高三复习14向量及立体几何1
高三复习 立体几何部分
高三复习立体几何部分第一节简单几何体A组1．下列命题中，不正确的是______．①棱长都相等的长方体是正方体②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：③2．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．答案：北3．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB 与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤4．下列三个命题，其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：05．下面命题正确的有________个．①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱②过圆锥侧面上一点有无数条母线③三棱锥的每个面都可以作为底面④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：26.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？解：长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：(5＋4)2＋32＝310，(5＋3)2＋42＝45，(3＋4)2＋52＝74，三者比较得74是从点A沿表面到C1的最短距离，∴最短距离是74 cm.B组1．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB 与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤2．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，设四面体为D－ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA＝DB＝DC，故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综上，①④为真命题．答案：①④3.关于如图所示几何体的正确说法为________．①这是一个六面体②这是一个四棱台③这是一个四棱柱④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱答案：①②③④⑤4．(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB 与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤5．给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形．故填③.答案：③6．下列结论正确的是①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误．如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．答案：④7．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是________．解析：设截面的圆心为O′，由题意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12＝π.答案：π8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是________．①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②.答案：②9．(2008年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P .如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图(2))有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号)．解析：设正四棱柱底面边长为b ，高为h 1，正四棱锥高为h 2，则原题图(1)中水的体积为b 2h 2－13b 2h 2＝23b 2h 2， 图(2)中水的体积为b 2h 1－b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以23b 2h 2＝b 2(h 1－h 2)，所以h 1＝53h 2，故A 错误，D 正确． 对于B ，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，故B 正确．对于C ，假设C 正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2536b 2h 2>23b 2h 2，矛盾，故C 不正确．答案：BD 10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1，h 2，h 3，求h 1∶h 2∶h 3的值．解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a ，h 2＝h 3，h 1＝ a 2－(22a )2＝22a ，h 2＝ a 2－(33a )2＝63a ， 故h 1∶h 2∶h 3＝3∶2∶2.11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．解：如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2，△DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边，设DF 长为x ，则DE ＝EF ＝22x ，作DG ⊥BB 1，HG ⊥CC 1，EI ⊥CC 1， 则EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22－4，FH ＝FI ＋HI ＝FI ＋EG ＝2x 22－4，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋FH 2，即x 2＝4＋(2x 22－4))2，解得x ＝2 3.即该三角形的斜边长为2 3.12．(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值．解：设地球的半径为R ，那么对应的赤道线的大圆的半径为R ，而对应的北纬60°纬线所在的小圆的半径为12R ，那么它们对应的长度之比为12R ∶R ＝12. 即所求比值为12.第二节 空间图形的基本关系与公理A 组1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面；③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：12．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为________．解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：13．(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为________．解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD 、BC 、BB 1、AA 1、C 1D 1符合条件．答案：54．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是________．解析：边长是正方体棱长的22倍的正六边形．答案：正六边形 5．(原创题)已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．解析：如图1，当直线m 或直线n 在平面α内且m 、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．答案：(1)(2)(4)6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l .设梯形ABCD中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β.求证：AB ，CD ，l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD=M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β=l，∴M∈l，即AB，CD，l共点B组1．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________．解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③2．(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R 三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．解析：在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a 与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①②3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：________.解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④4．(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．①a⊂α，b⊂α②a⊂α，b∥α③a⊥α，b⊥α④a⊂α，b⊥α解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面．当a、b异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a⊥b时④才成立．答案：②5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交6．(2010年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④7．(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是________．解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④8．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是________． ①AC ⊥BE②EF ∥平面ABCD③三棱锥A －BEF 的体积为定值④异面直线AE ，BF 所成的角为定值解析：∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥BE .故①正确．∵B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在直线D 1B 1上运动， ∴EF ∥平面ABCD .故②正确．③中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故V A －BEF 为定值．当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A (1,1,0)，B (0,1,0)，E (1,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，1.∴A E →＝(0，－1,1)，B F →＝(12，－12，1)， ∴A E →·B F →＝32.又|AE →|＝2，|BF →|＝62，∴cos 〈A E →，B F →〉＝322·62＝32， ∴AE 与BF 成30°角．