高中数学命题热点名师解密专题：函数问题的解题规律(有答案)

合集下载

高一高二高三数学必备：常见函数题型解题方法规律汇总及经典求法

⾼⼀⾼⼆⾼三数学必备：常见函数题型解题⽅法规律汇总及经典求法Hello，⼤家好，我是洪⽼师，⾼⼀很多都是刚刚学完必修⼀、必修四的内容的。

所以函数这块
的基础以及这些函数的题型的规律⽅法对⼤家来讲，是很有必要来巩固这个数学的基础的！
函数很重要，是⾼中数学的灵魂所在，很多⼤⼤⼩⼩的题型、重点难点都是必定要从这个函数
进⾏考的。

⽽其中最值和函数值域这样的题型必定要，⽽且还考得很多，有压轴难题也有这个常规的选择
题型，⾥⾯都考了这个函数。

下⾯是洪⽼师给⼤家整理⾼中数学⾼⼀⾼⼆
⾼三都应该掌握的⼀些常见函数题型解题⽅
法规律汇总及经典求法！
⽅法⼀观察法
解题模板：第⼀步观察函数中的特殊函数；
第⼆步利⽤这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
例题：
⽅法⼆分离常数法
解题模板：第⼀步观察函数类型，型如；
第⼆步对函数变形成形式；
第三步求出函数在定义域范围内的值域，进⽽求函数的值域.
例题：
⽅法三配⽅法
解题模板：第⼀步将⼆次函数配⽅成；
第⼆步根据⼆次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
例题：
⽅法四反函数法
ˎ解题模板：第⼀步求已知函数的反函数；
第⼆步求反函数的定义域；
第三步利⽤反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域
例题：
⽅法五换元法
解题模板：第⼀步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第⼆步另新元代换整体，得⼀新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
其它⽅法还有：⽅法六判别式法、基本不等式法、单调性法、导数法！。

高考数学破解命题陷阱专题02 函数问题的解题规律

专题02 函数问题的解题规律一、命题陷阱 1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和陷阱7.分段函数陷阱8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题二．例题分析及防范措施 1.定义域陷阱例1．已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 1a f x x =-的定义域为M ， ()()()log 1log 1a a g x x x =++-的定义域为N ，那么（）A. M N =B. M N M ⋃=C. M N M ⋂=D. M N ⋂=∅ 【答案】B故选B【防陷阱措施】与函数有关问题要先求定义域练习1．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. ()f x =()g x =B. ()f x =()g x =C. ()2lg f x x =与()2lg g x x =D. ()0f x x =与()01g x x=【答案】D练习2.下面各组函数中为相同函数的是___________.（填上正确的序号）①()211x f x x -=+， ()1g x x =- ②()()2ln 1f x x =-， ()()()ln 1ln 1g x x x =++-③()21f x x =+， 21s t =+ ④()1f x x =+， ()g x =【答案】③【解析】对于①，函数()211x f x x -=+的定义域为{x|x -1}≠，故两函数的定义域不同，不是相同函数。

对于②，由于两函数的定义域不同，故不是相同函数。

对于③，两函数的定义域、解析式都相同，故是相同函数。

对于④，()1f x x =+， ()g x == 1x +，故两函数的解析式不同，故不是相同函数。

综上②正确。

答案：②练习3.若函数()y f x =的定义域是[]0,3，则函数()()2f x g x x x=+的定义域是________．【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】∵函数y=f （x ）的定义域是[0，3]，∴由0≤2x≤3，得302x ≤≤，则由30{ 20x x x ≤≤+≠，解得30.2x <≤∴函数g （x ）=()2f x x x+的定义域是（0，32]．故答案为： 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．练习4.已知()32log 2x f x x -=+，则函数()22x F x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为________. 【答案】(－4，－1)∪(1,4)2.抽象函数的隐含条件陷阱例2.函数()f x 对一切实数,x y 均有()()()22f x y f y x y x +-=++成立，且()212f =. （1）求()0f 的值；（2）在()1,4上存在0x R ∈，使得()008f x ax -=成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()04f =；（2）()1,5-.【解析】（1）令2,0x y ==，则()()()20020228f f +-=++⋅= ∵()212f = ∴()04f =；（2）令0y =，易得： ()224f x x x =++.在()1,4上存在0x R ∈，使得()008f x ax -=成立，等价于方程2248x x ax ++-=在()1,4有解.即42,14a x x x=+-<<. 设函数()()()421,4g x x x x=-+∈.【防陷阱措施】分析抽象函数隐含的性质及变量范围练习1.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++ (),x y R ∈， ()12f =， ()1f -等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】因为()()()2f x y f x f y xy +=++， ()12f =，所以令1,0x y ==，得()()()1010f f f +=+，所以()00f =，再令1,1x y =-=-，得()()()0112f f f =-+-+，所以()11f -=，故选A.3.定义域和值域为全体实数陷阱例3.已知函数()21f x ax x a=-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭B. 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 11,,22⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B【防陷阱措施】分析定义域和值域的区别，找到运用的最值练习1.已知函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. []0,2B. ()2,+∞C. (]0,2 D. ()2,2- 【答案】A【解析】函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，只需24t axx a =-+取满()0,+∞，当0a =时， ()()4log 4f x x =-，值域为R 符合题意；当0a ≠时，只需2{1640a a >∆=-≥ ，解得02a <≤，综上可知02a ≤≤.练习2.若函数()122log ,01{ 25,1m x x f x x x m x +<≤=-+-+>的值域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(],3-∞【解析】因为()12g x log m x =+在(]0,1 上是递减函数， ()g x 有最小值()g 1m =,所以()12g x log ,01m x x =+<≤的取值范围是(],m -∞，因为()2h x 25x x m =-+-+在()1+∞，上递减，所以()()h x 16h m <=-,即()2h x 25x x m =-+-+在()1+∞，上的取值范围是(),6m -∞-，因为函数()122log ,01{25,1m x x f x x x m x +<≤=-+-+>的值域为R ，所以6m m -≥， 3m ≤，实数m 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞. 练习3.若函数224()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】3[0,)4练习4.若函数f(x)的定义域为R ，则m 的取值范围为________．【答案】1,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭练习5.命题:p 实数a 满足260a a +-≥,命题:q函数y =R ，若命题p q ∧为假， p q ∨ 为真，求实数a 的取值范围. 【答案】3a ≤-或02a ≤<或4a >.【解析】试题分析：分别求出当命题p q ，为真命题时a 的取值范围，由p q ∧为假， p q ∨ 为真可得则“p 真q 假”或“p 假q 真”，分两种情况分别求解即可。

高中函数解题技巧

高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。

本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。

技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。

2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。

技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。

通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。

2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。

3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。

技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。

2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。

技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。

2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。

技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。

2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。

技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。

2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。

高中数学解题技巧之函数问题

高中数学解题技巧之函数问题在高中数学中，函数问题是一个非常重要的考点。

掌握好函数的相关知识和解题技巧，对于学生来说至关重要。

本文将以具体的题目为例，分析函数问题的考点，并给出解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对函数问题。

一、函数的定义和性质函数是高中数学中最基本的概念之一。

在解函数问题时，首先要明确函数的定义和性质。

函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

函数的定义通常以“y=f(x)”的形式给出，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的表达式。

例如，考虑以下问题：已知函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-1，且f(1)=3，求f(5)的值。

这道题目涉及到函数的性质。

我们可以通过观察函数的表达式，发现f(x+2)和f(x)之间存在关系。

根据题目中给出的等式，我们可以得到一个递推公式：f(x+2)=2f(x)-1。

通过不断代入这个递推公式，我们可以求得f(5)的值。

二、函数的图像与性质函数的图像是解题中常用的工具之一。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，进而解决问题。

考虑以下问题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求f(2)的值。

[插入函数图像]对于这道题目，我们可以通过观察函数的图像来求解。

从图中可以看出，当x=2时，函数的值为2。

因此，f(2)=2。

三、函数的复合与反函数函数的复合和反函数是解决函数问题的重要手段。

通过复合函数和反函数的运算，我们可以得到新的函数，从而解决问题。

考虑以下问题：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2，求复合函数f(g(x))的表达式。

这道题目涉及到函数的复合运算。

我们可以先求出g(x)，然后将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。

首先，求出g(x)的表达式：g(x)=x^2。

然后，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))的表达式：f(g(x))=f(x^2)=2(x^2)+1=2x^2+1。

寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法

寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法寻找函数的规律—高中数学函数问题的解题方法在高中数学中，函数问题是一个重要的学习内容。

寻找函数的规律是解决函数问题的关键，下面将介绍一些解题方法，帮助同学们更好地理解和解决函数问题。

1. 列表法列表法是寻找函数规律的常见方法之一。

通过将自变量和函数值列成表格，观察函数值与自变量之间的关系，推断出函数的规律。

举个例子，考虑一个函数f(x) = 2x + 1，要求列出x从1到5的函数值。

我们可以使用列表法解决这个问题：x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |f(x)| 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |通过观察列表中的数字，我们可以发现f(x)的值始终比x的值大2，并且函数值与自变量之间存在线性关系。

因此，可以总结出函数f(x)的规律为：f(x) = 2x + 1。

2. 图像法图像法是寻找函数规律的另一种常用方法。

通过绘制函数的图像，观察图像的形状和趋势，推断出函数的规律。

以函数f(x) = x^2为例，我们可以绘制出其图像。

通过观察图像，我们可以看到函数图像为一个开口朝上的抛物线，顶点位于原点，曲线向右开口。

这个图像可以帮助我们理解函数f(x)的规律：随着x值的增加，f(x)的值也在增加，增加的速度越来越快。

3. 代数法代数法通常适用于一些具体的函数问题，通过代数表达式推导出函数的规律。

考虑函数f(x) = 3x + 2和g(x) = 2x + 4，现在需要比较f(x)和g(x)的大小。

我们可以通过代数法解决这个问题。

将f(x)和g(x)相减得到一个新的函数h(x) = f(x) - g(x)，化简后得到h(x) = x - 2。

这个代数表达式告诉我们，当x大于2时，h(x)的值为正数，也就是f(x)大于g(x)；当x小于2时，h(x)的值为负数，也就是f(x)小于g(x)；而当x等于2时，h(x)的值为0，也就是f(x)等于g(x)。

