江西师大附中2020届高三第三次模拟考试文科数学试卷及答案2020.6
2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科)
2020年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x +3)(x −2)≥0}，B ={x|y =√log 2x}，则A ∩B =( )A. [1,4]B. [1,2]C. [2,+∞)D. [1,+∞) 2. 设复数z =1−i1+i ，则z 的共轭复数z 为( )A. 1B. −1C. −iD. i3. tan2π3+cos(3π2−π3)的值为( )A. −3√32B. −√32C. √3+12D. √3−124. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √2 B. √10 C. √26 D. √34 5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m ⊥α，n//α，则m ⊥n ；②若m//n ，n ⊂α，则m//α；③若m//α，n//β，α//β，则m//n ；④若m ⊥β，m//α，则α⊥β． 其中所有正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④6. 若将函数y =sin(2x −π3)+1的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A. (π4,0)B. (π4,1)C. (π3,0)D. (π3,1)7. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(12)n −m ，则“m =1”是“{a n }是等比数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数y =2sinx2x +2−x 的图象大致为( )A.B.C.D.9. 在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB 作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的切点D 正好位于塔身和塔顶的分界．经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是( )(参考数据：√2≈1.414) A. 66.1米 B. 67.3米 C. 68.5米 D. 69.0米 10. 已知圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心到直线x −y −2=0的距离为2√2，则圆C 1与圆C 2：x 2+y 2−2x −4y +4=0的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离11. 设m ∈R ，已知直线2x −y −m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点M ，N ，若点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|，则该双曲线的离心率为( )A. √2B. √52C. 2D. √10212. 如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1D 1的中点，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若过点A ，E ，F 的平面分别交棱CC 1、BC 于点G ，H ，则线段GH 的长度为( )A. √343B. 4√53C. √973D. 103二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若数列{a n }的前n 项和S n =2n +n ，则a 5=______．14. 已知过抛物线C ：x 2=8y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，则点B 到C 的准线的距离为______．15. 已知变量x ，y 满足{2x −y +3≥0,x +y −3≥0,x −2y +m ≤0．若z =x +2y 的最小值为5，则实数m 等于______．16. 已知函数f(x)={(x −1)e x ,x ≤1,lnx x , x >1.其中e 为自然对数的底数．若函数g(x)=f(x)−kx 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin2B =2bsinAcos(π3−B)．(1)求cos B 的值；(2)若△ABC 的面积为1，求b 的最小值．18. 2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060(2)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a>0，a+b+c+d=800.当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．19.如图，在四棱台ABCD−EFGH中，底面ABCD是菱形，平面CDHG⊥平面ABCD，CG=GH=HD=1，BD=CD=2．(1)求证：CD⊥BF；(2)求四棱台ABCD−EFGH的体积．20.已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，其上顶点为B，左焦点为F，原点O到直线BF的距离等于2√33．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A(1,1)的直线x与椭圆C相交于M，N两点，且|AM|⋅|AN|=1，求直线l的方程．21. 已知函数f(x)=(x +1)⋅2x ．(1)求曲线y =f(x)在x =0处的切线方程； (2)若关于x 的不等式f(x)x≥(x +1x +2)ln2+ax +2在区间(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +2ty =t −2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=√3．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M(0,2)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|．(1)解关于x 的不等式f(2x)≤f(x +1)+1；(2)若实数a ，b 满足a +b =2，求f(a 2)+f(b 2)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A ={x|(x +3)(x −2)≥0}={x|x ≤−3或x ≥2}， B ={x|y =√log 2x}={x|x ≥1}， ∴A ∩B ={x|x ≥2}=[2,+∞)． 故选：C ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D【解析】解：∵z =1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴z =i ． 故选：D ．直接利用复数代数形式的除法运算化简z ，则z 可求．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：tan2π3+cos(3π2−π3)=−√3+(−√32) =−3√32． 故选：A ．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 4.【答案】D【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−3)．所以，|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52+(−3)2=√34． 故选：D ．利用向量的加减运算，求出CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后求解向量的模． 本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基本知识的考查． 5.【答案】D【解析】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于①，若m ⊥α，n//α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m ⊥n ，故①正确； 对于②，若m//n ，n ⊂α，则m//α或m ⊂α，故②错误；对于③，若m//α，n//β，α//β，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误； 对于④，若m ⊥β，m//α，则由面面垂直的性质定理得α⊥β，故④正确． 故选：D ．对于①，由线面垂直的性质和线面平行的性质得m ⊥n ； 对于②，m//α或m ⊂α；对于③，m与n相交、平行或异面；对于④，由面面垂直的性质定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：将函数y=sin(2x−π3)+1的图象向右平移π6个单位长度后，可得y=sin(2x−2π3)+1的图象，令2x−2π3=kπ，k∈Z，求得x=kπ2+π3，可得所得图象的对称中心为(kπ2+π3,1)，故所得图象的一个对称中心为(π3,1)，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：当n=1时，a1=S1=12−m，当n>1时，a n=S n−S n−1=12n −12n−1=−12n，若m=1，则a1=12−m=−12，a2=−122=−14，a2a1=12，当n>1时，a n+1a n =−12n+1×(−2n1)=12，数列{a n}是等比数列；若数列{a n}是等比数列，a1=−12=12−m，a n=−12n，m=1．所以是充分必要条件．故选：C．先令n=1，求出a1，再由n>1时，根据a n=S n−S n−1，求出a n，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果．本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型．8.【答案】A【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=2sin(−x)2−x+2x =−2sinx2x+2−x=−f(x)，则函数为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项C；又当x∈(0,π)时，sinx>0，2x+2−x>0，故2sinx2x+2−x>0，可排除选项B；又2x+2−x≥2，2sinx≤2，不能同时取等，故2sinx2x+2−x<1，可排除选项D．故选：A．利用函数的奇偶性可排除选项C，利用函数的取值可排除选项B，利用不等式的性质可排除选项D，进而得出正确选项．本题考查利用函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想及推理能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设该木塔的高度为h ，则由图可知，ℎ=√2AB ≥47.5×1.414=67.165(米)． 同时CD ℎ=√2−1√2， ∴ℎ=√2CD √2−1=1−√22≤19.91−1.4142≈67.9(米)．即木塔的高度h 约在67.165米至67.9米之间， 结合选项，可得B ． 故选：B ．由题意利用平面几何的性质求解木塔高度h 的范围，结合选项得答案．本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 10.【答案】B【解析】解：圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心为C 1(0,a 2)，半径r 1=a 2，a ≠0， 由圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心到直线x −y −2=0的距离为2√2， 可得2√2=2√2，解得a =±√2，可得圆C 1的圆心为(0,2)，半径为2，而圆C 2：x 2+y 2−2x −4y +4=0的圆心为(1,2)，半径为r 2=1， 由|C 1C 2|=1=r 1−r 2=2−1， 可得两圆的位置关系为内切． 故选：B ．求得圆C 1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a ，求得圆C 2的圆心和半径，计算|C 1C 2|，与两圆的半径之差比较可得结论．本题考查圆的方程和运用，以及两圆的位置关系的判断，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 11.【答案】A【解析】解：由{y =2x −m y =b ax，解得M(ma 2a−b ,mb2a−b )， 由{y =2x −m y =−b ax，解得N(ma 2a+b ,−mb2a+b ). ∴MN 的中点坐标为P(2ma 2(2a−b)(2a+b),2mb 2(2a−b)(2a+b))， ∵点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|， ∴k PQ ⋅k MN =−1，即2mb 2(2a−b)(2a+b)2ma 2(2a−b)(2a+b)−2m×2=−1，整理得：a 2=b 2，即a =b ，∴该双曲线为等轴双曲线，其离心率为√2． 故选：A ．分别联立已知直线方程与双曲线的两条渐近线方程，求得M 与N 的坐标，利用中点坐标公式求出MN 的中点P 坐标，再由|QM|=|QN|，可得PQ ⊥MN ，由斜率之积等于−1列式求得a =b ，可得双曲线为等轴双曲线，即可求其离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题． 12.【答案】B【解析】解：如图，连接AE ，延长EF 、B 1C 1，相交于M ，∵点E 是棱A 1D 1的中点，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4， ∴D 1E =2，D 1F =3，C 1F =1，则C 1M =23．在平面AEM 中过A 作AH//EM ，交BC 于H ，则BH =2+23=83． 可得CH =43，∴CG =2C 1G ，即CG =83． ∴HG =√(43)2+(83)2=√169+649=√809=4√53． 故选：B ．由题意画出图形，找出平面AEF 与正方体的棱CC 1 与BC 的交点，利用三角形相似求得CG 与CH 的长度，再由勾股定理得答案．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 13.【答案】17【解析】解：数列{a n }的前n 项和S n =2n +n ，则a 5=S 5−S 4=(25+5)−(24+4)=17， 故答案为：17．由题意利用数列的前n 项和与第n 项的关系，由a 5=S 5−S 4，计算求得结果． 