福建省福州三中高三数学文史类质量检查考试卷
福州市高中毕业班文科数学质量检查
福州市高中毕业班文科数学质量检查2021年福州市高中毕业班质量反省数学〔文科〕试卷参考答案及评分规范一、选择题〔本大题共12小题，每题5分.〕 1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C8．B9．A10．C11．A12．D二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分．〕 13．i14．1415．116．1()3n三、解答题〔本大题共6小题，共74分．〕 17．解：〔Ⅰ〕由得112n n a a +=+，即112n n a a +-=． ········································ 1分 ∴ 数列{}n a 是以12为首项，以12d =为公差的等差数列． ································· 2分 ∵ 1(1),n a a n d =+- ················································································· 3分 ∴ 11(1)222n na n =+-=〔*n N ∈〕． ·························································· 6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得141(1)22nb n n n n ==++⋅， ················································· 7分 ∴ 114()1n b n n =-+． ············································································ 9分 ∴ 111114[(1)()()]2231n T n n =-+-++-+14(1)1n =-+41n n =+． ···················· 12分 18．解：〔Ⅰ〕事情A 包括的基身手情为：{,}a b 、{,}a c 、{,}a x 、{,}a y 、{,}b c 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共10个． ······································································ 6分 注：⑴ 漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一概扣3分． 〔Ⅱ〕方法一：记 〝至少有1扇门被班长关闭〞为事情B ．∵ 事情B 包括的基身手情有{,}a x 、{,}a y 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共7个． ···················································································································· 9分∴ 7()10P B =． ······················································································ 12分 方法二：事情〝2个门都没被班长关闭〞 包括的基身手情有{,}a b 、{,}a c 、{,}b c ，共3个． ·································································· 8分∴ 2个门都没被班长关闭的概率1310P =， ···················································· 10分 ∴ 至少有1个门被班长关闭的概率23711010P =-=．······································ 12分 19．方法一：由sin()04x π-≠，得4x k ππ-≠〔k ∈Z 〕，即4x k ππ≠+〔k ∈Z 〕，∴ 函数()f x 定义域为{|,}4x x k k ππ≠+∈Z ． ··············································· 2分 ∵cos 2(),sin()4x f x x π=-22cos sin ()cos sin )cos sin 4x x f x x x x x x π-∴==+=+-， ······································ 5分 注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分.〔Ⅰ〕()sin()121243f ππππ=+===································ 8分 〔Ⅱ〕令322(242Z)k x k k πππππ+<+<+∈， ·········································· 10分 得522(44Z),k x k k ππππ+<<+∈ ··························································· 11分 ∴ 函数()f x 的单调递减区间为5(2,2)44k k ππππ++(Z)k ∈． ····················· 12分 注：先生假定未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分． 方法二：由sin()04x π-≠，得4x k ππ-≠〔k ∈Z 〕，即4x k ππ≠+〔k ∈Z 〕，∴ 函数()f x 定义域为{|,}4x x k k ππ≠+∈Z ． ············································· 2分 ∵cos 2(),sin()4x f x x π=-sin 2()2sin()cos()444())4sin()sin()44x x x f x x x x ππππππ---∴==---， ························ 5分〔Ⅰ〕()cos())121246f ππππ=--= ··························· 8分〔Ⅱ〕令22()4k x k k Z ππππ<-<+∈， ·················································· 10分 得522(44Z)k x k k ππππ+<<+∈， ························································· 11分 ∴ 函数()f x 的单调递减区间为5(2,2)44k k ππππ++(Z)k ∈． ····················· 12分 方法三：〔Ⅰ〕∵cos(2)cos126ππ⨯==，1sin()sin 41262πππ-==， ∴2()1122f π=． ········································································ 3分 下同方法一、二．20．解：〔Ⅰ〕依题意，点P 坐标为(,0)a ． ················································ 1分 ∵ 6OP OQ ⋅=，点Q 坐标为(3,3)，∴ 3306a +⨯=，解得2a =． ··································································· 3分∴ 椭圆C 的方程为22149x y +=． ································································ 4分 〔Ⅱ〕过点Q (3,3)且斜率为32的直线AB 方程为33(3)2y x -=-，即3230x y --=． ···················································································· 5分 方法一：设点A 、B 的坐标区分为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 并整理得，2812270y y +-=． ·································· 6分 ∴ 1212327,28y y y y +=-=-， ··································································· 7分 ∴ 2212121295463()()4444y y y y y y -=+-=+=， ∴12||y y -=． ················································································ 9分 ∵ 直线AB 与x 轴的交点为(1,0)M ， ∴AOB ∆的面积AOB OMA OMBS S S ∆∆∆=+121211||(||||)1||22OM y y y y =⋅+=⨯⨯-． ·············· 12分 方法二：设点A 、B 的坐标区分为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ············ 6分 ∴12,x x ==， ········································· 7分 ∴12|||AB x x =-= ·· 9分 ∵ 点O 到直线AB的距离d ===， ····································· 10分 ∴AOB ∆的面积1122AOB S AB d ∆=⋅⋅==． ·························· 12分 方法三：设点A 、B 的坐标区分为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ············ 6分 ∴12,x x ==， ········································· 8分 ∵ 直线AB 与y 轴的交点为3(0,)2M -，∴AOB ∆的面积AOB OMA OMB S S S ∆∆∆=+12113||(||||)222OM x x =⋅+=⨯⨯=12分 方法四：设点A 、B 的坐标区分为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ········································ 6分 ∴ 121231,2x x x x +=⋅=-， ······································································· 7分∴12||AB x x -==·············································································································· 9分∵ 点O 到直线AB的距离d ===， ··································· 10分 ∴AOB ∆的面积1122AOB S AB d ∆=⋅⋅==． ·························· 12分 21．〔Ⅰ〕证明：在菱形ABCD 中，∵ BD AC ⊥，∴ BD AO ⊥. ························································································· 1分 ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥,∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , ·········································································· 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥. ························································································· 3分 ∵ AOPO O =，所以BD ⊥平面POA .······················································ 4分 〔Ⅱ〕连结OB ，设AO BD H =.由〔Ⅰ〕知，AC BD ⊥． ∵ 60DAB ∠=︒，4BC =，∴ 2BH =，CH = ········································································· 5分 设OH x =〔0x <<由〔Ⅰ〕知，PO ⊥平面ABFED ,故POB ∆为直角三角形． ∴ 222222()PB OB PO BH OH PO =+=++，∴222224)2162(10PB x x x x =++=-+=+． ······················ 7分事先x =PB 取得最小值，此时O 为CH 中点． ········································· 8分 ∴ 14CEF BCD S S ∆∆=， ················································································· 9分 ∴ 3344BCD ABD BFED S S S ∆∆==梯形， ································································ 10分 ∴ 1211,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形． ················································· 11分 ∴1243ABD BFED V S V S ∆==梯形．∴ 当PB 取得最小值时，12:V V 的值为4:3． ················································ 12分22．解：〔Ⅰ〕22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-+=-〔0x >〕， ····························· 1分 由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,0f x x '<⎧⎨>⎩得，1x >. ∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ······································· 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ···························································· 4分 〔Ⅱ〕∵ ()a g x x x =+， ∴ 2()1a g x x'=-． 〔ⅰ〕由〔Ⅰ〕知，1x =是函数()f x 的极值点， 又∵ 函数()f x 与()a g x x x =+有相反极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ································································· 7分 经检验，事先1a =，函数()g x 取到极小值，契合题意． ···································· 8分 〔ⅱ〕∵ 211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln3f =-+， ∵ 2192ln321e -+<--<-， 即 1(3)()(1)f f f e<<， ∴ 11[,3]x e ∀∈，1min 1max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ···················· 9分 由〔ⅰ〕知1()g x x x =+，∴21()1g x x '=-. 事先1[,1)x e ∈，()0g x '<；事先(1,3]x ∈，()0g x '>．故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数．∵ 11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=， 而 11023e e <+<, 1(1)()(3),g g g e ∴<<∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====． ······························ 10分 ① 当10k ->，即1k >时， 关于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴ 312k ≥-+=-，又∵ 1k >，∴ 1k >． ····························································································· 12分 ② 当10k -<，即1k <时， 关于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+．∵ 121037()()(3)(3)92ln32ln333f x g x f g -≥-=-+-=-+， ∴ 342ln33k ≤-+． 又∵1k <，∴ 342ln33k ≤-+． 综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln3](1,)3-∞-++∞． ··························· 14分。
2021-2022学年福建省福州三中高三(上)第四次质检数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省福州三中高三（上）第四次质检数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|lg(x+1)≤0}，B={x|x<1}，则∁U(A∩B)=()A. (−∞,0]B. (0,+∞)C. (−∞,−1]∪(0，+∞)D. (−1,0]2.设i为虚数单位，a∈R，“复数z=a22+i20211−i是纯虚数”是“a=1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知sin(α+π3)=45,则cos(α−π6)=()A. −45B. −35C. 45D. 354.已知a=20.1，b=0.50.5，c=log84，则()A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a5.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是()A. 2πB. 4πC. 8πD. 10π6.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念．星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的()倍．(当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A. 1.27B. 1.26C. 1.23D. 1.227.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当|MF2|+|MN|取最小值12时，该双曲线的渐近线方程为()A. y =±14xB. y =±xC. y =±2xD. y =±4x8. 已知在等差数列{a n }中，a 2=3，a 6=11，数列{b n }的通项b n =log a (1+1a n)(a >1)，s n 是数列{b n }的前n 项和，若T n =log a √a n +1，则S n 与T n 的大小关系是( )A. S n ≥T nB. S n >T nC. S n <T nD. S n ≤T n二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=−x −1，若f(a)f(−a)=4，则实数a 的值可为( )A. −3B. −1C. 1D. 310. 下列命题正确的是( )A. O 为△ABC 内一点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则O 为△ABC 的重心 B. (x 2−2x 3)5展开式中的常数项为40C. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为：存在x 0∈R ，使得x 02<0D. 实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a +b 的最大值为111. 如图直角梯形ABCD ，AB//CD ，AB ⊥BC ，BC =CD =12AB =2，E 为AB 中点，以DE 为折痕把△ADE折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =2√3.