通过代数法，我们可以比较两个函数的大小，并得到函数规律：当x大于2时，f(x)大于g(x)；当x小于2时，f(x)小于g(x)；当x等于2时，f(x)等于g(x)。

高考数学函数典型题的解题方法讲解答题技巧

高考数学函数典型题的解题方法讲解答题技巧临近高考，考生一方面要根据自身情况寻找能够增加得分的难点，力求突破，更重要的另一方面是要回顾自己出过错误的地方，改正错误，辨析清楚有关概念，以免在考试中丢失应得的基础分数。

下面帮助考生就一些重要考点整理出一些易错的问题。

函数部分1.若函数f（_）=在定义域上是奇函数，则k= 。

【错解】因为f（_）是奇函数，则f=0，即f===0，于是k=1.【评析及正解】这里的问题是没有考虑0是否在定义域上，若0在定义域上，则f=0；若0不在定义域上，则f没有定义。

本题没有明确0是否在定义域上，因此不能用f=0求k的值。

正确的解法是因为f（_）是奇函数，则f（-_）=-f（_），于是有=-，k-k-2-_+k2·2_=-k-k2·2-_+2_+k，k2（2_+2-_）=2_+2-_，k2=1，k=±1 。

事实上，当k=1时，函数为f（_）=，其定义域是（-，+）；当k=-1时，函数f（_）=。

其定义域是（-，0）（0，+）。

2.已知y=loga（2-a_）在[0，1]上是_的减函数，则a的取值范围是【错解】因为y=loga（2-a_）是由y=logau和u=2-a_复合而成，又a>；0.所以u=2-a_在[0，1]上是_的减函数，由复合函数关系知y=logau应为增函数，所以a>；1.【评析及正解】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了函数的定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义。

正确的解法是因为y=loga（2-a_）是由y=logau和u=2-a_复合而成，又a>；0，所以u=2-a_在[0，1]上是_的减函数，由复合函数关系知y=logau应为增函数，所以a>；1；又由于_在[0，1]上时y=loga（2-a_）有意义，则u=2-a_>；0在[0，1]上恒成立，需要umin=（2-a_）min>；0，又因为u=2-a_是减函数，所以_=1时，u=2-a_取最小值是umin=2-a>；0即a综上可知所求a的取值范围是13.已知函数f（_）=log3_+2，_[，9]，f（_）=[f（_）]2-f（_2）的值域为（）。

2022年高考文数热点题型和提分秘籍专题05 函数的单调性、最值、奇偶性与周期性(解析版)

【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和争辩函数的性质．3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．4.会运用函数的图象理解和争辩函数的奇偶性．【热点题型】题型一函数单调性的推断例1、(1)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)(2)函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)．解析 (1)由(x 1－x 2)[ f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)是减函数，f (x )＝1x －x 求导，f ′(x )＝1x 2－1<0，∴f (x )＝1x －x 在(0，＋∞)是减函数．(2)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋1x 2＋1.∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，所以函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．答案 (1)C (2)减函数【提分秘籍】 (1)图象法作图象→看升降→归纳单调性区间(2)转化法(3)导数法求导→推断f ′x 正、负→单调性区间 (4)定义法取值→作差→变形→定号→单调性区间求函数的单调区间，肯定要留意定义域优先原则．【举一反三】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)题型二求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解析 (1)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1x ≥0，－x 2－2x ＋1x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2x ≥0，－x ＋12＋2x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法全都．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：假如f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)若函数f (x )的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必需在定义域内或给定的范围内进行．【举一反三】求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y ＝(a >0且a ≠1)；(2)y ＝log 12(4x －x 2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝e x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)<f (2)<f (3) B ．f (2)<f (3)<f (1) C ．f (3)<f (2)<f (1) D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )＝e x ＋cos x >0恒成立，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)．答案：D 【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式消灭，有时也应用于解答题中的某一问中． 2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题． (3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f ”号不等式的解法首先依据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后依据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要留意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性全都外，还要留意两段连接点的连接.【举一反三】已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，假如对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )．(1)求f (1)的值；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2. 解析：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)由题意知f (x )为(0，＋∞)上的减函数，且⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，3－x >0，∴x <0， ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)且f ⎝⎛⎭⎫12＝1. ∴f (－x )＋f (3－x )≥－2可化为f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝⎛⎭⎫12，即f (－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12≥0＝f (1)⇔f ⎝⎛⎭⎫－x 2＋f ⎝⎛⎭⎫3－x 2≥f (1)⇔f ⎝⎛⎭⎫－x 2·3－x 2≥f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.∴不等式的解集为{x |－1≤x <0}．【变式探究】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －a x <1log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,3)C.⎣⎡⎭⎫32，3D.⎝⎛⎭⎫1，32题型四函数奇偶性的判定例4、(1)下列函数不具有奇偶性的有________． ①f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x； ②f (x )＝x 3－x ； ③f (x )＝x 2＋|x |－2； ④f (x )＝lg x 2＋lg 1x 2；⑤f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0，－x 2＋x x >0(2)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 (1)①由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]，所以函数为非奇非偶函数．②∵x ∈R ，f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x )＝－f (x )．∴f (x )＝x 3－x 是奇函数． ③∵x ∈R ，f (－x )＝(－x )2＋|－x |－2＝x 2＋|x |－2＝f (x )，∴f(x)＝x2＋|x|－2是偶函数．④定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝lg x2＋lg 1x 2＝lg x2＋lg(x2)－1＝lg x2－lg x2＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．⑤当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．∴函数为奇函数．(2)若f(x)是奇函数，则对任意的x∈R，均有f(－x)＝－f(x)，即|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|是偶函数，即y＝|f(x)|的图象关于y轴对称．反过来，若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则不能得出y＝f(x)肯定是奇函数，比如y＝|x2|，明显，其图象关于y轴对称，但是y＝x2是偶函数．故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件．答案(1)①(2)B【提分秘籍】(1)判定函数奇偶性的常用方法及思路：①定义法：②图象法：③性质法：a.“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；b．“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；c．“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．(2)推断函数奇偶性时应留意问题：①分段函数奇偶性的推断，要留意定义域内x取值的任意性，应分段争辩，争辩时可依据x的范围取相应的解析式，推断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作推断．②“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．【举一反三】设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C题型五函数的周期性例5、已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2解析 ∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 014)＝f (2)＝2. 答案 A 【提分秘籍】函数周期性的推断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f (x ＋a )＝－f (x )⇒T ＝2a . 【举一反三】函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，关于原点对称，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数．答案：C题型六函数奇偶性、周期性等性质的综合应用例6、设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0) ＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案： 2 【提分秘籍】1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中经常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数值．(2)与函数图象有关的问题． (3)奇偶性、周期性单调性的综合． 2.应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值经常利用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和推断单调性. 【举一反三】设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则下列命题：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中正确命题的序号是________．【高考风向标】1.【2021高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出全部真命题的序号). 【答案】①④【解析】对于①，由于f '(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a 记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，可知函数h (x )先减后增，有最小值. 因此，对任意的a ，m ＝n 不肯定成立.③错误对于④，由f '(x )＝－g '(x )，即2x ln 2＝－2x －a令h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2＋2＞0恒成立，即h (x )是单调递增函数，当x →＋∞时，h (x )→＋∞ 当x →－∞时，h (x )→－∞因此对任意的a ，存在y ＝a 与函数h (x )有交点.④正确2.【2021高考陕西，文10】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C【解析】1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln22a b a b q f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+= 由于2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C3.【2021高考浙江，文12】已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是．【答案】1;2662--4.【2021高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）依据a 的不同取值，推断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若)3,1(∈a ，推断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.1．（2022·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排解选项C，由函数单调递增，排解选项A，D. 2．（2022·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A【解析】由偶函数的定义，可以排解C，D，又依据单调性，可得B不对．3．（2022·江苏卷）已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立．试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论．【解析】(1)证明：由于对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝e x(x>0)，则t>1，所以m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋ 1对任意t>1成立．由于t－1＋1t－1＋1≥2 （t－1）·1t－ 1＋1＝3, 所以－1t－1＋1t－1＋ 1≥－13，当且仅当t＝2, 即x＝ln 2时等号成立．因此实数m的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数g(x)＝e x＋1e x－a(－x3＋3x)，则g′(x) ＝e x－1e x＋3a(x2－1)．当x≥1时，e x－1e x>0，x2－1≥0.又a>0，故g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使e x0＋e－x0－a(－x30＋3x0 )<0 成立，当且仅当最小值g(1)<0，故e＋e－1－2a<0, 即a>e＋e－12.令函数h(x) ＝x－(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－e－1x. 令h′(x)＝0, 得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．留意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0.所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈⎝⎛⎭⎫e＋e－12，e⊆(1，e)时，h(a)<0，即a－1<(e－1)ln a，从而e a－1<a e－1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 4．（2022·四川卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出全部真命题的序号) 【答案】①③④【解析】若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，肯定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，假如存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，肯定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确5．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.【解析】(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不行能单调递增，也不行能单调递减．则g (x )不行能恒为正，也不行能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.6．（2021·北京卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．【答案】(－∞，2)【解析】函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log 12x 的值域为(－∞，0]；函数y＝2x 在R 上是增函数，当x<1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．7．（2021·北京卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x| 【答案】C【解析】对于A ，y ＝1x 是奇函数，排解．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排解．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排解．只有C 符合题意．8．（2021·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ． (－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 【答案】D【解析】由题意存在正数x 使得a>x －12x 成立，即a>⎝⎛⎭⎫x －12x min .由于x －12x是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－120＝－1，所以a>－1.答案为D. 9．（2021·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的微小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】C【解析】x →－∞时，f(x)<0，x →＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x 0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．若x 0是f(x)的微小值点，可能还有极大值点x 1，若x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.10．（2021·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线相互垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)． (2)证明：由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)．故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f ′(x)＝2x ＋2. 由于x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0，因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线相互垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a. 当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.② 由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h ′(t)＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t <0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln2－1，而当t ∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．11．（2021·四川卷）设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1] 【答案】A【高考押题】1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( )． A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2|x |解析对于C 中函数，当x >0时，y ＝－lg x ，故为(0，＋∞)上的减函数，且y ＝－lg |x |为偶函数．答案 C2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )在R 上为减函数且f (|x |)＜f (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1. 答案 D3．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析 ∵y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．答案 B4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 ( )．A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案 B5．函数y ＝－x 2＋2x －3(x ＜0)的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]解析二次函数的对称轴为x ＝1，又由于二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案 C6．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )． A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1， f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D7．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B.答案 B8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式肯定成立的是( )．A ．f ⎝⎛⎭⎫cos 2π3>f ⎝⎛⎭⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C10．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12D ．1解析f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D11．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数解析明显D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C12．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R )．(1)推断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，推断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，由于a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a <0，b <0时，由于a ·2x ，b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. (i)当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a2b ，解得x >log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b ； (ii)当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a2b，解得x <log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b . 14．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.15.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1， (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)的值．解析 (1)证明函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x －1，x ∈[1,2]． (3) ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0， f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1 又f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.16．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的全部x 的个数．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)解当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， ∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1， ∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x ，－1≤x ≤1，－12x －2，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的全部x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

