概率论知识的回顾与补充
概率论知识总结梳理(知识总结)
概率论知识总结梳理（知识总结）知识总结近期重温了之前学过的概率论与数理统计知识，不得不感叹遗忘的速度真是吓人！没有几年的工夫，竟然全部记得了，把自己吓一跳，于是赶紧听课、看书，希望及时的捡起来。
毕竟在这个时代，绝大部分事情归根到底就是个概率问题，所以进行了一次搜集整理，顺便在网上搜了一些资料，感谢原作者的分享，下面一一阐述。
一，知识结构如下图所示如上图所示，概率论与数理统计的整个的知识框架大致由17个分支组成。
理解了这张图就好比拿到了学习概率论的地图，以后碰到了相关知识能迅速的定位知识模块，就好比安装了搜索引擎，提高了效率。
二，概率论基础及描述性统计上述四张图，分别归纳了概率基础、描述性统计的知识点，并且做了对比分析，思路清晰了许多。
三，高阶概率知识上述几张图中，对概率论的高阶知识进行了总结，其中假设检验、区间估计、简单回归分析在之前就用e_cel、spss做过相关练习，也比较好懂。
后面的多元回归、方差等知识只是了解过，并没有深入的学习，也没有应用过，后面的学习中将结合要学的知识和理论需求做进一步的强化，这也是我后面要学习的重点部分。
四，小结通过这段时间的概率论复习，发现自己遗忘的速度超快，特别是不经常用到的知识，而且有两个方面的感受：（1）将概率论的知识应用于生活中。
学以致用才是理解一门学科的最有效途径，就像猴子老师课程中讲到的各种交通工具风险概率、赌博的独立事件、保险的意义等等问题，实际上都与概率论有着重要联系。
如果在生活中碰到问题能将这些问题透过现象看本质，将其看成是个概率问题，也是为生活提供了另一个观察的视角，做个明白人。
（2）概率论的知识一定要多用软件联系。
在复习的过程中，我发现之前用spss练习过的都记得比较深刻，而没有练习的则没有什么印象。
我就把之前的练习文件重新翻了出来看了一遍，理解起来就轻松多了，而很多软件都提供这些统计分析、预测功能，这也是一种变相的学习。
所以在后面的学习中，我应加强这方面的练习，特别是后面的高阶概率论知识。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和不确定性。
它广泛应用于统计学、信息论、物理学、经济学等领域。
概率论的研究对象是随机事件及其概率规律，而随机事件是不确定性事件的一种具体表现。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、概率分布以及条件概率等内容进行总结归纳。
首先是概率论的基本概念。
概率是随机事件发生的可能性大小的度量，常用0到1之间的数表示。
根据事件的性质，概率可以分为古典概率、几何概率和统计概率。
其中，古典概率适用于条件固定且等可能的情况，几何概率适用于几何模型，而统计概率则通过实验或观测数据进行统计。
其次是概率计算方法。
对于古典概率，在条件固定且等可能的情况下，可以通过“事件数量/总样本空间数量”来计算概率。
而对于几何概率，常用的计算方法有面积比和长度比。
统计概率则通过频数和频率进行计算，频数是某一事件发生的次数，频率是某一事件发生的相对次数。
然后是概率分布。
概率分布描述了随机变量可能取值的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布用来描述随机变量只能取有限个或可数个值的情况，常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
而连续概率分布用来描述随机变量在某个区间内取值的概率，常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
最后是条件概率。
条件概率表示在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算需要使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率在实际问题中具有很重要的应用，例如在医学诊断中，根据某个症状事件发生的条件下，判断某种疾病发生的概率。
综上所述，概率论是一门基础而重要的数学学科，涉及到许多理论和方法，应用于众多领域。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的概率计算方法，理解概率分布的特点以及条件概率的计算公式。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和概率分布。
在现实生活中，概率论广泛应用于统计学、金融、工程、生物学等领域。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结。
一、基本概念1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集。
3. 概率：随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
4. 事件的互斥与对立：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件至少有一个发生。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可数可加性：如果事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
三、条件概率1. 定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 乘法公式：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)。
四、独立事件1. 定义：事件A发生与否不受事件B发生与否的影响。
2. 判别条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理1. 全概率公式：设事件B1、B2、...、Bn为样本空间的一个划分，即B1∪B2∪...∪Bn = S，且P(Bi) > 0，有P(A) = ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
2. 贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，可以得到P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
六、随机变量与概率分布1. 随机变量：将数学状态与随机事件的结果联系起来的变量。
2. 离散型随机变量与连续型随机变量。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况。
4. 均匀分布、正态分布、泊松分布等。
七、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值趋于总体均值。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在现实生活中，概率论被广泛应用于各个领域，如金融、医学、工程等。
本文将对概率论中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来介绍一下概率的基本概念。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
对于两个事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B)来表示，而它们的条件概率可以用P(A|B)来表示。
其次，我们来介绍一下概率的计算方法。
在概率论中，有两种常见的计算方法，分别是古典概率和统计概率。
古典概率是指在随机试验中，每个基本事件发生的可能性相等的情况下，事件A发生的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A包含的基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
而统计概率是指通过大量实验数据来估计事件发生的概率，它可以用频率来表示，即P(A) = n(A)/n，其中n(A)表示事件A发生的次数，n表示总的实验次数。
接下来，我们来介绍一下概率的加法规则和乘法规则。
概率的加法规则是指对于两个不相容事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∪B) = P(A) + P(B)来计算。
