2019人教统编版高中数学A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》全章节PPT课件(已分节,方便查找
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共50张PPT)
知 2．掌握空间直角坐标系中点的 的核心素养．
养
合
作 坐标的确定．(重点)
探
究 释
3．掌握空间向量的坐标表示
疑
难 (重点、难点)
2．通过空间向量的坐标表示，培
课 时
分
养学生直观想象和数学建模的核 层
作
心素养.业Leabharlann 返 首 页·3
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
课
探
时
究
坐标系 向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x
分
层
释 疑
轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
作 业
难
返 首 页
·
7
·
情
坐标轴 _x__轴、_y__轴、_z__轴
课
景
堂
导 学
坐标原点 点_O__
小 结
·
探 新
坐标向量 __i __，__j __，_k___
提 素
知
养
坐标平面 O__xy_平面、O__yz_平面和_O_x_z平面
课
探 究
点坐标 _a_＝___(_x，__y_，__z_)_
时 分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
10
·
情
课
景 导
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
第一章 空间向量与立体几何(单元解读)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
• 由“自由向量”所决定的空间向量与平面向量的这种关系,使空间向 量成为学生可以自学的内容.让学生自学空间向量,也可以促使他们思考空 间向量与平面向量的共性和差异,对维数增加所带来的影响形成切身体验, 在此过程中可以提升学生的空间想象力.
七、教学建议
• 2.通过应用,提升对向量方法的认识水平
• 教学中,要注意以具体的立体几何问题为载体,通过问题的解决加深对向 量方法和立体几何内容的理解,逐步养成“用向量”的习惯.
• 加强向量方法, • 一是要注意使用“向量回路”、数乘向量、数量积、向量基本定理等解
决空间元素的平行、垂直、角度、长度等问题; • 二是要强调基本定理的核心地位,其中加深对“基底”思想的理解是关键. • 综合运用向量及其运算解决几何问题的过程中,方向向量、法向量的作用
很重要,在此过程中需要较强的几何直观能力. • 当前教学中普遍存在着把向量法等同于坐标法的现象,这是没有体会向量
方法特点的表现.
七、教学建议
3. 加强通过向量及其运算表示和研究几何问题的体验
• 人教 A 版指出,向量是躯体,运算是灵魂; • 如果没有运算,向量只是一个路标.通过向量及其运算, • 不仅能表示空间中的点、直线和平面等基本元素, • 而且能使空间基本元素的位置关系、大小度量得到表达。
二、本章主要内容
01
空间直角
坐标系
02
空间向量
及其运算
0பைடு நூலகம் 向量基本定理 及坐标表示
04
空间向量的
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1
。
空间向量基本定理
空间向量基本定理
如果三个向量,b,c
,那么对任意一个空间向量p,存在
的有序实数组
(x,y,z),使得
基底
我们把定理中的
空间
的向量都可以
,
.
.
空间向量基本定理
单位正交基底
,那么这个基底叫
如果空间的一个基底中的
.
做单位
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量
基底的辨析
4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②
{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(
A.1个C
B.2个
C.3个
D.4个
解析:如图所示,令 a=Ԧ,b=1Ԧ,c= Ԧ,
∴{OA
OB
基底的辨析
判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能
构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可
以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解
，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
于任意一个空间向量
,设
，则OP=OQ+QP,又
向量QP，k共线，因此存在唯一实数z，使得QP = zk，从而
，
而在, 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得
OQ=xi+ .从而，
因此，如果i, j, k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空
2019新人教A版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)【可编辑全文】
2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结（复习必背）第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++（3）数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=（其中x +y =1）（4）与a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ，y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1
1.2 空间向量基本定理
回顾：平面向量基本定理
若 , 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数x，y，使＝x ＋y ．
若 , 不共线，则把{ ， }叫做表示这一平面内所有向量的基底．
平面内任一向量可用2个不共线的向量表示
若三个向量中存在一个向量可用另
x y 1
则
, x, y无解. 假设不成立, 外两个向量表示，则三向量共面，
不可构成基底.
x y 0
a b, b c, c a不共面.
{a b, b c, c a}可构成空间的一个基底.
小结：基底的判断
判断三个空间向量是否能构成一个基底：
思路 : 即证a b, b c, c a是否共面.
析 : 假设a b, b c, c a共面,
则存在x, y使a b x(b c) y(c a),
假设三个向量共面，建立x,y的方
程组，若有解，则不可构成基底；
若无解，则可 ( x y)c,
4
43
4
4
2
4
1
11
1
OA OB OC
4
22
2
1
1
1
OA OB OC
4
4
4
以三角形法则或平行四边形法则为切入点，
建立目标向量与基底的关系.
【基底法的应用1】表示空间向量
P12-练习3.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的
类比推广
空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？
最新人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》课后同步练习(含答案解析)
【2019统编版新教材】高中数学A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》课后同步练习（含答案解析）目录1.1.1空间向量及其运算——线性运算1.给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量,a b 满足a b =，则a b =；③若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.42.下列条件，能说明空间不重合的,,A B C 三点共线的是( ) A.AB BC AC +=B.AB BC AC -=C.AB BC =D.AB BC =3.在直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA CB CC ===a b c ，则1A B =( ) A.+-a b cB.-+a b cC.-++a b cD.--b a c4.有下列命题：①若向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面；②若p 与,a b 共面，则p xa yb =+；③若MP xMA yMB =+，则,,,P M A B 四点共面；④若,,,P M A B 四个点共面，则MP xMA yMB =+.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.45.如图所示，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点.若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A.1122a b c -++ B.1122a b c ++ C.1122a b c -+D.1122a b c --+6.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H P Q 分别是111111,,,,,A A AB BC CC C D D A 的中点，则( )A.0EF GH PQ ++=B.0EF GH PQ --=C.0EF GH PQ +-=D.0EF GH PQ -+=7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11AC 的中点，点F 是AE 的一个三等分点，且12AF EF =，则AF =( )A.11122AA AB AD ++ B.1111222AA AB AD ++ C.1111266AA AB AD ++ D.1111366AA AB AD ++ 8.已知点G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++=( )A.4PGB.3PGC.2PGD.PG9.已知空间向量,a b ，且2,56,72AB BC CD =+=-+=-a b a b a b ，则一定共线的三点是( ) A.,,A B DB.,,A B CC.,,B C DD.,,A C D10.如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =( )A.121232a b c -+ B.211322a b c -++C.111222a b c +-D.221332a b c -+-11.在平行六面体''''ABCD A B C D -中，与向量''A B 的模相等的向量有________个.12.已知,,,A B C D 为空间中任意四点，化简()()AB CD AC BD ---=___________. 13.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,,CA a CB b CC c E ===是1A B 的中点，则CE =__________.