9 x 2 4 3x 1⑶ x 2 7 x 15 0⑷ 2 x 23x 2 0⑸ x 2 2 3x 3⑹ x 2m 1 xm 0 （ m 为常数）2【解析】 ⑴0 ，有两个不等实根⑵ 强调先将方程化为一般形式，再运用 ，0 ，有两个相等实根⑶0 ，无实根⑷0 ，有两个不等实根，当 a ,b, c 中存在带根号题目时学生化简 易出错⑸0 ，有两个相等实根⑹m 2 1 0 ，方程有两个不等实根， 化简结果出现参数，学生难点在判断其与0 的关系．能力提升【例 4】 ⑴已知关于 x 的一元二次方程k 2x 22k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值1 范围为 ；⑵ 若关于 x 的方程 k 1 x2x1 0 有实根，则 k 的取值范围为 __________.4【解析】 ⑴ k1且 k ≠ 1 ， 易错点：二次项系数不为零4⑵ k ≥ 0 ，易错点：二次项系数可以为零【例 5】 ⑴ 已知 a 、 b 、 c 为 △ ABC 的三边，请判断关于x 的方程 ab x 22cxa b 0 根的情况．2⑵ 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边，且方程2 b c xa b ca0 有两个相等的实数x 根，试判断这个三角形的形状．【解析】 ⑴ ∵ a b ≠ 0∴ 方程为一元二次方程24 c a b c a b4c 2 4 a b ∵ a 0 ，b 0，c 0，a b c∴ c a b0 ，c a b 0∴0 ， ∴ 方程无实根 .24 a b c a 4 a 2 b 2c 2 ab bc ac⑵4 b c2222a b b ca c∵ 方程有两个相等实根，∴22a c20 ，即 2 a b b c5∴ a b b c a c 0 ，即 a b c∴△ ABC 为等边三角形【探究对象】学生一般会求出根的判别式，但不会比较其与0 的大小关系，故引导学生探索如何确定一元二次方程根的判别式的符号.【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法 .【探究方式】采用增加试题层次探究，所谓增加问题层次的探究，就是抓住一个问题的条件，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.【探究 1】根的判别式为常数24.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x22x 5 0 的根的情况 .分析：=22 4 1524 0 ，方程有两个不相等的实数根.【探究 2】根的判别式为 8m28.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x22mx m2 2 0 的根的情况 .分析： = 2 m 2m2 2 8m280 ，方程有两个不相等的实数根 .4 1【探究 3】根的判别式为 m2 +4m+7 .通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x2mx m 70 的根的情况 .分析：m2 4 1m 7 =m2 +4m+7=m+220 ，+3∴方程有两个不相等的实数根.【探究 4】根的判别式为 m2 +12m+4 .若 m 满足不等式10m 3 0，试讨论关于x 的方程 x2mx3m 1 0 的根的情况．分析：m2413m 1 =m2 +12m+4=m+120 ，+10 m+3∵ 10m 30 ，∴0 ，方程有两个不相等的实数根.【探究 5】根的判别式为 4 a24c2 . b已知 a ，b，c 是△ABC的三边，判断方程cx 2a b x c0 的根的情况 .2分析： 4 a b24c2 4 a b c a b c 6∵ a ，b，c 分别是三角形的三边，∴a b c，a c b∴ a b c 0 ，a b c0∴<0 ，方程无实数根.【探究 6】根的判别式为 4c2 4 ab .已知 a ，b 为直角三角形 ABC 的直角边， c 为斜边，请判断关于 x 的一元二次方程ax22cx b0根的情况．分析：2c 24c24ab 4ab直角三角形满足勾股定理 a 2b2c2∴4a24b 28ab4ab2a22b4ab 0∴方程有两个不相等的实数根.【探究 7】根的判别式什么时候需要分类讨论 .已知 a0，b a c ，判断关于 x 的一元二次方程ax 2bx c0的根的情况 .分析：①当 c0 时， a0 ， b a c ，从而b2a c 222， b4ac a c0 ，b24ac a20 c ≥ 0 ，即②当 c0时，由 a0， b a c a ，得 b0，0③当 c0时，由 a0，得 ac0 ，b24ac0 .综上可知，方程总有两个不等实根.注：其中探究 6 和探究 7 海淀统考中涉及过 .【例 6】已知关于 x 的方程 x2k 1 x2k20⑴求证：无论 k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ ABC 一边 a 3 ，另两边 b、 c 恰好是此方程的两根，求△ ABC 的周长．【解析】⑴k1222≥ 04 2k k 3∴无论 k 为何值，方程总有实根.⑵当 a 3 为底，b，c为腰时， b c∴ 方程有两个相等的实根∴0 ，即k320 ，k3此时方程为 x2 4 x 40，解得： x1x22∴△ ABC 的周长为3227当 a 3 为腰，则方程有一根为3将 x 3 代入方程，得k 4 ，方程为x25x60解得 x12，x2 3 ，∴△ ABC 的周长为2338 ，综上所述，△ ABC的周长为7 或 8．7真题赏析【例 7】已知：关于 x 的方程 kx22k 3 x k 3 0⑴求证：方程总有实数根；⑵当 k 取哪些整数时，关于x 的方程 kx22k 3 x k 3 0 的两个实数根均为负整数？（ 2017 东城期中）【解析】⑴2k 32，∵ 90 ，∴0 ，故此方程总有实根；4k k 3 9⑵方程可用因式分解法求解为：x 1 kx k 3 0 ,故x1 1 ， x 3 k312k k ∴ k 1 或 k38思维拓展训练（选讲）训练 1.选择合适的方法解下列方程．⑴ 3x212x12；⑵x23x40 0 ；⑶x 1x 51【解析】⑴ x1x2 2；⑵x18， x2 5 ；⑶ x13 5 ，x2 3 5训练 2.已知关于 x 的方程 x23x3m0 .4⑴如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.（西城期末）【解析】⑴ a 1，b 3 ，c 3m . 4b2 4 ac 32 4 13m9 3m .4∵该方程有两个不相等的实数根，∴9 3m 0 .解得 m 3 .∴m 的取值范围是m 3 .⑵ ∵ m 3 ，∴符合条件的最大整数是m 2 .此时方程为 x23x30 ，9 3m302解得x 33. 2∴方程的根为 x133， x233. 22训练 3.