积性凸函数且是积性凹函数的充分必要条件
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
函数的凹凸性定义
函数的凹凸性定义函数的凹凸性是描述函数曲线在图像上的弯曲程度和凸出程度的性质。
在数学中，凹（concave）和凸（convex）是两个相对的概念，用于描述一条曲线或曲面的形状。
具体来说，凹函数表示曲线向下弯曲，凸函数表示曲线向上弯曲。
凹凸性在优化问题和最优化理论中具有重要的应用。
在函数的凹凸性中，凸函数有许多优良的性质，例如在最优化问题中，任何凸函数的局部极小值就是全局极小值，这为优化问题的求解提供了有效的方法。
一元函数的凹凸性：凹凸性的定义可以通过一元函数的二阶导数来描述。
对于一个二次可导的一元函数f(x)，函数的凹凸性可以通过函数的二阶导数f''(x)的符号来判定。
若f''(x)>0，则函数f(x)在区间内上凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)<f(x2)；若f''(x)<0，则函数f(x)在区间内下凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)>f(x2)；若f''(x)=0，则函数f(x)在该点的凹凸性无定义，需要通过其他方法来判定。
总结起来，根据函数的二阶导数的符号，可以确定函数的凹凸性。
当f''(x)大于零时，函数是凸的；当f''(x)小于零时，函数是凹的。
多元函数的凹凸性：对于多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，凹凸性的定义和判定需要通过二阶偏导数来描述。
定义：对于定义在凸集上的连续可微函数，如果对于集合上的任意两点x和y，有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，其中0≤λ≤1，则函数f(x)是凸函数。
根据多元函数的定义和凸函数的性质，可以确定一个多元函数的凹凸性：1. 凸函数：如果多元函数的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）是半正定的，则函数是凸的。
即，对于函数的 Hessian 矩阵 H，如果对于任意的向量 v，有v^THv ≥ 0，则函数是凸的。
凸函数的性质及应用
凸函数的性质及应用摘要：函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。
而凸函数则是其中重要的一类。
本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。
探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。
同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。
关键词：凸函数性质应用1.凸函数的概念与等价定义1.1凸函数的概念人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。
这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。
定义1.1.1([1])设是定义在区间上的函数,若对上的任意两点 , ,常有，则称为上的凸函数。
定义1.1.2([2])若在定义上成立不等式（≠），则称是上严格的凸函数。
1.2凸函数的等价定义定义1.2.1设在区间上有定义，在上成为凸函数当且仅当对任意 ,∈ ,任意∈(0,1)有若不等号反向，则称为上的凹函数。
若“≤”改为“<”，则称为上的严格凸函数。
2.凸函数的简单性质在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。
定理2.1([4])设在区间I上为凸函数，对任意，则:时，在区间上为凸函数，时，在区间上为凹函数。
定理2.2([5])设，是间I上的凸函数，则其和也是I上的凸函数。
定理2.3([6])若设，是间I上的凸函数，则为I上的凸函数定理2.4([7])设是单调递增的凸函数，u=f(x)是凸函数，则复合函数也是凸函数定理2.5设为区间I上的凹函数，，则为区间I上的凸函数，反之不真。
3.凸函数的判定定理利用凸函数的定义判别函数是否为凸函数，常常并不方便。
因此需要建立一系列的便于应用的判别方法。
定理3.1若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数是上的一个凸函数。
定理3.2若在间上存在，则在上成为凸函数的充分必要条件是：在上4.关于凸函数的几个重要不等式4.1不等式定理4.1.1（凸函数的基本不等式）设是间上的凸函数，则对中任意个数成立不等式，当仅当时等号。
函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。
本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。
在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。
一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。
本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。
关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。
函数的凹凸性知识点总结
函数的凹凸性知识点总结函数的凹凸性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数图像的曲率和变化趋势。