(用,,a b c 表示)14.对于空间中的非零向量,,AB BC AC ，有下列各式：①AB BC AC +=；②AB AC BC -=；③AB BC AC +=；④AB AC BC -=.其中一定不成立的是___________.15.如图，已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，点E 在'AC 上，且:'1:2AE EC =，点,F G 分别是''B D 和'BD 的中点，试用',,BB BA BC 表示以下向量：(1)AE ； (2)BF ； (3)GF .答案以及解析1.答案：D解析：①假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同.③真命題.向量的相等满足递推规律.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的. 2.答案：C解析：对于空间中的任意向量，都有AB BC AC +=，选项A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B 错误；AB BC =，则,,A B C 三点共线，选项C 正确；AB BC =，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有,,A B C 三点共线，选项D 错误. 3.答案：D解析：1111A B AB AA CB CA AA CB CA CC =-=--=--=--b a c .故选D. 4.答案：B解析：其中①③为真命题.②中需满足,a b 不共线，④中需满足,,M A B 三点不共线. 5.答案：A解析：11111()22B M B B BM A A BD c BA BC =+=+=++111111112222A B A D c a b c =-++=-++.6.答案：A解析：观察平面六面体1111ABCD A B C D -可知，向量,,EF GH PQ 平移后可以首尾相连，于是0EF GH PQ ++=.7.答案：D解析：易知1111111111111,,,32AF AE AE AA A E A E AC AC A B A D ==+==+，1111,A B AB A D AD ==，所以11111111136366AF AA AC AA AB AD =+=++，故选D. 8.答案：A解析：方法一：PA PB PC PD +++=PG GA PG GB PG GC PG GD +++++++=4()()PG GA GC GB GD ++++.又四边形ABCD 是正方形，G 是它的中心，所以CA GC GB GD +=+=0， 故4PA PB PC PD PG +++=.方法二：因为四边形ABCD 是正方形，G 是它的中心，所以G 为AC 的中点，也为BD 的中点，所以()()224PA PB PC PD PA PC PB PD PG PG PG +++=+++=+=. 9.答案：A 解析：567224BD BC CD =+=-++-=+a b a b a b ，2BA AB =-=--a b ，2,,,BD BA A B D ∴=-∴三点共线，故选A.10.答案：B解析：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.11.答案：7解析：''''''''D C DC C D CD BA AB B A A B =======. 12.答案：0解析：利用相反向量的关系转化为加法运算()()AB CD AC BD AB CD AC BD AB DC CA BD ---=--+=+++0AB BD DC CA =+++=.13.答案：1()2a b c ++ 解析：11111()()()222CE CA CB CA CC CB a b c =+=++=++.14.答案：②解析：根据空间向量的加减运算法则可知，对于①：AB BC AC +=恒成立；对于③：当,,AB BC AC 方向相同时，有AB BC AC +=；对于④：当,AB AC 方向相同且BC 与,AB AC 方向相反时，有AB AC BC -=.只有②一定不成立.15.答案：(1):'1:2AE EC =，()()111'333''AE AC AB BC CC AB AD AA ∴==++=++=111111''333333AA AB AD BB BA BC ++=-+. (2)F 为''B D 的中点，()()'''''11'22BF BB BD BB BA AA A D ∴=+=+++=()1112''222BB BA BC BB BA BC ++=++. (3),G F 分别为',''BD B D 的中点，12'GF BB ∴=.1.1.2空间向量的数量积运算1.对于空间向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A.若0a b ⋅=，则0a =或0b = B.若0a λ=，则0λ=或0a = C.若22a b =，则a b =或a b =-D.若a b a c ⋅=⋅，则b c =2.在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅等于( ) A.-1B.0C.1D.不确定3.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60°，其模均为1，则2-+=a b c ( )A.5B.64.已知空间向量,,1,2a b a b ==，且a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A.60︒B.30︒C.135︒D.45︒5.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，对角线1AC 和1BD 相交于点O ，则( )A.2112AB AC a ⋅=B.212AB AC a ⋅=C.212AB AO a ⋅=D.21BC DA a ⋅=6.已知在矩形ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A.0DA PB ⋅= B.0PC BD ⋅= C.0PD AB ⋅=D.0PA CD ⋅=7.设平面上有四个互异的点,,,A B C D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC 一定是( ) A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8.已知空间向量,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=( )D.49.设,,a b c 是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，有下列命题： ①()()0a b c c b a ⋅-⋅=；②a a a =⋅；③22a b b a =；④22(34)(34)916a b a b a b +⋅-=-.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④10.若空间向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且a a c a b a b ⎛⎫⋅=- ⎪⋅⎝⎭，则向量a 与c 的夹角为( ) A.0B.6π C.3π D.2π 11.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，则11AB BC ⋅=_____________. 12.已知空间向量,,2,2,2a b a b a b ==⋅=-，则,a b =___________.13.已知空间向量,,|||5,,,,135λ===+=+〈︒〉=a b a b m a b n a b a b ，若⊥m n ，则 λ的值为_____________.14.已知空间向量,,a b c 中每两个的夹角都是3π，且4,6,2a b c ===，则a b c ++=_______.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,C D D D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求,CE AF 〈〉的余弦值； (2)求证：1BD EF ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：对于选项A ，还包括a b ⊥的情形；对于选项C ，结论应是a b =；对于选项D ，也包括垂直的情形. 2.答案：B解析：如图，令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC⋅+⋅+⋅()()()a c b b a c c b a =⋅-+⋅-+⋅-0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=3.答案：C解析：由题意得2221,12⋅=⋅=⋅====a b b c a c a b c ，所以2-+=a b c==4.答案：D解析：∵a b -与a 垂直，∴()0a b a -⋅=，∴2cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅⋅11cos ,0a b =-=，∴2cos ,2a b =. ∵0,180a b ︒≤≤︒，∴,45a b =︒. 5.答案：C解析：1111()22AB AO AB AC AB AB AD AA ⋅=⋅=⋅++2221111()222AB AB AD AB AA AB a =+⋅+⋅==. 6.答案：B解析：由题意得四边形ABCD 为矩形，且PA ⊥平面ABCD ，则,AD PB AB PD ⊥⊥，PA CD ⊥，故选项A 中，0DA PB ⋅=正确；选项C 中，0PD AB ⋅=正确；选项D 中，0PA CD ⋅=正确；而选项B 只有四边形ABCD 为正方形时才正确.故选B.7.答案：B 解析：2()()DB DC DA DB DA DC DA +-=-+-=,(2)()AB AC DB DC DA AB AC +∴+-⋅-=()()AB AC AB AC +⋅-=22||||0,||||AB AC AB AC -=∴=，故ABC 一定是等腰三角形，故选B.8.答案：C解析：∵2222223(3)696cos ,9a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+，∵1,,60a b a b ===︒，∴2313a b +=，∴313a b +=.9.答案：D解析：由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，22a b b a ⋅=⋅一定不成立，故③不正确，④运算正确 10.答案：D解析：∵0a a a a a c a a b a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=⋅-=⋅-⋅=⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴a c ⊥，故选D. 11.答案：2a 解析：如图，211111111cos ,2cos60A B B C A B A D AB A D A B A D a ⋅=⋅=⋅⋅=⨯︒=12.答案：34π解析：2cos ,2a b a b a b⋅==-，∴3,4a b π=.13.答案：310-解析：由题意，知||||cos ,515⎛⋅=〈〉=⨯=- ⎝⎭a b a b a b .