本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，属于基础题． 14.【答案】10【解析】解：过抛物线C ：x 2=8y 的焦点F(0,2)的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，所以A(2,12)， 所以直线l ：y −2=−34x ，即y =−34x +2，代入抛物线方程可得：x 2+6x −16=0，x A +x B =−6所以x B =−8，所以y B =8．点B 到C 的准线的距离为：10． 故答案为：10．求出A 的坐标，得到直线l 的方程，然后求解B 的纵坐标，推出结果即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 15.【答案】3【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最小，此时z =x +2y 的最小值为5， 由{x +2y =5x +y =3，解得A(1,2)同时A 在直线x −2y +m =0上， ∴m =3． 故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z =x +2y 的最小值为5，利用数形结合即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.【答案】(0,12e)【解析】解：令g(x)=(x−1)e x(x≤1)，则g′(x)=xe x，所以当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,1)时，g′(x)>0，于是函数g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，当x→−∞时，g(x)→0，g(0)=−1，g(1)=0．令ℎ(x)=lnxx (x≥1)，则ℎ′(x)=1−lnxx2，所以当x∈(1,e)时，ℎ′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，于是函数ℎ(x)在区间(1,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，ℎ(1)=0，ℎ(e)=1e，当x→+∞时，ℎ(x)→0．函数g(x)=f(x)−kx有3个不同的零点，等价于方程f(x)=kx有3个解，即函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，作出函数f(x)与直线y=kx的图象，如下图所示当直线y=kx与函数ℎ(x)相切时，设切点坐标为(x0,lnx0x0)，根据导数的几何意义可得：k=lnx0x0−0x0−0=1−lnx0x02，解得：k=12e,x0=√e，要使得函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，数形结合可知k的取值范围为(0,12e)．故答案为：(0,12e)．先把函数g(x)=f(x)−kx有3个不同的零点转化为函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，利用导数求函数g(x)，ℎ(x)的单调性，再作出函数f(x)的图象与直线y=kx的图象，再数形结合分析临界位置即可得到答案．本题考查了数形结合的思想解决函数零点的问题，把函数零点转化为方程的根，再转化为两函数图象的交点是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵asin2B=2bsinAcos(π3−B)，∴2sinAsinBcosB=2sinBsinAcos(π3−B)，∵sinAsinB≠0，∴cosB =cos(π3−B)， ∴B =π3−B ，∴B =π6， ∴cosB =√32； (2)∵△ABC 的面积为1， ∴12acsinB =1，∴ac =4，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ≥2ac −√3ac =8−4√3， 当且仅当a =c =2时取等号， 则b =√6−√2，故b 的最小值为√6−√2．【解析】(1)根据二倍角公式和正弦定理可得cosB =cos(π3−B)，即可求出cos B ，(2)根据三角形的面积公式可得ac =4，再根据余弦定理和基本不等式即可求出． 本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，注意正余弦定理以及三角形边角关系的应用，是基础题． 18.【答案】解：(1)根据题意，厨余垃圾共300+70+30+80=480吨， 其中投放正确的有300吨，则厨余垃圾投放正确的概率P 1=300480=58， 有害垃圾共20+20+60+20=120吨，其中投放正确的有60吨， 则害垃圾投放正确的概率P 2=60120=12；(2)根据题意，厨余垃圾在四种垃圾箱的投放量分别为a ，b ，c ，d ，其中a >0，a +b +c +d =800， 则其平均数x −=8004=200，则其方差S 2=14[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2+(d −200)2]， 当a =600，b =c =d =0时，s 2最大， 而x −=a+b+c+d4=200，此时s 2=14[(600−200)2+(0−200)2+(0−200)2+(0−200)2]=120000【解析】(1)结合题意，利用等可能事件的概率公式，即可分别求解； (2)结合已知数据及方差公式，即可判断求解．本题考查概率的估算，涉及方差的性质以及计算，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：取C 中点M ，GH 中点N ，连结BM ，MN ，FN ，∵底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，CG =GH =HD =1，BD =CD =2． ∴△BDC 是等边三角形，∴BM ⊥CD ，MN ⊥CD ，四边形BMNF 是直角梯形，∵BM ∩MN =M ，∴CD ⊥平面BMNF ，∵BF ⊂平面BMNF ，∴CD ⊥BF ．(2)解：如图，把四棱台ABCD −EFGH 还原成四棱锥P −ABCD ， ∵在四棱台ABCD −EFGH 中，底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，CG =GH =HD =1，BD =CD =2． ∴S 四边形ABCD =2S △BCD =2×12×2×2×sin60°=2√3，S 四边形EFGH =14S 四边形EFGH =14×2√3=√32，PN =MN =√32， ∴四棱台ABCD −EFGH 的体积：V ABCD−EFGH =V P−ABCD −V P−EFGH=13×S 四边形ABCD ×PM −13×S 四边形EFGH ×PN =13×2√3×√3−13×√32×√32=74．【解析】(1)取C 中点M ，GH 中点N ，连结BM ，MN ，FN ，推导出BM ⊥CD ，MN ⊥CD ，从而CD ⊥平面BMNF ，由此能证明CD ⊥BF ．(2)把四棱台ABCD −EFGH 还原成四棱锥P −ABCD ，四棱台ABCD −EFGH 的体积V ABCD−EFGH =V P−ABCD −V P−EFGH ，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ ca =√63bc =2√33a a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，c 2=4，∴椭圆C 的方程x 26+y 22=1；(2)将x =1是代入x 26+y 22=1，可得y =±√153， 此时|AM|⋅|AN|=(√153−1)(1+√153)=23≠1，因此直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，即y =kx +1−k ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +1−k x 26+y 22=1，消y 整理可得(1+3k 2)x 2+6k(1−k)x +3(1−k)2−6=0，∴x 1+x 2=6k(k−1)1+3k 2，x 1x 2=3(1−k)2−61+3k 2，∴|AM|⋅|AN|=√1+k 2|x 1−1||⋅√1+k 2|x 1−1|=(1+k 2)|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)⋅|3(1−k)2−6−6k(k−1)+3k 2+11+3k 2|=2(1+k 2)1+3k 2=1，解得k =±1，∴直线l 的方程为y =x 或y =−x +2．【解析】(1)由题意可得{ c a =√63bc =2√33a a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，即可求出椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，用韦达定理，可得|AM|⋅|AN|=2(1+k 2)1+3k 2=1，即可求出直线的斜率，可得直线方程．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题． 21.【答案】解：(1)由已知f(x)=(x +1)2x ，从而f′(x)=2x +(x +1)2x ln2=2x [(x +1)ln2+1]， ∴f(0)=1，f′(0)=ln2+1，∴曲线y =f(x)在x =0处的切线方程为y −1=(ln2+1)x ， 即y =(ln2+1)x +1； (2)当x >0时，f(x)x≥(x +1x+2)ln2+ax+2可化为：(x +1)2x ≥(x 2+2x +1)ln2+a +2x ， 即a ≤(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，令g(x)=(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，(x >0)， 则由题意只需a ≤g(x)min ，g′(x)=(2x −2)[(x +1)ln2+1]， ∵(x +1)ln2+1>0，∴当0<x <1时，g′(x)<0， 当x >1时，g′(x)>0，从而g(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增， 故g(x)min =g(1)=2−4ln2， 故a ≤2−4ln2，即实数a 的范围是(−∞,2−4ln2]．【解析】(1)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；(2)问题转化为a ≤(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，令g(x)=(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，(x >0)，则由题意只需a ≤g(x)min ，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，求出a 的范围即可． 本题考查了切线方程问题，考查函数恒成立，导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =t +2t①y =t −2t ②(t 为参数)， 故①2−②2，整理得x 2−y 2=8，转换为直角坐标方程为x 28−y 28=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=√3.整理得：12ρcosθ+√32ρsinθ=√3，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标法方程为x +√3y −2√3=0．(2)直线x +√3y −2√3=0转换为参数方程为{x =−√32ty =2+12t (t 为参数)，代入x 28−y 28=1，得到t 2−4t −24=0，(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)， 所以t 1+t 2=4，t 1t 2=−24，所以：|MA|+|MB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=4√7【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)|4x −1|≤|2x +1|+1⇔{4x −1≤2x +1+1,x ≥141−4x ≤2x +1+1,−12<x <141−4x ≤−2x −1+1,x ≤−12解得x ∈[−16,32]，故原不等式的解集为[−16,32].(2)f(a 2)+f(b 2)=|2a 2−1|+|2b 2−1|≥|2(a 2+b 2)−2|，由柯西不等式2(a 2+b 2)=(12+12)(a 2+b 2)≥(a +b)2=4．从而2(a 2+b 2)−2≥2，即f(a 2)+f(b 2)≥2，取等条件为a =b =1． 故f(a 2)+f(b 2)的最小值为2．【解析】(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
江西师大附中2023届高三三模考试 文数答案
江西师大附中2023届高三三模考试数学（文）试卷答案一、选择题题号123456789101112答案DACCDCBCACAB二、填空题13.314.015.8716.317-8.如果把这些数列的第一项依次排列构成的数列记为{}n P ，则,2,,2,2,111223121--=-=-=-=n n n P P P P P P P )()(1121--++-+=n n n P P P P P P 12222112-=++++=-n n ，则203610)222(1021021=-+++=+++ P P P故选C.10.框图的目的是求最小值。
考察函数xy 4.0=与xy 5.0=的图像得5.04.04.04.04.05.0>>即b>a ，又5332log 8log 8log 2232===c 53510524.04.05.0>====a ，则a>c,故选C11.法一：由题意得b =2a,利用中线长公式(或余弦定理）：28542222222-=-+=a c b a CM ，且582>a ，显然BMC ∠为锐角，只要求BMC ∠cos 最小值422222285243852432cos a a a a MB CM BC MB CM BMC -=-=⋅-+=∠，令)850(12<<=t t a ，3225)165(85822+--=+-t t t ，当165=t 时，BMC ∠cos 最小53=，BMC ∠sin 最大为54。
法二：利用阿氏圆（或建系）点C 在一个圆上运动，半径为38，圆心到M 的距离为310,BMC ∠sin 最大值为5431038=÷。
故选A 。
12.即0)(ln 2ln ≥+-+-e x x a e x x 在x>0上恒成立，令1)0(ln ≥⇒>-=t x x x t ，即02≥+-e at e t在1≥t 上恒成立。
江西师大附中2020届高三三模考试参考答案(文科数学) B5
