2019秋高中数学章末评估验收卷(四)(含解析)新人教A版选修1_2

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2018-2019学年人教版高中数学选修1-2 章末评估验收卷(四)(精编含解析)

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据题意，本流程需要两个条件分支结构，是否为大学生及考试成绩是否合格，可画出流程图.
【详解】流程图如图所示：
20.某地行政服务中心办公分布结构如下．
【点睛】本题主要考查了流程图的绘制，属于中档题.
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一
14.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
.
【答案】15
【解析】
由算法框图可知 k＝15，T>105，所以输出的 k 值为 15.
视频
，若 T＝105，则 K＝14，继续执行循环体，这时
15.小明晚上放学回家要做如下事情：复习功课用 30 分钟，休息用 30 分钟，烧水用 15 分钟，做作业用 25 分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．【答案】85 【解析】【分析】根据题意休息时可以烧水，所以最少时间就是复习，烧水，休息的时间. 【详解】休息时可以烧水，故最少时间为 30＋30＋25＝85(分钟)．
C.
D. 【答案】D 【解析】试题分析：四种方案中最可取的是，分别派出调研人员齐头并进赴三地搞调研，以便提早结束调研，尽早投产，由此可得结论．解：方案 A．立顶→派出调研人员先后赴深圳、天津、成都调研，待调研人员回来后决定生产数量．方案 B．立顶→派出调研人员先齐头并进赴深圳、天津调研，结束再赴成都调研，待调研人员回来后决定生产数量．方案 C．立顶→派出调研人员先赴成都调研，结束后再齐头并进赴深圳、天津调研，待调研人员回来后决定生产数量．方案 D．分别派出调研人员齐头并进赴三地搞调研，以便提早结束调研，尽早投产．通过四种方案的比较，方案 D 更为可取．故选 D．点评：本题考查结构图，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 8.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为( )

2019年人教版高中《数学选修1-2》试题（题后含答案）46

2019年人教版高中《数学选修1-2》试题（题后含答案）462019年人教版高中《数学选修1-2》试题（题后含答案）单选题（共5道）1、下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）A三角形B梯形C平行四边形D矩形2、菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等。

在以上三段论的推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论错误3、若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值与最大值分别是( )A2，3B3,5C4,6D4，54、已知复数z满足zi=2﹣i，i为虚数单位，则z=[]A2﹣iB1+2iC﹣1+2iD﹣1﹣2i5、复数sin40°-icos40°的辐角为（）A40°B140°C220°D310°简答题（共5道）6、观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin30°·cos60°＝，sin240°＋cos270°＋sin40°·cos70°＝，sin215°＋cos245°＋sin15°·cos45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．7、（本题满分15分）已知R，且，是否存在虚数同时满足：①；②．若存在，请求出复数z；若不存在，请说明理由．8、命题“若，，，则．”可以如下证明：构造函数，则，因为对一切，恒有，所以，故得．试解决下列问题：（1）若，，，，求证；（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．9、（本题满分14分）定义：对于函数,.若对定义域内的恒成立,则称函数为函数.(1)请举出一个定义域为的函数,并说明理由;(2)对于定义域为的函数，求证：对于定义域内的任意正数，均有;(3)对于值域的函数,求证：.。