则( )A. 平面PED ⊥平面EBCDB. PC ⊥EDC. 二面角P −DC −B 的大小为π4 D. PC 与平面PED 所成角的正切值为√212. 寿山石是福州特有的名贵石材，某寿山石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y =t(t >0)与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是( )A. 椭圆的离心率是√22B. 线段AB长度的取值范围是(0,3+3√2)C. △OAB的周长存在最大值D. △ABF面积的最大值是94(√2+1)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：2x−3y+4=0，l2：ax−32y−1+2a=0且l1//l2，则两直线之间的距离为______．14.抛物线y=ax2(a>0)上一点A(m,2)到焦点的距离为3，则a=______．15.袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球，则涂成黑球，若摸得黑球，则不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球.记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ，则P(ξ=0)=______ ；E(ξ)=______ ．16.设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x∈[a,b]，都有|f(x)−g(x)|<1，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“密切函数”，区间[a,b]称为“密切区间”.设函数f(x)=lnx−12x与g(x)=12x−2t在[1e,e]上是“密切函数”，则实数t的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=(4c−b)cosA．(1)求sinA；(2)若a=2，sinC=√158，求△ABC的面积．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，在①a n+1=2S n+3(n∈N∗)；②S n=3 2(3n−1)(n∈N∗)；③13a1+132a2+133a3+⋯+13na n=n(n∈N∗)，这三个条件中任选一个，解答下列问题．(1)求出数列{a n}的通项公式；(2)若设b n=log3a2n−1，数列{1b n b n+1}的前n项和为T n，证明：T n<12．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，△ACD是边长为1的等边三角形．(1)证明：CD⊥B1D；(2)若BC=√3，求二面角B−C1D−B1的大小．20.近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2∼3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．(1)南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足X∼N(52,14)，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率；(2)①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为ξ，求ξ的数学期望；②某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记Y为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求Y的分布列和数学期望．附：若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(1,0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，三角形MF1F2面积的最大值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点的直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，若直线l的斜率的平方是直线OA、OB斜率之积，求三角形OAB面积的取值范围．22.已知函数f(x)=ae x+bcosx+12x2+1(其中a，b为实数)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1．(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)=f′(x)−3x的单调区间；x3+2λx2+x恒成立，求实数λ的取值范围．(3)若对任意的x∈R，不等式xf(x)≥32答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵lg(x+1)≤0，∴0<x+1≤1，∴−1<x≤0，∴A={x|−1<x≤0}，又B={x|x<1}，∴A∩B={x|−1<x≤0}，∴∁U(A∩B)={x|x≤−1或x>0}，故选：C．先解对数不等式求出集合A，再根据集合的运算性质，求解即可．本题主要考查了交、补集的混合运算，比较基础．2.【答案】B【解析】解：复数z=a22+i20211−i=a22+i1−i=a22+−1+i2=a2−12+i2是纯虚数，则a2=1，a=±1，所以a=±1是a=1的必要不充分条件，故选：B．先化简z，求出a，根据充分必要条件的定义再判断即可．考查了复数的运算及其定义，充分必要条件的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用诱导公式求值，属于基础题．利用诱导公式即可得出．【解答】解：cos(α−π6)=cos(π6−α)=sin[π2−(π6−α)]=sin(π3+α)=45，故选C．4.【答案】A【解析】解：b =(12)0.5=2−0.5<20=1<20.1，∴a >1>b >0， c =log 84=23，∵b =(12)0.5=√22>23，∴b >c ， ∴a >b >c ， 故选：A ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】C【解析】解：∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，∴12×2×1×sin60°×AA1=√3，∴AA 1=2∵BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos60°=4+1−2，∴BC =√3． 设△ABC 外接圆的半径为R ，则BCsin600=2R ，∴R =1．∴外接球的半径为√1+1=√2，∴球的表面积等于4π×(√2)2=8π． 故选：C ．利用三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，求出AA 1，再求出△ABC 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：由题意可得，1−1.25=2.5(lgE 2−lgE 1)，lg E1E 2=0.1，故E1E 2=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26． 故选：B ．将已知数据代入公式计算E 1E 2，即可求解．本题考查了函数的实际应用，以及计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据双曲线的对称性，仅做一条渐近线， ∵实轴长为4，∴2a =4，由双曲线的定义可知，|MF 2|−|MF 1|=4 MF 2|+|MN|=|MF 1|+|MN|+4≥|F 1N|+4， 当且仅当点F 1，M ，N 三点共线时，等号成立， 如图，∵渐近线方程为y =ba x ，即bx −ay =0，且F(−c,0)， ∴此时|F 1N|=√a 2+b 2=bc c=b ，∴|MF 2|+|MN|的最小值为b +4， ∴b +4=12，∴b =8， ∴渐近线方程为y =±ba x =±4x ， 故选：D ．根据题意画出图形，得出当点F 1，M ，N 三点共线时有最小值，求出b 的值，即可得渐近线方程．本题考查双曲线的性质，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 2=3，a 6=11，可得公差d =11−36−2=2，∴a n =a 2+(n −2)⋅d =2n −1，∵b n =log a (1+1a n)(a >1)，∴b n =log a (1+12n−1)=log a2n2n−1，故数列{b n }的前n 项和s n =log a (21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1)， T n =log a √a n +1=log a √2n ， 令A =21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1，B =32⋅54⋅76⋅...⋅2n+12n，∵A >B ，∴A 2>AB =2n +1， ∴A >√2n +1>√2n ， 则S n >T n ． 故选：B ．依题意可得b n =log a (1+12n−1)=log a 2n2n−1，s n =log a (21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1)，令A =21⋅43⋅65⋅...⋅2n 2n−1，B =32⋅54⋅76⋅...⋅2n+12n，可得A 2>AB =2n +1，A >√2n +1>√2n ，即可求解．本题考查了数列的递推式，考查了转化思想、计算能力，属于难题．9.【答案】BC【解析】解：由函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数， 可得f(−x)=f(x)，若f(a)f(−a)=4，即为[f(a)]2=4， 即f(a)=2或f(a)=−2，又当x ∈(0,+∞)时，f(x)=−x −1，当a >0时，f(a)=−a −1=2或−a −1=−2， 解得a =1或−3(舍去)，当a <0时，f(a)=f(−a)=a −1=2或a −1=−2， 解得a =−1或3(舍去)， 综上可得，a =−1或1． 故选：BC ．由偶函数的定义和已知函数的解析式，讨论a >0，a <0，可得a 的方程，解方程可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：选项A ：取线段AB 的中点M ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以点O 为三角形ABC 的重心，故选项A 正确；选项B ：展开式的第r +1项为C 5r (x 2)5−r(−2)r (x −3)r ，当展开式为常数项时r =2， 此时C 52(−2)2=40，故选项B 正确；选项C ：含有全称量词的否定要将全称量词修改为存在量词，故选项C 正确； 选项D ：实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a+b 2≤√a2+b 22，∴a +b ≤√2，故选项D 不正确； 故选：ABC ．对选项进行逐个分析，依据原则即可判断出答案．本题考查了概念的理解，向量的加减法，二项式定理，命题以及不等式，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：直角梯形ABCD ，AB//CD ，AB ⊥BC ，BC =CD =12AB =2，E 为AB 中点， 以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =2√3． 在A 中，四边形EBCD 是边长为2的正方形，PE =2，∴PE ⊥DE ，CE =√22+22=2√2，∴PE 2+CE 2=PC 2，∴PE ⊥CE ， ∵DE ∩CE =E ，∴PE ⊥平面EBCD ，∵PE ⊂平面PED ，∴平面PED ⊥平面EBCD ，故A 正确；在B 中，∵DE//BC ，BC ⊥PB ，∴BC 与PC 不垂直，∴PC 与ED 不垂直，故B 错误； 在C 中，∵BE ⊥PE ，BE ⊥DE ，PE ∩DE =E ， ∴BE ⊥平面PDE ，∵BE//CD ，∴CD ⊥平面PDE ， ∴∠PDE 是二面角P −DC −B 的平面角， ∵PE ⊥平面BCD ，PE =DE ，∴∠PDE =π4， ∴二面角P −DC −B 的大小为π4，故C 正确；在D 中，∵CD ⊥平面PDE ，∴∠CPD 是PC 与平面PED 所成角，PD=√PC2−CD2=√(2√3)2−22=2√2，∴PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD=CDPD =2√2=√22，故D错误．故选：AC．在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，推导出PE⊥DE，PE⊥CE，从而PE⊥平面EBCD，进而平面PED⊥平面EBCD；在B中，由DE//BC，BC⊥PB，得BC与PC不垂直，从而PC与ED不垂直；在C中，推导出BE⊥平面PDE，BE//CD，从而CD⊥平面PDE，进而∠PDE是二面角P−DC−B的平面角，进而求出二面角P−DC−B的大小为π4；在D中，PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD=CDPD=2√2=√22．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由题意可得，半圆的方程为x2+y2=9(x≤0)，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≥0)，所以b=3，c=3，则a2=18，所以椭圆的方程为x218+y29=1(x≥0)，对于A，椭圆的离心率为e=ca =3√2=√22，故选项A正确；对于B，当t→0时，|AB|→3+3√2，当t→3，|AB|→0，故线段AB长度的取值范围为(0,3+3√2)，故选项B正确；对于C，△OAB的周长为|OA|+|OB|+|AB|=3+(√2+1)√9−t2+√18−t2，所以当t=0时，周长最大，但是t不能取到0，则△OAB的周长不存在最大值，故选项C错误．对于D，由题意可得，△ABF的面积S=12|AB|t，设A(x1,t)，则x12+t2=9，所以x1=−√9−t2(0<t<3)，设B(x2,t)，则x2218+t29=1，解得x2=√18−2t2，所以|AB|=√9−t2+√18−2t2，故S=12×(√9−t2+√18−2t2)t=√2+12√(9−t2)t2≤√2+12⋅√814=94(√2+1)，当且仅当t=3√22时取等号，故选项D正确．故选：ABD．先求出半圆和半椭圆的方程，求解椭圆的离心率即可判断选项A，由极限思想求出线段AB的取值范围，即可判断选项B，表示出△OAB的周长，分析即可判断选项C，表示出△ABF的面积，利用基本不等式求解最值，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了圆与椭圆的综合应用，椭圆的几何性质的应用，三角形面积和周长的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】2√1313【解析】解：直线l1：2x−3y+4=0，l2：ax−32y−1+2a=0且l1//l2，可得a=1，根据直线l1：2x−3y+4=0，l2：2x−3y+2=0的距离相等，d=√22+(−3)2=2√1313．故答案为：2√1313．利用两平行线间的距离公式，求得a的值，然后求解平行线之间的距离．本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，是基础题．14.【答案】14【解析】解：当a>0时，开口向上，准线方程为y=−14a，根据抛物线的定义得：点A到准线的距离为2+14a=3，求得a=14，故答案为：14．由抛物线的定义即可解决．本题考查抛物线的定义，属于容易题．15.【答案】79 29【解析】解：ξ的所有值可能为1，0， P(ξ=1)=C 22C 32⋅C 11C 21C 32=29，∴P(ξ=0)=1−P(ξ=1)=79，E(ξ)=1×29+0×79=29． 故答案为：79，29．ξ的所有值可能为1，0，并计算相应的概率，然后简单计算即可．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】[e−22,1]【解析】解：因为函数f(x)=lnx −12x 与g(x)=12x −2t 在[1e ,e]上是“密切函数”， 所以对任意的x ∈[1e ,e]都有|f(x)−g(x)|≤1， 即有|lnx −12x −12x +2t|≤1， 所以|lnx −x +2t|≤1，所以−2t −1≤lnx −x ≤1−2t ， 令ℎ(x)=lnx −x ，x ∈[1e ,e]， ℎ′(x)=1x −1=1−x x，所以当x ∈(1e ,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 当x ∈(1,e)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)max =ℎ(1)=−1，ℎ(1e )=ln 1e −1e =−1−1e ，ℎ(e)=lne −e =1−e ，所以ℎ(x)min=1−e，所以−2t−1≤1−e且−1≤1−2t，所以e−22≤t≤1，所以实数t的取值范围为[e−22,1]．故答案为：[e−22,1]．根据题意可得对任意的x∈[1e ,e]都有|f(x)−g(x)|≤1，即有|lnx−12x−12x+2t|≤1，则−2t−1≤lnx−x≤1−2t，令ℎ(x)=lnx−x，x∈[1e,e]，只需−2t−1≤ℎ(x)min，1−2t≥ℎ(x)max，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵acosB=(4c−b)cosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=(4sinC−sinB)cosA，∴sinAcosB+sinBcosA=4sinCcosA，可得sinC=4sinCcosA，∵在△ABC中，sinC≠0，∴cosA=14，∴0<A<π2，∴sinA>0，∴sinA=√1−cos2A=√154；(2)由正弦定理可得csinC =asinA，即c=2×√158√154=1，∵sinC=√158，c<a，∴cosC=78，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√154×78+14×√158=√154，∴S△ABC=12acsinB=12×2×1×√154=√154．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA的值，即可求出sinA的值；(2)根据正弦定理求出c=1，再根据两角和的正弦公式可得sinB，根据面积公式计算即可．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)若选条件①，当n≥2时，a n+1=2S n+3(n∈N∗)①，a n=2S n−1+ 3(n∈N∗)②，则由①−②得a n+1−a n=2a n即a n+1=3a n(n≥2)，所以数列{a n}为从第2项开始的等比数列，且公比为3．又a1=3，当n=1时，a2=2a1+3=9，符合a n+1=3a n，所以数列{a n}的通项公式为a n=3n．若选条件②，当n≥2时，a n=S n−S n−1=32(3n−1)−32(3n−1−1)=32(3n−3n−1)=3n．当n=1时也成立，所以数列{a n}的通项公式为a n=3n．若选条件③，当n≥2时，32(3n−1)(n∈N∗)；③13a1+132a2+133a3+⋯+13na n=n(n∈N∗)①，1 3a1+132a2+133a3+⋯+13n−1a n−1=n−1②，①−②得13na n=n−(n−1)=1，即a n=3n(n≥2)．当n=1时也成立，所以数列{a n}的通项公式为a n=3n．(2)证明：由(1)知，b n=log3a2n−1=log332n−1=2n−1，于是可得：1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．【解析】(1)利用a n=S n−S n−1(n≥2)求得a n的递推关系，求出a n=3n(n≥2)，验证当n=1时是否符合通项公式即可求解；(2)由(1)知b n=log3a2n−1=log332n−1=2n−1，可得1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，再利用裂项相消法求出T n，最后由放缩法得出证明．本题考查等比数列、裂项相消法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．19.【答案】(1)证明：∵△ACD是边长为1的等边三角形，∴∠ADC=60°，∠DA1C1=120°，∵D 是AA 1的中点，∴AD =A 1D =A 1C 1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1=30°，从而∠CDC 1=90°，即CD ⊥C 1D . ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ，又B 1C 1∩C 1D =C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ， ∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥B 1D .