而概率的乘法规则是指对于两个独立事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B) = P(A) * P(B)来计算。
在实际应用中，加法规则和乘法规则可以帮助我们更好地计算复杂事件的概率。
最后，我们来介绍一下概率的期望和方差。
概率的期望是描述随机变量平均取值的指标，它可以用E(X)来表示，其中X表示随机变量。
概率的方差是描述随机变量取值的离散程度，它可以用Var(X)来表示。
期望和方差是概率论中重要的统计量，它们可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和分布。
综上所述，概率论是一门非常重要的数学学科，它在现实生活中有着广泛的应用。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结大学概率论是高等数学中的重要分支之一，它研究的是随机现象和随机事件的规律，是研究不确定性的数学理论。
本文将对大学概率论的知识点进行总结。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0和1之间的实数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
事件的概率越大，其发生的可能性越高。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指一种数值上具有不确定性的变量，它的取值由随机试验的结果决定。
概率分布是随机变量所有取值和其相应概率的分布关系，可以用分布函数、概率密度函数或概率质量函数来进行描述。
3. 离散型随机变量离散型随机变量的取值为有限个或可数个，其概率分布可以用概率分布列来表示。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。
4. 连续型随机变量连续型随机变量的取值为连续的实数集合，其概率分布可以用概率密度函数来表示。
常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。
5. 二维随机变量与联合分布二维随机变量是指具有两个未知数的随机变量，其概率分布可以用联合分布函数或联合概率密度函数来描述。
联合分布函数可以用来计算二维随机变量的概率。
6. 随机变量的独立性两个随机变量的独立性是指它们的联合分布等于其边缘分布的乘积，即P(X,Y)=P(X)P(Y)。
独立性是概率论中重要的概念，可以用来简化计算过程。
7. 条件概率和贝叶斯定理条件概率是指在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理是利用条件概率计算事件的概率的一种重要方法，常用于统计学和机器学习中。
8. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征是对其概率分布进行度量的方式，常见的数字特征有数学期望、方差、标准差等。
数学期望是随机变量取值的平均值，方差是随机变量取值与均值之间的离散程度的平均值。
9. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数增加，事件发生的频率会趋近于其概率。
中心极限定理是指在一定条件下，大量随机变量的和服从近似于正态分布。
概率论总复习-知识总结(一)
概率论总复习-知识总结(一)概率论总复习-知识总结概率论是一门广泛应用于自然科学、社会科学、医学、金融等领域的数学学科，是研究随机事件及其发生规律的学科。
下面就概率论常见的概念、公式和计算方法进行总结和复习。
一、基本概念1. 试验和事件：试验是人为、自然、社会等各种实际现象的模拟或观测过程，试验的每一个结果称为该试验的一个基本事件；事件是由基本事件构成的，即试验结果的任意某些组合，可以是单个事件，可以是多个事件组合形成的复合事件。
2. 样本空间和事件域：样本空间是由一切可能的基本事件组成的集合；事件域是指样本空间中，所有事件的全体，即事件的集合。
3. 必然事件和不可能事件：试验中一定会发生的事件称为必然事件，常用符号Ω表示；试验中不可能发生的事件称为不可能事件，常用符号Ø表示。
4. 等可能概型：所有基本事件的发生是等可能的，即每个基本事件发生的概率相等。
5. 概率的基本性质：对于任何事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1，并且P(Ω) = 1，P(Ø) = 0；对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) =P(A) + P(B)。
二、概率的计算方法1. 古典概型：若试验基本事件有限且等可能，则事件A的概率P(A) = A中基本事件数 / S中基本事件总数。
2. 几何概型：可以利用图形面积的比值计算。
3. 组合计数：若A是从n个不同元素中取m个元素集合，则其包含m个元素的子集个数称为A的组合数。
三、条件概率和独立事件1. 条件概率：设A、B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率记为P(B|A)，称为条件概率，P(B|A) = P(AB) / P(A)。
2. 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。
3. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式是用于计算复杂事件的概率，表示为P(B) = ΣiP(Ai)P(B|Ai)；贝叶斯公式是在已知结果的情况下，得出反推因果关系的方法，表示为P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai) /ΣjP(Aj)P(B|Aj)。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学的一个分支，研究随机现象的规律和统计规律的数学理论。
它的研究对象是随机试验，通过对试验结果的统计，得出事件出现的可能性大小。
概率论的知识点非常丰富，以下对其中几个重要的知识点进行总结归纳。
1. 随机试验和样本空间：随机试验是指具有不确定性的实验，其结果在一定条件下具有随机性。
随机试验的所有可能结果构成样本空间，记作S。
2. 事件和事件的概率：事件是样本空间的子集，表示试验结果的某种特性或性质。
事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
3. 定义概率的三大公理：概率的定义基于三个公理。
第一公理要求概率非负，即P(A)≥0；第二公理要求样本空间的概率为1，即P(S)=1；第三公理要求互斥事件的概率可加性，即对任意一组两两互斥的事件A1，A2，...，An，有P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。
4. 条件概率：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率表示为P(A|B)，其计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件：事件A和事件B是独立的，如果它们的概率乘积等于它们的交集的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
独立事件之间的概率不会相互影响。
6. 全概率公式和贝叶斯定理：全概率公式是一种计算条件概率的方法，它可以将复杂的事件拆分成互斥的情况，并计算每种情况下的条件概率，再按照加法规则相加。
贝叶斯定理是一种根据条件概率计算反过来条件概率的方法，它可以根据已知的条件概率计算出对应的反过来条件概率。
7. 随机变量：随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它可以是离散的或连续的。
离散随机变量只能取某些特定值，而连续随机变量可以取任意实数值。
8. 概率分布：概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
对于离散随机变量，概率分布由概率质量函数（PMF）表示；对于连续随机变量，概率分布由概率密度函数（PDF）表示。
概率论总复习知识总结
contents
目录
• 概率论概述 • 随机变量及其分布 • 随机变量的数字特征 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验 • 贝叶斯统计推断 • 概率论的应用