等腰△ ABC中， A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、b 、c ，已知a 3 ， b 和c是关于x的方程x2mx2 1 m0 的两个实数根，求△ABC的周长．2【解析】当 b c 时，方程有两个相等的实数根，则m2 4 2 1 m0 ，∴ m1 4 ，m2 2 ．2若 m4，原方程化为x24x40 ，则 x1x2 2 ，即b c 2 ，∴△ ABC 的周长为2237．若 m 2 ，原方程化为x2 2 x 1 0，则 x1x21，不合题意．当 a b 或a c 时，x3是方程的一个根，则 9 3m 2 1 m0 ，则 m22 ，25原方程化为 x222x210 ，解得 x1 3 ，x27 ，55737 ．5∴△ ABC 的周长为3355 937综上所述，△ ABC的周长为7或．训练 4. 已知a、b、c是三角形的边长，求证：方程【解析】∵ a、 b、 c 是三角形的边长，∴a 0，b ∴该方程是关于x 的一元二次方程，b2c2 a 22b2c2a2∵4b2c2b c 2b c2a2a2b2 x2b2c2a2 x c20 没有实数根．0 ，c 0 ， a b c ，a c b ，b c a ，2bc b2c2a22bcb c a b c a b c a b c a∴0 ，故原方程没有实数根．10实战演练知识模块一公式法解一元二次方程课后演练【演练 1】 用公式法解方程：⑴ 5x 27 x 2 0⑵ 2 x 2 3x 3 0【解析】 ⑴ x2， x 2 1 ．⑵ x 1333 ， x 2 3 33 ．1544【演练 2】 选择适当的方法解方程：⑴ x x 2x 0 ；⑵ x 2x 132 ；⑶ x x 12 1x ；【解析】 ⑴ x 11 ，x2 0 ；⑵ x 1 12 ，x 211；⑶ x 11，x 22 ；知识模块二一元二次方程根的判别式 课后演练【演练 3】 ⑴若关于 x 的方程 x 22x m 0 有两个相等的实数根，则m= __________ ；⑵ 若关于 x 的方程x 1 21k 无实根，则 k 的取值为 __________ ；【解析】 ⑴ m 1 ； ⑵ k1【演练 4】 如果关于 x 的一元二次方程a 1x 2 2bx c 1 x 2有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【解析】 将方程化成一般形式：a c x 22bx a c∵ a c ≠ 0 ，方程有两个相等实根， ∴ 4b 2 4 a 2 c 2即 a 2b 2c 2 ， ∴ 为直角三角形，选C.【演练 5】 已知关于 x 的一元二次方程3a 1 x 2 ax 1 0 有两个相等的实数根，求代数式4a 22a11的值 .a（海淀期中）【解析】 由已知，一元二次方程3a 1 x 2ax 1 0 的判别式为 0.4即 a 23a 1 0 .所以有 a 2 1 3a .代入 a 2 2a11 22a11 a1 a 21 3a3 .，得 aaaaaa11第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。
第2讲.判别式与求根公式.尖子班.学生版
方程12级 特殊根问题方程11级 解特殊复杂方程方程10级 判别式与求根公式判断风波漫画释义满分晋级阶梯2一元二次方程的 判别式与求根公式题型切片（两个）对应题目题型目标公式法解一元二次方程例1；例2；演练1；演练2；一元二次方程的判别式例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；例7；例8．定义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a b c，，的值；③代入24b ac-中计算其值，判断方程是否有实数根；解方程：2310x x-+=解：131a b c==-=，，()224341150b ac-=--⨯⨯=>()2354352212b b acxa--±-±-±===⨯知识导航模块一公式法解一元二次方程知识互联网题型切片④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）∴12353522x x +-==，【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航模块二 一元二次方程根的判别式【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【例7】 若关于x 的方程2420kx x +-=有实根，求k 的取值范围．能力提升【例8】 已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x -++=⑴求证：此方程总有两个实数根；⑵若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值； ⑶若此方程的两个实数根分别为x 1、x 2，求代数式()()()()33221212122125m x x m x x x x +-+++++的值．真题赏析知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶22330x x +-=．【演练2】 若关于x 的一元二次方程()222560m x x m m ++---=有一个根是0，则m =________，另一个根是________．知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练4】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值．【演练5】 设a b c ，，为一个ABC △的三条边长，方程()()()23204b c x a c x a c ++---=有两个相等的实数根，且 a b c ，，满足520a b c -+=． ⑴求证：ABC △是等腰三角形；⑵求:a b c :的值．实战演练第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。
第2讲.一元二次方程判别式与求根公式.(答案版)
方程12级 特殊根问题方程11级 解特殊复杂方程方程10级 判别式与求根公式判断风波漫画释义满分晋级阶梯2一元二次方程的 判别式与求根公式题型切片（两个） 对应题目题型目标公式法解一元二次方程例1；例2；演练1；演练2；一元二次方程的判别式例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；例7．本讲内容的思路把公式法和判别式放在一起，目的是让学生认识到这部分知识的联系，能快速掌握判别式和求根公式。
接下来例题首先要训练用公式法解方程，还补充了一些题目，同学们要自己判断用那种方法简单，训练学生学到知识的同时还要灵活运用，因为中考所有题不可能指出来每道题的方法，同学们要自己判断。
接下来的例题中针对不同的题型进行练习，探究总结了判别式的用法，基本上包含了所有的出题类型。