高考数学命题热点名师解密专题：导数有关的构造函数方法(理)含答案解析

专题07 导数有关的构造函数方法一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________；⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型3.构造xe 形式的函数 4.构造成积的形式5.与ln x 有关的构造6.构造成商的形式7.对称问题（一）构造多项式函数例1．已知函数()()f x x R ∈满足()1f l =，且()f x 的导函数()1'2f x <，则()122x f x <+的解集为（） A. B.{}|x 1x <- C. D.{}|1x x >【答案】D考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数()F x ，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习 1.设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对于任意的实数x ，都有，当(,0)x ∈-∞时，.若，则实数m 的取值范围是（）A ．1[,)2-+∞ B ．3[,)2-+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 【答案】A 【解析】∵，设，则，∴()g x 为奇函数，又，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又等价于，即，∴1m m +≥-，解得12m ≥-．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，则，可得()g x 为奇函数，又，得()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果. 练习2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有，且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令，则，则，得()g x 为R 上的奇函数．∵0x >时，，故()g x 在(0,)+∞单调递增，再结合(0)0g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(,)-∞+∞为增函数，又则，即(],1a ∈-∞．故选B ．考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于a 的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件()f x x '>进行联想，构造出新函数，然后结合来研究函数()g x 的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式构造，最终得到关于a 的不等式，解得答案.（二）构造三角函数型例2．已知函数()f x 的定义域为R ,()'fx 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，且x R ∀∈，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】令，则.因为当[)0,x ∈+∞时，，即，所以，所以在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，，所以，所以，故为奇函数，所以在R 上单调递增，所以.即，故选B.练习1．已知函数)(x f y =对任意的满足（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】构造函数，则，即函数g （x ）在单调递增，则，，即，故A 正确．，即练习2．定义在)2,0(π上的函数)(x f ，()'f x 是它的导函数，且恒有成立，则（）A.B.C ． D.【答案】D【解析】在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，有，即令，则，故()F x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 令，则有，D 选项正确.【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tan x ，往往转化为sin cos x x来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.（三）构造xe 形式的函数例3．已知函数()f x 的导数为()f x ′，且对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（）A.()f xB.()xf xC.()xe f x D.()xxe f x【答案】D 【解析】设，则.对R x ∈恒成立，且0x e >.在R 上递增，故选D.练习1. 设函数)(x f '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集为（） A.),34ln (+∞ B.),32ln (+∞ C.),23(+∞ D.),3(+∞e 【答案】B【解析】依题意，构造函数，由，得，ln 23x >【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．学科网练习2.已知()f x 定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，若，且()02f =，则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集是（） A ． B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．【答案】C 【解析】设，则，∵，∴，∴()x g '，∴()x g y =在定义域上单调递增，∵，∴()1>x g ，又∵，∴()()0g x g >，∴0>x ，∴不等式的解集为()0,+∞故选：C.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的以及所求结论可知应构造函数，利用导数研究()x g y =的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有，且()1f x +为奇函数，则不等式的解集是（）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设．由，得，故函数()g x 在R 上单调递减．由()1f x +为奇函数()01f =-，所以．不等式等价于()1xf x e<-，即，结合函数()g x 的单调性可得0x >，从而不等式的解集为()0,+∞，故答案为B.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（R x ∈），从而求导()0<'x g ，从而可判断()x g y =单调递减，从而可得到不等式的解集．练习4.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()'f x ，满足，且()2+f x 为偶函数，()41=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】D【解析】设，则∴函数g x （）是R 上的减函数， ∵函数()2+f x 是偶函数， ∴函数∴函数关于2x =对称， ∴原不等式等价为1g x （）＜， ∴不等式()<x f x e 等价1g x （）＜，即∵g x （）是R 上的减函数， ∴0x ＞．∴不等式()<x f x e 式的解集为()0,+∞．选D 练习5．设函数()f x '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集是（）A.ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.,3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设，则，所以（c 为常数），则，由，2c =，所以，又由，所以即()3f x >，即3213x e ->，解得ln 23x >．故选B ．（四）构造成积的形式例4．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且当(),0x ∈-∞时，（()f x '是函数()f x 的导函数）成立．若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c ＞＞B ．b a c ＞＞C ．c a b ＞＞D ．a c b ＞＞【答案】A【解析】易知()x f 关于y 轴对称,设,当()0,∞-∈x 时,,()x F ∴在()0,∞-上为递减函数,且()x F 为奇函数,()x F ∴在R 上是递减函数.,即c b a >>,故选A.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较c b a ,,的大小关系,需要构造新函数,通过已知函数()x f 的奇偶性,对称性和单调性,判断()x F 的各种性质,可得()x F 在R 上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值1,0作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有，则不等式的解集为（） A ．B ．C ．(2018,0)-D ．(2016,0)- 【答案】B考点：函数导数与不等式，构造函数．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()F x 的单调性，即函数()F x 为减函数.注意到原不等式可以看成，利用函数的单调性就可以解出来.练习2．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有，则不等式的解集为（）A ．()2012,+∞B ．()0,2012C ．()0,2016D ．()2016,+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，，∴函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数，∴不等式的解集为()2016,+∞．【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数是解题的关键练习3.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C（五）与ln x 有关的构造例5.已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f （1）=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式的解集为（）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(0,1)D.(0,)e 【答案】D【解析】设t=lnx,则不等式化为13)(+>t t f ，设g(x)=f(x)-3x-1,则。

高考数学函数题解题思路解析

高考数学函数题解题思路解析在高考数学中，函数题一直占据着重要的地位。

函数题不仅考查了学生对函数概念、性质的理解和掌握，还考查了学生的逻辑思维能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力。

对于很多考生来说，函数题是一个难点，但只要掌握了正确的解题思路，就能够化难为易，提高解题的准确性和效率。

一、函数的基本概念要解决函数题，首先要对函数的基本概念有清晰的理解。

函数是一种对应关系，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。

函数的定义域、值域和对应法则是函数的三个要素。

在解题时，要特别注意函数的定义域。

很多函数题的错误往往是由于忽略了定义域而导致的。

例如，在分式函数中，分母不能为零；在根式函数中，被开方数必须大于等于零；在对数函数中，真数必须大于零等等。

二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增大，函数值是增大还是减小。

判断函数的单调性通常有定义法、导数法等。

定义法是通过比较函数在区间内任意两个自变量对应的函数值的大小来判断单调性；导数法则是通过求函数的导数，根据导数的正负来判断函数的单调性。

2、奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于原点对称（奇函数）或关于 y 轴对称（偶函数）。

判断函数的奇偶性通常是通过判断f(x)与f(x)的关系。

若 f(x) ＝ f(x)，则函数为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则函数为偶函数。

3、周期性函数的周期性是指函数在一定的区间内，函数值按照一定的规律重复出现。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

三、常见函数类型及解题方法1、一次函数一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）。

其图像是一条直线。

在解题时，通常需要根据已知条件求出 k 和 b 的值。

2、二次函数二次函数的一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。

二次函数的图像是一条抛物线。

高中数学函数的解题技巧

高中数学函数的解题技巧在高中数学中，函数是一个重要的概念和内容。

解题时，我们经常会遇到各种各样的函数题目，需要掌握一些解题技巧。

本文将介绍几种常见的高中数学函数题型，并通过具体的例子进行分析和说明，帮助读者更好地理解和应用这些解题技巧。

一、函数的定义域和值域在解函数题时，首先要确定函数的定义域和值域。

定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域是指函数中因变量的取值范围。

在确定定义域和值域时，需要考虑函数中的各种限制条件，如分式函数的分母不能为零等。

例题1：已知函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$，求函数的定义域和值域。

解析：由于分式函数的分母不能为零，所以要使函数有意义，需要排除$x-2=0$的情况，即$x\neq2$。

因此，函数的定义域为$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$。

另外，由于分式的值可以是任意实数，所以函数的值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

二、函数的图像与性质理解函数的图像和性质对于解题非常重要。

常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

了解函数的图像特点可以帮助我们更好地理解函数的性质和解题过程。

例题2：已知函数$y=x^2$，求函数的图像和性质。

解析：函数$y=x^2$表示平面上的一个抛物线，开口向上，顶点在原点。

这个函数的性质是：对于任意实数$x$，$x^2\geq0$，即函数的值都大于等于零。

另外，当$x>0$时，$x^2>x$；当$x<0$时，$x^2<x$。

这个性质在解不等式和优化问题时经常用到。

三、函数的复合和反函数函数的复合和反函数是常见的函数题型。

复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，反函数是指将一个函数的自变量和因变量互换得到的新函数。

例题3：已知函数$f(x)=2x+1$，求函数$f(f(x))$的表达式。

解析：将$f(x)=2x+1$代入$f(f(x))$的表达式中，得到$f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3$。

新高考高中数学核心知识点全透视：函数(精讲精析篇)(附答案及解析)