01 概率论概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大 小。
随机试验
具有随机性结果的试验。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为$E(X) = int x f(x) dx$，其中$f(x)$是随机变量$X$的概率 密度函数。
方差与协方差
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的量，计算公式为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。
方差的性质
方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质。
在贝叶斯决策理论中，决策者需要先对各种可能的结果赋予主观概率，然后根据 这些结果的价值和发生的概率计算期望值，最后选择期望值最大的方案作为最优 决策。
贝叶斯网络与推理
贝叶斯网络是一种基于概率的图形模型，用于表示随机变量 之间的条件独立关系。它由一组节点和有向边组成，节点代 表随机变量，边代表变量之间的概率依赖关系。
协方差的定义
协方差是用来衡量两个随机变量同时取值的分散程度和它 们之间的相关程度的量，计算公式为$Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y - E(Y))]$。
协方差的性质
协方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质 。
矩与特征函数
矩的定义
矩是用来描述随机变量取值分布特征 的量，包括数学期望、方差、偏度和 峰度等。
样本空间
随机试验所有可能结果的集合 。
事件
概率论与数理统计复习知识概括
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--x t dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数X x 1 x 2 … x k … p k p 1 p 2 … p k … Y=g(X)g(x 1) g(x 2) … g(x k ) …若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法：(1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= xi ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义,}{},{j ji j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====,}{},{∙=====i ji i j i p p x X P y Y x X P随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量 分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)]i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i kik X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点.注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1,θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1))(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
高考概率论知识点总结
高考概率论知识点总结高考作为一种非常重要的考试，概率论作为其中的一门重要科目，是高考数学中不可或缺的一部分。
掌握好概率论的知识点，对于应对高考数学考试非常关键。
下面将对高考概率论的知识点进行总结和讲解。
一、基本概念概率是指某一事件在试验中发生的可能性大小。
其中，样本空间是指所有可能的结果，事件是样本空间的子集。
概率的性质包括：非负性、规范性、可列可加性。
二、事件的概率事件的概率可以通过频率方法和几何方法来计算。
频率方法是指通过多次试验，统计某一事件发生的频率来估计概率。
几何方法是指通过几何模型来计算概率，如面积、长度或体积等。
三、条件概率条件概率是指在某一条件下，事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
这是根据概率的乘法原理得出的，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、独立事件独立事件是指两个事件之间的发生不会相互影响。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率可以通过乘法公式计算：P(A∩B) =P(A) × P(B)。
五、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式是通过将样本空间分解为互不相交的事件，计算条件概率。
全概率公式的数学表达式为：P(A) = ∑P(A|Bi) × P(Bi)，其中Bi是样本空间的一个划分。
贝叶斯公式是通过已知条件概率，计算反向条件概率。
贝叶斯公式的数学表达式为：P(Bi|A) = P(A|Bi) × P(Bi)/∑P(A|Bj) × P(Bj)，其中Bj是样本空间的一个划分。
六、排列与组合与概率的应用在概率论中，排列是指从n个不同元素中选出m个进行有序的排列。
组合是指从n个不同元素中选出m个进行组合。
排列与组合在概率的运算中有着重要的应用，通过对排列与组合的计算，可以求得某一事件的概率。
七、随机变量随机变量是指试验结果的数字化表示，记作X。
随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性。
而在大学中，概率论课程是理工科学生的必修课之一。
下面，我们将对大学概率论课程中的一些重要知识点进行总结。
一、样本空间与事件概率论中的样本空间是指所有可能结果的集合，用Ω表示。
样本空间中的每个元素，被称为样本点。
事件是指样本空间中的一个子集，用A表示。
当某个随机现象发生时，我们可以定义一个相应的事件，用于描述其发生的结果。
事件的概率则是指该事件发生的可能性大小。
二、概率的性质概率具有以下几个基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都是非负的。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可列可加性：若事件A1、A2、A3...是两两互不相容的事件（即它们没有公共的样本点），则它们的联合事件的概率等于各个事件概率的总和。
三、条件概率与独立性条件概率是指在某个条件成立的前提下，事件发生的概率。
对于事件A和B，条件概率表示为P(A|B)，表示在事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率的计算遵循贝叶斯公式。
如果两个事件A 和B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。
四、随机变量与概率分布随机变量是指样本空间中的每个样本点都与某个数值相对应的变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
在概率论中，我们关注的是随机变量的概率分布。
对于离散型随机变量，我们可以通过频数直接计算概率；对于连续型随机变量，我们通过概率密度函数来描述其分布。
五、数学期望与方差数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)。
方差度量了随机变量的取值离其数学期望的平均距离，记作Var(X)。
数学期望和方差是概率论中两个重要的衡量指标，它们可以帮助我们理解随机变量的分布特性。
六、大数定律与中心极限定理大数定律指出，随着随机试验次数的增加，事件发生的频率趋近于该事件的概率。
中心极限定理则是指在特定条件下，随机变量和服从于正态分布。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在众多领域如统计学、物理学、工程学、经济学等都有着广泛的应用。
以下是对概率论主要知识点的总结。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
