河北省永年县第一中学2016届高三数学上学期期中试题 文

高三期中考试文科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，()e x f x =，则(1)f -=（ ） A ．1e B ．1e- C ．e D ．e - 3．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是 （ ）A ．若//l α，m αβ= ，则//l mB ．若//l α，//m α，则//l mC ．若l α⊥，//l β，则αβ⊥D ．若//l α，l m ⊥，则m α⊥4.等比数列}{n a 中，1041=a a ，则数列}{lg n a 的前4项和等于（ ） A.4 B.3 C.2 D.15．设关于,x y 的不等式组3210320320x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，且使2z x y =-取得最大值为（ ）A ．2B ．59 C ．73- D ．526．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0 7．设 ,a b R ∈，且2a+b=6，则2a b +的最小值是( )A. 6 B．8.已知等差数列{}n a 中，24512,10a a a +==，则与圆2220x y y +-=相交所得的弦长为1a ，且斜率为3a 的直线方程是( )A ．6x-y-l=0B ．6x+y-l=0 C. 6x - y+l=0 D ．6x +y +1=0 9．在△ABC 中，如果cos(2B+C)+2sinAsinB<0，那么△ABC 是( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 10．如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（ ） A ．4π B ．6π CD ．3π11．已知()()32,931f x ax g x x x ==+-，当[]1,2x ∈时，()()f x g x ≥恒成立，则a 的取回范围为（ ）A ．11a ≥B ．11a ≤C ．418a ≥D ．418a ≤ 12．如图，在长方形ABCD 中，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为( ) A 23 B ．332 C ．2π D ． 3π 二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．P 是椭圆上一定点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若∠PF 1 F 2=60°，∠PF 2F 1=30°，则椭圆的离心率为 . 14.已知a 是实数，函数，若，则曲线y=f (x)在点 处的切线方程为 .15.已知4x π=是函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴，若将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 .16.定义“正对数”：ln +x=0,01,ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b）=bln +a②若a ＞0，b ＞0，则ln +（ab ）=ln +a+ln +b ③若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b）≥ln +a-ln +b ④若a ＞0，b ＞0，则ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2 其中正确的命题是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m n ⊥(1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间．第12题(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+． （Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）已知直棱111C C AB -A B ，C 60∠A B = ，C C 4A =B =，16AA =，E 、F 分别是棱1CC 、AB 的中点．()1求证：平面1AEB ⊥平面11AA B B ； ()2求四棱锥1C A-E BB 的体积．20.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线022:1=--y x l 相切（1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长.（2）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点Q P ,，若POQ ∠为钝角，求直线l 纵截距的取值范围．（3）过点)3,1(G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为N M ,求直线MN 的方程.21.（本小题满分12分）已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足6||MN MP NP =⋅．（1）求动点P 的轨迹C ；（2）在曲线C 上是否存在点Q ，使得MNQ ∆的面积32MNQ S ∆=？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的12,x x ∈ (0，＋∞)且x 1≠x 2有2121()()f x f x x x -->a 恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．期中考试文科数学答题纸二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、；14、；15、； 16、；三、解答题：(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

)17．（本题满分10分）18.（本题满分12分）19．（本题满分12分）20. （本题满分12分）21．（本题满分12分）22．（本题满分12分）期中考试文科数学答案一、选择题BDCCA DCCCD AD 二、填空题13.13- 14. 3x-y-2=0 15.π4316. ①③④ 三、选择题17、解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0， 所以2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，所以A ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z.因为0<A <π，所以A ＝π3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ，所以4＝(b ＋c )2－3bc ， 因为b ＋c ＝4，所以bc ＝4. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.18、解：（1）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+，11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．（2）122122)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-两式相减，得1222222121210+-⨯=----⨯-⨯=-n n n n n n n S19.解：(1)取1AB 的中点G,AB 的中点F,连接FG,EG.则1121,//BB FG BB FG =.1121,//BB EC BB EC =EC FG EC FG =∴,//. 是平行四边形，四边形ECFG ∴ ………………3分 CF EG //∴.由于AC=BC,AB CF ⊥∴,B AB BB CF BB =⊥ 11,又..,1111B B AA EG B B AA CF 面面⊥∴⊥∴B B AA AEB AEB EG 1111面面，面⊥∴⊂ . …………………6分(2)作AH 垂直BC 与点H ，由AC=BC=4，060=∠ACB ,32=∴AH . ………………8分是直三棱柱，面面11111,C B A ABC B BCC ABC BC BC AH -=⊥ ,11B BCC AH 面⊥∴. …………………9分 31231,18111=∙=∴=-BCEB BCEB A BCEB S AH V S . …………………12分20.解:（1）由题得：原点)0,0(O 到直线022:1=--y x l 的距离为圆的半径，2222==r ，故圆C 的方程为422=+y x 又圆心到直线2l 的距离1)3(4522=-+=d3212222=-=∴AB ..........4分（2）设),(),,(2211y x Q y x P ，直线l 的方程为：b x y +-=，联立422=+y x 得：042222=-+-b bx x ，由0)4(8)2(22>---=∆b b ，得82<b ，且⎪⎩⎪⎨⎧-==+2422121b x x b x x POQ ∠ 是钝角，即02121<+y y x x ，且与不是反向向量，而))((2121b x b x y y +-+-=∴0)(2221212121<++-=+b x x b x x y y x x代入韦达定理，解之得22<<-b ， 而当与反向时，0=b ，故所求直线纵截距的范围是)2,0()0,2( - ..........8分 （3）103122=+=OG ，622=-=OMOG GM故以G 为圆心，GM 的长为半径的圆G 方程为6)3()1(22=-+-y x 又圆C 的方程为422=+y x相减得公共弦MN 所在直线的方程为043=-+y x ..........12分 21. （本小题满分12分）解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =- ，(3,0)MN =- ，(1,)NP x y =-．由6||MN MP NP =⋅，得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=． ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 6分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）设曲线C 上存在点00(,)Q x y 满足题意，则32MNQ S ∆=． ∴013|||22|MN y =⋅，又||3MN =，故0|1|y =． 又2200143x y +=，故2200184(1)4(1)333y x =-=-=．11 ∴362380±=±=x ．∴曲线C上存在点(,1)Q ±使得MNQ ∆的面积32MNQ S ∆=．…… 12分22. （本小题满分12分）解 f ′(x )＝x －2a x ＋a －2＝(2)()x x a x -+ (x >0)．(1)当a ＝1时，f ′(x )＝(2)(1)x x x -+，f ′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)，即4x ＋2y －3＝0.(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝ x －22x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当－a <2，即－2<a <0时，∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0；－a <x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；③当－a >2，即a <－2时，∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0；2<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．(3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2. 由2121()()f x f x x x -->a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立，令g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x －2x ， 则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )＝x －2a x －2≥0，即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．∴a ≤－12，故存在这样的实数a 满足题意，其范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12. ………….12分。