专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2=+-_____.76y x x【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A.(,1]-∞B.[1,)+∞C.[2,)+∞D.(,2]-∞【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（）A.1B.2C.12D.13【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；（3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．（3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （） A.50-B.0C.2D.50【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【总结提升】拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<<D.{}10x x -剟2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（）． A.32x + B.38x + C.31x -D.34x -3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞UD.R5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．16.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（） A.1-B.1C.3-D.07.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()f x = ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+f （2）= .10.（2019·上海闵行中学高一期中）已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________11．（2019·上海市第二中学高二期末）若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．12.（2018·上海上外浦东附中高一月考）函数()21y k x b =++在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是_________.13.（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知函数2y x =，[]0,3x ∈，则函数的值域为__________.14.（2015·浙江高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．15.（2019·上海市高桥中学高一期末）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x -<，则x 的取值范围是_________.16.（2018·上海曹杨二中高一期末）设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，，故选：C ．【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________.【答案】[]22-,【解析】由于函数()y f x =的定义域为[]3,3-，对于函数()21y f x =-，有2313x -≤-≤，即224x -≤≤，即24x ≤，解得22x -≤≤.因此，函数()21y f x =-的定义域为[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223{20 3a b a ab a b a a --=+=-=--，解得2{ 1a b =-=．【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【答案】2()1f x x =- 【解析】令21x t +=，12t x -∴=，代入()22144f x x x +=+， ()22114()4122t t f t t --∴=+⋅=-，故答案为：2()1f x x =-．【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【答案】()()31f x x x =+ 【解析】Q ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y ，()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，∴令y x =，得()()()22343f x x f x x x x -=-+-+，即()()()2333f x f x x x =-++，()()3333f x x x ∴=+， ()()31f x x x ∴=+.故答案为：()()31f x x x =+ 【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【答案】【解析】因为，所以.【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【答案】D 【解析】作出()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，如下图(1)f x -的图象，由()f x 的图象向右平移一个单位，故A 正确；()f x -的图象，由()f x 的图象y 轴右侧的翻折到左侧，左侧翻折到右侧，故B 正确； (||)f x 的图象，由()f x 的图象右侧的保留不变，且把右边的翻折到左边，故C 正确；|()|f x 的图象，把x 轴下方的翻折到上方，图象与()f x 一样，故D 错误；故选：D【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【答案】(,2]-∞ 【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2()f x x =，满足(2)4f =.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【答案】.【解析】由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤【解析】由题意()()()202f a f a f a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩或()()202f a f a ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D.(,2]-∞【答案】D 【解析】由题意，函数2()21f x x mx =-+，开口向上，其对称轴x m =，∵在[2,)+∞上是增函数，∴2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞，故选D.【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（）A.1B.2C.12D.13【答案】B 【解析】当1x ≥时，函数()1f x x=在()1,+∞单调递减，此时()f x 在1x =处取得最大值，最大值为()11f =；当1x <时，函数()22f x x =-+在0x =处取得最大值，最大值为()02f =．综上可得，()f x 的最大值为2．故选：B ．【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；（3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．（3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （） A.50- B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=. 【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【答案】87a ≤- 【解析】∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，2()()97a f x f x x x=--=+-，而229729767a a x x a x x+-≥⋅-=-，当些仅当3x a =时，“=”成立，∴当0x >时，要使()1f x a ≥+恒成立，只需86717a a a -≥+⇒≤-或85a ≥，又∵0x =时，(0)01f a =≥+，∴1a ≤-，综上，故实数a 的取值范围是8(,]7-∞-.【总结提升】拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<< D.{}10x x -剟【答案】C 【解析】依题有，2x x ⎧--≥⎪≠，解得10x -<<．故选：C ．2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（）． A.32x + B.38x + C.31x - D.34x -【答案】D 【解析】令3x t +=，所以3x t =-，所以()()33534f t t t =-+=-，所以()34f x x =-，故选：D.3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞U D.R【答案】C 【解析】幂函数的零次方底数不为0，即20x -≠ ，2x ≠；偶次方根被开方数大于等于零，分式分母不为零，即10x +>，1x >- 所以()()1,22,x ∈-+∞U . 故选：C5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 【解析】(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为4，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．6.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（） A.1- B.1C.3-D.0【答案】B 【解析】∵函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -的偶函数， ∴320a a -+=，解得1a =，由()()f x f x =-得0b =，即1a b +=，故选：B.7.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()249x x f x x+-=-的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B 【解析】函数()249x x f x x +-=-，所以有290->x ，解得33x -<<，所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立，所以()2224999x x f x x x x +-===---，()()()2299f x f x xx -===---，所以()f x 是偶函数，故选：B8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________. 【答案】12 【解析】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+。

数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律

数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律数学中的函数解题技巧：掌握函数的性质和变换规律数学中的函数解题是学习数学的重要部分之一，掌握函数的性质和变换规律对于解题过程的顺利进行至关重要。

本文将介绍一些常用的函数解题技巧，帮助读者更好地理解和应用函数知识。

一、函数的性质函数是数学中的一种重要概念，它描述了输入与输出之间的关系。

了解函数的性质可以帮助我们更好地理解和分析问题。

1. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减情况。

当函数随着自变量的增加而增加时，我们说它是递增的；当函数随着自变量的增加而减小时，我们说它是递减的。

通过观察函数的图像或者计算导数可以确定函数的单调性。

2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。

如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，那么函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，那么函数是奇函数。

3. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。

如果存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数具有周期性。

二、函数的变换规律了解函数的变换规律可以帮助我们更好地分析函数的特性，以及解决相关的数学问题。

1. 平移变换平移变换是将函数的图像沿x轴或y轴平移的过程。

当函数的定义域上加上一个常数c时，函数的图像会沿x轴正向平移c个单位；当函数的值域上加上一个常数d时，函数的图像会向上平移d个单位。

2. 缩放变换缩放变换是将函数的图像沿x轴或y轴进行拉伸或压缩的过程。

当函数的自变量乘以一个正数a时，函数的图像在x轴方向上被压缩；当函数的因变量乘以一个正数b时，函数的图像在y轴方向上被拉伸。

3. 翻转变换翻转变换是将函数的图像沿x轴或y轴进行翻转的过程。

当函数的自变量乘以-1时，函数的图像在y轴方向上发生翻转；当函数的因变量乘以-1时，函数的图像在x轴方向上发生翻转。

三、应用举例下面通过几个实际例子，来展示如何运用函数的性质和变换规律来解决数学问题。

高中数学函数解题技巧有哪些

高中数学函数解题技巧有哪些高中数学有几个模块是我们必须要学习的，比如说函数这一模块，可以说贯穿我们的高中数学，函数是有着一定的解题技巧的，可以在上进行学习，那么高中数学函数解题技巧有哪些呢?高中数学函数解题技巧1，复习函数的性质，可以从数和形两个方面。

从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手。

在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合的数的单调区间，函数的最值及应用问题的过程中得以深化。

2，具体要求是：正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性;从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用。

归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法。

培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力。

3，这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解。

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论。

函数y=f(x)在给定区间上的单调性。

反映了函数在区间上函数值的变化趋势。

是函数在区间上的整体性质。

但不一定是函数在定义域上的整体性质。

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。

4，对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(一x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件。

稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映。

以上就是关于高中数学函数解题技巧的相关介绍，对此还想了解更多解题技巧的同学们，可以选择直接上去进行了解和学习。

了解高中数学中的函数问题的解题方法

了解高中数学中的函数问题的解题方法在高中数学中，函数问题是一种常见的题型。

掌握函数问题的解题方法对于学生的数学学习非常重要。

下面将介绍一些常见的函数问题解题方法。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种将每个输入值映射到唯一的输出值的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

2. 函数的性质：函数有许多重要性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。

了解和运用这些性质可以帮助我们解决函数问题。

二、函数的图像和图像的性质1. 函数的图像：通过画出函数的图像，我们可以更直观地了解函数的性质。

比如，当函数是线性函数时，它的图像是一条直线；当函数是二次函数时，它的图像是一个抛物线。

2. 图像的性质：函数的图像具有一些重要的性质，如对称轴、切线、顶点等。

通过研究这些性质，我们可以解决与图像相关的函数问题。

三、函数的运算和复合函数1. 函数的运算：函数可以进行加、减、乘、除等运算。

了解函数运算的规则可以帮助我们解决函数的组合、分解和化简问题。

2. 复合函数：复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。

通过理解复合函数的性质和运算法则，我们可以解决复合函数相关的问题。

四、函数方程的解法1. 一元一次方程：一元一次方程是函数方程中的一种常见类型。

解一元一次方程可以通过移项、合并同类项和化简等方法。

2. 一元二次方程：一元二次方程是函数方程中的另一种常见类型。

解一元二次方程可以应用因式分解、配方法和根的公式等方法。

五、函数的应用问题1. 函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值常用于解决优化问题。

通过求导和判别定理，我们可以找到函数的最值。

2. 函数的图像和实际问题：函数的图像可以用来描述和解决实际问题。

比如，我们可以利用函数的图像解决关于速度、距离和时间的问题。

综上所述，了解高中数学中的函数问题的解题方法对于学生的数学学习至关重要。

通过掌握函数的定义和性质、函数图像和图像的性质、函数的运算和复合函数、函数方程的解法以及函数的应用问题，我们可以更好地应对函数问题，并取得良好的解题效果。

高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题(解析版)

