2015年海珠区数学一模试题
广东省广州市海珠区2015届高三数学摸底考试试题 理
海珠区2014学年高三综合测试（一）试题数 学（理科）【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合{}21M x x ==，{}2320N x x x =-+=,则M N ⋃= A ．{1,2} B ．{1,1,2}- C ．{1,2}- D ．{1}【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B 解析：因为集合{}21M x x ==，即{}11M x x 或==-，又因为{}1,2N =，所以M N ⋃={1,1,2}-，故选B.【思路点拨】先化简集合M ，再求结果即可.【题文】2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z = A. 2 B. 2- C.1i + D. 1i - 【知识点】复数的运算.L4【答案解析】A 解析：因为复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则21z i =-，所以12z z =()()1+1=2i i -，故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出2z 再计算结果即可.【题文】3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G4、G5【答案解析】B 解析：对于选项A ：m 、n 平行、相交、异面都有可能；选项B 显然成立 【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论。
海珠区2015-2016学年下学期期中考试初三数学一模试卷
第7题图Rr第9题图2016年海珠区一模数学卷第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1．实数3-的绝对值是( )A ．3B ．3-C ．0D ．3±2．下面汽车标志中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，如果∠A=50°，则∠C=（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．150° 4．下列运算中，错误的是（ ）A ．23a a a -=-B ．333)(b a ab -=- C ．426a a a =÷ D ．22a a a =⋅ 5．方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．13x y =⎧⎨=⎩ C ．31x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩6．为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续4天的最高气温，结果如下（单位：℃）： 5，-1，-3，-1.则下列结论错误的是（ ）A ．方差是8B ．中位数是-1C ．众数是﹣1D ．平均数是0 7. 某几何体的三视图如图所示，则其侧面积是（ ） A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．6 8. 已知一元二次方程2530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于90°，则r 与R 之间的关系是（ ） A ．r R 2= B ．r R 3= C ．r R 4= D ．r R 5=10．将抛物线243y x x =-+向上平移至顶点落在x 轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D CBA第3题图第10题图第18题图DCB A第20题图NM ODCB A 第16题图 第15题图第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11．已知∠α＝25°，那么∠α的余角等于 度.122x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 .13．不等式组⎩⎨⎧<->+0501x x 的解集是 .14．反比例函数3m y x-=，在每一象限内，y 随x 的增大而减小， 则m 的取值范围 . 15．如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为24米，从A 点测得D 点的俯角为 30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为______米．（结果保留根号）16．如图，正方形ABCD 的边长为3，对角线AC 与BD 相交于点O ，CM 交BD 于点 N ，若BM=1，则线段ON 的长为 . 三、解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17．（本题满分9分）解方程：22xx =+ 18．（本题满分9分）如图，四边形ABCD 是平行四边形. （1）利用尺规作∠ABC 的平分线BE ，交AD 于E （保留 作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求证：AB=AE.19．（本题满分10分）已知2(2)(2)(2)A x x x =-++- （1）化简A ； （2）若2210x x -+=，求A 的值.20．（本题满分10分）已知一次函数)0(1≠+=k b kx y 与反比例函数)0(2≠=m xmy 相交于A 和B 两点，且A 点坐标为（1,3），B 点的横 坐标为3-. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使得21y y >时，x 的取值范围.21．（本题满分12分）为了庆祝新年的到来，我市某中学举行“青春飞扬”元旦汇演，正式表演前，把各班的节目分为A （戏曲类），B （小品类），C （歌舞类），D （其他）四个类别，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题．（1）参加汇演的节目数共有 个，在扇形统计图中，表示“B 类”的扇形的圆心角为 度，图中m 的值为 ； （2）补全条形统计图；（3）学校决定从本次汇演的D 类节目中，选出2个去参加市中学生文艺汇演．已知D 类节目中有相声 节目2个，魔术节目1个，朗诵节目1个，请求出 所选2个节目恰好是一个相声和一个魔术概率．22．（本大题满分12分）某学校准备购买A 、B 两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，购买学校购买型号及数量（个）购买支出款项（元）A B甲 3 8 622乙 5 4 402（1）求A 、B 两种型号的篮球的销售单价；（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，求A 种型号的篮球最少能采购多少个？ 23．（本大题满分12分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程042=+-a x x 的两个实数根．（1）求弦AB 的长度； （2）计算AOB S ∆；（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周， 当AOB POA S S ∆∆=时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）． 24．（本大题满分14分）已知正方形ABCD 和正方形CEFG ，连结AF 交BC 于点O ，点P 是AF 的中点，过点P 作PH ⊥DG 于H ，CD =2，CG =1.（1）如图1，点G C D 、、在同一直线上，点E 在BC 边上，求PH 的长； （2）把正方形CEFG 绕着点C 逆时针旋转α（01800<<α） ①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长； ②如图3，当DG =7时，求PH 的长.AOBP第23题图第24题图1 O H PFGA BCDE 第24题图3O HPFGA BCDE第24题图2第25题图1y25．（本大题满分14分）已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。
广东省广州市海珠区2014-2015学年八年级上期末考试数学试题及答案
海珠区2014-2015学年第一学期期末调研测试八年级数学试卷本试卷分第1卷和第2卷两部分，共三大题25小题，共4页，满分100＋50分，考试时间为120分钟，不可以使用计算器. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用墙皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须卸写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列图案属于轴对称图形的是（ ）.2．点M （1,2）关于Y 轴对称的点的坐标为（ ）.A ．（-1，-2）B ．（-1,2）C ．（1，-2）D ．（2,1） 3．已知三角形两边长分别为7、11，那么第三边的长可以是（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5 4．下列计算正确的是（ ）. A ．()236aa = B ． 22a a a =∙ C ．326a a a += D ．()3339a a =5．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数是（ ）.A ．8B ．9C ．10D ．11 6．如图，已知△ABC 中，75A ∠=︒，则12∠+∠=（ ）.A ．335°B ．255°C ．155°D ．150° 第6题图 7．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）.A ．22212(1)1a a a a -+=-+ B ．()()22x y x y x y -+=-C ．()2296131x x x -+=-D ．()2222x y x y xy +=-+8．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（ ）.A ．20或22B ．20C ．22D ．无法确定 9．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）.A ．AB=ACB ．BD=CDC ．∠B=∠CD ．∠BDA=∠CDA 10．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，……在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，……在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，……均为等边三角形，若OA 1=2，则△A 5B 5A 6（ ）. A ．8 B ．16 C ．24 D ．32第10题图 二、填空题（本题共18分，每小题3分，共18分）11．科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学计数法表示为 微米. 12．若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形中的最大的角度是 .13．计算()213.143-⎛⎫π-+= ⎪⎝⎭.14．若多项式24x mx ++是完全平方式，则m= .15．如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OB 于D ，PC//OB 交OA 于C ，若PC=6，则PD= . 16．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b ）n （n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出：()5a b -= .第15题图 第16题图三、解答题（本题共9小题，共102分，解答题要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17．（本题满分10分，每小题5分）计算：（1）a a 4)(32∙- （2）()()2211x x x ++-18．（本题满分10分，每小题5分）解下列分式方程：（1）1122x x x -=-- （2）223111x x x +=--（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A，B，C，；（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）20．（本题满分10分）如图，已知点E、F在线段BC上，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D.21．（本题满分12分）小鹏的家距离学校1600米，一天小鹏从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘了拿，立即带上课本去追他，在学校门口追上了他，已知爸爸的速度是小鹏速度的2倍，求小鹏的速度.第二卷（共50分）22．（本题满分12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线.（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）AB D CEB C DAED B CE A第24题图①第24题图②第24题图③ 先化简代数式：4312112-⨯--+-x x x x ，然后再从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数代入求值.24．（本题满分12分）已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作等边△ADE. （1）如图①，点D 在线段BC 上移动时，直接写出∠BAD 和∠CAE 的大小关系；（2）如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，猜想∠DCE 的大小是否发生变化.若不变请求出其大小；若变化，请说明理由.25．（本题满分14分）已知点D 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且DB=DC. （1）如图①，若点D 在BC 上，求证AB=AC ；（2）如图②，若点D 在△ABC 的内部，求证：AB=AC ；（3）若点D 在△ABC 的外部，且点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，AB=AC 成立吗？请说明理由.。
2015年从化市和海珠区初中毕业生综合测试(数学参考答案)
2015年从化市初中毕业生综合测试数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题：（本大题查基本知识和基本运算．共6小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分） 解： 533x y x y +=⎧⎨-=⎩ (2)(1)（1）+（2）得：48x = ……………………………………………2分 解得：2=x （3） ……………………………………………4分 把（3）代入（1）得： 52=+y ………………………………………6分 解得：3=y ………………………………………8分所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==32y x…………………………………9分18. （本小题满分9分）证明：∵AB 是圆O 的直径∴∠ACB=90º ………………………………2分 ∵AP 是圆O 的切线 ∴∠PAO=90º ………………………………4分 ∴∠PAO=∠ACB ……………………………5分 ∵BC//OP∴∠ABC=∠POA ……………………………8分 ∴⊿ABC ∽⊿POA ……………………………9分19. （本小题满分10分）解：原式=221.1x y y x +- ………………………………2分 第18题图=21.(1)(1)x y y x x ++- ………………………………4分 =1yx -； ………………………………6分把1x =，y =1y x-=………………………………8分=………………………………9分2=………………………………10分20. （本小题满分10分）解：（1）A 高中（填A 或高中等都可以），30，216 ………3分 （2）∵80032%256⨯=(人)∴该校初三学生选择“中技”观点的人数约是256人。