而概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的定义有多种，常见的是古典概型和几何概型。
古典概型中，假设样本空间包含有限个等可能的基本事件，事件 A 所包含的基本事件数为 n(A)，样本空间的基本事件总数为n(Ω)，则事件 A 的概率 P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)。
几何概型则适用于样本空间是无限的情况，比如在一个区间或平面区域内随机取点。
此时，事件 A 的概率与事件对应的区域长度、面积或体积等成比例。
二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 B 在事件 A 发生的条件下的概率为 P(B|A)，其计算公式为P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
乘法公式则是通过条件概率来计算两个事件同时发生的概率，即P(AB) ＝ P(A)P(B|A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用于计算某个复杂事件的概率。
假设有 n 个互不相容的事件 B₁, B₂,， Bₙ 构成样本空间的一个完备事件组，且 P(Bᵢ) ＞ 0 （i ＝ 1, 2,， n），事件 A 为样本空间中的任意一个事件，则 A 的概率可以表示为 P(A) ＝∑P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) （i 从 1 到 n）。
贝叶斯公式则是在已知结果的情况下，反推导致该结果的各种原因的概率。
设 B₁, B₂,， Bₙ 是一组完备事件组，且 P(A) ＞ 0，P(Bᵢ) ＞0 （i ＝ 1, 2,， n），则在事件 A 发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑P(Bₙ)P(A|Bₙ) （k 从 1 到 n）。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结在大学数学课程中，概率论是一门重要的学科。
它研究随机现象的概率及其规律，广泛应用于科学、技术、经济等领域。
以下是对大学概率论的一些重要知识点的总结。
第一，概率的基本概念。
概率是研究随机现象的可能性的数学描述。
在概率论中，我们将随机试验定义为具有以下三个特点的实验：1）试验可以以事先确定的方式进行；2）试验的结果具有多个可能的结果；3）试验可以重复进行，并且每次结果可能不同。
一个事件是指试验结果的某个子集。
概率是对事件发生的可能性的度量，它的取值在0和1之间。
第二，概率的运算法则。
概率的运算法则包括加法法则和乘法法则。
加法法则表明，对于两个互斥事件A和B，它们的联合概率等于各自概率的和。
乘法法则则给出了同时发生两个独立事件A和B的概率，它等于两个事件概率的乘积。
第三，随机变量和概率分布。
随机变量是一个可数的值与试验结果对应的变量。
它可以是离散的或连续的。
离散随机变量只能取有限或可数个值，而连续随机变量可以取任何实数值。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
第四，常见概率分布。
在概率论中，有一些常见的概率分布模型。
例如，二项分布是一种离散概率分布，它描述了n次独立重复试验中成功次数的概率。
正态分布是一种连续概率分布，它以钟形曲线的形式展现。
它在自然界中的很多现象中都可以很好地描述。
第五，概率的特征值。
在概率论中，我们关注随机变量的平均值和方差等特征值。
平均值是随机变量的期望值，它是每个取值与其概率的乘积之和。
方差是随机变量与其期望值的离散程度，它是每个取值与其期望值的差的平方与其概率的乘积之和。
第六，大数定律和中心极限定理。
大数定律是概率论的重要定理之一，它表明，当随机试验次数趋于无穷时，事件发生的频率将趋于该事件的概率。
中心极限定理则指出，当独立随机变量的数量足够多时，它们的平均值将近似服从正态分布。
概率论作为一门重要的数学学科，不仅具有理论性的意义，也在现实生活中有着广泛的应用。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，研究的是不确定性现象的定量描述和分析。
它在统计学、金融、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将对概率论的一些重要知识点进行总结和讨论。
一、概率的基本概念概率是描述一个事件发生可能性的一个数值。
常见的概率表示方法有频率概率和古典概率两种。
频率概率是通过长期观察或实验得到的相对频率，古典概率是从事件的基本性质和前提出发推断得到的。
二、事件和样本空间在概率论中，事件是指一次试验的可能结果的集合。
样本空间是指所有可能的结果的集合。
根据事件发生的可能性，事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件等。
三、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在计算条件概率时，需要使用乘法规则和全概率公式。
四、独立性事件的独立性是指两个或多个事件的发生不会互相影响。
当事件A和事件B独立时，它们的联合概率等于各自的概率的乘积。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义推导得到的，它可以用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯定理在统计学、机器学习等领域有着重要的应用。
六、随机变量随机变量是对随机试验结果的数量特征的数字描述。
它可以分为离散随机变量和连续随机变量两种。
离散随机变量取有限或可数个值，而连续随机变量则可以取任意的实数值。
七、概率分布概率分布描述了随机变量取各个值的概率。
常见的概率分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。
这些分布在实际问题中有广泛的应用。
八、期望和方差期望是随机变量取值的加权平均值，它可以用来描述一个随机变量的平均水平。
方差是随机变量与其期望之差的平方的平均值，它用来衡量随机变量的离散程度。
九、大数定律和中心极限定理大数定律指出，当样本容量足够大时，样本均值将逐渐接近于总体均值。
中心极限定理则指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
总结：概率论是一门很有用的学科，提供了对不确定性的量化和解释的工具。
概率论的补充知识
第一章 概率论的补充知识本章扼要地复习概率论中某些基本概念，并补充条件期望和n 维正态分布等内容，为学习随机过程作准备.§1 概率空间设Ω是某随机试验的所有可能结果组成的集合. Ω称为样本空间或基本事件空间，Ω中的元素ω称为样本点或基本事件，Ω的子集A 称为事件，样本空间Ω也是一个事件，称为必然事件，空集φ称为不可能事件.因为事件是集合，所以集合的运算（并、交、差、上极限、下极限. 极限等）都适用于事件.在实际问题中，我们不是对所有的事件（样本空间Ω的所有子集）都感兴趣，而是关心某些事件（Ω的某些子集）及其发生的可能性大小（概率）. 这样，便导致波雷尔（Borel ）域F 和F 上的概率的概念.定义1 设Ω是一个集合，F 是由Ω的某些子集组成的集合族. 如果 1）Ω∈F2）若A ∈F ，则\c A A Ω∈ F3）若,1,2,n A n ∈= F ，则1n n A ∞=∈ F则称F 为Borel 域或σ-代数. (,)ΩF 称为可测空间. F 中的集合称为随机事件，简称事件.由定义易知： 4）φ∈F5）若,A B ∈F ，则\A B ∈F6）若,1,2,i A i ∈= F ，则111,,nni iii i i A A A∞===∈ F定义2 设(,)ΩF 是可测空间，()P ⋅是定义在F 上的实值函数. 如果 1）,()0,()1A P A P ∀∈≥Ω=F2）,,,1,2,i i j A A A i j j φ∀∈=≠= F ，则11()i ii i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则称P 是(,)ΩF 上的概率，(,,)P ΩF 称为概率空间，()P A 为A 的概率.()P A 的直观意义表示事件A 发生的可能性大小. 为方便起见，今后总假设()P ⋅是完全的，即对任意,()0A B P B ⊂∈=F ，则A ∈F . 