导数综合题分类归纳(1)

1、不等式恒成立问题或存在问题
例一、已知函数).ln()(m x e x f x +-=
(1)设)(0x f x 是=的极值点，求m 。

并讨论)(x f 的单调性。

(2)当0)(2 x f m 时，证明≤
例一、设函数R b a bx x a x f ∈-=,,ln )(2。

（1）若函数)(x f 在1=x 处与直线2
1-=y 相切。

①求实数,a b 的值； ②求函数],1[)(e e
x f 在上的最大值; （2）当0b =时，若不等式x m x f +≥)(对所有的],1(],2
3,0[2e x a ∈∈都成立，求实数m 的取值范围。

例二、已知函数2
2()ln ()a f x x a x a x
=+-∈R ． （1）讨论函数()y f x =的单调区间；
（2）设2()24ln 2g x x bx =-+-，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对
数的底数），12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．
例三、已知函数()f x 是定义在[)
(],00,e e -上的奇函数,当(]0,x e ∈时, ()ln f x ax x =+（其中e 是自然对数的底数, a R ∈）．
（1）求()f x 的解析式;
（2）设1-=a ，x x x g ln )(-=，求证：当(]0,x e ∈时，21)()(+<x g x f 恒成立； （3）是否存在负数a ，使得当(]0,x e ∈时，()f x 的最大值是3-？如果存在，求出实
数a 的值；如果不存在，请说明理由．
例四、已知函数()2ln .p f x px x x
=-- （1）若2p =，求曲线()(1,(1))f x f 在点处的切线；
（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；
（3）设函数2(),[1,]e g x e x
=
若在上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围。

2、切线问题
例一、已知函数）
（）（023≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数，且1-=x 时，函数取极值1．
(1)求c b a ，，的值；
(2)若[]1121，，-∈x x ，求证：221≤-）（）（x f x f ；
(3)求证：曲线)(x f y =上不存在两个不同的点B A ，，使在B A ，两点处的切线都垂直于直线AB ．
例二、已知函数）
，在点（)1(1),(3)(23f R b a x bx ax x f ∈-+=处的切线方程为02=+y . (1) 求函数)(x f 解析式
(2) 若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值21,x x 都有c x f x f ≤-)()(21,求实数c 的最小值
(3) 若过点)2)(,2(≠m m M 可做曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围
3、求交点或根的问题 例一、已知函数)0()(,ln )(<=
=a x a x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≥
k 恒成立，求实数a 的最大值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1
2(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。

例二、已知函数.)(,)2(),2](,2[)33()(2n t f m f t t e x x x f x ==-->-⋅+-=设定义域为 （I ）试确定t 的取值范围，使得函数],2[)(t x f -在上为单调函数；
（II ）求证：m n >；
（III ）求证：对于任意的200)1(3
2)(),,2(,20-='-∈->t e x f t x t x 满足总存在，并确定这样的0x 的个数。

4、不等式一边加和或裂项问题
例一、已知函数R a x x a x f ∈+-=,ln )1()(2
(1) 当1=a 时，判断函数)(x f 的单调性并求出单调区间；
（2）若函数)(x f 的图像与直线x y =至少有一个交点，求实数a 的取值范围
（3）证明：对任意成立，都有∑=+-+∈n i i
i n N n 121
)1ln( 。

例二、已知函数,1)(22
+-=x x x x f 对一切正整数n ，数列{}n a 定义如下：
211=a 且
)(1n n a f a =+,前n 项和为n S
（1）求函数)(x f 的单调区间，并求值域
（2）证明{}{}x x f f x x x f x ===))(()(
（3）对一切正整数n ，证明：12;11 n n n S a a 、、+
5、含参含绝对值
例一、 设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .
(1) 当1=a 时,求曲线)(x
f y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈
x 时,求函数)(x f 的最小值.
例二、设a 为实数，函数
2()2()||f x x x a x a =+--. (1) 若
(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2) 求()f x 的最小值；
(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =
∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.
6、不等式放缩
例一、设关于x 的方程012=--mx x 有两个实根α、β，且βα<。

定义函数
.1
2)(2+-=x m x x f （I ）求)(ααf 的值；
（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明；
（III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),(),(βμ
λμβλααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(
|βαμ
λλβμαμλμβλα-<++-++f f
7、新定义或概念题
例一、设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程)
(x f 0=-x 有实数根；②
函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f .”
（I ）判断函数4
sin 2)(x x x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意
[m ，n]⊆D ，都存在0x ∈[m ，n]，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”， 试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根
（III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当.。