第10讲 导数的应用(一)----单调性
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
第10讲 导数与函数的单调性(解析)-2023年高考一轮复习精讲精练必备
第10讲 导数与函数的单调性一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系2.第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性.二、考点和典型例题1、不含参函数的单调性【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-【答案】B 【详解】解：因为()221e e 1xx f x -=+，所以()()2224e 0e 1xxf x -'=<+，所以()f x 在R 上单调递减，则()()22f x f x >+等价于22x x <+，解得12x -<<，即原不等式的解集为()1,2-.故选：B.2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，【答案】D 【详解】∵()()3e x f x x =-，∵()()()e 3e 2e x x xf x x x '=+-=-，当x ＞2时，()0f x '>，∵f (x )的单调递增区间是()2+∞，． 故选：D ．3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【详解】 设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e 2eex x xxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =， 所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<， 所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >.故选：C.4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数()ln (0,0,)a f x x x bx x a b R =->≠∈ (1)当0b =时，讨论()f x 的单调区间；(2)当0a <时，若()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，求证：2211e a x a ab-<≤--. 【解析】(1)当0b =时，11()(ln 1)(ln 1)a a f x x a x b x a x --=+-=+'所以，当0a <时，()f x 在10,e a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上增，在1e ,a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上减；当0a >时，()f x 在10,e a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上减，在1e ,a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上增.(2)方法一：参数分离1()ln 0ln a a f x x x bx x x b -=-=⇔=有两个不同的零点()1212,x x x x <令1()ln (0)a h x x x x -=>，则2()[(1)ln 1]a h x x a x -=-+'令2()[(1)ln 1]0a h x x a x --+'==得11a x e -= 当110ax e -<<时，()0h x '>，所以：()h x 在110,a e -⎛⎫⎪⎝⎭递增；当11ax e->时，()0h x '<，所以：()h x 在11,a e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减.显然1x >时，()0h x >.作出()h x 的图象如下：所以：∵110ab h e -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以：11121a x e x -<<<，所以，11212111a a x e a a-->≥+=--； 下面证明：21x eab ≤-.要证：2211x bx eab ea≤-⇔≤-，因为122ln a x x b -= 所以：22211ln a bx x x ea ea≤-⇔≤- 由（1）得()12221ln aa x x f x f e ea -⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭.所以21x eab ≤-，原不等式得证.综上所述：2211a x a eab-<≤--. 方法二：部分参数分离零点12,()ln ax x g x x x <=.从而()()112212,,,g x bx g x bx x x ==为()y g x =的图像与y bx =交点的横坐标.对给定的a ，令0x 使得()()000f x f x '==，即()0001000ln 10aa x lnx bx x a xb -⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，得110ax e-=，存在且唯一，此时()y g x =的图像与y bx =有唯一交点.又(1)0g =，由（1）得，当0a <时，11()e e ag x g a -⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，所以()221e g x x b ab=≤-， （这里要说明0b >）又因为11201e11ax x a->=>+-成立. 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()0a xf x x a x -=⋅>，（0a >且1a ≠）.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()()1h x f x =-有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)增区间为20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)()()1,,+∞e e【解析】(1)当2a =时，()22xf x x -=⋅，()()()222ln 2222ln 222x x xx x x x x f x -⋅-⋅'==当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()0f x '<； 故()f x 的单调递增区间为20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)由题意知()1f x =在()0,∞+有两个不等实根，ln ()1ln l n n l a x f x x a a x x a x x a a ==⇔=⇔=⇔，令()ln x g x x=，21ln ()xg x x -'=，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；又0x +→，()g x →-∞，()1g e e=，()10g =，x →+∞，()0g x →，作出()g x 的图象如图所示：由图可知ln 10a a e<<，解得1a >且a e ≠，即a 的取值范围为()()1,,+∞e e .2、含参函数的单调性【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()2,2-【答案】A 【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值. 综上所述：2a <-满足条件 故选：A2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥， 设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a <<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点B ．当0a <时，()f x 无极大值点和极小值点C ．当0a >时，()f x 有最大值D ．当0a <时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【详解】 由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误；当0a <时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增； 所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC 【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.5．（2022·广东佛山·三模）已知函数()ln(1)1af x x x=+--，其中0x >，a ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a =时，0x 是()f x 的零点，过点()()00,ln 1A x x +作曲线ln(1)y x =+的切线l ，试证明直线l 也是曲线1e x y +=的切线． 【解析】(1)解：因为()ln(1)1af x x x=+--定义域为()0,∞+， 所以2221()1(1)a x ax a f x x x x x ++'=+=++， ∵当0a ≥时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有减区间；∵当0a <时，令()0f x '=时，1x =2x =且120x x <<，令()0f x '>得x >()f x的增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 令()0f x '<得0x <<()f x的减区间为⎛ ⎝⎭(2)解：当2a =时，0x 是()f x 的零点，所以()()0002ln 110f x x x =+--= 即()000022ln 11x x x x ++=+= 由ln(1)y x =+得11y x '=+，由1e x y +=得1e x y +'=． 所以过点()()00,ln 1A x x +作曲线ln(1)y x =+的切线l 的方程为()()0001ln 11y x x x x -+=-+（*） 假设曲线1e x y +=在点()11,B x y 的切线与l 斜率相等，所以1101e1x x +=+，所以()101ln 1x x +=-+，即()10ln 11x x =-+- ()01ln 11101e e1x x y x -++===+ 把()10ln 11x x =-+-代入（*）式得 ()()()()00000011ln 1ln 111ln 1111y x x x x x x ⎛⎫=++-+--=-+- ⎪++⎝⎭()00001000021ln 111111x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-== ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭所以点()11,B x y 在切线l 上． 所以直线l 也是曲线1e x y +=的切线3、根据函数的单调性求参数【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．[)9,+∞ D ．()9,+∞【答案】C 【详解】1122ln 03xa x x x -->，即1122ln ln 33a a x x x x ->-，令()ln 3af x x x =-，由题意得()f x 在(1,3]上单调递减，故()103af x x'=-≤，即3≥a x 在(1,3]上恒成立，则9a ≥， 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3log a f x x ax =-（0a >且1a ≠）在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．91,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间 1(,0)2- 内有意义，则311()0,22a -+14a ∴，设3,t x ax =-则 log a y t =，2 3t x a '=- ( 1 ) 当 1a >时，log a y t = 是增函数， 要使函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，需使 3t x ax =- 在区间1(,0)2-内内单调递增，则需使230t x a '=-≥，对任意1(0)2x ∈-恒成立 , 即23a x ≤对任意1(,0)2x ∈-恒成立；因为1(,0)2x ∈-时，23034x <<所以0a <与14a >矛盾，此时不成立.( 2 ) 当01a <<时，1a y og t =是减函数，要使函数()()3)0,1(a f x log x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增， 需使3t x ax =-在区间1(,0)2-内内单调递减，则需使230t x a '=-≤ 对任意1(,0)2x ∈-恒成立，即23a x ≥对任意1(,0)2x ∈-恒成立，因为213(,0),0342x x ∈-<<时，所以34a， 又1a <，所以314<a . 综上，a 的取值范围是314<a 故选：B3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥在R 上恒成立， 即4120m ∆=-≤，∵13m ≥．故m 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：B.4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在R 上的函数()f x 满足(0)0f =，且()f x 的导函数()'f x 的图象如图所示，记|(1)|(1)f f α'=-+，|(1)|(1)f f β'=+-，则（ ）A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．