由定义易知： 3）()0P φ=4）若,,A B A B ∈⊂F ，则(\)()()P B A P B P A =-从而，概率具有单调性和零概集的子集是零概集.5）设,1,2,n A n ∈= F ，则121121,lim (),n n n n n n P A A A P A P A A A ∞=∞→∞=⎧⎛⎫⊂⊂⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪⊃⊃ ⎪⎪⎝⎭⎩ 若若 定义3 设(,,)P ΩF 是概率空间，⊂G F ，如果对任意12,,,,1,2,n A A A n ∈= G ，有∏∞=∞==11)(i i i i A A P则称G 是独立事件族.例1.1 将一枚硬币依次掷无穷多次，这时，样本空间Ω由“正面”和“反面”组成的所有可能序列. 若以1表示出现正面，0表示出现反面，那么12{(,,,):01,1,2,}n n n ωωωωωΩ==== 或F 可取Ω的一切子集组成的集合族.151570{:1,0,0,1}A ωωωωω=====表示第一次出现正面，第5次出现反面，第15次出现反面，第70次出现正面这一事件.如果投掷是独立进行的，那么151570()(:1,0,0,1)P A P ωωωωω=====151570(:0)(:0)(:0)(:1)P PP P ωωωωωωωω===== 411()216==§2 随机变量和概率分布随机变量是概率论的主要研究对象. 随机变量是依赖于试验结果或样本点ω的函数()X X ω=. 每次试验之后，随机变量取一个值或在直线上取定一个点，描述随机变量的概率分布函数.定义4 设(,,)P ΩF 是概率空间. ()X X ω=是定义在Ω上的实函数，如果对于任意数x 、{:()}X x ωω≤∈F ，则称X 是F —随机变量. 而称(){:()},F x P X x x ωω=≤-∞<<∞为()X X ω=的分布函数.根据概率的性质，不难证明随机变量的分布函数()F x 具有下列性质. 1）()F x 是单调不减函数. 2）()F x 是右连续函数. 3）lim ()0,lim ()1x x F x F x →-∞→∞==可以证明，定义在(,)R =-∞∞上的实值函数()F x ，若具有上述性质1）~3），必存在概率空间(,,)P ΩF 及其上的随机变量()X X ω=，其分布函数是()F x . 在应用中，常见的随机变量有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量. 离散型随机变量()X X ω=的概率分布可用分布列描述：(:())1,2,k k p P X x k ωω===这时，()X X ω=的分布函数()k k x xF x p ≤=∑常见的离散型随机变量有二项分布，泊松分布，几何分布等（见表1.1）连续型随机变量()X X ω=的概率分布用分布密度()f x 描述，这时，()X X ω=的分布函数()()d x F x f t t -∞=⎰常见的连续型随机变量有均匀分布、指数分布、正态分布等（见表1.1）表1.1下面考虑n 维随机变量及其概率分布. n 维随机变量是依赖于试验结果或样本点ω的向量随函数1()(()())nX X X X ωωω== . 每次试验之后，X 取n 维向量1()n x x x = 或n 维空间n R 中一点. n 维向量1()(()())n X X X X ωωω== 可以看成nR 中的随机点. 描述n 维随机变量的概率分布用联合分布函数.定义5 设(,,)P ΩF 是概率空间，1()[()()]n X X X X ωωω== 是定义在Ω上在n 维空间n R 中取值的向量函数. 如果对于任意1()nn x x x R =∈ ，11{:(),,X x ωω≤()}n n X x ω≤∈F ，则称1()(()())n X X X X ωωω== 为n 维随机变量或n 维随机向量，而称111()(,,){:(),,()}n n n F x F x x P X x X x ωωω==≤≤1()nn x x x R =∈为X 的联合分布函数.根据概率的性质，不难证明n 维随机变量1()[()()]n X X X X ωωω== 的联合分布函数1()(,,)n F x F x x = 具有下列性质.1）对于每个变元1(1,,),()(,,)i n x i n F x F x x == 是单调不减函数， 2）对于每个变元1(1,,),()(,,)i n x i n F x F x x == 是右连续的. 3）对于n R 中任意区间11(,](,;;,]n n a b a b a b =11111(,,)(,,,,,,)nn i i i n i F b b F b b a b b -+=-∑1111,1(,,,,,,,,,,)ni i i j j j n i j i jF b b a b b a b b -+-=<+∑ 1(1)(,,)0nnF aa +-≥ 4）111,,lim (,,)0,1,2,,lim(,,)1n n x n x x F x x i n F x x →-∞→∞===可以证明，对于定义在n R 上有上述性质1）~4）的实函数1()(,,)n F x F x x = ，必存在概率空间(,,)P ΩF 及其上的n 维随机变量1()[()()]n X X X X ωωω== ，其联合分布函数为1()(,,)n F x F x x = .对于n 维随机变量，在应用中常见的也是有两种类型：离散型和连续型.若随机向量1()(()())n X X X X ωωω== 的每个分量()(1,,)i X i n ω= 都是离散型随机变量，则称X 是离散型随机向量.对于离散型随机向量1()(()())n X X X X ωωω== 也是用分布列描述它的概率分布.1,,11{:(),,()}n x x n n p P X x X x ωωω===其中i i x I ∈，i I 是离散集，1,2,,i n = . 这时，1()[()()]n X X X X ωωω== 的联合分布函数11,,11,,(,,),()n i i nn x x n x y i nF y y p y y R ≤==∈∑若存在定义在n R 上的非负函数1()(,,)n f x f x x = ，对于任意1()n n y y y R =∈ ，随机向量1()(()())n X X X X ωωω== 的联合分布函数 1111()(,,)(,,)n y y nn n F y F y y f x x dx dx -∞-∞==⎰⎰则称X 是连续型随机向量，1()(,,)n f x f x x = 称为X 的联合分布密度.若将随机变量的概率分布看成总质量为1的质量分布，那么，随机变量的分布函数就是质量分布函数，分布密度就是质量分布密度，分布列就是质点系的质量分布. 在这种看法下，随机点落在任一区域的概率就是该区域的质量.设随机点12()(()())X X X X ωωω==的联合分布函数12()(,)F x F x x =，那么X 落在微分区间111222(,](,;,]x x dx x x dx x x dx +=++的概率11112222{:(),()}P x X x dx x X x dx ωωω<≤+<<+112212211212(,)(,)(,)(,)F x dx x dx F x x dx F x dx x F x x =++-+-++12(,)dF x x于是，12(()())X X X ωω=落在平面上的区域D 的概率1212{:(()())}(,)P X X dF x xωωω∈=⎰⎰DD若12(()())X X X ωω=有联合分布密度12()(,)f x f x x =，那么，12121(,)(,)d F x x f x x d x d x =，所以 121212{:(()())}(,)P X X f x x dx dx ωωω∈=⎰⎰DD一般地，若1()(()())n X X X X ωωω== 的联合分布函数1()(,,)nF x F x x = . 记11111(,,){:(),,()}n n n n n dF x x P x X x dx x X x dx ωωω<≤+<≤+那么，1(()())n X X X ωω= X 落在n R 中的区域V 的概率11{:(()())}(,,)n Vn P X X V dF x x ωωω∈=⎰⎰若1()(()())n X X X X ωωω== 有联合分布密度1()(,,)n f x f x x = ，那么111(,,)(,,)n nnd F x x f x x d xd x=. 