………6分 （3）该班选择“就业” 观点观点人数:508%4⨯=(人) ……………………7分树形图（或列表） ……………………9分 法一：（树形图）∵所有出现的结果共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等的，其中出现2女的情况共有2种。
2015届广东珠海市一模数学理考试试题
珠海市2014-2015学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{}lg(1)A x y x ==-，{}2,xB y y x R ==∈，则A B ⋃＝A ．∅B ．RC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞ 2.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝A．5 C ．7 D ． 13 3.下列函数为偶函数的是 A ． 21()f x x x=+B ．2()log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++4.若x y 、满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的最小值是ABC ．45D ．1 5.执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 6. 二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是 A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 7.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是 A ．23 B ．43C ．2D ．4（第5题图）俯视图侧(左)视图正(主)视图(第7题图)1228.已知集合123{|(,,),{0,1},1,2,3}i S P P x x x x i ==∈=对于123(,,)A a a a =，123(,,)B b b b S =∈，定义A 与B的差为112233(||,||,||)A B a b a b a b -=---，定义A 与B 之间的距离为31(,)||i i i d A B a b ==-∑.对于,,A B C S ∀∈,则下列结论中一定成立的是（ ）A. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +=B. (,)(,)(,)d A C d B C d A B +>C. (,)(,)d A C B C d A B --=D. (,)(,)d A C B C d A B -->二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式21x x -≥的解集为 ．10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是 ． 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = ．12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为 ．13.已知平面向量a b 、满足231a b +=，则a b ⋅的最大值为 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1:2C ρ=与曲线2:4sin ()2C πρθθπ=<<交点的极坐标是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，O BD ∈，CD =5BC =，则AE = ．（第15题图）三、解答题:本题共有6个小题，共80分．请写出解答的步骤与详细过程。
广东省海珠区等四区2015届高三联考数学(理)Word版含答案
-海珠区2014学年高三综合测试（二）数学（理科）2014.11本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为A ．(){}1,3-B ．()3,1-C ．{}3,1-D ．(){}3,1-2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为 A. 4x p =B. 8x p =C. 8x p =-D. 4x p =-4．已知向量,a b 的夹角为120，2a =，且8a b ⋅=-，则b = A ．6B ．7C ．8D ．95．函数ln y x =与y =-在同一平面直角坐标系内的大致图象为6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为A ．0 BCD． 7．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b-=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ， 且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为 A．y =B．y x =C．y x = D．y x = 8．若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为A ．8 B． C ．2D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，91028a a +=，则该数列前10项和10S = ． 10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边 三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 11．不等式13x x +-≤的解集是 ．12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种（用数字作答）． 13．给出下列四个命题：①已知ξ服从正态分布()2,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξP ； ②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-；④命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题．其中正确命题的序号是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,已知4A π=，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.17．（本小题满分12分）甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元. 在（1）的前提下，记X 为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且3BD PD ==,22AC AD ==， （1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足12()n n nS a n S N *++=?． （1）求123,,S S S ； （2）求n S ；（3）设()221n n b n a =+，求证：对任意正整数n ，有121n b b b +++<L ．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，,A B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-，直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点,M N ．（1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数1(0)()e (0)x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，()()F x f x kx =+（k ∈R ）．（1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．海珠区2014学高三综合测试（二）理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）4cos ,5B =且(0,)B π∈，∴3sin 5B ==．………………1分∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=- ………………2分 33cos cos sin sin 44B B ππ=+ ………………4分4355= ………………5分= ………………6分 （2）由（1）可得sin C ===． ………………7分 由正弦定理得sin sin a cA C==， ………………8分………………12分17．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件. ………………1分 所以元件甲、乙为正品的频率分别为5410080=，4310075=. ………………3分 根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为45，34. ………………4分 （2）随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30， ………………5分 则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=． ………………9分 所以X 的分布列为：10分X 的数学期望为EX 3311150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.……………12分(3,(3,1,1121n n n ⋅==⨯19．解：（1）当1n =时，11112S S S ++=，∴112S =-， ……………1分 当2n ³时，112n n n n S S S S -++=-，∴112n n S S -=-+， ……………2分∴2323,34S S =-=-． ……………4分 (2)由（1）猜想：1n nS n =-+. ……………5分 下面用数学归纳法证明：当1n =，112S =-显然成立； 假设当n k =时命题成立，即1k kS k =-+，那么当1n k =+时， 11112221k k k S k S k k ++=-=-=-++-+， 即1n k =+时命题也成立， 综上可知，1n nS n =-+． ……………9分 （3）由（2）知()1121n n n a S S n n =++=-+， ……………10分∴()()()()()2222222221211121111n n n n n b n a n n n n n n +-+=+===-+++， ………11分∴()()12222222211111111122311n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L ，…13分 ∴121n b b b +++<L ． ……………14分 20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，∴直线AP 的斜率11y k x -=，直线BP 的斜率21y k x+=（0x ≠）， ………2分 又1214k k ⨯=-，∴1114y y x x -+⨯=-， ………………3分 即()22104x y x +=≠． ………………4分（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，………………6分由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，得132x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ………………7分 由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ………………8分 由1214k k ⨯=-，∴11213134MN k k k k =-=+≥9分当且仅当1134k k =，即1k = ∴线段MN长的最小值 ………………10分 （3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN =，即()()1231220x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………11分 又1214k k ⨯=-， 故以MN 为直径的圆的方程为：()2211342120x k x y k ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭， ………………12分令0x =，得()2212y +=，解得2y =-± ………………13分 ∴以MN为直径的圆经过定点(0,2-+或(0,2--． ………………14分21.解:（1）当1=k 时，1(0)()e (0)x x x F x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤， ………………1分当0>x 时，1()2=+F x x x≥，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e x F x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤． ………………3分所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞． ………………4分（2）由1(0)()e (0)x kx x F x x kx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤，得21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， ………………5分①当0=k 时，21(0)()e (0)x x F x x x ⎧->⎪'=⎨⎪⎩≤，当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分②当0>k 时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分当0>x 时，令21()0F x k x '=-=，解得x =±，舍去负值，得x =当0x <<时，()0F x '<，()F x在区间上单调递减， ………………9分当x >'()0>F x ，()F x在区间)+∞上单调递增． ………………10分 ③当0k <时，21(0)()e (0)x k x F x x k x ⎧->⎪'=⎨⎪+⎩≤， 当0>x 时，21()0F x k x'=-<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<<k ，当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<<k 时，在(),0-∞上存在极值点ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，()0F x '>，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和)+∞上单调递增，在上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k 和(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分。
2015广州一模文科数学试题及答案