编写思路知识互联网题型切片本讲的最后一部分是2013年东城区的期中统考原题，此题不仅练习到判别式的用法，还用到了因式分解法解含参方程，综合性较强，难度不算大，适合提高班使用．定 义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式； ②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）解方程：2310x x -+= 解：131a b c ==-=，， ()224341150b ac -=--⨯⨯=>()2354352212b b ac x a --±-±-±===⨯∴12353522x x +-==，【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=；⑵ 2361x x -=； ⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=； ⑸26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x - ⑺ 22+2+1=0x bx b - 【解析】 ⑴ 122a b c ==-=-，，，()2242412120b ac -=--⨯⨯-=>，∴1221213x ±==±，． ⑵ 361a b c ==-=-，，，()()2246431180b ac -=--⨯⨯-=>，∴12632632x x +-==，． ⑶ 231a b c ===-，，，()2243421170b ac -=-⨯⨯-=>，∴1317x -+=，2317x --=． ⑷ 1221a b c ==-=-，，，()()22422411120b ac -=--⨯⨯-=>，夯实基础知识导航模块一 公式法解一元二次方程∴122323x x =+=-， ⑸200=∆-<，无实根 ⑹150=∆-<，无实根⑺2740=b ∆--<，无实根【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3； ③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4． 【解析】 ①适合公式法， x 2－3x +1=0，∵a =1，b =－3，c =1，∴b 2－4ac =9－4=5＞0，∴x 1=3+52，235=2x - ②适合直接开平方法，(x －1)2=3，x －1=±3，∴1=1+3x ，2=13x - ③适合因式分解法，x 2-3x =0，因式分解得：x (x -3)=0，解得：x 1=0，x 2=3； ④适合配方法，x 2－2x =4，x 2－2x +1=4+1=5，即(x －1)2=5，开方得：x －1=±5，∴1=1+5x ，2=15x -定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．知识导航模块二 一元二次方程根的判别式能力提升根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =- ⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数） 【解析】 ⑴ 0∆>，有两个不等实根⑵ 强调先将方程化为一般形式，再运用∆，0∆=，有两个相等实根 ⑶ 0∆<，无实根⑷ 0∆>，有两个不等实根，当,,a b c 中存在带根号题目时学生化简∆易出错 ⑸ 0∆=，有两个相等实根⑹ 210m ∆=+>，方程有两个不等实根，∆化简结果出现参数，学生难点在判断其与 0的关系．【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【解析】 ⑴14k >且1k ≠，易错点：二次项系数不为零⑵0k ≥，易错点：二次项系数可以为零【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【解析】 ⑴ ∵0a b +≠ ∴方程为一元二次方程 ()()()22444c a b c a b c a b ∆=-+=++-- ∵000a b c a b c >>>+>，，， ∴00c a b c a b ++>--<， ∴0∆<，∴方程无实根.能力提升夯实基础⑵ ()()()()2222444b c a b c a a b c ab bc ac∆=----=++---()()()2222a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ∵方程有两个相等实根，∴0∆=，即()()()22220a b b c a c ⎡⎤-+-+-=⎣⎦∴0a b b c a c -=-=-=，即a b c == ∴ABC △为等边三角形【探究对象】学生一般会求出根的判别式，但不会比较其与0的大小关系，故引导学生探索 如何确定一元二次方程根的判别式∆的符号.【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法.【探究方式】采用增加试题层次探究，所谓增加问题层次的探究，就是抓住一个问题的条件，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的. 【探究1】根的判别式∆为常数24.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程2250x x +-=的根的情况. 分析：()2=2415240∆-⨯⨯-=>，方程有两个不相等的实数根.【探究2】根的判别式∆为288m +.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程22220x mx m +--=的根的情况. 分析：()()222=2412880m m m ∆-⨯⨯--=+>，方程有两个不相等的实数根.【探究3】根的判别式∆为2+4+7m m .通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程270x mx m +--=的根的情况. 分析：()()222417=+4+7=+2+30m m m m m ∆=-⨯⨯-->，∴方程有两个不相等的实数根.【探究4】根的判别式∆为2+12+4m m .若m 满足不等式1030m +>，试讨论关于x 的方程2310x mx m +--=的根的情况．分析：()()2224131=+12+4=+1+10+30m m m m m m ∆=-⨯⨯-->，∵1030m +>，∴0∆>，方程有两个不相等的实数根.【探究5】根的判别式∆为()2244a b c --.已知a b c ，，是ABC △的三边，判断方程()220cx a b x c +-+=的根的情况. 分析：()()()22444a b c a b c a b c ∆=--=---+∵a b c ，，分别是三角形的三边， ∴a b c a c b -<+>，∴00a b c a b c --<-+>， ∴<0∆，方程无实数根.