当E 为D 1B 1中点，F 在B 1处时，此时E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，F (0,1,1)，∴A E →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，B F →＝(0,0,1)， ∴A E →·B F →＝1，|A E →|＝ 32，∴cos 〈A E →，B F →〉＝ 23＝63≠32.故④错． 答案：④9.(2008年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是m 和n.若a ＞b ，则θ与φ的大小关系为______，m 与n 的大小关系为______.解析：AB 与β成的角为∠ABC ＝φ，AB 与α成的角为∠BAD ＝θ，sin φ＝sin ∠ABC ＝a |AB |，sin θ＝sin ∠BAD ＝b |AB |. ∵a >b ，∴sin φ>sin θ.∴θ<φ.AB 在α内的射影AD ＝AB 2－b 2，AB 在β内的射影BC ＝AB 2－a 2，∴AD .BC ，即m >n .答案：θ＜φ m ＞n10．如图，已知正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E 、F分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，若A 1C 交平面DBFE 于R 点，试确定R 点的位置．解：在正方体AC 1中，连结PQ ，∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ，∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点，同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点． ∴平面A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ .又A 1C ∩平面BDEF ＝R ，∴R ∈A 1C ，∴R ∈平面A 1C 1CA ，R ∈平面BDEF .∴R 是A 1C 与PQ 的交点．如图．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，N 为BB 1的中点，O 为平面BCC 1B 1的中心． (1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q (只写作法，不必证明)；(2)求PQ 的长．解：(1)连结ON ，由ON ∥AD 知，AD 与ON 确定一个平面α.又O 、C 、M 三点确定一个平面β(如图所示)．∵三个平面α，β和ABCD 两两相交，有三条交线OP 、CM 、DA ，其中交线DA 与交线CM 不平行且共面．∴DA 与CM 必相交，记交点为Q ，∴OQ 是α与β的交线．连结OQ 与AN 交于P ，与CM 交于Q ，故直线OPQ 即为所求作的直线．(2)在Rt △APQ 中，易知AQ ＝1，又易知△APQ∽△OPN ，∴AP PN ＝AQ NO ＝2，AN ＝52，∴AP ＝53， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝143. 12．(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE .解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明：连结EG .由AB ＝BE ，BE 綊AG 及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ，因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影．根据三垂线定理，BG ⊥ED .又ED ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .第三节 平行关系A 组1．已知m 、n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．①如果m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，那么α∥β②如果m ⊂α，n ⊂β，α∥β，那么m ∥n③如果m ⊂α，n ⊂β，α∥β且m ，n 共面，那么m ∥n④如果m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α⊥β解析：m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ，n 没有公共点．又m ，n 共面，所以m ∥n .答案：③2．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：②中α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n 或m ，n 异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④3．(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m, 则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α；③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β.其中为真命题的是________．解析：③中若l ⊂β，m ⊂α，α∥β⇒l ∥m 或l ，m 异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④4．(2009年高考福建卷改编)设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．①m ∥β且l 1∥α ②m ∥l 1且n ∥l 2 ③m ∥β且n ∥β ④m ∥β且n ∥l 2解析：∵m ∥l 1，且n ∥l 2，又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，可能异面．答案： ②5．(原创题)直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有________条．答案：1或06．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC ＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：P A⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：P A≠PD；(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD.解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，AD＝2AB＝2BD，∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面P AB，BD⊥平面P AB，P A⊂平面P AB，∴P A⊥BD.(2)证明：假设P A＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD.又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾．∴P A≠PD.(3)在l上取一点E，使PE＝BC，连结BE，DE，∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，∴PC∥BE，PC⊄平面EBD，BE⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD.B组1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β③若m∥n，m∥α，则n∥α④若n⊥α，n⊥β，则α∥β解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；③错，直线n不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．答案：④2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题有_．解析：对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线n作垂直于m 的平面β，由m⊥α，n⊄α可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③3．已知m，n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________条件．解析：由于直线m，n在平面外，且m∥n，故若m∥α，则必有n∥α，反之也成立．答案：充要4．设l1，l2是两条直线，α，β是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是________．①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线②若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β③l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β④若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α或l2⊂α解析：①错，两直线可相交于点A；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错，不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：④5．(2010年广东深圳模拟)若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是________．①α内的所有直线与a 异面 ②α内与a 平行的直线不存在 ③α内存在唯一的直线与a 平行 ④α内的直线与a 都相交解析：由题设知，a 和α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线与a 共面，①错；在α内不过点P 的直线与a 异面，④错；(反证)假设α内直线b ∥a ，∵a ⊄α，∴a ∥α，与已知矛盾，③错．答案：②6．设m 、n 是异面直线，则(1)一定存在平面α，使m ⊂α且n ∥α；(2)一定存在平面α，使m ⊂α且n ⊥α；(3)一定存在平面γ，使m 、n 到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与β，使m ⊂α，n ⊂β，且α∥β.上述4个命题中正确命题的序号为________．解析：(1)成立；(2)不成立，m 、n 不一定垂直；(3)过m 、n 公垂线段中点分别作m 、n 的平行线所确定平面到m 、n 距离就相等，(3)正确；满足条件的平面只有一对，(4)错．答案：(1)(3)7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下AP ＝a 3，底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝______. 答案：223a8．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP .②若下底面中心为O ，易知NO ∥AB ，NO ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． ③易知AB ∥MP ，∴AB ∥面MNP .④易知存在一直线MC ∥AB ，且MC ⊄平面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行． 答案：①③9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 中点．点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈FHAA 1＝2，10．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，E 为BC 的中点，点M 为棱AA 1的中点．