凹凸性不仅在数学中有着重要的应用，而且在优化问题和经济学中也有广泛的应用。
本文将从基本概念、性质和判定方法等方面介绍函数的凹凸性知识点。
1. 基本概念1.1 定义对于定义在区间上的函数 f(x)，如果对于任意的 x1、x2 ∈ (a, b) 以及0 ≤ λ ≤ 1，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 在区间 (a, b) 上为凹函数。
若不等式中的不等号方向反向，则函数f(x) 在区间 (a, b) 上为凸函数。
1.2 凹凸函数的图像特征•凹函数的图像在任意两点间的部分位于这两点连线的下方。
•凸函数的图像在任意两点间的部分位于这两点连线的上方。
•凹函数的一次导数是递减的。
•凸函数的一次导数是递增的。
2. 凹凸性的性质2.1 二阶导数的判定法则凹函数：如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 上二阶可导，且二阶导数f’’(x) ≤ 0，则函数 f(x) 在 (a, b) 上为凹函数。
凸函数：如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 上二阶可导，且二阶导数f’’(x) ≥ 0，则函数 f(x) 在 (a, b) 上为凸函数。
2.2 极值点与凹凸性对于凹函数，极小值点是凹函数的最小值点，而对于凸函数，极大值点是凸函数的最大值点。
2.3 凹凸函数的和与积•如果函数 f(x) 和 g(x) 都是在区间上的凹函数，则它们的和 f(x) + g(x) 也是凹函数。
•如果函数 f(x) 和 g(x) 都是在区间上的凸函数，则它们的和 f(x) + g(x) 也是凸函数。
•如果函数 f(x) 是在区间上的凹函数，g(x) 是凸函数，则乘积 f(x)*g(x) 既可以是凹函数，也可以是凸函数。
3. 凹凸性的判定方法3.1 一阶导数法•对于凹函数，一阶导数f’(x) 在区间上递减。
函数的凸性及相关性质
函数的凸性及相关性质设f 是定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-则称f 为区间I 上的凸函数或下凸函数。
上述不等式表明弧在弦下，故曰下凸。
性质 1. f 为区间I 上的凸函数的充要条件是对于I 上任意三点123x x x <<，总有下述不等式成立。
313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---根据这一性质，若函数f 即是凸函数又是凹函数，则不等式变为等式，立即可得f 是一线性函数。
性质2. 开区间上的凸函数必是连续函数。
证明 记开区间为(,)a b ，任取0(,)x a b ∈，不妨设10x x x <<，根据性质1的第一个不等式得到[]001001()()()()x x f x f x f x f x x x --+≤-，又取02x x x <<，根据性质1的第二个不等式得到02022020()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--。
结合这两个不等式得[]00201002012020()()()()()()x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x x x ----+≤≤+---两边同时令0x x +→，得00lim ()()x x f x f x +→=，即()f x 在0x 右连续。
同理可证()f x 在0x 左连续。
0x 是任意取的，所以()f x 在(,)a b 内连续。
【注】这一结论在闭区间上有可能不再成立，在开区间上也无法加强为一致连续。
性质3. （詹森不等式）设f 为区间I 上的凸函数，则对于任意i x I ∈，0i λ>，11ni i λ==∑有11()n ni i ii i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑性质4. 设f 为区间I 上的凸函数，则函数()(0)()f x f F x x-=单调递增。
函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。
若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。
凸函数的几个等价定义讲解
本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。
关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。
函数凹凸性应用
函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？咱们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y x =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与咱们日常适应上的称号是相类似的.或更准确地说：从几何上看,假设y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；假设y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的方式用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,那么有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易患1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-凸凹函数的概念凸性也是函数转变的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）那么称f为I 上的凸函数。
