第五章 偏微分方程的有限元法
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x1
计 算 物 理 学
x1 d F F F J y dx ydx y x0 x0 dx y y y x0 x1
x1
x1
x0
F d F F y 0 ydx y y dx y x0
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数， 而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即 自变量为函数，而不是变量。
Harbin Institute of Technology Yangkun
kyang@hit.edu.cn
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
计 算 物 理 学
第五章
偏微分方程的有限元法
5.1 泛函与变分原理 5.2 基于变分原理的有限元法 5.3 matlab有限元法工具箱
Harbin Institute of Technology Yangkun
kyang@hit.edu.cn
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM） 计 有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问 算 物 题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 泛函取极值的必要条件：一阶变分为零
J 0
性质：对于最简泛函，变分运算可以与积分、微 分运算交换次序
kyang@hit.edu.cn 17/104
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1 y 2 F 2 gy
kyang@hit.edu.cn
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1 y 2 F 2 gy
计 算 物 理 学
5.1 泛函与变分原理
F y 2 y 2 gy 1 y
F 1 y2 3 y 2 2 g y 2
代入欧拉方程
F d F 1 y2 d y 3 2 y dx y 2 2 g y 2 dx 2 gy 1 y 1 y 2 2y
3 2
0
d dx
0 y 1 y 2 y
理 学 有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互 连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推 导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不 是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适 应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。 有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结 构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用 于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的 各类物理场中。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
J [ y( x)] F ( x, y, y)dx
x0
x1
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数” 最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解 。
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 对于例5.1.1求下落时间最短的轨迹
T
x1
x0
1 y 2 dx J [ y ( x)] 2 gy
J [ y ( x)] min
利用最简泛函的欧拉方程。
F d F 0 y dx y
y Y ( x) y( x)
变分δy是x的函数，它不同于函数的 增量Δy。
y y x x y x
Y ( x) y( x) ( y)
kyang@hit.edu.cn 9/104
性质：函数求导与求变分可以交换次序
y Y ( x) y( x)
y x x 0
x x1
0
x1
对于驻定问题，两边界固定
F d F 0 y dx y
这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
Baidu Nhomakorabea
5.1.2 函数的变分
设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为 新函数Y(x) ，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x) 之差为函数y(x)的变分。
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点 计 算 1. 有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变 物 分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理 理 （如力学中的最小势能原理）。 学 2. 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒 质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点： ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
x1 x1 J F ( x, y, y)dx F ( x, y, y )dx x0 x0 dy y d dx dx
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
5.1.1 泛函的定义
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的 “函数”。 设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为 y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
O x0 A x1 x
捷线问题
B y
曲线上任一小段线元长度为：
dy ds dx dy (1 )dx2 dx
2 2 2
2
ds (1 y2 ) dx
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y ( y)
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F F d F F d F )dx J ( y 5.1 y泛函与变分原理 y y y x0 y y dx y dx y y
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 线元处的质点速度为
O x0 A x1 x
v 2gy
ds线元下落时间为
y
B
ds 1 y 2 dT dx v 2 gy
从A点到B点的下落时间为
T
x1
x0
1 y 2 dx J [ y ( x)] 2 gy
J [ y ( x)] min
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
Fy y Fy y x1 J 1 dx 2 2 x0 Fyy y 2 Fyy y y Fyy y 2! J 2J F 2 F Fy Fyy 2 其中 y y x1 J Fy y Fy y dx x0 J J ( y y) J ( y) 1 x1 2 2 2 J Fyy y 2 Fyy y y Fyy y dx 2 x0
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第五章 偏微分方程的有限元法
计 算 物 理 学
有限元法---变分原理
基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变 分与泛函分析的巧妙结合。 基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所 要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问 题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一 单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分 问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这 个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的 代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的 数值解。
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第五章 偏微分方程的有限元法
计 有限元法--加权余数法 算 物 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余 理 数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程， 学 因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理 场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。 加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存 在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等 式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。
计 算 物 理 学
利用二元函数的泰勒展开
F ( x, y y, y y) 1 F ( x, y, y) F ( x, y, y) F ( x, y, y) y y 1! y y
2 2 1 2 F ( x, y, y) 2 F ( x, y , y ) 2 F ( x, y , y ) y 2 y y y 2 2 2! y yy y
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 转化为微分方程：欧拉方程 理 学 泛函的一阶变分 x1 F
5.1.4 泛函的极值问题 1 泛函的极值问题的间接解法
J 0
F J ( y y)dx x0 y y
利用
d F d F F d y y y dx y y dx dx y d F F y y dx y y
泛函的变分
J J ( y y) J ( y) F ( x, y y, y y) F ( x, y, y)dx