由⊥m n ，得()()0λ+⋅+=a b a b ，即221815(1)250λλλλ+⋅+⋅+=-++=a a b a b b ，解得310λ=-. 14.答案：10解析：∵4,6,2a b c ===，且,,,3a b a c b c π===，∴2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++222222a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅2222cos ,2cos ,2cos ,a b c a b a b a c a c b c b c=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅222462464262100=+++⨯+⨯+⨯=，∴10a b c ++=.15.答案：(1)112AF AD DF AD AA =+=+， 11111122CE CC C E AA CD AA AB =+=+=-.110,0,0AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=，11111222CE AF AA AB AD AA ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又52||||,cos ,5||||CE AF AF CE CE AF CE AF ⋅==∴〈〉==. (2)111BD BD DD AD AB AA =+=-+，()11112EF ED D F AB AA =+=-+， ()()()2211111110,22BD EF AD AB AA AB AA AB AA BD EF ⎡⎤∴⋅=-+⋅-+=--+=∴⊥⎢⎥⎣⎦.1.2空间向量基本定理1.已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A.3,,2a a b a b -+B.2,2,2b b a b a -+C.,2,a b b c -D.,,c a c a c +-2.已知:,,p a b c 是三个非零向量；:{,,}q a b c 为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在以下三个命题中，真命题的个数是( )①若三个非零向量,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 共面；②若两个非零向量,a b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则,a b 共线；③若,a b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+(,λμ∈R 且0λμ≠)，则{},,a b c 构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.34.在空间四点,,,O A B C 中，若{},,OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )A.,,,O A B C 四点不共线B.,,,O A B C 四点共面，但不共线C.,,,O A B C 四点不共面D.,,,O A B C 四点中任意三点不共线5.已知四面体1,O ABC G -是ABC 的重心，G 是1OG 上点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为( )A.111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B.333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,,,M A B C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{},,MA MB MC 成为空间的一个基底的是( )A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC =+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-7.已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123123123,,=++=+-=-+a e e e b e e e c e e e ，12323=++d e e e ，且αβγ=++d a b c ，则,,αβγ分别为( )A.51,1,22--B.51,1,22 C.51,1,22--D.51,1,22- 8.在正方体''''ABCD A B C D -中，123,,O O O 分别是,','AC AB AD 的中点，以{}123,,AO AO AO 为基底，123'AC xAO yAO zAO =++，则,,x y z 的值是( ) A.1x y z ===B.12x y z ===C.2x y z ===D.2x y z ===9.已知,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB10.如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E 是BD 上一点，3BE ED =，以{},,AB AC AD 为基底，则GE =___________.11.已知,,,,A B C D E 是空间五点，且任何三点不共线.若,,AB AC AD 与,,AB AC AE 均不能构成空间的一个基底，则下列结论：①,,AB AD AE 不能构成空间的一个基底；②,,AC AD AE 不能构成空间的一个基底；③,,BC CD DE 不能构成空间的一个基地；④,,AB CD EA 能构成空间的一个基底.其中正确的有_________个.12.在平面六面体1111ABCD A BC D -中，若1123AC xAB yBC zC C =++，则x y z ++=_______.13.如图，已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，取{},,'AB AD AA 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z 的值.(1)''BD xAD yAB zAA =++； (2)'AE xAD yAB zAA =++.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点G 为ABC 的重心，点M 在PG 上，且3PM MG =，过点M 任意作一个平面分别交线段,,PA PB PC 于点,,D E F ，若,,PD mPA PE nPB PF tPC ===，求证：111m n t++为定值，并求出该定值.答案以及解析1.答案：C解析：对于选项A ，有32()2a a b a b =-++，则3,,2a a b a b -+共面，不能作为基底；同理可判断选项,B D 中的向量共面.故选C. 2.答案：B解析：三个不共面的向量才能作为空间的一个基底，故p 不能推出q ，但q 可以推出p .故选B. 3.答案：C解析：①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，,a b 不共线，当c a b λμ=+时，,,a b c 共面，故只有①②正确. 4.答案：B解析：选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则相连,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项B 对应的命题是错误的，若四点共面，则,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项C 对应的命题是正确的，若四点共面，则,,OA OB OC 构不成基底；选项D 对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量,,OA OB OC 构不成基底. 5.答案：A解析：如图所示，连接1AG 并延长，交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，11()(2)22AE AB AC OB OA OC =+=-+，121(2)33AG AE OB OA OC ==-+.13OG GG =，()11333121111444333444OG OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫∴==+=+-+=++ ⎪⎝⎭，故选A.6.答案：C解析：对于选项A ，由(1),,,OM xOA yOB zOC x y z M A B C =++++=⇒四点共面，知,,MA MB MC 共面；对于选项B ，D ，易知,,MA MB MC 共面，故选C.7.答案：A解析：由题意知()()()123123123αβγαβγ=++=++++-+-+=d a b c e e e e e e e e e 123()()()αβγαβγαβγ++++-+-+e e e .又12323=++d e e e ，所以123αβγαβγαβγ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，解得52112αβγ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8.答案：A解析：''''AC AB BC AB BB BC AB AA AD=+=++=++111111()(')(')''222222AB AD AB AA AA AD AC AB AD =+++++=++123AO AO AO =++，对比123'AC xAO yAO zAO =++，可得1x y z ===.9.答案：C解析：∵1()2OC a b =-，∴OC 与,a b 共面，∴,,a b OC 不能构成空间基底. 10.答案：1131234AB AC AD --+解析：连接AG 交BC 于点M ，连接AE ，则32321()()43432GE AE AG AB BD AM AB AD AB AB AC =-=+-=+--⨯+1131234AB AC AD =--+ 11.答案：3解析：由题意知空间五点,,,,A B C D E 共面，故①②③正确，④错误. 12.答案：76解析：∵11AC AB BC CC =++，又1123AC xAB yBC zC C =++，∴1,21,31x y z ===，即111,,23x y z ===-，故1171236x y z ++=+-=.13.答案：(1)因为''''BD BD DD BA AD DD AB AD AA =+=++=-++，又''BD xAD yAB zAA =++，所以1,1,1x y z ==-=. (2)因为()''''11''''''22AE AA A E AA A C AA A B A D =+=+=++=111122''''''22AA A B A D AD AB AA ++=++又'AE xAD yAB zAA =++，所以11,,122x y z ===.14.答案：连接AG 并延长交BC 于点H ，由题意，可令{},,PA PB PC 为空间的一个基底，33332()44443PM PG PA AG PA AH ==+=+⨯=311()422PA AB AC +⨯+=311()()444PA PB PA PC PA +-+-=111444PA PB PC ++. 连接DM .