北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》(文)及答案

北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2013年北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．2、（昌平区2015届高三上期末）已知数列}{n a 满足*134(1),n n a a n n ++=≥∈N ，且,91=a 其前n 项之和为n S ，则满足不等式1|6|40n S n --<成立的n 的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.43、（房山区2015届高三一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．12-nB ．1)23(-nC ．1)32(-n D ．121-n4、（海淀区2015届高三一模）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若36a =-，15S S =，则公差d =________；n S 的最小值为 .5、（海淀区2015届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0()*N n a n ≠∈，1n n n a a S +=，则31a a -= .6、已知等差数列b a ,,1,等比数列5,2,3++b a ,则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-7、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,3420a a +=,则31S a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．58、等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ．21D ．279、在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．31D ．6410、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==,则10S =（ ）A ．55B ．81C ．90D ．100二、解答题1、（2015年北京高考）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？2、（2014年北京高考）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =， 且{}n n b a -为等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.3、（2013年北京高考）给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．4、（昌平区2015届高三上期末）在等比数列{}n a 中，252,16a a ==. （I ）求等比数列{}n a 的通项公式；（II ）若等差数列{}n b 中，1582,b a b a ==，求等差数列{}n b 的前n 项的和n S ，并求n S 的最大值.5、（朝阳区2015届高三一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．6、（东城区2015届高三二模）已知等比数列{}n a 的前4项和45S =，且12234,,2a a a 成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n ．7、（房山区2015届高三一模）已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程01432=+-x x 的整数解. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.8、（丰台区2015届高三一模）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）如果m n a b =*(N )n ∈，写出m ，n 的关系式()m f n =，并求(1)(2)()f f f n +++．9、（丰台区2015届高三二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足111a b ==，332S b =+，551S b =-．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）如果数列{}n b 为递增数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．10、（海淀区2015届高三一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12(*)n n a a n +=∈N ，且2a 是2S 与1的等差中项.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列1{}na 的前n 项和为n T ,且对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立,求实数λ的最小值.11、（海淀区2015届高三二模）已知数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，又数列}{n b 满足n n a b 2log 2=，n S 是数列}{n b 的前n 项和.（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，都有n kn kS S a a ≤成立，求正整数k 的值.12、（石景山区2015届高三一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，均在函数y x=的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 为等比数列，且11231,8b bb b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．13、（西城区2015届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121nb b b ++++的大小．14、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*;②点),(n n n S a P 在函数22xx x f +=)(的图象上;(I)求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ; (II)求证:10121<-≤+++||||n n n n P P P P .15、已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .参考答案一、填空、选择题1、2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.2、C3、B4、12，－545、16、 C7、B8、 A9、 A 10、 D二、解答题1、【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.2、解：（Ⅰ） 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ， 由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，（Ⅱ）由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．3、解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1. 因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q (i ＝1，2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．4、解：（I ）在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为 252,16a a ==,所以 1412,16a q a q =⎧⎨=⎩得112a q =⎧⎨=⎩ 所以 数列{}n a 的通项公式是 12n n a -=. ……………5分（II ）在等差数列{}n b 中，设公差为d .因为 1582,b a b a ==,所以 1582=16,=2b a b a =⎧⎨=⎩ 1116,+7=2b b d =⎧⎨⎩ 1=16,=2b d ⎧⎨-⎩ ……………9分方法一 21(1)172n n n S b n d n n -=+=-+， 当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分 方法二由182n b n =-,当1820n b n =-≥,解得9n ≤,即980, 2.a a ==所以当89n =或时，S n 最大值为72. ……………13分 5、（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ……… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==． 所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩ ……… 6分 （Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分6、解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为12234,,2a a a 成等差数列， 所以12243a a a +=.整理得122a a =，即112a a q =，解得2q =.又414(12)512a S -==-，解得113a =. 所以1123n n a -=⨯. …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1a -1=3-,所以172+(1)()33n nb n -=-=-.n T 72+(13)3=26n n n n --⨯=. …………………………10分 所以由10n T ->，得[13(1)](1)06n n --->， 整理得(1)(14)0n n --<， 解得114n <<.故满足10n T ->的最大正整数为13. …………………………13分7、解：（I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21，………………2分所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n ………………4分（II ）数列}{n a 的前n 项和2n S n =………………6分等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，13-=n n b……………9分数列}{n b 的前n 项和2133131-=--=n n n T ……………11分n n S T ≤即2213n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2 ……………13分8、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩．解得 23d q =⎧⎨=⎩或 10d q =-⎧⎨=⎩（舍）．所以21n a n =-，13n n b -=． ……………………6分（Ⅱ）因为m n a b =，所以1213n m --=，即11(31)2n m -=+． 0111(1)(2)()(313131)2n f f f n -++=++++++0111(333)2n n -=++++113()213nn -=+-3214n n +-=． ……………………13分所以(1)(2)()f f f n +++3214n n +-=．9、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则由题意得243325101d q d q ⎧+=+⎨+=-⎩．代入得29450d d --=，解得1d =或59d =-（舍）． 所以2q =±．所以n a n = ；12n n b -=或1(2)n n b -=-． ……………………7分（Ⅱ）因为数列{}n b 为递增数列，所以12n n b -=．所以0121122232...2n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，相减得012122222n n n T n --=++++-⨯，所以 1(1)2n n T n =+-． ……………………13分10、解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分 所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=. 所以111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}na 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分所以 数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n n T -==--. ………………11分 因为 102n >，所以 12(1)22n n T =-<.若2b <，当22log ()2n b>-时，n T b >. 所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为2. ………………13分 11、解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 1222n n n a -=⨯=. ………………2分 所以 222log 2log 22n n n b a n ===. ………………3分 所以 2(22)24+22n n n S n n n +=++==+. ………………6分 （Ⅱ）令2(1)22n n n nn S n n n n c a ++===. 则11111(1)(2)(1)(1)(2)222n n n n n n n n n S S n n n n n n c c a a +++++++++--=-=-=. ………………9分 所以 当1n =时，12c c <； 当2n =时，32c c =；当3n ≥时，10n n c c +-<，即345c c c >>>.所以 数列{}n c 中最大项为2c 和3c .所以 存在2k =或3，使得对任意的正整数n ，都有k nk nS S a a ≥. ………………13分 12、（Ⅰ）依题意得nS n n=，即2=n S n ． 当n =1时，a 1=S 1=1 ……………1分 当n ≥2时，121n n n a S S n -=-=-； ……………3分 当n =1时，a 1=211⨯- =1所以21n a n =- ……………4分(Ⅱ) 312328bb b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=， 错误！未找到引用源。