人教A版2019年高中数学选修1-2：模块综合检测_含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限． 2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确．3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.7．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 第一次运行得s ＝1＋(1－1)2＝1，k ＝2；第二次运行得s ＝1＋(2－1)2＝2，k ＝3；第三次运行得s ＝2＋(3－1)2＝6，k ＝4；第四次运行得s ＝6＋(4－1)2＝15，k ＝5；第五次运行得s ＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k 的值是5，故选C.8．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y ^＝7.19x ＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而估计值，当x ＝10时，y ＝145.83，故身高在145.83 cm 左右．9．执行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为2，则输入的x 的最大值是( )A ．8B ．11C ．12D ．22 解析：选D 分析该程序框图可知⎩⎨⎧x2－1>3，12⎝⎛⎭⎫x 2－1－2≤3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8，x ≤22.即8<x ≤22，所以输入的x 的最大值是22，故选D.10．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 017的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4. 记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数为f (n )，则f (2 017)＝f (503×4＋5)＝f (5)， ∴52 017与55的末四位数相同，均为3 125.11．某程序框图如图所示，若该程序输出的结果是163，则判断框内可填入的条件是( )A ．i <4?B ．i >4?C ．i <5?D ．i >5?解析：选C 依题意知，初始值i ＝1，T ＝0，P ＝15，第一次循环：i ＝2，T ＝1，P ＝5；第二次循环：i ＝3，T ＝2，P ＝1；第三次循环：i ＝4，T ＝3，P ＝17；第四次循环：i ＝5，T＝4，P ＝163.因此循环次数应为4，故“i <5？”可以作为判断框内的条件，故选C.12．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( )A ．141B ．191C ．211D ．241解析：选B 由题意，x ＝－1＋3＋8＋12＋175＝7.8，y ＝3＋40＋52＋72＋1225＝57.8，因为回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，所以57.8＝6×7.8＋a ^，所以a ^＝11，所以y ^＝6x ＋11，所以x ＝30时，y ^＝6×30＋11＝191，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______．解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 答案：514．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表根据列联表数据，求得K 2≈__________.解析：由计算公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2≈7.469. 答案：7.46915．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2；第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3；第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1. 答案：116．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2020＝2 017×1 010.答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c .18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i25＝1－3i ，所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 19．(本小题满分12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．试画出小流域综合治理开发模式的结构图．解：根据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构图如图所示．20．(本小题满分12分)某商品在销售过程中投入的销售时间x 与销售额y 的统计数据如下表：用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额．(参考公式： b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1 (x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －，y －表示样本平均值) 解：由已知数据可得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，所以∑5i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，∑5i ＝1(x i －x －)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b ＝0.01，a ＝y －－b x －＝0.47.故y ^＝0.01x ＋0.47令x ＝6，得y ^＝0.53.即该商品6月份的销售额约为0.53万元．21．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ； (2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ] ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．22．(本小题满分12分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2的观测值k ＝1 000×(360×180－320×140)500×500×680×320≈7.35>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．。

高中数学人教A版选修1-2章末综合测评1Word版含解析

线上． )
13．若一组观测值 (x1，y1)，(x2， y2)，…， (xn，yn)之间满足 yi＝bxi＋a＋ei(i
＝ 1,2，…， n)，若 ei 恒为 0，则 R2 的值为 ________．
【解析】
n
由
ei 恒为
0，知
yi＝ y^i ，即
yi－ y^i＝0，故
∑
R2＝1－
i＝1 n
∑i＝ 1
21． (本小题满分 12 分)(2019 湛·江高二检测 )某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件个数 x(个)
2
3
4
5
加工时间 y(小时 )
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
图3 ^ (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 ^y＝bx＋ a^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间？
实验班
优、良、中 48
差
总计
2
50
对比班总计
38
12
50
86
14
100
A.有关
B．无关
C．关系不明确
D．以上都不正确
【解析】随机变量 K2 的观测值为
100× 48×12－ 38×2 2 k＝ 50×50×86× 14 ≈8.306>7.879，则认为 “ 试验效果与教学措施有
关 ”的概率为 0.995.
x2
总计
b
31
d
35
总计
10＋ c
21＋d
66
故 K2 的观测值
66× [10 35－c － 21c]2 k＝ 31×35× 10＋ c 56－ c ≥5.024.