因为点,,,D E F M 共面，所以存在实数,λμ，使得DM DE DF λμ=+，即()()PM PD PE PD PF PD λμ-=-+-，所以(1)(1)PM PD PE PF mPA nPB PC λμλμλμλμ=--++=--++. 由空间向量基本定理，知111(1),,444m n t λμλμ=--==， 所以1114(1)444m n tλμλμ++=--++=，为定值.1.3.1空间直角坐标系1.点()2,0,3在空间直角坐标系Oxyz 中的( ) A.y 轴上B.Oxy 平面内C.Oxz 平面内D.Oyz 平面内2.在空间直角坐标系O xyz -中，下列说法正确的是( ) A.向量AB 的坐标与点A 的坐标相同 B.向量AB 的坐标与点B 的坐标相同 C.向量AB 与向量OB 的坐标相同 D.向量AB 与向量OB OA -的坐标相同3.在空间直角坐标系中， 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对4.在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是( ) A. ()3,2,4--B. ()3,2,4--C. ()3,2,4--D. ()3,2,4-5.已知{,,}i j k 是标准正交基底，且AB =-+-i j k ，则AB 的坐标为( ) A.(1,1,1)--B.(, ,)--i j kC.(1,1,1)--D.(1,1,1)-6.已知在长方体1111ABCD A B C D -中，向量a 在基底{}1,,AB AD AA 下的坐标为()2,1,3-，则向量a 在基底{}1,,DA DC DD 下的坐标为( ) A.()2,1,3-B.()1,2,3--C.()1,8,9-D.()1,8,9--7.点P 为空间直角坐标系中的点，过点P 作平面 xOy 的垂线，垂足为 Q ，则点 Q 的坐标为( )A. B. C.D.8.设{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底，已知向量864=++p a b c ，其中=+a i j ，=+b j k ，=+c k i ，则向量p 在基底{},,i j k 下的坐标是( )A.()12,14,10B.()10,12,14C.()14,12,10D.()4,3,29.如图所示，在空间直角坐标系中2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且90,30BDC DCB ∠=︒∠=︒，则向量OD 的坐标为( )A.1,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.10,2⎛- ⎝⎭C.1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.10,,2⎛⎝⎭10.在空间直角坐标系中，点(123)，，关于Oyz 面对称的点的坐标为____________. 11.点()1,2,1P -在Oxy 平面内的射影为(),,B x y z ，则x y z ++=__________.12.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标是____________.13.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知14,3DA DC DD ===，连接111,,A B B C AC ，如图，建立空间直角坐标系.(1)在图中标出点3(1,2,)2E 的位置；(2)求1A B 与1B C 的坐标；(3)求向量1A C 在平面ABCD 上的投影向量的坐标.14.已知，在棱长为2的正四面体A BCD 中，以BCD 的中心O 为坐标原点，OA 为z 轴，OC 为y 轴建立空间直角坐标系，如图所示，M 为AB 的中点，求OM 的坐标.答案以及解析1.答案：C解析：点()2,0,3的纵坐标为0，所以该点在Oxz 平面内. 2.答案：D解析：因为点,A B 不一定为坐标原点，所以选项A ，B ，C 都不正确；因为AB OB OA =-，所以选项D 正确. 3.答案：A 解析：点()3,4,5P与点()3,4,5Q --的横坐标相同，而纵、竖坐标分别互为相反数，所以两点关于x 轴对称. 4.答案：A解析：由中点坐标公式可得：点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是()3,2,4--．故选A ． 5.答案：A解析：根据空间向量坐标的定义，知()1,1,1AB =--，故选A. 6.答案：B 解析：111232323,AB AD AA DC DA DD DA DC DD =+-=--=-+-∴a 向量 a 在基底{}1,,DA DC DD 下的坐标为()1,2,3--，故选B.7.答案：D解析：由空间点的坐标的定义，知点 Q 的坐标为. 8.答案：A解析：依题意，知()()()864864121410=++=+++++=++p a b c i j j k k i i j k ，故向量p 在基底{},,i j k 下的坐标是()12,14,10. 9.答案：B解析：如图所示，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BCD △中，由90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒，2BC =，得1,BD CD ==∴11sin 30cos601222DE CD OE OB BD =⋅︒==-⋅︒=-=.∴D 点坐标为10,2⎛- ⎝⎭，即向量OD 的坐标为10,2⎛- ⎝⎭.10.答案：(1,2,3)-解析：在空间直角坐标系中，点(123)，，关于平面yoz 对称的点的坐标是(1,2,3)-， 故答案为：(1,2,3)- 11.答案：解析：点(1,2,1)P -在Oxy 平面内的射影为(1,2,0)B ，1,2,0,1203x y z x y z ===∴++=++=. 12.答案：(4,3,2)-解析：(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-. 13.答案：(1)点31,2,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的位置如图所示：(2)设,,i j k 分别为1,,DA DC DD 方向上的单位向量，则11143A B AB AA DC DD j k =-=-=-，1111143BC B B BC DD DA i k =+=--=-- 所以11(0,4,3),(4,0,3)A B BC =-=-- (3)连接AC ，则向量1A C 在平面ABCD 上的投影向量为AC ， 又44AC AD DC DA DC i j =+=-+-+，所以()4,4,0AC =-.14.答案：易知BCD 2=OC =.OA ∴==设,,i j k 分别是,,x y z 轴正方向上的单位向量，x 轴与BC 的交点为E ，则1233OE BD ==，1113()()2222OM OA OB OA OC CB OA OC CE ⎛⎫∴=+=++=++=⎪⎝⎭13()22OA OC OE OC ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦31114422OE OC OA -+=-+i j ，1,2OM ⎛∴= ⎝⎭.1.3.2空间向量运算的坐标表示1.已知((),+=-=a b a b ，则cos ,=a b ( )A.13B.162.已知()()()1,0,1,2,1,1,3,1,0==--=a b c ，则2-+=a b c ( ) A.()9,3,0--B.()0,2,1-C.()9,3,0D.()9,0,03.设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 的中点M 到C 的距离为( )B.5324.已知()1,2,0A -和向量()3,4,12=-a ，且2AB =a ，则点B 的坐标为( ) A.()7,10,24-B.()7,10,24--C.()6,8,24-D.()5,6,24-5.已知向量()()2,4,,2,,2x y ==a b ，若6=a ，且⊥a b ，则x y +的值为( ) A.3-B.1C.3-或1D.3或16.在空间直角坐标系中，已知点()()()1,2,11,4,2,3,6,1,4A B C --，则ABC 一定是( ) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.已知向量()()1,1,0,1,0,2==-a b ，且k +a b 与2-a b 互相垂直，则实数k 的值为( ) A.25 B.15 C.35D.758.已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1,,2====-=+-a b c p a b q a b c ，则⋅=p q ( ) A.1-B.1C.0D.2-9.若()()()1,1,3,2,,2,3,3,9A m n B m n m n C m n +--+-三点共线，则m n +的值为( ) A.0B.1-C.1D.2-10.已知11(1)=a ,,，02()1=-b ,,，(441)m n =++-c a b ,,若c 与a 及b 都垂直，则m n ,的值分别为( ) A.1-，2B.1，2-C.1，2D.1-，2-11.如果(1,5,2),(2,4,1),(,3,2)A B C a b -+三点共线，那么a b -=_________. 12.已知(2,3,0)a =-，(,0,3)b k =，,120a b =︒，则k =___________.13.若ABC 的三个顶点分别为((102,,A B C ⎛- ⎝，则角A 的大小为________.14.已知()()1,5,1,2,3,5=-=-a b . (1)当()()3λ+-a b a b 时，求实数λ的值；(2)当()()3λ-⊥+a b a b 时，求实数λ的值.15.如图，,,OA OB OC 两两垂直，3,2,OA OC OB M ===为OB 的中点，点N 在线段AC 上，2AN NC =.(1)求MN 的长；(2)若点P 在线段BC 上，设BPPCλ=，当AP MN ⊥时，求实数λ的值.答案以及解析1.答案：C解析：由已知，得cos,||||⋅==∴〈〉===a ba b a ba b.2.答案：C解析：()()()()()()21,0,12,1,16,2,03,1,06,2,09,3,0-+=---+=+=a b c.3.答案：C解析：由题意，知313015,,222M+++⎛⎫⎪⎝⎭，即32,,32M⎛⎫⎪⎝⎭，312,,3(0,1,0)2,,322CM⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2||2CM=.故选C.4.答案：D解析：(3,4,12),2,(6,8,24)AB AB=-=∴=-a a.设(),,B x y z，则16(1,2,),2824xAB x y z yz-=-⎧⎪=-+∴+=⎨⎪=⎩，解得5624xyz=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即点B的坐标为()5,6,24-.故选D.5.答案：C解析：由(2,4,)x=a，且||6=a，得64x=±.由⊥a b，得4420y x++=，得43xy=⎧⎨=-⎩或41xy=-⎧⎨=⎩，则1x y+=或3-.6.答案：C解析：(3,4,8),(5,1,7),(2,3,1)AB AC BC=-=-=-，2||3AB∴=2||5AC=2||2BC=，222||||||,AC BC AB ABC∴+=∴一定为直角三角形.7.