(2)解：连接CA 1，∵CD =12AA 1，∴AC ⊥CA 1．以C 为原点，CA 、CA 1、CB 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(0,0,√3)，C 1(−1,√3,0)，D(12,√32,0)，B 1(−1,√3,√3)，∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−√3)，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,−√3)． 设平面BDC 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3y −√3z =032x −√32y =0， 令x =√3，则y =3，z =2，∴m ⃗⃗⃗ =(√3,3,2)，由(1)知，平面B 1C 1D 的一个法向量为n ⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3+3√3√3+9+4×2=√32， 由图可知，二面角B −C 1D −B 1为锐角， 故二面角B −C 1D −B 1的大小为30°．【解析】(1)由题意知，∠ADC =60°，∠DA 1C 1=120°，△A 1C 1D 是等腰三角形，可推出∠CDC 1=90°，即CD ⊥C 1D ；由B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，知B 1C 1⊥CD ，故CD ⊥平面B 1C 1D ，再由线面垂直的性质定理得证；(2)连接CA 1，由CD =12AA 1，知AC ⊥CA 1，以C 为原点，CA 、CA 1、CB 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面BDC 1的法向量m ⃗⃗⃗ ，由(1)知，平面B 1C 1D 的一个法向量为n ⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由X ～N(52,14)，易知p(1≤x ≤3)=p(μ−3σ≤X ≤μ+σ)=0.6827+0.9973−0.68272=0.6827+0.1573=0.84，则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率为0.84；(2)①5个基地相互独立，每个基地随机选取的1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为2430=45， 5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为ξ～B(5,45)， ∴E(ξ)=np =5×45=4，②由题意知Y ～H(4,3,30)， P(Y =i)=C 3i C 274−iC 304(i =0,1,2,3)，∴Y 的分布列为，∴E(Y)=0×130203+1×65203+2×391015+3×11015=25．【解析】(1)根据”3σ“原则以及图形的对称性即可求解； (2)①由题意可得ξ服从二项分布，利用公式即可求解； ②Y 服从超几何分布，利用公式即可求解．本题考查了正态分布，超几何分布，二项分布，考查了运算求解能力，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．21.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为(1,0)，得c =1， 当点M 为椭圆的短轴端点时，△MF 1F 2面积最大，此时S =12×2c ×b =1， ∴b =1，则a 2=b 2+c 2=2， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1；(2)联立{y =kx +m x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，由Δ=16k 2m 2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=8(2k 2−m 2+1)>0，得1+2k 2>m 2(∗) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1，∵直线l 的斜率的平方是直线OA 、OB 斜率之积，即k OA ⋅k OB =k 2， ∴y 1y2x 1x 2=k 2，则(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2，∴km(x 1+x 2)+m 2=0，即m 2−4k 2m 22k 2+1=0，又m ≠0，∴k 2=12，代入(∗)，得0<m 2<2． 又m ≠0且m 2≠1， ∴0<m 2<2且m 2≠1，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+12⋅√2m 2−4m 2+4=√3⋅√2−m 2．设点O 到直线AB 的距离为d ，则d =√1+k 2=√63|m|， ∴S △OAB =12×√3×√2−m 2×√63|m|=√22√−(m 2−1)2+1．∴0<S △OAB <√22． ∴△OAB 面积的取值范围(0,√22).【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于较难题．(1)由已知得c =1，当点M 为椭圆的短轴端点时，△MF 1F 2面积最大，此时S =12×2c ×b =1，结合a 2=b 2+c 2，即可求得椭圆的标准方程；(2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，直线l 的斜率的平方是直线OA 、OB 斜率之积，m ≠0，由弦长公式求得丨AB 丨，再由点到直线的距离公式求点O 到直线AB 的距离d ，代入三角形的面积公式，即可求得△AOB 面积的取值范围．22.【答案】解：(1)函数f(x)=ae x +bcosx +12x 2+1，则f′(x)=ae x −bsinx +x ，因为f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程y =x +1， 则{f(0)=a +b +1f′(0)=a =1，解得a =1，b =−1． (2)由(1)可知，f(x)=e x −cosx +12x 2+1，则函数g(x)=f′(x)−3x =e x +sinx −2x ， 所以g′(x)=e x +cosx −2，令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=e x −sinx ， ①当x <0时，由e x −2<−1， −1≤cosx ≤1，则g′(x)=e x +cosx −2<0， 所以g(x)在(−∞,0)上单调递减， ②当x ≥0时，由e x ≥1， −1≤−sinx ≤1， 则ℎ′(x)=e x −sinx >0， 所以g′(x)在[0,+∞)上单调递增， 故g′(x)≥g′(0)=0， 则g(x)在[0,+∞)上单调递增，综上所述，g(x)在(−∞,0)上单调递减，在[0,+∞)上单调递增． (3)对x 分情况讨论如下：①当x =0时，对任意的λ∈R ，不等式xf(x)≥32x 3+2λx 2+x 恒成立， ②当x >0时，不等式xf(x)≥32x 3+2λx 2+x 等价于e x −cosx +12x 2+1≥32x 2+2λx +1，即e x −x 2−2λx −cosx ≥0， 令G(x)=e x −x 2−2λx −cosx ，第21页，共22页 则G′(x)=e x −2x +sinx −2λ=g(x)−2λ，当λ≤12时，由(2)可知，G′(x)=g(x)−2λ>g(0)−2λ−1−2λ≥0，所以G(x)单调递增，则G(x)>G(0)=0，满足题意，当λ>12时，由(2)可知，G′(x)=e x −2x +sinx −2λ=g(x)−2λ，在(0,+∞)上单调递增，因为e x ≥ex ，所以G′(x)=e x −2x +sinx −2λ>(e −2)x −1−2λ， 从而G′(1+2λe−2)>(e −2)⋅1+2λe−2−1−2λ=0，又G′(0)=1−2λ<0，所以存在唯一的实数x 0∈(0,1+2λe−2)，使得G′(x 0)=0，当0<x <x 0时，G′(x)<0，则G(x)单调递减，所以当x ∈(0,x 0)时，G(x)<G(0)=0，不符合题意， ③当x <0时，不等式xf(x)≥32x 3+2λx 2+x 等价于e x −x 2−2λx −cosx ≤0， 同上，令G(x)=e x −x 2−2λx −cosx ，则G′(x)=e x −2x +sinx −2λ=g(x)−2λ，当λ≤12时，由(2)可知，G′(x)>0，所以G(x)单调递增，故G (x)<G(0)=0，满足题意，综上所述，λ的取值范围为(−∞,12].【解析】(1)求导得f′(x)=ae x −bsinx +x ，由f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程y =x +1，则{f(0)=a +b +1f′(0)=a =1，解得a ，b ． (2)f(x)=e x −cosx +12x 2+1，则函数g(x)=e x +sinx −2x ，进而可得g′(x)=e x +cosx −2，令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=e x −sinx ，分别讨论①当x <0时，②当x ≥0时，g′(x)的正负，g(x)的单调性．(3)对x 分情况讨论：①当x =0时，对任意的λ∈R ，不等式xf(x)≥32x 3+2λx 2+x 恒成立，x3+2λx2+x等价于e x−x2−2λx−cosx≥0，令②当x>0时，不等式xf(x)≥32G(x)=e x−x2−2λx−cosx，只需G(x)min≥0，x3+2λx2+x等价于e x−x2−2λx−cosx≤0，令③当x<0时，不等式xf(x)≥32G(x)=e x−x2−2λx−cosx，只需G(x)min≥0，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．第22页，共22页。
福建省福州市高中毕业班质量检查数学文科试卷.docx
一•选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 是正确的，将正确答案填写在答题卷相应位置.）1・设集合 t/={l,2,3,4,5}A={l,2,3},3={3,4,5},则 Cu （AcB ）等于（）.A. {1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 4, 5}C.{1, 2, 5}D.{3}2•某学校为了调查高三年级的200名文科学牛完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式: 笫一种山学牛.会的同学随机抽取20名同学进行调查涕二种山教务处対该年级的文科学牛进行编 号，从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（）.A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样，分层抽样C.分层抽样，系统抽样D.简单随机抽样，系统抽样3•下列各选项屮，与sin2011°ft 接近的数是（）4•等差数列{%}的前〃项和为S“,若⑷+為+如=30,那么焉值的是（ ）A. 65B. 70C. 130D. 2605•若曲线y=x 2-^-ax+b 在点（0,b ）处的切线方程是x —y+l=0,则（ ）A.a=— l,b=lB.a=— l,b=— 1C.a=\,b=— 1D.d=l,b=l6•菜学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：X1.99 3 45」 6」22011年福州市高中毕业班质量检查数学文科试卷（满分150分，考试时间120分钟）参考公式：样本数据为，也…，必的标准差锥体体积公式［（西_可2 +（兀2 -牙F + ・•・ +（兀，厂元）2•其中元为样本平均数V=-Sh 3其中S 为底血血积，力为高柱体体积公式球的表而积、体积公式V 二 Sh 其中S 为底面面积，力为高 其屮斤为球的半径对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A. y=2x —27.给出下列四个命题：① 分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是界面直线； ② 若一个平面经过另一个平血的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行：④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（）2 2&双Illi 线話-十=1上到定点（5,0）的距离是9的点的个数是（a } +a 2 =（巧,1）的（）11•在区间［-兀，兀］内随机取两个数分别记为 以，贝I 」使得函数f （x ） = x 2+2ax-b 2^7T 2有零点的概 率为（）12•已知函数 阳1）是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数X 】、兀2，不等式（西一兀2）［/（坷）一/（兀2）］ V0恒成立,则不等式Al-X ）＜0的解集为（C. y=log2/A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④A. 0 个;B. 2 个;C. 3 个;D. 4 个.9•对任意非零实数d, b ,若a®h 的运算规则如右图的程序框图所示, 则（3（8）2）0 4的值是（）. A.01 B.-2 C|D.910 •已知坷卫2均为单位向量, A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分乂不必要条件兀A.l__87T B.1- —471C. 1 —— 2 3龙 D.1 ——4A ・（l,+s ）B ・（0，+8）C ・（_8,0）D ・（_F ））. !_那么a x =「开『］二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填写在答题卷相应位置.）13•已知复数z = ± （i 是虚数单位），贝lj|z|= _____ •1 - z14•命题“王胆R,e 、x”的否定是 ___________ .15•四棱锥P-ABCD 的顶点P 在底面ABCD 屮的投影恰好是 A,其三视图如右图所示，根据图中的信息，在四棱锥P - ABCD 的任两个顶点的连线中，互相垂直的弄而直线对数 为 ・16•将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作叫匕疋Nj,如第2行第4列的数是15, 记作勺4 = 1 5，则有序数对（伐2，。
福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题
一、单选题1. 函数的大致图像是（ ）A．B．C．D．2. 已知x ，y 的对应值如下表所示：x 02468y111若y 与x 线性相关，且求得的回归直线方程为，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33. 已知平面向量，满足，，，则在上的投影为（ ）A．B ．1C ．2D．4. 已知复数为复数的共轭复数，且满足，则对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知符号函数偶函数满足,当时,,则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．6. 在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等，则根据该表，的余弦值为（）0.000001750349001701920366003502090384005202270401007002440419008702620436010502790454012202970471014003140488015703320506017503490523……0.5000515052995446559250155165531454615606503051805329547656215045519553445490563550605210535855055650507552255373551956645090524053885534567851055255540255485693512052705417556357075135528454325577572151505299544655925736……A ．0.5461B ．0.5519C ．0.5505D ．0.5736福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题二、多选题三、填空题四、解答题7.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8.已知二面角的平面角为，，，，，，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的最小值为（ ）A ．2B．C．D．9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．在处的切线方程为B．C ．若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则D．有唯一零点10. 设、为不相等的两个复数，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若，则或C ．若，则D ．若，则在复平面对应的点在一条直线上11. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，在其准线上的射影分别为，，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线轴，则B．C．D．12. 近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（）A ．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显B ．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大C ．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大D ．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势13. 某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________．14. 点P 是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为7，则___________.15. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______．16. 已知向量，.设.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.17. 已知函数与的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（1）若，求b的值．（2）求证：．18.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，且双曲线的右焦点到直线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，点，且直线与直线交于点，求证：．19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按元/度收费.(1)求某户居民月用电费（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求的值.20. 已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，设，求函数的极值；(2)若函数在有零点，求证：.21. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（、为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取件合格产品，测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）现从抽取的件合格产品中再任选件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：（i）根据所给统计量，求关于的回归方程；（ii）已知优等品的收益（单位：千元）与、的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大？附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.。
