二次函数图像与系数关系

二次函数图象与系数的关系
知识点
一、二次函数错误!未找到引用源。

的图象与性质
二次函数错误!未找到引用源。

图象可由抛物线错误!未找到引用源。

平移个单位，再平移个单位而得到. 平移规律如下：
(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；
(2)抛物线的移动主要看的移动，即在平移时只要抓住的位置变化就可以了；
(3)平移规律：“上加下减，左加右减”.
(4)抛物线错误!未找到引用源。

经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。

；
(5)抛物线错误!未找到引用源。

的对称轴是直线，顶点坐标是.
二次函数错误!未找到引用源。

的性质列表如下：
函数
错误!未找到引用源。

的符号错误!未找到引用源。

错误!
未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!
未找到引用源。

图象
开口方向对称轴顶点坐标
最值
函数的增减性
二、错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的互相转化
1.通过、可以将错误!未找到引用源。

化为错误!未找到引用源。

.
2.利用可以将错误!未找到引用源。

转化为错误!未找到引用源。

.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.
因此，二次函数错误!未找到引用源。

的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标
是.
三、二次函数错误!未找到引用源。

的图象及性质
函数
错误!未找到引用源。

的符号错误!未找到引用源。

错误!未找
到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找
到引用源。

图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
拓展：对于抛物线错误!未找到引用源。

.
(1)若已知在直线错误!未找到引用源。

的一侧，图象上升或下降，(能/不能)确定直线错误!未找到引用源。

是该抛物线的对称轴.
(2)若已知在直线错误!未找到引用源。

的两侧，图象一侧上升而另一侧下降，则(能/不能)确定该直线
就是该抛物线的对称轴.
四、二次函数错误!未找到引用源。

的图象特征与错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

大小之间的关系
项目
字母的大小图象的特征
字母
(1)由抛物线开口方向可确定错误!未找到引用源。

的符号，简记为“上正下负”，即：开口向上时，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

；开口向下时，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.
(2)由错误!未找到引用源。

的符号及对称轴错误!未找到引用源。

的位置可确定错误!未找到引用源。

的符号.一般情况下，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

的符号可简记为“左同右异”，即：对称轴在错误!未找到引用源。

轴左侧时，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

号；对称轴在错误!未找到引用源。

轴右侧时，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

号；特别地，当对称轴为错误!未找到引用源。

轴时，错误!未找到引用源。

.
(3)错误!未找到引用源。

为抛物线与错误!未找到引用源。

轴交点的纵坐标，一般情况下可简记为“上正下负”，即：抛物线与错误!未找到引用源。

轴正半轴相交时，错误!未找到引用源。

为；与错误!未找到引用源。

轴负半轴相交时，错误!未找到引用源。

为；当抛物线与错误!未找到引用源。

轴交于原点时，错误!未找到引用源。

为.
题型一二次函数图像的平移
【例1】.将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y=2（x-1）2+2 B.y=2（x+1）2+2 C.y=2（x-1）2-2 D.y=2（x+1）2-2
【例2】在平面直角坐标系中，如果抛物线错误!未找到引用源。

不动，而把错误!未找到引用源。

轴、错误!未找到引用源。

轴分别向上、向右平移3个单位长度，那么在新坐标系下此抛物线对应的函数表达式是（）A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【过关练习】
1.将抛物线错误!未找到引用源。

向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应函数表达式为（）
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

y 可以由抛物线错误!未找到引用源。

平移得到，则下列平移过程中正确的是（）
2.抛物线2x
A.先向上平移5个单位，再向左平移3个单位
B.先向左平移3个单位，再向下平移5个单位
C.先向下平移5个单位，再向右平移3个单位
D.先向右平移3个单位，再向上平移5个单位
题型二二次函数错误!未找到引用源。

的图象与性质
【例1】.抛物线错误!未找到引用源。

的顶点坐标是（）
A.(-1,2)
B.(-1,-2)
C.(1,-2)
D.(1,2)
【例2】若抛物线错误!未找到引用源。

的顶点在第一象限，则错误!未找到引用源。

的取值范围为（）A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【例3】对于抛物线错误!未找到引用源。

，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线错误!未找到引用源。

；③顶点坐标为(-1,3)；④错误!未找到引用源。

时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4
【过关练习】
1.抛物线错误!未找到引用源。

的对称轴是（）
A.错误!未找到引用源。

轴
B.直线错误!未找到引用源。

C.直线错误!未找到引用源。

D.直线错误!未找到引用源。

2.已知二次函数错误!未找到引用源。

.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线错误!未找到引用源。

；③其图象的顶点坐标为(3,-1)；④当错误!未找到引用源。

时，y随x的增大而减小.则其中说法正确的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.设A(-2,错误!未找到引用源。

)，B(1,错误!未找到引用源。

),C(2,错误!未找到引用源。

)是抛物线错误!未找到引用源。

上的三点，则错误!未找到引用源。

的大小关系为（）
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

题型三二次函数错误!未找到引用源。

图像的平移
【例1】将抛物线错误!未找到引用源。

向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，得到的抛物线表达式为（）
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【例2】把函数错误!未找到引用源。

的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为错误!未找到引用源。

，则（）
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【过关练习】
1. 把函数错误!未找到引用源。

的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为错误!未找到引用源。

，则（）
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

2. 在平面直角坐标系中，将抛物线错误!未找到引用源。

向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛
物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）
A.1
B.2
C.3
D.6
3.二次函数错误!未找到引用源。