答案：D解析：由已知得(,,0)(1,0,2),)(12,k k k k k+=+-=-a b，2(3,2,2)-=-a b.由k+a b与2-a b互相垂直，得(1,,2)(3,2,2)0k k-⋅-=，得570k-=，解得75k=，故选D.8.答案：A 解析：()()()1,0,1,20,3,1,1003111=-=-=+-=∴⋅=⨯+⨯+-⨯=-p a b q a b c p q ，故选A. 9.答案：A解析：因为(1,1,23),(2,2,6)AB m m n AC =---=-，由题意得，ABAC ，所以1123226m m n ---==-，所以0,0m n ==，所以0m n +=. 10.答案：A解析：由已知得(4,24,1)m m n m n =++--+c ， 故310m n ⋅=++=a c ，590m n ⋅=+-=b c . 解得12m n =-⎧⎨=⎩，故选A.11.答案：1解析：∵,,A B C 三点共线，∴AB AC λ=，即(1,1,3)(1,2,4)((1),2,(4))a b a b λλλλ-=--+=--+.∴1(1)123(4)a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=+⎩，解得1232a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， ∴1a b -=. 12.答案：解析：∵2a b k ⋅=，213,9a b k ==+，∴1cos1202︒==-，∴0k <，解得k =13.答案：30°解析：31,,0,(1,0,0)2AB AC ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则3cos cos ,2||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=〈〉==故角A 的大小为30°.14.答案：(1)()()1,5,1,2,3,5=-=-a b ，()()()()()31,5,132,3,51,5,16,9,157,4,16∴-=---=---=--a b ，()()()()()1,5,12,3,5,5,2,3,52,53,5λλλλλλλλ+=-+-=-+-=-+-+a b .()()3λ+-a b a b ，25357416λλλ-+-+∴==--，解得13λ=-. (2)()()3λ-⊥+a b a b ，(7,4,16)(2,53,5)0λλλ∴--⋅-+-+=，即7(2)4(53)16(5)0λλλ--+--+=，解得1063λ=. 15.答案：(1)以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,0,3O A B C ，由M 为OB 的中点，2AN NC =，得()()0,1,0,1,0,2M N ，()1,1,2MN ∴=-，6MN ∴=，即MN (2)设(0,,),BPP y z PCλ=，且点P 在线段BC 上， 23,1,0,,11BP PC P λλλλλ⎛⎫∴=≠-∴ ⎪++⎝⎭， 233,,11AP λλλ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭， ,0AP MN AP MN ⊥∴⋅=， 26530,113λλλλ∴--+=∴=++.1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1.若点()()1,0,1,1,4,7A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A.()1,2,3B.()1,3,2C.()2,1,3D.()3,2,12.已知()3,1,2AB =-，平面α的一个法向量为()2,2,4=-n ，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( ) A.AB α⊥B.AB α⊂C.AB 与α相交但不垂直D.ABα3.已知平面α的法向量是(2,3,1)-，平面β的法向量是(4,,2)λ-，若//αβ，则λ的值是( ) A.103-B.6C.6-D.1034.已知平面α内的两个向量()()1,1,1,0,2,1==-a b ，且()4,4,1m m =++-c a b .若c 为平面α的法向量，则,m n 的值分别为( ) A.1,2-B.1,2-C.1，2D.1,2--5.已知三条直线123,,l l l 的一个方向向量分别为()()()4,1,0,1,4,5,3,12,9=-==--a b c ，则( )A.12l l ⊥，但1l 与3l 不垂直B.13l l ⊥，但1l 与2l 不垂直C.23l l ⊥，但2l 与1l 不垂直D.123,,l l l 两两互相垂直6.已知平面α内的三点(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)A B C ，平面β的一个法向量为(1,1,1)n =---，且β与α不重合，则( )A.//αβB.αβ⊥C.α与β相交但不垂直D.以上都不对7.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，点,,M P Q 分别为棱,,AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论：①11//A M D P ；②11//A M B Q ；③1//A M 平面11DCC D ；④1//A M 平面11D PQB 其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，(2,1,4),(4,2,0)AB AD =--=，(1,2,1)AP =--，则PA 与底面ABCD 的关系是( )A.相交B.垂直C.不垂直D.成60︒角9.如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线,NO AM 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直10.已知点(0,1,0),(1,0,1),(2,1,1),(,0,)A B C P x z --，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A.(1,0,2)-B.(1,0,2)C.(1,0,2)-D.(2,0,1)-11.若不同的平面,αβ的一个法向量分别为111,,1,,1,3632⎛⎫⎛⎫⎪=-- ⎪⎝⎭⎝-⎭=m n ，则α与β的位置关系为_________.12.已知平面α的法向量1(,1,2)n x =-，平面β的法向量21(1,,)2n y =-，若//αβ，则x y +=______.13.已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，则z =__________.14.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0)AB AD =--=，(1,2,1)AP =--.对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的是___________.15.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒，2,PA AB BC E ===是PC 的中点.求证： (1)CD AE ⊥； (2)PD ⊥平面ABE .答案以及解析1.答案：A解析：由题意，可得直线l 的一个方向向量(2,4,6)AB =.又11(2,4,6)(1,2,3)22AB ==，所以向量(1,2,3)是直线l 的一个方向向量.故选A. 2.答案：D解析：因为2(3)(2)1420AB ⋅=⨯-+-⨯+⨯=n ，所以AB ⊥n .又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB α，故选D.3.答案：B解析：∵//αβ，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.∴23142λ-==-.∴6λ=. 4.答案：A解析：(4,4,1)(,,)(0,2,)(4,4,1)(4,24,1)m n m m m n n m m n m n =++-=+-+-=++--+c a b .由c 为平面α的法向量，得00⋅=⎧⎨⋅=⎩c a c b ，即310590m n m n ++=⎧⎨+-=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩. 5.答案：A 解析：(4,1,0)(1,4,5)4400,(4,1,0)(3,12,9)12120240⋅=-⋅=-+=⋅=-⋅--=--+=-≠a b a c ，(1,4,5)(3,12,9)348450⋅=⋅--=-+-=b c ，,∴⊥a b a 与c 不垂直，1223,,l l l l ⊥∴⊥⊥b c ，但1l 不垂直于3l .6.答案：A解析：(0,1,1),(1,0,1),10(1)1(1)(1)0AB AC n AB =-=-⋅=-⨯+-⨯+-⨯-=，1110(1)(1)0n AC ⋅=-⨯-⨯+-⨯-=，∴,n AB n AC ⊥⊥.∴n 也为α的一个法向量.又α与β不重合，∴//αβ.7.答案：C解析：11111111,22A M A A AM A A AB D P D D DP A A AB =+=+=+=+，∴11//AM D P ，从而11//A M D P .∴①③④正确. 8.答案：B解析：因为0,0AP AB AP AD ⋅=⋅=，所以AP ⊥平面ABCD .9.答案：C解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(2,1,2)A M O N ，(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-，0NO AM ⋅=，则直线,NO AM 的位置关系是异面垂直.10.答案：C解析：由题意知(1,1,1),(2,0,1),(,1,)AB AC AP x z =---==-，又PA ⊥平面ABC ，所以(1,1,1)(,1,)0AB AP x z ⋅=---⋅-=，得10x z -+-=①，(2,0,1)(,1,)0AC AP x z ⋅=⋅-=，得20x z +=②，联立①②，解得1,2x z =-=，故点P的坐标为(1,0,2)-. 11.答案：平行 解析：3,,αβ=-∴∴n m mn .12.答案：154解析：12//,//n n αβ∴所以存在实数k ，使得12n kn = 1122x k ky k ⎧⎪=-⎪∴=⎨⎪⎪-=⎩，解得4414k x y ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩， 154x y ∴+=. 13.答案：3解析：∵平面α的法向量为(1,3,)u z =.又v 与平面α平行，∴133(2)10u v z ⋅=⨯+⨯-+⨯=，解得3z =.14.答案：①②③解析：∵0,0AB AP AD AP ⋅=⋅=，∴,AB AP AD AP ⊥⊥，则①②正确.又AB 与AD 不平行，∴AP 是平面ABCD 的法向量，则③正确.由于(2,3,4)BD AD AB =-=，(1,2,1)AP =--，∴BD 与AP 不平行，故④错误.15.