假设()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）那么称f 为I 上的严格凸函数。
关于凸函数的几个充分必要条件
关于凸函数的几个充分必要条件文{化I教I育科关于凸函数的几个充分必要条件葛丽萍(黑河学院数学系,黑龙江黑河164300)——黑龙江——技信息摘要:凸函数是一类非常重要的函数,在许多领域有广泛的应用.从不同角度举证了凸函数的六个充分必要条件,并给出了详细的证明.关键词:凸函数;充分必要条件;等价凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的导数满足不等式凸性,不仅可以科学,准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质以及充要条件也显得尤为重要.定义:设f为定义在区间上I的函数,若对I内的任意两点xI'x和任意实数(0,1),总有f(Axa+(1A))A,()+(1一A),()则f称为I上的凸函数.如果不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数.定理1:x)为区间(a'b)上的凸函数的充要条件是:对(a,b)内的任意三点xi<x2<x,皆有下列不等式:f(x.)一,()f(x,)f(x)x2一xlx3一x2f(x2),(),,f(x)一f(xOf(x3)一f(xD——=x2一xax3一工x3一xz定理2:设f(x)在(a.b)内可导,则下列论断等价:(1)fix)是(a,b)内凸函数;(2)f(x)在(a.b)内单调上升;(3)对a,b)内任意两点xl,x,恒有f(x)≥f(xI)+f(x1)(xr_x1)定理3:"x)为因司(a,b)上的凸函数的充要条件是:对任意自然数nl,成立下列不等式:,(∑)∑A#f(xe)=1k=lVXk∈(a,b),Vkt>0,l+'''+l证明:充分陛显然成立必要性应用数学归纳法:设f(x)为区l司(a,b)上的凸函数,当m=2时,此结论正好是凸函数的定义.设m=k时,结论成立,即对任意的X,X,…x,e (a.b)及/>0,i=l,2,'.'k,l+ (1)都有,(∑)∑^,)现在证明当m=k+l时结论也成立,为此,任取非负实数.,,…入,满足12+…¨=l,并取x1,x2,…,X"∈(a,b),不妨设0<h¨<1,令F=hl++k,=,i=l,2…k,贝01,+2,++_1,于是有_,(++^几)十十,),又因=1,再由x)的凸性的定义得,,f(A十十.)=,((++^)十^".+|),(xI十+)+",(+1))++九)]+")一^1,(1)++,()+～+1.厂(+1)二,()+…+,()+,(州)即当m=k+l时结论也成立,于是根据数学归纳法对任意自然数ill,结论都成立.定理4:"x)为区间(a,b)上的凸函数的充要条件是:fix)在(a.b)上处处左,右可导,并且其左,右()()上二(x2)一^(x0,,,x2∈(Ⅱ,),<x2证明:必要性设f(x)为区间(a.b)上的凸函数,对于固定的ye(a'b),作函数gy()f(x～)-f(y),x#y,x∈(a,b)l~t定理l知,岛(x)作为x的函数是增函数,于是任意的x,xz,y∈(a'b),且(】c卿),有…f(x)4(x9≥,从而二苎的增x-x,x2……一一一函数且有下界,丛是Y的减函数且有上界,从而存在极限,且():li生=>Ilm!=:,)'同理,当x勰u>x.时,有f(x)f(x~)>f(x)-f(xO因此,,f,:lim=>!Hx一>lim!二!苎2=()即有不等式()()兰()()x2一xI充分眭设x)在(a,b)上可导,首先证明对于任意的x.,x∈(a,b),xl<x:,有inf()生二坐sup()先证明第二个不等式.令M=sup(),inf()"'如果MI+,则第二个不等式成立.因此只考虑M为有限的情形,令g(x):Mx-fix),显然g(x)在(a'b)处可导,且g,.(x)/>0,Vx(XDX),现在证明g(x)是(x,xz)中的不减函数,即g(z)≤g(zz),Vz-,z2Ex1,x2),Zl<Z2事实上,'ix∈(xj'x),V e>0,存在8l,使得g(x+h)-g(x)~<-sh,Vh∈10,8I,现在设z=sup{x∈z,z~(x)-g(z1)≥(x—z1)l,我们来证明xmz.如果不然,则有z<z,从而由z的定义和x)的连续眭知g(z)-g(z,)≥_E(z-_zt),但对于z,又有8>J0,使得g(z+h)一g(z)-sh,Vh∈l0,8J,这显然与z的定义相矛盾.于是由e>O的任意性知g(z1)≤g(z2),VZDZ2∈(XDX2),Zl<Z2成立.根据g(x)的定义,上式也可以写成Mz:-f(z:)≥Mz.-fz1),VZI,Z2∈(x1,X2),ZI<Z2由此利用f(x)的连续l生得到=(x1)≤M:sup()T-X为了证明第一不等式,令P(x)--f(x)-mx即可.其次证明x)为区间(a,b)上的凸函数对(a,b)内的任意iX1<X2~3,由第一部分证明得到丛譬{…infqq…)<丛二,【型于是由定理1知fix)为区间(a,b)上的凸函数.定理5:x)为区间(a'b)上的凸函数的充要条件是:对(a,b)内的任意三点Xl<X~<X,恒有l1,(五)lA—l1x,()l0I1f(x3)l证明将此行列式按第一列展开,则有l1,)l△=l1,I一[xx3x3f(x2)Hx-f(x3x3f(x1)]l1,+【,()xzf(xa)]J1^_,){于是△=xa,1啪充分是f(x)I1x3,l为区间(a,b)上的凸函数.