2αβ=【答案】C 【详解】因为导函数的图象为直线，且(0)0f =， 所以函数()f x 为过原点的二次函数， 设2()(0)f x ax bx a =+≠，所以由导函数图象可知()f x 在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则0a <， 又由12ba->，得2b a >-， 则(1)20,(1)0f a b f a b a '=+>=+>->， (1)20,(1)0f a b f a b '-=-+>-=-<，所以|(1)|(1)2f f a b α'=-+=+，|(1)|(1)2f f a b β'=+-=-+， 所以(2)(2)20a b a b a αβ-=+--+=<， 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数()()e 1xf x x -=+(1)求函数()f x 的极值；(2)设1t ，2t 为两个不等的正数，且211212ln ln t t t t t t -=-，若不等式12ln ln 0t t λ+>恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】(1)函数()()e 1xf x x -=+定义域为R ，求导得()e x f x x -=-'，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，因此，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 所以当0x =时，函数()f x 有极大值1，无极小值.(2)令1212,ln ln t t x x ==，即1212e ,e x xt t ==，则21121221121212121211e e e e ()()e eln ln x x x xx x t t t t t t x x x x f x f x -=++⇔-=-⇔=⇔=-， 依题意，两个不等的实数12,x x 满足12()()f x f x =，且不等式120x x λ+>恒成立，不妨令12x x <，由(1)知，()f x 在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减，且当0x >时，()0f x >恒成立，而(1)0f -=，因此有1210x x -<<<，由120x x λ+>知，21x x λ>-，0λ>，则有120x x λ>->，而()f x 在(0,)+∞上递减，从而有112()()()x f x f x f λ=<-，即111111e ex x x x λλ--++<，两边取对数得：1111ln(1)ln(1)x x x x λλ+-<-+，即111ln(1)ln(1)(1)0x x x λλλλ+---+<，110x -<<，令()ln(1)ln(1)(1)xg x x x λλλλ=+---+，10x -<<，1(1)(1)()(1)1(1)()1x x g x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0g x '>，则()g x 在(1,0)-上单调递增，()(0)0g x g <=，符合题意， 当01λ<<时，即110λ-<-<，当10x λ-<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)λ-上单调递减， 当10x λ-<<时，()(0)0g x g >=，不符合题意， 综上得：1λ≥，所以实数λ的取值范围是[1,)+∞.4、函数单调性的应用【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数()e 11xf x ax =-++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),e -∞- B ．(],e -∞- C ．()e,0- D ．()e,∞-+【答案】A 【详解】由题意知方程e 11xax -+=-有两个不同的实数根，令()e 0e 112e 0x xxx g x x ⎧≥=-+=⎨-<⎩，，，，作出()g x 的图象如图所示，数形结合可知直线y ax =-与函数()g x 的图象在()0,∞+上有两个不同的交点． 当直线y ax =-与函数()g x 的图象相切时，设切点为()00,P x y ，则00y ax =-，00e x y =，则00e xax -=∵，当0x >时，()e xg x '=，则()00=e x g x a '=-∵， 由∵∵可得01x =，()00e e xg x '==，∵e a ->，得e a <-， 故选：A ．2．（2022·全国·模拟预测）若关于x 的不等式()22ln 1e xm x x x +++≤在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．(],e -∞- C ．(],e -∞ D ．(],1-∞-【答案】A 【详解】依题意，()2ln 12e 0xx m x x ++≤->．令()()2ln 1e 0xx g x x x +=->，故()2222e ln x x x g x x +'=． 令()()222e ln 0x h x x x x =+>，则()22214e 4e 0x xh x x x x'=++>， 故()222e ln xh x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()212e 0h =>，222ee 212e 12e 10e eh -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，故()()0200min 0ln 1e x x g x g x x +==-． 由022002eln 0x x x +=，得022002e ln x x x =-，即()()02200ln 2e ln ln x x x =-，即()0000ln 2ln 2ln ln x x x x ++=-，故()()0000ln 22ln ln ln x x x x +=-+-．因为函数ln y x x =+在()0,∞+上单调递增，所以002ln x x =-，()00min 000ln 1ln 12x x g x x x x +=-=-=，故22m +≤，解得0m ≤. 故选:A ．3．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121x x f x -=+，若()()e 0xf f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞【答案】D 【详解】解：因为()f x 的定义域为R ，()()2121x xf x f x ----==-+，所以函数()f x 为奇函数， 因为()2121x f x =-+，所以函数()f x 在R 上单调递增. 因为()()e 0x f f ax +<有解，即()()e xf f ax <-有解，所以()()e xf f ax <-有解，由函数()f x 在R 上单调递增，可得e x ax <-有解.解法一：令()e x g x ax =+，则()e xg x a '=+.∵当0a >时，()0g x '>，函数()g x 在R 上单调递增，11e 10a g a -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，符合题意；∵当0a =时，()0g x >，不符合题意；∵当0a <时，令()0g x '=，得()ln x a =-；当()(),ln x a ∈-∞-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，因此()()()()min ln ln g x g a a a a =-=-+-，()min 0g x <， 解得e a <-.综上，实数a 的取值范围为()(),e 0,-∞-⋃+∞.解法二:若0x >，则e xa x ->有解. 令()()e 0x g x x x =>，则()()2e 1x x g x x -'=，当01x <≤时，()0g x '≤，()g x 单调递减，当1≥x 时，()0g x '≥，()g x 单调递增，所以()()min 1e g x g ==，故e a ->，即e a <-.若0x <，则e xa x -<有解，易知()e x g x x=恒小于零，所以0a -<，即0a >.若0x =，则()()()()1e 1003xf f ax f f +=+=>，不符合题意.综上，实数a 的取值范围为()(),e 0,-∞-⋃+∞.解法三：若0a <，如图，在同一平面直角坐标系内作出e x y =与y ax =-的图象，当直线y ax =-与函数e x y =的图象相切时，设切点为()00,e x x ，则切线方程为()000e e x xy x x -=-，再结合切线y ax =-过原点得01x =，故0e e x a =-=-，由e x ax <-有解，得函数e x y =的部分图象在直线y ax =-的下方， 所以，数形结合可知e a <-.若0a >，易知函数e x y =的图象必有一部分在直线y ax =-的下方，符合题意. 若0a =，由函数的单调性可知，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为()(),e 0,-∞-⋃+∞.故选：D4．（2022·山东威海·三模）已知函数()2ln af x x x x=-+．(1)当34a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明． ∵()()21212f x f x x x a-<--；∵()222ln 223f x a <+-． 【解析】(1)22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=>，当34a =时，2222232483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=，令()0f x '>，解得1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >，所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．(2)证明∵：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩，()()()()()122121211221212ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=--，将12x x a =代入得，()()()212121212ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，要证明()()21212f x f x x x -<--，只需证明()21212ln ln 22x x x x --<--，即2121ln ln x x x x -=- 因为120x x <<，所以210x x ->，只需证明21lnx x <=t ，则1t >，只需证明21ln t t t<-，即12ln 0(1)t t t t -+<>， 令1()2ln ,1h t t t t t =-+>，22221(1)()10t h t t t t --=--=<'，所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=， 所以12ln 0(1)t t t t-+<>，综上可知，()()21212f x f x x x -<-．证明∵：22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=> 设2()2g x x x a =-+-， 因为()f x 有两个极值点，所以Δ440(0)0a g =->⎧⎨<⎩，解得01a <<，因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->， 所以212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，由题意可知22220x x a -+-=，可得2222a x x =-+代入得，()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，令2210()2ln 2(12)33h x x x x x =+-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x--=+-='，当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭'，所以()h x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当3,2,()02x h x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭'，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <，由2(1),(2)2ln 223h h =-=-，可得()22ln8ln (2)(1)03e h h --=>，所以(2)(1)h h >，所以()2(2)h x h <，所以()222ln 223f x a -<-，即()222ln 223f x a <+-．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2e xf x x =，()()21ln 2e eg x x x =++．(1)讨论函数()f x 的单调性，并求函数()f x 的极值； (2)证明：对任意1x >，都有()()f x g x >． 【解析】(1)因为()2e x f x x =，所以()()e 2xf x x x '=+，由()0f x '>得0x >或2x <-，由()0f x '<得20x -<<，所以()f x 在()2,0-上单调递减，在(),2-∞-和()0,∞+上单调递增， 因此()()00f x f ==极小值，()()242f x f e =-=极大值． (2)要证对任意1x >，都有()()f x g x >，即证()221e ln 2e e x x x x >++对任意1x >恒成立，即证()2ln 21e ln 2e ex x x x +>++对任意1x >恒成立. 构造函数()e 1xh x x =--，0x ≥.因为()e 10xh x '=->在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在[)0,∞+上是增函数，故()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 因为1x >，所以2ln e 2ln 1x x x x +>++， 所以只需证()12ln 12ln 2ex x x x ++>++对任意1x >恒成立， 即证()12ln 12ln 20ex x x x ++-++>对任意1x >恒成立． 令()()()12ln 12ln 2ex x x x x ϕ=++-++，[)1,x ∞∈+，则()21212e 2110e e e e x x x xϕ-'=+--=-+>， 因此()x ϕ在()1,+∞上是增函数，所以当1x >时，()()3120ex ϕϕ>=->．所以当1x >时，()12ln 12ln 20ex x x x ++-++>恒成立． 故对任意1x >，都有()()f x g x >．。
