第1章 随机过程预备知识(2)

随机过程
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 • 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理论 2. 全概率公式——基本技巧 3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
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1.2 随机变量
• 设( ,F,P )为概率空间， • 映射X ： R， ω X（ ω ）满足 • 对任意 aR， { ω : X(ω) a } F， • 则称 X(ω)是随机变量，简记 X 。 • 对xR，称F(x)=P{ ω:X(ω)x }为随机 变量X的累积分布函数，简称分布函数，或 F(x)=P（ Xx ）= P（ X [-∞，x ] ）
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g ( x) f ( x)dx
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随机变量的函数的数学期望
TH2： 若a和b都是常数，则 E[aX+b]= aE[X] + b 证明： 若X是离散随机变量： 若X是连续随机变量：
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n维随机变量及其概率分布
设(, F,P)为概率空间， X=X(e)=( X1(e), X2(e),, Xn(e) )是定义在 上的n维空间Rn中取值的向量函数, x=(x1, x2, , xn)Rn， {e:X1(e)x1, X2(e)x2, ,Xn(e)xn} F， 则称X(e)是n维随机变量，简记为 X =(X1, X2,, Xn)。
p+q=1, k=1,2,
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(1)均匀分布
1 ,a x b f ( x) b a 0 , 其它
EX=(a+b)/2, DX=(b-a)2/12
(2)正态分布
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
EX=μ, DX=σ2
(3)指数分布
e , x 0 f ( x) , 0 0 , x 0
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正面出现的次数 用X表示，则X是一个取值于0,1,2的 随机变量，分别具有概率： P（X=0）= P（{反反}）= 1/4, P（X=1）= P（{正反，反正}）= 2/4, P（X=2）= P（{正正}）= 1/4, 并且有： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
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随机变量的函数的数学期望
无需确定g(X)的分布，计算期望：TH1 若X是离散随机变量，有概率质量函数p(x)， 则对于任意实值函数g(X): E[g(X)]=
x: p ( x ) 0


g ( x) p( x)
若X是连续随机变量，有概率密度函数f(x)， 则对于任意实值函数g(X): E[g(X)]=
F( y1, y2 ,, yn ) f ( x1, x2 ,, xn )dx1 dxn