定理6:设"x)为区间(a,b)内连续,则x)是凸函数的充要条件是:不等式,()J,+)在任何含于(a,b)的闭区间【x-h,x+h](h>o)成立. 证明必要性VItk<h,因x)是凸函数,则,()=,("r)+(+f)),(xt)+,(+=(D+,0+r))于是,()(xt)+,+出即2hf(x)r(,(—t)+f(x+t))dt--2am则有似)J一)充分反证法:假设"x)不是(a,b)内的凸函数,由定理3,对hi=1,1,l1,存在x1,x(a,b),使得争xl+手x)>争陬x.)+f(x)】.不妨设xt<x:,作辅助函数g(x)_--f(x)_k(x_x.)x),其中k:尘.则s(_,(半)一(≠)f(xa)_,(警)一【,()+,(>0又因f(x)在(a,b)内连续,故g(x)也在(a,b)内连续,当然在Ix.,x内连续,因此在Ix.,内能够取到最大值,记g(x)在xI'x内取到最大值为g(xo), XoEIx.,x.取h>0,[xo-h,xo+h]C[x.,x,当Irish时,有g(xo)-g(xo+t)I>0,且不恒为0,因此,f[g(xo)-g(Xo+ t)]dt~O,即f.g(xo)dt>I.g(xo+t)dt,即2hg(xo)>{gJ_hJ- h(x0+t)dt,再由g(x)的定义得到2hf(xo)>Jf(x)dt,矛盾,假设不成立,故x)为(a,(下转32页)一193—科科l技I论l坛车载终端自主型智能公交管理系统介绍钱隐1,2(1,重庆大学计算机学院,重庆4041002,四川美术学院,重庆401331)摘要:针对车栽终端自主型智能公交管理系统,简要介绍了OPS这种新型的里程定位技术.关键词:智能公交;OPS;定位引言随着社会经济的发展,交通拥挤,线路阻塞和交通事故频繁发生正越来越严重的困扰着世界上的各大城市.汽车工业发展引发的道路交通不能满足需求的种种问题越来越突出.一般来说,解决车和路的矛盾不外乎两个办法:一是控制需求,最直接的办法就是限制车辆的增加;二是增加供给,也就是修路.然而有限的土地和经济制约等使得道路建设不可能达到相对满意的里程数,从而使这两个办法都有其局限性,不能从根本上解决交通拥挤的矛盾.为了在不扩张路网规模的前提下提高交通路网的通行能力,近年来,把道路,车辆等凡与交通有关的所有一切都归为一体,通过综合运用信息通信技术,电子技术以及其他的科学技术把它们联系起来提高交通运输的效率,并称之为智能交通系统(~teUigentTransportationSystem),简称ITSI".APTSf先进的公共交通系统,AdvancedPublicTransportationSystem)是ITS重要的子系统,它是将高度先进的信息化通信技术应用于传统的公共交通系统中,使公共交通系统智能化.APTS能够使交通供给满足实时,动态的交通需求,提高公共交通的吸引力,准时,快速和舒适,提供快速,便捷,经济的换乘服务,实现调度与运营的高效,公交管理智能化等目标121. 1系统总体设计框架设计公共交通智能调度系统总体设计与实现基本框架构想是:结合ITS对公共交通智能化的逻辑结构,物理结构以及公交智能化管理系统的总体设计要求,首先确定公共交通智能化管理系统与信息流程,再结合公交车辆的调度体制,确定定位方式,通信系统,计算机网络系统和调度系统的方案131.该系统能够优化公共交通运营管理模式,将极大提高公交系统的管理水平和运营效率.在现有交通设施的基础上,利用智能公共交通系统总体方案,优化公交运营管理模式,提高运营效率,节约能源,降低环境污染,形成一套具有高技术含量的适应于大中城市需求的技术方法和实现手段[41.2OPS技术的提出ITS的基础问题是定位,判断～种技术是否优越必须切实结合它的使用场合与需求.城市公共交通的特点主要是:(1)公交线路及沿线站点的设置由城市交通规划确定,不会经常发生变动;(2)公交车辆通常情况F应定线行驶,定点停靠;(3)大中城市的公交车辆在高楼林立,立交桥纵横的环境中运行.长期以来,业界的普遍观点是采用GPS(全球定位系统,GlobalPositions,rstein,l技术该技术是通过全球卫星信号测定的车辆所在位置经纬度,经分析处理后在电子地图上显示车辆位置.GPS虽然发展已久,是比较成熟的定位技术,但由于GPS卫星信号易被地形,地物遮挡, 导致定位精度大为降低,甚至无法实用,尤其在高楼林立,立交桥纵横的大城市车载终端接收到的卫星信号,很难准确测定出车辆所在位置的经纬度,导致电子地图上显示的车辆位置和实际情况有较大出入,而且GPS通信费用昂贵,因此并不适合公交系统.针对公共交通的特点,文献【5】提出了一种新型定位技术——0PS(0d0meterPositionSys—tern,里程定位技术).该技术紧紧抓住公交车辆"定线行驶,定点停靠"的特点,只需通过车载终端采集车辆在固定线路上的行驶里程和方向就可实现车辆定位,并且不受车辆运行环境的制约,有效客服GPS信号易受干扰,多径效应强, 使用费昂贵的弱点.3关键技术及原理3.1测量里程OPS测量里程的原理与出租车的计程器相同,即利用车辆转速传感器采集车轮转动原始数据.传感器与车辆转动轴相连,每转动一周输出一个脉冲.转动轴与车轮之间有对应的比例系数,不同车型的比值会有所不同.由于公交车辆车型有限,可以通过测量脉冲数和里程,计算得到各种车型转动轴和车轮间的比例系数.此后就可根据脉冲数和比例关系得到车辆行驶里程.3-2车辆定位传统的电子地图是由车辆的经纬度信息来定位的,而OPS是根据里程信息将公交线路沿线站点及站间抽样点的地理坐标映射为与起点站的距离.车辆在固定线路上行驶,根据车辆行驶的方向和里程就可知车辆的地理坐标,进而在电子地图上定位车辆.3-3车载终端原理车载终端的存储器预存每个站点对应的里程数,接通汽车电源并开机后,终端处于待机状态,里程和速度置零.车载终端接收到调度人员的发车指令后蜂鸣器响,开始语音报站,并由待机状态转为运行状态.由里程传感器获取车辆行驶里程,并由微处理器计算出速度.