图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 2015.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =,{}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．MN B ．N M C U )( C ． M )(N C U D ． )(M C U )(N C U2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.54．已知i 为虚数单位，复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部b 记作Im ()z ，则Im 11i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．12-B ．1-C ．12D ．15. 设抛物线:C 24y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．5C ．6D ．76. 已知△ABC 的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,且sin sin 2BAab=, 则cos B 的值为A.B. 1C. 1-D.侧视图正视图7. 已知数列{}n a为等比数列，若4610a a+=，则()713392a a a a a++的值为A.10B. 20C.100D. 2008. 若直线3y x=上存在点(),x y满足约束条件40,280,,x yx yx m++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m的取值范围是A. [)1,-+∞ B. ()1,-+∞C. (],1-∞- D. (),1-∞-9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为3，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. D.10．已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线:(l y kx t k=+为常数，0)t≠与圆O 相交于,M N两点，记△MON的面积为S，则函数()S f t=的奇偶性为A．偶函数B．奇函数C．既不是偶函数，也不是奇函数D．奇偶性与k的取值有关二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11. 函数()()ln2f x x=-的定义域为.12. 已知e为自然对数的底数，则曲线2y=e x在点()1,2e处的切线斜率为.13. 已知函数()11f xx=+，点O为坐标原点, 点()(),(nA n f n n∈N*)，向量()0,1=i，nθ是向量nOA与i的夹角，则201512122015coscos cossin sin sinθθθθθθ+++的值为.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为cos sin,(cos sinxyθθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x tty t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲图3图4图5FE PODB A15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．（本小题满分12分）从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:（1）求,,a b c 的值；（2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松志愿者, 再从身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作, 求这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm 的概率.表118.（本小题满分14分） 如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，ACEF O =．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求四棱锥P BFED -的体积19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ， 4k a 成等比数列? 若存在，求k 的值； 若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21.（本小题满分14分）已知t 为常数，且01t <<，函数()()1102t g x x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小值和函数()h x =()32f x x ax bx =-++(,a b ∈R )的零点.（1）用含a 的式子表示b ，并求出a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值和最小值.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. ()2,+∞ 12. 2e 13.20152016 14. 4π⎫⎪⎭ 15. 说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin coscos sincos 66x x x ππ=-+ …………………………1分1cos 2x x =+ …………………………2分 sin cos cos sin66x x ππ=+ …………………………3分sin 6x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………4分 ∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………5分（2）解：∵435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴ 4sin 365ππα⎛⎫++= ⎪⎝⎭. …………………………6分∴ 4sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴ 4cos 5α=. …………………………7分 ∵α是第一象限角，∴3sin 5α==. …………………………8分 ∴ sin 3tan cos 4ααα==. …………………………9分 ∴ tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+⋅ …………………………10分314114-=+⨯ …………………………11分 17=-. …………………………12分17. （本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解: 由0.050.350.200.10 1.00c ++++=，得0.30c =. …………………………1分由0.30100a=，得30a =， …………………………2分 由5303510100b ++++=，得20b =. …………………………3分（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的20名志愿者中身高在区间[)175,180上的有0.20204⨯=名，记为,,,A B C D ； …………………………………………5分而身高在区间[)180,185上的有0.10202⨯=名，记为,E F . ……………………7分 记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm ”为事件M ， 从身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，共有15种不同取法：{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E A F ，{,},{,},{,},{,}B C B D B E B F ，{,},{,},{,}C D C E C F ，{,},{,}D E D F ，{,}E F ． …………………………9分事件M 包含的基本事件有9种：{,},{,}A E A F ，{,},{,}B E B F ，{,},{,}C E C F{,},{,}D E D F ，{,}E F ． …………………………11分∴()P M =93155=为所求． …………………………12分H F EPODBA18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. …………………………2分 ∴EF AC ⊥. …………………………3分 ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………4分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………5分 ∴BD ⊥平面POA . …………………………6分 （2）解：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=，∴△ABD 为等边三角形. …………………………7分∴4BD =，2BH =，HA =HO PO == ……………………8分 在R t △BHO中，BO == …………………………9分在△PBO 中，22210+==BO PO PB ， …………………………10分∴PO BO ⊥. …………………………11分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………12分梯形BFED 的面积为()12S EF BD HO =+⋅=，………………………13分 ∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=.………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, ∴2112212S S ⨯-==. …………………………1分 ∴ 21112123S S a =+=+=. …………………………2分 ∴ 2212a S a =-=. …………………………3分（2）解法1: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得1112n n S S n n +-=+. ……………………4分∴ 数列n S ⎧⎫⎨⎬是首项为11S =, 公差为1的等差数列.∴()()1111122n S n n n =+-=+. …………………………5分 ∴ ()12n n n S +=. …………………………6分 当2n ≥时, 1n n n a S S -=- …………………………7分()()1122n n n n+-=- n =. …………………………8分而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分解法2: 由()()1112n n n n nS n S ++-+=, 得()()112n n n n n n S S S ++--=， ∴()112n n n n na S ++-=． ① …………………………4分 当2n ≥时，()()1112n n n n n a S ----=，② ①-②得()()()()1111122n n n n n n n n na n a S S +-+-----=-， ∴1n n na na n +-=． …………………………5分 ∴11n n a a +-=． …………………………６分 ∴ 数列{}n a 从第２项开始是以22a =为首项, 公差为1的等差数列. ………７分 ∴ ()22n a n n =+-=. …………………………８分而11=a 适合上式，∴ n a n =. …………………………9分（3）解：由(2)知n a n =, ()12n n n S +=. 假设存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列,则224k k k S a a =⋅. …………………………10分即()222142k k k k +⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦. …………………………11分∵ k 为正整数, ∴()2214k +=.得212k +=或212k +=-, …………………………12分 解得12k =或32k =-, 与k 为正整数矛盾. …………………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 2k S , 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. (4)解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b+=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 22∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分 即11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =10分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S=≤==.……12分当且仅当2x=, 等号成立.由22225,xx y⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,22,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.xy⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭.…14分解法２：由于AB=，故当点Q到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大． (10)分设与直线AB平行的直线为0x m+=，由220,25,x mx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x，得225250y c++-=，由()223220250m m∆=--=，解得2m=±．………………………11分若2m=，则2y=-，2x=-；若2m=-，则2y=，2x=．…12分故当点Q的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭时，△ABQ的面积最大，其值为122S AB==．………………………14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于01t<<，0x>，则()11122tg x xx-⎛⎫=+≥⨯=⎪⎝⎭当且仅当1txx-=，即x=()ming x=⎡⎤⎣⎦. …………………1分()h x==1x=时，()minh x=⎡⎤⎣⎦.………………………2分∵01t <<，∴1<<01<.由于()32f x x ax bx =-++()2x x ax b =-++，结合题意，可知，方程20x ax b -++=， ………………………3分a =b =-. ………………………4分∴2222a b =+=-. ∴2112b a =-. ………………………5分 而方程20x ax b -++=的一个根在区间(上，另一个根在区间()0,1上. 令()2x x ax b ϕ=-++，则()()00,110,20.b a b b ϕϕϕ⎧=<⎪⎪=-++>⎨⎪=-+<⎪⎩………………………6分即222110,21110,21210.2a a a a ⎧-<⎪⎪⎪-++->⎨⎪⎪-++-<⎪⎩解得02,a a a a ⎧<>⎪<<⎨⎪≠⎩ ………………………7分2a <. ………………………8分 ∴2112b a =-2a <<. 求a 的取值范围的其它解法：另法1：由a =22a =+ ………………………6分 ∵01t <<，∴224a <<． ………………………７分∵a =0>，2a <． ………………………8分 另法2：设()t ϕ=01t <<， 则()0t ϕ'==<，………………………6分故函数()t ϕ在区间()0,1上单调递减．∴())2t ϕ∈． ………………………７分2a <． ………………………8分 （2）解：由（1）得()322112f x x ax a x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭， 则()2213212f x x ax a '=-++-. ………………………9分2a <，∴二次函数()2213212f x x ax a '=-++-的开口向下，对称轴233a x =<. 故函数()f x '在区间[]1,2上单调递减. ………………………10分 又()()221113212022f a a a '=-++-=--<， ………………………11分 ∴当[]1,2x ∈时，()()10f x f ''≤<.∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减. ………………………12分 ∴函数()f x 的最大值为()2112f a a =-，最小值为()2246f a a =-+-. ………………………14分。