(1)证明：DE ⊥平面A 1AE ； (2)证明：BM ∥平面A 1ED .证明：(1)在△AED 中，AE ＝DE ＝2，AD＝2， ∴AE ⊥DE .∵A1A ⊥平面ABCD ， ∴A 1A ⊥DE ，∴DE ⊥平面A 1AE .(2) 设AD 的中点为N ，连结MN 、BN .在△A 1AD 中，AM ＝MA 1，AN ＝ND ，∴MN ∥A 1D ， ∵BE ∥ND 且BE ＝ND ，∴四边形BEDN 是平行四边形， ∴BN ∥ED ，∴平面BMN ∥平面A 1ED ， ∴BM ∥平面A 1ED . 11．(2010年扬州调研)在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点．(1)求证：平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ；(2)若在棱DD 1上有一点P ，使BD 1∥平面PMN ，求线段DP 与PD 1的比解：(1)证明：连结AC ，则AC ⊥BD ， 又M ，N 分别是AB ，BC 的中点， ∴MN ∥AC ，∴MN ⊥BD .∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴BB 1⊥平面ABCD ， ∵MN ⊂平面ABCD ， ∴BB 1⊥MN ， ∵BD ∩BB 1＝B ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D ， ∵MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D .(2)设MN 与BD 的交点是Q ，连结PQ ，PM ，PN ∵BD 1∥平面PMN ，BD 1⊂平面BB 1D 1D ，平面BB 1D 1D ∩平面PMN ＝PQ ， ∴BD 1∥PQ ，∴DP ∶PD 1＝DQ ∶QB ＝3∶1.12．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE .证明：(1)因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ， 所以AE ⊥BC ，又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， 所以AE ⊥BF ，又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，所以AE ⊥BE .(2)取DE 的中点P ，连结P A ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以PN ∥DC ，且PN ＝12DC ，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ∥DC ，且AM ＝12DC ，所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP ， 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以MN ∥平面DAE .第四节 垂直关系A 组1．(2010年宁波十校联考)设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β解析：①中，b ，c 亦可能异面；②中，也可能是c ⊂α；③中，c 与β的关系还可能是斜交、平行或c ⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．答案：④2．(2010年青岛质检)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β.则真命题的个数为________．解析：对于①，由直线l ⊥平面α，α∥β，得l ⊥β，又直线m ⊂平面β，故l ⊥m ，故①正确；对于②，由条件不一定得到l ∥m ，还有l 与m 垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m ⊥β ”的________条件．解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连结GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF .∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F范围是(12，接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值1)．答案：(12，1)5．(原创题)已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中假命题的有________．①若a ∥b ，则α∥β；②若α⊥β，则a ⊥b ；③若a 、b 相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a ，b 相交．解析：若α、β相交，则a 、b 既可以是相交直线，也可以是异面直线． 答案：④6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；(2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)法一：取A 1B 1的中点为F 1，连结FF 1，C 1F 1. 由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1.因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1.。
空间向量与立体几何(1)t
立体几何与空间向量（1）知识点一 空间向量的坐标运算设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 (1)k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x2，y 2，z 2)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2，且z 1＝λz 2(λ∈R )；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求： (1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件．解 （1）设M 是线段AB 的中点，则OM ＝12(OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2，32，3)，所以线段AB 的中点坐标是(2，32，3)．|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29.(2)点P (x ，y ，z )到A ，B 两点距离相等，则 (x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简，得4x ＋6y －8z ＋7＝0.即到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.知识点二 证明线面的平行、垂直在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D （0，0，0），A （2，0，0），E （2，2，1）， F （0，1，0）， D 1（0，0，2），所以AD ＝(－2,0,0)，D 1F →＝(0,1，－2)，AD →·D 1F →＝0＋0＋0＝0，所以D 1F ⊥AD .又AE →＝(0,2,1)，所以AE →、D 1F →＝0＋2－2＝0，所以D 1F ⊥AE .又AD ∩AE ＝A ，所以D 1F ⊥平面ADE .【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明 设O 为坐标原点，依题意 OA =（-2，3，1）， OB =（2，-5，3），∴ AB= OB -OA = (2, -5,3) - (-2,3,1) = (4, -8 , 2).同理可得 DC = (4,-8,2), AD= (6,6,5), BC = (6,6,5).由 AB = AB DC ， AD = BC ，可知 AB ∥AB ， AD ∥BC，所以四边形ABCD 是平行四边形.知识点三 向量坐标的应用棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．(1)求证：B 1O 3⊥PA ；(2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值； (3)求PO 2的长．(1)证明 以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则B 1(1,1,1)，O 3(12 ， 12,0)，P(0,0，12)，A(1,0,0)，13B O ＝(－12，－12，－1)，PA →＝(－12，－12，－1)，PA →＝(1,0，－12)，∴13B O ·PA →＝－12＋0＋12＝0，即 13B O ⊥PA →∴B 1O 3⊥PA .(2)解 ∵O 1(12，12，1)，O 2(12，1，12)，则 12O O =（0，12，12-）.又∵ 3PO =（ 12，12，-12），∴ cos 〈3PO ， 12O O 〉= PO 3→·O 1O 2→|PO 3→||O 1O 2→|＝0＋(12)2＋(－12)2(12)2＋(12)2＋(－12)2·02＋(12)2＋(－12)2＝63，∴异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值为63.(3)∵P (0,0，12)，O 2(12，1，12)，2PO ＝(12，1,0)．∴|2PO |＝(12－0)2＋(1－0)2＋(12－12)2＝52. 【反思感悟】 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2，N 是AA 1的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值． 解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则 (1)B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴BN ＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3.(2)A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．∴1BA ＝(1，－1,2)，B 1C →＝(1，－1,2)，B 1C →＝(0，－1，－2)， 1BA ·B 1C →＝1－4＝－3，|1BA |＝6，|B 1C →|＝5，∴cos〈1BA ，B 1C →〉＝1111·||||B CBA BA B C＝－36×5＝－3010.∴BA 1，B 1C 所成角的余弦值为3010.知识点4 棱柱、棱锥和棱台 圆柱、圆锥、圆台和球例1：如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．例2：观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？ （1） （2）例3：请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．A A 'DD 'B B 'C 'CCA 'B AB 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDE F B 'C 'D 'F 'E ' （3）知识点5：中心投影和平行投影知识、一个封闭的立方体，它的六个表面各标有F E D C B A ，，，，，这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母C B A ，，对面的字母分别为 ．例5：如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是( C)A ．