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用
重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
压轴题10 导数的简单应用(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题10导数的简单应用题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○热○点○题○型一导数的计算及几何意义1.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.一、单选题1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．10x y ++=B ．230x y ++=C ．230x y --=D ．30x y --=2．若函数的图象在点处的切线方程为，则=a （）A ．1B ．0C ．－1D ．e．已知直线l为曲线A B．10C．5D与函数()的图象都相切，则a b+=（）A．1-B．0C．1D．35．曲线22e24xy x-=⋅+在1x=处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．32B．3C．4916D．4986．已知函数()()21220232023ln 22f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20197．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()f m a b=-成立，则称函数()f x 满足性质Ω，下列函数不满足．．．性质Ω的是（）A ．()23f x x x=+B ．()()211f x x =+C ．()1ex f x -+=D ．()()cos 12f x x =-对于C ，1x -+∈R ，()1e xf x -+∴=的值域为()0,∞+；()1e x f x -+'=- ，()f x '∴的值域为(),0∞-；则()f x 的值域不是()f x '值域的子集，C 不满足性质Ω；对于D ，12x -∈R ，()()cos 12f x x ∴=-的值域为[]1,1-；()()2sin 12f x x '=- ，()f x '∴的值域为[]22-,，则[][]1,12,2-⊆-，D 满足性质Ω.故选：C.8．已知函数()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，()f x '为()f x 的导函数，若()()()121f f x f x x'=+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为（）A 1-B ．15-C 1D ．15-二、多选题9．已知函数()332f x x ax =+-的极值点分别为()1212,x x x x <，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线10．若函数()()ln 12f x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．-1B ．3C ．1D ．2因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．设函数在区间,a b 上的导函数为f x ，f x 在区间,a b 上的导函数为f x ，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（）A ．1m >-B ．m 1≥C ．1m >D ．0m >○热○点○题○型二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.一、单选题1．函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为（）A ．(),0∞-B ．()ln2,+∞C ．(],ln2∞-D ．[)0,∞+【答案】C【详解】()2e xf x x =- ，()2e x f x ∴-'=，令()0f x ¢>，得ln 2x <，所以函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为(],ln2∞-.故选：C2．已知函数()2,0,ln ,,x a xf x x x a x⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩若()f x 在()0,∞+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎡⎤⎣⎦B ．[]e,2eC ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．[)e,+∞=A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．b c a<<【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--，因为()e 1x f x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，4．若函数满足xf x f x >-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【答案】B【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e sin xf x x =+，则不等式()π21e f x -<的解集是（）A ．1π,2+⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1π0,2+⎛⎫⎪⎝⎭C ．π1e 0,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1π1π,22-+⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞7．已知函数()，若存在0使得00恒成立，则0的取值范围（）A ．10,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．211,e 2e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．21,e 2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【详解】由00()()f t x f x t =+-，可得00()()f t t x f x +=+，设函数()()e x h x f x x x =+=+，则()e 10xh x '=+>在R 上恒成立，所以()e xh x x =+单调递增，所以0t x =，则0()b f x t =-()e tf t t t =-=-，[]1,2t ∈-，令()e t g t t =-，[]1,2t ∈-，则()e 1tg t '=-，当0=t 时，()0g t '=，令()0g t '>得：(]0,2t ∈，令()0g t '<得：[)1,0t ∈-，所以()()0min 0=e 01g t g =-=，又()11e 1g --=+，()22e 2g =-，其中21e 2e 1-->+，所以实数b 的取值范围是21,e 2⎡⎤-⎣⎦.故选：D.8．已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值范围是（）A ．21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎤-⎦C ．)2⎡++∞⎣D ．()2e,⎡+∞⎣二、多选题9．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（）A ．函数()f x 的极小值点为21e -B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-【答案】BCD【详解】由()(1)e x f x x =+，得()(2)e x f x x '=+，当2x =-时，(2)0f '-=，B 正确；当<2x -时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，观察图象知，当210e a -<<时，直线所以函数()()g x f x a =-有两个不同的零点时，故选：BCD10．对于三次函数()3ax bx f x =+，给出定义：设f x 是函数的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题11．已知函数()321132f x x ax =-，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性．当0a =时，()20f x x '=≥，()f x \在R 上单调递增；当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若(),0x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若()0,x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，()f x 在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.12．已知函数()222ln 12x x f x x -+=．求函数()f x 的单调区间；○热○点○题○型三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点.(2)由y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得到函数y ＝f (x )的单调性，可得极值点.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.一、单选题1．函数()32142f x x x x =+-的极小值为（）A ．43-B ．1C ．52-D ．10427．函数的定义域为R ，导函数f x 的图象如图所示，则函数f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点.故选：C ．3．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()2h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥．若函数在1x =处有极大值，则实数的值为（）A ．1B ．1-或3-C ．1-D ．3-6．已知函数()()2ln 11f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2+D ．()f x 的最大值为37．若函数()3ln f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．(]3e ,09⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪8．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122g x a ax x=+--，若01a <<，则()()f x g x -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值二、多选题9．已知函数()2211e e x x f x -+=+，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间()0,2上单调递减C ．()f x 的极小值为22e D ．()f x 的最大值为411e +10．设函数()ln x f x ax x =-，若函数()f x 有两个极值点，则实数a 的值可以是（）A ．12B ．18C ．2D ．14-观察图象知，当a<0或10a 4<<时，直线y a =与函数于是当a<0或10a 4<<时，2ln 1(ln )x a x -=在(0,1)(1,⋃+∞所以实数a 的取值范围是a<0或10a 4<<，即a 的值可以是三、解答题11．已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ，b ∈R ），其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值；(3)求函数()f x 在区间[]2,5-上的最大值．12．已知函数()ln f x x a=+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数.(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2，求a 的值.∴max ，∴，∴3e a =-③若e a -≥，即e a -≤时，在(0,e)上()0f x ¢>，∴()f x 在(0,e)上是增函数，故()f x 在(0,e]上的最大值为()()max e e 12f x f a ==+=，∴e a =不符合题意，舍去，综合以上可得e a =.。