2015年广东省初中毕业生学业考试数学模拟试卷(一)和答案
2015年石家庄第四十二中学第一次模拟考试数 学 试 卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共16个小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的绝对值是（ ）A . -3B .3C . 1D .02. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ） A ．0.845×104亿元 B ．8.45×103亿元 C ．8.45×104亿元 D ．84.5×102亿元3. 如图，直线a 、b 与直线c 相交，且a ∥b ，∠α=55°，则∠β的度数为（ ） A . 125° B .115° C .105° D .35°4.下列计算中，正确的是（ ）A ．123=-a aB ．2229)3(y x y x +=+ C ．725)(x x = D ．91)3(2=-- 5. 如图是正三棱柱，它的主视图正确的是( )6. 若关于x ，y 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x +3y =6的解，则k 的值为（ ）7. 小明用20元钱去买钢笔和铅笔，一支钢笔5元钱，一支铅笔1元钱，如果将这20元都买成铅笔或钢笔，购买方案共有（ ）A.3 种B.4种C.5种D.6种8. 某班分成甲、乙两组去距离学校4km 的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早20min 到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，设步行的速度为x km/h ，则x 满足的方程为（ ）A ．x 4－x 24=20 B ．x 24－x 4=20 C ．x 4－x 24=31 D ．x 24－x 4=31 9. 若32=-b a ，则b a 249+-的值为（ ）A ．12 B.6 C.3D.043.-A 43.B 34.-C 34.D11题图10.圆锥的母线长为6，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）A ．6π B.8π C.12π D.16π11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD =4， DB =2， 则BDEBCES S ∆∆的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．3512. 如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ， 则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．22cm13.如图，已知△ABC 面积为12cm 2，BP 为∠ABC 的角平分线，AP 垂直BP 于点P ，则△PBC 的面积为（ ） A ． 6cm 2 B ．5cm 2 C ． 4cm 2 D ．3cm 214.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根，有下列结论：①240b ac ->；②0abc <；③2m >.其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．314题图 15题图15、如图，双曲线 xm=y 与直线y=kx+b 交于点M 、N ，并且点M 的坐标 为（1，3），点N 的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x 的方程b kx +=x m 的解为（ ）A ．﹣3，1B ．﹣3，3C ．﹣1，1D ．﹣1，3 16.已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是（ ） A.a ＜13，b =13 B.a ＜13，b ＜13 C.a ＞13，b ＜13 D.a ＞13，b =13卷Ⅱ（非选择题，共78分）13题图x二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 17.已知a +b =4，a ﹣b =3，则a 2﹣b 2= ________ ． 18.计算：=+-++12112m m m m ______ ．19.如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ， 交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第二 象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为 _____________ 20. 下面是一个某种规律排列的数阵：19题图 根据数阵的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左到右数第（n ﹣2）个数是_____________ （用含n 的代数式表示）.三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21.(9分) 我们已经知道：①1的任何次幂都为1；②-1的偶数次幂也为1； ③-1的奇数次幂为-1；④任何不等于零的数的零次幂都为1．请问当x 为何值时，代数式2014)32(++x x 的值为1．22. (10分)如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，.将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC ，点D 刚好落在AB 边上．MN21（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．23.(10分)学习完统计知识后，小兵就本班同学的上学方式进行调查统计．如图是他通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）该班共有__________名学生；（2）将表示“步行”部分的条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，“骑车”部分扇形所对应的圆心角是___________度；（4）若全年级共1000名学生，估计全年级步行上学的学生有_________名；（5）在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规，选出的恰好是骑车上学的学生的概率是_______．24.(12分)如图，平面直角坐标系中，反比例函数)0(>=x xk y 的图象和矩形ABCD ，AD 平行于x 轴，且AB ＝2，AD ＝4，点A 的坐标为(2，6)．(1)直接写出B 、C 、D 三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的关系式．25.(12分)如图，扇形OBD 中∠BOD=60 o ，∠BOE ＝45o ，DA ⊥OB ，EB ⊥OB ．（1）求BEDA的值；（2）若OE 与BD ⌒交于点M ，OC 平分∠BOE ，连接CM ．说明CM 为⊙O 的切线；（3）在（2）的条件下，若BC ＝1，求tan ∠BCO 的值．N MMN NM题26图3题26图426. (13分)类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
2015年广州一模数学(理科)试题及参考答案
图17432109878侧视图正视图试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是图A. B. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 .图3图4OF ED C B A 图5FE PODB A15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为 切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥PABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅14. 4π⎫⎪⎭15. 说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12222=⨯+ …………………………11分4=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分GH F EPODBA∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==……5分 在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA中，AP在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴=PO PAHG HA.∴⋅===PO HA HG PA …………………………12分A在Rt △BHG中，tan ∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O…………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==………………………5分 在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,-A，()2,B，(P，()0,H .…………8分∴(=AP，()=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得0,20.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x 令1=y ，得3=-z，=x ∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3-. 由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分 设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH nBH==………………………12分∴sin 13θ==sin tan cos 3θθθ==.………………………13分∴二面角--B AP O 的正切值为3…………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分（2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >.1=. …………………………4分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由11n a +=，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分由已知11k a +=，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分 （3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q 对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得 3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (), 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =10分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于AB =，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (1)０分 设与直线AB 平行的直线为0x m +=，由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得m =． ………………………1１分若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，2x =．…1２分 故当点Q的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n+-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.。
广东省广州市海珠区2014-2015学年八年级上学期期末考试数学试题人教版
海珠区2014-2015学年第一学期期末调研测试八年级数学试卷本试卷分第1卷和第2卷两部分，共三大题25小题，共4页，满分100＋50分，考试时间为120分钟，不可以使用计算器. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用墙皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须卸写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列图案属于轴对称图形的是（ ）.2．点M （1,2）关于Y 轴对称的点的坐标为（ ）.A ．（-1，-2）B ．（-1,2）C ．（1，-2）D ．（2,1） 3．已知三角形两边长分别为7、11，那么第三边的长可以是（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5 4．下列计算正确的是（ ）. A ．()236aa = B ． 22a a a =∙ C ．326a a a += D ．()3339a a =5．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数是（ ）.A ．8B ．9C ．10D ．11 6．如图，已知△ABC 中，75A ∠=︒，则12∠+∠=（ ）.A ．335°B ．255°C ．155°D ．150° 第6题图 7．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）.A ．22212(1)1a a a a -+=-+ B ．()()22x y x y x y -+=-C ．()2296131x x x -+=-D ．()2222x y x y xy +=-+8．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（ ）.A ．20或22B ．20C ．22D ．无法确定 9．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）.A ．AB=ACB ．BD=CDC ．∠B=∠CD ．∠BDA=∠CDA 10．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，……在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，……在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，……均为等边三角形，若OA 1=2，则△A 5B 5A 6（ ）. A ．8 B ．16 C ．24 D ．32第10题图 二、填空题（本题共18分，每小题3分，共18分）11．科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学计数法表示为 微米. 12．若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形中的最大的角度是 .13．计算()213.143-⎛⎫π-+= ⎪⎝⎭.14．若多项式24x mx ++是完全平方式，则m= .15．如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OB 于D ，PC//OB 交OA 于C ，若PC=6，则PD= . 16．