江西师大附中2020届高三三模考试参考答案（文科数学） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A D D D C A B B D B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 17 14. 10 15. 3 16. 1(0,)2e三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）【解析】（1）由πsin 22sin cos()3a Bb A B =-得， π2sin sin cos 2sin sin cos()3A B B B A B =-， 从而πcos cos()3B B =-， ……………………3分 因为ABC ∆为锐角三角形， 所以π(0,)2B ∈，ππ(,)363B π-∈-，所以π3B B =-， 从而π6B =， 所以3cos B =. ……………………6分 （2）因为1sin 12ABC S ac B ∆==， 所以4ac =， ……………………9分 又222222cos 43243843b a c ac B a c ac =+-=+-≥-=-，当且仅当2a c ==时取等号. 所以b 的最小值为84362-=-. ……………………12分18．（12分）【解析】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++； ……………3分 估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++. ……………………6分 （2）当600,0a b c d ====时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大. ……………………9分 因为2004a b c d x +++==，所以此时方差 222221[()()()()]4s a x b x c x d x =-+-+-+-221(6003200)1200004=+⨯=. ………………12分19．（12分）【解析】（1）在四棱台ABCD EFGH -中，延长,,,AE BF CG DH 可相交于一点S ，如图所示.取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN .因为1CG GH HD ===，所以SD SC =，从而CD SM ⊥. ……………………3分因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==，所以BCD ∆为正三角形，所以CD BM ⊥.又因为M BM SM =I ，所以⊥CD 平面SBM .所以SB CD ⊥，即BF CD ⊥. ………………6分（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ， 所以由（1）可知，⊥SM 平面ABCD .因为1=GH ，2=CD ，CD GH //，所以21=SM SN . 又1=CG ， 所以3122222=-=-=CM SC SM . ………………9分所以四棱台ABCD EFGH -的体积为SN S SM S V EFGH ABCD ⋅-⋅=3131 47231233132233122=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. ………………12分20．（12分）【解析】（1）由已知，(0,)B b ，(,0)F c -，所以||BF a =，所以bc =，即c a ==，所以b = ………………3分 又222213b e a=-=， 所以26a =. 所以椭圆C 的方程为22162y x +=. ………………5分 （2）将1x =代入22162y x +=得，253y =， y =， 此时2||||1)(113AM AN ==≠，因此，直线l 的斜率必定存在. ………………6分 设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-，1122(,),(,)M x y N x y ， 联立221,162y kx k y x =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(31)6(1)3(1)60k x k k x k ++-+--=， 所以1226(1)31k k x xk -+=+，21223(1)631k x x k --=+， ………………8分 所以12||||1|1|AM AN x x =-- 222212122|3(1)66(1)31|(1)|()1|(1)31k k k k k x x x x k k ----++=+-++=+⋅+ 222(1)131k k +==+， ………………11分 解得21k =，所以1k =±. 所以直线l 的方程为y x =或2y x =-+. ………………12分 【注】利用参数方程解答也可，根据步骤相应给分.21．（12分）【解析】（1）由已知，()(1)2xf x x =+⋅，从而()2(1)2ln 22[(1)ln 21]x x x f x x x '=++⋅=++， ………………3分 所以(0)1f =，(0)ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1(ln 21)y x -=+⋅，即(ln 21)1y x =++. ………………6分 （2）当0x >时，()1(2ln 22f x a x x x x≥++++）可化为2(1)2(21)ln 22x x x x a x +≥++++， 即2(1)2(21)ln 22x a x x x x ≤+-++-.令2()(1)2(21)ln 22,0x g x x x x x x =+-++->，则依题设，只需min ()a g x ≤. ……………8分()2(1)2ln 2(22)ln 22x x g x x x '=++-+-(22)[(1)ln 21]x x =-++，因为(1)ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ………………10分 所以min ()(1)44ln 2224ln 2g x g ==--=-，所以24ln 2a ≤-. 即实数a 的取值范围是(,24ln 2]-∞-. ………………12分（二）选考题：共10分。
江西师大附中2020届高考数学三模试卷2（含答案解析）
江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2?4x +3=0}，B ={y|y =?x 2+2x +2,x ∈R}，全集U =R ，则A ∩(?U B)=( )A. ?B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2. 已知i 是虚数单位，若复数z =2+ai 2+i在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是( )A. ?2B. 1C. 2D. 3 3. 在△ABC 中，sinAsinC >cosAcosC ，则△ABC ⼀定是( )A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 不确定4. 设a ，b ∈R ，则“(a ?b)a 2≥0”是“a ≥b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知aA. a 2B. 2a <2bC. abD. 1a <1b6. 已知双曲线C ：x 2a 2?y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 满⾜|PF 1|?|PF 2|=2a ，若PM +F 1M ?? =0? ，且M(0,b)，则双曲线C 的渐近线⽅程为( )A. y =±2xB. y =±√5xC. y =±2√2xD. y =±√3x7. CPI 是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是⼀个反映居民家庭⼀般所购买的消费品价格⽔平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1⽉?7⽉的CPI 同⽐增长与环⽐增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2⽉与2017年2⽉相⽐较，叫同⽐；2018年2⽉与2018年1⽉相⽐较，叫环⽐)根据该折线图，则下列结论错误的是( )A. 2018年1⽉?7⽉CPI 有涨有跌B. 2018年2⽉?7⽉CPI 涨跌波动不⼤，变化⽐较平稳C. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，1⽉CPI 涨幅最⼤D. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，CPI 有涨有跌8.如图是⼀个⼏何体的三视图，图中每个⼩正⽅形边长均为12，则该⼏何体的体积是()A. 83B. 323C. 8√23D. 439.函数y=sin3x1+cosx，x∈(?π,π)图象⼤致为()A. B.C. D.10.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽⽐为√2:1，在东⽅⽂化中常称这个⽐例为“⽩银⽐例”，该⽐例在设计和建筑领域有着⼴泛的应⽤，已知某电波塔⾃下⽽上依次建有第⼀展望台和第⼆展望台，塔顶到塔底的⾼度与第⼆展望台到塔底的⾼度之⽐，第⼆展望台到塔底的⾼度与第⼀展望台到塔底的⾼度之⽐皆等于“⽩银⽐例”，若两展望台之间⾼度差为100⽶，则下⾯选项中与该塔的实际⾼度最接近的是()A. 400⽶B. 480⽶C. 520⽶D. 600⽶11.过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 212.若lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象()A. 关于直线y=x对称B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 关于原点对称⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13. 若(x ?1x )n 的展开式中第3项和第5项的⼆项式系数相等，则展开式中的常数项为______． 14. 在△ABC 中，|AB +AC|=|AB ?AC |，AB =3，AC =4，则BC 在CA ⽅向上的投影是__________． 15. ⼀个球的内接正⽅体的表⾯积为32，则该球的体积为______．16. (1)⼀圆内切于中⼼⾓为π3、半径为R 的扇形，则该圆的⾯积与该扇形的⾯积之⽐为__________；(2)29π6是第__________象限⾓。
2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科) (解析版)
2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 设复数z =2i1−i ，则z =( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3. cos(−52π3)等于( )A. −√32B. −12C. 12D. √324. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A. 1B. √2C. 2D. √55. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m ⊥n ，m//α，n//β，则α//βB. 若m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊄α，则α⊥βC. 若m//n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD. 若m//n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β6. 将函数y =sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A. (π12,0)B. (π4,0)C. (π3,0)D. (π2,0)7. 设等比数列{a n }的各项均为正数，其n 前项和为S n ，则“S 19+S 21>2S 20”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=sin3x3x −3−x 的图象大致为( )A. B.C. D.9.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为√2:1，在东方文化中常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用，已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台之间高度差为100米，则下面选项中与该塔的实际高度最接近的是()A. 400米B. 480米C. 520米D. 600米10.已知直线l：y=x+√2与圆A：x2+y2=r2(r>0)相切，则圆B：x2+y2−2x+4y−4=0与圆A的位置关系是()A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含11.设直线x−3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是()A. √52B. 2 C. √72D. 312.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为()A. √32B. √63C. √105D. √305二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3−n 2，则a 10= ______ ．14. 已知过抛物线x 2=6y 焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且y A +y B =6，则|AB|=______． 15. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z =3x +y 的最小值为______．16. 已知函数f(x)={a ⋅e x ,x ≤0−lnx,x >0，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程f(f(x))=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B =bsinA ．(1)求B ；(2)若b =3√2，△ABC 的面积为3√32，求△ABC 的周长．18. 考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为P i =Ri N ，其中P i 为第i 题的难度，R i 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设P i′为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度．定义统计量S=1n[P1′−P1)2+(P2′−P2)2+⋯+(P n′−P n)2]，考试评价规定：若S<0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．19.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=12CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=√3．(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．20.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．21. 已知函数f(x)=x ⋅lnx ，g(x)=2mx −1(m ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线方程；(Ⅱ)若∀x ∈[1e ,e]，f(x)>g(x)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为(−2,0)，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； (2)求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|．(1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1)+1；(2)若实数a，b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：解：∵复数z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i(1+i)=−1+i，∴z=−1−i，故选：D．复数z=2i1−i，利用两个复数代数形式的除法法则化简为a+bi，从而得到它的共轭复数．本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos(−52π3)=cos(−17π−π3)=cos(17π+π3)=cos(π+π3)=−cosπ3=−12．故选：B．利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.答案：A。