(1)(2)(3)(4)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)例6：一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积（单位：cm 3）为（ C ）ABCAD CEB ACB 正视图侧视图 6 446（A）72cm3 （B）36cm3 （C）24cm3 （D）12cm3例7：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（C）A. B. C. D.知识点6：平面的基本性质完成表格位置关系符号表示点P在直线l上直线AB与直线BC交于点BM平面α∈C∉l⊂AB平面α直线l不在平面α内例13：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列命题是否正确？并说明理由． ①．1AC 在平面B B CC 11内；②．若1O O 、分别为面1111D C B A ABCD 、的中心，则平面C C AA 11与平面11BDD B 的交线为1OO ； ③．由点C O A 、、可以确定平面；④．设直线⊄l 平面AC ，直线⊄m 平面C D 1，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；⑤．由点11B C A 、、确定的平面与由点D C A 、、确定的平面是同一个平面．例14：在正方体1111D C B A ABCD -中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并说明理由．例16：正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为1111C B C D 、的中点，P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11．求证：（1）E F B D 、、、四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则R Q P 、、三点共线．知识点7：空间两条直线的位置关系例18：三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点．A BCDOO 1A 1B 1C 1D 1ABCD D 1C 1B 1A 1A BC DPA 1B 1C 1D 1（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形； （2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形；（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．例19：已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点．且2==HDAHEB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点，求证：四边形EFGH 是梯形．知识点8：直线与平面的位置关系例24：如图， E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：（1）四点E 、F 、G 、H 共面；（2）BD //平面EFGH ，AC //平面EFGH ．例25：如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C EF C B F BC E 111//，，∈∈，点∈M 侧面FGHABCD EBF CG D HEA ACFBEH DGB B AA 11，点F E M ，，确定平面γ，试作出平面γ与三棱柱111C B A ABC -表面的交线．知识点9：平面与平面的位置关系例32：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中， 求证：平面DB C 1∥平面11D AB ．思考：如果两个平面平行，那么：（1）一个平面内的所有直线是否平行于另一个平面？ （2）分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？例33：棱长为a 的正方体AC1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、 C 1D 1、 B 1C 1的中点．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面； (2)求证：面AMN ∥面EFBD ．CE1C1BF1ABA∙MABCDD 1A 1B 1C 1NMAB 1DC 1EF例34：如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点E 、D 分别是B 1C 1与BC 的中点．求证：平面A 1EB//平面ADC 1．例35：P 是长方形ABCD 所在平面外的一点，M 、N 两点分别是AB 、PD 上的中点．求证：MN ∥平面PBC ．一、选择题1．已知点A (x 1，y 1，z 1)，则点A 关于xOz 平面的对称点A ′的坐标为( ) A ．(－x 1，－y 1，－z 1) B ．(－x 1，y 1，z 1) C ．(x 1，－y 1，z 1) D ．(x 1，y 1，－z 1) 答案 C解析 点A 与A ′关于xOz 平面对称，即AA ′⊥平面xOz .且A 、A ′到面xOz 的距离相等，所以A 与A ′的x ，z 的值相同，y 的值互为相反数．A BC C 1A 1B 1EDABCDMN P2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6) 答案 B解析 ∵b ＝12x －2a ，∴x ＝4a ＋2b ＝(0,6，－20)．3．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ，1tan θ)，有a⊥b ，则θ等于( )A ．－π4 B.π4C ．2k π－π2 (k ∈Z )D ．k π－π4 (k ∈Z )答案 D解析 a·b ＝2sin θcos θ＋1＝sin2θ＋1＝0， 2θ＝2k π－π2，θ＝k π－π4.4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ为( )A ．2B ．－2C ．－2或255 D ．2或－255答案 C解析 由cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝6－λ35＋λ2＝89， 化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝255.5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90° B．60° C．30° D．0° 答案 A解析 ∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.二、填空题 6．模等于27且方向与向量a ＝(1,2,3)相同的向量为________________． 答案 (2，22，32)解析 设b ＝λa (λ>0)．则λ2＋4λ2＋9λ2＝28，λ2＝2，故λ＝ 2.7．已知三个力f 1＝(1,2,3)，f 2＝(－1,3，－1)，f 3＝(3，－4,5)，若f 1，f 2，f 3共同作用于一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移动到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功是________．答案 16解析 合力f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,1,7)， 位移s ＝(2,3,1)，∴功w ＝f·s ＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．已知点A (2，－5，－1)，B (－1，－4，－2)，C (λ＋3，－3，μ)在同一直线上，则λ＝________，μ＝________.答案 －7 －3解析 AB ＝(－3,1，－1)，AC →＝(λ＋1,2，μ＋1)， 则AB ∥AC →，所以λ＋1－3＝21＝μ＋1－1，故λ＋1＝－6，μ＋1＝－2.即λ＝－7，μ＝－3. 三、解答题9．E ，F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中线段A 1D ，AC 上的点，且DE ＝AF ＝13AC .求证：(1)EF ∥BD 1；(2)EF ⊥A 1D .证明 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)， A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E 11,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 21,,033⎛⎫ ⎪⎝⎭. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，1BD ＝(－1，－1,1)＝－3EF →. ∴1BD ∥EF →，又F ∉BD 1，∴EF ∥BD 1. （2）1AD＝(－1,0，－1)，EF ·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13·(－1,0，－1)＝－13＋13＝0，∴EF ⊥A 1D →，即EF ⊥A 1D .10.,,如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC.证明：A 1C ⊥平面BED.证明 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线DD 1为z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D —xyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)， E(0,2,1)，A 1(2,0,4).DE ＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)， 1A C＝(－2,2，－4)， 1DA＝(2,0,4)．因为1A C ·DB →＝0，1A C ·DE＝(－2,2，－4)，故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又BD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BED .10.,,如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC.证明：A 1C ⊥平面BED.11：如图，在正方体1111D C B A ABCD 中，求证1BD ⊥AC ．12：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，求证：平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1．ABCDD 1A 1C 1 B 1D 1A 1C 1 B 1。
高考数学二轮三轮总复习专题课件 专题4第14讲 空间向量与立体几何 理 北师大
第14讲 │ 主干知识整合
2．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角为 θ，如两直线的方向向量 分别为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|； (2)线面角：直线与平面所成的角为 θ，如直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|； (3)面面角：两相交平面所成的角为 θ，两平面的法向量分别 为 n1 和 n2，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面 所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的 平面角是锐角还是钝角的情况以决定 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是 cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.