【探究6】根的判别式∆为244c ab -.已知a b ，为直角三角形ABC 的直角边，c 为斜边，请判断关于x 的一元二次方程220ax cx b -+=根的情况．分析：()222444c ab c ab ∆=--=-直角三角形满足勾股定理222a b c +=∴()22244842240a b ab ab a b ab ∆=+-+=-+> ∴方程有两个不相等的实数根.【探究7】根的判别式∆什么时候需要分类讨论.已知0a b a c >>+，，判断关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况. 分析：①当0c >时，0a >，b a c >+，从而()22b a c >+，()2240b ac a c --->，()2240b ac a c ->-≥，即0∆>②当0c =时，由0a >，b a c a >+=，得0b >，0∆> ③当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->. 综上可知，方程总有两个不等实根.注：其中探究6和探究7海淀统考中涉及过.【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】 ⑴ ()()()22142230k k k ∆=+--=-≥∴无论k 为何值，方程总有实根. ⑵ 当3a =为底，b c ，为腰时，b c = ∴方程有两个相等的实根∴0∆=，即()230k -=，3k =此时方程为2440x x -+=，解得：122x x == ∴ABC △的周长为3227++=当3a =为腰，则方程有一根为3将3x =代入方程，得4k =，方程为2560x x -+= 解得1223x x ==，，∴ABC △的周长为2338++=， 综上所述，ABC △的周长为7或8．【例7】 已知：关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？（2013东城期中）【解析】 ⑴()()223439k k k ∆=---=，∵90>，∴0∆>，故此方程总有实根；⑵方程可用因式分解法求解为：()()130x kx k ++-=,故11x =-，2331k x k k-==- ∴1k =-或3k =-真题赏析训练1. 选择合适的方法解下列方程．⑴ 231212x x -=-；⑵ 23400x x +-=；⑶ ()()151x x --= 【解析】 ⑴122x x ==； ⑵ 18x =-，25x =； ⑶ 123535x x =+=-，训练2. 已知关于x 的方程23304mx x ++=.⑴如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.（西城期末）【解析】 ⑴ 3134a b c m ===，，.2234341934mb ac m ∆=-=-⨯⨯=-.∵该方程有两个不相等的实数根， ∴930m ->. 解得3m <.∴m 的取值范围是3m <. ⑵ ∵3m <，∴符合条件的最大整数是2m =.此时方程为23302x x ++=， 9330m ∆=-=>解得 x 33-±=.∴方程的根为133x -+=，233x --=.训练3. 等腰ABC △中，A B C ∠∠∠、、的对边分别是a b c 、、，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC △的周长．【解析】 当b c =时，方程有两个相等的实数根，则214202m m ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，∴1242m m =-=，．若4m =-，原方程化为2440x x -+=，则122x x ==，即2b c ==， ∴ABC △的周长为2237++=．若2m =，原方程化为2210x x ++=，则121x x ==-，不合题意． 当a b =或a c =时，3x =是方程的一个根， 则193202m m ++-=，则225m =-，思维拓展训练（选讲）原方程化为22221055x x -+=，解得12735x x ==，， ∴ABC △的周长为7373355++=．综上所述，ABC △的周长为7或375．训练4. 已知a b c 、、是三角形的边长，求证：方程()2222220b x b c a x c ++-+=没有实数根．【解析】 ∵a b c 、、是三角形的边长，∴000a b c >>>，，，a b c a c b b c a +>+>+>，，，∴该方程是关于x 的一元二次方程，∵()2222224b c a b c ∆=+--()()22222222b c a bc b c a bc =+-++--()()2222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()()()b c a b c a b c a b c a =+++--+--∴0∆<，故原方程没有实数根．知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 用公式法解方程：⑴ 25720x x -+= ⑵ 22330x x +-=【解析】 ⑴ 125x =，21x =． ⑵ 1333x -+=，2333x --=．【演练2】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶ ()()121x x x -=-； 【解析】 ⑴ 1210x x =-=，； ⑵ 121211x x ==-，； ⑶ 1212x x ==-，；知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 ⑴ 若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m=__________；⑵ 若关于x 的方程()211x k +=-无实根，则k 的取值为__________； 【解析】 ⑴ 1m =-； ⑵ 1k >【演练4】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【解析】 将方程化成一般形式：()()220a c x bx a c +++-=∵0a c +≠，方程有两个相等实根，∴()222440b a c ∆=--= 即222a b c =+，∴为直角三角形，选C.【演练5】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式 2121a a a-++的值. （海淀期中）【解析】 由已知，一元二次方程()213104a x ax --+=的判别式为0. 即 2310a a -+=. 所以有213a a +=.代入2121a a a-++，得221113213a a a a a a a a a +-++=+===.实战演练第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教案1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容，本节课主要介绍了求一元二次方程的解的方法——公式法，以及判断一元二次方程根的情况的判别式。