所以111{:(()())}(,,)n Vn n P X X V f x x dx dx ωωω∈=⎰⎰例1.1 设二维随机变量1(()())X X X ωω=度合分布布密度 2212121211()(,)exp{()},,22f x f x x x x x x π==-+-∞<<∞求随机变量1）1Y =2）212arg()Y X X = 3）12()Y Y =Y 的分布密度.解 1）设1Y 的分布密度为11()p y . 显然，当10y ≤时，11()0p y =. 当10y >时1111111111(){:}{:}p y dy P y Y y dy P y y dy ωω=<≤+=<≤+2211221111122y y ey dy y edy ππ--==所以21211111,0()0,0yy e y p y y -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩2）设2Y 的分布密度为22()p y . 当202y π≤≤时，22222(){:p y d y P y Y ω=<≤ 22}y dy +=21222{:arg(,)}P y X X y dy ω<≤+222201122rerdrdy dy ππ-∞==⎰当20y <或22y π>时，显然22(0)p y =，所以222102,()20,y p y ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 3）设12()Y Y =Y 的联合分布密度为12(,)p y y ，那么，当120,02y y π>≤≤时，121211112222(,){:}p y y dy dy P y Y y dy y Y y dy ω=<≤+<≤+1121222{:,arg(,)}P y y dy y X X y dy ω=<≤+<≤+21211212y y ed y d yπ-=当10y ≤或2[0,2]y π∈时，显然，12(,)0p y y =. 所以212112121,0,02(,)20,yy e y y p y y ππ-⎧⎪>≤≤=⎨⎪⎩其他定义6 设(){(),}i X X X t T ωω==∈是一族随机变量，如果对于任意2n ≥和11,,,,,n n t t T x x R ∈∈ ，有111{:(),()}{:()}n ini i n i i i P X x x x P Xx ωωωωω=≤≤=≤∏ （1.1）则称{(),}i X t T ω∈是独立的.若1{(),}X X t T ω=∈是一族离散型随机变量，式（1.1）等价于111{:,,}{:}n in ni i n i i i P X x x x P Xx ωω=====∏式中，i x 是ii X 的任意可能值，1,2,,i n = .若{(),}i X X t T ω=∈是一族连续型随机变量，式（1.1）等价于111(,,)()n i ni i n i i i f x x f x ==∏其中11,,,nni i i i f f f 分别是11(,),,,nni i i i X X X X 的分布密度.独立性是概率论中的重要概念，可以说概率论或随机过程中任何重要的结果都是在这种或那种独立性假设中得到的. 在实际问题中，判断一族随机变量或一族随机事件是否独立，通常是根据直观的想法. 若它们之间有什么关系，就可以认为它们是独立的. 例1.2 在例1.1中的1Y 、2Y 是独立的.例1.3 设i X 表示某电话交换台在[0,]t 时间段接到的呼唤次数，则随机变量族{,0}t X X t =≥不是独立的. 若k T 表示第1k -次呼唤与第k 次呼唤的时间隔，那么可以认为随机变量族{,1,2,}k T k = 是独立的.§3 随机变量的数字表征分布函数是随机变量概率分布的完整描述，但是找出随机变量的分布函数不是容易的事. 另一方面，在实际问题中描述随机变量的概率特征，不一定需要找出它的分布函数，往往只需要找出描述随机变量概率特征的几个表征值就够了. 定义7 设随机变量X 的分布函数为()F x ，||()x dF x ∞-∞<∞⎰，则称()EX xdF x ∞-∞⎰为X 的数学期望或均值.若X 是离散型随机变量，分布列{}0,1,2,k k p P X x k ===这时0kk k EX xp ∞==∑若X 是连续型随机变量，分布密度()f x ，这时()EX xf x dx ∞-∞=⎰若将随机变量的概率分布量看成总质量为1的质量分布，那么随机变量的数学期望正好是质量分布中心. 下面给出的随机变量的方差，在力学中相当于惯性矩. 定义8 设X 是随机变量，若2EX <∞，则称2()x D E X EX - 为X 的方差. 方差表示随机变量取值的疏散程度.定义9 设X 、Y 是随机变量，22,EX EY <∞<∞，则称[()()]XY B E X EX Y EY -- 为X 、Y 的协方差，而X Y ρ为X 、Y 的相关系数.若0XY ρ=，则称、X Y 是不相关的.相关系数X Y ρ表示X 、Y 之间的线性相关程度的大小.两个随机变量不相关与独立，在数学上是不同的，但在实际问题中很难区别.定理 1 设1()[()()]n X X X X ωωω== 是n 维随机变量，联合分布函数，1()(,,)n F x F x x = . 1()(,,)n g x g x x = 是n 元连续函数，则111(,,)(,,)(,,)n n n Eg X X g x x dF x x ∞∞-∞-∞=⎰⎰证 记1()n Y g X X = ，那么12(,,)()Eg X X EY yP y Y y dy ∞-∞==<≤+⎰1((,,))n yP y g X X y dy ∞-∞=<≤+⎰记11{(,,):(,,)}n n V x x y g x x y dy =<≤+ ，那么1111(,,)(,,)(,,)(,,)n n n n VVEg X X y dF x x g x x dF x x ∞∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰111(,,)(,,)(,,)n n n g x x yd g x x dF x x ∞-∞≤=⎰⎰111(,,)(,,)(,,)n n n g x x g x x dF x x ≤∞=⎰ 11(,,)(,,)n n g x x dF x x ∞∞-∞-∞=⎰⎰根据定理1，若X 的分布函数为()F x ，那么22()()()x D E X EX x EX dF x ∞-∞=-=-⎰当X 是离散型随机变量，分布列(),0,1,k k p P X x k ===则20()x kk k D xEX p ∞==-∑当X 是连续型随机变量，分布密度为()f x ，则2()()x D x EX f x dx ∞-∞=-⎰若X 、Y 的联合分布函数为(,)F x y ，那么()()(,)XY B x EX y EY dF x y ∞∞-∞-∞=--⎰⎰当X 、Y 是离散型随机变量，分布列(,),,0,1,2,ij i j p P X x Y y i j ====那么,()()XY ij ij i j B xEX y EY p =--∑当X 、Y 是连续型随机变量，联合分布密度为(,)f x y ，那么()()(,)XY B x EX y EY f x y dxdy ∞∞-∞-∞=--⎰⎰随机变量的数学期望和方差有如下的性质.1）()E aX bY aEX bEY +=+，其中a 、b 是常数. 2）若X 、Y 独立，则()E XY EXEY =3）若X 、Y 独立，则22()D aX bY a D X b D Y +=+，其中a 、b 是常数. 4）（Schwarz 不等式）若22,EXEY<∞<∞，则222()EXY EX EY ≤5）（单调收敛定理）若0n X X ≤↑，则lim n n EX EX →∞=6）（Fatou 引理）或0n X ≥，则(lim )lim ()lim (lim )n n n n n n n n E X E X EX E X →∞→∞→∞→∞≤≤≤1）、2）、3）由定理1易得，5）、6）的证明需要测度论的知识. 我们只证4）. 对于任意t ，令2222()()2()u t E tX Y t EXtE XY EY =-=-+因()0u t ≥，所以，()0u t =的判别式小于或等于0. 故222()EXY EX EY ≤§4 特征函数、母函数和拉氏变换随机变量的分布函数是其概率分布的完整描述. 但分布函数一般来说不具有连续性、可微性等良好的分析性质. 这给利用分布函数研究随机变量带来困难. 本节引入随机变量的特征函数、母函数、拉氏变换，它们既能完整地描述随机变量的概率分布，又有良好的分析性质.定义10 设随机变量X 的分布函数为()F x ，则称()()(),iiXiixg t E ee dF x t ∞-∞=-∞<<∞⎰为X 的特征函数.