于是 cos〈A→C，A→1B1〉＝|AA→→CC|·|AA→→11BB11|＝3×42
＝ 2
32.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 32.
第14讲 │ 要点热点探究
(2)易知A→A1＝(0,2 2，0)，A→1C1＝(－ 2，－ 2， 5)． 设平面 AA1C1 的法向量 m＝(x，y，z)，
第14讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 利用空间向量求空间角和距离 例 2 [2011·天津卷] 如图 14－3 所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1＝2 2，C1H⊥平面 AA1B1B，且 C1H ＝ 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； (2)求二面角 A－A1C1－B1 的正弦值； (3)设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN⊥平 面 A1B1C1，求线段 BM 的长．
图 14－1
第14讲 │ 要点热点探究
【分析】 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明 E→F∥A→B即可证明第一问，第二问根据向量的垂直关系证明线线 垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直，第三问使用平面法向 量的方法求解．
向量法解立体几何及经典例题(上课用)
向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.例1：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量.2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.例2： 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形, PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=6, E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.⑵线面平行。
设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.例3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．求证：PB 1∥平面BDA 1；⑶面面平行。
若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.例4：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
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5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
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规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
单元复习01 第一章 空间向量与立体几何【过知识】
) D．4 个
2 重点题型
(2)已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y，z 的值．
①O→Q＝P→Q＋yP→C＋zP→A； ②P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
2 重点题型
[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及 在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的 和．如A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1.
2 重点题型
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向 量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
2 重点题型
跟踪训练 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶 点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. ①求—AC→1 的长； 解 记A→B＝a，A→D＝b，—AA→1 ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
2 重点题型
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、 减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向 量的自由平移获得运算结果．
A．－2 B．2 C．－2 3 D．2 3
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1， OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求O→G·(O→A＋O→B＋O→C)的值．
2 重点题型
(1)A [∵C→D＝A→D－A→C，∴A→B·C→D＝A→B·(A→D－A→C)＝A→B·A→D－ A→B·A→C＝0－2×2×cos 60°＝－2.]
高中数学《空间向量与立体几何》章末复习
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点，
∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12→AB＝a＋c＋12b.
(2)∵N 是 BC 的中点，
∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12→BC＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
学科思想培优 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向 量的分解定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几 何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线 与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化 为向量代数运算．
4．线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： (1)证明直线方向向量与平面的法向量平行； (2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行 (1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题．
6．面面垂直 (1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正 交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与 a，b，c 同向． 2．向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b
3．求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两 个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向 量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个 面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 4．点到平面的距离的求法 点 P 到它在一个平面 α 内射影的距离，叫做点 P 到这个平面 α 的距离．若 A 为平面 α 内任一点，n 为平面 α 的法向量，则点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→|An·|n|.
《空间向量与立体几何》章末复习
[例 3] 已知空间四边形 OABC，M段 MN 上，且MGNG＝2，设O→G＝
xO→A＋yO→B＋zO→C，则 x、y、z 的值分别是
()
A．x＝13，y＝13，z＝13
B．x＝13，y＝13，z＝16
C．x＝13，y＝16，z＝13
D．x＝16，y＝13，z＝13
从而F→E＝(－a3，b3，3c)，A→C1＝(－a，b，c)， ∴F→E＝13A→C1. 又 FE 与 AC1 不共线，所以直线 EF∥AC1.
(2)∵D1(0,0，c)，B1(a，b，c)，A1(a,0，c)，B(a，b,0)， ∴D→1B1＝(a，b,0)，A→1B＝(0，b，－c)． ∵EF 是两异面直线 B1D1，A1B 的公垂线， ∴FF→ →EE··DA→→11BB＝1＝00，，
2 a·2 a
因此，二面角
M－BN－C
的大小为
π－arccos
3 3.
[例7] 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA ＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的大小； (2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系． (1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)， B1(2,3,2)，E(1,3,0)
∴E→F与D→B成的角为3π ∴EF 与平面 ACC1A1 所成的角为6π.