福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为A．B．C．D ．22. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）A．B．C．D．3.设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则点到右准线的距离为（ ）A ．6B ．2C．D．4. 如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．5. 下列四个命题：①；②；③，（为自然对数的底数），其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②C ．③D ．②③6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（ ）A．B．C．D．7. 已知一小球与三棱锥三个相互垂直的侧面都相切，若此球面上存在一点到这三个侧面的距离分别为5，4，5，则这个小球的最大半径是（ ）A ．3B ．5C ．8D ．118.已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 下列命题中，正确的命题是（ ）A ．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7B．若随机变量，则C ．若事件A ，B满足，则A 与B 独立D ．若随机变量，，则10. 若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（ ）A．B．C．D．11. 某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加“网络安全知识竞赛”，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题(2)福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题(2)三、填空题四、解答题制成如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．乙的成绩的极差为7B ．甲的成绩的平均数与中位数均为7C ．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D ．甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率12.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，任意选取五名学生的成绩，用X 表示其中成绩低于90的人数，则（ ）A．B．C．D．13. 已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为__________．14. 在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为______.15.若函数，则_______．16. 如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面.(1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17.如图，在三棱柱中，，．(1)证明：；(2)若，，，求二面角的余弦值．18. 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线(是正常数)的距离为，到点的距离为，且1．（1）求动点所在曲线C的方程；（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为、，求证；（3）记，，，(A、B、、是（2）中的点)，，求的值．19. 如图，在直角中，角C为直角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角B的大小；(2)若，D点为AB边上一点，且，求.20. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点.（1）求证：平面BEF平面PAC；（2）在线段PB（不含端点）上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.21. 已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的最大值和最小值.。
福建省福州第三中学2023-2024学年高三下学期第十六次检测(三模)数学试题(解析版)
福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则=a （）A.2 B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】写出展开式的通项，再令3r =，即可求出展开式中3x 的系数，从而得解.【详解】二项式6(1)ax -展开式的通项为()16C rrr T ax +=-（其中06r ≤≤且N r ∈），令3r =可得()()33333466C C T ax a x =-=-⋅，所以()336C 160a -=，解得2a =-.故选：B2.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34564,8S a a a =++=，则96S S =（）A.2B.73C.53D.37【答案】B 【解析】【分析】36396,,S S S S S --成等比数列，得到方程，求出928S =，得到答案.【详解】由题意得638S S -=，3684812S S ++===，因为36396,,S S S S S --成等比数列，故()()263396S S S S S -=-，即()298412S =-，解得928S =，故96287123S S ==.故选：B3.某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C.若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D.若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =【答案】A 【解析】【分析】举反例判断A,利用众数和平均数定义判断B 、D,分情况讨论x 判断C.【详解】对A,因为875%6⨯=，当13x =,八名选手成绩从小到大排序12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,，故该八名选手成绩的第75%百分位数为13.1513.1613.1552+=，但1313.15x =≠，故A 错误；对B,由众数是出现次数最多的数据，B 正确；对C,当12.9x <，极差为13.240.34x ->，不符合题意舍去；当12.9013.24x ≤≤，极差为13.2412.90.34-=，符合题意当13.24x >，极差为12.90.34x ->不符合题意舍去，综上，12.9013.24x ≤≤，C 正确；对D,平均数为12.9012.9613.0913.1113.1513.1613.2413.095,8x+++++++=解得13.15x =，故D 正确.故选：A4.在ABC 中，π3C =，AB =5AC BC +=，则ABC 的面积为（）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理可求解4ab =，由面积公式即可求解.【详解】在ABC 中，π3C =，AB c ==，5AC BC b a +=+=，由余弦定理可得()2222π2cos 23c a b ab a b ab ab =+-=+--，解得4ab =，所以1π13sin 42322ABC S ab ==创=故选：A5.已知π170,sin sin ,cos cos 21010βααβαβ<<<==，则cos2α=（）A.0B.725 C.2425D.1【答案】A 【解析】【分析】由两角和与差的三角函数，结合cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-求解.【详解】已知17sin sin ,cos cos 1010αβαβ==，则714cos()cos cos sin sin 10105αβαβαβ-=+=+=，713cos()cos cos sin sin 10105αβαβαβ+=-=-=，π02βα<<< ，π0,0π2αβαβ∴<-<<+<，则sin()35αβ-==，4sin()5αβ+==，则cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-344305555=⨯-⨯=.故选：A.6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A.35 B.2150C.611D.34【答案】B 【解析】【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（）A.4210x y z -++=B.4210x y z --+=C.4210x y z +-+=D.4210x y z +--=【答案】A 【解析】【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论．【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点(),,P x y z ，则()1,2,3MP x y z =---平面法向量为()1,4,2m =-，∴()()()1142230x y z ⨯--⨯-+⨯-=∴4210x y z -++=故选：A ．8.曲线C 是平面内与三个定点()11,0F -，()21,0F 和()30,1F 的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称；②曲线C 上存在点P ，使得33PF =；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积最大值是1；④曲线C 上存在点P ，使得12F PF ∠为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A.②③④B.②③C.③④D.①②③④【答案】C 【解析】【分析】根据题意得曲线C +=可判断①错误；②假设结论成立，推得曲线C 不存在；当点P 为3F 点时，12F PF △的面积最大，最大值是1，故③正确；在曲线C 上再寻找一个特殊点P （0，y ），验证1290F PF ∠>即可判断④正确．【详解】设曲线C 上任意一点(),P x y ，由题意可知C 的方程为++=①错误，在此方程中用x -取代x ，方程不变，可知C 关于y 轴对称；同理用y -取代y ，方程改变，可知C 不关于x 轴对称，故①错误.②错误，若3223PF =，则12124223PF PF F F +=<=，曲线C 不存在，故②错误.③正确，12123PF PF PF PF PF +≤++=P 应该在椭圆D ：2212x y +=内（含边界），曲线C 与椭圆D 有唯一的公共点()30,1F ，此时122F F =，31OF =，当点P 为3F 点时，12F PF △的面积最大，最大值是1，故③正确；④正确，由③可知，取曲线C 上点()30,1F ，此时13290F F F ∠=，下面在曲线C 上再寻找一个特殊点()0,P y ，01y <<，则1y -=，把1y =+两边平方，整理得23(250y y +-+=，解得422(842)6y ±-=，即1y =或4253-.因为425013<<，则取点4250,3P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时1290F PF ∠>.故④正确．故答案为：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D.将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AD 【解析】【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解析式，判断新图象的对称中心.【详解】由函数图象可知，1A =，()f x 的最小正周期为5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，A 选项正确；2ππT ω==，2ω=，ππsin 2166f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()ππ2=2πZ 62k k ϕ⨯++∈，由22ππϕ-<<，得π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B 选项错误；将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()πππsin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，C选项错误；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数()πsin 6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，5π5ππsin sin π0666h ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()πsin 6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 选项正确.故选：AD10.已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A.若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B.若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C.若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数 D.若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数【答案】ABC 【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC ，举反例即可求解D.【详解】设1i z a b =+，()2i ,,,,0,0z c d a b c d b d =+∈≠≠R ．()12i z z a c b d +=+++，()12i z z ac bd ad bc =-++．若12z z =，则a c =，0b d +=，所以122z z a +=∈R ，2212z z a b =+∈R ，所以A 正确；若12z z +与12z z 均为实数，则0b d +=，且0ad bc +=，又0b ≠，0d ≠，所以a c =，所以B 正确；若1z ，2z 均为纯虚数，则0a c ==，所以12z cz d=∈R ，所以C 正确；取122i z =+，21i z =+，则12z z 为实数，但1z ，2z 不是纯虚数，所以D 错误．故选：ABC ．11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,R x y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则（）A.()112f '=- B.()60f =C.20241()1k f k ==∑ D.20241()1k fk '==-∑【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.【详解】因为()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，令1x y ==得：()()()2211f f f '=，又因为()()210f f =-≠，所以()112f '=-，故A 正确；因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，且()f x '为偶函数.令1y =，可得：()()()()()111f x f x f f x f '=+'+①再用x -代替x 可得：()()()()()()()()()11111f x f x f f x f f x f f x f '-=-+-=-+'''⇒()()()()()111f x f x f f x f '=-'-②①+②得：()()()()1121f x f x f x f ++-='⇒()()()11f x f x f x +=---所以：()()()21f x f x f x +=-+-，()()()321f x f x f x +=-+-+()()()11f x f x f x =++-+()f x =所以()f x 是周期为3的周期函数，所以：()()()6300f f f ===，故B 正确.因为：()00f =，()()21f f =-⇒()()120f f +=，所以：()()()1230f f f ++=，所以：()()()()()()20241674123120k f k f f f f f =⎡⎤⎡⎤=⨯++++=⎣⎦⎣⎦∑，故C 错误；又因为()f x '亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以()()()12122f f f -==-='''令1x =，0y =可得：()()()()()11010f f f f f =+''⇒()()013f f ='='，所以()()()1230f f f ++''='.所以：()()()()()()20241674123121k f k f f f f f =⎡⎤⎡⎤=⨯++'''++=-⎣⎦⎣'⎦''∑.故D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于可导函数()f x 有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数.若定义在R 上的函数()f x 是可导函数，且周期为T ，则其导函数()f x '也是周期函数，且周期也为T .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】由A B A = 可得A B ⊆，解出集合B 后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A B A = ，故A B ⊆，由3x m -≤，得33m x m -+≤≤+，故有4323m m ≤+⎧⎨-≥-+⎩，即15m m ≥⎧⎨≥⎩，即5m ≥，即m 的最小值为5.故答案为：5.13.已知三个实数a 、b 、c ，当0c >时，23b a c ≤+且2bc a =，则2a cb-的取值范围是____________．【答案】1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】当0c >时满足：23b a c +且2bc a =，可得223a a c c+，进而得22230a ac c --≤，解得13c a ≥或1c a ≤-．于是222222()a c c c c ac c f a a a a b --⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，令c t a =，可得2()2f t t t =-，利用二次函数的单调性即可求解最值.【详解】当0c >时满足：23b a c +且2bc a =，∴223a a c c+，即22230a ac c --≤，进而2()230a a c c -⋅-，解得13ac-．所以13c a ≥或1ca≤-，222222()a c c c c ac c f a a a a b --⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，令(]1,,13c t t a ⎡⎫=∈+∞⋃-∞-⎪⎢⎣⎭，()22112248f t t t t ⎛⎫∴=-+=--+ ⎪⎝⎭，由于(]1,13t ⎡⎫∈+∞⋃-∞-⎪⎢⎣⎭所以()f t 在(]1t Î-¥-，单调递增，在13t ,轹÷Î+¥ê÷ê滕单调递减，当13t =时，11=39f 骣琪琪桫，当1t =-时，()13f -=-，所以()19f t £故答案为：19纟ç-¥úçú棼，．14.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______.【答案】48π【解析】【分析】先求出正四面体-P ABC 的外接球半径，再利用11OO PO PO =-，结合外接球知识求出该八面体的外接球半径即可求解.【详解】如图：设O 为正四面体-P ABC 的外接球球心，1O 为111A B C △的中心,H 为ABC 的中心,M 为BC 的中点，由正四面体-P ABC 可知PH ⊥平面ABC ，因为AH ⊂平面ABC ，所以PH AH ⊥，又因为-P ABC 棱长为8，所以383833AH =⨯=，3PH ==，设正四面体外接球球心为O ，则O 在PH ，则OP OA R ==为外接球半径，由222AH OH AO +=得222R R ⎝⎫+=⎪⎪⎝⎭⎭，解得R =即PO =,在正四面体111P A B C -中，易得11233A O ==，1263PO ==，所以11463OO PO PO =-=，则该八面体的外接球半径1AO ==,所以该球形容器表面积的最小值为(24π48π=，故答案为：48π四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数421()2ln 24g x x ax x x x =--+．（1）当1a =时，求()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程；（2）若()0g x '≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）904x y +-=；（2）12a ≤.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出()g x '，由已知分离参数，构造函数并利用导数求出最小值即得.