江西师大附中2020届高三三模考试文科数学试题(wd无答案)
江西师大附中2020届高三三模考试文科数学试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 设复数，则的共轭复数为（）A．B．C．D．(★) 3. 的值为（）A．B．C．D．(★) 4. 已知向量，，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则．其中所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．①④(★★) 6. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知数列的前项和，则“ ”是“ 是等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 9. 在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边作正方形，以点或点为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边不少于47.5米，塔顶到点的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：）（）A．66.1米B．67.3米C．68.5米D．69.0米(★★★) 10. 已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．相离(★★★) 11. 设，已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，，若过点，，的平面分别交棱、于点，，则线段的长度为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 若数列的前项和，则______________．(★★) 14. 已知过抛物线的焦点的直线交于，两点，若点的横坐标为，则点到的准线的距离为____________．(★) 15. 已知变量，满足，若的最小值为，则实数等于____________．(★★★) 16. 已知函数，其中为自然对数的底数.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________________.三、解答题(★★★) 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的最小值．(★★) 18. 2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，，，，其中，．当数据，，，的方差最大时，写出，，，的值（结论不要求证明），并求此时的值．(★★★) 19. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面平面，，．（1）求证：；（2）求四棱台的体积．(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，其上顶点为，左焦点为，原点到直线的距离等于．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．(★★★) 21. 已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设，若直线与曲线相交于，两点，求的值．(★★★) 23. 已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若实数，满足，求的最小值．。
江西省师范大学附属中学2020届高三数学三模试题 文
江西省师范大学附属中学2020届高三数学三模试题 文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1.设集合2{|log (1)0}M x x =-<，集合{|2}N x x =≥-，则M N U =（ ） A.{|22}x x -≤<B.{|2}x x ≥-C.{|2}x x <D.{|12}x x ≤<2.已知复数z 满足2i z i ⋅=+，则z 的共轭复数是（ ） A.12i --B.12i -+C.12i -D.1+2i3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论一定正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生 A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数不超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前少D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A.2B.7C.14D.285.已知双曲线2221y x b-=的一个焦点到它的一条渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（ ） A.3B.2C.3D.46.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ） A.2B.4C.5D.67.若函数222,0()+,0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A.2B.2-C.1D.1-8.已知0.22x = ，2lg 5y =，752()5z =，则下列结论正确的是（ ）A.x y z <<B.y z x <<C.z y x <<D.z x y <<9. “对任意正整数n ，不等式lg (1)lg (1)an a n a a <+>都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A.0a >B.1a >C.2a >D.3a >10.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A.34π- B.332π-C.334π-D.33π-11.已知函数33,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[0,4)B.[0,2)C.(,4]-∞D.(,2]-∞12.数列{}n a 中的项按顺序可以排成右图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排23,a a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ） A.20B.21C.26D.27二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量||1a =r ，||2b =r ，|2|23a b +=r r，则a r 在b r 方向上的射影为__________.14.若,x y 满足约束条件24020320x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则z x y =-+的最小值为_______.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，若直线1PF 的斜率为33，则该椭圆的离心率为__________. 16.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半4 4,4×3 4,4×3,4×32 4,4×3,4×32,4×33 ……径为________.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan1cos BC B=-.（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值.18．（本小题满分12分）如图，在多面体EFABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，EB ⊥平面ABCD ，//BE DF ，244CD BC AB ===，24BE DF ==. （Ⅰ）求证：AC EF ⊥； （Ⅱ）求三棱锥A -CDF 的体积．19．（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2020年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[25,55]（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求,m n 的值;（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关A系？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ,B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究||||AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数2(ln )()x e a x x x f x x--=．（1）当a e =时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点)6P π，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程； （2）若1(,)6A πρα-，2(,)3B πρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,． （1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足001(3|)|x f x +-<，求实数m 的取值范围．江西师大附中2020届高三年级三模数学（文）答案1.B2.D3.A4. C5. B6D7. B8. B9. A10C11B 12. B13. 1214. 6-15.316..317．【解析】（1）因为A B C π++=，所以tan()tan A B C +=-. …………1分 由sin tan()cos 1B A B B +=-，可得sin sin =tan cos 1cos B CC B C-=--， …………2分 所以sin (cos 1)sin cos C B B C --=，变形得sin sin cos cos sin C B C B C =+， 所以sin sin()C B C =+. ……………………………………………………4分 在ABC ∆中，sin()sin B C A +=，所以sin sin C A =，由正弦定理得a c =，从而ABC ∆为等腰三角形.………………………………6分（2）由题意得2211sin sin 224a S ac B a B ===，得1sin 2B =.………………8分因为ABC ∆是钝角三角形且a c =，因此B 为钝角，56B π=，cos B =…………………………………………………………10分所以2222222cos 2(2b a c ac B a a =+-==+，则2222b b ac a== …………………………………………………………12分18．【解析】（1）因为EB ⊥平面ABCD ，所以EB AC ⊥， …………………1分 因为AB BC ⊥，AB CD ∥，所以90ABC BCD ∠=∠=o， 又因为244CD BC AB ===， 所以12AB BC BC CD ==，因此有ABC BCD ∆∆:，则CAB DBC ∠=∠， 因为90ABD DBC ∠+∠=o，所以90ABD CAB ∠+∠=o，所以AC BD ⊥. ………………………………………………………………4分 又有EB BD B =∩，所以AC ⊥平面DBEF ，………………………………5分又因为EF ⊂平面DBEF ，所以AC EF ⊥.………………………………6分 （2）1833A CDF F ADC ADC V V S DF --∆==⨯⨯= ………………………………12分19．【解析】（1）因为月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15人，所以月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为0.15，…………………………1分由频率分布直方图得(0.02240.01)50.151m n +++⨯+=，化简得20.07m n +=………………………………………………………3分 由中位数为39百元可得0.025252(3935)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=， 化简得540.2m n +=………………………………………………………5分 解得0.02m =，0.025n =. …………………………………………6分 （2）根据题意得到列联表：9分计算得22100(19193131) 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，………………………11分 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. ………………………………………………………12分20．