例说如何找到最优解
求线性规划问题的最优解
求线性规划问题的最优解：121212123max 2322124 16.. 5 15,,0z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 方法1：图解法。
（P15 图1-3）方法2：求出所有的基可行解，然后比较目标值的大小得到最优解。
（P14表1-1）方法3：单纯形法。
第一步，将模型转化为标准型。
12345123142512345max 2300022 12 (1)4 16 (2).. 5 15 (3),,,,0z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ 221004001005001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩A=3 第二步，求初始基可行解。
取()345100 010001B P P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作为初始基矩阵，345, , x x x 为基变量，12, x x 为非基变量，令12=0,x x =得到初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =，目标值(0)0.z =第三步，对初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =进行最优性检验。
基可行解()(0)0,0,12,16,15X =对应的目标值为(0)0z =，因为12023z x x =++，只要1>0x 或者2 0x >，目标值都会比(0)0z =大，即12or x x 之一作为基变量，目标值都会增大，故初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X=不是最优解。
第四步，作基变换，求目标值比(0)0z =更大的基可行解。
① 确定换入基变量。
由第三步可知，12, x x 都可作为换入基变量，一般地，{}121122*********, 0,0. max ,z x x x x σσσσσσσ=++=++≥≥=。
2 x 作为换入基变量。
这里12,σσ称为基可行解(0)X 非基变量12, x x 的检验数。
高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法
线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。
例说如何找到最优解
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例说如何找到最优解
作者：侯修亚
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第03期
求线性目标函数在线性约束条件下的最大（小）值问题，统称为线性规划问题.使目标函
数取得最大值或最小值的解叫最优解.求最优解的具体步骤是：（1）依题意，设出变量，建立目标函数；（2）列出线性约束条件；（3）作出可行域（图形要准确，否则答案会出错）；（4）借助可行域确定函数的最优解（如果是实际问题，则应从实际角度审查最优解），进而作答.
目标函数最优解有些唯一，有些不唯一，有些有无穷个，有些不存在.如何求最优解呢？
一、平移法。
最优解问题(解析版)
最优解问题(解析版)在优化问题中，我们经常遇到一个重要的概念，即最优解。
最优解是指在给定的约束条件下，能够最大化或最小化目标函数的解。
解决最优解问题的关键在于找到满足约束条件的解，并确定其中哪一个是最佳的。
问题分析解决最优解问题的第一步是进行问题分析，了解问题的背景和目标。
首先，我们需要明确问题的约束条件和目标函数。
约束条件是指解决该问题时必须遵守的条件，目标函数是我们要最大化或最小化的数学表达式。
接下来，我们需要确定问题的求解方法。
最优解问题通常可以分为离散和连续两种类型。
离散问题的解空间是有限的，而连续问题的解空间则是无限的。
解决方法针对离散问题，我们可以使用穷举法或动态规划等方法来寻找最优解。
穷举法是一种简单直接的方法，它遍历所有可能的解，并通过比较目标函数的值来确定最优解。
动态规划则是通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来推导出整体的最优解。
对于连续问题，我们可以使用数值优化方法来求解最优解。
数值优化方法通过迭代计算来逐步逼近最优解。
常用的数值优化方法包括梯度下降法和牛顿法等。
结论最优解问题是优化问题中的一个重要概念，解决最优解问题需要进行问题分析，并选择合适的求解方法。
对于离散问题，可以使用穷举法或动态规划；对于连续问题，可以使用数值优化方法。
通过合理的解决方法和对约束条件的准确把握，我们可以找到最优解，从而达到问题的最优化目标。
注意：以上内容为一般情况下的解决方法，具体问题的最优解求解可能需要根据特定情况进行调整和优化。
多参数寻找最优解算法_解释说明以及概述
多参数寻找最优解算法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本篇长文将介绍多参数寻找最优解算法，该算法可以应用于各个领域的优化问题。
在实际问题中，往往存在多个参数需要同时调整以获取最佳解，而传统的单参数最优化算法无法满足这种需求。
因此，我们需要一种能够同时考虑多个参数的寻找最优解算法。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分进行阐述和探讨。