【小问1详解】当1a =时，421()2ln 24g x x x x x x =--+，求导得3()22ln g x x x x '=--，则(1)1g '=-，而5(1)4g =，于是5(1)4y x -=--，即904x y +-=，所以()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程是904x y +-=.【小问2详解】函数421()2ln 24g x x ax x x x =--+定义域为(0,)+∞，求导得3()22ln g x x ax x '=--，由()0g x '≥，得22ln 2x a x x ≤-，令22ln (),0x f x x x x=->，求导得32222ln 22ln 2()2x x x f x x x x-+-'=-=，令函数322ln 2,0()h x x x x +=->，显然函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)0h =，则当01x <<时，()0h x <，()0f x '<，当1x >时，()0h x >，()0f x '>，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，min ()(1)1f x f ==，因此21a ≤，解得12a ≤，所以实数a 的取值范围是12a ≤.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，且其离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求证：MN OP k k ⋅（O 为坐标原点）为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解,,a b c ,（2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解.【小问1详解】∵抛物线24y x =的焦点为()1,0，∴椭圆C 的半焦距为1c =，又12c e a ==，得2a =，b ==∴椭圆C 的方程为22143x y +=【小问2详解】证明：由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()0y kx mk =+≠，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=.Δ0>，即2243m k <+，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834km x x k +=-+，()121226234my y k x x m k +=++=+，∴2243,3434kmm P k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，∴2233344434OP mk k km k k +==--+.∴34MN OP k k ⋅=-为定值17.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB AB ==.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正切值为36，求二面角1B CC A --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）31717【解析】【分析】（1）将正四棱台补成正四棱锥P ABCD -，证明PO ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正切值求出棱台的高，求出相关点坐标，求出平面11BCC B 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】延长1111,,,AA BB CC DD 交于一点P ，连接BD 交AC 于O ；由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P ，且四棱锥P ABCD -为正四棱锥，即PA PB PC PD ===，又点O 分别为,AC BD 的中点，故,PO AC PO BD ⊥⊥，而AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面11ACC A ，故平面11ACC A ⊥平面ABCD ，即平面ABCD ⊥平面11ACC A ；【小问2详解】由（1）知,,OA OB OP 两两垂直，故分别以,,OA OB OP为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设棱台的高为h ，则()()()()1122,0,0,2,,0,22,0,2,0,C B h B C h --，又平面11ACC A 的法向量可取为()0,1,0m =，而()122,2,B C h =--- ，由题意知直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正切值为36，223113(3)(6)=+，则121||2sin ||||1310m C h B C m B θ⋅===⋅+ ，解得4h =，所以()()122,22,0,0,2,4BC BB =--=-，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r ，则1220240BC n x y BB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1z =，则()22,22,1n =-，故22cos ,17m n m n m n ⋅〈〉==⋅，而二面角范围为[0π],，故二面角1B CC A --2223171()1717-=.18.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.性别就餐区域合计南北区区男331043女38745合计711788（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12.α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.635（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第n （*n ∈N ）天他去甲餐厅用餐的概率n p .附：()()()()()22 n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++；【答案】（1）没有关联（2）（i ）38；（ii ）11,14411,2992n n n p n +⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】【分析】（1）根据卡方的公式代入计算，与临界值比较，即可求解；（2）（ⅰ）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解；（ⅱ）根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解.【小问1详解】零假设0H ：在不同区域就餐与学生性别没有关联，根据表中的数据可得，()228833710380.837 2.70643457117χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，依据0.100α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.【小问2详解】设=i A “第i 天去甲餐厅用餐”，i B =“第i 天去乙餐厅用餐”，i C =“第i 天去丙餐厅用餐”，则,,i i i A B C 两两独立，1,2,i n = ，由题意可得，()()1114P A P B ==，()112P C =，()112i i P A A +=，()113i i P A B +=，()112i i P A C +=，()112i i P B A +=，()112i i P B C +=，()123i i P C B +=，（ⅰ）由22121B B A B C =+，结合全概率公式可得，()()()()()()22121121121P B P B A B C P A P B A P C P B C =+=+1111342228=⨯+⨯=，所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38.（ⅱ）记第()n n ∈*N 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为,,n n n p q r ，则11111,42p q r ===，由全概率公式可得()()111n n n n n n n n p P A P A A A B A C ---==++()()()111n n n n n n P A A P A B P A C ---=++()()()()()()111111n n n n n n n n n P A P A A P B P A B P C P A C ------=++故()1111112232n n n n p p q r n ---=++≥①，同理可得()1111222n n n q p r n --=+≥②，()1223n n r q n -=≥③，1n n n p q r ++=④，由①②可得113n n n p q q -=+，由④可得1111n n n p q r ---=--，代入②中可得11122n n q q -=-，即1111323n n q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且1111134312q -=-=-，故数列13n q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为112-，公比为12-的等比数列，即11113122n n q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以111132n n q +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，于是，当2n ≥时，111111114111133292992n n n n n n p q q ++-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--+--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，综上所述，11,14411,2992n n n p n +⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-⋅-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【点睛】关键点睛：本题主要考查了独立性检验问题以及相互独立事件概率与数列结合问题，难度较大，解答本题的关键在于结合递推关系与等比数列的定义求解.19.已知定义域为R 的函数()h x 满足：对于任意的x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()h x 具有性质P .（1）判断函数()()2,cos f x x g x x ==是否具有性质P ；（直接写出结论）（2）已知函数()()35πsin ,222f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，判断是否存在,ωϕ，使函数()f x 具有性质P ？若存在，求出,ωϕ的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()f x 具有性质P ，且在区间[]0,2π上的值域为()()π0,2f f ⎡⎤⎣⎦.函数()()()sin g x f x =，满足()()2πg x g x +=，且在区间()0,2π上有且只有一个零点.求证：()2π2πf =.【答案】（1）函数()2f x x =具有性质P ；()cos g x x =不具有性质P .（2）2ω=，0ϕ=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义判断即可；（2）假设函数()f x 具有性质P ，可求出0ϕ=，进而可得2ω=，从而可得()sin 2f x x =，再根据定义进行验证，即可得到答案；（3）由函数()f x 具有性质P 及（2）可知，(0)0f =，进而可得()f x 在[]0,2π的值域为[]0,πk ，Z k ∈且0k >，由()g x 在区间()0,2π上有且只有一个零点可证明当2k >时不符合题意，再求解当1k =时与()g x 是以2π为周期的周期函数矛盾，从而可得2k =，即可证明.【小问1详解】因为()2f x x =，则()2π2(2π)24πf x x x +=+=+，又()2π4πf =，所以()2π()(2π)f x f x f +=+，故函数()2f x x =具有性质P ；因为()cos g x x =，则()2πcos(2π)cos g x x x +=+=，又()2πcos 2π1g ==，()(2π)cos 1(2π)g x g x g x +=+≠+，故()cos g x x =不具有性质P .【小问2详解】若函数()f x 具有性质P ，则()02π(0)(2π)f f f +=+，即(0)sin 0f ϕ==，因为π2ϕ<，所以0ϕ=，所以()sin()f x x ω=；若(2π)0f ≠，不妨设(2π)0f >，由()2π()(2π)f x f x f +=+，得()2π(0)(2π)(2π)(Z)f k f kf kf k =+=∈（*），只要k 充分大时，(2π)kf 将大于1，而()f x 的值域为[1,1]-，故等式（*）不可能成立，所以必有(2π)0f =成立，即sin(2π)0ω=，因为3522ω<<，所以3π2π5πω<<，所以2π4πω=，则2ω=，此时()sin 2f x x =，则()2πsin 2(2π)sin 2f x x x +=+=，而()(2π)sin 2sin 4πsin 2f x f x x +=+=，即有()2π()(2π)f x f x f +=+成立，所以存在2ω=，0ϕ=使函数()f x 具有性质P .【小问3详解】证明：由函数()f x 具有性质P 及（2）可知，(0)0f =，由()()2πg x g x +=可知函数()g x 是以2π为周期的周期函数，则()2π(0)g g =，即sin((2π))sin((0))0f f ==，所以(2π)πf k =，Z k ∈；由(0)0f =，(2π)πf k =以及题设可知，函数()f x 在[]0,2π的值域为[]0,πk ，所以Z k ∈且0k >；当2k >，()πf x =及()2πf x =时，均有()()()sin 0g x f x ==，这与()g x 在区间()0,2π上有且只有一个零点矛盾，因此1k =或2k =；当1k =时，(2π)πf =，函数()f x 在[]0,2π的值域为[]0,π，此时函数()g x 的值域为[]0,1，而()2π()πf x f x +=+，于是函数()f x 在[]2π,4π的值域为[]π,2π，此时函数()g x 的值域为[]1,0-，函数()()()sin g x f x =在当[]0,2πx ∈时和[]2π,4πx ∈时的取值范围不同，与函数()g x 是以2π为周期的周期函数矛盾，故2k =，即(2π)2πf =，命题得证.【点睛】关键点睛：本题考查了函数新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可.。
福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷(解析版)
2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
福建省福州第三中学2023届高三第十三次质量检测数学试题
一、单选题二、多选题1. 设复数，则的二项展开式的第项是A．B．C．D．2. 已知，设直线是曲线的一条切线，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且3.若直线过点，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．44.已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是A．B．C．D．5.的展开式中项的系数为（ ）A．B．C．D．6. 如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（）A ．的最大值为4B．的最大值为C．的最大值为2D．的最大值为7.函数的最小周期是（ ）A．B．C ．D．8. 曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.已知数列中，则（ ）A ．的前10项和为B．的前100项和为100C ．的前项和D．的最小项为10. 关于变量x ，y 的n 个样本点及其线性回归方程．下列说法正确的有（ ）A ．相关系数r 的绝对值|r |越接近0，表示x ，y 的线性相关程度越强B．相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好福建省福州第三中学2023届高三第十三次质量检测数学试题福建省福州第三中学2023届高三第十三次质量检测数学试题三、填空题四、解答题C ．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好D．若，则点一定在线性回归方程上11. 若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．12. 函数的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．13. 物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——500m 口径射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（如图3甲），若其上边缘一点距离底部的落差约为，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入（如图乙）所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到点，经抛物面反射后经过焦点射到点，则的面积为________．14.函数的零点属于区间，则______15.函数的定义域为，，则其值域为__.16.记为数列的前n项和，为数列的前n 项和，已知．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和．17. 已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E ，F 分别为QA ，BC 的中点，.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.18. 如图，在四棱锥中，，，，，，分别为，的中点，．（1）求证：平面平面；（2）设，若三棱锥的体积，求实数．19. 某研究所在研究某种零件的使用寿命和维护成本的关系时，得到以下数据：零件寿命（月）13579维护成本（千元）102560105170（1）若与之间存在线性相关关系①，试估计，的值，；（2）若与之间存在非线性相关关系②，可按与（1）类似的方法得到，，且模型②残差平方和为6.计算模型①的残差平方和，并指出哪个模型的拟合效果更好；（3）利用（2）中拟合效果较好的模型，计算当零件使用多少个月时报废，可使得零件的性价比（即零件寿命与维护成本的比值）最高.参考公式：若是线性相关变量，的组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.20. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.21. 如图，已知分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆M上异于点的动点，若，且面积的最大值为2．(1)求椭圆M的标准方程；(2)已知直线与椭圆M相切于点，且与直线和分别相交于两点，记四边形的对角线相交于点N．问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．。
福建省福州三中高三数学文科模拟考试卷 人教版
福建省福州三中高三数学文科模拟考试卷 人教版5月22日第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的） 1、“x 2>4”是“x 3<-8”的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件2、与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是 ( ) A 、若b ∈M ，则a ∉M B 、若b ∉M ，则a ∈M C 、若a ∉M ，则b ∈M D 、若a ∉M ，则b ∉M3、给出以下四个命题(1)垂直于一条直线的两个平面平行；(2)与一个平面等距离的两点的连线一定平行于这个平面；(3)在一个平面内的射影分别是一条直线和这条直线外的一点的两条直线必是异面直线。