这部分内容是整个初中数学中非常重要的一部分，是学生解决一元二次方程问题的重要工具。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一元二次方程的定义、性质等基础知识，对解一元二次方程有一定的了解。
但公式法求解一元二次方程是一种新的方法，学生需要理解和掌握。
同时，根的判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，学生需要理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解公式法的原理，掌握公式法求解一元二次方程的步骤；理解根的判别式的意义，掌握根的判别式的计算方法。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：公式法求解一元二次方程的步骤；根的判别式的计算方法。
2.难点：理解公式法的原理；根的判别式的意义。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。
教师引导学生通过自主学习，理解公式法的原理和步骤；通过合作交流，共同探讨根的判别式的意义和计算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生准备：笔记本、笔。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出一元二次方程，并提出解决问题的方法——公式法。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的定义。
操练（15分钟）教师引导学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，并判断根的情况。
巩固（10分钟）教师通过一些典型的问题，帮助学生巩固公式法求解一元二次方程的步骤和根的判别式的计算方法。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以判断一元二次方程的根的情况？激发学生的探究欲望。
17.3一元二次方程根的判别式(第2课时)(课件)八年级数学上册(沪教版)
4
m2 4m 4 m2 4
4m 8
例题1 当m取何值时，关于x的方程x2 (m 2)x 1 m2 1 0
4 （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
a 1,b m 2,c 1 m2 1 4
（1）当 4m 8 0,即m 2时，方程有两个不相等 的实数根。 （2）当 4m 8 0,即m 2时，方程有两个相等的 实数根。
解得 x1＝16，x2＝24.当 x1＝16 时，40－x＝24；当 x2＝24 时，40－x＝16.
∴两段的长度分别为 16 cm 和 24 cm.
(2)不能．理由：设剪成两段后其中一段为 x cm，则另一段为(40－x)cm.由题意，
得x42＋40－ 4 x2＝48.整理，得 x2－40x＋416＝0.Δ＝b2－4ac＝－64<0，
7．已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值．
(1)证明：∵关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0， ∴Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)解：∵x＝0是此方程的一个根， ∴把x＝0代入方程中，得到m(m＋1)＝0， ∴m＝0或m＝－1. (2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5. 把m＝0代入，得3m2＋3m＋5＝5； 把m＝－1代入，得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5， ∴(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值为5.
所以m 1 0,即m 1
根的判别式复习课课件
解决实际问题的题型与解析
总结词
将一元二次方程的根与实际问题相结合，解决实际问题。
详细描述
通过建立一元二次方程模型，将实际问题中的条件转化为数 学表达式。然后利用判别式判断方程的根的情况，选择合适 的解法求出方程的实根或虚根。最后将方程的解代入实际问 题中，得到实际问题的解。
与二次函数的关系
判别式与二次函数的开口方向
判别式Δ=b²−4ac可以决定二次函数的开口方向，当Δ>0时，抛物线开口向上； 当Δ<0时，抛物线开口向下。
判别式与二次函数的顶点
判别式Δ=b²−4ac可以表示二次函数的顶点的位置，当Δ>0时，顶点位于x轴下 方；当Δ<0时，顶点位于x轴上方。
与不等式的关系
总结词
求一元二次方程的实根或复根。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
根据判别式的值和方程的形式，利用公式法或因式分解法求出一元二次方程的实根或复根。当判别式 $Delta geq 0$时，利用公式$x = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$求出实根；当判别式$Delta < 0$时 ，利用共轭复数求出复根。
判别式与一元二次不等式的解
判别式Δ=b²−4ac可以用于判断一元二次不等式的解集，当Δ>0时，不等式的解集为两个区间；当Δ=0时，不等 式的解集为一个区间；当Δ<0时，不等式的解集为空集。
判别式与一元二次不等式的性质
判别式Δ=b²−4ac可以用于确定一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等。
Part
根的判别式复习课 PPT课件
• 判别式的定义与性质 • 判别式的应用 • 判别式与其他知识点的联系 • 判别式的解题技巧 • 判别式的常见题型与解析
八年级数学下一元二次方程根的判别式
A．7x2-x-1=0 B．x2+7x+15=0 C．x2+2x-3=0 D．x2-2x+1=0
3、若关于x方程x2-2x+m=0有两个 不相等的实数根，则m的取值范围 是.
4、当k 时，关于x的方程 x2-2(k+1)x+k2-2=0 无实数根.
（5） x2 2 2kx k 2 0
（6） m 2 x 2 mx 1 0
例2、分别求m的取何范围，使关于 x的方程x2-2x+m=0, ①有两个不相等的实数根？ ②有两个相等的实数根？ ③没有实数根？
变化：
改为“方程有实数根，求m的取值范围”
例3：
已知关于x的一元二次方程方程 (k+1)x2-2x-1=0,有两个不相等的实 数根,求k的取值范围.