首先，在引言部分我们将概述本篇文章的目的和内容，并介绍多参数寻找最优解算法的定义和特点（第2部分）。
接着，在第3部分我们将详细解释说明该算法的原理，并提供相应的流程图解析。
在第4部分，我们将通过具体的案例来展示该算法的实现步骤与技巧分享，并进行案例选择和分析方法论述。
最后，在第5部分中，我们将总结研究成果并讨论存在问题及改进方向，并展望未来相关研究领域。
1.3 目的本文旨在深入探讨多参数寻找最优解算法，并且通过具体案例的分析展示其实现步骤与技巧。
我们希望读者能够对该算法的原理和应用有一个清晰的了解，并能够在实际问题中灵活运用。
通过本文的阅读，读者将能够了解到该算法在不同领域的应用，并对相关的研究方向和改进方法提供参考和启示。
2. 多参数寻找最优解算法2.1 定义多参数寻找最优解算法是一种用于在具有多个参数的问题中找到最优解的方法。
通常，在现实世界中的许多问题都具有多个输入或参数，而这些参数之间可能存在复杂的相互关系。
因此，通过使用多参数寻找最优解算法，可以更全面地分析和评估各种可能的参数组合，并找到最佳的解决方案。
2.2 特点多参数寻找最优解算法具有以下特点：- 能够同时考虑多个参数的影响：相比于单一参数优化方法，如经典的梯度下降算法，在处理多个参数时更加有效。
- 考虑了各个参数之间的相互关系：该算法考虑到不同参数之间可能存在着相关性或交互作用，从而能够更全面地搜索最优解空间。
- 涵盖了广泛的应用领域：由于许多实际问题涉及到多个变量或条件，因此该算法在各种领域中都具有广泛应用价值。
穷举法举例说明
穷举法举例说明
穷举法是一种计算思路，它通过枚举所有可能的情况，从而找到
最优解。
在实际应用中，穷举法常被用于解决一些复杂的问题。
下面，我们通过几个例子来详细说明该方法的应用。
例1：密码破解
密码的破解可以采用穷举法。
假设某个密码只包含数字和字母，
且长度为4位，则可以按照以下步骤进行破解：先从0000开始，依次
尝试0001、0002、……，直到9999为止。
在这个过程中，如果可以正确破解密码，则停止尝试，否则继续尝试下一个密码。
这种方法虽然
效率比较低，但对于简单密码来说，可以快速找到密码。
例2：网络路由
在计算机网络中，网络路由的目的是寻找从源节点到目标节点的
最短路径。
穷举法可以用于解决路由问题。
假设有一个有向带权图，
可以先从源节点开始，尝试每一条可能的路径，直到找到一条从源节
点到目标节点的路径为止。
在这个过程中，可以采用Dijkstra算法等
其他优化算法，来加快寻找最短路径的速度。
例3：求解方程
穷举法也可以用于解决一些数学问题。
假设要求解某个方程的解，则可以从一个极小值开始，并逐步增加变量的取值，直到满足方程的
条件为止。
在这个过程中，可以采用二分法、牛顿法等其他优化算法来加速求解的过程。
综上所述，穷举法虽然效率可能较低，但是在一些问题上，其解决方法是唯一的。
在实际应用中，我们应该根据具体问题的特点，选择合适的算法来解决问题。
同时，在加速穷举法的过程中，也可以采用其他算法来优化求解的效率。
例谈寻找最优解的方法总结
例谈寻找最优解的方法总结学生解简单的线性规划及相关类问题的难点是：如何利用可行域求得最优解.这里介绍五种方法供同学们参考.1 直线平移法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1求Z=10x+15y的最大值，使得x、y满足约束条件：解：作出约束条件所表示的平面区域（如图1），即可行域.作直线l：10x+15y=0,即直线l：2x+3y=0,把直线l向上方移至m的位置，直线经过可行域上的点P.此时Z=10x+15y取最大值.解方程组得P点坐标x=6，y=9，代入计算得Z=195.max说明：在直线向上平移过程中，Z的值是变大还是变小，这可以通过直线的法向量来判断，当直线沿直线对应的法向量方向平移时，Z值变大，反之则变小.如例1中直线l的法向量为(2,3)，所以直线l向上平移时Z的值变大.另外，通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.2 斜率比较法平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解. 例2求Z=600x+1000y的最大值，使得x、y满足约束条件：解：作出约束条件所表示的平面区域（如图2），即可行域.作直线l：600x+1000y=0,即直线l：3x+5y=0.因为-<-<-<-，即kEN <kMN<kl<kFN，所以把直线l向上方移至m的位置，直线经过可行域上的点M，此时Z=600x+1000y取最大值.解方程组得M的坐标x=，y=，代入计算得Zmax=．说明：确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，经过可行域顶点的先后顺序，从而得到最优解并求得相应Z的最大值.3 代入检验法代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.另外如例2，由于最优解对应的顶点应是M，N中的一个，所以我们也可以通过“代入检验法”将M，N点坐标对应的x，y代入计算得Z值，从而求得Z的最大值及相应的最优解.例3某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么，z=600x+1000y.根据例2得最优解x=，y=.由于12.5>>12.4,34.5>>34.4,设直线n ：3(x-12.4)+5(y-34.4)=0，结合图2,再设直线n与直线MF交点A，直线n与直线MN交点B.AMB内及边界上精确到0.1的点有(11.9,34.7)，（12.1,34.6），(12.3,34.5)，(12.4,34.4),代入检验得当x=12.3，y=34.5时对应z值大.