高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式【题型】三、构造奇偶函数求函数值【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题【题型】八、定义法判断证明函数的单调性【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性【题型】十、利用函数的周期性求函数值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用函数的奇偶性求参数值例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（）A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023【答案】B【分析】利用函数()g x 的奇偶性求出a ，得到函数()f x 的解析式，根据解析式求函数值即可.【详解】由已知可得12()(1)1111a x a g x f x a x x a -+=-+=+=+-+-，则2()1ag x x a -=-+-．因为()g x 是奇函数，所以22()()011a ag x g x x a x a +-=+=+--+-，因为0a ≠，解得1a =，所以1()1x f x x -=+，所以2021(2022)2023f =-. 故选：B ．例2．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()ex xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________. 【答案】1- 【分析】根据()()0f x f x ，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得a ，再根据导数的几何意义可得()2f b '=，从而可求得b ，即可得出答案. 【详解】解：函数2e ()e x xaf x +=的定义域为R ，因为()()0f x f x ，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f a =+=，解得1a =-，所以2e 1()ex x f x -=，则()22e 11e ()e ex xx xf x f x -----===-，所以2e 1()ex x f x -=，则()222212e e 1()e e e e ex x xx x xxf x '==⋅--⋅+，因为()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，所以2e 1()2eb b f b '+==，解得0b =，所以1a b +=-. 故答案为：1-.例3．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()()()3log 91xf x ax a =++∈R 为偶函数．(1)求a 的值；(2)当[)0,x ∈+∞时，不等式()0f x b -≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】(1)1- (2)(]3,log 2-∞【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数a 的值；（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数()f x 在[)0,∞+上的单调性，由此可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()33log 91log 91x xax ax --++=++，所以，()()()333312log 91log 91log 91log 19x x xx ax -⎛⎫-=+-+=+-+ ⎪⎝⎭()()333391991log 91log log log 92991x x x x x x xx +⋅+=+-===+， 1a ∴=-.（2）解：()()()()23333331log 91log 91log 3log log 333x xxxx x xf x x -+=+-=+-==+，因为0x ≥，由基本不等式可得()()(333log 33log log 2x x f x -=+≥=，当且仅当33x x -=时，即当0x =时，等号成立，故3log 2b ≤.【题型】二、利用函数的奇偶性解抽象函数不等式4．（2022·广东·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，则不等式(3)0x f >的解集为（） A ．()()33,log 2log 2,-∞-⋃+∞ B ．3(log 2,)+∞ C ．3(,log 2)-∞- D ．33(log 2,log 2)-【答案】B【分析】由题意，作出函数()f x 简图，数形结合列指数不等式，并求解. 【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0+∞,上是增函数，且()20f =，作出函数()f x 的简图，如图所示，则(3)0x f >时，332log 2xx >⇒>，或32x x <-⇒∈∅，所以可得不等式(3)0x f >的解集为3(log 2,)+∞. 故选：B例5．（2022·浙江·高三开学考试）已知()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（） A ．()y f x =在(),0∞-上单调递增 B ．()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减 C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->【答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除12x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-，因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0∞-上单调递增，故选项A 错误；因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-，即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>，所以()12y f x x=-在()0,∞+上单调递减，选项B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC.第二天学习及训练【题型】三、构造奇偶函数求函数值例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1()ln(4f x x x=++在[8-，8]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M m +=（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】A【分析】设()1ln(x xg x =+，[]8,8x ∈-，证明函数()g x 为奇函数，则有()()max min 0g x g x +=，从而可得出答案.【详解】解：设()1ln(x xg x =+，[]8,8x ∈-，因为()()11ln(g x x g x x x --=--==-，所以函数()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 448f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+=+++=⎣⎦⎣⎦，所以8M m +=．故选：A ．例7．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数()3e e 3x xf x x -=-++ ，若()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．1C ．－2D ．－5【答案】B【分析】构造函数()()33e e x x g x f x x -=-=-+，利用其奇偶性求解.【详解】设()()33e e x x g x f x x -=-=-+，则()()()33e e e e x x x x g x x x g x ---=--=--+=-，所以()g x 是奇函数．因为()()32g a f a =-=，所以()()32g a f a -=--=-，则f (－a )＝1．故选：B例8．（2022·甘肃·陇西县第二中学高三阶段练习（文））已知函数()()()22sin 11f x x x x x =--++，则()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．6B ．4C ．2D ．3-【答案】B【分析】构造函数()()()211g x f x x =+=-sin 2x x ++，由()()21sin h x x x x =-+为奇函数，()222log 6log 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()2222log 3log 3log 32log 32g g h h +-=++-+即可得解.【详解】将()y f x =的图像向左平移1个单位长度，得到()y g x =的图像，则()()()211g x f x x =+=-sin 2x x ++，令()()21sin h x x x x =-+，显然()h x 为奇函数，所以()()()22222log 6log 1log 31log 33f f f f ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()()()()2222log 3log 3log 32log 324g g h h =+-=++-+=．故选：B ．【题型】四、奇偶性和周期性综合解决函数问题例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1y f x =+是偶函数，()()2f x f x -=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列说法不正确的是（） A ．()20221f =-B ．当[]9,11x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1C ．()3y f x =+为奇函数D ．方程()()lg 1f x x =+仅有5个不同实数解【答案】D【分析】由已知条件可得函数的对称中心及对称轴，利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数()f x 的图象，依据图象对各个选项进行判断即可. 【详解】∵()()2f x f x -=--，∴()()()1121f f f -=--=--，∴()10f -=当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，∴函数()f x 在区间[]1,1-的图象如图：∵()1y f x =+是偶函数，∴()()11f x f x -+=+，即()()11f x f x -=+ ∴()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在区间[]1,3-的图象如图：∵()()2f x f x -=--，∴将()()2f x f x -=--中的x 替换为1x +，得()()()()112f x f x -+=-+-，即()()11f x f x --=--+∴()f x 的图象关于点()1,0-对称，()f x 在区间[]5,3-的图象如图：由函数图象的对称轴直线=1x -和对称中心()1,0-进行多次对称变换，可得函数图象如图：由函数图象可知，()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 的对称轴为直线41x k =+（k ∈Z ），对称中心为点()41,0k -（k ∈Z ），另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：将()()11f x f x -=+中的x 替换为1x +，得()()()()1111f x f x -+=++，即()()2f x f x -=+，由已知有()()2f x f x -=--， ∴()()22f x f x +=--将()()22f x f x +=--中x 分别替换为2x +和2x，得()()()()2222f x fx ++=-+-，即()()4f x f x +=-和()()()()2222fx f x -+=---，即()()4f x f x =--⇒()()4f x f x -=-∴()()44f x f x -=+将()()44f x f x -=+中x 替换为4x +，得()()()()4444fx f x +-=++，即()()8f x f x =+，∴()f x 是周期为8的周期函数. 对于A ，()()()20222528661f f f =⨯+==-，故A 正确；对于B ，当[]9,11x ∈时，由图象可知其值域为[]0,1，故B 正确；对于C ，由图象知，其图象的对称中心为点()41,0k -（k ∈Z ），当1k =时，点()3,0为()f x 图象的对称中心，因此将()f x 的图象向左平移3个单位长度，所得函数()3y f x =+为奇函数，故C 正确；对于D ，将函数lg y x =的图象向左平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象翻折至x 轴上方，得到函数()lg 1y x =+的图象，易知()lg 1y x =+的图象过点()9,1如图，()lg 1y x =+的图象与()f x 的图象有6个交点，所以方程()()lg 1f x x =+有6个不同实数解，故D 错误．故选：D.例10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（） A ．()1f B ．()2fC ．()3fD ．()4f【答案】D【分析】由已知()1f x -是偶函数，可得()()11f x f x -=--，由已知()2f x +是奇函数，可得()()22f x f x +=--+，整理解出()f x 的周期为：12T =，最后运用周期进行计算即可. 【详解】解： ()1f x -是偶函数，∴ ()()11f x f x -=--，令1t x =-，则1x t =+ ，∴()()()112f t f t f t =---=--，即()()2f t f t =--，()2f x +是奇函数，∴()()22f x f x +=--+，令2t x =+，则2x t =-，∴()()()224f t f t f t =--++=--+，即()()4f t f t =--+，由()()2f t f t =--和()()4f t f t =--+得：()()24f t f t --=--+，令2x t =--，则2t x =--，∴()()6f x f x =-+，∴()()()66612f x f x f x +=-++=-+⎡⎤⎣⎦， ∴()()()()61212f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦， ∴()()12f x f x =+，∴()f x 的周期为：12T = ，2022169126=⨯- ，∴()()20226f f =-，()()2f t f t =--，令=4t ，则()()()4642f f f =---=，∴()()64f f -=，∴()()20224f f =.故选：D ．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 存在导函数()f x '，且满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=-，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程可以是___________（写出一个即可）【答案】0y =（答案不唯一）【分析】由题意可得()f x 是偶函数且周期为4，继而可得()f x 关于直线2x =对称，根据周期可得到2022x =也是()f x 的对称轴，所以2022x =是()f x 的极值点，故()20220f '=，即可求出答案【详解】()f x 的定义域为R ，由()()f x f x -=可知，()f x 是偶函数，由()()4f x f x -=-可知()f x 周期为4，因为()()()4f x f x f x =-=-，故()f x 关于直线2x =对称，又因为202225054=+⨯，所以2022x =也是()f x 的对称轴，因为()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以2022x =是()f x 的极值点，即()20220f '=，曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线斜率为0，故切线方程可能为0y =，故答案为：0y =（答案不唯一）第三天学习及训练【题型】五、单调性和奇偶性综合解决函数问题例12．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由奇偶性定义可知()f x 为R 上的偶函数；当0x ≥时，由单调性的性质可确定()f x 单调递增，由奇偶性可知其在(],0-∞上单调递减；利用单调性可化简所求不等式为21x x >-，平方后，解一元二次不等式可求得结果.