温故而知新
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0 , b2 4ac 0)
的求根公式是
b b2 4ac x
2a
复 习：
用公式法求下列方程的根:
用公式法 解一元二 次方程的 一般步骤:
(1) x2+x=1 (2) x2+1= x (3) x2 2x 1
2
1)把方程化为一般形式
2)确定 a, b, c 的值
△=b2–4ac＞0 方程有两个不相等的实数根
△=b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根
△=b2–4ac＜0
说明： △=b2-4ac≥0
方程没有实数根 方程有实数根
例1、不解方程,判别下列方程的根的情况
(1) 2x2-3x-4=0 (2) 4y2+9=12y (3) 5(m2+1)=7m（4） 2 x2 4 3 x源自 2 25、若关于x的方程
求根公式是什么求根公式有什么意义
求根公式是什么求根公式有什么意义在我们初二的时候，就要开始学习更加复杂的数学公式了，你们知道是什么吗?没错，它就是求根公式了，店铺现在就带你们去了解一下求根公式是什么，还不知道的朋友们快点看过来哦。
求根公式是什么数学求根公式是：x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
所谓方程的根是方程左右两边相等的未知数的取值。
一元二次方程根和解不同，根可以相同，而解一定是不同的。
公式就是用数学符号表示各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子。
具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。
在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。
求根公式有什么意义首先，这个求根公式向我们展示了这样的一个事实：二次方程的实根是由其三个系数(二次项系数a、一次项系数b、常数项c)完全确定的，也就是说，一个二次方程的三个系数知道的话，那么这个方程的实根情况也就确定了，这是一个(二次方程的)“万能”求根公式。
它向我们展示了数学的抽象性、一般性和简洁美。
其次，这个公式包括了初中阶段所学过的全部运算：加、减、乘、除、乘方、开方。
其中，除法要求分母不为零，这个是满足的;但是开平方要求被开方数非负，这个要求并不一定总能满足，基于这个原因，就导致了有的方程有实数根，有的方程没有实数根。
这一个公式里面包含六种运算，在整个初中阶段，仅此一个。
第三，这个公式的本身就回答了解二次方程的三个问题：1)方程有没有实根?这个只需看开平方能够进行，也是上面所说的被开方数是否是非负，那么就只需计算Δ=b2-4ac的符号是否非负。
2)有实根时共有几个?当Δ≥0时有两个实根。
当Δ>0时，原二次方程有两个不相等的实根;当Δ=0时，原二次方程有两个相等的实根。
3)如何求出实根?这个问题的答案就是它本身啊!你看啊，一个公式就如此完整、完全、完善的回答了三个问题，难道这个公式不应该用perfect来概括嘛?实至名归啊!第四，这个公式给我们提示了二次方程求根的解题程序，这个就是计算机的算法的模型啊!1)将所给的方程化为标准形式ax2+bx+c=0 (a≠0)确定系数a、b、c。
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1
浙教版数学八年级下册《公式法及根的判别式》教学设计1一. 教材分析《公式法及根的判别式》是浙教版数学八年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握一元二次方程的公式法求解和根的判别式的应用。
教材通过引入一元二次方程的求解，让学生理解公式法的原理，并运用根的判别式来判断方程的根的情况。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于公式法的应用和根的判别式的理解还需要进一步的引导和讲解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握公式法和根的判别式的应用。
三. 教学目标1.理解公式法的原理，掌握一元二次方程的公式法求解。
2.理解根的判别式的含义，能够运用根的判别式判断方程的根的情况。
3.能够运用公式法和根的判别式解决实际问题。
四. 教学重难点1.公式法的原理和应用。
2.根的判别式的理解和应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解公式法的原理和根的判别式的含义，让学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生更好地理解和运用公式法和根的判别式。
3.练习法：通过布置相应的练习题，让学生巩固所学的知识。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，辅助讲解和展示教学内容。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的原理，引导学生理解一元二次方程的公式法求解过程。
同时，介绍根的判别式的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的例题，运用公式法和根的判别式进行求解。
教师引导学生注意观察和理解公式法求解的步骤和根的判别式的运用。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生更好地理解和掌握公式法和根的判别式。
八年级数学第2讲.判别式与求根公式.提高班.练习版
方程12级 特殊根问题方程11级 解特殊复杂方程方程10级 判别式与求根公式判断风波漫画释义满分晋级阶梯2一元二次方程的 判别式与求根公式题型切片（两个）对应题目题型目标公式法解一元二次方程例1；例2；演练1；演练2；一元二次方程的判别式例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；例7．定义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；解方程：2310x x-+=解：131a b c==-=，，知识导航模块一公式法解一元二次方程知识互联网题型切片②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）()224341150b ac -=--⨯⨯=>()2354352212b b ac x a --±-±-±===⨯∴12353522x x +-==，【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程． ①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 解方程：2330x x -+=解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航模块二 一元二次方程根的判别式【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根； ⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．能力提升【例7】 已知：关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？真题赏析知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 用公式法解方程：⑴ 25720x x -+= ⑵ 22330x x +-=【演练2】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶()()121x x x -=-；知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 ⑴ 若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m=__________；⑵ 若关于x 的方程()211x k +=-无实根，则k 的取值为__________；【演练4】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练5】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值．实战演练第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。
判别式与求根公式.学生版
定 义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式； ②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）解方程：2310x x -+= 解：131a b c ==-=，， ()224341150b ac -=--⨯⨯=>()2354352212b b ac x a --±-±-±===⨯∴12353522x x +-==，知识导航模块一 公式法解一元二次方程知识互联网一元二次方程的 判别式与求根公式【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．模块二 一元二次方程根的判别式能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【例7】 已知：关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？真题赏析能力提升知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 用公式法解方程：⑴ 25720x x -+= ⑵ 22330x x +-=【演练2】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶ ()()121x x x -=-；知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 ⑴ 若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m=__________；⑵ 若关于x 的方程()211x k +=-无实根，则k 的取值为__________；【演练4】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练5】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式 2121a a a-++的值．实战演练。
根的判别式及求根公式.2.2 公式法
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
公
用求根公式
式
解一元二次
法
方程的方法
课堂小结
求根公式
x b b2 4ac 2a
(b2－4ac≥0)
一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.完成练习册本课时的习题。 2.预习新课；
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
（2）会用公式法解一元二次方程.