[例6] 如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平 面ABCD，，且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．
(1)求证MN⊥CD； (2)求二面角M－BN－C的大小．
[解析] (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，C(a，a,0)， M(a2，0，a2)，N(a2，a2，0)
2013年高考数学预测新课标数学考点预测(14)：空间向量与立体几何
1 1 A(2, 0, 0), B(0, 0, 2), C (0, 2, 0), E(1, 0,1), F (1,1, 0), H (1, , ) 2 2 ���� � 1 1 ���� 1 1 ��� 所以 AH = ( −1, , ), OH = (1, , ), BC = (0, 2, −2) 2 2 2 2 ���� ��� � ���� ��� � 所以 AH ⋅ BC = 0, OH ⋅ BC = 0
所以 BC ⊥ 平面 OAH 由 EF ∥ BC 得 B1C1 ∥ BC ，故： B1C1 ⊥ 平面 OAH
(2)由已知 A1 ( , 0, 0), 设 B1 (0, 0, z )
3 2 ���� ���� 1 则 A1 E = ( − , 0,1), EB1 = ( −1, 0, z −1) 2 ���� ���� ���� ���� 由 A1E 与 EB1 共线得:存在 λ ∈ R 有 A1 E = λ EB1 得
∠ONC1 就是二面角 O − A1B1 − C1 的平面角。
作 EM ⊥ OB1 于 M ，则 EM ∥ OA ，则 M 是 OB 的中点，则 EM = OM = 1。 设 OB1 = x ，由
OB1 OA1 x 3 得， = = ，解得 x = 3 ， MB1 EM x −1 2
在 Rt∆OA1 B1 中， A1 B1 = OA12 + OB12 =
⎧ 3 x1 = 0, ⎪ 因此 ⎨ 3 1 x1 + y1 + z1 = 0. ⎪ ⎩ 2 2
z1 = −1, 则m = (0, 2, −1),
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以 BD⊥平面 AFC， 故 又
��� � BD 为平面 AFC 的一法向量.
第一章.空间向量与立体几何小结与复习
第一章.空间向量与立体几何小结与复习班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1．求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计2.掌握直线平面所成角、二面角的计算方法；3.熟练掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理）一．课前预习1.空间向量及加减运算（1）空间向量可以看作是平面向量的推广，它们之间有许多共同性质，如_____，_____，_____，_____，等都是一致的。
（2）空间向量的加减运算是用几何方式引入的，向量的加法运算满足_____及_____，对于加法的平行四边形法则和三角形法则，以及减法的三角形法则要注意灵活运用。
2.空间向量的数乘运算（1）空间向量的数乘运算，平行向量的概念，向量平行的充要条件与平面向量的一致。
（2）共面向量基本定理可以判断空间中一向量与不共线向量a ,的关系，特别的，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(y x ,),使__ ___.3.空间向量的数量积（1）空间向量的数量积运算及性质都可以类比平面向量。
（2）空间向量基本定理可以类比平面向量的基本定理来学习。
4.直线的方向向量及应用：（1）确定直线上的点的位置及共线条件（2）判断直线平行或垂直，若m b l //,//a 则 _ ，b a m l ⊥⇔⊥。
5、法向量及其应用21,n n 为平面βα,的法向量，则⇔⊥βα；⇔βα//21//n n ；⇔α//l ；（为L 的方向向量），____⇔⊥βl6、求空间角：设m l ,的方向向量分别为βα,,, 的法向量为21,n n ，两条异面直线m l ,所成的角为θ，则=θc o s ；直线α与平面l 所成角θ，则=θs i n ,两平面βα,的二面角的平面角为θ，=θcos ，取值视具体情况而定。
高三空间向量与立体几何知识点归纳总结
高三空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作ba ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为a ±4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。
高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
1
2
,试建立适当的坐标系.
解 以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所
示的空间直角坐标系,
则
1
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D( ,0,0),S(0,0,1).
设 Q(0,1,m).
(方法 1)因为 =
=
1
-1,0, 2
1 1 1
- ,- ,
2 2 2
, 1 =(-1,-1,1),所以 ∥ 1 ,于是 OP∥BD1.
1
, =(-1,0,m),当 m=2时,
= ,即 AP∥BQ,有平面 PAO∥平
面 D1BQ,故当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与
法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量
14 用空间向量法解决立体几何问题
1．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直D ．不能确定2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )．A.63 B.265 C.155 D.1053．已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于( )． A.64 B.104 C.22 D.324．(2012·临沂模拟)过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )． A ．30° B．45° C ．60° D．90°5．(2012·潍坊模拟)如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )． A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥ABEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值6．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为P 、Q ，则PQ →＝________.7．到正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________． 8．已知ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．9．如图，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角AMNQ 的平面角的余弦值．10．如图，已知斜三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC .(1)求证：MB ⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BB 1C 的余弦值．11．(12分)(2012·唐山二模)如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若二面角PACE 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．。
第一章 空间向量与立体几何(单元复习课件)
三、本章考点分析
类型 18：求平面的法向量解题技巧
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量A→B，A→C.