【详解】()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-， f x 为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,∞+上单调递增，211y x =+在[)0,∞+上单调递减， f x 在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，f x 在(],0-∞上单调递减，由()()21f x f x >-得：21x x >-，即()2221x x >-，()()23413110x x x x ∴-+=--<，解得：113x <<，∴不等式()()21f x f x >-的解集为1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.例13．（2023·全国·模拟预测）若()()R,11x f x f x ∀∈+=-，当1x ≥时，2()4f x x x =-，则下列说法错误的是（） A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递增C ．()min 4f x =-D ．函数()f x 在(,1)-∞上单调递减【答案】ABD【分析】由题意求出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出图象，即可求解【详解】由()()R,11x f x f x ∀∈+=-可知()()R,2x f x f x ∀∈=-，可知()f x 关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()22424f x x x x =--=-，当1x <时，21x ->，()()2222244f x x x -=---=-，所以224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，作出224,1()4,1x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩的图象，所以()f x 在()0,1，()2,+∞上单调递增，在(),0∞-，()1,2上单调递减，()min 4f x =-，()f x 不是奇函数，故ABD 错误，C 正确；故选：ABD例14．（2022·全国·高三专题练习）设ππ,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若333πcos()2024sin cos 0x x a y y y a ⎧++-=⎪⎨⎪++=⎩，则cos(2)x y +＝______．【答案】1【分析】设3()sin f x x x =+，把已知条件转化为 ()(2)0f x f y +=，又因为函数()f x 在R 上是单调递增的奇函数，故20x y +=，进而求出cos(2)x y +的值．【详解】解：原式可得变形为()()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，设3()sin f x x x =+，因为33()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=- 所以()f x 为奇函数，当0x > 时，2()3cos f x x x '=+， ①当π02x <<时，cos 0x >，所以()0f x '>， ②当π2x >时，233,cos 1x x ><，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数，因此()(2)0f x f y +=，所以()(2)(2)2f x f y f y x y =-=-⇒=-，则20x y +=，所以 cos(2)x y +＝1．故答案为：1．【题型】六、对称性和奇偶性综合解决函数问题例15．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()3221,2f x f x f x f x -=-+-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（） A ．2023B ．2024C ．3033D ．3034【答案】A【分析】根据函数的性质由()()3221f x f x -=-，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，即可得解.【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f = 由()()3221f x f x -=-得()(2)f x f x -=+，所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=，即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=，所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=. 故选：A例16．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【分析】构造()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，发现()g x 为奇函数，然后()f x 是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，可得()f x 的对称中心为()1,3，能得到()()62f x f x =+-，通过求导可发现()f x 在R 上单调递增，继而求解不等式【详解】解：假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x x f x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<- 所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例17．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）设()f x 的定义域为R ，且满足()()3221f x f x -=-，()()2f x f x -+=，若()12f =，则()()()()1232023f f f f ++++=______. 【答案】2023【分析】根据()()3221f x f x -=-得到()()2f x f x -=+，结合()()2f x f x -+=得到()()22f x f x ++=，进而得到()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，再用赋值法求出()21f =，()30f =，从而利用函数周期性分组求解出答案.【详解】()()3221f x f x -=-，故131332212222f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x -=+，因为()()2f x f x -+=，所以()()22f x f x ++=，()()132f x f x +++=，两式相加得：()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，其中()()2f x f x -+=中，令=0x 得：()202f =，所以()01f =， ()()3221f x f x -=-中，令1=2x 得：()()201f f ==，()()2f x f x -+=中，令=1x 得：()()112f f -+=，因为()12f =，所以()1220f -=-=，()()3221f x f x -=-中，令=0x 得：()()310f f =-=，()()()()()()()()()()()12320231234567f f f f f f f f f f f ++++=+++++++⎡⎤⎣⎦()()()()2020202120222023f f f f +++++⎡⎤⎣⎦21045052023=+++⨯=.故答案为：2023第四天学习及训练【题型】七、对称性、周期性和奇偶性综合解决函数问题例18．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设*n ∈N ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22110f x f x -++=，()f x 在[]0,1单调递增，()11f =，则（）A ．()11f -=B ．()40nf =C ．()211f n -=D ．()211nf -=【答案】B【分析】根据题意结合函数性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）的定义和相关结论分析判断.【详解】对A ：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()111f f -=-=-，A 错误；由题意可得：()f x 在[]1,0-上单调递增，则()f x 在[]1,1-上单调递增∵()()22110f x f x -++=，则()()()222111f x f x f x +=--=-∴函数()f x 关于=1x 对称，则()f x 在[]1,3上单调递减当(]1,3x ∈-时，当且仅当=1x 时，()=1f x ；当且仅当=0x 或=2x 时，()=0f x ∵函数()f x 关于=1x 对称，则()()()22f x f x f x =-=--，即()()2f x f x +=- ∴()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，则函数()f x 的周期为4当1x ≥时，则有：()=1f x 的根依次为1,5,9,...，即当且仅当43x n =-，()=1f x若=2n ，则{}*21213|43,n n x x n n -=-=∉=-∈N ，即()31f ≠，C 、D 错误；()=0f x 的根依次为2,4,6,...，即当且仅当2x n =，()=0f x∵(){}21*4=22|2,N n n x x n n -∈=∈，则()40nf =，B 正确；故选：B.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-【答案】ABCD【分析】由已知判断函数的周期性、对称性、单调性，对选项逐一判断【详解】对于A ，由函数(1)f x +的图象关于=1x -对称，根据函数的图象变换，可得函数()f x 的图象关于0x =对称，所以函数()f x 为偶函数，故 A 正确；对于B ，由函数()f x 对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=-，可得()2(()4)f x f x f x -+=+=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，因为(2)0f -=，可得(2)0f =，则(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==，故B 正确；对于C ，因为函数()f x 为偶函数，即()()f x f x -=，所以(2)()()f x f x f x +=-=--，可得(2)()0f x f x ++-=，所以函数()f x 关于(1,0)中心对称，故C 正确；对于D ，由对任意的12,(0,2)x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，可得函数()f x 在区间(0,2)上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数()f x 在区间(2,0)-上为单调递减函数，故()()21f f ->-，故D 正确. 故选：ABCD【题型】八、定义法判断证明函数的单调性例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数()ln(2f x x x =+且233()1)23a a f a --<--，则a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．)C ．)+∞D ．(()3,∞⋃+【答案】B【分析】首先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】解：()ln(2f x x x =+，x R ∈，22()()2)(2))0ln(1)0f x f x x x x x x x ∴+-=++-+=++-=，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在R 上是奇函数．当0x 时，函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在R 上单调递增．又()(1ln 12f -=--，则233()1)23a a f a --<--，即233()1)23a a f a -<--，即()23313a a f f a ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭，∴23313a a a -<--，即()()233103a a a -+<-，而210a +>，3(3)(3)0a a ∴--<，即2(3)0a a a a +-<，而20a >，∴(3)0a a -<，3a <．∴实数a的取值范围为．故选：B ．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e e 2x xf x --=，则（）A ．()()22f x y f x =为偶函数 B ．()()2y f x f x =-是增函数 C ．()()sin 1y f x =-不是周期函数 D ．()()1y f x f x =++的最小值为1【答案】AD【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC ，分类讨论确定函数的最小值判断D ．【详解】选项A ，由()0f x ≠得0x ≠，函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，2222e e e e (2)(2)22e e e e 2()2()2222x x x xx x x x f x f x f x f x -------===---⋅⋅，所以函数为偶函数，正确；选项B ，定义域是(,0)(0,)-∞+∞，e ()(e )2x xf x f x ---==-，即()f x 是奇函数，易知()f x 是R 上的增函数，函数值域为R ，(0)0f =，所以存在00x >，值得0()f x从而0()f x -=于是002()0()f x f x -=，002()0()f x f x --=-，但00x x -<，所以2()()y f x f x =-不是增函数，B 错；选项C ，()()sin 1y f x =-定义域是R ，(sin(21))(sin(1))f x f x π+-=-，因此2π是函数的一个周期，C 错；选项D ，由上推理知()f x 是奇函数，0x <时， ()()1y f x f x =++()()11f x f x =-++=， 0x ≥时，()()1y f x f x =++()()1e e 1x x f x f x -=++=-+，易知函数为增函数，所以()(0)1f x f ≥=，综上函数最小值是1，D 正确．故选：AD ．例22．（2023·广东·高三学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =； ④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________ 【答案】①③【分析】对于①，通过赋值0x y ==可得()00f =，①正确；对于②，通过赋值y x =-可证()f x 为奇函数，②错误；对于③，通过赋值1x y ==可得()11f =，③正确；对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证()f x 在R 上单调递减，④错误．【详解】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．第五天学习及训练【题型】九、定义法判断证明函数的奇偶性例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos f x x x =⋅，x ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象在点(π,(π))f 处的切线方程为0x y +=D ．()f x 在区间π(,π)2上是减函数【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性定义、周期性定义判断A ，B ；利用导数的几何意义求出切线方程判断C ；利用导数确定单调性判断D 作答.【详解】对于A ，函数()f x 的定义域是R ，cos()()()f x x x f x =-⋅-=--，()f x 是奇函数，A 正确；对于B ，不存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，()f x 不是周期函数，B 错误；对于C ，()cos sin f x x x x '=-，1()πf '=-，(π)πf =-，则()f x 在点(π,(π))f 处的切线方程为π(π)y x +=--，即0x y +=，C 正确；对于D ，当π(,π)2x ∈时，()cos sin 0f x x x x -'=<，()f x 在区间π(,π)2上是减函数，D 正确．故选：ACD例25．（2023·全国·高三专题练习）判断函数()f x x =+. 