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 方程化为x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
知识点2 用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
写为
x b b2 4的a形c 式，这个式子叫做一元
易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的
实数根，则b2-4ac满足的条件是（ B ）
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
2.2.5 一元二次方程根的判别式-八年级数学下册教材配套教学课件(浙教版)
例4：关于x的一元二次方程 x2m5 x0，当m满足什么条件时，方程的 两根互为相反数？
解：根据题意得△=b2−4ac⩾0，
设方程两个为x1，x2，则x1+x2=
-
b a
=0，
解得b=0，
所以ac⩽0， 所以当a、b、c满足b=0，ac⩽0且a≠0时， 方程两根互为相反数。
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= -8 ，所以方程的根的 情况是方程无实数根 .
3
3
的值
0
1
4
3
根的情况
有两个相等 的实数根
没有实数根
有两个不相 等的实数根
【点睛】根的判别式使用方法：1.化为一般式，确定a,b,c的值；2.计算
的值，确定 的符号；3.判别根的情况，得出结论.
例1 已知一元二次方程x2+x=2，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
值范围是 a 1 .
解：b2 4ac (2)2 41 a 4 4a 0
∴ a 1
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或 两个相等实根两种情况.
5.已知方程 2 x 2 7 x c 0 ,b 2 4 a 0 ,c 求c和x的值. 解： a 2 ,b 7 ,c c
2.下列方程中，没有实数根的方程是（ D ）
A.x2=9
B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1
D.2y2+6y+7=0
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ D ）
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac＜0
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿2
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿2一. 教材分析《一元二次方程》是浙教版数学八年级下册第2章第1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了实数、方程、不等式等知识的基础上，进一步引导学生学习一元二次方程。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高考的必考知识点。
通过学习一元二次方程，学生可以更深入地理解方程的概念，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经具备了一定的数学基础，如实数、方程、不等式等知识。
但部分学生可能对一元二次方程的概念和求解方法不够了解，因此在教学过程中需要关注这部分学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的概念，了解一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生探究问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法及应用。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、启发引导等教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、方程、不等式等知识，引导学生进入一元二次方程的学习。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，共同解决问题。
4.教师讲解：讲解一元二次方程的解法，重点讲解因式分解法和求根公式的运用。
5.例题解析：分析并解决典型例题，巩固所学知识。
6.练习巩固：学生自主练习，教师个别指导。
7.拓展提高：引导学生运用一元二次方程解决实际问题。
8.课堂小结：总结本节课的学习内容，强调重点知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：一元二次方程：形式：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）1.因式分解法2.求根公式法应用：解决实际问题八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
《一元二次方程的根的判别式》教案
（下）（沪科版）20.3一元二次方程的根的判别式教案安徽省怀远实验中学周道军20.3一元二次方程的根的判别式〖教材分析〗1、地位和作用本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。
利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。
由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。
最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。
一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。
2、重点和难点本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
〖学生情况分析及应对策略〗学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。
教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。
教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。
〖设计理念〗教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。
