人教A版高中数学必修4《任意角的三角函数》课件
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2014年人教A版必修四课件 1.2 任意角的三角函数
r= x + y , a | MP | y sina = = , o M x | OP | r | OM | x cosa = = , | OP | r | MP | y tana = = . 于是得 | OM | x
【终边上一点的坐标定义三角函数】 点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P y 到原点的距离, 即 r = |OP| = x 2 + y 2 , 1 P(x, y) y 正弦: sina = , r 余弦: cosa = x , -1 o x r y 正切: tana = , x 当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1, 则a 的三角函数为: y 正弦: sina = = y, 余弦: cosa = x = x. r r
【终边在坐标轴上的角的三角函数】 终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
y 0 =0, sina = = r r cosa = x = r =1, r r y 0 =0. tana = = x x
终边与其它半轴重合时同理.
y
a的终边
o
P
x
练习: (课本15页) 3. 填表: 角a 角 a 的弧度数 sin a cos a 0º 0 90º 180º 270º 360º 3 2 2 2 -1 0 0 1 0
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎 样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边 上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
对边 sina = 斜边 邻边 cosa = 斜边
对边 tana = 邻边
作PM⊥x 轴于M, 设 |OP| = r, 则
2 2
y (x, y) P ·
本章内容
1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)
5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是
)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同 【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的 终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z） 方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.
人教A版高中数学必修四(1.2.1-1任意角的三角函数)
sin
tan y x
cos
y x2 y2
x x2 y2
y
O
x
tan y
x
P(x，y)
知识探究（二）：三角函数符号与公式
思考1：当角α在某个象限时，设其终 边与单位圆交于点P（x，y），根据三 角函数定义，sinα，cosα，tanα的 函数值符号是否确定？为什么？
sin y
y
α的终边
sin y α的终边 y
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
思考6：对于一个任意给定的角α，按 照上述定义，对应的sinα，cosα， tanα的值是否存在？是否惟一？
sin y α的终边
cos x P(x，y)
tan y (x 0)
x
y
Ox
思考7：对应关系 sin y ，cos x ，
4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P（x，y）在终边 上的位置无关.公式一揭示了三角函数值 呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋 转一周，函数值重复出现.
作业： P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
cos x
P(x，y)
tan y (x 0)
Ox
x
思考2：设α是一个任意的象限角，那么 当α在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 取值符号分别如何？
sin y
cos x
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-1任意角的三角函数-2
(1)sinβ________sinα. (2)cosα________cosβ. (3)tanβ________tanα. 答：(1)> (2)> (3)>
(1)三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线 为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段，余弦线在x 轴上，正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三 条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三 角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的 交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与 角α的终边或其反向延长线的交点．③三角函数线的正负： 三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴 反向的，为负值．
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由 此写出角α的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解：直线y＝
3 2
交单位圆于A，B两点，连接OA与OB，则
OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角的集合为{α|
π 3
＋2kπ≤α≤
2π 3
＋2kπ，k∈
解析：因为π4<1<2π，如图所示：
由三角函数线可得sin1> 22>cos1，故sin1－cos1>0. 答案：>
(2)下列关系式中正确的是( ) A．sin10°<cos10°<sin160° B．sin160°<sin10°<cos10° C．sin10°<sin160°<cos10° D．sin160°<cos10°<sin10°
【解】 如图(1)． ∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ－π3，2kπ＋3π(k∈Z)．
高中数学 必修四 课件：1-2-0-1 任意角的三角函数的定义
第一章 1.2 第1课时
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[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相 等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在 者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个 角与之对应．
第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
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[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口 诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限 只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限 只有余弦值为正．
第一章 1.2 第1课时
第一章 1.2 第1课时
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(1)判断下列各式的符号．
①sin3·cos4·tan5；
②α 是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则θ2是第(
A．一
B．三
C．一或三
D．任意象限角
)象限角．
第一章 1.2 第1课时
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已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有( )
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
[答案] A
第一章 1.2 第1课时
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3．公式一(k∈Z) sin(α＋2kπ)＝ sinα ， cos(α＋2kπ)＝ cosα ， tan(α＋2kπ)＝ tanα .