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b ）n （n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出：()5a b -= .第15题图 第16题图三、解答题（本题共9小题，共102分，解答题要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17．（本题满分10分，每小题5分）计算：（1）a a 4)(32∙- （2）()()2211x x x ++-18．（本题满分10分，每小题5分）解下列分式方程：（1）1122x x x -=-- （2）223111x x x +=--19．（本题满分10分）（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A，B，C，；（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）20．（本题满分10分）如图，已知点E、F在线段BC上，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D.21．（本题满分12分）小鹏的家距离学校1600米，一天小鹏从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘了拿，立即带上课本去追他，在学校门口追上了他，已知爸爸的速度是小鹏速度的2倍，求小鹏的速度.第二卷（共50分）22．（本题满分12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线.（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）AB D CEB C DAED B CE A第24题图①第24题图②第24题图③ 23．（本题满分12分） 先化简代数式：4312112-⨯--+-x x x x ，然后再从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数代入求值.24．（本题满分12分）已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作等边△ADE. （1）如图①，点D 在线段BC 上移动时，直接写出∠BAD 和∠CAE 的大小关系；（2）如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，猜想∠DCE 的大小是否发生变化.若不变请求出其大小；若变化，请说明理由.25．（本题满分14分）已知点D 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且DB=DC. （1）如图①，若点D 在BC 上，求证AB=AC ；（2）如图②，若点D 在△ABC 的内部，求证：AB=AC ；（3）若点D 在△ABC 的外部，且点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，AB=AC 成立吗？请说明理由.。
广州市海珠区2015年中考一模数学试卷(含答案)
第5题图第3题图2015年海珠区中考数学一模试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，练习时间120分钟，可以使用计算器．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（ ）A ．﹣1B ．πC ．0D ．1 2．若ABC ∆∽DEF ∆，且:1:3AB DE =，则:ABC DEF S S ∆∆=（ ）A ．1：3B ．1：9C ．1：3D ．1：1.5 3．如图，C 岛在A 岛的北偏东45°方向，C 岛在B 岛的北偏西25°方向， 则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 的度数是（ ）A ．70°B ．20°C ．35°D ．110° 4．下列运算正确的是（ ）A ．2223412x x x ⋅=B ．2810a a a +=C ．5210()x x =D ．1025a a a ÷=5．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转60°后得到△A ʹB ʹC ，若∠A=40°， ∠B=110°，则∠BCA ʹ的度数是（ ）A ．100°B ．90°C ．70°D ．110°6．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．方差 7．在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，下列说法一定正确的是（ ） A ．AC=BD B ． AC ⊥BD C ．AO=DO D ．AO=CO8．已知数轴上点A （表示整数a ）在点B （表示整数b ）的左侧，如果a b =，且线段AB 长为6，那么点A 表示的数是（ ）．A ．3B ．6C ．-6D ．-39．已知a 、b 、c 分别为Rt △ABC （∠C=90°）的三边的长，则关于x 的一元二次方程()()220c a x bx c a +++-=根的情况是（ ）A ．方程无实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．无法判断 10．若点M 、N 是一次函数15y x =-+与反比例函数2(0,0ky k x x=≠＞）图象的两个交点，其中点M 的横坐标为1，下列结论：①一次函数15y x =-+的图象不经过第三象限；②点N 的纵坐标为1；③若将一次函数15y x =-+的图象向下平移1个单位，则与反比例函数2(0,0ky k x x=≠＞）图象有且只有一个交点；④当1214x y y ＜＜时，＜．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11．若梯形的中位线长为8，高为4，则梯形的面积为 _． 12．分解因式：22ay ay a ++= _．13．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 _．14．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积．．．为 _．15．将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若AB =3，则菱形AECF 的周长为 _．16．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a ，按此规律，则第n 个正多边形的面积为 _．……第1个 第2个 第3个 第4个三、解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17．（本题满分10分，每小题5分） （1）解分式方程：211x x x-=-；（2）解不等式组：2103(2)4x x x -⎧⎨--⎩＞≥．18．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在线段BC 上，且BE=CF ，连结AF 、DE 相交于点G ，求证：EG=FG ．第18题图G FBCADE第14题图第20题图D A %15C %25B %50人数类别男生女生123456124316A B C D19．（本题满分10分）已知方程22150x x --= 的两个根分别是a 和b ，求代数式22()4()4a b b a b b -+-+的值．20．（本题满分10分）随着科技的不断发展，人与人的沟通方式也发生了很大的变化，广州市某中学九年级的一个数学兴趣小组在本年级学生中进行“学生最常用的交流方式”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为四类：A ．面对面交谈；B ．微信和QQ 等聊天软件交流；C ．短信与书信交流；D ．电话交流．根据调查数据结果绘制成以下两幅不完整的统计图：（1）本次调查，一共调查了 名同学，其中C 类女生有 名，D 类男生有 名； （2）若该年级有学生150名，请根据调查结果估计这些学生中以“D．电话交流”为最常用的交流方式的人数约为多少？（3）在本次调查中以“C ．短信与书信交流”为最常用交流方式的几位同学中随机抽取两名同学参加广州市中学生书信节比赛，请用列举法求所抽取的两名同学都是男同学的概率．某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共500棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元．（1）若购买两种树总金额为560000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？（2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？22．（本题满分12分）实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y =kx（k＞0）表示（如图所示）．（1）求k的值．（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）第22题图如图，在△ABC中，AB=BC，点E在边AB上，EF⊥AC于F．（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：∠CAD=∠AEF；（3）若∠ABC=45°，AD与EF交于点G，求证：EG=2AF．第23题图第24题图如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AE ⊥l 交直线l 于点E 、 交⊙O 于点F ，BD ⊥l 交直线l 于点D ． （1）求证：△AEC ∽△CDB ； （2）求证：AE +EF =AB ；（3）若AC =8cm ，BC =6cm ，点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点B 出发沿线段BC 向点C 以1/cm s 的速度运动，两点同时出发，当点P 运动到点B 时，两点都停止运动．设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△BPQ 为等腰三角形？第25题图25．（本题满分14分）如图，已知抛物线c+=2过点A（6，0），B（－2，0），C（0，－3）．y+bxax（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；（3）若点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA=45º，求点Q的坐标．2014学年第二学期海珠区九年级综合练习数学参考答案1-10:ABACB CDDCB11.32 12.2(1)a y + 13.123 14.8372+ 15.8 16.(1)2n a + 17.22221112(1)(1)22222(1)02x x xx x x x x x x xx x x x x x -=---=--+=--=-==-=（）检验：当时，≠∴是原方程的根 21023(2)4121112x x x x x x -⎧⎨--⎩＞①（）≥②由①得，＞由②得，≤∴＜≤ 18.证明：在正方形ABCD 中，有AB=CD ，∠B=∠C=90°∵BE=CF ∴BE+EF=CF+EF ∴BF=CEABF DCE AB=CDB=C BF=CE ABF DCE SAS ∆∆⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∆∆在和中∴≌（）∴∠AFB=∠DEC ∴EG=GF19.∵ 方程22150x x --= 的两个根分别是a 和b ∴2a b +=22222()4()4[()2]()24a b b a b b a b b a b -+-+=-+=+==20.（1）20,2,1（2）150×（1-15%-50%-25%）=15（名）答：该校以“D．电话交流”为最常用的交流方式的人数约为15名.（3）分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这5位同学。
广东省广州市海珠区2015届高三8月摸底考试数学文试题
广东省广州市海珠区2015届高三8月摸底考试数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}21M x x ==，{}1,2N =,则M N ⋃=A ．{1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,2}-D ．{1} 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =A. 2B. 2-C. 1i +D. 1i -３．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >>4．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 ５．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ ６．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S = A ．31 B ．32 C ．63D ．64７．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A ．3()f x x =B ．()sin f x x =C ．()1f x x=D ．()||f x x x =-８．由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为A.81 B.41 C. 43 D.87 ９．已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A2B1 C1D10．已知菱形A B C D 的边长为2，0120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC DF DCλμ==.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A ．12 B ．23 C ．56 D ．712二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．已知某程序框图如图，若分别输入的x 的值为0,1,2，执行该程序后，输出的y 的值分别为,,a b c ，则a b c ++= ． 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为,,a b c 且 4524==B c ，，面积2=S ，则b = ．13. 如图,对大于或等于2的正整数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中,m n N *∈)例如27的“分裂”中最小的数是1,最大的数是13； 若3m 的“分裂”中最小的数是241,则最大的（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为第11题图第13题图第15题图1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．则点M 到曲线C 上的点 的距离的最小值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，过⊙O 外一点P 分别作圆 的切线和割线交圆于,A B ，且9PB =，C 是圆上一点 使得4BC BAC APB =∠=∠，，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．( 本小题满分12分)已知函数()2cos 24x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈. （１）求()f x 的单调递减区间； （２）若3sin 5θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()4f θπ+．17. （本小题满分1２分）为增强市民的环保意识，某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机选取20名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄(岁)分成五组第1组[)20,25,第2组[)25,30,第3组[)30,35,第4组[)35,40,第5组[)40,45.得到的频率分布直方图(局部)如图所示.（1）求第4组的频率,并在图中补画直方图；（2）从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人,求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率.18. （本小题满分14分）如图,四棱锥A BCDE -中,侧面ADE ∆为等边三角形,底面BCDE 是等腰梯形,且//CD BE ,2DE =,4CD =,060CDE ∠=,M 为DE 的中点, F 为AC 的中点,且4AC =．（1）求证：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）求证：//FB 平面ADE ； （3）求四棱锥A BCDE -的体积．第17题图19．（本小题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若525S =,且124,,S S S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证 对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()1xaf x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.。