【配套K12】2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测：(四)框图-含解析

阶段质量检测（四）框图(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图解析：选B工序流程图用来描述工业生产的流程．2．下图是一个结构图，在框①中应填入()A．空集B．补集C．子集D．全集解析：选B集合的运算包括交集、并集、补集．3．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是()①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①③④解析：选C平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.4．在下面的图示中，是结构图的为()A.B.对数函数定义图象与性质C.D.解析：选B 选项A 表示流程图；选项C 表示频率分布直方图；选项D 表示从B 到A 的路径图；选项B 表示结构图．5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1B.23C.1321D.610987解析：选C 初始条件i ＝0，S ＝1，逐次计算结果是S ＝23，i ＝1；S ＝1321，i ＝2，此时满足输出条件，故输出S ＝1321，选C. 6．现在大学校园里风行“拿证热”，认为多拿证就可以拓宽就业渠道，计算机等级考试也是大家追逐的“权威”证书之一，其报考步骤为：①领准考证；②报名；③笔试、上机考试；④摄像．其中正确的流程为( )A ．②→①→③→④B ．②→④→①→③C ．②→①→④→③D ．②→④→③→①解析：选B 根据经验可以知道首先要报名，摄像，再领准考试，最后笔试、上机考试． ∴正确的流程是②→④→①→③.7．如图所示的流程图中，输出d 的含义是( )A ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离B ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的平方C ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的倒数D ．两条平行线间的距离解析：选A 由流程图，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2表示点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离．8．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中可取的是( )解析：选D 到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．9．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是( )A ．11小时B ．13小时C ．15小时D ．17小时解析：选A 组装工序可以通过三个方案分别完成：A →B →E →F →G ，需要2＋4＋4＋2＝12(小时)；A →E →F →G ，需要5＋4＋2＝11(小时)；A →C →D →F →G ，需要3＋4＋4＋2＝13(小时)．因此组装该产品所需要的最短时间是11小时．10.某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f (x )＝sin 2π3x ，f (x )＝cos 2π3x ，f (x )＝tan 4π3x ，则可以输出的函数是( ) A ．f (x )＝sin 2π3x B ．f (x )＝cos 2π3x C ．f (x )＝tan 4π3x D ．三个函数都无法输出解析：选B 若输入函数f (x )＝cos 2π3x ，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫－π－2π3x ＝cos 2π3x －cos 2π3x ＝0， f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋2π3x ＝0. 故函数f (x )＝cos 2π3x 可由题中程序框图输出．易验证函数f (x )＝sin 2π3x 和f (x )＝tan 4π3x 均无法输出，故选B. 11．小强要在7：30之前赶去与同学集合一块去郊游，但由于太过兴奋晚上睡觉太晚，以致醒来时已经7点，小强每天早晨起床后必须做如下事情：收拾床铺用4分钟，洗漱用5分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，为了不耽误郊游，小强需要用最短的时间完成这些事情，则小强花费的最短时间为( )A ．17分钟B ．19分钟C ．23分钟D ．27分钟解析：选A 小强要想花费的时间最短，则应能同时干的事情同时干，他可在收拾床铺、洗漱和吃早饭的时候听广播，这样最短时间为4＋5＋8＝17(分钟)．12．在如图所示的程序框图中，输入A ＝192，B ＝22，则输出的结果是( )A．0 B．2C．4 D．6解析：选B输入后依次得到：C＝16，A＝22，B＝16；C＝6，A＝16，B＝6；C＝4，A＝6，B＝4；C＝2，A＝4，B＝2；C＝0，A＝2，B＝0.故输出的结果为2，选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．执行如图所示的程序框图，若输入的N的值为6，则输出的p的值为________．解析：由程序框图，可得k＝1，p＝1,1<6；k＝2，p＝2，2<6；k＝3，p＝6,3<6；k＝4，p＝24,4<6；k＝5，p＝120,5<6；k＝6，p＝720,6＝6，不满足条件．故输出的p的值为720.答案：72014．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．解析：向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示．答案：数乘15．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：则在①中应填入________，在②中应填入____________．解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．答案：菱形直角梯形16．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．解析：由题意可画出工序流程图如下图所示．∵总工期为9天，∴2＋x≤5，∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天．答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示．18．(本小题满分12分)某公司做人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．解：人事结构图如图所示．19．(本小题满分12分)某型号电脑由以下设备与主机相连：外存储器(磁盘驱动器和磁带机)、打印机、显示器、键盘、游戏杆，试画出该型号电脑的结构图．解：20．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．解：21．(本小题满分12分)A，B，C，D四位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个．怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？解：由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟．A用时最长，D用时最短．对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A用了5分钟，而D除了等A 灌满水5分钟外再加上自己打水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12分钟．反过来，如果将D安排在A前面，那么D打水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9分钟．相比较，第二种方案用时少于第一种，由此可以得出这样的结论：把占时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短．按占用时间由少到多的顺序安排四个人为D，B，C，A.等候时间：D打水时，需耗用A，B，C，D四人时间，即2×4＝8分钟；B打水时，需耗用A，B，C三人时间，即3×3＝9分钟；C打水时，需耗用A，C两人时间，即4×2＝8分钟；A打水时，需耗用5分钟．故总共用去8＋9＋8＋5＝30分钟．综上，按D，B，C，A的顺序安排4人打水所花的总时间最少，最少为30分钟．22．(本小题12分)某车队有4辆汽车，担负A，B，C，D，E，F六个分厂的运输任务(如图标出的数是各分厂所需装卸工人数)．若各分厂自派装卸工，则共需4＋6×2＋5×2＋7＝33(人)；若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工，那么如何安排才能保证各分厂所需工人数，又使装卸人数最少？最少要安排多少人？解：这类问题可采用逐步调整法，即设想各点(分厂)上先各有所需的人数；然后将各点分别减少一人而让每辆增加一人跟车，比较总人数是否减少；在车数少于点数时，如此调整可使总人数减少；重复以上调整，直至总人数不再减少时即得最佳方案，此时的人数即为最少的人数．此法可概括成如下的简便解法．由逐步调整可得：(1)将各点上的人数由大到小排列得7,6,6,5,5,4；(2)车数为4，上列数中第四个数是5；(3)跟车人数应为5，此时所需的搬运工总数为5×4＋2＋1＋1＝24(人)．所以每辆车上安排5个跟车，各分厂安排的装卸工人数如图所示，这样所需人数最少，最少要安排24名装卸工人．。