答案：(1)以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,,,0,0,2,2A B C D P E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以311,,0,,2CD AE ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以110102CD AE ⋅=-⨯++⨯=，所以CD AE ⊥. (2)由(1)，得4310,,2,(2,0,0),,2PD AB AE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设向量(),,x y z =n 是平面ABE 的法向量，则00AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn ，得20102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取2y =，则(0,2,=n ， 所以23PD =，所以PD n ，所以PD ⊥平面ABE .1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1.已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点–1,()3,0A 在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为 ( ) A.10B.3C.83D.1032.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为( )3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且1,PD AB G ==为ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ满足( )A.π4θ=B.cos θ=C.tan θ=D.sin θ=4.已知,a b 是异面直线，,,,,,A B a C D b AC b BD b ∈=⊥⊥ ，且2,1AB CD ==，则a 与b 所成的角是( )A.30B.45C.60D.905.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面1,3ABCD AA =，底面是边长为4的菱形，且1111160,,,DAB AC BD O AC B D O E ∠=⋂=⋂=︒是1O A 的中点，则点E 到平面1O BC 的距离为( ) A.2B.1C.32D.36.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为( )7.如图所示，在直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AEB 是等腰直角三角形，其中90AEB ∠=︒，则点D 到平面ACE 的距离为( )D.8.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面1π,,2ABC AB BC AA ABC ==∠=，点,E F 分别是棱1,AB BB 的中点，则直线EF 和1BC 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π29.如图，已知直三棱柱111ABO A B O -中，,2,6,2AOB AO BO D π∠===为11A B 的中点，且异面直线OD 与1A B 垂直，则直线11A B 到平面ABO 的距离为( )A.2B.3C.4D.610.如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PA ⊥平面,ABCD PA AD AC ==，点F 为PC 的中点，则平面CBF 与平面BFD 夹角的正切值为( )11.在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，3BC =，AB =14AA =，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为__________ .12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB AD ===，点,F G 分别是1,AB CC 的中点，则点1D 到直线GF 的距离为_______.13.已知两平面的法向量分别为10(0)=,,m ，11(0)=,,n ，则两平面所成的二面角为 .14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD BCAD ，90ABC ∠=︒，2,1PA AB BC AD ====，则AD 到平面PBC 的距离为_______.15.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且1,,PD E F =分别为,AB BC 的中点.(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离.答案以及解析1.答案：D解析：由(1,2,4)AP =--，得点P 到平面α的距离||103||AP n d n ⋅==. 2.答案：C解析：连接1AC ，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则()()()()()110,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0D A B C A ，1111(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)BC AC A B A D ∴=-=-=-=--， 1111110,110AC A B AC A D ∴⋅=-=⋅=-=，1111,AC A B AC A D ∴⊥⊥.又111A B A D A ⋂=，1AC ∴⊥平面11,A BD AC ∴是平面1A BD 的一个法向量.1111111cos ,2BC AC BC AC BCAC ⋅===， ∴直线1BC 与平面1A BD 3.答案：B解析：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0P A B C ，所以2222,,0,,,13333G PG ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，则cos ,PG 〈〉==n 所以PG 与平面ABCD 所.4.答案：C解析：由题意，知,AB CD 分别为直线,a b 的方向向量，因为AB AC CD DB =++，所以2AB CD AC CD CD DB CD ⋅=⋅++⋅，即21cos ,1AB CD ⨯⨯〈〉=，所以1cos ,2AB CD 〈〉=，得,60AB CD ︒〈〉=，则a 与b 所成的角是60.5.答案：C解析：易得1OO ⊥平面ABCD ，所以11,OO OA OO OB ⊥⊥.又OA OB ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，所以2OA OB ==，则()()()()1,0,2,0,,0,0,3A B C O -，所以11(0,2,3),(3)O B OC =-=--. 设平面1O BC 的法向量为(,,)x y z =n ，则1100O B O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，所以23030y z z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取2z =，则3x y ==，则(=n 是平面1O BC 的一个法向量. 设点 E 到平面1O BC 的距离为d .因为E 是1O A的中点，所以133,22E EO ⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭，则13||2EO d ⋅==n n ， 所以点E 到平面1O BC 的距离为32.6.答案：D解析：由正方体的性质，易得平面11AB D 平面1BDC ，则两平面间的距离可转化为点B 到平面11AB D 的距离.以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(,0,0),(,,0),(,0,),(0,,0)A a B a a A a a C a ，1(,,),(0,,0)CA a a a BA a =-=-，连接1A C ，则11111,AC B D AC AB ⊥⊥，所以1AC ⊥平面11AB D ，得平面11AB D 的一个法向量为(1,1,1)n =-，则两平面间的距离||||BA d ⋅===n n .7.答案：B解析：取AB 的中点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0),(1,0,0),(0,1,2),(0,1,,)(02E D C A --，从而(0,0,2),(1,1,0),(0,2,2)AD AE AC ===.设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,1x z =-=-，所以()1,1,1=--n 为平面ACE 的一个法向量.故点D 到平面ACE的距离||AD d ⋅==n n8.答案：C解析：如图所示，立空间直角坐标系Bxyz ，由于1AB BC AA ==，不妨取2AB =，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,2)B E F C ，1(0,1,1),(2,0,2)EFBC ∴=-=，1111cos ,2||||2EF BC EF BC EF BC ⋅∴〈〉===， 所以异面直线EF 和1BC 的夹角为π3，故选C. 9.答案：C解析：由直棱柱的性质，知直线11A B 到平面ABO 的距离为棱柱的高，不妨设为(0)t t >.以O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，11(0,6,0),(2,0,),(0,6,)B A t B t ，则(1,3,)D t ，所以1(2,6,),(1,3,)A B t OD t =--=，所以212180A B OD t ⋅=-+-=，所以4t =，故选C.10.答案：D解析：如图所示，设AC 与BD 交于点O ，连接OF .以O为坐标原点，,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .设1PA AD AC ===，则BD =1(0,0,0),,0,0,2O B F ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，10,,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1310,,0,,022OC BC ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，312FB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.易知OC 为平面BFD 的一个法向量，设平面CBF 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即102102y x z ⎧+=⎪⎪-=，令1x =，则y z CBF 的一个法向量为=n ，所以2127cos ,,sin ,OC OC 〈〉=〈〉=n n ，所以2tan ,OC 〈〉=n 故平面CBF 与平面BFD 夹角的.。