利用导数研究函数的单调性-高中数学知识点讲解
利用导数研究函数的单调性1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0 的根；（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例 1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，1/ 3∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例 2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数푔(푥)=푥3+푥2[푓′(푥) +푚2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；푙푛2（Ⅲ）求证：2×푙푛33×푙푛44×⋯×푙푛푛1푛(푛≥2，푛∈푁∗)．＜푛解：（Ⅰ）푓′(푥) =푎(1―푥)푥(푥＞0)（2 分）当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）（Ⅱ）푓′(2) =―푎2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 푚∴푔(푥)=푥3+(2―2푥，2+2)푥∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣22/ 3∴{푔′(푡3))＜0＞0(8 分)由题意知：对于任意的 t ∈[1，2]，g ′（t ）＜0 恒成立，푔′(1)＜0所以有：{푔′(2)＜0，∴― 푔′(3)＞0 37 3 ＜푚＜ ― 9（10 分）（Ⅲ）令 a ＝﹣1 此时 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3，所以 f （1）＝﹣2，由（Ⅰ）知 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3 在（1，+∞）上单调递增，∴当 x ∈（1，+∞）时 f （x ）＞f （1），即﹣lnx +x ﹣1＞0，∴lnx ＜x ﹣1 对一切 x ∈（1，+∞）成立，（12 分）∵n ≥2，n ∈N *，则有 0＜lnn ＜n ﹣1，푙푛푛 푛 ― 1∴0＜＜푛 푛푙푛2∴ 2 ⋅ 푙푛33 ⋅ 푙푛44 ⋅⋅ 푙푛푛 1 2 ⋅ ＜ 푛2 3 ⋅ 3 4 ⋅⋅ 푛 ― 1 푛 = 1 푛(푛 ≥ 2，푛 ∈ 푁 ∗) 【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使 f ′（x ）＝0，在其余的点恒有 f ′（x ）＞0，则 f （x ）仍为增函数（减函数的情形完 全类似）．即在区间内 f ′（x ）＞0 是 f （x ）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．3/ 3。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
第10讲 函数的单调性(解析版)
第10讲 函数的单调性【基础知识回顾】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D 上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减．1、下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．2、列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 【答案】B【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一 函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx+在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（. ∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx+在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．变式2、下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，在(0,)+∞上为减函数，故选B ．+∞（0，）3y x =1y x =+21y x =-+2xy -=2xy -=方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间 （1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 变式1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 【答案】 [1,2]【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间例3、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【解析】由题意，令x 2＋2x －3＞0，解得x ＜－3或x ＞1，因为t ＝x 2＋2x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间为(1，＋∞)．变式1、.函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞【答案】 A【解析】由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
高中数学_导数的应用(一)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计【教学目标】1.知识与技能了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数求函数的单调区间；已知函数单调性会求参数的取值范围。
2.过程与方法通过利用导数研究单调性问题的探索过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论、化归转化的数学思想方法。
3.情感态度与价值观通过利用导数方法研究单调性问题，体会不同知识间的联系，同时通过学生的交流讨论，引导学生养成自主学习的好习惯，激发学生的学习兴趣，培养学生分享成功的喜悦。
【教学重点和难点】教学重点：函数单调性的判定方法及应用。
教学难点：已知单调性求参数范围。
【教学方法】本节课拟运用“问题——解决”课堂教学模式，采用启发式，讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与教学，同时采用多媒体辅助教学，节省时间，加大课堂容量。
【教学过程】一、课堂引入师：导数是高考的热点之一，常与函数、不等式、解析几何结合出题，今天我们一起复习一下如何利用导数研究函数的单调性。
首先看一下考试要求。
多媒体展示考试要求，板书课题生：看考试说明，读考试要求设计意图：使学生明确利用导数研究函数单调性在高考中的要求。
师：函数单调性与导数的关系是什么呢？显示多媒体生：齐答问题1.函数的单调性与导数的关系设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在此区间内是_______如果在),(b a 内0)(<'x f ,则)(x f 在此区间内是_______师：由此可以得出求函数单调区间步骤生：思考，回答求解步骤2.利用导数判断函数单调性的一般步骤（1）求函数定义域；（2）求)(x f '；（3）在定义域内解不等式0)(>'x f ，得增区间，解不等式0)(<'x f ，得减区间；设计意图：通过对知识的回顾，使学生明确函数增减性与导数正负的关系。
二、概念辨析师：下面我们通过几个小题，加深对导数与函数单调性关系式的理解多媒体展示1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，那么在(a,b)上一定有f ′(x)>0（ ）2.若函数在某个区间内恒有f ′(x) =0，则函数f(x)在此区间内没有单调性（ ）3．)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能的是（ ）生：回答每个题目，（1）举出反例，得出f ′(x)>0是函数单调递增的什么条件，（2）说明函数类型（3）说明解题过程，并说出已知原函数图像如何得导函数图像，如D 选项设计意图：通过三个小题的辨析，加深学生对导数与函数单调性关系的理解。
2024-2025学年高三数学上学期第三周导数的应用(一)教学设计
5. 团队合作能力：在小组讨论和合作中，学生能够有效沟通、合作解决问题，提高团队合作能力和沟通能力。
6. 自主学习能力：学生能够自主学习导数的相关知识，通过课后作业和自主探索，巩固学习效果，提高自主学习能力。
- 题型：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，g(x) = x^3+ 2x - 1，求(f ∘ g)'(x)。
- 解答：使用复合函数的求导法则，(f ∘ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) = (2g(x) - 4)(g(x) + 2)。
5. 隐函数求导
- 题型：已知函数y = f(x) = x^2 - 4x + 3，求dy/dx。
- 题型：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x)。
- 解答：使用导数的基本公式，f'(x) = 2x - 4。
2. 导数的几何意义
- 题型：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x)表示的切线斜率。
- 解答：f'(x) = 2x - 4，斜率为2x - 4。
3. 导数的四则运算法则
教学过程设计
1. 导入新课（5分钟）
目标： 引起学生对导数应用的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道导数在实际问题中的应用吗？它如何帮助我们理解和解决生活中的问题？”
展示一些关于导数应用的图片或视频片段，如运动物体的瞬时速度和加速度，让学生初步感受导数在现实生活中的重要性。
简短介绍导数的基本概念和其在实际问题中的应用，为接下来的学习打下基础。
导数的应用(一)---单调性
01 课前自助餐 02 授人以渔 03 课外阅读
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内_可_导__，若 f′(x)__>_ 0，则 f(x) 在这个区间内为增函数；若 f′(x)__<_ 0，则 f(x)在这个区间内为 减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的_定__义_域__； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)__>_ 0(或 f′(x) _<__0)，解出相应的 x 的范围； ④当_f′_(x_)_>_0___时，f(x)在相应区间上是增函数；当_f_′(_x)_<_0___ 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【思路】
根据题意当x≥0时f′(x)＝1－
2 3
cos2x>0，又f(x)
是定义在R上的奇函数，则f(x)在定义域上单调递增，tan
2π 5
>tanπ4 ＝1，0<cos2π 5 <1，log3cos2π 5 <0，由函数的单调性可得出
答案．
【解析】 由题意知当x≥0时，f′(x)＝1－23cos2x>0，所以f(x)在
2．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x) 的图象可能是( C )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x) 单调递增；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)单调递减；当x>x1 时，f′(x)>0，即函数f(x)单调递增．观察选项易知C正确．故选C.
授人以渔
题型一 求函数的单调区间(自主学习)
例1 求下列函数的单调区间．
导数的应用-函数的单调性与极值和最值和应用
课本练习
思考,已知函数 在区间[1,5] 思考,已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2, 内的最小值为 ,求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1,曲线 ,曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1,0)处的切线的 在点 , 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2,函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) ,函数 的导数为( (A)y'=100(x99+x49+x24) (B) y'=100x99 (C) y'=100x99+50x49+25x24 (D) y'=100x99+2x49
定义法 公式法
练习: 练习: 1,求下列函数的导数 ,
)(x (1)y=(x2-3x+2)( 4+x2-1) ) ( )( ) (2)y=(x/2+t)2 ) ( )
2,设f(x)=ax3-bx2+cx,且f /(0)=0, , ( ) , ) , f /(1)=1,f /(2)=8,求a,b,c ) , ) , , , 3,抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的 ,抛物线 ( ) 在哪一点处的 切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的 切线平行于 轴?在哪一处的切线与 轴的 交角为45 交角为 0?