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[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相 等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在 者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个 角与之对应．
第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
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[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口 诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限 只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限 只有余弦值为正．
第一章 1.2 第1课时
第一章 1.2 第1课时
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(1)判断下列各式的符号．
①sin3·cos4·tan5；
②α 是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则θ2是第(
A．一
B．三
C．一或三
D．任意象限角
)象限角．
第一章 1.2 第1课时
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已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有( )
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
[答案] A
第一章 1.2 第1课时
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3．公式一(k∈Z) sin(α＋2kπ)＝ sinα ， cos(α＋2kπ)＝ cosα ， tan(α＋2kπ)＝ tanα .
高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象2课时课件(共63张PPT)
变为原来的
1
w
倍.
3. y=sinx 与 y=Asinx
设 A =2, 画出 y=sinx 和 y=2sinx 的图象.
在 x 坐标相同的情况下,
y
y=2sinx 图象上各点的 y 坐标
2 y=2sinx
是 y=sinx 的 2 倍.
11
将 y=sinx 的图象沿 y 轴 方向伸长到原来的 2 倍即得
(1)
y
=
4sin
1 2
x,
xR;
(2) y = 12cos3x, xR;
(3)
y
=
3sin(
2x
+
6
),
xR;
);
(2) y=sin3x;
(4)
y
=
2sin(
2x
4
).
解: (3)
将 y=sinx 的图象向右
平移 个单位即得
3
y
=
sin(
x
3
)
的图象.
y
1
11
6
O 543 27 x 1 32 6 3 2 3
练习: (课本55页)
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的
简图:
(1) (3)
yy==s12ins(inxx;3
得到
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
的图象.
y
2
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
1
y
=7sin(3x56
)
13
y
=
sin(
1 3
x
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
人教A版高中数学：三角函数的概念【精品课件】
[教材解难]
正确认识三角函数线 （1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表 示三角函数值的正负，凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值，反向的为负 值． （2）三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给 出了角 a 的三角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP， OM，AT. （3）三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角 函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基 础．
知识点四 三角函数值在各象限的符号
状元随笔 对三角函数值符号的理解 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号 导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离 r 总是正值．根据三 角函数定义知： （1）正弦值符号取决于纵坐标 y 的符号； （2）余弦值的符号取决于横坐标 x 的符号； （3）正切值的符号是由 x，y 符号共同决定的，即 x，y 同号 为正，异号为负．
应用诱导公式一时，先将角转化到 0 ～2π 范围内的角，再求 值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
最新课程标准： 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
知识点 同角三角函数的基本关系式
状元随笔 （1）利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利 用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． （2）关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
新人教版必修4第一章第二节任意角三角函数课件
有向线段CD：方向C→D，等.
思考3：你能更好的利用有向线段的概念表示角α 的正弦吗？
sinα=MP cosα=0M O
y
P
M
x
思考4：类比的，你能在单位圆中用有向线段表 示角α的余弦吗？
思考5：设α 为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα y ＋cosα >1吗？ P
MP＋OM>OP=1 O M
A(1,0)
o
P α的终边
x
o
P T
x α的终边
(Ⅲ )
(Ⅳ )
思考6：若终边函数的一种几何表示，即用 有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三 角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化， 余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O 和点A（1，0）.
例2.(1)试作出角α的终边，使sinα=0 . 5； (2)根据(1)求出所有满足sinα=0 . 5的角 α的集合. (3)根据(1)、(2)求出所有满足sinα≧ 0 . 5 的角α的集合.
变式：求y 2cos x 1的定义域.
正弦、余弦、正切的三角函数线。
设任意角顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边
思考2：能不去掉绝对值符号，使得线段ＭＰ的值与 坐标的正负是一致呢？怎样规定？
有向线段：规定了方向的线段.
注意：
1）与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负.
2）有向线段的书写: 有向线段的起点字母在前，终点 字母在后面.
y C D 有向线段AB：方向A→B；记作AB x 值为正 A o B 有向线段BA：方向B→A ；记作 BA 值为负
y tan AT x
M O
A T
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任意角的三角函数
2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )
A.4 3 C. 4 3
B. 4 3 D. 3
y
OMP ∽ OMP
P
﹒ P(a,b)
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
O
M M
x
OP OP
tan MP M P
OM OM
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
我们发现：1、角度一定时，角的终边上任意一点的纵 坐标与该点到原点的距离的比值就一定。
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
例题
例1：已知角 的终边经过点 P0 (3,4)， 求角的正弦、余弦、正切值 .