【答案】非奇非偶函数【分析】判断函数奇偶性，先判断定义域是否关于原点对称，由于定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】因为()f x 有意义，则满足10110xx x -⎧≥⎪+⎨⎪+≠⎩，所以-11x <≤，所以()f x 的定义域不关于原点对称，所以()f x 为非奇非偶函数．【题型】十、利用函数的周期性求函数值例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[)1,0x ∈-时，()f x x =，则()2021f =（）A ．2021B ．1C ．1-D ．0【答案】B【分析】分析可知函数()f x 是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，所以()()()2021450511f f f =⨯+=，因为函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当[)1,0x ∈-时，()f x x =，所以()()()1111f f =--=--=，所以()20211f =. 故选：B.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022【答案】A【分析】根据()f x 是定义域上的奇函数，结合条件(2)()f x f x -=化简，可得出函数的周期4T =，再计算出(1)(2)(3)(4)f f f f ，，，的值，发现(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，且呈周期出现，代入计算即可. 【详解】(2)()(2)()x f x f f f x x -=∴+=-,又()()f x f x -=-，(2)()()f x f x f x ∴+=-=-，∴函数的周期4T =.又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，(0)0f ∴=，(2)(0)0f f ∴==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==(1)(2)(3)(4)20200f f f f +++=+-+=∴，又202250542=⨯+ (1)(2)(3)(2022)5050(1)(2)2f f f f f f ∴++++=⨯++=.故选：A.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-【答案】A【分析】由题设条件利用赋值法可得()f x 为周期函数且周期为4，再结合赋值法可求()01f =、12f 、()()314f f +=-，从而可求()221k f k =∑的值.【详解】因为yg x 的图象关于直线2x =对称，故()()4g x g x =-，因为()()25f x g x +-=，故()()25f x g x -+=，因为()()49g x f x --=，故()()49g x f x ---=，所以()()24f x f x -+-=-，故()()24f t f t ++=-，所以()()424f t f t +++=-，故()()4f t f t +=，所以()f x 为周期函数且周期为4.因为()24g =且()()2225f g -+=，故()01f =，又()()229g f --=，故()429f --=即()25f -=-，而()()2114f f ++=-即()()314f f +=-，故()()()()12348f f f f +++=-，而()()115f g +=且()()139g f --=，故()()119g f -=，故12f .故()()()()()()()2215123412405247k f k f f f f f f =⎡⎤=+++++=---=-⎣⎦∑，故选：A.例29．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 为偶函数，且()1f x +为奇函数，若()00f =，则（） A ．()30f = B ．()()35f f =C ．()()31f x f x +=-D ．()()211f x f x +++=【分析】A 选项，根据题干条件得到()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，利用赋值法得到()10f =，()30f =，()50f =，判断出AB 选项，再推导出函数的周期为4，故C 正确；代入特殊值，判断D 错误.【详解】A 选项，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-，解得：()10f =，所以()()110f f -==令2x =得：()()2121f f -+=-+，即()()130f f -=-=，所以()30f =，故A 正确； B 选项，令4x =得：()()4141f f -+=-+，即()()35f f -=-，因为()()330f f -==，则()50f -=，所以()50f =，所以()()35f f =，故B 正确； C 选项，因为()()f x f x -=，所以()()33f x f x +=--，因为()()11f x f x -+=-+，所以()()2121f x f x --+=-++，即()()13f x f x --=-+，所以()()31f x f x +=---，()()31f x f x --=---，所以()()2321f x f x -+-=--+-，即()()11f x f x --=--+，所以()()31f x f x --=-+，所以()f x 的周期为4，()()31f x f x +=-，故C 正确； D 选项，因为()()11f x f x -+=-+，所以令1x =得：()()020f f =-=，解得：()20f =，令()()211f x f x +++=中0x =得：()()21001f f +=+≠，故D 错误. 故选：ABC例30．（2023·全国·高三专题练习）若函数()2,0,(1)(2),0,x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩则()2023f =________.【分析】由函数的定义得出在0x >时，函数具有的周期性，利用周期性求函数值．【详解】当x >0时，f (x )=f (x －1)－f (x －2)，①∴f (x ＋1)=f (x )－f (x －1)，② ①＋②得，f (x ＋1)=－f (x －2)， ∴0x >时，f (x )的周期为6，∴f (2 023)=f (337×6＋1)=f (1)=f (0)－f (－1)=20－21=－1. 故答案为：1-．第六天学习及训练三、题型模拟演练一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数11()f x x=，211()()f x x f x =+，…，11()()n n f x x f x +=+，…，则函数2018()f x 是（） A ．奇函数但不是偶函数 B ．偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【分析】根据奇偶函数的定义，先判断()n f x 是否恒为0，再通过定义证明()n f x 为奇函数．【详解】当0x >时，若()0n f x >，则11()0()n n f x x f x +=>+，∵当0x >时，11()0f x x=>⇒2()0f x >⇒3()0f x >⇒… ∴当0x >时，则()0n f x >∴()n f x 不可能既是奇函数又是偶函数()n f x 的定义域为{}|0x x ≠若()n f x 为奇函数，则11111()()()()()n n n n n f x f x x f x x f x x f x ++-===-=-+---+即1()n f x +也为奇函数现在11()f x x=为奇函数⇒2()f x 为奇函数⇒3()f x 为奇函数⇒… 所以对N ,()n n f x *∀∈为奇函数故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()12g x +为偶函数，则（） A ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 B ．()()f x g x +的图象关于直线1x =对称 C ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称 D ．()()f x g x -的图象关于点()1,0对称【答案】A【分析】根据函数的奇函数的性质得到函数()f x 的图象关于点()1,0对称，从而得到()f x 的图象关于直线1x =对称，根据偶函数的性质得到函数()g x 的图象关于直线1x =对称，即可得到答案.【详解】因为()12f x -为奇函数，所以()()1212f x f x +=--，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()12g x +为偶函数，所以()()1212g x g x -=+，所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，所以()()f x g x +的图象关于直线1x =对称. 故选：A.3．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是单调递增的，设()2log 4a f =，()1b f =-，23c f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．c b a >>C ．b<c<aD ．c a b >>【答案】B【分析】根据偶函数的性质以及函数在(0]∞-，上单调递增，比较自变量绝对值的大小即可得解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2log 42a f f ==，()()11b f f =-=，因为()f x 在(0]∞-，上是单调递增的，故()f x 在[)0,∞+上是单调递减，且2123<<，所以()()2213f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>.故选：B.4．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()f x f x +=-，且当(2,0)x ∈-时，2()(3)f x x x =-，则(103)f 等于（） A ．2 B ．12-C ．2-D ．4【答案】D【分析】根据已知条件可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期结合已知解析式可求得结果. 【详解】因为1(2)()f x f x +=-，所以1(4)()(2)f x f x f x +=-=+，所以函数()f x 的周期为4，因为当(2,0)x ∈-时，2()(3)f x x x =-，所以2(103)(4253)(3)(1)(1)(31)4f f f f =⨯+==-=-⨯+=.故选：D5．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））设奇函数 ()f x 在()0∞+，上单调递增，且(4)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（）A ．{04}x x <<∣B ．{4xx <-∣或4}x > C ．{4}xx >∣ D ．{40xx -<<∣或04}x << 【答案】D【分析】由奇函数性质得()f x 在(,0)-∞上的单调性，利用奇函数的性质化简不等式，然后分类讨论由单调性求解．【详解】∵()f x 为奇函数，函数()f x 在(0)+∞，上单调递增， ∴()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(4)0f =，∴(4)0f -=， ()()2()0f x f x f x x x--=<，即()0f x x <，当 0x >时，上式化为()0f x <，解得04x <<; 当 0x <时，上式化为()0f x >，解得40x -<<， ∴原不等式的解集是{40x x -<<∣或04}x <<.故选：D.6．（2023·甘肃·模拟预测（理））设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由奇偶性定义可知()f x 为R 上的偶函数；当0x ≥时，由单调性的性质可确定()f x 单调递增，由奇偶性可知其在(],0-∞上单调递减；利用单调性可化简所求不等式为21x x >-，平方后，解一元二次不等式可求得结果.【详解】()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-， f x 为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,∞+上单调递增，211y x =+在[)0,∞+上单调递减， f x 在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，f x 在(],0-∞上单调递减，由()()21f x f x >-得：21x x >-，即()2221x x >-，()()23413110x x x x ∴-+=--<，解得：113x <<，∴不等式()()21f x f x >-的解集为1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.7．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【答案】C【分析】推导出()()4f x f x +=-，可判断A 选项的正误；利用函数()f x 的周期性可判断BC 选项的正误；数形结合可判断D 选项.【详解】由题意可得()()11f x f x --=--，所以，()()()112f x f x f x =--+-=---⎡⎤⎣⎦，由题意，()()11f x f x -+=+，所以，()()()4312f x f x f x +=--++=---⎡⎤⎣⎦，所以，()()4f x f x +=-，则()()()84f x f x f x +=-+=，故函数()f x 的周期为8，对于A 选项，2711312224f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，A 对；对于B 选项，因为()()()7781f x f x f x +=+-=-，因为函数()1f x -为奇函数，则函数()7f x +为奇函数，B 对；对于C 选项，因为()()11f x f x -+=+，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当11x -<≤时，()21f x x =-+，故函数()f x 在()1,0-上单调递增，又因为函数()f x 的周期为8，故函数()f x 在()7,8上单调递增，C 错；对于D 选项，因为当(]1,1x ∈-，()21f x x =-，()f x 的图象关于直线1x =对称，且关于点()1,0-对称，且当10x >时，lg 1y x =-<-，且()[]1,1f x ∈-，作出函数()f x 的图象与曲线lg y x =-的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的图象与曲线lg y x =-的图象只有6个交点，D 对. 故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.二、多选题8．（2022·河北沧州·高三阶段练习）函数()()1||x f x x αα=∈-R 的大致图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】先根据当(0,1)x ∈时，()0f x >，(1,)x ∈+∞时，()0f x <，排除C ，再举出适当的α的值，分别得到ABD 三个图象.【详解】由题意知1||0x -≠，则1x ≠±，当(0,1)x ∈时，1||0x ->，0x α>，()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，1||0x -<，0x α>，()0f x <，所以()f x 的大致图象不可能为C ，而当α为其他值时，A ，B ，D 均有可能出现，不妨设12α=，定义域为[)()0,11,+∞，此时A 选项符合要求；当1α=时，定义域为{}1x x ≠±，且()()1||1||x xf x f x x x ---===----，故函数()1||xf x x =-为奇函数，所以B 选项符合要求，当2α=时，定义域为{}1x x ≠±，且()()22()1||1||x xf x f x x x --===---，故函数2()1||x f x x =-为偶函数，所以D 选项符合要求.故选：ABD三、填空题9．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()40f x f x +-=，写出()f x 的一个正周期：______．【答案】8（答案不唯一，满足()8k k *∈N 即可）【分析】根据已知等式和偶函数定义可推导得到()()()48f x f x f x =--=-，由此可得结论. 【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f x f x =--，又()f x 为偶函数，()()44f x f x ∴-=-，()()()()488f x f x f x f x ∴=--=---=-⎡⎤⎣⎦，f x 的一个正周期为8.故答案为：8（答案不唯一，满足()8k k *∈N 即可）.四、解答题10．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()=log (+1)f x x - .。