的图象可由二次函数错误!未找到引用源。

的图象经过怎样的平移得到？
题型四二次函数错误!未找到引用源。

图像性质
【例1】二次函数错误!未找到引用源。

的图象，下列说法错误的是（）
A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)
B.顶点坐标是(1,-3)
C. 函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(-1,0)
D.当错误!未找到引用源。

时，y随x的增大而减小
【例2】若抛物线错误!未找到引用源。

的顶点在x轴上，则错误!未找到引用源。

.
【例3】在二次函数错误!未找到引用源。

中，当错误!未找到引用源。

时，y的最大值和最小值分别是（）A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【过关练习】
1. 抛物线错误!未找到引用源。

的顶点坐标是.
2.当错误!未找到引用源。

时，二次函数错误!未找到引用源。

有最大值4，则实数m的值为（）
A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

题型四 二次函数错误!未找到引用源。

图像与系数关系
【例1】如图是二次函数c bx ax y ++=2
图象的一部分，其对称轴为1-=x ，且过点）（0,3-，下列说法:①0＜abc ；②02=-b a ；③024＜c b a ++；④若）（1,5y -，错误!未找到引用源。

是抛物线上两点，
则21y y ＞。

其中说法正确的是（ ）
A .①②
B .②③
C .①②④
D .②③④
【例2】如图所示，四个二次函数的图象中，分别对应的是①2
ax y =；②2
bx y =；③2
cx y =；④2
dx y =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（
）
A .d c b a ＞＞＞
B .c d b a ＞＞＞
C .d c a b ＞＞＞
D .c d a b ＞＞＞
【例3】.当抛物线22
+-=nx x y 的对称轴是y 轴时，n _____0；当对称轴在y 轴左侧时，n _____0；当对称轴在y 轴右侧时，n _____0.（填“＞”“＜”或“=”）
【过关练习】
1. 二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A .0＜a ，0＜b ，0＞c ，042
＞ac b -
B .0＞a ，0＜b ，0＞c ，042
＜ac b -
C .0＜a ，0＞b ，0＜c ，042
＞ac b - D .0＜a ，0＞b ，0＞c ，042
＞ac b -
2. 如图是二次函数c bx ax y ++=2
图象的一部分，图象过点）（0,3-A ，对称轴为直线1-=x ，给出四个结论：①ac b 42＞；②02=+b a ；③0＞c b a ++；④若点）（1,25y B -,）（2,2
1
y C -为函数图象上的两点,则21y y ＜.其中正确结论是____________________.
课后练习
【补救练习】
1. 抛物线2
-x y =可以由抛物线y = -（x -3）2-5错误!未找到引用源。

平移得到，则下列平移过程中正确的是（ ）
A .先向上平移5个单位，再向左平移3个单位
B .先向左平移3个单位，再向下平移5个单位
C .先向下平移5个单位，再向右平移3个单位
D .先向右平移3个单位，再向上平移5个单位
2. 下列二次函数中，图象以直线（2，-1）为对称轴，且经过点(0,1)的是（ ） A .错误!未找到引用源。

B .错误!未找到引用源。

C . y = -（x -2）2-1错误!未找到引用源。

D . y = -（x +2）2-1
3． 在二次函数y = -x 2+3x -2中，对称轴为 ，顶点坐标为 。

错误!未找到引用源。

4在二次函数c bx ax y ++=2中，0＜a ，0＞b ，0＜c ，则符合条件的图象是(
)
【巩固练习】
1. 将抛物线错误!未找到引用源。

y = -2x 2+5x -2向上平移2个单位，向左平移2个单位得到的抛物线的表达式为
.
2.若二次函数错误!未找到引用源。

的x 与y 的部分对应值如下表： x
y
则当错误!未找到引用源。

时，y 的值为（ ） A .错误!未找到引用源。

B .错误!未找到引用源。

C .错误!未找到引用源。

D .错误!未找到引用源。

3. 二次函数y = -x 2+2x -2错误!未找到引用源。

的图象可由二次函数 y = -x 2-x -3的图象经过怎样的平移得到？
4. 如图是二次函数c bx ax y ++=2
图象的一部分，图象过点）（0,3-A ，对称轴为直线1-=x ，给出四个结论：①ac b 42＞；②02=+b a ；③0＞c b a ++；④若点）（1,25y B -,）（2,2
1
y C -为函数图象上的两点,则21y y ＜.其中正确结论是____________________.
【拔高练习】
1. 抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 图象如图所示，则一次函数 y ＝－ bx －4 ac ＋ b 2与反比例函数 y ＝ a + b + c x 在同一坐标系内的图象大致为(
)
2.如图，二次函数的图象经过(-2,-1)，(1,1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）
A.错误!未找到引用源。

的最大值小于0
B.当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

的值大于1
C.当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

的值大于1
D.当错误!未找到引用源。

时，错误!未找到引用源。

的值小于0
3.已知二次函数错误!未找到引用源。

.
(1)当错误!未找到引用源。

时，求二次函数的最小值；
(2)当错误!未找到引用源。

时，若在函数值错误!未找到引用源。

的情况下，只有一个自变量错误!未找到引用源。

的值与其对应，求此时二次函数的表达式；
(3)当错误!未找到引用源。

时，若在自变量错误!未找到引用源。

的值满足错误!未找到引用源。

的情况下，与其对应的函数值错误!未找到引用源。

的最小值为21，求此时二次函数的表达式.。