当车辆行驶里程与存储器内某站点的里程在许可范围内吻合时,微处理器控制启动语音报站.车辆是否超速,赖站,堵车,由OPS参数设置判断.车载终端采集的数据经无线网络传输给监控中心, 并定时检查网络通信状态.当发生紧急情况,如车辆事故,车辆故障,治安告警等,驾驶员按下对应按钮后,该信息立即发送到应急响应中心. 4设计原则及系统功能性特征可靠性原则:本系统涉及公交车辆实时动态慨挎和高教调度指挥,因此系统的稳定可靠运行是系统设计中的首要考虑因素.易于扩展性原则:随着时代的发展,会有越来越多的功能被纳入到此系统中来,因此,在系统的设计时,还应充分的考虑到今后系统的发展方向,使其能满足今后业务的扩展.节约成本原则:考虑到公交系统长期处于薄利甚至亏损的情况,在系统设计的时侯,多为用户考虑,使系统各项功能在软硬件实现方式上都能有机的结合,保证系统合理的性能价格比,尽量降低使用费.另外还包括完整性原则和先进性原则.系统功能性特性如下:实现车载终端信息采集,并保证终端与监控中心之间实时,可靠的信息交互;实现车辆动态监控和按不同条件进行查询车辆运营统计情况;实现车辆状态分;实现车辆自动调度;实现车辆运营情况分析统计和报表自动打印;班次和里程,车辆运营情况和告警信息统计以及实现公司各部门的不同管理权限.小结:这里对智能公交管理系统的框架作了总体介绍,对一种新型定位方式——0PS(里程定位),简要介绍了其关键技术,并对系统的设计原则和功能性特征作了总体说明.参考文献【l】王笑京.我国智能交通的发展现状与未来咖. 中国计算机用户,2002,3.【2】胡卉,申金升.I与城市交通可持续发展的探讨m.中国环境管理,20o3:6-8.[3]MasakiD.CSystemdesignforintelligent transportationsystems,Proceedingsofthe1996 IEEEIntelligentV ehiclesSymposium,1996: 323—326.[g]IntelligentTransportationSy~emsBenefits:1999UpdateMitmtekSystemIne.May,1999.『51陈继努.用里程表对定线车辆跟踪定位的装置【P】.中国专利03252843.4.2004.责任编辑:胡明月(上接193页Jb)内的凸函数.从以上关于凸函数的充:要条件可以看到凸函数具有良好的性质,但由于凸函数理论的广泛性和深刻性,对于凸函数理论的研究还需要进一步的深入和推广.参考文献【l】华东师范大学数学系.数学分析删].第三版北京: 高等教育出版社.2004.f2德祥,刘绍武.教学分析方法选讲阿哈尔滨:黑龙江教育出版社.199<[3德兴.凸分析基础IMl北京:科学出版社,1995.『4I刘鸿基,薛明志.关于凸函数的两个充分必要条件『Jl菏泽学院,2006.责任编辑:胡明月一32—。
(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
关于凸函数的两个充要条件
关于凸函数的两个充要条件
1 什么是凸函数
凸函数是一种特殊的数学函数，它的变化率是恒定的，且它的图像朝一个方向攀爬，不存在下降的情况出现。
它的特点是，如果画在函数图像上任意两点之间连一条曲线，曲线都会在函数上方，也就是说曲线所在的区域和函数图像之间有一种凹凸关系，因此称之为凸函数。
2 凸函数的充要条件
1. 比较两个变量之间的关系时，如果这两个变量有一定的凸性，说明它们之间的关系是持续累积的，任意一个变量的变化都会比较稳定，而不会出现反复的情况。
2. 对于凸函数，在求解最优解，针对最大或最小值时，函数存在着一个极小或极大值，在极值点处函数变化率都是恒定的，也就是斜率变化率是最小或最大，这也是凸性函数存在的一个必要条件。
在双曲函数、对数函数以及指数函数等都是凸函数，它们都满足了以上两个充要条件，可以有效的帮助进行最优解的求解。
凹函数与凸函数的关系
凹函数与凸函数的关系函数是数学中的重要概念，它在自然科学中也有着广泛的应用。
凹函数与凸函数是函数中常见的两种形态，它们在经济学、物理学、工程学中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍凹函数与凸函数的基本定义、性质和关系。
一、凹函数的定义及性质凹函数在数学中有着重要的地位，它的定义具有如下形式：函数f(x)在区间[a,b]上是凹函数，当且仅当对于任意的x1,x2∈[a,b]，以及任意的实数λ∈[0,1]，均有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)其中，λ表示x1和x2之间加权平均的比例。
凹函数的性质如下：1.如果函数f是凹函数，则对于任意两点x1，x2，它们的连线的下面区域都在函数图像上方。
2.凹函数的导数是单调递增的。
具体地，如果函数f是在区间[a,b]上的凹函数，则在[a,b]上它的导函数f′(x)是单调递增的。
3.凹函数的级数拟合具有优良的近似性。
也就是说，对于连续的、凸函数f(x)，我们可以用级数来刻画它在整个实数轴上的各种性质。
4.凹函数的积分性质也是比较有特点的。
具体地，假设函数f(x)在区间[a,b]上是凹函数，那么在[a,c]和[c,b]上的积分和f(c)有如下关系：∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx ≤ (b-c)f(c)+(c-a)f(a)其中，c∈[a,b]。
二、凸函数的定义及性质凸函数的定义具有如下形式：在实数区间[a,b]上的函数f(x)是凸函数，当且仅当对于任意的x1,x2∈[a,b]，以及任意的实数λ∈[0,1]，均有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)其中，λ表示x1和x2之间加权平均的比例。
凸函数的性质如下：1.凸函数的导数是单调递增的。