【解析】（1）依题意得2c a =，222a b c =+，……………………1分 又点2在椭圆上，222112a b+=，………………………………2分解得22a =，21b =. …………………………………………………4分故椭圆的标准方程为2214x y +=. ……………………………………5分 （2）||||AM BN ⋅是定值.…………………………………………6分 由于点P 不与四个顶点重合，所以直线PA 、PB 的斜率存在且不为0， 设00(,)P x y ，(2,0)A ，(0,1)B ， 则直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，N 点坐标为002(0,)2y x --，…………7分 直线PB 的方程为0011y y x x -=+，M 点坐标为00(,0)1x y --.…………………8分 因此00002|||||2||1|12x y AM BN y x ⋅=++-- 22200000000000000(22)44448(2)(1)21x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+…………………………10分 又因为点P 在椭圆上，所以220044x y +=，则000000004488||||422x y x y AM BN x y x y --+⋅==--+，所以||||AM BN ⋅是定值. ……………………………………………………12分21．【解析】（1）当a e =时，2(ln )()x e e x x x f x x--=，2()(1)()x e ex x f x x --'= ……………………………………………………2分对任意的(0,)x ∈+∞，0xe ex -≥恒成立，………………………………3分 所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()f x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).………………5分 （2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)内有零点，由2()(1)()0x e ax x f x x --'==，得0xe ax -=，x e a x =，……………………6分 设()x e g x x =，(0,1)x ∈，则(1)()0x e x g x x-'=<恒成立， 所以()g x 单调递减，所以()g x 在(0,1)上的值域为(,)e +∞. ………………8分当a e >时，()0f x '=有解，设()x h x e ax =-，当(0,1)x ∈时，()0xh x e a '=-<，因此()h x 在(0,1)上单调递减，又因为(0)10h =>，(1)0h e a =-<， 所以()h x 在(0,1)上有唯一解0x ，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，因此当a e >时，()f x 在(0,1)内有唯一极值，…………………………10分 当a e ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，不存在极值，综上所述，(,)a e ∈+∞.……………………………………………………12分22．【解析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程222(2)x y r -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，…………………………3分将点)6P π代入1C 中，得到2121240r -+-=，则24r =因此1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ……………………………………5分 （2）将点1(,)6A πρα-，2(,)3B πρα+代入曲线2C 中， 得到21[2cos(2)]63πρα+-=，222[2cos(2)]63πρα++=化简得22[2cos(2)]63πρα--=.……………………7分 所以2222122cos(2)2cos(2)1111233||||63OA OB ππααρρ+-+--+=+==.……10分 23．【解析】（1）当3m =时， ()2f x ≤， 当1x <时，令1322x x -+-≤，解得213x ≤<； 当312x ≤≤时，令1322x x -+-≤，解得312x ≤≤； 当32x ≥时，令1232x x -+-≤，解得322x ≤≤…………………………4分 所以()2f x ≤的解集为2{|2}3x x ≤≤. ……………………………………5分 （2）若存在0x 满足00|1|3()x f x -<-等价于|22||2|3x x m -+-<有解，…………………………………………6分 因为|22||2||222||2|x x m x x m m -+-≥--+=-， ……………………8分 所以令|2|3m -<即可，解得15m -<<.所以实数m 的取值范围是(1,5)-.………………………………………10分。
江西师大附中2020届高考数学三模试卷1（含答案解析）
江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷1（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设集合A={x|x2?5x+6>0}，B={x|x?1<0}，则A∩B=()A. (?∞,1)B. (?2,1)C. (?3,?1)D. (3,+∞)2.复数z=?2+ii的共轭复数是()A. 1+2iB. 1?2iC. ?1+2iD. ?1?2i3.cos(?11π6)=()A. 12B. ?12C. ?√32D. √324.已知向量a?=(0,1)，b? =(2,?1)，则|2a?+b? |=()A. 2√2B. √5C. 2D. 45.已知m，n为直线，α，β为平⾯，下列说法正确的是()A. m⊥n，m//α，n//β?α⊥βB. m⊥n，α∩β=m，n?α?α⊥βC. m//n，n⊥β，m?α?α⊥βD. m//n，m⊥α，n⊥β?α⊥β6.若将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后，所得图象对应的函数为()A. y=2sin2xB. y=2sin(2x?π6)C. y=2cos2xD. y=2sin(2x+π3)7.设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的()A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件8.函数y=x33x?3?x的图象⼤致是()A. B.C. D.9.⼀个⼤型喷⽔池的中央有⼀个强⼒喷⽔柱，为了测量喷⽔柱的⽔柱的⾼度，某⼈在喷⽔柱正西⽅向的A处测得⽔柱顶端的仰⾓为45°，沿A向北偏东30°⽅向前进100m后到达B处，在B处测得⽔柱顶端的仰⾓为30°，则⽔柱的⾼度是()A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m10.已知圆A:x2+y2=1，圆B:(x?t+4)2+(y?at+2)2=1(t∈R)，且圆A与圆B存在公共点，则圆A与直线l:x+y=a的位置关系是()A. 相切B. 相离C. 相交D. 相切或相交11.设直线x?3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满⾜|PA|=|PB|，则该双曲线的离⼼率是()A. √52B. 32C. 52D. √5+112.如图，在正⽅体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平⾯A1FCE的距离为()A. √32B. √63C. √105D. √305⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n=5n2+kn?19，且a10=100，则k=______ ．14.已知过抛物线x2=6y焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且y A+y B=6，则|AB|=______．15.设变量x，y满⾜约束条件：?{x+y?3x?y??12x?y?3，则⽬标函数z=3x?2y的最⼩值为______．16.已知函数若⽅程f(x)?ax=1有三个实根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓分别为A，B，C，asinC=√3ccosA．(Ⅰ)求⾓A的⼤⼩；(Ⅱ)若△ABC⾯积为√3，求边a的最⼩值．18.设数据x1,x2,?,x n的⽅差为s2，求下列各组数据的⽅差．(1)x1+b,x2+b,?,x n+b；(2)ax1,ax2,?,ax n；(3)ax1+b,ax2+b,?,ax n+b．19.四棱锥P?ABCD中，底⾯ABCD为矩形，.PA=PB，侧⾯PAB⊥底⾯ABCD．(1)证明：PA⊥BC；(2)若AB =2，PC ⊥BD ，PD 与平⾯ABCD 所成的⾓为，求四棱锥P ?ABCD 的体积．20. 已知椭圆的⼀个顶点为A(0,?1)，焦点在x 轴上，离⼼率为√63． (1)求椭圆的⽅程；(2)设椭圆与直线y =kx +2(k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当|MN|=√3时，求k 的取值．21. 已知函数f(x)=x ?lnx ，g(x)=2mx ?1(m ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线⽅程；(Ⅱ)若?x ∈[1e ,e]，f(x)>g(x)恒成⽴，求实数m 的取值范围．22. 在平⾯直⾓坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系．(Ⅰ)求C2的普通⽅程；(Ⅱ)设曲线C3的极坐标⽅程为2ρsin(π3θ)=√3，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23.设函数f(x)=|2x?1|+ax?1．(Ⅰ)若a=1，解不等式f(x)≤2；(Ⅱ)若函数f(x)有最⼩值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．解：根据题意，A={x|x2?5x+6>0}={x|x>3或x<2}，B={x|x?1<0}={x|x<1}，则A∩B={x|x<1}=(?∞,1)；故选A．2.答案：B解析：解：由题意可得复数z=?2+ii =(?2+i)?ii?i=?2i?11=1+2i故复数z=?2+ii的共轭复数是：1?2i故选B由复数的运算法则化简复数，即可得其共轭复数．本题考查共轭复数的定义，属基础题．3.答案：D解析：解：cos(?11π6)=cos11π6=cos(2π?π6)=cosπ6=√32．故选：D．运⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值的应⽤，属于基础题．4.答案：B解析：解：向量a?=(0,1)，b? =(2,?1)，∴2a?+b? =(2×0+2,2×1?1)=(2,1)，∴|2a?+b? |=√22+12=√5．故选：B．根据平⾯向量的坐标运算与模长公式，进⾏计算即可．本题考查了平⾯向量的坐标运算与模长公式的应⽤问题，是基础题⽬．5.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查推理论证能⼒、空间想象能⼒，是基础题．根据空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系逐⼀判断即可．解：由m，n为直线，α，β为平⾯，知：在A中，m⊥n，m//α，n//β?α与β相交或平⾏，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n?α?α与β相交，但不⼀定垂直，故B错误；在C中，m//n，n⊥β，m?α，由⾯⾯垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m//n，m⊥α，n⊥β?α与β平⾏，故D错误．故选C．6.答案：B解析：本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．由条件利⽤函数的图象变换规律，可得结论．解：将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后，所得图象对应的函数解析式为，故选B．7.答案：D解析：解：数列?3，?2，?1，0……是递增数列，但{S n}不是递增数列，即充分性不成⽴，数列1，1，1，……，满⾜{S n}是递增数列，但数列1，1，1，……，不是递增数列，即必要性不成⽴，则“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合数列的性质，利⽤特殊值法进⾏排除是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：函数y=x33x?3?x，在x=0时，没有意义，排除A；f(?x)=?x33?x?3x =x33x?3?x=f(x)，函数是偶函数，排除D；x=3时，y=2727?127>1，可得函数的图象的最⼤值⼤于1，排除选项C，故选：B．利⽤函数的定义域与函数的特殊点的位置，函数的奇偶性判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，函数的定义域，奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常⽤⽅法．9.答案：A解析：【分析】本题考查了直⾓三⾓形的边⾓关系、余弦定理，考查了推理能⼒和计算能⼒，是解三⾓形中的应⽤题，属于中档题．如图所⽰，设⽔柱CD的⾼度为?.在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AD=?，∠DAB=60°.在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BD=√3??，在△ABD中，由余弦定理可得3?2=10000+?2?2×100?cos60°.代⼊即可得出．解：如图，CD为⽔柱的⾼度，设为hm，由题意，CD⊥平⾯ABD，AB=100m，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°，在△CBD中，BD=√3?m，在△CAD中，AD=?m，在△ABD中，BD=√3?m，AD=?m，AB=100m，∠BAD=60°，∴由余弦定理可得3?2=10000+?2?2×100?cos60°，∴(??50)(?+100)=0，解得?=50或?=?100(舍去)，故选：A．。
江西师大附中2020届高三三模考文科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 A {x | (x 3）(x 2) 0} ， B {x | y log 2 x} ，则 A B
2x y 3 0,
15.