其中正确的命题的个数有 ( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 4、若二项式1)nx x(x>0，n ∈N +)的展开式含有常数项，则指数n 必为 ( )A 、奇数B 、偶数C 、3的倍数D 、5的倍数5．某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查 是否安装宽带，调查结果如右表所示，则该小区已安装宽带的户数估计有 ( ) A 、6000 B 、3500 C 、7000 D 、9500 6、若四边形ABCD 满足0()0AB CD AB AD AC +=-=，，则该四边形一定是 ( ) A 、正方形 B 、矩形 C 、菱形 D 、直角梯形7、已知α为第三象限角，且1sin 2cos sin tan 2sin 2cos 2αααααα-=，则的值为 ( ) A 5B 、5C 5D 、58、某校高三年段有6个班，开学初新来的3名同学要编入这些班中学习，则这3名同学恰 有2人编在同一班的概率是 ( ) A 、512B 、524C 、1081D 、159、已知椭圆22221148x y y n m+=-=2x 与双曲线有相同的准线，则动点P(n, m)的轨迹为( ) A 、直线的一部分 B 、椭圆的一部分C 、双曲线的一部分D 、抛物线的一部分10、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55，则过点A 1055S(10,)B(55)1055S 、， 的直线的斜率为 ( )A 、4B 、3C 、2D 、1宽 带 动迁户 原住户 已安装 60 35 未安装456011、正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于一个球，且底面ABCD 的边长为1，高AA 12则A 、B 两点的球面距离是 ( ) A 、6π B 、3π C 、2π D 、π12、已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=f(x-1)， 当x ∈(0, 1)时， f(x)=21log 2x-，则y=f(x)在(1,2)内是( )A 、单调增函数，且f(x)<0B 、单调减函数，且f(x)>0C 、单调增函数，且f(x)>0D 、单调减函数，且f(x)<0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填写在答题卡中的横线上） 13、如图y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y= -2x+9， 则f(3)+f '(3)=___________。
2023年福建省福州三中高考数学第十三次质检试卷+答案解析(附后)
2023年福建省福州三中高考数学第十三次质检试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z 满足，则复数z 的虚部为( )A. 2B.C.D. i3. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( )A. B. C.2 D.4. 下列说法中正确的是( ) A. 已知随机变量X 服从二项分布，则B. “A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的充分不必要条件C.已知随机变量X 的方差为，则D.已知随机变量X 服从正态分布且，则5. 已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为( )A. B. C. D.6. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点P 、A 、B 、C 、D 恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为( )A. B. C. D.7. 若，则( )A. 448B.C.D. 1128. 已知，，，则( )A.B. C.D.9. 下列说法中正确的是( )A. 若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大D. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高10.已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是( )A.的图象关于对称B. 在上单调递减C. 的解集为，D. 方程在上有且只有两个相异实根11.已知圆C过点，，直线m：平分圆C的面积，过点且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则( )A. 圆心的坐标为B. 圆C的方程为C. k的取值范围为D. 当时，弦MN的长为12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是( )A.当时，B. 函数有2个零点C.的解集为D. ，，都有13. 已知，，，则______ .14. 已知抛物线C：上有两动点P，Q，且，则线段PQ的中点到x轴距离的最小值是______.15. 设函数，若在区间上的值域为，则实数m的取值范围为______.16. 用表示自然数n的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，记…，则：______；______.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求A；若D为BC上一点，且，，求的面积．18. 已知数列的前n项的和为，且满足求数列的通项公式及；若数列满足，求数列的前n项的和19. 在三棱台中，平面ABC，，且，M是AC的中点，P是CF上一点，且求证：平面平面PBM；当，且二面角的余弦值为时，求三棱台的体积．20. 某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在进行了统计分析，得到如下的频率分布直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接匋汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最昸岗位等级的概率．参考公式：21. 在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：的左焦点，直线与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且求椭圆C的标准方程；若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为，①求证：为定值；②求面积的最大值．22. 已知函数，求函数在上的最小值；证明：当时，答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：已知复数z满足其中i为虚数单位，则，，则复数z的虚部为故选：根据复数的模长和复数的代数运算可得答案．本题考查复数的模长和代数运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力，是中档题．【解答】解：双曲线的一条渐近线不妨为：，圆即为的圆心，半径为，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，由，可得，即故选：4.【答案】D【解析】解：对于A：随机变量X服从二项分布，则，故A错误；对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件“，但是“A与B是互斥事件”⇐“A与B互为对立事件“，故A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B错误；对于C：随机变量X的方差为，则，故C错误；对于D：因为随机变量X服从正态分布且，所以，所以，故D正确．故选：根据数学期望判断A；根据充分必要条件判断B；根据方差判断C；根据正态分布判断本题考查了命题的真假的判断，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由，得，，则，，得，可得，故选：求出原函数的导函数，可得，进一步求得，可得，然后利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查导数的几何意义及应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．6.【答案】C【解析】解：正四棱锥的底面是正方形，底面边长为，高为8，如图所示：所以正四棱锥的底面对角线的长为，设正四棱锥外接球的半径为R，则，解得，所以球的表面积为，即该鞠的表面积为故选：画出图形，根据正四棱锥的底面是正方形，利用列方程求出外接球的半径，即可求出表面积．本题考查了外接球的表面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：，，则，故选：由二项式定理，结合二项式展开式项系数的求法求解即可．本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式项系数的求法，属基础题．8.【答案】C【解析】解：，，设，则，函数在上单调递增，，即，，，，故选：利用指数函数的单调性判断，利用构造函数的单调性判断，求解即可．本题主要考查了指数函数和构造函数的单调性，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，数据，，…，的方差为0时，则此组数据与平均数相同，所以众数唯一，选项A正确；对于B，数据2，3，5，7，8，9，9，11，且，所以该组数据的第40百分位数为第4个数，是7，选项B错误；对于C，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近1，所以选项C错误；对于D，残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，选项D正确．故选：根据方差和平均数、众数，百分位数，相关系数和残差图的意义，对选项中的问题分析判断即可．本题考查了方差与平均数、众数和百分位数以及相关系数和残差图的应用问题，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．即，若的最小正周期为，则，得，此时，为偶函数，，，即，，，当时，，，，则当时，，则的图象关于对称，故A正确，当，则，，此时不是单调函数，故B错误，由得得即，即，，得，，故C正确，由得，则①或，②得①不成立，由②得，，，时，，时，，时，，则在上有且只有3个相异实根，故D错误，故选：根据图象变换关系求出和的解析式，根据三角函数的对称性，单调性分别进行求解判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象变换求出函数和的解析式，利用三角函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：设圆方程为²²²，因为圆C被直线m：平分，所以圆心在直线m上，则由，由条件圆C过A，B两点，则，解得，，，所以圆心，故A正确；圆C的方程为，故B正确；由题可知过点且斜率为k的直线l方程为，即，由直线l与圆C 由两个不同交点M，N，所以点C到直线l的距离小于半径r，即，解得，故C错误；当时，可求得点到直线l的距离，则弦长，故D正确；故选：设圆方程为²²²，根据已知条件结合A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到k的取值范围，进而也可求得当时弦MN的长，进而得出选项．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆标准方程的求解，点到直线的距离公式，弦长公式等，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A，令，则，则依题意有，，选项A正确；对于B，因为，且奇函数的图象关于原点对称，所以的零点不可能为偶数个，选项B错误；对于C，当时，，即，解得；当时，；当时，，即，解得；综上，的解集为，选项C正确；对于D，当时，令，解得，易知在单调递减，在单调递增；当时，令，解得，易知在单调递增，在单调递减；且，其大致图象如下：由图象可知，对任意，，，选项D正确．故选：利用奇函数的性质可得时的解析式，然后判断A；由奇函数的性质可知的零点不可能为偶数个，从而判断B；分，及解不等式，即可判断C；利用导数研究的单调性及极值情况，作出草图，即可判断本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为，，，所以，即，解得，所以，所以故答案为：根据平面向量的数量积求模长即可．本题考查了平面向量的数量积运算与模长计算问题，是基础题．14.【答案】2【解析】解：设抛物线C的焦点为F，点P在抛物线的准线上的投影为，点Q在直线上的投影为，线段PQ的中点为E，点E到x轴的距离为d，则，所以，当仅当，即P、F、Q三点共线时等号成立，所以线段PQ的中点到x轴距离的最小值为2，故答案为：设抛物线C的焦点为F，由，结合抛物线的定义可得线段PQ的中点到x轴距离的最小值．本题考查抛物线的性质，数形结合思想，属于中档题．15.【答案】【解析】解：函数的图象如图所示，结合图象易得当时，故答案为：函数的图象如图所示，结合图象易得答案本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由题意得，由的定义易知，且若n为奇数则，……………，………………故答案为：86；据题中对的含义，判断出，由此可求得，利用，…本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法．17.【答案】解：在中，因为，所以由正弦定理得：，即，因为，，所以，即，因为，所以在中，因为，，所以，由余弦定理得：，即，解得：舍去，因为，所以即，因为，所以，解得：，所以的面积，即的面积为【解析】利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A；先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积．本题考查了三角函数恒等变形，余弦定理，向量的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：在中，令，则，即，由知，，两式相减得，，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式，前n项和公式，当时，……；当时，………，综上，【解析】结合与等比数列的概念，可知数列是首项为1，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式与前n项和公式，得解；易知，再分和两种情况，结合等比数列的前n项和公式与分组求和法，得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，等比数列的通项公式与前n项和公式，以及分组求和法是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：在中，因为，且M为AC中点，故可得，由平面ABC，且面ABC，可得，又，AC，面ACFD，故平面ACFD，又面ACFD，故，由可得，，又，故∽，可得，又，故，故可得，又，PM，面PBM，故可得平面PBM，又平面BCD，故平面平面由，可得，，连接DM，由可知，BM，MC，DM两两垂直，故以M为坐标原点，分别以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，由，可得，设平面EBD的法向量为，则，且，令，得，设平面CBD的法向量为，则令，得，依题意可得，解得，故，易得和的面积分别为和2，故三棱台的体积【解析】由线面垂直推证，再结合三角形相似证明，即可由线线垂直推证线面垂直；以M为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知二面角大小，求得，再由棱台的体积计算公式即可求得结果．本题考查了面面垂直的证明以及棱台体积的计算，属于中档题．20.【答案】解：列联表：男女合计优得分不低于90分8412良得分低于90分161228合计241640，没有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关．①甲的得分不得低于85分．若甲得分在内，，若甲得分在内，，若甲得分在内，，记事件A为甲被公司正式录用，事件B为甲被评为一级．；乙得分在内．若最终甲为一级，乙为一级或二级，，若最终甲为二级，乙为二级，，所以甲最终不低于乙的岗位概率【解析】根据数据填写列联表，计算的值，根据临界值表可作出判断；①根据条件概率进行计算；②计算甲为一级和二级的概率，可得最终结果．本题考查了独立性检验，条件概率等概率知识，属于中档题．21.【答案】解：因为，所以，又，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为；①当AB的斜率为0时，显然当AB的斜率不为0时，设，由得，设，故有，所以因为，所以综上所述，恒有为定值．②，即，当且仅当，即时取等号此时适合，所以面积的最大值为【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，涉及利用基本不等式求最值．属于较难题．由椭圆长轴长为8知，由，得，由此能求出椭圆的标准方程；①AB的斜率不为0时，设，由设，运用根与系数之间的关系及斜率公式化简即可．②，运用基本不等式即可.22.【答案】解：当时，令得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故：①当时，显然，故在上单调递减，在上单调递增，故此时；②当时，在上单调递增，故；综上可知：当时，；当时，证明：先证时，，令，，得；得，故在上单调递减，在上单调递增，故，所以时，，即③恒成立，当时，要证，即，结合③式，即证即成立，即证在上恒成立，令，，由得，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，即……④恒成立，因为③④两式取等号的条件不一致，故当时恒成立，即当时，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而求出最值解决不等式恒成立问题的解题思路，同时考查分论讨论思想的应用，属于中档题．先求出函数的极值点，然后通过讨论极值点与的关系，确定函数的单调性，进而求出最小值；可先证明在上恒成立，将不等式的证明转化为证明在恒成立即可．。
福建省福州第三中学2022届上学期高三第四次质量检测数学试题
一、单选题二、多选题1. 在数列及中，，设，则（ ）A．B．C．D．2.过曲线的右焦点作曲线的切线，设切点为，延长交曲线于点，其中曲线与有一个共同的焦点，若点为线段的中点，则曲线的离心率的平方为（ ）A．B．C．D．3. 已知关于对称，将函数的图象向左平移个单位后与重合，则的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知，若复数(是虚数单位)是纯虚数，则（ ）A．或B．C．D．7.展开式中的常数项是（ ）A．B．C．D．8.已知集合，，若，则a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．9.已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）A．B．C．D．10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．各项系数和为1B ．第2项的二项式系数为15C ．含的项的系数为D ．不存在常数项11. 如图是2023年5月1日至5月7日某旅游城市每天最高气温与最低气温实况记录的网络截图，则关于这7天的气温，以下说法正确的是（ ）日期最高气温最低气温2023-05-0127℃15℃2023-05-0227℃18℃福建省福州第三中学2022届上学期高三第四次质量检测数学试题福建省福州第三中学2022届上学期高三第四次质量检测数学试题三、填空题四、解答题2023-05-0322℃18℃2023-05-0424℃19℃2023-05-0518℃14℃2023-05-0621℃11℃2023-05-0719℃9℃A ．这7天的最高气温的平均值与最低气温的中位数的差为B ．这7天的最高气温的众数是C ．这7天的最低气温的极差为D ．这7天的最低气温的第30百分位数是12.设，则下列关于的计算正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知i 是虚数单位，a ∈R．若复数的虚部为1，则a ＝_______．14. 已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________．15. 已知函数，则函数在点处的切线方程为_____________.16. 如图所示，如图所示，已知椭圆，⊙，点是椭圆的左顶点直线与⊙相切于点.（1）求椭圆的方程；（2）若⊙的切线与椭圆相交于两点，求面积的取值范围.17.已知在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.18. 某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．19. 人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：外向型内向型男性4515女性2010(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．(2)对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．附：参考公式：．0.10.050.012.7063.8416.63520.已知三棱锥的侧棱，.且.（1）证明：；（2）求点M到平面的距离.21. 已知函数.(1)当图象过点时，求函数在点处的的切线方程；（其中为自然对数的底数，）(2)当时，求证：对任意，恒成立.。
福建省福州第三中学2023届高三第二十次质量检测数学试题(高频考点版)
一、单选题
1. 给出下列四个关于函数的命题：
①
（
）与
（
）表示相同函数；
②
是既非奇函数也非偶函数；
③若
与
在区间 上均为递增函数，则
在区间 上亦为递增函数；
④设集合
，
，对应关系
，则能构成一个函数
，记作
，.