南武实验等六校2014-2015学年下学期初三一模数学试卷
2014-2015学年下海珠区九年级一模（六校联考）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、2-的相反数是（ ） A.2- B.21- C.2 D.21 2、下图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（ ）A. B. C. D.3、用科学记数法表示660000的结果为（ ）A.41066⨯B.5106.6⨯C.61066.0⨯D.6106.6⨯4、如图，直线b a 、被直线c 所截，且a ∥b ，如果0661=∠，那么2∠=（ ）A.066B.0114C.0124D.0245、一本笔记本a 元，一只笔比一本笔记本贵2元，则买3本笔记本，2只笔一共（ ）A.元)43(+aB.)45(+a 元C.)22(+a 元D.)25(+a 元6、下面计算正确的是（ ）A.3331052x x x =⋅B.1052x x x =⋅C.56x x x =÷D.853)(x x =7、如图，将三角尺ABC （其中0090,60=∠=∠C ABC）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到11BC A ∆的位置，使得点A ，B ，1C 在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A.0120B.090C.060D.030第4题图 第7题图8、已知一次函数b kx y+=的图像如图，当0<x 时，y 的取值范围是（ ） A.1<y B.0<y C.2-<y D.12<<-y9、如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为1和3，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A.13-B.31-C.32-D.23-10、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，070=∠C.现给出以下四个结论：①045=∠A ；②AC=AB ；③弧AE=弧BE ；④22BD AB CE =⋅.其中正确结论的序号是（ ）A.①②B.②③C.②④D.③④第8题图 第9题图 第10题图二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11、不等式1335≥+x 的解集是_____________.12、与055互补的角是______.13、分式方程：131=+x 的解为_________. 14、观察下列图形的排列规律（其中分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第18个图形是__________.（填图形名称）15、如图，ABC PQR ∆∆是经过某种变换后得到的图形.如果ABC ∆内部任意一点M 的坐标为（b a ，），那么经过相同变换得到它的对应点N 的坐标为______.16、如图，点M 是ABC ∆内一点，过点M 分别作直线平行于ABC ∆的各边，所形成的三个小三角形1∆、32∆∆、（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49，则ABC ∆的面积是________.第15题图第16题图三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17、（本小题满分9分）解方程组：23 43 x yx y+=⎧⎨-=⎩.18、（本小题满分9分）已知：如图，AD∥BC，AB∥CD，AC平分BAD∠.求证：四边形ABCD是菱形.19、（本小题满分10分）在一次捐款活动中，某班学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况.根据统计数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图.（1）该班共有_______名学生，学生捐款的众数是______；（2）将图②的统计图补充完整；（3）计算该班学生平均捐款多少元？20、（本小题满分10分）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏.若甲、乙两人都随意做出三种手势中的一种，则两人一次性分出胜负的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明.21、（本小题满分12分）已知,60tan )1(02013+--=a 求代数式)3(3)3)(2(---+a a a 的值.22、（本小题满分12分）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆.经了解两种车型的载客限制和行李载重，若租用甲型汽车x 辆，则学校租车方案需满足条件：4030(10)3401620(10)170x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩.（1）学校可选的可行租车方案有几种，请说明理由；（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？23、（本小题满分12分）如图，ABC ∆中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，ABC ACD ∠=∠.（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BD=6，35tan ,32tan =∠=∠AEC ABC ,求弦CD 的长.24、（本小题满分14分）已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A(0，3)，与x 轴交于点B （1,0），C （5,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求过点D 且与直线DC 垂直的直线解析式；（3）设M 为OA 的中点，x 轴上有一点E ，在抛物线对称轴上有一点F ，若FA EF ME s ++=，则求当s 最小时，E 、F 两点的坐标及此时s 的值.25、（本小题满分14分）如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，顶点D ，C 分别在AM ，BN 上运动（点D 不与A 重合，点C 不与B 重合），E 是AB 上的动点（点E 不与A 、B 重合），在运动过程中始终保持DE ⊥CE ，且a AB DE AD ==+.（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）当点E 为AB 边的中点时（如图②），求证： ①AD+BC=CD ；②DE 、CE 分别平分BCD ADC ∠∠、；（3）设BEC m AE ∆=问,的周长是否与m 值有关，若有关，请用含m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由.。
广东省广州市海珠区2014-2015学年八年级上学期期末考试数学试题
海珠区2014-2015学年第一学期期末调研测试八年级数学试卷本试卷分第1卷和第2卷两部分，共三大题25小题，共4页，满分100＋50分，考试时间为120分钟，不可以使用计算器. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用墙皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须卸写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列图案属于轴对称图形的是（ ）.2．点M （1,2）关于Y 轴对称的点的坐标为（ ）.A ．（-1，-2）B ．（-1,2）C ．（1，-2）D ．（2,1） 3．已知三角形两边长分别为7、11，那么第三边的长可以是（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5 4．下列计算正确的是（ ）. A ．()236aa = B ． 22a a a =∙ C ．326a a a += D ．()3339a a =5．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数是（ ）.A ．8B ．9C ．10D ．11 6．如图，已知△ABC 中，75A ∠=︒，则12∠+∠=（ ）.A ．335°B ．255°C ．155°D ．150° 第6题图 7．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）.A ．22212(1)1a a a a -+=-+ B ．()()22x y x y x y -+=-C ．()2296131x x x -+=-D ．()2222x y x y xy +=-+8．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（ ）.A ．20或22B ．20C ．22D ．无法确定 9．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）.A ．AB=ACB ．BD=CDC ．∠B=∠CD ．∠BDA=∠CDA 10．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，……在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，……在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，……均为等边三角形，若OA 1=2，则△A 5B 5A 6（ ）. A ．8 B ．16 C ．24 D ．32第10题图 二、填空题（本题共18分，每小题3分，共18分）11．科学家发现一种病毒的直径为0.0043微米，则用科学计数法表示为 微米. 12．若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形中的最大的角度是 .13．计算()213.143-⎛⎫π-+= ⎪⎝⎭.14．若多项式24x mx ++是完全平方式，则m= .15．如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OB 于D ，PC//OB 交OA 于C ，若PC=6，则PD= . 16．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b ）n （n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出：()5a b -= .第15题图 第16题图三、解答题（本题共9小题，共102分，解答题要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17．（本题满分10分，每小题5分）计算：（1）a a 4)(32∙- （2）()()2211x x x ++-18．（本题满分10分，每小题5分）解下列分式方程：（1）1122x x x -=-- （2）223111x x x +=--（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A，B，C，；（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）20．（本题满分10分）如图，已知点E、F在线段BC上，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D.21．（本题满分12分）小鹏的家距离学校1600米，一天小鹏从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘了拿，立即带上课本去追他，在学校门口追上了他，已知爸爸的速度是小鹏速度的2倍，求小鹏的速度.第二卷（共50分）22．（本题满分12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线.（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）AB D CEB C DAED B CE A第24题图①第24题图②第24题图③ 先化简代数式：4312112-⨯--+-x x x x ，然后再从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数代入求值.24．（本题满分12分）已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作等边△ADE. （1）如图①，点D 在线段BC 上移动时，直接写出∠BAD 和∠CAE 的大小关系；（2）如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，猜想∠DCE 的大小是否发生变化.若不变请求出其大小；若变化，请说明理由.25．（本题满分14分）已知点D 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且DB=DC. （1）如图①，若点D 在BC 上，求证AB=AC ；（2）如图②，若点D 在△ABC 的内部，求证：AB=AC ；（3）若点D 在△ABC 的外部，且点D 与点A 分别在线段BC 的两侧，AB=AC 成立吗？请说明理由.。
广东省广州市海珠区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案