特征函数()g t 是实变量t 的复值函数. 由于||1iix e =，所以，随机变量的特征函数永远存在.当X 是离散型随机变量，分布列(),0,1,2,k k p p X x k ===则0()kitx k k g t ep ∞==∑当X 是连续型随机变量，分布密度为()f x ，则()()itxg t ef x dx ∞-∞=⎰随机变量的特征函数()g t 具有下列性质. 1）(0)1;|()|1;()()g g t g t g t =≤-=. 2）()g t 在(,)-∞∞上一致连续.3）若随机变量X 的n 阶矩n EX 存在，那么X 的特征函数()g t 可微分n 次，且当k n ≤时，有()(0)k k k g i EX =.4）()g t 是非负定的. 即对任意正整数n 及任意实数1,,n t t 及复数1,,n z z ，有,1()0nl k l k k l g t t z z =-≥∑5）设12,,,n X X X 是独立随机变量，则1n X X X =+ 的特征函数1()()()n g t g t g t =式中，()k g t 是k X 的特征函数，1,2,,k n = . 6）随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.7）令X 的特征函数为()g t ，b aX Y +=，则Y 的特征函数为)()(at g e t g ibtY =我们只证4）和5）.(),1,1()()k l l nni t t xk l k k lk l k l g t t z z edF x z z ∞--∞==-=∑∑⎰(),1()k l l ni t t xk k l edF x z z ∞--∞==∑⎰21||()xkn it k k ez dF x ∞-∞==≥∑⎰所以，()g t 是非负定的.因1,,n X X 相互独立，那么1,,nitX itX e e 也相互独立，所以11()()()n nit X X itX itX itX g t EeEeE ee++===11()()nitX itX n Ee Eeg t g t == 对于n 维随机变量亦可以定义特征函数.定义11 设1()n X X X = 是n 维随机变量，则称()g t 1(,,)itX n g t t Ee '===1,nk kk it X E e=∑1()nn t t t R =∈为X 的特征函数.若1()n X X X = 的联合分布函数为1()(,,)n F x F x x = ，那么X 的特征函数11()(,,)nk kk it X n g t g t t Ee =∑==11()1(,,)n n i t x t x n edF x x ∞∞++-∞-∞=⎰⎰特别，若1(,)n X X X = 是连续型n 维随机变量，随着合分布密度1()(,,)n f x f x x = ，那么x 的特征函数11()111()(,,)(,,)n n i t x t x n n n g t g t t ef x x dx dx ∞∞++-∞-∞==⎰⎰n 维随机变量的特征函数有类似于一维随机变量的特征函数的性质. 特别，n 维随机变量的联合分布函数与其特征函数是一一对应的. 若1()n X X X = 的n 个分量独立，那么111(,,)()()n n n g t t g t g t = ，其中()k k g t 是k X 的特征函数，1,2,,k n = . 因为特征函数有良好的分析性质，今后，n 维随机变量（特别是连续型的n 维随机变量）的概率特征，我们通常用特征函数描述. 常见的随机变量的特征函数见表1.1.研究非负整数值随机变量，母函数是有力工具. 定义12 设X 是非负整数值随机变量，分别列(),0,1,2,k p P X k k ===则称()()kkk k P s E s p s ∞==∑为X 的母函数.由于01k k p ∞==∑，所以()P s 在||1s ≤绝对收敛.母函数具有下列性质.1）非负整数值随机变量X 的分布列由其母函数唯一确定. 2）设()P s 是X 的母函数，若E X 存在，则(1)E X P '= （1.2）若D X 存在，则2(1)(1)[(1)]D X P P P ''''=+- （1.3） 3）独立随机变量之和的母函数等于和的母函数之积.4）随机个独立同分布随机变量之和的母函数等于原来两个母函数的复合. 即若12,,,N X X 是独立非负整数值随机变量，且12,,X X 同分布，则1Nkk Y X==∑的母函数()(())H s G P s = （1.4）式中的()G s 、()P s 分别是N 、1X 的母函数.证 1）01(),0,1,nkkk k k k n P s p s p s n ∞==+=+=∑∑于是()1()!(1)()n kn k k n Ps n p k k k n p s ∞=+=+--∑令0s =，有()(0)!n n Pn p =，故()(0)!n n Pp n =，0,1,2,n = .2）由0()kk k P s p s ∞==∑，所以11()k kk P s kps∞-='=∑，令10s →→，得1(1)kk E X k pP ∞='==∑.同理可证2(1)(1)[(1)]D X P P P ''''=+- 3）易证.4）00()()(,{})kkk k l H s P Yk s P Yk N l s ∞∞∞========∑∑00()(|)kk l P Nl P Y k N l s ∞∞======∑∑001()()lkjl k j P N l P x k s∞∞======∑∑∑()[()][()]ll P Nl P s G P s ∞====∑ 由公式（1.2）和式（1.4）易得1EY ENEX = （1.5）式（1.5）在应用中是很重要的. 例如N 表示某棵果树的花朵数，k X 表示第k 朵花结果数，1,2,k = ，则1Nkk Y X==∑为该果树结果数. 由式（1.5），该果树平均结果数1EY ENEX =. 又如N 表示某段时间商店的顾客人数，k X 表示第k 个顾客购买商品的金额，1,2,k = ，则1Nkk Y X==∑为这段时间商店的营业额，由公式（1.5），该商店在这段时间平均营业额1EY ENEX =.常见的非负整数值随机变量的母函数见表1.1.研究非负值随机变量的概率分布，利用拉低变换较方便. 定义13 设非负值随机变量X 的分布函数为()F x ，则称()(),Re 0sXxsL s Eee dF x s ∞--==>⎰为X 的拉普拉斯-斯梯尔吉斯（Laplace-Stieltjes ）变换，简记L-S 变换。
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e ix cos x i sin x
S P ( X x k ) P ( X x k ) s k
L f ( x ) 0 f ( x ) e -sx dx , s C 1 -itx F f ( x ) f ( x ) e dx 2
P ( X g 1 ( y )) F ( g 1 ( y )) P ( X g 1 ( y )) 1 F ( g 1 ( y ))
g单调增 g单调减
dF ( g 1 ( y )) fY ( y ) f ( g 1 ( y )) ( g 1 ( y ))y dy
四、随机变量的数字特征 （1）数学期望 EX
xk B1
pk
EX xdF( x )
Lebesgue - Stieltjes 积分
X 离散 X 连续
EX
x k pk
k
xf ( x )dx
（2）方差 DX （3）协方差 BXY （4）相关系数
DX E( X EX )2
n 2
P ( Bn )
n 1
P ( A1 ) P ( An ) P ( An1 )
n lim P ( A1 ) P ( Ak ) P ( Ak 1 ) n k 2
lim P ( An ) ,
BXY E[( X EX )(Y EY )]
XY
r
rXY
BXY DX DY
五、关于随机变量数字特征的三个重要不等式 （1）均方误差不等式 （2）Chebyshev不等式
E ( X EX )2 E ( X c )2 , c R
P X EX DX ε 2 , ε 0 ε
第1章 概率论知识的回顾与补充
1.1 概率空间
1.2 随机变量及其概率分布 1.3 随机变量的特征函数、母函数 1.4 随机向量及其概率分布 1.5 随机变量的条件数学期望 课后作业
1.1 概率空间
1.1.1 概率论的几个基本概念
对随机现象的认知活动 的总称，具有如下特征 ：
偶然性 规定性 可重复性
An F , n 1,2,, 且 A1 A2 , 若
n
lim P ( An ) P ( lim An )
n
则称P是下连续的 .