5, 求导的公式与法则 , 求导的公式与法则——
/
(C ) = 0 n / n 1 * ( x ) = nx (n ∈ N )
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。
高中数学-导数的应用(一)—单调性练习
高中数学-导数的应用(一)—单调性练习1．函数y ＝x 2(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(0，2) D ．(－2，2)答案 C解析 y ′＝3x 2－6x ，由y ′＜0，得0＜x ＜2. 2．函数f(x)＝1＋x －sinx 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析 ∵f ′(x)＝1－cosx>0， ∴f(x)在(0，2π)上递增．3．已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]答案 A解析 令y ′＝(1＋x)e x≥0. ∵e x>0，∴1＋x≥0，∴x ≥－1，选A.4．(·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx －ax(a>0)的单调递增区间为( ) A ．(0，1a )B ．(1a ，＋∞)C ．(－∞，1a )D ．(－∞，a)答案 A解析 由f ′(x)＝1x －a>0，得0<x<1a .∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．5．(·福建龙岩期中)函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝log 2(x 2＋23bx ＋c 3)的单调递减区间为( )A ．(－∞，－2)B ．[3，＋∞)C ．[2，3]D ．[12，＋∞)答案 A解析 由题意可以看出－2，3是函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c 3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2(x 2＋23bx ＋c 3)可化为y ＝log 2(x 2－x－6)．解x 2－x －6>0得x<－2或x>3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图像开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A. 6．若函数y ＝a(x 3－x)的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a(3x 2－1)， 解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33. ∴f(x)＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数． 又y ＝a·(x 3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a＞0. 7．如果函数f(x)的导函数f ′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )答案 A8．(·四川双流中学)若f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．[92，＋∞)C ．(3，92)D ．(0，3)答案 B解析 因为函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，所以f ′(x)＝3x 2－2ax≤0在(1，3)上恒成立，即a≥32x 在(1，3)上恒成立．因为32<92，所以a≥92.故选B.9．(·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f(12)，c ＝f(3)，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．b<c<a答案 B解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x ＝1， 故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，可知f ′(x)>0. 即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f(12)，即c<a<b.10．(·河北唐山期末)已知函数f(x)＝ln(e x＋e －x)＋x 2，则使得f(2x)>f(x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C ．(－3，3) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案 D解析 因为f(－x)＝ln(e －x＋e x)＋(－x)2＝ln(e x＋e －x)＋x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．通过导函数可知函数y ＝e x＋e －x在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)＝ln(e x＋e －x)＋x 2在(0，＋∞)上也是增函数，所以不等式f(2x)>f(x ＋3)等价于|2x|>|x ＋3|，解得x<－1或x>3.故选D.11．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a ，b ，若a<b ，则必有( ) A ．af (b)≤bf(a) B ．bf (a)≤af(b) C ．af (a)≤f(b) D ．bf (b)≤f(a)答案 A解析 ∵xf′(x)＋f(x)≤0，f(x)≥0，∴xf ′(x)≤－f(x)≤0.设y ＝f （x ）x ，则y ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2≤0，故y ＝f （x ）x 为减函数或常数函数．又a<b ，∴f （a ）a ≥f （b ）b.∵a ，b>0，∴af (b)≤bf(a)．12．(·福建南平质检)已知函数f (x)(x∈R )图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1，2) D ．[2，＋∞)答案 C解析 因为函数f (x)(x∈R )图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，所以函数f(x)的图像在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 02－1)，函数f(x)的导函数为f ′(x)＝(x －2)(x 2－1)．由f ′(x)＝(x －2)(x 2－1)<0，得x<－1或1<x<2，即函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，2)．故选C. 13．(·湖北荆州质检)函数f(x)＝lnx －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案 (0，5－12) 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x)＝1x －x －1>0得可解0<x<5－12.14．若函数y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案 a>0解析 y ′＝－x 2＋a ，y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a>0.15．已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)13 (2)0<k≤13解析 (1)f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x≤0并结合导函数的图像可知，必有－2（k －1）k ≥4，解得k≤13.又k>0，故0<k≤13.16．设函数f(x)＝x(e x－1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．答案 (1)增区间(－∞，－1]，[0，＋∞)，减区间[－1，0] (2)(－∞，1]解析 (1)当a ＝12时，f(x)＝x(e x－1)－12x 2，f ′(x)＝e x－1＋xe x－x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0；当x∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e x －1－ax)．令g(x)＝e x－1－ax ，则g ′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a ＞1，则当x∈(0，ln a)时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]．17．(·辽宁大连双基自测)已知函数f(x)＝lnx ＋axx ＋1(a∈R )．(1)若函数f(x)在区间(0，4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f(x)的图像与直线y ＝2x 相切，求a 的值． 答案 (1)a≥－4 (2)4解析 (1)f ′(x)＝1x ＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝（x ＋1）2＋axx （x ＋1）2.∵函数f(x)在区间(0，4)上单调递增， ∴f ′(x)≥0在(0，4)上恒成立，∴(x ＋1)2＋ax≥0，即a≥－x 2＋2x ＋1x ＝－(x ＋1x)－2在(0，4)上恒成立．∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴a ≥－4.(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，f ′(x 0)＝2，y 0＝lnx 0＋ax 0x 0＋1，∴1x 0＋a （x 0＋1）2＝2① 且2x 0＝lnx 0＋ax 0x 0＋1②由①得a ＝(2－1x 0)(x 0＋1)2，③代入②，得2x 0＝lnx 0＋(2x 0－1)(x 0＋1)， 即lnx 0＋2x 02－x 0－1＝0. 令F(x)＝lnx ＋2x 2－x －1，则 F ′(x)＝1x ＋4x －1＝4x 2－x ＋1x >0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵F(1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得a ＝4. 18．设函数f(x)＝xe kx (k≠0)． (1)若k>0，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．答案 (1)增区间为(－1k ，＋∞)，减区间为(－∞，－1k ) (2)[－1，0)∪(0，1]解析 (1)f ′(x)＝(1＋kx)e kx， 若k>0，令f ′(x)>0，得x>－1k，所以函数f(x)的单调递增区间是(－1k ，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1k )．(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递增， ∴f ′(x)＝(1＋kx)e kx≥0在(－1，1)内恒成立， ∴1＋kx≥0在(－1，1)内恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k·（－1）≥0，1＋k·1≥0，解得－1≤k≤1. 因为k≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．1．函数f(x)＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x)＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x)>0，解得x>2，故选D. 2.在R 上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x)<0的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞) C ．(－2，－1)∪(1，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)递增，所以f ′(x)>0，使xf ′(x)<0的范围为(－∞，－1)； 在(－1，1)上，f(x)递减，所以f ′(x)<0，使xf ′(x)<0的范围为(0，1)． 综上，关于x 的不等式xf ′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．3．函数y ＝3x 2－2lnx 的单调递增区间为________，单调递减区间为__________． 答案 (33，＋∞)，(0，33) 解析 y ′＝6x －2x ＝6x 2－2x.∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴由y ′>0，得x>33. ∴单调递增区间为(33，＋∞)． 由y ′<0，得0<x<33.∴单调递减区间为(0，33)． 4．(·山西怀仁一中期中)已知函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，且对任意的x∈R ，f ′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)解析 令g(x)＝f(x)－2x －4，则g ′(x)＝f ′(x)－2>0，∴g(x)在R 上为增函数，且g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为g(x)>g(－1)，解得x>－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)． 5．已知f(x)＝e x－ax －1，求f(x)的单调递增区间． 答案 ①a≤0时，f(x)在R 上单调递增； ②a>0时，f(x)增区间为(lna ，＋∞)6．已知函数f(x)＝mln(x ＋1)－xx ＋1(x>－1)，讨论f(x)的单调性．解析 f ′(x)＝m （x ＋1）－1（x ＋1）2(x>－1) 当m≤0时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当m>0时，令f ′(x)<0，得x<－1＋1m ，函数f(x)在(－1，－1＋1m )上单调递减；令f ′(x)>0，得x>－1＋1m ，函数f(x)在(－1＋1m ，＋∞)上单调递增．综上所述，当m≤0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当m>0时，f(x)在(－1，－1＋1m )上单调递减，在(－1＋1m，＋∞)上单调递增．7．已知函数g(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．答案 (－∞，－22) 解析 g ′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g ′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立．当x∈(－2，－1)时，a<x ＋2x ≤－22，所以实数a 的取值范围是(－∞，－22)．8．(·四川)已知函数f(x)＝－2xlnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 答案 (1)当x∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增 (2)略解析 (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)， 所以g ′(x)＝2－2x ＝2（x －1）x.当x∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增．(2)由f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)＝0，解得a ＝x －1－lnx.令φ(x)＝－2xlnx ＋x 2－2x(x －1－lnx)＋(x －1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u(x 0)，其中u(x)＝x －1－lnx (x≥1)． 由u ′(x)＝1－1x ≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u(1)<a 0＝u(x 0)<u(e)＝e －2<1，即a 0∈(0，1)． 当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f(x 0)＝φ(x 0)＝0. 再由(1)知，f ′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x∈(1，x 0)时，f ′(x)<0，从而f(x)>f(x 0)＝0；当x∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0，从而f(x)>f(x 0)＝0；又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x －a 0)2－2xlnx>0. 故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。
第10讲利用导数研究函数的零点问题 高考数学
=
−
−
=
得
=
，构造函数
=
，求导得
, ＞
在 −∞, 上单调递减，在 , 上单调递增， , +∞ 上单调递减，
且 = ，
试卷讲评课件
=
＞ 及
→ +∞ 时 → ，
的图像如图，得到 =
当＜或 = 时， 有一个零点；
当＞ 时， 有两个零点.