所以在可行域内，精确到0.1的所有点中当x=12.3，y=34.5时z值最大.答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t，能使利润总额达到最大.说明：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）.原解中的答案为x=12.3，y=24.4，这个结果直接来自于取x=，y=的不足近似值.显然这个答案过于简单化了，实际是给出了一个不良的导向，使得学生在后续解题中，不知到底应该取不足近似值，还是过剩近似值，引起解题中的思维混乱.其实从“代入检验法”可知，这里x，y的近似取值应由目标函数值的大小来确定，而不是简单取近似值的问题.对于x，y要求整数的情况也可以类似例3求得相应解.4 直线旋转法当目标函数涉及到某定点的距离问题时，我们可以考虑“直线旋转法”.例4已知平面区域，函数z=x2+y2.问z在哪一点处取得最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？解一：作出约束条件所表示的平面区域（如图3），即可行域ABC.过原点作直线EF，设与可行域ABC边界的交点为E、F.因为=，所以z2表示点(x,y)到原点的距离，所以线段EF上到原点距离最小点为E.将直线绕原点旋转，则E点跑遍线段AB，又线段AB上到原点距离最小点为过原点作直线AB垂线的垂足H.求得垂直OH的方程为：2y-x=0,并求得垂足H的坐标为（，），计算得zmin=.同理，距离最大点为F，将直线绕原点旋转，则F点跑遍线段AC和BC，由于kAC、k BC 都大于0，所以C点到原点的距离最大.计算得C点的坐标（2，3），zmax=12.说明：用旋转直线法求最优解，实质是一种整体局部化思想.5曲线扩张法通常将二元的目标函数中的Z看作一常数，则方程的几何意义为一曲线，如例4中方程Z==x2+y2表示的曲线为以原点为圆心，半径为的圆.利用这一特点往往可以轻松找到最优解.解二：因为方程Z==x2+y2表示的曲线为以原点为圆心，半径为的圆.考察图3知，当圆与直线AB相切时Z值最小.RT ABC中OH AB，所以有|OH|·|AB|=|OA|·|OB|，计算得|OH|=.H的坐标x=|OH|cos HOB=|OH|cos OAB=,y=|OH|sin HOB=|OH|sin OAB=,即可行域内点（，）使Z取得最小，最小值为.当圆过C点时Z值最大，C为已知直线AB与BC的交点，易计算得C点的坐标（2，=12.3），此时zmax说明：由于圆的半径为，所以同一圆弧上的点对应的Z值相等，且圆的半径越大相应的Z值越大，这是判断最优解的依据.而且这一思路可以适用于更为一般的曲线问题.。
数学中的应用问题与最优解法
数学中的应用问题与最优解法数学作为一门学科，不仅仅是一种纯理论的学科，更是一种实用的学科。
在现实生活中，数学的应用问题无处不在，而解决这些应用问题的最优解法也是数学的魅力所在。
本文将探讨数学中的应用问题与最优解法。
一、线性规划问题线性规划是数学中的一种重要应用问题。
它的目标是在一定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划问题可以用来解决许多实际问题，如资源分配、生产计划等。
在线性规划问题中，最优解法通常是通过线性规划算法来实现的。
其中，最著名的算法之一是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步逼近最优解，直到找到最优解为止。
这种方法的优势在于它的简单性和高效性，可以在较短的时间内找到最优解。
二、最短路径问题最短路径问题是数学中的另一个常见的应用问题。
它的目标是在一个加权有向图中找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径问题可以应用于交通网络、电信网络等领域。
在最短路径问题中，最优解法通常是通过迪杰斯特拉算法来实现的。
迪杰斯特拉算法使用了一种贪心策略，从起点开始逐步更新到达每个顶点的最短路径长度，直到找到最短路径为止。
这种方法的优势在于它的高效性和准确性，可以在较短的时间内找到最短路径。
三、最大流问题最大流问题是数学中的另一个重要的应用问题。
它的目标是在一个有向图中找到从源点到汇点的最大流量。
最大流问题可以应用于网络流量控制、物流运输等领域。
在最大流问题中，最优解法通常是通过增广路径算法来实现的。
增广路径算法通过不断寻找增广路径，即从源点到汇点的一条路径，然后通过增加流量来增大总流量，直到无法找到增广路径为止。
这种方法的优势在于它的高效性和可扩展性，可以在较短的时间内找到最大流。
四、整数规划问题整数规划问题是数学中的一种特殊的应用问题。
它的目标是在一定的约束条件下，寻找一个整数解的线性函数的最大值或最小值。
整数规划问题可以应用于资源分配、项目调度等领域。
在整数规划问题中，最优解法通常是通过分支定界法来实现的。
贝叶斯算法 多个参数 最优解 例子过程 详解
贝叶斯算法是一种常用的机器学习算法，它基于贝叶斯定理，能够对不确定性进行建模并进行推理。
在实际应用中，贝叶斯算法通常涉及多个参数，通过计算得出最优解。
本文将详细介绍贝叶斯算法的原理、多个参数的优化过程，并结合例子进行详解。
一、贝叶斯算法原理贝叶斯算法是一种统计学方法，它基于贝叶斯定理，能够通过先验概率和样本信息得出后验概率。
其数学表达式为：P(θ|X) = [P(X|θ) * P(θ)] / P(X)其中，P(θ|X)表示在给定样本X的情况下，参数θ的后验概率；P(X|θ)表示在参数θ下样本X的概率；P(θ)表示参数θ的先验概率；P(X)表示样本X的概率。