已知变量 x ，y
满足
x
y 3 0,
若 z x 2 y 的最小值为 5 ，则实数 m 等于
．
x 2 y m 0.
16.
已知函数
f
(x)
(x 1)ex
ln x x
,
,
x x
1, 1.
其中 e 为自然对数的底数.
若函数 g(x)
f (x)
kx
有3
个不同的零点，则实数 k 的取值范围是
C2 : x2 y2 2x 4 y 4 0 的位置关系是
A. 相交
B．内切
C．外切
D．相离
11．设 m R ，已知直线 2x
ym
0(m
0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线
分别交于点 M ， N ，若点 Q(2m,0) 满足 | QM || QN |，则该双曲线的离心率为
A. 2
5
B.
2
C. 2
10
D.
2
12．如图，在棱长为4的 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 是棱 A1D1 的 中点，D1F 3FC1 ，若过点 A ，E ，F 的平面分别交棱 CC1 、BC
江西师大附中高三年级测试(三模)文科数学
江西师大附中高三年级测试（三模）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}232,sin 0M x y x x N x x ==+-=>，则M N =（ ）A ．(]0,3B ．[)3,πC ．[)1,π-D ．[)1,0-2. 已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=（ ）A ． 1B ．12C ．22D ．2 3.设,a b 两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,a b a α⊥⊥，则//b αB ．若//,a ααβ⊥，则//a βC ．若//,//a a αβ，则//αβD ．若//,,a b a b αβ⊥⊥，则//αβ4.执行如图的程序框图，如果输入的,,a b k 分别为1,2,3，输出的158M =，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ． n k <B ．n k ≥C ．1n k <+D ．1n k ≥+5.已知函数()()1ln 11x x x f x e e x--=+-+，若()1f a =，则()f a -=（ ）A ． 1B ．1- C. 3 D ．3-6.给出下列命题：①已知,a b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件；②已知平面向量,a b ，“1,1a b >>”是“1a b +>”的必要不充分条件；③已知,a b R ∈ ，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件；④命题:p “0x R ∃∈，使001x e x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝“0x R ∀∈，都有使1x e x <+且ln 1x x >-”，其中正确命题的个数是（ ）A ． 0B ．1 C. 2 D ．37.已知3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ） A ． 7210 B ． 210- C. 210± D ．210-或72108.已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C. 8 D ．99.设函数()()ln 1,021,0x x x f x x -⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若从区间[],e e -上任取一个实数0x ，A 表示事件“()01f x ≤”，则()P A =（ ）A. 12B. 12eC. 12e e -D. 2e e-10. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（ ）A ．18100a b +<B ．18100a b +>C. 18100a b += D ．18a b +与100的大小无法确定11.已知椭圆221:11615x y C +=的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线,PM PN ，其中切点为,M N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ） A. 26 B. 14 C. 15 D. 512.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x x e =+，则对任意的m R ∈，函数()()()F x f f x m =-的零点个数至多有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是 .14.某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 .15.已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，且=2AF FB ，则=AF .16. ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，2AB =，M 是ABC ∆内的一点，且满足=2AMC π∠，则MB 的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10,1n a a >=，且满足21122n n n n n n n S a a a S a S ++-=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和为n T ．40,50，第二组18. 某地十万余考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[)[)90,100，作出频率分布直方图，如图所示：50,60,，第六组[]CD（2）现从及格（60分及以上）的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，0=60BAD ∠，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 中点.（1）求证：AD ⊥面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积.20.双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的焦点分别为：()()1222,022,0F F -，,且双曲线C 经过点()42,27P ．（1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线2x =上，且=0OA OB ⋅，是点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln 21f x a x ax =-+.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意的1x ≥，不等式()10x f x e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1:C 12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l ()sin 2sin ραθα-=．其中α为直线l 的倾斜角（0α≠）（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴的交点为M ，与曲线1C 的交点分别为,A B ，求MA MB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()41f x x x a b=++-，其中,a b 为正实数． （1）若1a b ==，求不等式()6f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值为1，问是否存在正实数,a b ，使得不等式416a b +≤能成立？若存在，求出,a b 的值，若不存在，请说明理由．试卷答案一、选择题1-5:ACDCD 6-10:CBBAB 11、12：AB二、填空题 13. 43 14. 1003π 15. 6 16. 51- 三、解答题 17.解：（1）22210n n n n S a S a -+-=，()()2110n n n S a S ∴-+-=， 021n n n a S a >∴=-；当1n =时，11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-111222n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=-∴=，所以数列{}n a 是以1为首项的等比数列，其公比为2；所以()12*n n a n N -=∈.（2）01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 1221222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， 1221212222212nn n n n T n n --∴=++++-⨯=-- ()121n n T n ∴=-+18.解：（1）根据题意，计算平均数为(450.01550.02650.03750.025850.01950.005)1067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（2）[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100四组学生的频率之比为：0.3:0.25:0.1:0.056:5:2:1=， 按分层抽样应该从这四组中分别抽取35,25,10,5人，依题意，可以得到下列22⨯列联表：男生 女生 合计 优异 4 15 一般（及格） 32 3365 36 34 70 ()()()()()()22270433321 1.76 3.8413634565n ad bc a b c d a c b d κ-⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯ 对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关.19.解：（1）证明：如图，PA PD =，N 为AD 的中点， PN AD ∴⊥.底面ABCD 为菱形，060,BAD BN AD ∠=∴⊥，PN BN N =，AD ∴⊥平面PNB（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN AD ⊥ PN ⊥平面ABCD ， ,2PN NB PA PD AD ⊥===，3PN NB ∴==，点P 到平面ABCD 的距离为3.133322PNB S ∆∴=⨯⨯=， AD ⊥平面,//,PNB AD BC BC ∴⊥平面PNB2PM MC =，23132232323P NBM M PNB C PNB V V V ---∴===⨯⨯⨯=, ∴三棱锥P NBM -的体积为23. 20.（1）点()42,27P 在双曲线C 上．2232128b a -=①，228b a =-② ②代入①去分母整理得： 42683280a a -+⨯=，解得224,4a b ==∴所求双曲线C 的方程为22144x y -=； （2）设点,A B 的坐标分别为()()00,,2,x y t ，其中02x >或02x <-.当0y t ≠时，直线AB 的方程为()0022y ty t x x --=--， 即()()0000220y t x x y tx y ---+-=，若存在以点O 为圆心的定圆与AB 相切，则点O 到直线AB 的距离必为定值. 设圆心O 到直线AB 的距离为d ，则()()00220022tx y d y t x -=-+- 00020,x y t y ≠∴=-，又22004x y -=， 2200002420002002222222228822y y y y d y y y y y ++∴===+++，此时直线AB 与圆224x y +=相切，当0y t =时，202t x =-，代入双曲线C 的方程并整理得：42280t t --=， 解得：2t =±，此时直线:2AB y =±，也与圆224x y +=相切.综上得存在定圆224x y +=与直线AB 相切.21.解：（1）()()12a x f x x -'= 当0a >时，令()()1100,022f x x f x x ''>⇒<<<⇒>， 所以此时()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭递减； 当0a <时，令()()110,0022f x x f x x ''>⇒><⇒<<， 所以此时()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减； （2）令()()11ln 21x x g x f x e a x ax e --=+=-++， 1x ≥，()()112,2x x a a g x a e g x a e x x--'∴=-+∴=-+，令()()21122,x x a x e a h x a e h x x x ---'=-+=， 令()21x x x e a ϕ-=-，显然()x ϕ在1x ≥时单调递增，()()11x a ϕϕ∴≥=-； ① 当1a ≤时，()()()()10,0,x h x h x ϕϕ'≥≥≥在[)1,+∞上递增， 所以()()110h x h a ≥=-≥，则()0g x '≥，()g x ∴在[)1,+∞上递增， ()()1220g x g a ∴≥=-≥，此时符合题意；② 当1a >时，()10ϕ<，此时在[)1,+∞上存在0x ，使()x ϕ在()01,x 上值为负， 此时()0h x '<，()h x 在()01,x 上递减，此时()()110h x h a <=-<， ()g x ∴在()01,x 上递减，()()1220g x g a ∴<=-<，此时不符合题意； 综上：1a ≤22.