其中，真命题为（ ）
A．②③
B．①④
，该农户在矩形
果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 运送肥料较近，而另一侧的点沿道路 运送肥料较近，设这条界线是曲线 的一部
分，则曲线 为（ ）
A．圆
B．椭圆
6. 若函数
A．
的定义域是
，则函数
B．
二、多选题
7. 下列各选项中最大值是 的是（ ）
A． C．
C．抛物线
的定义域是（ ）
C．
B． D．
,
.
15. 某垃圾处理站每月的垃圾处理量最少为250吨，最多为450吨，月处理成本C（单位：元）与月垃圾处理量x（单位：吨）之间的函数关系
可以近似表示为，
，且每处理一吨垃圾得到可以利用的资源价值为100元，设y（单位：元）为平均成本（即每吨垃
圾的平均处理成本），P（单位：元）为每月的利润（利润是收入与成本之差）.
(1)求这 个家庭消费金额的平均数 及方差 （同一区间的花费用区间的中点值替代）; (2)通过进一步调查发现这 个家庭中收入不低于 千的有 个家庭,这些家庭成员到商场购物时驻留时间互不相同,通过调查得到如下列联 表:
驻留时间少于 小时
驻留时间不少于 小时
福建省福州第三中学2023届高三上学期数学一轮复习质量模拟检测试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知函数，则下列正确的是（ ）A．B．C．D ．的值域为2. 的展开式中所有项的系数之和是（ ）A ．2B．C．D．3. 已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（ ）A．B．C．D．4. 已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．5. 已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为A．B．C．D．6.若，则（ ）A ．0B ．1C．D ．37.已知函数，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为A ．（4，+∞）B．C ．[6，+∞）D．8. 已知抛物线C ：，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为，，且，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（ ）A．B．C．D．9. 如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（）A ．当P 在平面上运动时，四棱锥P －的体积不变福建省福州第三中学2023届高三上学期数学一轮复习质量模拟检测试题(1)福建省福州第三中学2023届高三上学期数学一轮复习质量模拟检测试题(1)三、填空题四、解答题B ．当P 在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]C ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P的轨迹长度为D ．若F是的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF //平面时，PF长度的最小值是10.设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）A．B．C．D．11. 已知F是抛物线的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线，，与C 相交于A ，B 两点，与C 相交于E ，D 两点，M 为A ，B 中点，N 为E ，D 中点，直线l 为抛物线C 的准线，则（ ）A ．点M 到直线l 的距离为定值B ．以为直径的圆与l 相切C．的最小值为32D ．当最小时，12.已知向量，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，B ．当时，向量与向量的夹角为锐角C ．存在，使得D ．若，则13.若向量与的夹角为，且则_________．14.已知定义在的偶函数在单调递减，，若，则取值范围________．15. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱,乙带了350钱,丙带了180钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱”,则乙应出(所得结果四舍五入,保留整数)钱数为______.16. 已知向量,，.（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值.17. 5G 网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G 网络正在大面积铺开.A 市某调查机构为了解市民对该市5G 网络服务质量的满意程度，从使用了5G 手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：､､､…，，统计结果如图所示：(1)由直方图可认为A 市市民对5G 网络满意度得分Z （单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s ，并已求得.若A 市恰有2万名5G 手机用户，试估计这些5G 手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.18. 已知函数的部分图像如图.（1）求函数的解析式.（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.19. 如图，已知四棱台的体积为，且满足，为棱上的一点，且平面.(1)设该棱台的高为，求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到频率分布直方图：(1)求a的值；(2)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；(3)现将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取10人，用X表示其成绩在[90，100]中的人数，求X数学期望及方差.21. 为进一步提倡餐饮节约､制止餐饮浪费行为，商务部支持行业协会发挥自律作用，推动建立制止餐饮浪费的长效机制，厉行勤俭节约､反对铺张浪费､倡导光盘行动.某酒店推出半份菜､“N-1”点菜法､光盘就赠礼､免费打包等措施，大大减少了餐饮浪费.该酒店记录了采取措施前40天的日浪费食品量(单位：kg)和采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表，如下表：采取措施前40天的日浪费食品量的频数分布表日浪费食品量[0，1)[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)天数1221216421采取措施后40天的日浪费食品量的频数分布表日浪费食品量[0，1)[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)天数1215622111（1）将下面的2×2列联表补充完整，浪费小于5kg 天数浪费不小于5kg天数总计采取措施前40天采取措施后40天总计并回答：在犯错误的概率不超过25%的前提下，能否判断食品浪费情况与是否采取措施有关？（2）估计该酒店倡导节约､采取措施后，一年能节省多少食品？(一年按365天计算，同一组中的数据以该组区间的中点值作代表.)附表及公式：0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024，其中.。
2021-2022学年福建省福州三中高三上学期第四次质检数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年福建省福州三中高三上学期第四次质检数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|lg(x+1)≤0}，B={x|x<1}，则∁U(A∩B)=()A. (−∞,0]B. (0,+∞)C. (−∞,−1]∪(0，+∞)D. (−1,0]2.设i为虚数单位，a∈R，“复数z=a22+i20211−i是纯虚数”是“a=1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知sin(α+π3)=45,则cos(α−π6)=()A. −45B. −35C. 45D. 354.已知a=20.1，b=0.50.5，c=log84，则()A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a5.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是()A. 2πB. 4πC. 8πD. 10π6.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念．星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的()倍．(当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A. 1.27B. 1.26C. 1.23D. 1.227.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当|MF2|+|MN|取最小值12时，该双曲线的渐近线方程为()A. y=±14x B. y=±x C. y=±2x D. y=±4x8.已知在等差数列{a n }中，a 2=3，a 6=11，数列{b n }的通项b n =log a (1+1a n)(a >1)，s n 是数列{b n }的前n 项和，若T n =log a √a n +1，则S n 与T n 的大小关系是( )A. S n ≥T nB. S n >T nC. S n <T nD. S n ≤T n二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=−x −1，若f(a)f(−a)=4，则实数a 的值可为( )A. −3B. −1C. 1D. 310. 下列命题正确的是( )A. O 为△ABC 内一点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则O 为△ABC 的重心 B. (x 2−2x 3)5展开式中的常数项为40C. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为：存在x 0∈R ，使得x 02<0D. 实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a +b 的最大值为111. 如图直角梯形ABCD ，AB//CD ，AB ⊥BC ，BC =CD =12AB =2，E 为AB 中点，以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =2√3.则( )A. 平面PED ⊥平面EBCDB. PC ⊥EDC. 二面角P −DC −B 的大小为π4 D. PC 与平面PED 所成角的正切值为√212. 寿山石是福州特有的名贵石材，某寿山石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y =t(t >0)与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是( )A. 椭圆的离心率是√22B. 线段AB长度的取值范围是(0,3+3√2)C. △OAB的周长存在最大值D. △ABF面积的最大值是94(√2+1)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：2x−3y+4=0，l2：ax−32y−1+2a=0且l1//l2，则两直线之间的距离为______．14.抛物线y=ax2(a>0)上一点A(m,2)到焦点的距离为3，则a=______．15.袋中装有大小相同的1个白球和2个黑球，现分两步从中摸球：第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球，则涂成黑球，若摸得黑球，则不变色)；第二步再从袋中随机摸取2个球.记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ，则P(ξ=0)=______ ；E(ξ)=______ ．16.设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x∈[a,b]，都有|f(x)−g(x)|<1，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“密切函数”，区间[a,b]称为“密切区间”.设函数f(x)=lnx−12x与g(x)=12x−2t在[1e,e]上是“密切函数”，则实数t的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=(4c−b)cosA．(1)求sinA；(2)若a=2，sinC=√158，求△ABC的面积．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，在①a n+1=2S n+3(n∈N∗)；②S n=32(3n−1)(n∈N∗)；③13a1+132a2+133a3+⋯+13na n=n(n∈N∗)，这三个条件中任选一个，解答下列问题．(1)求出数列{a n}的通项公式；(2)若设b n=log3a2n−1，数列{1b n b n+1}的前n项和为T n，证明：T n<12．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，△ACD是边长为1的等边三角形．(1)证明：CD⊥B1D；(2)若BC=√3，求二面角B−C1D−B1的大小．20.近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2∼3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．(1)南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足X∼N(52,14 )，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率；(2)①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为ξ，求ξ的数学期望；②某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记Y为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求Y的分布列和数学期望．附：若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(1,0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，三角形MF1F2面积的最大值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点的直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，若直线l的斜率的平方是直线OA、OB斜率之积，求三角形OAB面积的取值范围．22.已知函数f(x)=ae x+bcosx+12x2+1(其中a，b为实数)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1．(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)=f′(x)−3x的单调区间；(3)若对任意的x∈R，不等式xf(x)≥32x3+2λx2+x恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：∵lg(x +1)≤0，∴0<x +1≤1，∴−1<x ≤0， ∴A ={x|−1<x ≤0}，又B ={x|x <1}， ∴A ∩B ={x|−1<x ≤0}， ∴∁U (A ∩B)={x|x ≤−1或x >0}， 故选：C ．先解对数不等式求出集合A ，再根据集合的运算性质，求解即可． 本题主要考查了交、补集的混合运算，比较基础．2.答案：B解析：复数z =a 22+i 20211−i=a 22+i 1−i=a 22+−1+i 2=a 2−12+i2是纯虚数，则a 2=1，a =±1，所以a =±1是a =1的必要不充分条件， 故选：B ．先化简z ，求出a ，根据充分必要条件的定义再判断即可． 考查了复数的运算及其定义，充分必要条件的判断，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查利用诱导公式求值，属于基础题． 利用诱导公式即可得出． 解：cos(α−π6)=cos(π6−α) =sin[π2−(π6−α)]=sin(π3+α)=45， 故选C ．4.答案：A解析：b =(12)0.5=2−0.5<20=1<20.1，∴a >1>b >0， c =log 84=23，∵b =(12)0.5=√22>23，∴b >c ， ∴a >b >c ，故选：A ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.