通过贝叶斯定理，我们可以利用样本信息来更新参数的概率分布，从而得到对参数的更准确的估计。
二、多个参数的优化过程在实际应用中，很多情况下我们需要优化多个参数，这时候可以使用贝叶斯优化算法。
贝叶斯优化算法通过不断地利用先验信息和样本信息，来寻找参数空间中的最优解。
1. 先验信息的建模在贝叶斯优化算法中，我们需要对参数的先验分布进行建模。
通常可以选择高斯过程作为参数的先验分布，通过对样本数据和先验信息进行贝叶斯推断，得到参数的后验概率分布。
2. 采样更新在得到参数的后验概率分布后，我们可以通过采样的方式来更新参数的概率分布。
通过不断地利用样本信息进行采样，可以逐步优化参数空间中的最优解。
3. 收敛判断在不断地进行采样更新后，我们需要判断参数空间中的最优解是否已经收敛。
通常可以通过设定一个收敛判据，比如参数的后验概率的置信区间，来判断最优解是否已经收敛。
通过以上的步骤，我们可以利用贝叶斯优化算法来寻找多个参数的最优解。
三、例子详解为了更直观地理解贝叶斯算法和多个参数的优化过程，我们举一个简单的例子来说明。
假设我们有一个函数 f(x)=x^2+2x+1，我们希望通过贝叶斯优化算法来寻找函数的最小值点。
这个函数有两个参数，即 x 和 y。
我们需要对参数 x 和 y 的先验分布进行建模，我们选择高斯过程作为先验分布，并利用一些样本数据来得到参数的后验概率分布。
一个最值问题的三种解法
一个最值问题的三种解法最优解是某一特定方法能够在有限的资源内获得最佳结果。
一个最优解问题，通常需要求解给定条件下，最大或最小化某种函数。
一个最优解问题的解法有多种，本文将介绍三种常用的方法，分别是动态规划、贪心算法和遗传算法。
一、动态规划动态规划是一种最优化解决方案，它利用拆解子问题的技术，来计算一个复杂问题的最终结果。
它的特点在于将原问题拆解成若干规模更小的连续子问题，然后逐一解决，从而求出最终的最优解。
它的优点是可以把复杂问题分解成若干简单问题，易于理解和求解，每一步只需要解决一个子问题，每一步完成后都能获得此步最优解。
二、贪心算法贪心算法是搜索策略的一种，它旨在从当前状态出发，找出最优解。
贪心算法的基本思想是在每一步中找到当前最佳（最优）解，从而获得最终的全局最优解。
贪心算法比动态规划更加简单，可以用更少的计算量获得最优解，只需要在每一步求解中做出最佳选择，最终就能得到一个最优解。
但是，贪心算法并不一定能得到最优解，需要合适的算法设计和技巧。
三、遗传算法遗传算法是一种基于自然选择原理的模拟算法，它可以用来求解最优化问题。
遗传算法以自然界中的基因进化为基础，它可以作为一种基于总体的搜索算法，来求解复杂的全局最优解。
遗传算法的优点在于可以快速简易的搜索全局最优解，即使在搜索空间中的解很少或巨大时依然可以快速准确的搜索出最优解。
综上所述，最优解问题可以采用动态规划、贪心算法和遗传算法等三种方法解决。
每种方法都有其优点和缺点，应根据实际情况选择最合适的解决方案。
同时，任何一种方法都要结合个人特点和经验，以此提高解决问题的效率。
借助这三种方法，找出一个最优解是可能的，但也要根据实际情况，根据问题的特点和资源限制，挑选最合适的方法，按照一定的算法步骤，结合个人的实际情况和经验，最终得以获得最优解。
数学中的最优化问题求解方法
数学中的最优化问题求解方法随着科技的迅速发展，人们对于各种事物的需求也越来越高。
而大多数时候，我们是希望达到“最优化”的状态，即在一定条件下，尽可能地取得最大收益或最小成本。
因此，在现实生活中，最优化问题思维逐渐成为人们解决问题的重要方法之一。
而在数学领域，最优化问题同样具有重要作用。
本文将从最优化问题基本概念、最优化建模和求解方法三方面，介绍最优化问题的相关知识。
一、最优化问题基本概念最优化问题，即指在满足一定约束条件下，求出某些目标（如最大值或最小值）最优的解。
最优化问题的基本形式为：$\max_{x\in S} f(x)\qquad$或$\qquad\min_{x\in S} f(x)$其中，$f(x)$为目标函数，$x$为变量，$S$为变量的约束条件。
在最优化问题中，“最大值”和“最小值”藏在目标函数里。
目标函数中哪个变量每增加1，函数数值改变的最大值或最小值就被称为局部最优解或全局最优解。
因此，最优化问题的关键在于如何确定最优解，这便需要我们对其建模和求解。
二、最优化建模最优化问题的关键在于合理建立问题模型。
根据问题特性，我们可以将其分为线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、多目标规划等不同类型。
2.1 线性规划线性规划问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
线性规划模型最为简单，但覆盖了许多实际应用的情况。
其基本形式为：$\max_{x\in\Re^n}c^Tx\qquad s.t.\qquad Ax\leq b,x\geq0$其中，向量$c$, $b$和矩阵$A$均为已知的常数，$x$为待求的向量。
在式子中，第一行为目标函数，第二行代表约束条件。
由于目标函数和约束条件均为线性函数，因此这是典型的线性规划问题。
2.2 非线性规划非线性规划问题是指其中一个或多个约束条件或目标函数为非线性函数的最优化问题。
非线性规划比线性规划更为广泛，因此变量取值空间、目标函数和约束条件也更灵活多样。
例说最优化问题