高考数学命题热点名师解密专题：函数问题的解题规律(理)含答案解析

【高考数学】专题02+函数问题的解题规律(教师版)

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．6 D．7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内，f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

高考数学命题热点名师解密：专题(03)函数性质灵活应用(理)(含答案).doc

专题03 函数性质灵活应用一．陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。

（1）利用两个特值证明单调性。

函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。

（2）单调区间的开闭。

求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。

（3）单调区间使用“”符号。

函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。

分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。

在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。

隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。

等价转化陷阱，分段函数的连接点。

在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。

迷惑性陷阱，函数的主变元问题。

给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。

2.定义域限制陷阱3.特殊的函数值问题4.利用性质解决抽象函数问题5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用6.函数性质与导数综合7.数形结合求参数8.恒成立求参数9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）10. 分段函数的连接点（等价转化）11.主变元问题（迷惑性）二．陷阱例题分析及训练（一）函数图象问题例1．函数f(x)＝lnx－x2的图像大致是( )A． B． C． D．【答案】B【点评】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．练习1．【湖南省长沙市一中2019届高三高考模拟】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和am (0＜a ＜12)，不考虑树的粗细.先用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u =f （a ）（单位： 2m ）的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AD 长为x ，则CD 长为16x - ，又因为要将P 点围在矩形ABCD 内，∴12a x ≤≤，则矩形ABCD 的面积为()16x x -，当08a <≤时，当且仅当8x =时， 64u =，当812a <<时，，，分段画出函数图形可得其形状与C 接近，故选C.点评：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形ABCD 面积的表达式，又要注意P 点在长方形ABCD 内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可.练习2．若函数的图像如图所示，则实数的值可能为（）A． B． C． D．【答案】B点评：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解。

高考文科数学命题热点名师解密专题：含参数的导数问题解题规律含答案

专题08 含参数的导数问题解题规律一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________；③(x 2)′＝________；④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________；②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________；④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________；⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．（二）构造函数例2．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：. 【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.【解析】 (1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.若，，则在区间内为增函数；若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即..下面证明当时，恒成立.设，则，故在区间内为增函数，，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 练习1.已知函数.（1）证明: ()f x 有两个零点；（2）已知1αβ>>，若0x R ∃∈,使得，试比较αβ+与02x 的大小.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数； (2) 由，，可得：，令t βα=，函数()h t 在()1,+∞上单调递增，，∴，又∵在()1,+∞上是增函数，∴02x αβ+<，即02x αβ<+.试题解析：（1）据题知，求导得：令()0f x '>，有3x >；令()0f x '<，得03x <<，所以()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，∴令1x =，有()110f =>；令2x e =，有故()f x 在()1,3和()3,e 各有1个零点.∴()f x 有两个零点.（2）由，而∴令t βα=，则，∴函数()h t 在()1,+∞上单调递增，故.∴，又∵在()1,+∞上是增函数，∴02x αβ+<，即02x αβ<+.（三）极值点偏移例3．已知函数(其中e 是自然对数的底数，k ∈R)．(1)讨论函数的单调性；(2)当函数有两个零点时，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1。

定义域陷阱2。

抽象函数的隐含条件陷阱3。

定义域和值域为全体实数陷阱4。

还原后新参数范围陷阱5。

参数范围漏解陷阱6。

函数求和中的倒序求和问题7。

分段函数问题8。

函数的解析式求法9。

恒成立问题求参数范围问题10。

任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数,并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A,B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：,其中x 叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B。

2．映射的概念设A,B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射,它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f,简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时),则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用几个式子表示函数,这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数,它是一个整体,分段处理后,最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1。

【曲靖一中2019模拟】已知,若函数在（﹣3,﹣2）上为减函数,且函数=在上有最大值,则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由在上为减函数,可得；由在上有最大值,可得,综上可得结果,。

【解析】在上为减函数,,且在上恒成立,,,又在上有最大值,且在上单调递增,在上单调递减,且,,解得,综上所述,,故选A。

【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性,以及利用单调性求函数最值,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于难题。

判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义（增增增,减减增,增减减,减增减）。

故答案为：D。

练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系,可类比等差数列一次类推求值即可。

详解：函数,则,故答案为：1008。

点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理。

（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数,且存在负的零点,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点,列出不等式,化简即可．【详解】当时,,所以函数在上只能是单调递增函数,又存在负的零点,而当时,f(0)=1+a,当时,f（0）=3a-2,0<3a-21+a,解得。

故选B。

【点评】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论思想,转化思想以及计算能力．练习1。

已知函数,则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．6 D．7【答案】A【解析】利用分段函数,分别求出和的值,然后作差得到结果。

【详解】依题意得,,所以,故选。

【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值,只需要将自变量代入对应的函数段,来求得相应的函数值。

属于基础题。

练习2．已知,那么等于( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解。

【详解】由分段函数第二段解析式可知,,继而,由分段函数第一段解析式,,故选A。

【点睛】本题考查分段函数求函数值,要确定好自变量的取值范围,再代入相应的解析式求得对应的函数值,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念。

（八）函数的解析式求法例8。

（1）已f ()=,求f(x)的解析式。

（2）．已知y =f(x)是一次函数,且有f [f(x)]=9x＋8,求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）。

【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数,可设函数解析式为f(x)=ax＋b,再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值。

【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b,则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为。

【点睛】本题考查函数解析式的求解,解题中应用了换元法和待定系数法,待定系数法的主要思想是构造方程（组）,对运算能力要求相对较高,属于中档题。

练习1。

(1) 已知是一次函数,且满足求;(2) 判断函数的奇偶性。

【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式。

（2）结合分段函数的性质,分别判断各定义域区间内, f（-x）与f（x）的关系,即可判断函数奇偶性。

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数,考查了函数的奇偶性的判断,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。

再结合分段函数的分段区间,以及对应的解析式,判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立。

练习2．已知函数对一切实数x,y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立,且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a,b∈R,当时,求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令,可得,再根据可得；（2）在条件中的等式中,令,可得,再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立,根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意,在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中,令x=﹣1,y=1,可得,又,∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中,令y=0,则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又,∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a,即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立,可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设,则在上单调递减,∴,∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时,一般采用分离参数的方法,将问题转化为求具体函数最值的方法求解,若函数的最值不存在,则可用函数值域的端点值来代替．练习3。

如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A。

（A）B。

（B）C。

（C）D。

（D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时,y=x2,当1＜x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,CD=x,则AD=2-x,∵Rt△ABC中,AC=BC=2,∴△ADM为等腰直角三角形,∴DM=2-x,∴EM=x-（2-x）=2x-2,∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2,∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2,∴y=．故选B．练习4。

如图,李老师早晨出门锻炼,一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑,那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A。

B。

C。

D。

【答案】D【解析】由题意,得从M到A距离在增加,由A经B到C与M的距离都是半径,由B到M距离逐渐减少,故选D。

（九）恒成立问题求参数范围问题例9。

【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为,值域为,则的取值范围A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减,在上单调递增,当且仅当处取得最小值由值域可知,故在上函数单调递增,在处取得最大值故,解得综上所述,故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围,在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

练习1。

若对恒成立,且存在,使得成立,则的取值范围为__________．【答案】【解析】利用方程思想得到,利用单调性明确函数的最大值即可。

【详解】,以代入得,消去得,若,则单调递增,,则。

故答案为：【点睛】本题考查了方程思想求函数的解析式,考查了不等式能成立问题,考查函数与方程思想,属于中档题。

（十）任意存在问题例10。

已知函数在上存在最小值,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据条件列不等式,解不等式得结果。

【详解】因为函数在上存在最小值,所以,选A。

【点睛】本题考查分段函数最值,考查基本分析求解能力,属基础题。

练习1。

若函数在上有意义,则实数的取值范围是______ ．【答案】。

【解析】使用换元令t=2x,将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．【详解】设t=2x,因为x∈（﹣∞,2],所以0＜t≤4．则原函数有意义等价于1+t+at2≥0,所以a≥﹣．设f（t）=﹣,则f（t）=﹣=﹣（+）2+,因为0＜t≤4,所以∈[,+∞）,所以f（t）≤f（）=,所以a≥．故答案为：．【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题,通过换元,将函数转化为一元二次函数,是解决本题的关键,对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立,即求函数的最值问题．练习2．已知．（1）求的值域．（2）若对任意和都成立,求的取值范围．【答案】（1）；（2）。

【解析】（1）利用换元法,将函数转化为关于t的二次函数,根据t的取值范围求得函数的值域。

（2）根据恒成立条件,得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式,进而求得m的取值范围。

（2）即恒成立令,图象为线段,则解得。

【点评】本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用,注意换元后的取值范围,属于中档题。

高中数学命题热点名师解密专题：函数问题的解题规律(有答案)

高一高二高三数学必备：常见函数题型解题方法规律汇总及经典求法

高考数学 破解命题陷阱 专题02 函数问题的解题规律

高中函数解题技巧

高中数学解题技巧之函数问题

寻找函数的规律高中数学函数问题的解题方法

高考数学函数典型题的解题方法讲解答题技巧

2022年高考文数热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性、最值、奇偶性与周期性(解析版)

高考数学命题热点名师解密专题：导数有关的构造函数方法(理)含答案解析

高考数学函数题解题思路解析

高中数学函数的解题技巧

新高考高中数学核心知识点全透视：函数(精讲精析篇)(附答案及解析)

数学中的函数解题技巧掌握函数的性质和变换规律

高中数学函数解题技巧有哪些

了解高中数学中的函数问题的解题方法

高考数学热点必会题型第2讲 单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题(解析版)

高考数学命题热点名师解密专题：函数问题的解题规律(理)含答案解析

【高考数学】专题02+函数问题的解题规律(教师版)

高考数学命题热点名师解密：专题(03)函数性质灵活应用(理)(含答案).doc

高考文科数学命题热点名师解密专题：含参数的导数问题解题规律 含答案

高考数学破解命题陷阱专题02 函数问题的解题规律

2022年高考文数热点题型和提分秘籍专题05 函数的单调性、最值、奇偶性与周期性(解析版)

高考数学热点必会题型第2讲单调性、奇偶性、对称性和周期性解决函数问题(解析版)

高考文科数学命题热点名师解密专题：含参数的导数问题解题规律含答案