试卷讲评课件
练1
f x = 2ex − 5x 2 的零点的个数为(
A.0
B.1
)
D.3
√
C.2
【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数 =
,结
合导函数求解单调性及极值最后应用数形结合求解.
【详解】由
π
4
2e
a =______
【分析】常数分离得
=
= 有唯一的解，求出 的单调性与
极值，由 有且仅有一个零点可得 = .
试卷讲评课件
【详解】当 = 时， = ≥ 恒成立， 在[, ]上无零点.
1
, +∞
e
【分析】由 ′
2
3 1
,
2
2e e
3
0, 2
2e
−
，令
1
∪ , +∞
e
−
=
＜＜
，则直
上的图象有两个交点，利用导数分析函数
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10二讲第1课时导数与函数的单调性
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
例2 已知函数f(x)＝ (x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′·cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
考点突破·互动探究
考点 函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0< <1，
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
第10讲 导数解答题之零点问题(解析版)
第10讲 导数解答题之零点问题1．已知函数()(1)axf x ln x x a=+-+，a 是常数，且1a ． （Ⅰ）讨论()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：213(1)2131ln n n n <+<++，n N +∈． 【解析】证明：（Ⅰ）22221(2)/()1()(1)()a x x a a f x x x a x x a -+=-=++++， 解()0f x '=得0x =，或22x a a =- ①1a =时，2/()(1)xf x x =+，若(1,0)x ∈-，()0f x '<，()(0)0f x f >=，若(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()(0)0f x f >=．()f x 有一个零点，②12a <<时，2120a a -<-<，由上表可知，()f x 在区间2(2a a -，)+∞有一个零点0x =，2(2)(0)0f a a f ->=，又2211ax a a aa a x a x a a a -=--=++--， 任取1(1,1)aat e-∈--，()011a a f t a a <+=--， ()f x 在区间2(,2)t a a -有一个零点，从而()f x 有两个零点，③2a =时，22/()0(1)(2)x f x x x =>++，()f x 在(1,)-+∞上单调递增，有一个零点0x =，④2a >时，220a a ->，由上表可知，()f x 在区间2(1,2)a a --有一个零点0x =，在区间2(2a a -，)+∞有一个零点，从而()f x 有两个零点，（Ⅱ）证明：取2a =，由（1）知2()(1)2xf x ln x x =+-+在(1,)-+∞上单调递增， 取*1()x n N n =∈，则1()(0)0f f n >=，化简得12(1)21ln n n +>+，取32a =，由（1）知3()(1)23x f x ln x x =+-+在区间3(,0)4-上单调递减， 取*13(,0)()14x n N n =-∈-∈+，由()(0)f x f >得311(1)112()31n ln n n -+->+-++， 即*13(1)()31ln n N n n +<∈+，综上，213(1)2131ln n n n <+<++，*n N ∈ 2．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<，∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a '=+-=+-，令()0f x '=，解得：1x ln a =，当()0f x '>，解得：1x ln a >，当()0f x '<，解得：1x ln a<，1(,)x ln a ∴∈-∞时，()f x 单调递减，1(x ln a ∈，)+∞单调递增；当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a'=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a，)+∞是增函数；（2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点， 当0a >时，2()(2)x x f x ae a e x =+--， 当x →-∞时，20x e →，0x e →，∴当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞，2x e →+∞，且远远大于x e 和x ，∴当x →∞，()f x →+∞，∴函数有两个零点，()f x 的最小值小于0即可，由()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a ，)+∞是增函数，21111()()()(2)0min f x f ln a a ln a a a a ∴==⨯+-⨯-<，1110ln a a ∴--<，即1110ln a a+->， 设1t a=，则()1g t lnt t =+-，(0)t >， 求导1()1g t t '=+，由g （1）0=，11t a∴=>，解得：01a <<， a ∴的取值范围(0,1)．方法二：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<，∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a'=+-=+-，令()0f x '=，解得：x lna =-， 当()0f x '>，解得：x lna >-， 当()0f x '<，解得：x lna <-，(,)x lna ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，(,)x lna ∈-+∞单调递增； 当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a'=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在(,)lna -∞-是减函数，在(,)lna -+∞是增函数； （2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点，②当0a >时，由（1）可知：当x lna =-时，()f x 取得最小值，11()()1min f x f lna ln a a=-=--， 当1a =，时，()0f lna -=，故()f x 只有一个零点， 当(1,)a ∈+∞时，由1110ln a a-->，即()0f lna ->， 故()f x 没有零点， 当(0,1)a ∈时，1110ln a a--<，()0f lna -<， 由422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>， 故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点，假设存在正整数0n ，满足03(1)n ln a >-，则00000000()(2)20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->->，由3(1)ln lna a->-，因此在(,)lna -+∞有一个零点． a ∴的取值范围(0,1)．3．已知函数2()()x f x ex e e ax =-+，a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）由题1()(2)x f x x e a +'=+，x R ∈， （1）当0a 时，120x e a ++>，∴当(,0)x ∈-∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+<，函数()f x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增；（2）当02ea -<< 时，(2)10ln a --<，∴当(x ∈-∞，(2)1)ln a --时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增，当((2)1x ln a ∈--，0)时，1()(2)0x f x x e a +'=+<，函数()f x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增；（3）当2ea =-时，1()(2)0x f x x e a +'=+恒成立，函数()f x 在R 上单调递增；（4）当2ea <-时，(2)10ln a -->，∴当(,0)x ∈-∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增，当(0x ∈，(2)1)ln a --时，1()(2)0x f x x e a +'=+<，函数()f x 单调递减， 当((2)1x ln a ∈--，)+∞时，1()(2)0x f x x e a +'=+>，函数()f x 单调递增； （Ⅱ）当0a =时，()()x f x ex e e =-，有唯一零点1x =，不符合题意； 由（Ⅰ）知：①当0a >时，故(,0)x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 且x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，(0)0f e =-<，∴函数()f x 必有两个零点；②当02ea -<< 时，故(x ∈-∞，(2)1)ln a --时，函数()f x 单调递增，((2)1x ln a ∈--，0)时，函数()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时，函数()f x 单调递增，又2((2)1)2((2)1)((2)1)0f ln a a ln a a ln a --=---+--<，∴函数()f x 至多有一个零点；③当2ea =-时，函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有一个零点；④当2ea <-时，故(,0)x ∈-∞时，函数()f x 单调递增，(0x ∈，(2)1)ln a --时，函数()f x 单调递减，((2)1x ln a ∈--，)+∞时，函数()f x 单调递增，又(0)0f e =-<，∴函数()f x 至多有一个零点； 综上所述：当0a >时，函数()f x 有两个零点． 4．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-， 可得()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a 时，由()0f x '>，可得1x >；由()0f x '<，可得1x <，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）；②当0a <时，（如右下图）若2e a =-，则()0f x '恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2ea <-时，由()0f x '>，可得1x <或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-． 即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增； 在(1，(2))ln a -递减；若02ea -<<，由()0f x '>，可得(2)x ln a <-或1x >；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<． 