答案：C解析：∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°， ∴12×2×1×sin60°×AA1=√3，∴AA 1=2 ∵BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos60°=4+1−2，∴BC =√3． 设△ABC 外接圆的半径为R ，则BCsin600=2R ，∴R =1．∴外接球的半径为√1+1=√2，∴球的表面积等于4π×(√2)2=8π． 故选：C ．利用三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，∠BAC =60°，求出AA 1，再求出△ABC 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积． 本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题6.答案：B解析：由题意可得，1−1.25=2.5(lgE 2−lgE 1)，lg E1E 2=0.1，故E1E 2=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26． 故选：B ．将已知数据代入公式计算E 1E 2，即可求解．本题考查了函数的实际应用，以及计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：根据双曲线的对称性，仅做一条渐近线， ∵实轴长为4，∴2a =4，由双曲线的定义可知，|MF 2|−|MF 1|=4 MF 2|+|MN|=|MF 1|+|MN|+4≥|F 1N|+4， 当且仅当点F 1，M ，N 三点共线时，等号成立， 如图，∵渐近线方程为y =ba x ，即bx −ay =0，且F(−c,0)， ∴此时|F 1N|=√a 2+b2=bc c=b ，∴|MF 2|+|MN|的最小值为b +4， ∴b +4=12，∴b =8， ∴渐近线方程为y =±ba x =±4x ， 故选：D ．根据题意画出图形，得出当点F 1，M ，N 三点共线时有最小值，求出b 的值，即可得渐近线方程． 本题考查双曲线的性质，属于中档题．8.答案：B解析：在等差数列{a n }中，由a 2=3，a 6=11，可得公差d =11−36−2=2，∴a n =a 2+(n −2)⋅d =2n −1，∵b n =log a (1+1a n)(a >1)，∴b n =log a (1+12n−1)=log a2n2n−1，故数列{b n }的前n 项和s n =log a (21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1)， T n =log a √a n +1=log a √2n ， 令A =21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1，B =32⋅54⋅76⋅...⋅2n+12n，∵A >B ，∴A 2>AB =2n +1， ∴A >√2n +1>√2n ， 则S n >T n ． 故选：B ．依题意可得b n =log a (1+12n−1)=log a 2n2n−1，s n =log a (21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1)，令A =21⋅43⋅65⋅ (2)2n−1，B =32⋅54⋅76⋅...⋅2n+12n，可得A 2>AB =2n +1，A >√2n +1>√2n ，即可求解．本题考查了数列的递推式，考查了转化思想、计算能力，属于难题．9.答案：BC解析：由函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数， 可得f(−x)=f(x)，若f(a)f(−a)=4，即为[f(a)]2=4， 即f(a)=2或f(a)=−2，又当x ∈(0,+∞)时，f(x)=−x −1，当a >0时，f(a)=−a −1=2或−a −1=−2， 解得a =1或−3(舍去)，当a <0时，f(a)=f(−a)=a −1=2或a −1=−2， 解得a =−1或3(舍去)， 综上可得，a =−1或1． 故选：BC ．由偶函数的定义和已知函数的解析式，讨论a >0，a <0，可得a 的方程，解方程可得所求值． 本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．10.答案：ABC解析：选项A ：取线段AB 的中点M ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以点O 为三角形ABC 的重心，故选项A 正确；选项B ：展开式的第r +1项为C 5r (x 2)5−r(−2)r (x −3)r ，当展开式为常数项时r =2， 此时C 52(−2)2=40，故选项B 正确；选项C ：含有全称量词的否定要将全称量词修改为存在量词，故选项C 正确； 选项D ：实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a+b 2≤√a2+b 22，∴a +b ≤√2，故选项D 不正确； 故选：ABC ．对选项进行逐个分析，依据原则即可判断出答案．本题考查了概念的理解，向量的加减法，二项式定理，命题以及不等式，属于基础题．11.答案：AC。
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2007年福建省福州三中高三数学文史类质量检查考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）以下提供的公式供解题时参考：1.如果事件A 、B 互斥，那么 4.球的表面积公式：24R S π= P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 其中R 表示球的半径2.如果事件A 、B 相互独立，那么 5.球的体积公式：334R V π=P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 其中R 表示球的半径 3.如果事件A 在一次试验中发生的概 率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|1}X x x =>-，那么A ．0X ⊆B ．{0}X ∈C ．X ∅∈D ．{0}X ⊆ 2.在等比数列}{n a 中,12a =,238a a =,则4a 等于A ．4±B ．12C ．4D ．83.4314x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为A ．116B ．116-C ． 164D ．164- 4．设函数1, 0()3, 0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则满足1()2f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为 A ．12-B ．12C ． 32D ．525．函数sin(2)3xy x =+图象的对称轴方程只可能是A ．0x =B ．12x π=C ． 6x π=D ．3x π=6．若01a <<，01b <<,则a b +，22a b +，2ab 中，最大的是A ．a b +B ．．22a b + D ．2ab7．下列命题正确的是A ．垂直于同一平面的两个平面互相垂直B ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直C ．平行于同一平面的两条直线互相平行D ．平行于同一直线的两条直线互相平行 8．关于函数31()13f x x x =++，以下描述错误的是 A ．()f x 是奇函数B ．方程()0f x =只有一个实数根C ．()y f x =的图象关于()0,1点对称D ．1212()()f x f x x x -≥-是对任意12,x x R ∈恒成立 9．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，那么56等于A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰好有1个是白球的概率10．命题P ：“0a b →→>”，命题Q ：“a →与b →夹角为锐角”，则命题P 是命题Q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．今年4月18日，铁道部宣布我国将进行第六次火车提速，提速之后，增开福州至北京的往返列车，运行区间设置12个停靠车站.若每站均可能有旅客上下列车，则执行“福州――北京”往返任务，需要设置不同版本的客票数为A ．66B ．132C ．90D ．2412．椭圆221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上存在一点P ，使01290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围A ．02e <≤B ．12e ≤<C ．112e ≤<D ．12e ≤<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上。
13．函数2()1,0f x x x =-<的反函数是 . 14．非负实数x 、y 满足20x y x y+-≤⎧⎨≤⎩，则2x y +的最大值是 .15．已知∆ABC60A ∠=,AC=2,则BC 的长为 . 16．在正方形ABCD-1111A B C D 中，P 为11A D 上的一个定点，Q 为11A B 上的任意一点，E,F 为CD 上的任意两点，且EF 的长为定值，现有下列命题： ①点P 到平面QEF 的距离为定值；②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P-EF-Q 的大小为定值； ④三棱锥P-QEF 的体积为定值；其中正确命题的序号是 （把符合要求的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-的夹角23πθ=，A 、B 、C 分别是△ABC 的三个内角. （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3cos 5B =，求cos A 的值. 18．（本小题满分12分）如图，边长为2的正三角形APD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求二面角A －BE －P 的大小；（Ⅱ）求点A 到平面PBE 的距离；19．（本小题满分12分）一个盒子里装有3张卡片，分别标有数字1，2，3；另一个盒子里装有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4；现在从这两个盒子中任取一张卡片。
（Ⅰ）求取出的两张卡片上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）若取出的卡片上的两个数恰为方程20x ax b -+=的两根，求a b ≥的概率。
P DE A B C20．（本小题满分12分）已知函数32()153624f x ax x x =-+-在x ＝3处有极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）在曲线()y f x =上是否存在一点0,0()M x y ，使得经过这一点的切线与直线210x y -+=垂直？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()1xf x x =+，数列{}n a 满足1(0,1)a a =∈（a 为常数），且1()n n a f a +=。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：312 (12341)n a a a a n ++++<+22．（本小题满分14分）双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的两条渐近线与圆22410x y x +-+=都相切，且该双曲线的一个焦点F 与圆心重合（Ⅰ）求双曲线E 的方程；（Ⅱ）设过点(0,2)M 的直线l 与双曲线E 分别交于A,B 两点。
若OAB ∆的面积S =求直线l 的方程。
[参考答案]一、选择题：每小题5分，共60分 二、填空题：每小题4分，共16分三、解答题（共74分） 17.解：（Ⅰ）依题意21cos 2cos A B θ==-+,所以1cos()2A B +=-┅3分 即1cos 2C =,因为0C π<<，所以3C π= ┅6分 （Ⅱ）因为3cos 5B =，所以4sin 5B = ┅8分所以cos cos()sinsin cos cos A B C B C B C =-+=-=┅12分 18. （Ⅰ）如图，取AD 中点O，连结OP ，则OP AD ⊥，因为平面APD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，设BC 中点为F ，以O为坐标原点，分别以OA 、OF 、OP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(1,0,0),(1,2,0),(1,1,0),A B E P - ┅2分 设平面PBE 的法向量为1(,,)n x y z =，因为11(,,)(2,1,0)20(,,)(1,1,3)0n BE x y z x y n PE x y z x y ⎧=--=--=⎪⎨=-=-+=⎪⎩解得2y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，得到平面PBE 的一个法向量1(1,2,n =- ┅4分又因为平面ABE 的一个法向量2n OP ==.所以121212cos ,4223n n n n n n <>===- 因为二面角A BEP --为锐角， 所以二面角A BE P --的大小为arc ┅9分 （Ⅱ）平面PBE 的一个法向量1(1,2,n =-，(0,2,0)AB = 所以求点A 到平面PBE 的距离112AB n d n ===┅12分19．（Ⅰ）记取出的两张卡片上的数字互不相同为事件A ，则P(A)= 331344-=⨯ 答：取出的两张卡片上数字互不相同的概率为34. ……6分 （Ⅱ）若两个数恰为方程20x ax b -+=的两根，记a b ≥为事件B ，则基本事件总数n =12,符合a b ≥的事件数m =7. 所以7()12m P B n == 答：a b ≥的概率是712. ……12分20. （Ⅰ）由 32()153624f x ax x x =-+-知2'()33036f x ax x =-+依题意，得'(3)2790360f a =-+=，所以a =2 ……2分令2'()630360f x x x =-+=，得2x =，或3x =.当x 变化时， '()f x 与()f x 变化情况如下表所以函数()f x 的单调增区间是(,2)-∞与(3,)+∞单调减区间是（2，3） ……7分（Ⅱ）假设在曲线y=()f x 上存在一点0,0()M x y ，使得经过这一点的切线与直 线210x y -+=垂直，则切线的斜率k ＝－2，即2000'()630362f x x x =-+=- ……10分所以200315190x x -+=因为21543190∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根。
所以在曲线y=()f x 上不存在一点0,0()M x y ，使得经过这一点的切线与直线210x y -+=垂直. ……12分21．（Ⅰ）因为1()1nn n n a a f a a +==+， 所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项11a ＝1a ，公差d =1的等差数列 ……3分 所以1n a ＝1(1)n a+- 所以数列{}n a 的通项公式为n a ＝(1)1aa n -+ ……6分（Ⅱ）因为01a <<， 所以111(1)11k a a a k kk a==<-+-+，k =1,2,…,n所以1111(1)1k a k k k k k <=-+++ ……10分 于是3122341n a a a a n +++++11 <12n -++即31212341na a a a n ++++<+ ……12分22．（Ⅰ）注意到圆心为(2,0)F ，半径r =y =，所以2bc a==，解得221,3a b == 双曲线E 的方程为2213y x -= ┅6分 （Ⅱ）设过M （0，2）点的直线l 的方程为y =kx +2 （显然斜率k 存在），代入2213y x -=，得22(3)470k x kx ---= 所以2222301628(3)84120k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩ 解得203k ≤<，或237k << ……8分 记1122(,),(,)A x y B x y ，则1212OABS OM x x ∆=-==化简得42316130k k -+=，解得2133k =，或21k = ……11分经检验，2133k =，或21k =都符合题意，所以3k =±1k =± 所求直线有四条，方程为2k x =+与2k x =±+ ……14分。