若条件为 A1 A2 , 则称P是上连续的.
设P满足概率定义的规范性和正则性，则
P具有有限可加性， P具有可列可加性 (上) 连续性. P具有下
k 0
复习提示 （1）变换的性质与反演公式？ （2）各种变换之间的联系
1.3.2 随机变量的概率特征函数
设 F ( x ) 为随机变量 X 的概率分布函数 , 称
g ( t ) Ee itX e itx dF ( x ) , 其中 t , x R . 为 X 的概率特征函数 .
三、分布函数与概率函数的联系
F ( x ) f ( t ) dt
x
F ( t ) pk
x k x
f (t )
dF ( x ) dx
pk F ( xk ) - F ( xk - 0)
P ( X B 1 )
P ( X B 1 ) B f ( x )dx 1
n 1
, Bn An An1 ,
则 Bi B j ( i j ) 且
于是 An Bn ，
n 1
P lim An P P An Bn n n1 n1
j 1 i 1
n
n
证明 由 X j 相互独立可知 e
g X (t ) EeitX
Ee it ( X1 X 2 X n ) E (e itX 1 e itX 2 e itX n )
itX j
相互独立 , i 1,2,, n , 则
Ee itX1 Ee itX 2 Ee itX n
2 ( n) t ( n ) F ( m , n )
1.2.4 随机变量函数的分布
设X ~ F ( x ) ( 或 f ( x )) , Y g ( X ), 则 在 g 的值域上：
一、分布函数
FY ( y ) P (Y y ) P ( g ( X ) y )
二、密度函数
( 3) 设 X j , j 1,2,, n 相互独立 , X X j , 则
k 1 j 1 n n
n
n
Ee
k 1 j 1
i ( tk t j ) X
k j
n n it X E k e itk X j e j k 1 j 1 n n it X it k X E k e j e j k 1 k 1 E k e
证明 仅证P是下连续的情形. () 设 P 具有有限可加性且是下连续的 .
又设 Ai F , i , j 1,2,, Ai A j （i j） ,
n n n 由于 0 P Ai 于是n 1有 P Ai P ( Ai ) , 1， i 1 i 1 i 1
g光滑连续
三、均值与方差
EY Eg ( X ) g ( x )dF ( x ) DY Dg( X ) g ( x ) Eg ( X ) dF ( x )
2
1.3 随机变量的特征函数、母函数
1.3.1 常用的数学变换
（1）Euler公式 （2）幂级数变换 （3）Laplace变换 （4）Fourier变换
（3）Cauchy-Schwarz不等式
E( XY )2 EX 2 EY 2
1.2.3 随机过程中常用的概率分布
一、计数过程中的常用的分布
（1）核心分布 P ( )
（2）涉及的主要分布
b( n, p )
Ge ( p )
Nb( r , p)
复习提示 （1）分布的定义（概率函数） 与性质 （2）分布出现的典型环境 （3）各种分布之间的联系
由于 | e itx | 1 ，g ( t ) 必然存在 . (1) g ( t ) 由 F ( x ) 唯一确定 . ( 2) g ( t ) 在 ( , ) 上一直连续 .
( 3) | g ( t ) | 1 , g ( 0) 1 .
( 4) g ( t ) g ( t ) . (5) g ( k ) (0) i k EX k , k n , EX k .
二、随机变量的概率函数
设 A 是一个随机事件，则称随机变量 1 , e A I A (e ) 0 , e A
为事件 A 的示性函数. 显然 I A (e ) ~ b(1, P ( A)) .
(2) 概率函数 - 分布律与密度函数的统一描述
例1 二项分布的分布律 n x f ( x | n, p ) p (1 p )n x I{0,1,,n} ( x ) x 例2 均匀分布的密度函数 1 f ( x | a , b) I[a ,b] ( x ) ba
g X i (t ) .
i 1
n
设 x 是 F ( x ) 的连续点 , 则
1 T e ity e itx F ( x ) lim lim g( t )dt . y T 2 T it
说明 由反演公式可知分布函数与特征函数相互唯一确定。
1.3.3 非负值随机变量的母函数
所以 P Ai P ( Ai ) , i 1 i 1
即P具有可列可加性 .
（） 设P具有可列可加性，则P具有有限可加性.
又设 An F , n 1,2,, 且 A1 A2 , 及 B1 A1 , B2 A2 A1 ,
正则性
可列可加性
Ai F , i 1,2,, Ai A j ( i j ) ,
P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
称P ( A)为事件A的概率 . 称P为( S , F )上的概率，
1.1.2 可列可加性的等价命题
从而 所以正项级数 P ( Ai ) 收敛 ，
i 1
n
n lim P P ( Ai ) , Ai n i 1 i 1
又P是下连续的， 所以
n n lim P P lim Ai P , Ai Ai n i 1 n i 1 i 1
定义 设非负整数值随机变量 X 的分布律为 pk P( X xk ) , 称
P ( s ) Es pk s k ,
X k 1
为 X 的概率母函数 .
母函数的性质
(1) pk 可由 P( s) 唯一确定 . (2) EX P(1) , EX 2 P(1) P(1) .
k 1 n 2 it k X
0.
(7) 设Y aX b , a, b R , 则 gY (t ) e itb g X (at ) .
it ( aX b ) itb 证明 gY (t ) Ee e itb Ee i ( ta ) X e g X (at ) .
(8) 设 X j , j 1,2,, n 相互独立 , X X j , 则 g X ( t ) g X j ( t ) .
n
即P是下连续的.
1.2 随机变量及其概率分布
1.2.1 随机变量的定义
设（S , F , P ) 为 概率空间 ,
随机变量，简记为 X .