n·A→B＝0， (3)列方程组：由 n·A→C＝0
面．首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从 正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要 条件建立方程组．若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不 共面．
● 类型7：用基底表示空间向量答题模板
● 用基底表示空间向量的步骤
● (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(3)利用|a | a2 ，通过计算求出 a ，即得所求距离．
类型 11：求两直线的夹角问题解题技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，转化为求 平面中的角的大小．
(2)由两个向量的数量积定义得 cosa,b a b ,求 a,b 的大小,转化为求两个向量的数量积及两个 | a || b |
三、本章考点分析
类型 16：坐标形式下向量的平行与垂直问题答题模板 判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于 a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) ,根据 x1x 2 y1 y2 z1z2 是否等于 0,判断两向量是否垂直;根据
三、本章考点分析
类型 2：向量的共面问题规律总结 (1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可以直接利用定义，通过线面平行或直线在 平面内进行证明． (2)向量共面时向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向 量的起点、终点共面)． 类型 3：数量积的计算规律总结 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式计算． (2)如果要求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开， 再利用 a a a2 及数量积公式进行计算．
高考数学空间向量与立体几何解答题专题复习题
高考数学空间向量与立体几何解答题专题复习题1．已知空间三点(023)(216)(115)A B C −−，，，，，，，，．（1）求以AB AC ，为边的平行四边形的面积．（2）若=a a 分别与AB AC ，垂直，求向量a 的坐标．2．三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，∠A 1AB =∠A 1AC =60∘，点M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接A 1M ．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ．（1）用a ,b ⃗ ,c 表示A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； （2）证明：A 1M ⊥AB ．第2题图 第3题图3．在正方体1111D C B A ABCD −中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．（1）求证：⊥F D 1平面ADE ；（2）1,EF CB 的夹角． 4．在几何体ABCD P −中，底面ABCD 为矩形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，3=AB ，1=BC ，2=PA ，E 为PD 的中点．（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值．（2）在侧面PAB 内找一点N ，使⊥NE 平面PAC ,并求出N 点到AB 和AP 的距离．第4题图 第5题图5．在底面为矩形的四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ．A B C DP（1）证明：AB PD ⊥．（2）若,90PA PD AB APD ==∠=︒，设Q 为PB 中点，求直线AQ 与平面PBC 所成角的余弦值．6．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（1）求证：11C M B D ⊥．（2）求二面角1B B E D −−的正弦值．（3）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．第6题图 第7题图 第8题图7．在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，M 是线段PC 的中点.已知2PD CD ==，1AD =．（1）求证：//PA 平面BDM（2）求二面角M BD C −−的余弦值．（3）直线BD 上是否存在点N ，使得MN 与PA 垂直？若存在，求MN 的长；若不存在，请说明理由．8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，点M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝P A ＝4．（1）若PM ：MD ＝1:2，求证：PB ∥平面ACM ．（2）求二面角A ﹣CD ﹣P 的正弦值．（3）若直线AM 与平面PCD ，求MD 的长．。
立体几何(建系、写坐标,法向量)复习(1)
1A 1B 1C1DB CD EF GP BCA 建立空间直角坐标系，书写坐标、求法向量复习：1.向量的数量积公式若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： ·=|||b | cos θ（2）模长公式：则212||a a a a a =⋅=++21||b b b b =⋅=+ （3）夹角公式：22221231cos ||||a ba b a b a a a b ⋅⋅==⋅++ （4）两个非零向量与垂直的充要条件是1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=2.建立空间直角坐标系注：三条坐标轴互相垂直，当题目中没有现成的时候我们可以自己建立。
（判断正误）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
长方体 正方体 PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒xyo. Mxyo. M平面直角坐标系空间直角坐标系z1D 1B 1C P D BCAPA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCDABCD EPC CDA 1PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=.3.如何正确书写(),,a x y z =坐标x 即为横坐标，表示点到yoz 平面的距离; y 即为横坐标，表示点到xoz 平面的距离; z 即为横坐标，表示点到xoy 平面的距离.1.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6,写出所有点坐标1A 1B 1C 1D ABCD EFGPBCA2.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，写出所有点坐标3.如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，写出对应坐标。
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高三复习练习十四：向量的数量积与坐标运算一、数量积的概念、性质1、（ ）已知、、是三个向量，下列命题中：①若·=·且≠，则=；②若·=0，则=或=；③若⊥,则·=0；④向量在的方向上的投影是一个模等于|||cos θ|（θ是与的夹角），方向与相同或相反的一个向量．其中正确命题的个数是：A ．1；B ．2；C ．3；D ．42、下列结论： ① 0 ·0 =0 ； ②0·=0； ③|·|=||·||； ④·=0⇒=0或=0 ；⑤ ⊥⇒(·)·=0，其中正确的序号是 ．3、||4a = ，e 为单位向量，a 与e 之间夹角为120，a 在e 方向上的投影是 。
4、向量a()13,13+-=，e 为单位向量，当它们的夹角为45 角时，a 在e 方向上的投影为 ． 5、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为 。
二、数量积的运用 （一）求模、求夹角例题：6、已知||=13，||=19，且|+|=24，求|-|的值．7、若(→a ＋→b )⊥(2→a －→b )，(→a －2→b )⊥(2→a ＋→b )，求→a 与→b 夹角的余弦。
8、（1）若 | a |=1,|b |=2,且a 与b 的夹角是1200, 则a 与a +b 的夹角是：A.1200B.900C .600D.450（2）在△ABC 中，AB 〃＞0，则△ABC 是 三角形； （3）设向量的夹角为θ，则sin2θ等于：A ．；B ．－；C ．；D ．－练习：92=3=，a ，b 的夹角为0120，则＝ 。
10、已知a=（2，- 8），=（-8，10），则2a b +＝ 。