具体地，如果函数f是在区间[a,b]上的凸函数，则在[a,b]上它的导函数f′(x)是单调递增的。
2.凸函数的极小值是唯一的。
也就是说，函数f具有唯一的极小值点。
几何平均凸(凹)函数及其性质
几何平均凸(凹)函数及其性质几何平均函数是指将一组数的几何平均值与这组数的某个变量之间的函数关系。
几何平均凸函数是指几何平均函数单调递增，而几何平均凹函数则是指几何平均函数单调递减。
几何平均凸函数和凹函数都具有一些特殊的性质。
例如，对于任意的自变量x1 和x2，如果x1 < x2，则几何平均凸函数f(x1) < f(x2)，而几何平均凹函数则有f(x1) > f(x2)。
这意味着几何平均凸函数是单调递增的，而几何平均凹函数则是单调递减的。
另外，几何平均凸函数和凹函数在x 趋近于0 时也有一些特殊的性质。
例如，当x 趋近于0 时，几何平均凸函数的值也会趋近于0。
这意味着几何平均凸函数在x 趋近于0 时会变得非常小。
而对于几何平均凹函数来说，当x 趋近于0 时，函数的值也会趋近于无穷大。
这意味着几何平均凹函数在x 趋近于0 时会变得非常大。
几何平均凸函数和凹函数在数学和统计学中有广泛的应用。
例如，在计算几何平均的过程中，可以使用几何平均凸函数来计算一组数的几何平均值。
几何平均凸函数也常用于分析经济数据、统计学分析和信息学等领域。
几何平均凹函数也有广泛的应用。
例如，在统计学中，几何平均凹函数可以用来计算一组数的几何平均值的变化
趋势。
在计算机科学中，几何平均凹函数也可以用来分析算法的时间复杂度。
总的来说，几何平均凸函数和凹函数都是重要的数学工具，在许多领域有广泛的应用。
它们的性质也是值得探究和思考的。
凸函数与凹函数的关系
凸函数与凹函数的关系凸函数与凹函数是数学中相互关联且互为补充的两种函数形式。
凸函数是指其图像位于其切线以下的函数，而凹函数则是指其图像位于其切线以上的函数。
两者联合起来构成了函数论中的重要组成部分，被广泛应用于金融、科学、工程等领域。
在几何上，任何一个凸函数的任意两点都可以被用直线连接起来，而这条直线完全位于该函数的图像上方。
而凹函数则是相反的，任意两点可以被连接起来，并且该直线完全位于函数图像的下方。
具体来说，凸函数的定义可以表示为：$ f(tx_1+(1-t)x_2) ≤ tf(x_1)+(1-t)f(x_2) $，其中$ 0≤t≤1$， $x1 $和$ x2 $可以是函数的任意两个点， $f(x) $表示函数的取值。
凹函数的定义则是：$ f(tx_1+(1-t)x_2) ≥ tf(x_1)+(1-t)f(x_2) $其中同样也是$0≤t≤1$，$x_1$和$ x_2 $是任意两个点，$f(x)$ 是函数的取值。
然而，这两种函数之间也有着一些密切的联系和互为补充的关系。
例如，一个函数既可以是凸函数，又可以是凹函数，这类函数被称为严格凸函数或严格凹函数。
同时，一个函数的一部分区域可以是凸函数，而在其他区域则是凹函数，这类函数被称为分段光滑函数。
凸函数和凹函数的关系也被广泛应用于优化问题中。
通过凸函数与凹函数之间互为补充的特性，使计算变得更加高效、简单。
例如，在优化问题中，我们经常需要求解的是某种参数最小化或最大化问题。
这时，如果函数是凸函数，则可以使用更加高效的优化算法，而如果函数是凹函数，则可以使用更为简单的算法。
总而言之，凸函数与凹函数是一对相互依存、互为补充的关系，它们在数学、工程学、金融和科学等领域都扮演着至关重要的角色。
因此，对这两种函数的深入理解和掌握对于提高数学能力和实际问题的解决能力具有非常重要的意义。
凹函数与凸函数的判定方法
凹函数与凸函数的判定方法凹函数与凸函数是数学中常见的概念，它们在优化、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。
在判定一个函数是凹函数还是凸函数时，我们可以使用以下方法进行判断。
一、利用函数的二阶导数一个函数是凹函数的充要条件是它的二阶导数大于等于零。
具体来说，如果一个函数f(x)在定义域上的二阶导数f''(x)大于等于零，则该函数是凹函数。
反之，如果f''(x)小于等于零，则该函数是凸函数。
同样地，一个函数是凸函数的充要条件是它的二阶导数小于等于零。
如果一个函数f(x)在定义域上的二阶导数f''(x)小于等于零，则该函数是凸函数。
反之，如果f''(x)大于等于零，则该函数是凹函数。
二、利用函数的一阶导数除了利用二阶导数的方法外，我们还可以使用一阶导数来判定函数的凹凸性。
具体来说，一个函数是凹函数的充要条件是它的一阶导数单调递增。
如果函数f(x)在定义域上的一阶导数f'(x)单调递增，则该函数是凹函数。
反之，如果f'(x)单调递减，则该函数是凸函数。
同样地，一个函数是凸函数的充要条件是它的一阶导数单调递减。
如果函数f(x)在定义域上的一阶导数f'(x)单调递减，则该函数是凸函数。
反之，如果f'(x)单调递增，则该函数是凹函数。
三、利用函数的凸性和凹性定义除了利用导数的方法外，我们还可以利用函数的凸性和凹性定义来判定函数的凹凸性。
一个函数是凹函数的定义是：对于定义域上的任意两个点a和b，以及任意的0<=λ<=1，有f(λa+(1-λ)b)<=λf(a)+(1-λ)f(b)。
如果一个函数满足该定义，则该函数是凹函数。
反之，如果对于任意的a、b和λ，有f(λa+(1-λ)b)>=λf(a)+(1-λ)f(b)，则该函数是凸函数。
我们可以利用函数的二阶导数、一阶导数以及凸性、凹性定义来判定一个函数的凹凸性。
函数凸凹性及应用
一．定义
若函数 f (x) 在区间 I 上有定义，若 f '' (x) 0 ，则称 f (x) 为区间 I 上的凸函数. 反之，
称 f (x) 为区间 I 上的凹函数
二．常用性质
1.
f
(x)
在
I
上为凸函数 x1,
x2 ,xn
I
，f
(
x1
x2 n
xn
)
f (x1)
2.