海珠区2015-2016学年第二学期期末联考试题高一数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．本次考试不允许使用计算器．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是（ ） A ．()ααcos cos -=- B. ()ααsin sin -=- C. ()ααsin 90sin 0=- D. ()ααcos 90cos 0=-2．下列各式中，值为12的是（ ） A ．0sin15cos15 B ．22cossin 1212ππ-C ．0cos12sin42sin12cos42- D ．0202tan 22.51tan 22.5- 3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =︒,30B =︒,2=a , 则b 等于（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．24. 已知2=a ，4=b ，且a 与b 的夹角为56π，则a 在b 方向上的投影是（ ）A B ．- C ． D ．5．在等差数列{}n a 中，已知990S =，则357a a a ++=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40[6．不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A.94B.34C.92D.327．函数)sin(ϕω+=x A y (0,0,0)A ωϕπ>><<在一个周期内的图象如图所示，此函数 的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x y2sin 23x C y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． D ．)32sin(2π-=x y8．已知R ∈b a ,，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是（ ）A ．2a b ab +≥B ．222a b ab +>C ．2a bb a+≥ D ．2a b b a +≥9．在ABC ∆中，若222sin sin sin 3sin sin A B C B C ≤+-，则角A 的取值范围是（ ）A ．(0,]2πB ．[,)6ππ C ．(0,]6π D ．[,)62ππ10．若角α的终边过点(1,2)-，则tan2α的值为（ ） A ．1+5B ．15- C ．1+5-或15-- D ．1+5或15- 11．把函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭=的图象上的所有点向左平移12π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，且()()g x g x -=，则（ ）A ．()y g x =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．()y g x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．()y g x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．()y g x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，其图像关于直线2x π=对称12．在ABC ∆中,AB AC AB AC +=-，2,1AB AC ==，E ，F 为BC 的三等分点， 则AE AF ⋅=（ ）A ．89 B ．109 C ．259D ．269二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 12==,a 与b 的夹角θ为60°，且3a kb -=，则实数k 的值为 .14．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1a =2，22844a a a ⋅=，则3=a .15．已知4sin()5πα-=，且α是第一象限的角，则cos()4πα+的值为 .16．已知关于x 的不等式20ax bx c -+≥的解集为{|12}x x ≤≤，则20cx bx a ++≤的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知向量()3OA =4，，()1OB =-2，,O 为坐标原点,P 是直线AB 上一点． (Ⅰ)若点P 是线段AB 的中点,求向量OA 与向量OP 夹角θ的余弦值； (Ⅱ)若点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，求点P 的坐标．18.(本小题满分12分)已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为n S ,且23S =，415S =． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 是等差数列,且3355,b a b a ==,试求数列{}n b 的前n 项和n M ．19.(本小题满分12分)一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如下表：(Ⅰ)设,x y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出,x y 满足的数学关系式,并画出相应的平面区域；(Ⅱ)若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产１车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？20.(本小题满分12分) 已知向量=2sin,cos 42x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos ,14x b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x a b =⋅． (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]ππ,-上的最大值和最小值及取得最值时x 的值.21．（本小题满分12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 3b ac A =+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当3=a 时，求ABC ∆周长的取值范围．22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 和为n S ,且()()()21=.2n n n a a S n N *+-∈(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等差数列；(Ⅱ)设3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项的和n T .2015-2016学年第二学期期末联考 高一数学试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题11. 1； 12.12； 13. ； 14. 1{|1,}2x x x ≤-≥-或．三、解答题（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．） 17.（本题满分10分） 解：（Ⅰ）点P 是线段AB 的中点，∴点P 的坐标为2+43122-⎛⎫⎪⎝⎭，，即()3，1，则()=3,1OP ． …………………1分∴cos OA OP OA OPθ⋅=⋅ …………………2分=…………………3分=． …………………4分(Ⅱ)设(),P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =， 得32AP BP =…………………5分 ()()34,32,12x y x y --=-+， …………………6分即2836,2633,x x y y -=-⎧⎨-=+⎩…………………7分解得：2,9,x y =-⎧⎨=-⎩ …………………9分∴点P 的坐标为()9--2，． …………………10分18．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,由题意分析知1q ≠.…………………1分 由23S =，415S =得:()()()()2141131111521a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩…………………3分(2)/(1)得21+5q =,得24q =,由题意0q >,所以=2q . …………………4分将=2q 代入(1)式得11a =. …………………5分所以1112n n n a a q --==. …………………6分(Ⅱ)设数列{}n b 的公差为d , …………………7分24335524,216b a b a ======, …………………8分又{}n b 为等差数列,()5353b b d ∴=+-即16=4+2d ,解得6d =. …………………９分 又由()3131b b d =+-，得18b =- …………………10分()()1118622n n n n n M nb d n --∴=+=-+⨯ …………………11分 2=311n n -. …………………12分19.(本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意，,x y 满足的数学关系式为：42820206000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．即24300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．． ……………………4分在直角坐标系中可表示成如图所示的 平面区域（阴影部分）．……………………5分（Ⅱ）设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮．能够产生利润z 万元．则目标函数为32z x y =+，可行域如图所示： ……………………6分将32z x y =+变形为3122y x z =-+， 由图可知当直线3122y x z =-+经过可行域上的点M 时,截距12z 最大． ……………………7分 解方程组243x y x y +=⎧⎨+=⎩，，……………………8分解的点M 的坐标为：1,2x y ==． ……………………10分所以max 3231227z x y =+=⨯+⨯=．……………………11分答：生产甲种肥料1车皮、乙种肥料2车皮，能够产生最大利润，最大利润是7万元． ……………………12分 20．（本小题满分12分） 解:(Ⅰ) ()2sincos cos 442x x xf x a b =⋅=+ ……………………1分 =sincos 22x x+ ……………………2分 22=222x x ⎫+⎪⎭ ……………………3分sin cos cos sin 2424x x ππ⎫+⎪⎭ ……………………4分24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………5分……………………6分 （Ⅱ）[]ππ,-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+∴43,442πππx ， …………………… 7分 当442ππ-=+x ,即π-=x 时， …………………… 8分()min 1;4f x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭…………………… 9分当242ππ=+x ,即2π=x 时， …………………… 10分()max 2f x π== …………………… 11分∴当π-=x 时,函数()x f 取得最小值1-;当2π=x 时,函数()x f 取得最大值． …………………… 12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由cos sin b a C A =+及正弦定理得， sin sin cos sin B A C C A =+， ……………………1分 ()B A C π=-+,()sin sin sin cos sin 3B AC A C C A ∴=+=+, ……………………2分 ∴sin cos cos sin sin cos sin 3A C A C A C C A +=+, (3)分 ∴cos sin sin A C C A =, ()0C π∈，,∴sin 0C ≠, ……………………4分∴cos A A =易知cos 0A ≠,∴tan A =, , ……………………5分()0A π∈，∴3A π=. ……………………6分（Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+= 得bc c b -+=229……………………7分bcc b 222≥+ ，当且仅当c b =时，“=”成立……………………8分bc bc c b ≥-+=∴229，即9≤bc当且仅当3==c b 时，“=”成立 ……………………9分 又由()bc c b bc c b 39222-+=-+=，得()29336b c bc +=+≤6b c ∴+≤ ……………………10分3b c +>,69a b c ∴<++≤ ……………………11分∴求ABC ∆周长的取值范围(]6,9 ……………………12分22．（本小题满分12分） 证明:(Ⅰ)当2n ≥时,()()()21=.2n n n a a S n N *+-∈……………………①()()11121=2n n n a a S ---+- ……………………② ①-②得:22112n n n n n a a a a a --+--=, ……………………1分整理得:()()()111n n n n n n a a a a a a ---+-=+． ……………………2分 数列{}n a 的各项均为正数，10n n a a -∴+≠()112n n a a n -∴-=≥． ……………………3分当1n =时，()()1111212a a a S +-==,得21120a a --=，由10a >，得12a =， ……………………4分11 / 11 ∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列． ……………………5分 （Ⅱ）由(1)得()211+1n a n n =+-⨯= ……………………6分 ()3=13n nn n b a n ∴=⋅+⋅ ……………………7分()1231233343+313n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯…………（1）……………………8分 2343233343+n T =⨯+⨯+⨯…()+1313n n n n +⨯++⨯…………（2）……………………9分 (1)(2)-得()2312633313n n n T n +-=++++-+⨯……………………10分 ()()21113333326+13+13132n n n n n T n n +++-⨯-∴-=-+⨯=-⨯- ……………………11分 ()1132+1344n n T n +∴=-……………………12分。
广州市海珠区2014-2015年八年级上期末考试数学试题及答案
海珠区2014-2015学年第一学期期末调研测试八年级数学试卷本试卷分第1卷和第2卷两部分，共三大题 25小题，共4页，满分100 + 50分，考试时间为120分钟, 不可以使用计算器.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用墙皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图.答案必须卸写在答卷各 题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超 出指定的区域.不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 .求的.）1. 下列图案属于轴对称图形的是（ ）A. 玖 D.2. 点M （1,2）关于Y 轴对称的点的坐标为（4•下列计算正确的是（7.下列从左到右的运算是因式分解的是（、选择题（本10小题，每小题 2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要A . (-1 , -2)B . (-1,2)C . (1 , -2)3•已知三角形两边长分别为 7、11,那么第三边的长可以是（D . (2,1) D . 5A . (a 3, =a 6 B.5•—个多边形的每一个外角都等于36°,则这个多边形的边数是（C . 10 6.如图，已知△ ABC 中，• A =75，则• 1「2 二（A . 335°B . 255C . 155 °A . 2a 2 -2a 1 =2a(a-1) 1B . x _y x y =x 2_y 2). D .150°2 2C . 9x2-6x 1 二3x -1 2 2 2D . x y x-y 2xy&若等腰三角形的两边长分别为6和8,则周长为（9.如图，已知/ 仁/ 2,则不一定能使△ ABD ACD 的条件是三、解答题（本题共 9小题，共102分，解答题要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17 .（本题满分10分，每小题5分）计算:(2) 2x(x +1 )+(x T f18 .（本题满分10分，每小题5分）解下列分式方程:A . 20 或 22B . 20C . 22D .无法确定A . AB=ACB . BD=CDC .上 B= / C 10 .如图，已知/ MON=30 ° ,点A 1, A 2, A 3, ••…在射线ON 上，点B j, B ?,△ A 2B 2A 3,A A 3B 3A 4, ••…均为等边三角形，若 OA J =2，则△ A 5B 5A 6 (B . 16C . 24D . 32二、填空题（本题共 18分，每小题3分，共18分）11.科学家发现一种病毒的直径为 0.0043微米，则用科学计数法表示为微米. 