例说最优化问题作者：曹小雪来源：《理科考试研究·初中》2013年第03期最优化问题在实际生活中应用广泛，它涉及到生产生活的各个方面.在高考数学应用题中，最优化问题占有较大的比重.随着现代化生产和科学技术的进步，最优化问题已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域.本文总结了解决最优化问题的方法，从几个实例入手，运用线性规划、函数、不等式、方程解决最优化问题.一、借助线性规划处理的问题例1某市服装厂准备生产甲、乙两种服装，据调查生产一批甲服装所需要的主要原料是A 布匹400 g、B布匹180 g；生产一批乙服装的主要原料是A布匹100 g、B布匹150 g.现服装厂库房内存A布匹1000 g、B布匹660 g，在此基础上生产甲、乙两种服装.若生产一批甲服装，所获得的收益为10000元；生产一批乙服装所获得的收益为5000元.那么该服装厂应该如何生产甲、乙这两种服装，从而使得最后获得的利润最大？分析这题是给定一定数量的资源，要求充分利用好现有资源，保证生产的效益最大化问题.由给出的条件我们可以设生产A服装x批，生产乙服装y批，最终的利润为z万元，所以可以求得目标函数z=x+0.5y.再运用线性规划画出图形，即可求出z何时取得最大值.解设生产甲种服装x批，乙服装y批，最终利润为z万元.目标函数z=x+0.5y，400x+100y≤1000，180x+150y≤660，x≥0，y≥0.根据不等式组作出可行域图，根据图形可以看出在M（2，2）处，目标函数取得最大值，也就是最优解，所以应该生产2批甲服装，2批乙服装.评注在最优化问题中，最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.线性规划问题的解有多种情况，除了有唯一最优解的情况外，还有无可行解、有多个最优解（目标函数与可行域边界平行）、有可行解无最优解.我们在解决实际问题时，结果要符合实际意义.二、用函数思想解决的问题例2某大型游乐场投资150万元引进某一大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可收入33万元，而该游乐设施开放后，从第一个月到第x个月的维修包养费用累计y万元，且y=ax2+bx. 设施开放x月后总的纯收益为g（x）万元（g（x）是关于x的二次函数）.（1）若维修保养费用第一个月为2万元，第二个月为4万元，求y关于x的解析式；（2）求纯收益g（x）关于x的解析式；（3）问设施开放几个月后，游乐场总的纯收益g（x）达到最大值.分析本题是利用函数的单调性解决最值问题.解（1）将已知条件x=1时，y=2；x=2时，y=6代入方程得a+b=2，4a+2b=6.从而解得a=b=1，所以y=x2+x.（2）由题意知，纯收益g（x）=33x-150-（x2+x）=-x2+32x-150.（3）g（x）=-x2+32x-150，要求g（x）的最大值，由于g（x）是二次函数，所以可以将g（x）化为其标准形式g（x）=-（x-16）2+106.所以g（x）是一个开口向下的抛物线，所以当x=16时，g（x）取得最大值106，即开放16个月之后，总的纯收益最大.三、用不等式处理最优问题例3某公司准备分批购买单价0.2万元的设备3600套，每次购买该设备都要付运费400元，已知储存该设备全年所需支付的保管费与每批购入该设备的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400套，那么全年用于保管该设备的费用为4.36万元.现公司全年只有2.4万元的可用资金可以支付这笔费用，如何合理安排每批购买的设备数目，合理利用资金？分析该案例可归纳为：每批购入x套设备为何值时，使得该设备的运费和保管费最小，最后再利用这个最小值与该公司全年现有资金2.4万元比较.解设全年需用去运费和保管费用之和为y万元，储存该设备全年所需支付的保管费与每批购入该设备的总价值（不含运费）的正比系数为W，每次购入设备x套，则需要购买3600/x （次），每批的费用为0.2x万元.由题意得y=0.04×3600x+0.2Wx.由x=400时，y=4.36，得W=120，所以y=0.04×3600x+1100x.根据不等式的性质得y=0.04×3600x+1100x≥20.04×（1100x）×3600x=2.4，当且仅当0.01x=0.04×3600x时，即x=120时，等号成立.所以，每次购买120套，则可以使得资金够用.四、用二次方程求最值问题例4A、B是两个货运中心，B离中转站C 30千米，C和A相距50千米（如图2）.现要在AC之间建立另一站点D，且AD段的运费是BD段的一半，要使A-D-B的总费用加起来最省，则D站点建在何处？分析设AD长为x千米，如果AD路段每吨千米的运费为1个价格单位，那么BD路段的运费为2个价格单位，设每吨货物从A运到B的总费用为y个价格单位.解设每吨货物从A到B的总费用为y个价格单位，则y=1×x+2（50-x）2+302.将实际问题化为关于x的二次方程为3x2-2（200-y）x+（13600-y2）=0.本题要求运费最省，则Δ=16y2-1600y-3200≥0，即y2-100y-200≥0.解此不等式，得y≥50+103和y≤-50+103（不合题意，舍去）.所以y最小值=50+103.当y=50+103时，Δ=0，此时x=-[-2（200-y）]±02×3，即x=200-（50+103）3≈44.所以该站点应该建在A、C之间距离A约44千米处的D处.评注这是运费最低问题，解决该题的关键是要将成本与路程的关系转化成数学模型——二次函数，然后根据函数的特点，应用判别式求最值法，给出最优结果.最优化问题在实际生活中具有很强的应用性，在将最优化问题转化为实际问题时，要正确解读、理解题意，建立恰当的数学模型，细心解答.在解决最优化问题时，建模能力是解题的关键，最后得到的答案要与实际问题相符合.近几年的高考数学试卷中“最优化问题”备受命题组的青睐，将生活与数学紧密结合，充分体现了“生活即数学”的新课程理念.。