〖教学准备〗教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
〖教学目标〗根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
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2
一元二次方程的
判别式与求根公式满分晋级阶梯
方程 10级
判别式与求根公式
方程 11级
解特殊复杂方程
方程 12级
特殊根问题
漫画释义
知识互联网
寒假班第二讲春季班第七讲春季班第八讲
判断风波
题型切片
题型切片（两个） 对应题目
题 公式法解一元二次方程
例 1；例 2；演练 1；演练 2；
型
例 3；例 4；演练 3；例 5；例 6；演练 4；演练 5；
目 一元二次方程的判别式
标
例 7．
模块一 公式法解一元二次方程
知识导航
定 义
示例剖析
公式法的一般步骤：
解方程： x 2 3x 1 0
①把一元二次方程化为一般式；
解： a 1 ，b 3，c 1
5 0
②确定 a ，b ，c 的值；
b 2
4ac 3 4 1 1
2
③代入 b 2 4ac 中计算其值，判断方程是否有实
b
b
2
4ac
3
5 3 5
数根；
x
2
2a
2 1
2
④若 b 4ac ≥ 0 ，代入求根公式求值； 否则， 原
3
5
，x 2 3
5
方程无实数根．
∴ x 1 （先计算 b 2 4ac 减少计算量．另外，求根公式
2
2
对于任何一个一元二次方程都适用）
夯实基础
【例 1】 用公式法解方程：
⑴ x 2
2x 2 0 ；
⑵ 3x 2
6x 1 ；
⑶
3x 1
2x 2 ； ⑷ x 1 x 1 2 2 x ；
⑸ x 2
6x 14 0
；
⑹ 3 2 x 2
3 x+ 2=0
⑺
x 2
bx+2b 2 +1=0
能力提升
【例 2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：
直接开平方法、 配方法、 公式法和因式分解法． 请
选择你认为适当的方法解这个方程．
① x 2－3x+1=0；
② (x －1)2=3；
③ x 2－3x=0；
④ x 2－2x=4．
模块二 一元二次方程根的判别式
知识导航
定义
设一元二次方程为ax2 bx c 0(a 0) ，其根的判别式为：b2 4ac ，则
①0 方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个不
相等的实数根 x1,2 b b 2 4ac
2a
．
方程 ax2
②0 bx c 0(a 0) 有两个相等的实数根 x1 x2 b ．
2a
③0方程ax2bx c 0(a 0)没有实数根．
示例剖析
解方程： x2 3x 3 0
解：
b2 4ac
2
413 30，
3
所以原方程无实数根．
夯实基础
【例 3】不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
⑴7 x2x 1 0⑵9 x2 4 3x1
⑶ x2 7x 15 0 ⑷ 2 x2 3x 2 0
⑸ x2 2 3x 3 0 ⑹ x 2 m 1 x m 0 （ m 为常数）
2
能力提升
【例 4】⑴已知关于x的一元二次方程k
2
2k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值1 x2
范围为；
⑵若关于 x 的方程k 1 x2 x 1 0 有实根，则k的取值范围为 __________.
4
【例 5】⑴已知a、b、c为△ABC的三边，请判断关于x 的方程
2
0 根的
a b x 2cx a b
情况．
⑵已知 a、 b、 c 是△ ABC 的三边，且方程x2 2 b c x a b c a0 有两个相等的实数
根，试判断这个三角形的形状．
【例 6】已知关于 x 的方程 x2 k 1 x 2k 2 0
⑴求证：无论 k 为何值，方程总有实根；
⑵若等腰△ ABC 一边 a 3 ，另两边 b、 c 恰好是此方程的两根，求△ ABC 的周长．
真题赏析
【例 7】已知：关于 x 的方程 kx2 2k 3 x k 3 0
⑴求证：方程总有实数根；
⑵当 k 取哪些整数时，关于x 的方程 kx 2
的两个实数根均为负整数？
2k 3 x k 3 0
实战演练
知识模块一公式法解一元二次方程课后演练
【演练 1】用公式法解方程：
⑴ 5x2 7 x 2 0 ⑵ 2 x2 3x 3 0
【演练 2】选择适当的方法解方程：
⑴ x x 2 x 0 ；⑵ x2 x 132 ；⑶ x x 1 2 1 x ；
知识模块二一元二次方程根的判别式课后演练
【演练 3】⑴若关于 x 的方程 x2 2x m 0 有两个相等的实数根，则m= __________ ；
⑵若关于 x 的方程x
2
1 k 无实根，则k的取值为 __________ ；1
【演练 4】如果关于 x的一元二次方程 a 1 x2 2bx c 1 x2有两个相等的实根，那么以正数a，b ，c 为边长的三角形是（）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 任意三角形
【演练 5】已知关于 x 的一元二次方程3a 2 ax 1
1 x 0 有两个相等的实数根，求代数式
4
a 2 2a 1
1 的值．
a
第十六种品格：感恩
感恩的回报
在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个
孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你
们一人一个。
在上帝带来好光景以前，你们每天都可以来拿一个面包。
”
瞬间，这些饥饿的孩子仿佛一窝蜂一样涌了上来，他们围着篮子推来挤去大声叫
嚷着，谁都想拿到最大的面包。
当他们每人都拿到了面包后，竟然没有一个人向这位
好心的面包师说声谢谢，就走了。
但是有一个叫依娃的小女孩却例外，她既没有同大家一起吵闹，也没有与其他人
争抢。
她只是谦让地站在一步以外，等别的孩子都拿到以后，才把剩在篮子里最小的
一个面包拿起来。
她并没有急于离去，她向面包师表示了感谢，并亲吻了面包师的手
之后才向家走去。
第二天，面包师又把盛面包的篮子放到了孩子们的面前，其他孩子依旧如昨日一
样疯抢着，羞怯、可怜的依娃只得到一个比头一天还小一半的面包。
当她回家以后，
妈妈切开面包，许多崭新、发亮的银币掉了出来。
妈妈惊奇地叫道：“立即把钱送回去，一定是揉面的时候不小心揉进去的。
赶快去，依
娃，赶快去！”当依娃把妈妈的话告诉面包师的时候，面包师面露慈爱地说：“不，我的孩子，这没有错。
是我把银币放进小面包里的，我要奖励你。
愿你永远保持现在这
样一颗平安、感恩的心。
回家去吧，告诉你妈妈这些钱是你的了。
”她激动地跑回了家，告诉了妈妈这个令人兴奋的消息，这是她的感恩之心得到的回报。