注：可以看到，该题第二问就是在证明分离性定理，第三问便是用切线来放缩零点.
应用三:詹森不等式
例 4（2018 全国一卷）已知函数 f (x) 2 sin x sin 2x ，求 f (x) 的最小值.
应用四：哈达玛不等式与极值点偏移
例 5．（2016 全国一卷）已知函数 f (x) (x 2)e x a(x 1)2 有两个零点.
F (x) F (x0) 0 ，即对任意的正实数 x ，都有 f ( x) g( x) .
（3）证明：不妨设 x1 x2 ，由（Ⅱ）知 g( x) n n2 x x0 ，设方程 g( x) a 的根
为 x2 ，可得
x2
a n n2
x0.
，当
n2
时，
g(x)
在
,
上单调递减，又由（Ⅱ）知
|
a 1 n
2.
1
解析：（2）证明：设点 P 的坐标为 ( x0, 0) ，则 x0 n n1 ， f ( x0 ) n n2 ，曲线 y f ( x)
在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 y f (x0) x x0 ， 即 g(x) f (x0) x x0 ， 令
F (x) f (x) g(x) ，即 F(x) f (x) f (x0) x x0 ，则 F (x) f (x) f (x0)
第四章二阶条件
T 0
p(t
)
Fy
(t,
y*,
y*
'
)
d dt
Fy (t, y*, y*')dt [Fy p(t)]tT
0 [Fy ( y y*)]tT V[ y] V[ y*] [Fy ( y y*)]tT
上页证明得到： V[ y] V[ y*] [Fy ( y y*)]tT
垂直终结线的横截条件：[Fy]tT 0
在固定端点的情况下
dV
d
0
Fy
d dt
Fy
0
欧拉方程
Fyy y(t) Fyy y(t) Fty Fy 0
在可变终结点（终结状态或终结时间可变）的情况下
T
F (t, y, y)dt
取极大值的充分条件。
0
Fyy p2(t) 2Fyy p(t) p(t) Fyy p2(t)正定是V ( y)
T
F (t, y, y)dt
取极小值的充分条件。
0
类似地，可以得到二阶必要条件：
Fyy p2(t) 2Fyy p(t) p(t) Fyy p2(t)半负定是V ( y)
最大化V[ y]
Fyy 0 Байду номын сангаас于所有 t [0,T ]
最小化V[ y] Fyy 0 对于所有 t [0,T ]
勒让德必要条件证明（对于固定端点问题）：
根据 (4.2)
d 2V
d 2
T 0
Fyy p2 (t) 2Fyy p(t) p(t) Fyy p2 (t) dt
T vdu uv T
2V
T 0
(Fyy
p2
Fyy
p2
2Fyy
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１ 积 性 凸 函数 的几 何 意 义
定义
， ——一 ＿
设 区间 Ｉ （ ， 。 ， （ ） 定义 在 上 的正值 函数 ， 果 ＶＸ ， ， Ｃ Ｏ ＋。 ）厂 是 如 ｌ Ｅ１ 有 ｚ
， ——— ——— ——— 一 ＿ ， —— 一 ＿ ， ————— ———— ——一 ＿
分 必要条 件是 ： 在 上 ， ｚ 一Ｋ （ ， 为 常数 ， Ｏ ． 厂（ ） Ｋ Ｋ＞ ） 厂 ） （ ） ｆ（ ） （ ） ｚ ＋ｘ ｘ ｚ 一ｚ［ （ ） 。 ｚ ］一Ｋ。 。 １ ＋Ｋ。 一１ ｚ 。 ｚ —０ － （ ） 。 一Ｋ。 。。 ＿ ． 由推论 ２ ， （ ） 知 厂 ｚ 在 上既 是 的积性 凸函数 ， 又是 积性 凹函数 ． 必要 性．若 厂（ ） ｚ 在 上 既 是 的 积性 凸 函 数 ， 是 积性 凹 函 数 ， 又 在 内 （ 含 端 点 ） 取 ｚ ， 。且 不 任 ｚ ， ｚ ＜ｚ则 由几 何 意义 ， ｚ 在 ， 。上 的 图形与 函数 。 厂（ ） ｚ］
现在 讨论 积性 凸函数 的几何 意 义． 考虑 曲线
—
Ｆ（ ：厂 １ 一 １ 『 一 『 ） （ ） — 矗 １ ＿ —嚣 ＿ ，
厂ｆ） ｋ ｆ） ｆ．－ ｎ ｆ ． ｉ ｎ ） ｆ （ ， 一王， ） ｌ
一
（ 一口 ［ｎ （ 。 一量， ） １ ） 量， ） ｎ （ １ ］
维普资讯
第 ２ ９卷 第 ２期
２０ 年 ０ ０７ ３月
武
汉
工
程 大
学
学
报