k-t条件求最优解例题
k-t条件求最优解例题K-T条件是指在最优化问题中，当满足一定条件时，一个解被认为是最优解。
这个条件是由Karush-Kuhn-Tucker提出的，也称为KKT条件。
KKT条件是最优化问题的必要条件，可以用来判断一个解是否是最优解。
下面以一个简单的例题来说明K-T条件的应用：假设我们要求解如下最优化问题：最小化目标函数 f(x) = x^2 + 2x + 1。
约束条件为 g(x) = x 2 = 0。
首先，我们可以先求解无约束情况下的最优解。
对目标函数求导，得到 f'(x) = 2x + 2。
令导数等于0，得到 2x + 2 = 0，解得 x = -1。
这是无约束情况下的最优解。
接下来，我们引入约束条件，将其转化为等式 g(x) = x 2 = 0。
根据KKT条件，最优解必须满足以下三个条件：1. 梯度条件，目标函数的梯度与约束函数的梯度的线性组合等于零向量。
即∇f(x) + λ∇g(x) = 0，其中∇表示梯度，λ 表示拉格朗日乘子。
对于本例，目标函数的梯度为∇f(x) = 2x + 2，约束函数的梯度为∇g(x) = 1。
代入梯度条件，得到2x + 2 + λ = 0。
2. 原始可行性条件，约束函数必须满足 g(x) = 0。
对于本例，约束函数为 g(x) = x 2 = 0。
3. 对偶可行性条件，拉格朗日乘子必须满足λ ≥ 0。
综上所述，我们可以得到以下方程组：2x + 2 + λ = 0。
x 2 = 0。
λ ≥ 0。
通过求解这个方程组，可以得到最优解的值。
将第一个方程代入第二个方程，得到 2 2 = 0，说明约束条件满足。
将第一个方程代入第三个方程，得到λ ≥ 0，说明对偶可行性条件满足。
解这个方程组，我们可以得到 x = -1，λ = 0。
这个解满足全部的KKT条件，因此 x = -1 是原问题的最优解。
总结起来，K-T条件是在最优化问题中判断一个解是否是最优解的必要条件。
通过满足梯度条件、原始可行性条件和对偶可行性条件，可以确定最优解的值。
方法对路的最优解
方法对路的最优解
要找到路的最优解，需要采用合适的方法。
以下是一些常用的方法：
1. 图论算法：使用图论算法，比如最短路径算法（如Dijkstra
算法、Floyd-Warshall算法、A*算法等），可以找到两点之间
的最短路径或最优路径。
这些算法可以考虑不同的路段权重（如距离、时间、消耗等），并给出最优解。
2. 动态规划：将问题拆分为子问题，并利用已知最优解来求解更大规模的问题。
对于路最优解问题，可以将整条路段划分为多个子问题，比如求解从起点到某个中间点的最优路径，再从这个中间点到终点的最优路径，最后将这两段路径连接起来即可得到整体最优解。
3. 贪心算法：每一步选择当前最优解，希望最终能得到整体最优解。
对于路最优解问题，可以从起点开始，每一步选择距离最近的可行路径，并不断向前移动，直到达到终点。
4. 遗传算法：模拟生物进化的遗传规律，通过种群的自然选择、交叉和变异等操作，逐步优化得到较好的解。
对于路最优解问题，可以将路径表示为染色体，通过交叉和变异操作产生新的路径，并根据路径的适应度（如距离、时间等）进行选择，最终得到较优的解。
以上是一些常用的方法，具体要根据实际问题的特点来选择合适的方法。
同时，考虑到实际应用中可能涉及到的其他因素
（如交通拥堵、道路条件等），还需要对问题进行适当的改进和优化。
例谈寻找最优解的方法总结
例谈寻找最优解的方法总结学生解简单的线性规划及相关类问题的难点是：如何利用可行域求得最优解.这里介绍五种方法供同学们参考.1 直线平移法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1求Z=10x+15y的最大值，使得x、y满足约束条件：解：作出约束条件所表示的平面区域（如图1），即可行域.作直线l：10x+15y=0,即直线l：2x+3y=0,把直线l向上方移至m的位置，直线经过可行域上的点P.此时Z=10x+15y取最大值.解方程组得P点坐标x=6，y=9，代入计算得Z=195.max说明：在直线向上平移过程中，Z的值是变大还是变小，这可以通过直线的法向量来判断，当直线沿直线对应的法向量方向平移时，Z值变大，反之则变小.如例1中直线l的法向量为(2,3)，所以直线l向上平移时Z的值变大.另外，通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.2 斜率比较法平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解. 例2求Z=600x+1000y的最大值，使得x、y满足约束条件：解：作出约束条件所表示的平面区域（如图2），即可行域.作直线l：600x+1000y=0,即直线l：3x+5y=0.因为-<-<-<-，即kEN <kMN<kl<kFN，所以把直线l向上方移至m的位置，直线经过可行域上的点M，此时Z=600x+1000y取最大值.解方程组得M的坐标x=，y=，代入计算得Zmax=．说明：确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，经过可行域顶点的先后顺序，从而得到最优解并求得相应Z的最大值.3 代入检验法代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.另外如例2，由于最优解对应的顶点应是M，N中的一个，所以我们也可以通过“代入检验法”将M，N点坐标对应的x，y代入计算得Z值，从而求得Z的最大值及相应的最优解.例3某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么，z=600x+1000y.