y1
yn
(y1, y2, , yn) Rn
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•随机变量的独立性 设{ Xt ,tT }是一族随机变量，若对任意n2 和t1, t2,, tn T ，x1, x2, , xn R ， 有
k! >0， k=0,1,2,
k 1
P (X = k) =
k
e
，
(4)几何随机变量（几何分布）
P( X =k ) =
0<p<1,
pq
，
p+q=1, k=1,2,
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连续型随机变量
• 连续型：其可能值不是可数的。 • 连续型随机变量X的概率分布用概率密度函数 • 对于连续型随机变量X，如存在一个定义在所 有实数 x（-∞，∞）上的非负函数f(x)， 使得对于任意实数集合B，有性质
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• F(x)=P（ Xx ）= P（ X [-∞，x ] ） • 分布函数的性质： （1）单调性：若x1<x2，则F(x1)F(x2)
F ( x) 0 （2） F () xlim
F ( x) 1 （3） F () xlim
（4）F(x)右连续， F(x+0) = F(x) 这三个性质完全刻划了分布函数
k n k nk
， EX=np,DX=np(1-p)
k=1,2,,n
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(3)泊松随机变量（泊松分布）
k! >0， k=0,1,2,
k 1
P (X = k) =
k
e
，
EX=λ, DX=λ
(4)几何随机变量（几何分布）
P(X=k) = pq
0<p<1,
，
EX=1/p DX=(1-p)/p2
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离散型随机变量
(1)伯努利随机变量（0-1分布，两点分布） P(X=1)=p， P(X=0)=q， 0<p<1， p+q=1 (2)二项随机变量（二项分布） P(X=k) = C p q 0<p<1, p+q=1,
k n k nk
，
k=1,2,,n
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(3)泊松随机变量（泊松分布）
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随机变量：离散型，连续型
• 离散型:最多取可数个可能值的随机变量。 • 离散型随机变量X的概率分布用 pk = P(X=xk) • 分布律（列）描述，称pk为概率质量函数。 • 分布函数：
F(x ) p k
xk x
• 常见离散型随机变量X及其分布律
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F ( y1 , y2 , , yn )
(y1, y2, , yn) Rn .
xi yi i 1,, n
p
x1 ,, x n
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• n维连续型随机变量 X=(X1, X2, , Xn) 联合概率密度 f(x1, x2, , xn) X=(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为
连续型随机变量
x
EX=1/λ DX=1/λ2
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随机变量的函数的数学期望
例：假定X有如下概率质量函数： p(0)=0.2, p(1)=0.5, p(2)=0.3, 计算E[X2] 解 ：令Y=X2，Y是随机变量，取值为 0,1,4，相应概率为 pY(0)=P{Y=02}=0.2, pY(1)=P{Y=12}=0.5, pY(4)=P{Y=22}=0.3。 E[X2]= E[Y]=0(0.2)+1(0.5)+4(0.3) = 1.7
i 1 n
其中xi是Xti的任意可能值(i =1, 2, , n)
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• 若{Xt , tT}是一族连续型随机变量，则 独立性等价于
f t1 ,,t n ( x1 , x 2 , , x n ) f t i ( x i )
i 1
n
其中 f t1 ,,tn ( x1 , x2 , , xn ) 是n维随机变量
P ( x B) f ( 的概率密度函数
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• 连续型随机变量X的分布函数F(x)与概率密 度函数f(x)的关系
F ( x) P{ X (, x)}
(1)均匀分布
x

f (t )dt
• 常见连续型随机变量X 及其概率密度
1 ,a x b f ( x) b a 0 , 其它
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对 x =(x1, x2, , xn) Rn ，称 F(x) = F(x1, x2, , xn) = P{e:X1(e)x1, X2(e)x2, ,Xn(e)xn} 为 n 维随机变量 X=(X1, X2, , Xn) 的 联合分布函数
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•
n维联合分布函数F(x1, x2, , xn)的性质 F(x1, x2, , xn)是非降函数
Eg ( X ) g ( x1 , , x n )dF ( x1 , , x n )

(2)随机变量 X 的期望值E[X]（均值，一阶矩） E[Xn]，n≥1，称为X的n阶矩。
x n p ( x) x是离散的 x: p ( x ) 0 n E[ X ] x n f ( x)dx x是连续的
P ( X t1 x1 , X t2 x2 , , X tn xn ) P ( X ti xi )
i 1 n
则称{ Xt ,
tT }是独立的。
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• 若{Xt , tT}是一族离散型随机变量，则 独立性等价于
P ( X t1 x1 , X t 2 x 2 , , X t n x n ) P ( X t i x i )
( X t1 , X t2 , , X tn ) 的联合概率密度,
f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度(i=1,2,,n) i
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• 随机变量的数字特征的性质 (1)若n维随机变量 X=(X1,X2,,Xn) 的联合分 布函数为F(x1,x2,,xn)，g(x1,x2,,xn)是 n维连续函数，则
k 1
• 对连续型随机变量X，概率密度f(x)的 数学期望
EX xf ( x )dx

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离散型随机变量-数学期望
(1)伯努利随机变量（0-1分布，两点分布） P(X=1)=p， P(X=0)=q， 0<p<1， p+q=1 EX=p, DX=p(1-p) (2)二项随机变量（二项分布） P(X=k) = C p q 0<p<1, p+q=1,
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例：在一次聚会上，N个人将帽子扔到房间的 中央。帽子混杂了以后，每个人随机地取一个。 计算取到自己的帽子的人的期望数。 解：以X表示取到自己帽子的人数。 （通过 X=X1+…+XN 计算E[X] ）