解：（1）曲线1C 的普通方程为()2214x y -+=，直线l 的直角坐标方程为sin cos 2sin x y ααα-=； （2）直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，直线l 的参数方程可设为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入圆1C 的方程()2214x y -+=，得22cos 30t t α+-=， 123MA MB t t ∴⋅=⋅=；解法2：相交弦定理23.解：（1）不等式()6f x ≤等价于()()4416x x x ≤-⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩或()()41416x x x -<≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩或()()1416x x x >⎧⎪⎨++-≤⎪⎩ 解得：9322x -≤≤，所以不等式()6f x ≤的解集是93,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）在正实数8,2a b ==()41414141f x x x x x a b a b a b ab⎛⎫=++-≥+--=+=≥ ⎪⎝⎭ 164416ab a b ab ∴≥∴+≥≥上式等号成立的等价条件为当且仅当48a b ==，即8,2a b ==，所以存在8,2a b ==，使得不等式416a b +≥成立.。
2020届高三第三次模拟考试数学文试题含答案
2020届第三次模拟考试文科数学试题参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑ 一、选择题（10小题，每小题5分，共50分） 1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、设i 为虚数单位，则复数343i i +为A.43i --B.43i -+C.i 4+3D.i 4-33．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =A ．8B ．12C ．88-或D ．1212-或 4、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上存在零点的是 A 、1y x=B 、lg ||y x =C 、x y e -=D 、21y x =-- 5．总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．若如图所示的程序框图输出的S 是62，则在判断框 中M 表示的“条件”应该是A . 3n ≥B . 4n ≥C . 5n ≥D . 6n ≥7、在平面直角坐标系中，O （0,0），P （6,8），将向量OP uuu r按逆时针旋转2π后，得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是A 、（－8，6）B 、（－6,8）C 、（6,－8）D 、（8，－6）8、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为第6题图A ．3y x =± B ． 32y x =±C ．33y x =±D ． 32y x =± 9、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D. []89-，10、设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数”。
江西师大附中2020届高三三模文科数学参考答案
江西师大附中2020届高三三模考试参考答案（文科数学） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A D D D C A B B D B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 17 14. 10 15. 3 16. 1(0,)2e三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）【解析】（1）由πsin 22sin cos()3a Bb A B =−得， π2sin sin cos 2sin sin cos()3A B B B A B =−， 从而πcos cos()3B B =−， ……………………3分 因为ABC ∆为锐角三角形， 所以π(0,)2B ∈，ππ(,)363B π−∈−，所以π3B B =−， 从而π6B =， 所以3cos B =. ……………………6分 （2）因为1sin 12ABC S ac B ∆==， 所以4ac =， ……………………9分 又222222cos 43243843b a c ac B a c ac =+−=+−≥−=−，当且仅当2a c ==时取等号. 所以b 的最小值为84362−=−. ……………………12分18．（12分）【解析】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++； ……………3分 估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++. ……………………6分 （2）当600,0a b c d ====时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大. ……………………9分 因为2004a b c d x +++==，所以此时方差 222221[()()()()]4s a x b x c x d x =−+−+−+−221(6003200)1200004=+⨯=. ………………12分19．（12分）【解析】（1）在四棱台ABCD EFGH −中，延长,,,AE BF CG DH 可相交于一点S ，如图所示.取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN .因为1CG GH HD ===，所以SD SC =，从而CD SM ⊥. ……………………3分因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==，所以BCD ∆为正三角形，所以CD BM ⊥.又因为M BM SM =I ，所以⊥CD 平面SBM .所以SB CD ⊥，即BF CD ⊥. ………………6分（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ， 所以由（1）可知，⊥SM 平面ABCD .因为1=GH ，2=CD ，CD GH //，所以21=SM SN . 又1=CG ， 所以3122222=−=−=CM SC SM . ………………9分 所以四棱台ABCD EFGH −的体积为SN S SM S V EFGH ABCD ⋅−⋅=3131 47231233132233122=⨯⨯⨯−⨯⨯⨯=. ………………12分20．（12分）【解析】（1）由已知，(0,)B b ，(,0)F c −，所以||BF a =，所以bc =，即c a ==，所以b =， ………………3分 又222213b e a=−=， 所以26a =. 所以椭圆C 的方程为22162y x +=. ………………5分 （2）将1x =代入22162y x +=得，253y =，y =，此时2||||1)(113AM AN =−+=≠，因此，直线l 的斜率必定存在. ………………6分 设直线l 的方程为1(1)y k x −=−，即1y kx k =+−，1122(,),(,)M x y N x y ， 联立221,162y kx k y x =+−⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(31)6(1)3(1)60k x k k x k ++−+−−=， 所以1226(1)31k k x x k −+=+，21223(1)631k x x k −−=+， ………………8分所以12||||1||1|AM AN x x =−− 222212122|3(1)66(1)31|(1)|()1|(1)31k k k k k x x x x k k −−−−++=+−++=+⋅+ 222(1)131k k +==+， ………………11分 解得21k =，所以1k =±. 所以直线l 的方程为y x =或2y x =−+. ………………12分 【注】利用参数方程解答也可，根据步骤相应给分.21．（12分）【解析】（1）由已知，()(1)2xf x x =+⋅，从而()2(1)2ln 22[(1)ln 21]x x x f x x x '=++⋅=++， ………………3分 所以(0)1f =，(0)ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1(ln 21)y x −=+⋅，即(ln 21)1y x =++. ………………6分 （2）当0x >时，()1(2ln 22f x a x x x x≥++++）可化为2(1)2(21)ln 22x x x x a x +≥++++， 即2(1)2(21)ln 22x a x x x x ≤+−++−.令2()(1)2(21)ln 22,0x g x x x x x x =+−++−>，则依题设，只需min ()a g x ≤. ……………8分()2(1)2ln 2(22)ln 22x x g x x x '=++−+−(22)[(1)ln 21]x x =−++，因为(1)ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ………………10分 所以min ()(1)44ln 2224ln 2g x g ==−−=−，所以24ln 2a ≤−. 即实数a 的取值范围是(,24ln 2]−∞−. ………………12分（二）选考题：共10分。
江西师大附中2020届高三三模试卷
三模物理答案解析14.C15.A 16.D 17.D 18.A 19.AC 20.AD 21.BC22.(1). 9.270±0.001 2分14.25 2分(2).CD 2分23.①G1，2分 G2；2分②55.8 KΩ；2分③如图所示（安培表外接也可以）分压1分，两电表的改装各1分，电阻箱选错不给分，共计3分解：①若并联的两个支路电流相等，则电流表内阻与电阻箱内阻相等；故保证G1满偏，使G2半偏；②电流计内阻为4.2KΩ，满偏电流为50μA，要将G2改装成量程为3V的电压表，需串联的电阻值为：R=ggR-IU=Ω=Ω⨯=⨯⨯55.8K105.58104.2-10503436-③采用伏安法测电阻，要测量多组数据，滑动变阻器采用分压式接法，电流表内外接法依据待测电阻的电阻值与电流表、电压表的内阻关系进行判断，故内外接均可；电路原理图如图所示：故答案为：①G1，G2；②55.8 K Ω；③如图所示（安培表外接也可以）点评： 本题考查电阻的测量，解决问题的关键在于明确半偏法测电阻和伏安法测电阻的原理，会改装电表．24(12分）解：（1）A 、B 在引力作用下，A 加速，B 减速，当A 、B 间距离最大时，A 、B 的速度相等设为v ，A 、B 间距离比开始运动时增加了S 。
由动量守恒：m 2v 0=（m 1+m 2）v .........................................2分 V=2m/s再由动能定理：2212120221v m m -v m Fs ）（+=....................................2分得：s=2m....................................1分 A 、B 间的最大距离：S M =L+S=18m............................1分（2）设两球相碰前的速度分别为v1和v2，从开始到相撞引力对系统做正功，由动量守恒和动能定理，有：m 2v 0=m 1v 1+m 2v 2....................................2分和202212222121121v m -v m v m FL +=....................................2分解得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-===不合题意，舍去）和(/5/4v m/s1-v m/s 8v /2/121sm v s m ..............2分注：本题有多种解法，只要过程结果正确，同等给分。
2024江西师大附中高三年级下学期三模数学试卷及答案