11、（ ）设、是夹角为060的单位向量，则+2和23-的夹角为：A ．030B ．060C ．0120D ．015012、（ ）若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为： A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° （二）其它运用例题：（ ）13、ABC ∆中，若BC a = ，CA b = ，AB c = ，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则ABC ∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．A 、B 、C 均不正确练习：14、（ ）已知∆ABC 中，AB =a ，AC =b ,当a ·b<0时 ∆ABC 是：A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形三、求点与向量的坐标（思想方法：方程思想、待定系数法；等量关系：相等向量、共线向量、垂直、平行）（一）求点的坐标：例题：15、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且AD =2AB -3BC，则点D 的坐标为 ．16、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)， (1)求方向与AB一致的单位向量； （2）过点C作向量CD 与AB 共线，且4CD →=，求D 点坐标；练习：17、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --、()3,1B -、()5,6C ，求顶点D 的坐标．（二）求向量坐标：例题：18、已知()2,a b ==-，若⊥，则= ．19、a ，b 为非零向量，且 | a |=|b |，若k a +b 与k a –b 相互垂直，则实数k 的可能值为： A 、1 B 、2 C 、0 D 、任意实数练习：20、已知∆ABC 的三顶点分别为A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），BC 边上的高为AD ，求点D 和AD的坐标．高三复习练习之立体几何一、平面的性质1、（ ）下面命题中真命题是： A 、三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面；B 、空间不同三点确定一个平面；C 、有三个内角是直角的空间四边形是矩形；D 、顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形其对角线必共面。
2、（ ）A 、B 、C 表示不同的点，,a l 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，下列推理错误的是： A 、,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂； B 、,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒= ；C 、,l A l A αα⊄∈⇒∉；D 、,,,,,A B C A B C αβ∈∈且,,A B C 不共线,αβ⇒重合。
二、异面直线的判定1、(1)下列说法是否正确？（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
（2）直线a 在α内，直线b 不在α内，则,a b 是异面直线。
（3）在空间中，经过直线外一点，有且只有一条直线 和这条直线平行。
（4）经过一点有且只有一条直线和这条直线平行。
（5）垂直于同一直线的两条直线平行。
(2)在正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱共有几条？ A 、4； B 、6； C 、8； D 、12.2、(1)（2009苏州联考）下图中，HNHG 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有： A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个。
(2)在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线 是异面直线。
以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （填上序号）。
三、异面直线所成的角1、在正三棱锥S ABC -，E 为SA 的SA 的中点，F 为ABC 的中心，SA = SC ，则异面直线EF 与AB 所成的角是： A 、90 ； B 、60 ； C 、45 ； D 、30。
2、（1）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是111,A B BB 的中点，则,AM CN 所成的角的余弦值是：AB； C 、35； D 、25。
（2）在棱长为a 的正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求异面直线DE 与BF 所成的角的余弦值。
四、线线平行、线面平行1、( )如果a 、b 是异面直线，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系是：A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.不确定2、( )下面给出四个命题，其中正确命题的个数是: ①若a ∥α、b ∥α，则a ∥b ②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ④若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α A.0B.1C.2D.43、( )a,b 为两异面直线，下列结论正确的是: A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 4、如图，正方体中1AC ，P 、Q 分别是1AD 、BD 上的点，且AP BQ =，求证：PQ ∥平面11DCC D5、( )若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是: A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内6、给出以下四个命题：①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，则a 平行平面α内所有直线；④若a 平行α内无数条直线，则a ∥α．其中正确的个数是C五、面面平行1、下列命题中，可以判断下面α∥β的是：A 、α、β同垂直于平面，；B 、直线a 与α、β成等角；C 、α、β分别过两平行直线；D 、a 、b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a 。
2、（05高考）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂β，有下列四个命题： ①α∥β⇒ l ⊥m ；②α⊥β⇒ l∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ∥m ⇒α∥β。
其中正确的两个命题是： A 、①②；B 、③④；C 、①③；D 、②④。
3、下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交；④垂直于同一直线的两个平面平行． 不正确的命题个数是： （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4、（10上海）设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。
其中正确命题的个数是 。
5、（06）如果直线m 、n 与平面α、β、γ满足n =γβ ，n ∥α，m ⊂α，和m ⊥γ，那么必有：A 、α⊥γ且n ⊥m ；B 、α⊥γ且m ∥β；C 、m ∥β且m ⊥n ；D 、α∥β且α⊥γ。
6、已知直线a ，b ，c 以及平面α，β，给出下列命题：①若a ，b 与α成等角，则a ∥b ；②若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β；③若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α；④若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b 或a ，b 为异面直线．其中错误的命题序号是 ．作业：1、( )若向量=(1，－2) ， | | = 4 ||，且，共线，则可能是：A ．(4，8)B ．(－4，8)C ．(－4，－8)D ．(8，4) 2、若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x = ．3、( )已知()1,1a =- ，()2,b y = ，且2a +2b 与a －2b 平行，则y 等于： A ．2 B ．－2 C ．12 D ．12-4、( )已知=（1，2），=（x ，1），且+2与2－垂直，则x 等于：A ．2B ．72C ．－2D ．72或－25、在∆ABC 中，()()2,3,1,AB AC k ==，且角B 为直角，则k 的值为 ．6、已知=(1,2),=(x,1),分别求x 的值使 ①(+2)⊥(2-) ②(+2)∥(2-) ③ 与 的夹角是600.8、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点。
（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求证：EF ∥平面PADEC。