根据例2得最优解x=，y=.由于12.5>>12.4,34.5>>34.4,设直线n ：3(x-12.4)+5(y-34.4)=0，结合图2,再设直线n与直线MF交点A，直线n与直线MN交点B.AMB内及边界上精确到0.1的点有(11.9,34.7)，（12.1,34.6），(12.3,34.5)，(12.4,34.4),代入检验得当x=12.3，y=34.5时对应z值大.所以在可行域内，精确到0.1的所有点中当x=12.3，y=34.5时z值最大.答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t，能使利润总额达到最大.说明：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）.原解中的答案为x=12.3，y=24.4，这个结果直接来自于取x=，y=的不足近似值.显然这个答案过于简单化了，实际是给出了一个不良的导向，使得学生在后续解题中，不知到底应该取不足近似值，还是过剩近似值，引起解题中的思维混乱.其实从“代入检验法”可知，这里x，y的近似取值应由目标函数值的大小来确定，而不是简单取近似值的问题.对于x，y要求整数的情况也可以类似例3求得相应解.4 直线旋转法当目标函数涉及到某定点的距离问题时，我们可以考虑“直线旋转法”.例4已知平面区域，函数z=x2+y2.问z在哪一点处取得最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？解一：作出约束条件所表示的平面区域（如图3），即可行域ABC.过原点作直线EF，设与可行域ABC边界的交点为E、F.因为=，所以z2表示点(x,y)到原点的距离，所以线段EF上到原点距离最小点为E.将直线绕原点旋转，则E点跑遍线段AB，又线段AB上到原点距离最小点为过原点作直线AB垂线的垂足H.求得垂直OH的方程为：2y-x=0,并求得垂足H的坐标为（，），计算得zmin=.同理，距离最大点为F，将直线绕原点旋转，则F点跑遍线段AC和BC，由于kAC、k BC 都大于0，所以C点到原点的距离最大.计算得C点的坐标（2，3），zmax=12.说明：用旋转直线法求最优解，实质是一种整体局部化思想.5曲线扩张法通常将二元的目标函数中的Z看作一常数，则方程的几何意义为一曲线，如例4中方程Z==x2+y2表示的曲线为以原点为圆心，半径为的圆.利用这一特点往往可以轻松找到最优解.解二：因为方程Z==x2+y2表示的曲线为以原点为圆心，半径为的圆.考察图3知，当圆与直线AB相切时Z值最小.RT ABC中OH AB，所以有|OH|·|AB|=|OA|·|OB|，计算得|OH|=.H的坐标x=|OH|cos HOB=|OH|cos OAB=,y=|OH|sin HOB=|OH|sin OAB=,即可行域内点（，）使Z取得最小，最小值为.当圆过C点时Z值最大，C为已知直线AB与BC的交点，易计算得C点的坐标（2，=12.3），此时zmax说明：由于圆的半径为，所以同一圆弧上的点对应的Z值相等，且圆的半径越大相应的Z值越大，这是判断最优解的依据.而且这一思路可以适用于更为一般的曲线问题.。
解方程最优解
在数学中，寻找方程的最优解通常指的是找到满足方程的参数值，使得某个目标函数达到最小化或最大化。
这类问题属于优化问题的范畴。
例如，考虑一个简单的一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，我们可能想要找到参数( a, b, c ) 的值，使得这个方程的根( x ) 满足某种特定条件，比如使得( x ) 的绝对值最小。
对于更复杂的问题，如多元函数的最优化，可以使用微积分中的偏导数和梯度下降法来找到局部最优解。
对于非线性问题，可能需要使用更为高级的优化算法，如遗传算法、粒子群优化等启发式方法。
在实际应用中，如机器学习、统计学、工程学等领域，寻找最优解是非常重要的。
这些问题通常需要结合理论知识和计算技巧，利用软件工具进行数值求解。
总的来说，寻找方程的最优解是一个复杂且多变的过程，需要根据具体问题的性质选择合适的数学工具和计算方法。
最优解模型解法
最优解模型解法最优解模型解法是一种常见的优化问题解决方法，主要用于在给定的限制下，找出使目标函数取得最优值的变量取值。
下面我们将从理论与实践两个方面，介绍最优解模型解法的基本概念、应用场景、求解方法等。
一、理论基础1.1 最优化问题的形式化定义最优化问题的一般形式是：max f(x)，s.t. g(x)≤0, h(x)=0其中，f(x)为目标函数，x为自变量，g(x)和h(x)分别为不等式约束和等式约束。
目标是在限制条件下，求出最大（最小）化的目标值。
这个过程就是优化过程。
1.2最优解的定义最优解是指满足约束条件的最优值，分为全局最优解和局部最优解。
全局最优解是在所有可行解中的最佳解，而局部最优解则由某些条件限制下的最佳解。
1.3 模型分类最优解模型可以分为线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
其中，线性规划最为常见，主要是因为它具有优秀的求解工具和求解算法。
二、应用场景2.1 生产计划与调度通过最优解模型，可以优化生产计划与调度，最大化效益，最小化成本。
例如，工厂生产问题中，可以通过最优化问题求解最佳的生产计划，以达到最高的效率和最低的成本。
2.2 物流调度物流调度中的最优化问题，可以使用最优解模型来解决。
例如，通过线性规划模型，可有效规划运输路径，提高效率和降低成本。
2.3 金融领域在金融领域中，最优解模型可以应用于投资组合优化、金融风险控制等领域。