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
例题
变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0)，求角α 的正弦、余弦、正切值．
例题
tan( ) ?
3
任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义
正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义
思考：如何定义任意角的三角函数？
新课引入 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
x叫α的余弦
cos x
y x 叫α的正切 tan y
x
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1任 意角的 三角函 数
O
人教A版高中数学必修四课件：任意角三角函数
练1.已知角β的终边过点 P( 2 , 2，) 求角β 的三个
三角函数值。
22
练2.求210o角的三个三角函数值。
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年5月24日星期五
思考:已知角 的终边经过点 P(1, 3)，求角 的正弦、
余弦和正切值。 换成点 P(3,4)
P（3a,-4a) ( a≠0)
sin | MP | = y | OP | r
P(x, y)
P(x, y)
cos
| OM | OP
| |
=
x r
OM
x
| MP | y tan | OM | = x
统称为任意角的三角函数
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年5月24日星期五
思考:在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其终边
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.复习引入
回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义
对边
sin 斜边
邻边 cos 斜边
对边
tan 邻边
对 边
邻边
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年5月24日星期五
思考:在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其终边
上的点的坐标表示吗？
y
记 r | OP | x2 y2
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年5月24日星期五
改变吗？
这三个比值与终边上点的位置无关
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年5月24日星期五
指出：由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关 系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。这三个 三角函数我们可以用x表示自变量，y表示函数值，即
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函数观念.
探索分析
教学程序设计 函数要素
情景6:任意角的三角函数作为一种特殊的函数,则其三 要素是什么？ 重点探讨定义域 设计意图： 定义域是函数三要素之一,研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域,有
利于在理解的基础上记住它、应用它,也增进对三角
函数概念的掌握.
教学程序设计 符号判断、形象识记
任意角的三角函数
说课提纲
一、教学目标分析
二、教学重点、难点分析 三、教法、学法分析 四、教学程序设计
教学目标分析
1．知识目标
①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义;
②根据定义认识其定义、函数值的符号，理解公式一; ③能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一 些简单问题;
教学目标分析
y
P(x,y)
M
x
x cosα= = x， 斜边 1
邻边
设计意图：
锐角三角函数由初中的边角关系转化为象限角与单位 圆交点的坐标关系,达到承上启下的作用
y ta 引伸铺垫、自主定义 情景4:锐角三角形的终边在第一象限,那么终边在第一 象限的角的三角函数如何定义？ 追问：任意角的三角函数值该如何定义呢？ 设计意图：
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan kz
设计意图： 利用定义，发现和证明公式一,从中体会三角函数值具
有“周而复始”的变化规律。
教学程序设计 练习巩固、理解记忆
5 7 5 课堂 将 变为 (练习1)、 (终边在坐标轴上)呢? 练习 3 6 2 设计意图：
教学重点、难点分析
教学重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义 教学难点
任意角三角函数概念的建构过程
教学方法与手段
学生在初中已具有锐角三角函数的概念，本节将在 这一基础上扩充成任意角的三角函数概念
故本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法
组织教学.
教学程序设计
复 习 引 入 回 想 再 认
引 伸 铺 垫 自 主 定 义
情景7:能判断三角函数值在各象限的正、负吗？试试看！ 设计意图： 判断三角函数值的正负符号,是本章教材的一项重要的
知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断
和记忆三角函数值的正负符号,并总结出形象的识记口
诀,这也是理解和记忆的关键.