数学 人教A版 选择性必修第一册第一章(空间向量与立体几何)1.1.1-1空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其 线性运算
学习目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算．(重点)
导语
你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中， 飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的 拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面 内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向 量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
内容索引
一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 课时对点练
一 空间向量的有关概念
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示 平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向 量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
∴四边形ABCD为平行四边形.
1234
4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在 平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 O→Q＝P→Q ＋xP→C＋yP→A ，则x＝_－__12___，y＝_－__12___.
知识梳理
注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3 (1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确
的是
√A.m(a－b)＝ma－mb √B.(m－n)a＝ma－na
四
随堂演练
1.(多选)下列命题中，真命题是
高一数学+人教A版2019选择性必修第一册第1章+空间向量与立体几何(复习课件)
证法二:基向量的取法同证法一.
因为1 ·1 =(a-c)·(c+a)=|a|2-|c|2=0,
1
2
1 ·=(a-c)· +
1
1
=2|a|2+a·b-2a·c-b·c=0,
所以1 ⊥ 1 , 1 ⊥ ,即 AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
人教A版2019选修第一册
第 1 章空间向量与立体几何
单元复习
目
录
01空间向量的概念及运算
02利用空间向量证明位置关系
03利用空间向量计算距离
04利用空间向量求空间角
05空间中的折叠与探究性问题
一、空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与
平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相
又∵MN⊄平面 PAD,∴MN∥平面 PAD.
(方法 2)由题意知为平面 PAD 的一个法向量.
∵=(b,0,0),∴ ·=0,∴ ⊥ .
又 MN⊄平面 PAD,∴MN∥平面 PAD.
(2)由(1)知,P(0,0,a),C(b,a,0),M 2 ,0,0 ,D(0,a,0),
1 1 1
＝1＋1＋1＋2×2＋2＋2＝6，
—→
∴| AC1 |＝ 6.
二、利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平
行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关
系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
点P在z轴上，且满足 |PA|＝|PB，则P点坐标为
第1章 空间向量与立体几何-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(选择性必修第一册)
第1章 空间向量与立体几何§1.1 空间向量及其运算1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB .零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0.单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a -.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ（0b ≠），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l . 如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+.4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <>.如果,2a b π<>=,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥.（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <>叫作,a b 的数量积,记作a b ⋅. 即a b ⋅= cos ,a b a b <>.（3）数量积的性质： 0a b a b ⊥⇔⋅=2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅a b b a ⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ （分配律).推论：()2222a b a a b b +=+⋅+，()()22a b a b a b +⋅-=- . （5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,bc a a b b =<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a 所在直线与平面α所成的角. §1.2 空间向量基本定理1.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p .存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得 p xa yb zc =++.2.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c 都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为 1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k 表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.§1.3空间向量及其运算的坐标表示1.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k .以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k 都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 2.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k 为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .3.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔= ，（3）()2211a a x y ==++，（4）21cos ,a ba b a b x ⋅==+ .5.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则12PP = . §1.4 空间向量的应用1.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a 为平面的法向量.2.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈使得12u u λ= .（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅= .法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α.（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈，使得12n n λ=.3. 空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直: 设u 直线l 的方向向量, n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈，使得u n λ=.法2: 在平面α内取两个不共线向量,a b ,若0a u b u ⋅=⋅=.则l α⊥.（3）面面垂直: 设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.4.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点, P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为2222AP AB PQ AP AQ AP AB⋅-=-.(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n , A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n ⋅=.（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n 是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.。
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1
′=-′=(0,0,-2)
′′==－=(0,4,0)－(3,0,0)=(-3,4,0)
′=+ + ′=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2)
(法1)利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标
作=(如图),
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
2
6
3
A(6,3,2)
(x, y, z)，使=xԦ
Ԧ +yԦ+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐
Ԧ
标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x,
Ԧ
y, z).