高中数学单元素养评价(四)(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1.若集合M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}，则( ) A.M=NB.M NC.M ND.M∩N=⌀【解析】选C.M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}={x|x=(k+2)·45°，k∈Z}.因为k∈Z，所以k+2∈Z，且2k+1为奇数，所以M N.2.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.由tanα<0，cosα<0，所以角α的终边在第二象限.3.已知cos=-，且α是第四象限角，则cos(-3π+α)=( )A. B. C.± D.-【解析】选D.因为cos=sinα，所以sinα=-.又α为第四象限角，所以cosα==，所以cos(-3π+α)=cos(π-α)=-cosα=-.4.设a=(sin17°+cos17°)，b=2cos213°-1，c=sin37°·sin67°+sin53°sin23°，则( )A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选 A.a=cos45°sin17°+sin45°cos17°=sin62°，b=c os26°=sin64°，c=sin37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°，故c<a<b.5.若函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0，0≤|φ|≤的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A.ω=1，φ=B.ω=1，φ=-C.ω=，φ=D.ω=，φ=-【解析】选C.由题中图象知，T=4=4π=，所以ω=.又当x=时，y=1，所以sin=1，+φ=2kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=.6.(2020·内江高一检测)已知α，β为锐角，角α的终边过点(3，4)，sin(α+β)=，则cosβ=( )A. B.C. D.或【解析】选 B.α，β为锐角，角α的终边过点(3，4)，所以sinα=，cosα=，sin(α+β)=<sinα，所以α+β为钝角，所以cos(α+β)=-=-，则cosβ=cos=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.7.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-【解析】选A.因为0≤x≤9，所以-≤x-≤，-≤sin≤1，所以-≤2sin≤2.所以函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2-.8.(2020·荆州高一检测)设f(x)=asin2x+bcos2x(a，b∈R，ab≠0)，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，给出以下结论：①f=0；②=；③f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；④函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+θ)，由f(x)≤对一切x∈R恒成立，可得f为函数f(x)的最大值或最小值，所以2×+θ=kπ+(k∈Z)，所以θ=kπ-(k∈Z)，所以令f(x)=asin2x+bcos2x=sin2x-，或f(x)=sin.经计算验证①②正确.③f(x)的单调性分情况讨论知③错误；④显然f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故④正确；⑤因为-≤a≤，-≤b≤，所以不存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，故⑤错误.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为y=sin的图象的是( )A.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度B.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的个单位长度D.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的个单位长度【解析】选BC.A.y=sinx横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得y=sin2x+=sin，故A不正确；B.y=sinx横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得y=sin=sin，故B正确；C.y=sinx向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，得y=sin，故C正确；D.y=sinx向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，得y=sin，故D不正确.10.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0，<在x=-时取最大值，与之最近的最小值在x=时取到，则以下各式可能成立的是( )A.f(0)=B.f=0C.f=-1D.f=1【解析】选AC.设函数f的周期为T，则=-=，所以T==π，即ω=2.又f=cos=cos=1，<，所以φ=，即f=cos，所以f=，f=-，f=-1，f=，故选AC.11.已知函数f(x)=sin，那么下列式子恒成立的是( )A.f(x+2π)=f(x-2π)B.f=f(x)C.f=f(x)D.f=-f(x)【解析】选AB.因为函数f(x)=sin，所以f(x+2π)=sin，f(x-2π) =sin=sin，故A成立.所以f=sin=-sin=sin，故B成立.