教学程序设计 利用定义、推出公式 情景8:终边相同的角，其三角函数值有什么关系？
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义 情景5:任意角α大小发生变化时,单位圆上的点的坐标 或坐标的比值会改变吗？ 设计意图： 扣准函数概念的内涵,突出变量之间的依赖关系或对应关 系,是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据,是准确 理解三角函数概念的关键,也是在认知上把三角函数知识
纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义
对于确定的锐角,这个比值不会随“斜边”的变化而变化, 故对斜边进行特殊化处理。
1
b
a
特别的取“斜边=1, 对边= ,邻边= b 则
a
sinα= , cosα=
a
b
b , tanα= a
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义
情景3:若在直角坐标系中来研究锐角,则锐角三角函数又 可怎样定义呢？
用坐标表示锐角三角形的三角函数值→用坐标表示第一象限角的
三角函数值→用坐标表示任意角的三角函数值.这种由特殊到一般
的思想重要. 为了顺利实现推广,可以构建中间桥梁,使之既与前面 所学知识结合,又能自然地迁移到任意角的情形.这是理解任意角三
角函数概念的关键之一,也是数学发现的重要思想和方法,能够形成
迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基 础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）.
1．知识目标 2．过程与方法：
通过主动探究、自主合作、相互交流经历从锐角 三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广 过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟 直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.
教学目标分析
1．知识目标 2．过程与方法： 3．情感目标
通过数学知识的内在联系、学生积极参与知识的 “发现”与“形成”的过程，激发学生的求知欲望， 培养学生辨证统一的思想，使学生逐步养成严谨的 作风，实事求是的科学态度，独立思考，勇于创新 的精神。
素探 索 分 析 函 数 要
符 号 判 断 形 象 识 记
利 用 定 义 推 出 公 式
练 习 巩 固 理 解 记 忆
复习引入
教学程序设计 回想再认
情景1：什么叫函数？
设计意图： 函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和 个性的关系，学生已经学习了函数的概念,因此对三角 函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是 以具体函数丰富函数概念的过程.此处让学生对函数概 念进行回想再认,目的在于明确函数概念的本质,为演绎 学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备.
第一步：合作讨论，达成共识： “角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”，是众 多选择中最有利的．解决怎样把三角形放入直角坐标系中
设计意图： 从学生现有知识水平和认知能力出发,创设问题情景, 让学生产生认知冲突,进行必要的启发,将学生思维引上 自主探索、合作交流的“再创造”征程.
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义 第二步：给出单位圆定义,产生交点，近一步研究在直角 坐标系中,锐角三角函数的坐标定义. y 对边 Sinα= = y， 斜边 1
复习引入
教学程序设计 回想再认
情景2：我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了 锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想:这三 个三角函数分别是怎样规定的？
提问回答：锐角的正弦、余弦、正切值不受斜边的影响。 引导学生用函数的思想分析： 锐角三角函数是一种特殊的函数
设计意图： 温故知新,要让学生体会知识的产生、发展过程, 就要从源头上开始,从学生现有认知状况开始,对锐角 三角函数的进行有针对性的复习,为定义的讲解做好 铺垫。
紧扣定义,探索如何求终边与单位圆的交点坐标.对于角 不在坐标轴上的先利用解直角三角形定值,再利用点所 在象限定号来求与单位圆交点;对于终边在坐标轴上角 利用数形结合求出与单位圆的交点。
探索分析
教学程序设计 函数要素
情景6:任意角的三角函数作为一种特殊的函数,则其三 要素是什么？ 重点探讨定义域 设计意图： 定义域是函数三要素之一,研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域,有
利于在理解的基础上记住它、应用它,也增进对三角
函数概念的掌握.
教学程序设计 符号判断、形象识记
任意角的三角函数
说课提纲
一、教学目标分析
二、教学重点、难点分析 三、教法、学法分析 四、教学程序设计
教学目标分析
1．知识目标
①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义;
②根据定义认识其定义、函数值的符号，理解公式一; ③能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一 些简单问题;
教学目标分析
y
P(x,y)
M
x
x cosα= = x， 斜边 1
邻边
设计意图：
锐角三角函数由初中的边角关系转化为象限角与单位 圆交点的坐标关系,达到承上启下的作用
y ta 引伸铺垫、自主定义 情景4:锐角三角形的终边在第一象限,那么终边在第一 象限的角的三角函数如何定义？ 追问：任意角的三角函数值该如何定义呢？ 设计意图：
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan kz
设计意图： 利用定义，发现和证明公式一,从中体会三角函数值具
有“周而复始”的变化规律。
教学程序设计 练习巩固、理解记忆
5 7 5 课堂 将 变为 (练习1)、 (终边在坐标轴上)呢? 练习 3 6 2 设计意图：
教学重点、难点分析
教学重点
任意角的正弦、余弦、正切的定义 教学难点
任意角三角函数概念的建构过程
教学方法与手段
学生在初中已具有锐角三角函数的概念，本节将在 这一基础上扩充成任意角的三角函数概念
故本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法
组织教学.