江西师大附中2024届高考第三次模拟测试卷数学本卷满分：150分，考试时间：120分钟．注意事项：1．答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z =1+2i1-i2025-3i ，则z =( )A.12-32i B.12+32i C.-12-32iD.-12+32i 2.(2x +3)4的展开式中，x 的系数为()A.96B.144C.180D.2163.若tan α=2，则sin2αcos2α-sin 2α的值为( )A.-47B.23C.49D.474.已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为()A.6 B.8 C.10 D.125.已知钝角△ABC 的面积为3，AB =4，AC =2，则AB ·AC的值是()A.-6 B.-27 C.27或-27 D.-6或66.已知函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，将f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g x 的图象，若g x 在区间0,t 上的值域为-3,2 ，则t 的取值范围为( )xy2π3-π122OA.5π12,2π3B.π4,5π6C.5π12,5π6D.5π12,π7.A 、B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=35,P A B =25,P (A +B )=710,则下列错误的是()A.P (B )=12B.P (AB )=25C.P (A B )=35D.P B A =138.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 在y 轴上，且△PF 1F 2的内心坐标为0,3c3，若线段PF 1上靠近点P 的三等分点Q 恰好在C 上，则C 的离心率为( )A.1+5 B.27-2 C.2+7 D.11+47二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1，则()A.数列a n 是等比数列B.数列log 2(a n +1) 是等差数列C.数列a n 的前n 项和为2n +1-n -2D.a 20能被3整除10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设O a 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆O b ，O c 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC (阴影部分)叫做曲面三角形，若a =b =c ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面△ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O -ABC .设∠BOC =α，∠AOC =β，∠AOB =γ，则下列结论正确的是( )A.若平面△ABC 是面积为34R 2的等边三角形，则a =b =c =R B.若a 2+b 2=c 2，则α2+β2=γ2C.若a =b =c =π3R ，则球面O -ABC 的体积V >212R3D.若平面△ABC 为直角三角形，且∠ACB =π2，则a 2+b 2=c 211.已知函数f x 及其导函数f x ，且g x =f x ，若∀x∈R,f x =f6-x,g4+x=g4-x，则( )A.f-2=f8 B.g-1+g3 =2C.2025i=1g(i)=0 D.f0 +f4 =2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数f x 是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f x =-x5-3x+a-1，则f-a的值为.13.2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有____种(用数字作答).14.已知函数f x =a x-log a x,a∈0,1∪1,+∞，若f x 在其定义域上没有零点，则a 的取值范围是___．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知函数f(x)=a(2x+a)-ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)>9ln a．(参考数据：ln2≈0.693)16.(本题满分15分)某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过100元，则可以抽奖一次，奖池中有8张数字卡片，其中两张卡片数字为1，两张卡片数字为2，两张卡片数字为3，两张卡片数字为4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为1的卡片，则可获得10元的奖励，抽到两张数字为1的卡片，则可获得20元的奖励，抽到其他卡片没有奖.小华购物金额为120元，有一次抽奖机会。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
江西师大附中2024年高三第三次适应性测试数学试题试卷
江西师大附中2024年高三第三次适应性测试数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．252．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．923．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6 B ．()4,6-- C ．213313,1313⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D ．213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 4．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -5．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．836．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．108．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-9．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-10．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =11．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西师大附中高三数学(文科)三模试卷
江西师大附中高三数学（文科）三模试卷命题人：高三数学备课组一．选择题(60分)1．下列关系中错误．．的是（ ）A ． ∅{0}B ．0∈{0}C ．0∈∅D ．0∉∅2．已知,,a b c 满足||||||1,a b c a b c ===+=，则（ ）A ．()a c +∥bB ．()a c b +⊥C ．a c b c >D ．a c b c < 3. 如图所示是一批产品中抽样得到数据的 频率分布直方图，则数据在（4.4，4.6）范 围内的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.64．函数()21log f x x =+与()12x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）5.若6260126(1)mx a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且123663a a a a +++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．－3D ．－3或16.圆224450x y x y +--+=上的点到直线32180x y +-=的最大距离与最小距离的差为（ ） A 3 B ．3 C ．33 D ．6 7. 等差数列的前n 项和为n S ，945S =，458a a +=，则7S 的值是（ ） A ．21 B ．22C ．27D ．288. 以下四个命题：①若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ②若一条直线与一个平面的一条斜线的射影垂直，则这条直线与这条斜线垂直； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④若两个平面垂直，则其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. 其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天休息（如选定星期一，星期三），其余的五天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作，同时休息的概率是（ ） A ．27B ．121C ．1441D ．114710．已知函数)(1x fy -=的图象过点)0,1(，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ ）A ．)2,1(B ．)1,2(C ．)2,0(D ．)0,2(11．直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆1422=+y x 截得的最大弦长是（ ） A ．4 B ．2 C ．334 D ．不能确定 12．当实数x y 、满足||||1x y +≤时，变量3yu x =+的取值范围是（ ）A ．[3,3]-B ．11[,]33-C ．11[,]23-D ．11[,]32-二．填空题(16分) 13．函数2cos12xy x π=-+([4,8])x ∈的值域是 _________．14．在平面直角坐标系x O y 中已知△ABC 的顶点B 在双曲线22221x y a b-=的左支上，顶点A 、C 为双曲线的左、右焦点，若=-B C A sin sin sin 56，则双曲线的离心率等于_____．15.四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 到相对面的距离分别为H 1、H 2、H 3、H 4，又点P 为四面体内一点，点P 到平面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，则44332211H h H h H h H h +++= ． 16．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]4,0，则在曲线)(x f y =的切线中，斜率最小的切线方程是_________________.三．解答题（74分）17．（12分）函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4, （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值，并求函数)(A f 的取值范围.18．（12分）在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为：0.9、0.8、0.85，则在一天内 （1）三台设备都需要维护的概率是多少？ （2）恰有一台设备需要维护的概率是多少？ （3）至少有一台设备需要维护的概率是多少？19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0，且35,a a 是方程214450x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112n n S b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =，求数列{}n c 中的最大项，并指出最大项为第几项.20．（12分）已知：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∠A 1AC ＝60°．（1）求证：B 1C ⊥平面A 1BC 1； （2）求二面角A －A 1C －B 1的大小.（3）设O 是线段A 1C 的中点，P 是△ABC 内部及边界上的一动点，使OP//平面A 1BC 1，试指出动点P 的轨迹图形是什么？请说明你的理由.21．（12分）已知过抛物线x 2＝4y 的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点．(1)若角∠AOB 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；(2)若P 为抛物线的焦点,过点P 且与l 垂直的直线l '与与抛物线交于C 、D 两点, 设AB 、CD 的中点分别为M 、N ．求证：直线MN 必过定点.22．（14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点.（1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值.参考答案二、填空题（4分×4＝16） 13. []9,3-- 14.6515. 1 16. 0812=-+y x 三．解答题本大题共6个小题，共74分，解答时应写出文字说明，证明步骤或演算步骤。