即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增； 在((2)ln a -，1)递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a >时， ()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增，且f （1）0e =-<，x →+∞，()f x →+∞；当x →-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a >恒成立， ()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)x f x x e =-，所以()f x 只有一个零点2x =； ③当0a <时，若2ea <-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增， 又当1x 时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2ea -时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增， 在((2)ln a -，1)单调减，只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x 时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．5．已知函数2()[(2)]x f x e ax a x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()(1)(21)x f x ae e '=-+， ①若0a ，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减． ②若0a >，则由()0f x '=得，x lna =-．当(,)x lna ∈-∞-时，()0f x '<；当(,)x lna ∈-+∞时，()0f x '>． 所以()f x 在(,)lna -∞-上单调递减，在(,)lna -+∞上单调递增． （2）若0a ，()f x 至多有一个零点，不符合题意； 若0a >，当x lna =-时，()f x 取得最小值1()1f lna lna a-=-+． ①当1a =时，()0f lna -=，()f x 只有一个零点；②当1a >时，()0f lna ->，()f x 没有零点；③当1a <时，()0f lna -<．又42(2)(2)20f ae a e ---=+-+>，故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点．设整数N 满足3(1)N ln a >-，则()(2)20N N N N f N e ae a N e N N =+-->->->，故()f x 在(,)lna -+∞有一个零点．综上，a 的取值范围是(0,1)． 6．已知函数31()4f x x ax =++，()g x lnx =- ()i 当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；()ii 用{min m ，}n 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()h x min f x =，()}(0)g x x >，讨论()h x 零点的个数．【解析】解：2()()3i f x x a '=+．设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(P x ，0)，则0()0f x =，0()0f x '=，∴3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得012x =，34a =-． 因此当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；()ii 当(1,)x ∈+∞时，()0g x lnx =-<，∴函数()h x min ={()f x ，()}0g x <，故()h x 在(1,)x ∈+∞时无零点．当1x =时，若54a -，则f （1）504a =+， ()h x min ∴={f （1），g （1）}g =（1）0=，故1x =是函数()h x 的一个零点； 若54a <-，则f （1）504a =+<，()h x min ∴={f （1），g （1）}f =（1）0<，故1x =不是函数()h x 的零点；当(0,1)x ∈时，()0g x lnx =->，因此只考虑()f x 在(0,1)内的零点个数即可．①当3a -或0a 时，2()3f x x a '=+在(0,1)内无零点，因此()f x 在区间(0,1)内单调，而1(0)4f =，f （1）54a =+，∴当3a -时，函数()f x 在区间(0,1)内有一个零点，当0a 时，函数()f x 在区间(0,1)内没有零点．②当30a -<<时，函数()f x在内单调递减，在内单调递增，故当x =()f x 取得最小值14f =．若0f >，即304a -<<，则()f x 在(0,1)内无零点．若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)内有唯一零点．若0f <，即334a -<<-，由1(0)4f =，f （1）54a =+， ∴当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)内有两个零点．当534a -<-时，()f x 在(0,1)内有一个零点． 综上可得：54a <-时，函数()h x 有一个零点．当34a >-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，函数()h x 有三个零点．7．已知函数21()(),()4lnxf x x a a Rg x x x=-+-∈=． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线，（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，设函数(){()h x max xf x =，()}(0)xg x x >，当03a <<时，讨论()h x 零点的个数．【解析】解：（1）设曲线()y f x =与x 轴相切与点0(x ，0)，则00()0()0f x f x =⎧⎨'=⎩，即20020201041204x a x x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴01234x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴当34a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线． （2）令211()()4f x xf x x ax ==-+-，1()()(0)g x xg x lnx x ==>，则1(){()h x max f x =，1()}g x ，21()3f x x a '=-+，由1()0f x '=，得x =∴当x ∈时，1()0f x '>，1()f x 为增函数；当x ∈)+∞时，1()f x '为减函数， 03a <<，01∴<， ①当10f <，即304a <<时，()h x 有一个零点； ②当10f =，即34a =时，()h x 有两个零点； ③当110()0f f x ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即3544a <<时，()h x 有三个零点； ④当110()0f f x ⎧>⎪⎨⎪=⎩，即54a =时，()h x 有两个零点； ⑤当11(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即534a <<时，()h x 有一个零点， 综上，304a <<或534a <<时，()h x 有一个零点； 当34a =或54a =时，()h x 有两个零点； 当3544a <<，()h x 有三个零点． 8．已知函数21()4f x x a x=-+-． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）设函数()()g x xf x =，讨论()g x 在区间(0,1)上零点的个数．【解析】解：（1）21()4f x x a x =-+-的导数为21()24f x x x '=-+， 设切点为0(x ，0)，可得0()0f x =，0()0f x '=， 即200104x a x -+-=，0201204x x -+=， 解得012x =，34a =； （2）31()()4g x xf x x ax ==-+-，2()3g x x a '=-+，01x <<， 当3a 时，2()30g x x a '=-+>，()g x 在(0,1)递增，可得1(0)04g =-<，g （1）504a =->，()g x 有一个零点； 当0a 时，()0g x '<，()g x 在(0,1)递减，(0)0g <，g （1）0<，()g x 在(0,1)无零点； 当03a <<时，()g x在递增，在，1)递减， 可得()g x 在(0,1)的最大值为14g ， ①若0g <，即304a <<，()g x 在(0,1)无零点； ②若0g =，即34a =，()g x 在(0,1)有一个零点； ③若0g >，即334a <<，(0)0g <，g （1）54a =-， 当3544a <<时，()g x 在(0,1)有两个零点； 当534a <时，()g x 在(0,1)有一个零点； 综上可得，34a <时，()g x 在(0,1)无零点； 当34a =或54a 时，()g x 在(0,1)有一个零点； 当3544a <<时，()g x 在(0,1)有两个零点． 9．已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()sin x g x e x =-，若()()(()2)h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）222121()2a x ax f x x x x-+'=+-=，0x >，△28a =-， ①当△280a =-即222a -时，()0f x '恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，②当△280a =->时，即a >或a <-时，方程2210x ax -+=的两根分布为1x ，2x =()i 当a >时，10x =>，20x >，结合二次函数的性质可知，x ∈时，()0f x '>，函数单调递增，(x ∈ 时，()0f x '<，函数单调递减，当x ∈，)+∞时，()0f x '>，函数单调递增，()ii a <-10x =<，20x =<， 结合二次函数的性质可知，(x ∈ 0，)+∞时，()0f x '>，函数单调递增，（2）因为()sin x g x e x =-，则()cos x g x e x '=-，当0x >时，1x e >，cos 1x ，则()cos 0x g x e x '=->，即()g x 在(0,)+∞上单调递增且(0)10g =>， 故()g x 在(0,)+∞上没有零点，因为1()()(()2)()()h x g x f x x g x alnx x=-=-+有两个零点， 所以1()F x alnx x=+在0x >时有两个零点， 21()ax F x x -'=，0x >， 当0a 时，()0F x '<，故()F x 在(0,)+∞上单调递减，最多1个零点，不合题意；当0a >时，易得，函数()F x 在1(0,)a 上单调递减，在1(a，)+∞上单调递增， 又0x →时，()F x →-∞，x →+∞时，()F x →+∞，故1()0F a alna a=-<， 解可得，a e >．综上可得，a 的范围(,)e +∞．10．已知函数()(1)1x f x ae ln x lna =-++-．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有且仅有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解析：（1）当1a =时，()(1)1x f x e ln x =-+-，1()1x f x e x '=-+，1x >-， 显然()f x '在(1,)-+∞单调递增，且(0)0f '=，∴当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． ()f x ∴在0x =处取得极小值(0)0f =，无极大值．（2）函数()f x 有两个零点，即()0f x =有两个解，即()(1)(1)x x ae ln ae ln x x +=+++有两个解，设()h t t lnt =+，则1()10h t t'=+>，()h t 单调递增， 1(1)x ae x x ∴=+>-有两个解，即1(1)xx a x e +=>-有两个解． 令1()(1)x x s x x e +=-，则()xx s x e '=-， 当(1,0)x ∈-时，()0s x '>，()s x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0s x '<，()s x 单调递减． (1)0s -=，(0)1s =，当0x >时()0s x >，01a ∴<<．。
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（2） （2015 重庆理 20 （ II ） ）设函数 f (x) = 数，求 a 的取值范围.