教学程序设计
复 习 引 入 回 想 再 认
引 伸 铺 垫 自 主 定 义
情景7:能判断三角函数值在各象限的正、负吗？试试看！ 设计意图： 判断三角函数值的正负符号,是本章教材的一项重要的
知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断
和记忆三角函数值的正负符号,并总结出形象的识记口
诀,这也是理解和记忆的关键.
教学程序设计 利用定义、推出公式 情景8:终边相同的角，其三角函数值有什么关系？
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义 情景5:任意角α大小发生变化时,单位圆上的点的坐标 或坐标的比值会改变吗？ 设计意图： 扣准函数概念的内涵,突出变量之间的依赖关系或对应关 系,是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据,是准确 理解三角函数概念的关键,也是在认知上把三角函数知识
纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义
对于确定的锐角,这个比值不会随“斜边”的变化而变化, 故对斜边进行特殊化处理。
1
b
a
特别的取“斜边=1, 对边= ,邻边= b 则
a
sinα= , cosα=
a
b
b , tanα= a
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义
情景3:若在直角坐标系中来研究锐角,则锐角三角函数又 可怎样定义呢？
用坐标表示锐角三角形的三角函数值→用坐标表示第一象限角的
三角函数值→用坐标表示任意角的三角函数值.这种由特殊到一般
的思想重要. 为了顺利实现推广,可以构建中间桥梁,使之既与前面 所学知识结合,又能自然地迁移到任意角的情形.这是理解任意角三
角函数概念的关键之一,也是数学发现的重要思想和方法,能够形成
迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基 础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，从实数到复数的扩展等）.
1．知识目标 2．过程与方法：
通过主动探究、自主合作、相互交流经历从锐角 三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广 过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟 直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.
教学目标分析
1．知识目标 2．过程与方法： 3．情感目标
通过数学知识的内在联系、学生积极参与知识的 “发现”与“形成”的过程，激发学生的求知欲望， 培养学生辨证统一的思想，使学生逐步养成严谨的 作风，实事求是的科学态度，独立思考，勇于创新 的精神。
素探 索 分 析 函 数 要
符 号 判 断 形 象 识 记
利 用 定 义 推 出 公 式
练 习 巩 固 理 解 记 忆
复习引入
教学程序设计 回想再认
情景1：什么叫函数？
设计意图： 函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和 个性的关系，学生已经学习了函数的概念,因此对三角 函数的学习就是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是 以具体函数丰富函数概念的过程.此处让学生对函数概 念进行回想再认,目的在于明确函数概念的本质,为演绎 学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备.
第一步：合作讨论，达成共识： “角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合”，是众 多选择中最有利的．解决怎样把三角形放入直角坐标系中
设计意图： 从学生现有知识水平和认知能力出发,创设问题情景, 让学生产生认知冲突,进行必要的启发,将学生思维引上 自主探索、合作交流的“再创造”征程.
教学程序设计 引伸铺垫、自主定义 第二步：给出单位圆定义,产生交点，近一步研究在直角 坐标系中,锐角三角函数的坐标定义. y 对边 Sinα= = y， 斜边 1
复习引入
教学程序设计 回想再认
情景2：我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了 锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想:这三 个三角函数分别是怎样规定的？
提问回答：锐角的正弦、余弦、正切值不受斜边的影响。 引导学生用函数的思想分析： 锐角三角函数是一种特殊的函数
设计意图： 温故知新,要让学生体会知识的产生、发展过程, 就要从源头上开始,从学生现有认知状况开始,对锐角 三角函数的进行有针对性的复习,为定义的讲解做好 铺垫。
紧扣定义,探索如何求终边与单位圆的交点坐标.对于角 不在坐标轴上的先利用解直角三角形定值,再利用点所 在象限定号来求与单位圆交点;对于终边在坐标轴上角 利用数形结合求出与单位圆的交点。