x1 x0
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
x1 d F F F J y dx ydx y x0 x0 dx y y y x0 x1
x1
x1
x0
F d F F y 0 ydx y y dx y x0
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数， 而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即 自变量为函数，而不是变量。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
计 算 物 理 学
第五章
偏微分方程的有限元法
5.1 泛函与变分原理 5.2 基于变分原理的有限元法 5.3 matlab有限元法工具箱
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM） 计 有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问 算 物 题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 泛函取极值的必要条件：一阶变分为零
J 0
性质：对于最简泛函，变分运算可以与积分、微 分运算交换次序
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1 y 2 F 2 gy
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5.1 泛函与变分原理
F y 2 y 2 gy 1 y
F 1 y2 3 y 2 2 g y 2
代入欧拉方程
F d F 1 y2 d y 3 2 y dx y 2 2 g y 2 dx 2 gy 1 y 1 y 2 2y
3 2
0
d dx
0 y 1 y 2 y
理 学 有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互 连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推 导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不 是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适 应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。 有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结 构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用 于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的 各类物理场中。
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5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
J [ y( x)] F ( x, y, y)dx
x0
x1
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数” 最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解 。
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 对于例5.1.1求下落时间最短的轨迹
T
x1
x0
1 y 2 dx J [ y ( x)] 2 gy
J [ y ( x)] min
利用最简泛函的欧拉方程。
F d F 0 y dx y
y Y ( x) y( x)
变分δy是x的函数，它不同于函数的 增量Δy。
y y x x y x
Y ( x) y( x) ( y)
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性质：函数求导与求变分可以交换次序
y Y ( x) y( x)
y x x 0
x x1
0
x1
对于驻定问题，两边界固定
F d F 0 y dx y
这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。
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5.1.2 函数的变分
设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为 新函数Y(x) ，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x) 之差为函数y(x)的变分。
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点 计 算 1. 有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变 物 分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理 理 （如力学中的最小势能原理）。 学 2. 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒 质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点： ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
x1 x1 J F ( x, y, y)dx F ( x, y, y )dx x0 x0 dy y d dx dx
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5.1.1 泛函的定义
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的 “函数”。 设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为 y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
O x0 A x1 x
捷线问题
B y
曲线上任一小段线元长度为：
dy ds dx dy (1 )dx2 dx
2 2 2
2
ds (1 y2 ) dx
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y ( y)
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F F d F F d F )dx J ( y 5.1 y泛函与变分原理 y y y x0 y y dx y dx y y
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理 学 线元处的质点速度为
O x0 A x1 x
v 2gy
ds线元下落时间为
y
B
ds 1 y 2 dT dx v 2 gy
从A点到B点的下落时间为
T
x1
x0
1 y 2 dx J [ y ( x)] 2 gy
J [ y ( x)] min
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计 算 物 理 学
Fy y Fy y x1 J 1 dx 2 2 x0 Fyy y 2 Fyy y y Fyy y 2! J 2J F 2 F Fy Fyy 2 其中 y y x1 J Fy y Fy y dx x0 J J ( y y) J ( y) 1 x1 2 2 2 J Fyy y 2 Fyy y y Fyy y dx 2 x0
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有限元法---变分原理
基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变 分与泛函分析的巧妙结合。 基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所 要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问 题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一 单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分 问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这 个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的 代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的 数值解。
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第五章 偏微分方程的有限元法
计 有限元法--加权余数法 算 物 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余 理 数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程， 学 因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理 场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。 加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存 在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等 式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。
计 算 物 理 学
利用二元函数的泰勒展开
F ( x, y y, y y) 1 F ( x, y, y) F ( x, y, y) F ( x, y, y) y y 1! y y
2 2 1 2 F ( x, y, y) 2 F ( x, y , y ) 2 F ( x, y , y ) y 2 y y y 2 2 2! y yy y
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 转化为微分方程：欧拉方程 理 学 泛函的一阶变分 x1 F
5.1.4 泛函的极值问题 1 泛函的极值问题的间接解法
J 0
F J ( y y)dx x0 y y
利用
d F d F F d y y y dx y y dx dx y d F F y y dx y y
泛函的变分
J J ( y y) J ( y) F ( x, y y, y y) F ( x, y, y)dx
x1 x0
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5.1 泛函与变分原理