以坐标原点O为起点的向量 的坐标和终点A的坐标相同。
=(6,3,2)
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=xԦ+yԦ+z.
空间点的坐标：在单位正交基底{Ԧ, Ԧ, }下，=xԦ+yԦ+z，则有
序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量 Ԧ ，
(-x , y , -z)
②点A关于y轴对称的点为A 2 ___________;
(-x , -y , z)
③点A关于z轴对称的点为A 3 ___________.
(-x , -y , -z)
④点A关于原点对称的点为A 4 ___________.
(x , y , -z)
(x , -y , z)
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A 5 __________;
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1
探究二:空间中直线、平面的平行
同学们，我们已经知道，要想得到空间中直线、平面的位置关系， 需要严谨的证明，那么我们现在已经具有空间向量这一个工具， 那么直线、平面位置关系上的证明，可否利用空间向量的坐标运算得到解释呢？
.
如图，设 u1 ， u2 分别是直线 l1 ， l2 的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它 们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以 l1 l2 u1 u2 R ，使得 u1 u2 .
同学们，立体几何的基本图形包括点、线、面， 大家知道怎样在空间中表示一个点吗？
.
1.空间中点的向量表示：如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以 用向量 OP 来表示. 我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
直线的空间向量怎么表示呢？
.
2.空间中直线的向量表示：如图，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取 AB a ，设 P 是直线 l 上的任 意一点，由向量共线的条件可知，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使得 AP ta ，即 AP t AB .
.
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的 方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.
.
如图（1），设直线 l1 ， l2 的方向向量分别为 u1 ， u2 ，则 l1 l2 u1 u2 u1 u2 0 .
如图（2），设直线 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，则 l u n R ，使得 u n .
A. (1, 2, 1)
B. (1, 2,1)
C. (1, 2, 1)
高中数学人教A版2019选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何知识梳理)
第一章空间向量与立体几何（知识梳理）一、空间向量的概念1.空间向量：______________________________________叫做空间向量.2.零向量：长度为___的向量叫做零向量，零向量的方向是________.3.单位向量：长度为___的向量叫做单位向量.4.相等向量：________且________的向量叫做相等向量.5.相反向量：________且________的向量叫做相反向量.向量a⃗的相反向量记为___.6.平行向量：____________________________________叫做平行向量或共线向量.二、空间向量的运算1.空间向量的线性运算，如图（1）a⃗+b⃗⃗=______________，a⃗+b⃗⃗=______________；（2）a⃗−b⃗⃗=______________.（3）当λ>0时，λa⃗的长度为____，方向_________;当λ<0时，λa⃗的长度为____，方向_________;当λ=0或a⃗=0⃗⃗时，λa⃗=_________.2. 空间向量的线性运算满足的运算律（其中λ，μ∈R）（1）交换律：a⃗+b⃗⃗=___________；（2）结合律：（a⃗+b⃗⃗）+c⃗=___________；λ(μa⃗)=______________；（3）分配律：(λ+μ)a⃗=_______________；λ（a⃗+b⃗⃗）=_________________.3.空间向量的数量积运算（1）空间向量的数量积：__________________________________叫做a⃗，b⃗⃗的数量积，即a⃗∙b⃗⃗=__________________.4.空间向量的数量积满足的运算律（1）（λa⃗）∙b⃗⃗=__________________，λ∈R（数乘结合律）；（2）a⃗∙b⃗⃗=__________________（交换律）；（3）（a⃗+b⃗⃗）∙c⃗=_____________（分配律）.5.空间向量的数量积的性质①若a⃗，b⃗⃗是非零向量，则a⃗⊥b⃗⃗⇔_______________；②a⃗∙a⃗=________________或|a⃗|=_________________；③cos 〈a ⃗，b⃗⃗〉＝_________________. 6.共线向量定理：①对空间两个向量a ⃗，b ⃗⃗（b ⃗⃗≠0），a ⃗//b ⃗⃗的充要条件是存在实数λ，使a ⃗=____．②点O 为空间中任意一点，则P.A,B 三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数x ，y ，使OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗且___________． 7. 共面向量：________________________________的向量叫做共面向量．8.共面向量定理：①如果两个向量a ⃗，b ⃗⃗不共线，则向量p ⃗与向量a ⃗，b⃗⃗共面的充要条件是存在唯一的一对实数x ，y ，使p ⃗=___________________．②对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，则P.A,B,C 四点共线的充要条件是存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+zOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗且___________．三、空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗不共面,那么对任意一个空间向量p ⃗，存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使得p ⃗=________________.四、空间向量的坐标运算1.若a ⃗=(a 1，a 2，a 3)，b⃗⃗=(b 1，b 2，b 3)，则： ①a ⃗+b ⃗⃗=_________________________________；②a ⃗−b ⃗⃗=_________________________________；③λa ⃗=_________________________________； ④a ⃗⋅b ⃗⃗=_________________________________．2. 空间向量的平行和垂直的充要条件设a ⃗=(a 1，b 1，c 1)，b⃗⃗=(b 1，b 2，b 3)，则 ① a ⃗∥b ⃗⃗（b ⃗⃗≠0⃗⃗）⇔_______________⇔{a 1=______a 2=______a 3=______； ② a ⃗⊥b⃗⃗⇔___________⇔________________________． 3. 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式设a ⃗=(a 1，b 1，c 1)，b ⃗⃗=(b 1，b 2，b 3)，则① |a ⃗|==____________________，或|a ⃗|2=a ⃗∙a ⃗=________________.② cos⟨a ⃗，b⃗⃗⟩=______________=___________________________.五、空间向量的应用 1.平行与垂直的向量表示 设直线l 、m 的方向向量分别为a 、b ，平面α、β的法向量分别为u 、v ，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论：①m l //⇔b a //⇔________，R k ∈； ② m l ⊥⇔b a ⊥⇔_________；③α//l ⇔u a ⊥⇔________； ④α⊥l ⇔u a //⇔______，R k ∈；⑤βα//⇔v u //⇔______，R k ∈； ⑥βα⊥⇔v u ⊥⇔__________.2. 用向量法求空间距离①两点间的距离：若),,(111z y x A ，),,(222z y x B ，则|AB|=_______________________.②点到直线距离：如右图，在直线l 上任取一点A ，取直线l 的一个单位方向向量u ，则点P 到l 的距离为d=______________.③点到平面距离： 如右图，已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q,则点P 到平面α的距离为d=______________.④求空间中两平行直线间的距离可转换为____________________；求直线与平面间的距离以及两平行平面间的距离可转化______________________.3. 用向量法求空间角①求异面直线所成的角：如右图，已知a 、b 两异面直线，A 、C 与B 、D 分别是a 、b 上的任意两点，异面直线a 、b 所成的角为θ，则cos θ=|cos<AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>|=_________________.。