3x2 + ax (a ∈ R) ，若 f (x) 在 [ 3, +∞) 上为减函 ex
5
变式 4 1 （1） 若 f (x) = − x2 + b ln(x + 2) 在 (−1, +∞) 上是减函数，则实数 b 的取值范围是 （ 2 （A）[−1, +∞) （B）(−1, +∞) （C）(−∞, −1] （D）(−∞, −1) ）
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参考答案
【例 1】A 变式训练 1 D 1 1 【例 2】单调递减区间 0, √ ，单调递增区间 √ + ∞ . e e (√ ) ( √ ) Å ã Å ã 1 1 3 3 变式训练 2 （1）D； （2） , +∞ ， 0, ； （3） , +∞ ， 0, ； （4）(0, 1). 3 3 e e 【例 3】 （1） a ⩽ 0 时，在 R 上单调递增. a > 0 时，单调递减区间为 √ 3a , +∞ 3
（2） （2016 山东 20 （ I ） ）已知 f (x) = a (x − ln x) +
2x − 1 ，a ∈ R ，讨论 f (x) 的单调性. x2
【小结归纳】 求含参数函数的单调性关键在于解含参数不等式时要合理分类讨论. 3
变式 3 （1） 设 f (x) = x ln x − ax2 + (2a − 1)x，a ∈ R，令 g (x) = f ′ (x)，求 g (x) 的单调区间.
数. （或）f ′ (x) ，解出相应的 x 的范围. 时，f (x) 在相应区间上是减函 时，f (x) 在相应区间上是增函数，当
热点一
是
函数的导数与函数图象的关系
（ y ）
【例 1】（2015 安徽卷）函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 的图象如图 2-10-1 所示，则下列结论成立的 （A）a > 0，b < 0，c > 0，d > 0 （B）a > 0，b < 0，c < 0，d > 0 （C）a < 0，b < 0，c > 0，d > 0 （D）a > 0，b > 0，c > 0，d < 0 图 2-10-1 变式 1 （1） 已知函数 f (x) 的导函数 f ′ (x) = ax2 + bx + c 的图象如图 2-10-2 所示，则 f (x) 的图象可能 是 y y y y O O x1 x （A） O （B） x1 x （C） O x1 （D） x O x1 图 2-10-2 x y x1 x （ ） O x1 x2 x
§ 2-10 导数的应用（一）——单调性
Mike 2017 年 11 月 5 日
知识点一 函数的单调性
，则 f (x) 为增函数；若 ，则 f (x) 为 减函数.
1. 设函数 f (x) 在某个区间内可导，若
2. 求可导函数 f (x) 单调区间的步骤：
x确定 f (x) 的定义域. y求导数 f ′ (x) z令 f ′ (x) {当
（2） 函数 f (x) = 3x2 − 2 ln x 的单调递增区间为 （3） 函数 f (x) = x ln x 的单调递增区间为 1 （4） 函数 f (x) = x ln x + x2 − 2x 的单调递减区间为 2
，单调递减区间为 ，单调递减区间为 .
2
2. 含参数的单调性
【例 3】（1） （2016 天津理（ I ） ）设函数 f (x) = (x − 1)3 − ax − b，x ∈ R ，其中 a, b ∈ R，求 f (x) 的单调区间.
（2）（2016 四川 21 （ I ） ）设函数 f (x) = ax2 − a − ln x，其中 a ∈ R，讨论 f (x) 的单调性.
4
3. 已知单调性求参数的取值范围
【例 4】（1）已知函数 f (x) = −a2 x2 + ax + ln x(a ∈ R)，若函数 f (x) 在区间 (1, +∞) 上是减函数，求 实数 a 的取值范围.
) ( ( ) ( )√Βιβλιοθήκη 1−3a ,1 + 3
√
3a ，单调递增区间为 3
)
(
√ − ∞, 1 −
3a ， 1+ 3
)
(
.
（2） a ⩽ 0 时，f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减；
Å… ã
0 < a < 2 时，单调递增区间 (0, 1)，
Å … ã
（2） 已知函数 f (x) = x3 + ax2 + 1，x ∈ R . （ I ）讨论函数 f (x) 的单调区间；
Å ã
2 1 （ II ）若函数 f (x) 在区间 − , − 内是减函数，求 a 的取值范围. 3 3
本课总结
1. 在某个区间 (a, b) 上，若 f (x) > 0，则 f (x) 在这个区间上单调递增；若 f ′ (x) < 0，则 f (x) 在这个 区间上单调递减；若 f ′ (x) = 0 恒成立，则 f (x) 在这个区间上为常数函数；若 f ′ (x) 的符号不确定， 则 f (x) 不是单调函数. 2. 若函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 上单调递增，则 f ′ (x) ⩾ 0，且在 (a, b) 的任意子区间，等号不恒成立； 若函数 y = f (x) 在区间上单调递增，则 f ′ (x) ⩽ 0，且在 (a, b) 的任意子区间，等号不恒成立. 3. 使 f ′ (x) = 0 的离散的点不影响函数的单调性.
1
热点二 函数的单调性
1. 不含参数的单调性
【例 2】（2013 天津理 20 （ I ） ）已知函数 f (x) = x2 ln x，求函数 f (x) 的单调区间.
【小结归纳】 （1）求函数的单调区间要注意先求定义域. （2）使 f ′ (x) > 0 的区间为 f (x) 的单调递增区间，使 f ′ (x) < 0 的区间为 f (x) 的单调递减区间. 变式 2 （1） 函数 f (x) = ex − x 的单调递增区间是 （A）(−∞, 1) （B）(1, +∞) （C）(−∞, 0) （D）(0, +∞) . . （ ）