12 .若一个三角形三个内角的度数之比为1: 2: 3,则这个三角形中的最大的角度是 13 .计算(兀—3.14_2214 .若多项式x mx 4是完全平方式，则 m= ________________15 .如图，/ AOB=30 ° , OP 平分/ AOB , PD 丄 OB 于 D , PC//OB 交 0A 于 C ,若 PC=6，贝U PD= ________ 16 .下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角” ，此图揭示了（ a+b ） n （n 为非负整数）的展开式的项数及5各项系数的有关规律.请你观察，并根据此规律写出： （a -b ）=V ……1 2 17 \z133114 6 4 1 第16题图 Ca+b)1=a+b (a+b)^a 2+2ab+b 2 (a+bjW+Sa^+aab^+b 3 (a+b)4 - aMa 3b+5a 2b 2+4ab°+b 4(1) (-a 2)3 ・4a D .Z BDA= / CDA第15题图19 .（本题满分10分）（1）画出△ ABC 关于y 轴对称的图形△ A ，B ，C ，；(1) x -1 _ 1x -2 x -2⑵x-1（2）在x轴上找出点P,使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）20. （本题满分10分）如图，已知点E、F在线段BC上，BE=CF , AB=CD，/ B= / C.求证：/ A= / D.21. （本题满分12 分）小鹏的家距离学校1600米，一天小鹏从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘了拿，立2倍，求小鹏的速度即带上课本去追他，在学校门口追上了他，已知爸爸的速度是小鹏速度的第二卷（共50 分）22. （本题满分12分）如图，在△ ABC中，AB=AC，/ A=36 ° , DE是AC的垂直平分线（1）求证：△ BCD是等腰三角形；（2）^ BCD的周长是a, BC=b，求△ ACD的周长（用含a, b的代数式表示）23. （本题满分12分）1 x —2 3先化简代数式：2，然后再从-2冬x乞2的范围内选取一个合适的整数代入求值1 -x x —1 x -424. (本题满分12分)已知△ ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ ADE. (1 )如图①，点D 在线段BC上移动时，直接写出/ BAD和/CAE的大小关系；(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想/ DCE的大小是否发生变化•若不变请求出其大小；若变化，请说明理由25. (本题满分14分)已知点D到厶ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且DB=DC.(1)如图①，若点D在BC上，求证AB=AC ;(2)如图②，若点D在厶ABC的内部，求证：AB=AC ;(3)若点D在厶ABC的外部，且点D与点A分别在线段BC的两侧，AB=AC成立吗？请说明理由第24题图①第24题图②八年at 效佯•彷符第■评分"龙I —10| CBUACt IO 册II. 43x1011290 13.10 14 lfi<3 16. a 9 ・如仿♦IOaW-IOoW ♦泅-於 ⑺⑴（刃•佃⑵ 2x （x4. !）>（>-!/♦ Zr^x 1 -2x>I-3H.1 ............................................. ..................................... .........怜般$当x 2»!. x 2-0, ■ = 2不他厦方刃的解•••原方WJEM .. . ............................3 (2)2 x •—■ 3输・< 当（"雎7）・0・・*・ .........................M .略（每小題得5分）20•证明'•: BE ・CFA BE 4 EFYF® 軌RUE 在厶ABF 和ZUiCE 中丘fe ）—2 jr-2X —1■ y I―丄因为J：・232・I为馳・放可取"0・wmx— ................................... ........... ................ ........ . ..............0*2 224. (1) I?： Z&W«ZC4£................... ... ............. ... ............... . ..(2)W： ZDC£大小不交Mi VAABC ^AADt 边三角形.% AB - AC AD^AE"BC • "CB « ZA4C ・ 60* ZDAE =« 60，:.J£JUC = ZZM£；• Z&4C4 ZC4D - ZZM£“ ZCADKh ZJL4D ZC4£在△RAD和Z\CAE中AB^AC如"ZO4£■AD^AE•••△BAD也gE•••Z4HZ MC・6(rVZDC£ = l«0--Z^C£ZACB9•••ZDCE=dS0・-aW £DCE大小不受 ............................ * . (7)(3〉答C2)中的结论仍加成立W： VAABC^UAADE是綁边三金形£ABC = ZBAC = ZACB二60* 6E = WAD^AE AB^AC •；・ ZDAE 二皿I:.ZIME _ /BAE - ZflXC - £BAEBPS—Z£XC在AABD和中AD^AEZDABudCAB = AC/•AABDttAACE:.ZAHD^ZAC£「•心Eyg厶CB・WWZDC£大小不变 ...............25.(1) V OE 1 AB OF 1 AC•••ZBED M/CFD N W在RtABED 和RtACFD 中[BE = BF'5 ■ DC：••.ZSBEDWACFD(HL)••• ZB二ZC.......(2)it‘作％丄AB、DF丄4C・垂足分别为点E・F同理可证RtABED^RtACFD••• ZEBD = ZFCDV DB ■ DC:•乙DSC ■ /DCB.A £EBD + SBC = TD 4 £DCB即ZABC = ZACBA AB = AC ................................(3)妇图①•同理町怔ZEBC - £FCB .・ /ABC^ZACB故AB AC如图②■ RtZXAED和IUZXAH)中{DE^DF[AD^AD•••△AEDifiAAHKHL) :• AE= AF■VAC^AF-CF:.AB AC ........................................................... . (8)ISO- -Z£^-ISO*-ZAC73••• = 60-。
海珠区2015届中考数学一模试卷
三、解答题（本题共 9 个小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17 ．（10 分）（1）解分式方程：
=1；
（2）解不等式组：
．
18．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 在线段 BC 上，且 BE=CF，连结 AF、DE 相交于点 G，求证：EG=FG．
25．（14 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（6，0），B（﹣2，0），C（0，﹣3）． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形 OCHA 的最大面积； （3）若点 Q 在 x 轴上，点 G 为该抛物线的顶点，且∠ QGA=45°，求点 Q 的坐标．
加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前 5 名，他还
必须清楚这 9 名同学成绩的（）
A．众数
B． 平均数
C． 中位数
D．方差
考点： 统计量的选择． 分析： 9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，只 需要了解自己的成绩以及全部成 绩的中位数，比较即可． 解答： 解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 名的成绩是中位数，要判断 是否进入前 5 名，故应知道自已的成绩和中位数． 故选 C． 点评： 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据 集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选 择和恰当的运用．
A．100°
B． 90°
C． 70°
D．110°
考点： 旋转的性质． 分析： 如图，首先运用三角形的内角和定理求出∠ ACB=30°，然后运用旋转变换的性质
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第5题图
第3题图
2014学年第二学期海珠区九年级综合练习
数学卷
1．在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（ ）
A ．﹣1
B ．π
C ．0
D ．1 2．若ABC ∆∽DEF ∆，且:1:3AB D
E =，则:ABC DE
F S S ∆∆=（ ）
A ．1：3
B ．1：9
C ．1：3
D ．1：1.5 3．如图，C 岛在A 岛的北偏东45°方向，C 岛在B 岛的北偏西25°方向，
则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 的度数是（ ）
A ．70°
B ．20°
C ．35°
D ．110° 4．下列运算正确的是（ ）
A ．2223412x x x ⋅=
B ．2810a a a +=
C ．5210()x x =
D ．1025a a a ÷=
5．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转60°后得到△A ʹB ʹC ，若∠A=40°， ∠B=110°，则∠BCA ʹ的度数是（ ）
A ．100°
B ．90°
C ．70°
D ．110°
6．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．方差 7．在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，下列说法一定正确的是（ ） A ．AC=BD B ． AC ⊥BD C ．AO=DO D ．AO=CO
8．已知数轴上点A （表示整数a ）在点B （表示整数b ）的左侧，如果a b =，且线段AB 长为6，那么点A 表示的数是（ ）．
A ．3
B ．6
C ．-6
D ．-3
9．已知a 、b 、c 分别为Rt △ABC （∠C=90°）的三边的长，则关于x 的一元二次方程
()()220c a x bx c a +++-=根的情况是（ ）
A ．方程无实数根
B ．方程有两个不相等的实数根
C ．方程有两个相等的实数根
D ．无法判断
10．若点M 、N 是一次函数15y x =-+与反比例函数2(0,0k
y k x x
=
≠＞）图象的两个交点，其中点M 的横坐标为1，下列结论：①一次函数15y x =-+的图象不经过第三象限；②点N 的纵坐标为1；③若将一次函数15y x =-+的图象向下平移1个单位，则与反比例函数2(0,0k
y k x x
=
≠＞）图象有且只有一个交点；④当1214x y y ＜＜时，＜．其中结论正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 11．若梯形的中位线长为8，高为4，则梯形的面积为 _． 12．分解因式：22ay ay a ++= _．
13．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 _．
14．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积．．．
为 _．
15．将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若AB =3，则菱形AECF 的周长 _． 16．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a ，按此规律，则第n 个正多边形的面积为 _．
……
第1个 第2个 第3个 第4个 17．（本题满分10分，每小题5分） （1）解分式方程：211
x x x
-=-；
（2）解不等式组：2103(2)4
x x x -⎧⎨
--⎩＞≥．
第14题图
第20题图
D A %
15C %
25B %
50人数类别
男生
女生
1
2345
61
2
4
3
1
6
A B C D
18．（本题满分10分）
如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在线段BC 上，且BE=CF ，连结AF 、DE 相交于点G ，求证：EG=FG ．
19．（本题满分10分）
已知方程22150x x --= 的两个根分别是a 和b ，求代数式22()4()4a b b a b b -+-+的值．
20．（本题满分10分）
随着科技的不断发展，人与人的沟通方式也发生了很大的变化，广州市某中学九年级的一个数学兴趣小组在本年级学生中进行“学生最常用的交流方式”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为四类：A ．面对面交谈；B ．微信和QQ 等聊天软件交流；C ．短信与书信交流；D ．电话交流．根据调查数据结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
（1）本次调查，一共调查了 名同学，其中C 类女生有 名，D 类男生有 名；
（2）若该年级有学生150名，请根据调查结果估计这些学生中以“D．电话交流”为最常用的交流方
式的人数约为多少？
（3）在本次调查中以“C ．短信与书信交流”为最常用交流方式的几位同学中随机抽取两名同学参加
广州市中学生书信节比赛，请用列举法求所抽取的两名同学都是男同学的概率．
第18题图
G
F
B
C
A D
E
某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共500棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元．
（1）若购买两种树总金额为560000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？
（2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？
22．（本题满分12分）
实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小
时）y与x可近似地用反比例函数y=k
x
（k＞0）表示（如图所示）．
（1）求k的值．
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）
23．（本题满分12分）
如图，在△ABC中，AB=BC，点E在边AB上，EF⊥AC于F．
（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：∠CAD=∠AEF；
（3）若∠ABC=45°，AD与EF交于点G，求证：EG=2AF．
第22题图
第23题图
如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AE⊥l交直线l于点E、
交⊙O于点F，BD⊥l交直线l于点D．
（1）求证：△AEC∽△CDB；
（2）求证：AE+EF=AB；
（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/
cm s的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1/
cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？
第24题图
25．（本题满分14分）
如图，已知抛物线c
y+
=2过点A（6，0），B（－2，0），C（0，－3）．
+
ax
bx
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA的最大面积；（3）若点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠QGA=45º，求点Q的坐标．
第25题图。