又f=sin=sin≠f(x)，故C不成立.又f=sin=cos≠f(x)，故D不成立.12.若函数g(x)=asinxcosx(a>0)的最大值为，则函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴方程为()A.x=0B.x=-C.x=-D.x=【解析】选BD.g(x)=sin2x(a>0)的最大值为，所以a=1，故f(x)=sinx+cosx=sin，令x+=+kπ，k∈Z得x=+kπ，k∈Z.三、填空题(每小题5分，共20分)13.(2020·某某高一检测)已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_______. 【解析】根据扇形的弧长公式可得l=αr=×6=2π，根据扇形的面积公式可得S=lr=·2π·6=6π.答案：6π14.已知α满足si nα=，那么cos cos-α的值为_______.【解析】因为cos=cos=sin，所以cos cos=sin cos=sin=cos2α=(1-2sin2α)==.答案：15.设x∈(0，π)，则f(x)=cos2x+sinx的最大值是_______.【解析】因为f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-+.又因为x∈(0，π)，所以0<sinx≤1，所以当sinx=时，f(x)的最大值是.答案：16.已知cos(π+α)=-，<α<2π，则cosα=_______，sin(2π-α)=_______.【解析】由cos(π+α)=-，得-cosα=-，则cosα=；又<α<2π，所以sin(2π-α)=-sinα===.答案：四、解答题(共70分)17.(10分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P的坐标是(-1，2).(1)求sinα，tanα.(2)求.【解析】(1)因为角α的终边过点P(-1，2)，所以|OP|=.则sinα==，tanα=-2.(2)====-5.18.(12分)已知α，β为锐角，sinα=，c os(α+β)=.(1)求sin的值；(2)求cosβ的值.【解析】(1)因为α为锐角，sinα=，所以cosα==，所以sin=sinαcos+cosαsin=×+×=.(2)因为α，β为锐角，所以α+β∈(0，π)，由cos(α+β)=，得sin(α+β)==，所以cosβ=cos=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.19.(12分)已知函数y=3sin.(1)用“五点法”在坐标系中作出上述函数在上的图象.(2)请描述上述函数图象可以由函数y=sinx怎样变换而来？【解析】(1)因为x∈，所以2x-∈.列表如下：x2x-0 π2πy=3sin0 3 0 -3 0描点、连线，得出所要求作的图象如图：(2)第一步：把y=sinx的图象向右平移个单位，可得y=sin的图象；第二步：把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y=sin的图象；第三步：把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得y=3sin的图象. (答案不唯一)20.(12分)已知函数f(x)=cos，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【解析】(1)因为f(x)=cos，所以函数f(x)的最小正周期为T==π.由2x-=+kπ，k∈Z，所以2x=+kπ，k∈Z，所以x=+π，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.(2)因为f(x)=cos在区间上单调递增，在区间上单调递减，又f=0，f=，f=cos=-cos=-1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x=；最小值为-1，此时x=.21.(12分)港口一天内的水深y(单位：米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：t/时0 3 6 9 12 15 18 21 24y/米10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10根据表中数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y=Asinωt+B(A>0，ω>0)的图象.(1)试根据数据和曲线，求出y=Asinωt+B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)【解析】(1)从拟合的曲线可知，函数y=Asinωt+B的一个周期为12小时，因此ω==. 又因为y min=7，y max=13，所以A=(y max-y min)=3，B=(y max+y min)=10.所以函数的解析式为y=3sin t+10(0≤t≤24).(2)由题意知，水深y≥4.5+7，即y=3sin t+10≥11.5，t∈，所以sin t≥，所以t∈，k∈Z，当k=0，1时，t∈或t∈.所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港.若欲当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时.22.(12分)已知f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f=，求sin的值.【解析】(1)f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x=(1+2sinxcosx)-cos2x=sin2x-+=sin+.所以函数f(x)的最小正周期T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由(1)得f=sin+=sin+=cosθ+=，所以cosθ=，因为θ∈，所以sinθ=-，所以sin2θ=2sinθcosθ=-，cos2θ=2cos2θ-1=-，所以sin=sin2θcos-cos2θsin=-.。