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｍ ａｒ ． ２ ７ ００
Ｊ Ｗ ｕ ａ ｉｓ． ． ｈ ｎ ｎｔ
Ｔｅ ｈ ｃ．
文 章 编 号 ：０ ４— ７ ６ ２ ０ ） ２— ０ ５— ３ １ ０ ４ ３ （０ ７ ０ ０ ８ ０
积性 凸函数且是 积性 凹函数的 充分 必要条件
熊 德之
（ 汉 工程 大 学理 学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘
件．
要： 首先讨论 了积性 凸函数 的几何 意义 ， 着证明出 厂 ） 接 既是积性 凸函数 又是积性 凹 函数 的充分必要条
关键 词 ： 性 凸 函数 ｝ 性 凹 函 数 ； 积 积 几何 意 义 ； 分 必 要 条 件 充 中 图 分 类 号 ： １４ ０ １ ４ １ ０ ７ ； ７ ． ３ 文献标识码 ： Ａ
Ｆ（ 一厂 １ １ — 毒 ＝ ■ 一 — 巷 ） （ ） － １ Ⅱ 三 『 ｚ ＿
的图形 的上方 ； 果 厂 ） 如 （ 一厂（：！。≤ ［ （ ）。厂（ ） 一） 厂 ］［ ：］一意 味着 积 性 凹 函数 厂 ） 区 间 ，￣＿ 在 ｘｑｋ
的曲线恒 位 于 函数
是 ： ∈（ ， ） Ｖ ａ Ｏ １ 有
厂 一） ［ （ ）。厂 ：］一． （ ：！。≤ 厂 ］［ （ ） 。 ｇ ） 尸 （ ） 厂 在 上 是单 调 不增 函数． 一 ／ （ ）
（） ２
引 理 ２ｚ 设 函数 厂 ） 区间 上 连 续 、 ［ （ 在 可导 ， 厂（ 是 上 的积 性 凸 函数 的充 分 必 要 条 件 是 ： 则 ） 推 论 ２ 设 函数 ｆ ｘ 在 区间 上连 续 ， 在 内具 有二 阶导 数 ， 厂（ 是 上 的积 性 凸 （ 函数 （） 且 则 ）
第 ２ 卷 ９
的 图形 的下 方．
２ 积性 凸 函数 且 是 积 性 凹 函数 的充 要 条 件
定理 证 设 函数 厂（ ） 区间 上 连 续 ， 厂（ ） 是 上 的积性 凸 函数 ， ｚ在 则 ｚ既 也是 上 的积 性 凹函数 的充 充分 性．如果 厂（ ） ｚ ＝Ｋｘ ， Ｋ＞０ 知 厂（ ＞ Ｏ并且 ， ｚ）
Ｆ（ 一厂 １ １ —五 『 『 ） （ ） － ＿ 巷 ． —意 。 ＿
收 稿 日期 ：０ ６— ３ ９ ２ ０ ０ —０
作者简介 ： 熊德之 （９ ９～ ， ， １ ４ ）男 湖北武 汉人 ， 副教授． 研究方 向 ： 概率统 计及应用数学 ．
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是 ： ∈（ ， ） Ｖ ａ Ｏ １ 有
厂（ ：；。≥ ［ （ ） 。厂 ） 。 一） 厂 ］［ （ ：］一．
（） １
由引理 １立 即可得 到 推论 １ ． 推论 １ 设 函数 厂（ 在 区 间 上 连 续 ， ∈Ｉ 则 厂（ 为 上 的 积性 凹 函数 的充 分 必要 条 件 ） Ｖｚ ， ： ． ）
曲线上对 应 于点 — ａ １ 的纵 坐标 为 ： ～
ｙ ＝ｆ ｘ ） １ — 卷 （１ － １ （ ：；。— 老 一） １ 一厂 １（ ２ｘ ） — ］ ｉ （ ）ｚ ／ １— — 矗 ＝ — 一一
厂（ １（ ｌ［ ／ （ １（ ｘ ） ｆ（ １）一 一［ （ ）。厂 ２］一 ， （ 一 ／ １ ） ａ ａ （） （））一一厂 ｚ ） ｆ（ ２／ ｘ ） 。 厂 １］［ （ ） 。 口 ２ ） ｎ Ｚｆ ｆ 因此 ， 果 厂（ 一厂（ ： 一 ） 如 ） ；。≥ （ ） 。厂（ ：］～， 味着 积性 凸 函数 厂（ 在 区间 ， ］ 的 曲 ］［ ） 意 ） ｚ上 线恒 位 于 函数
ｆ ￣ ： （ ｘ ） 厂 ）（： ／ ≥√ （ ， ）
（（ ： 厂 ）（ｚ） 厂√ ） ≤√ （ 厂 ）
成立 ， 则称 厂（ 为 上 的积性 凸 （ ） ） 凹 函数 ． 引理 １２ 设 函数 厂（ 在 区间 上 连续 ， ， ∈Ｉ 则 厂（ 为 上 的 积性 凸函数 的充 分必 要条 件 ［ ３ ） Ｖ ： ． ）
的充 分 必要条 件 是 ： 不等 式
厂 ） （ ＋ｘ ｘ 厂， 一 ［ ） Ｏ （ ） （ 尸 ） ｆ（ ） 『 ） （ （ ］≤ ≥Ｏ 在 内恒成 立 ． 证 根据 引 理 ２对 函数 ｇ ） 尸 （ ／ （ 利 用单 调性 的 判定 法 即可 证 明推 论 ２ ， （ ＝ ）厂 ） ．