例如，投资组合优化中，可以使用最优解模型优化投资组合，并达到最优效果。
三、求解方法3.1 线性规划模型线性规划模型是最常见的最优解模型。
其目标函数和约束函数都是线性规划函数，可以使用单纯性算法或内点算法求解。
3.2 整数规划模型整数规划模型是在线性规划模型的基础上，增加了整数约束条件。
整数约束条件使问题更为复杂，但是较小的整数问题可以使用穷举法求解。
3.3 非线性规划模型非线性规划模型的约束和/或目标函数是非线性的。
求解方法包括黄金分割法、拟牛顿法等。
优超原则求解矩阵对策例题
优超原则求解矩阵对策例题好吧，听起来你想了解优超原则和矩阵对策。
这个话题有点复杂，但我尽量让它轻松有趣。
想象一下，你和朋友们在玩一种决策游戏。
每个人都有不同的策略，但最终的目标是赢。
对吧？这就是矩阵对策的核心。
在这个游戏中，大家都在思考自己的最佳策略，想着“我该怎么做才能拿到最大的收益呢？”这就像一场没有硝烟的战争，大家都在谋划，既有合作，又有竞争。
优超原则就像一个大招，它告诉我们，如何在众多的选择中找到最优解。
比如说，你跟朋友们出去吃饭。
一个人想吃火锅，另一个人想吃炸鸡，最后大家一致决定去吃自助餐，哈哈，这就是妥协。
每个人都试图选择自己的“最优”方案，最终却达成了一种相对的共识。
这个过程中的每一个决定，就像矩阵中的一项，都是为了达到那个“赢”的结果。
在实际操作中，大家可能会发现，单靠一个人的选择，结果未必是最佳的。
就像你在玩一个多人游戏时，单打独斗肯定不行，合作才是王道。
这样，你们就可以运用优超原则，尽量去满足每个人的需求。
就像古话说的，“多一个人多条路”，大家都出谋划策，总能找到一个能兼顾各方的方案。
实际的决策过程往往充满了各种意外。
有时候你以为自己找到了“终极方案”，结果一推敲，发现别人已经想到了更好的选择。
哎，真是“山外有山，人外有人”啊！所以，大家在制定策略时，得不断调整自己的想法，不能固执己见。
这就像你在游戏中，看到敌人换了策略，自己也得赶紧跟上，不能掉链子。
然后，我们再来聊聊那个矩阵。
这个东西看起来有点复杂，其实就是一个表格，里面列着不同策略的结果。
比如说，你和朋友们选择了各自的晚餐策略，最后结果就形成了一个矩阵。
你可能会发现，某些选择的结果总是优于其他选择。
这时候，优超原则就可以派上用场了。
它帮助你在这个矩阵中，找出每个人都能接受的最优解。
就像在打麻将时，总要把牌打得既好又不让别人轻易吃到。
在这过程中，记得多沟通，大家都在同一条船上，别让小误会变成大问题。
就像“隔壁老王”总爱传谣，误解一旦产生，谁也别想安宁。
最优性检验与解的判别
最优性检验与解的判别我们前面已经讨论过线性规划问题的解的几种情况，分别是由唯一最优的解，无穷多的最优解，无界解和无可行解。
下面我们来讨论怎样判别解属于那一种情况 ''1n i i ij j j m x b a x =+=-∑ （i=1,2,…,m ） (1-1)将（1-1）式代入目标函数目标函数式为（1-2）''111m nm i i j i ij j i j m i z c b c c a x ==+=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑ （1-3） 令''011,,1,...,m m i i j i ij i i z c b z c a j m n =====+∑∑ 于是01()n j j j j m z z c z x =+=+-∑ （1-4）再令 j j j c z σ=- （j=m+1,…,n ）则01n j j j m z z x σ=+=+∑ （1-5） 1. 最优解的判别定理 若(0)'''12(,,...,,0,...,0)T m X b b b =为对应基B 的一个基可行解，且对于一切J=m+1,…,n,有0j σ≤，则为(0)X最优解。
称j σ为检验数。
2. 无穷多最优解判别定理若(0)'''12(,,...,,0,...,0)Tm X b b b =为一个基可行解, 对于一切j = m+ 1 , ⋯, n, 有σj≤0 ,又存在某个非基变量的检验数σm + k = 0 ,则线性规划问题有无穷多最优解。
证只需将非基变量m k x +换入基变量中, 找到一个新基可行解。
因σm + k = 0, 由(1 -2 )知, 0z z = 故(0)X 也是最优解。
由前面提到的定理，即，若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优，可知, (0)X ，(1)X 连线上所有点都是最优解3. 无界解判别定理若(0)'''12(,,...,,0,...,0)T m X b b b =为一基可行解, 有一个σm + k > 0 , 并且对i = 1 , 2 , ⋯,m ,有,0i m k a +≤, 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
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例说如何找到最优解
作者：侯修亚
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第03期
求线性目标函数在线性约束条件下的最大（小）值问题，统称为线性规划问题.使目标函
数取得最大值或最小值的解叫最优解.求最优解的具体步骤是：（1）依题意，设出变量，建立目标函数；（2）列出线性约束条件；（3）作出可行域（图形要准确，否则答案会出错）；（4）借助可行域确定函数的最优解（如果是实际问题，则应从实际角度审查最优解），进而作答.
目标函数最优解有些唯一，有些不唯一，有些有无穷个，有些不存在.如何求最优解呢？
一、平移法。