新人教A版选修1-22019-2020年高中数学章末评估验收卷(四)(含解析)

章末评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图解析：设计生产过程，应用工序流程图．答案：B2．在下面的图中，是结构图的是( )A.起床→洗漱→吃早饭→上学B.C.D.解析：采用排除法，A是流程图，C是条形图，D是Venn图，故选B.答案：B3．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法解析：根据分析法、综合法、反证法的特点知A正确．答案：A4．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )A ．设备安装B ．土建设计C ．厂房土建D ．工程设计解析：由工序流程图知，设备采购的下一道工序是设备安装．答案：A5．如图所示是一结构图，在处应填入( )A ．图象变换B ．对称性C ．奇偶性D ．解析式解析：根据函数的性质，应填入奇偶性．答案：C6．(2017·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2B.3235解析：当输入k ＝0，s ＝1时，k ＜3成立．因此k ＝1，s ＝1＋11＝2，k ＜3成立．因此k＝2，s ＝2＋12＝32，k ＜3成立．因此k ＝3，s ＝32＋132＝53，k ＜3不成立，输出S ＝53.答案：C7．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中最可取的是()解析：到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．答案：D8．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为()46C.1112D.2524解析：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，此时输出s ＝2524.答案：D9．某市质量监督局计量认证审查流程图如图所示，从图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有( )A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处解析：从题干图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有：(1)审查资料及受理不合格；(2)文审不合格；(3)评审材料审查不合格．共3处．答案：C10．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：“求简单函数的导数”的“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．答案：C11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：本小题考查程序框图等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，难度较小．由a ＝1，i ＝0→i ＝0＋1＝1，a ＝1×1＋1＝2→i ＝1＋1＝2，a ＝2×2＋1＝5→i ＝2＋1＝3，a ＝3×5＋1＝16→i ＝3＋1＝4，a ＝4×16＋1＝65>50，所以输出i ＝4.答案：B12．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )A ．4B.32C.23D ．－1解析：初始：S ＝4，i ＝1，第一次循环：1<6，S ＝22－4＝－1，i ＝2；第二次循环：2<6，S ＝22＋1＝23，i ＝3；第三次循环：3<6，S ＝22－23＝32，i ＝4；第四次循环：4<6，S ＝22－32＝4，i ＝5；第五次循环：5<6，S ＝22－4＝－1，i ＝6.6<6不成立，此时跳出循环，输出S 值，S 值为－1. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把题13图所示的结构图补充完整：①为______，②为________，③________．解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一个种类包括的动物，填上①③.答案：地龟哺乳动物长尾雀14．已知等式□3×6 528＝3□×8 256中“□”表示的是同一个一位数字．程序框图(如题14图所示)表示的就是求等式中“□”表示的数字的算法，请将如图所示的程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．解析：①处应填“y＝x？”，因为y＝x成立时，则输出i，否则指向②，并转入循环，因此②应具有计数功能，故应填“i＝i＋1”．答案：y＝x？i＝i＋115．小明晚上放学回家要做如下事情：复习功课用30分钟，休息用30分钟，烧水用15分钟，做作业用25分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．解析：休息时可以烧水，故最少时间为30＋30＋25＝85(分钟)．答案：8516．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．解析：输入x＝1，x<2成立，执行x＝2；当x＝2时，x<2不成立，执行y＝3x2＋1＝3×22＋1＝13；输出y＝13.答案：13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示：18．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．解：知识结构图如图所示：19．(本小题满分12分)银行办理房屋抵押贷款手续如下：先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户，然后有三种选择：(1)若直接办理抵押贷款，则只进行抵押登记，然后发放贷款；(2)若采用全程担保方式，则直接发放贷款；(3)若采用阶段性担保方式，则先发放贷款，然后再办理抵押登记．试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图．解：20．(本小题满分12分)某地行政服务中心办公分布结构如下．(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层．(2)二楼：公安局、民政局、财政局．(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局．(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局．(5)五楼；其余部门办理窗口．试绘制该中心结构图．解：该行政中心办公分布结构图如图所示：21．(本小题满分12分)甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下面的程序框图所示，求甲胜的概率．解：根据程序框图可知，甲、乙两人玩游戏的规则是：从装有3个红球和1个白球的袋中任意取出1个球后不放回，再任意取出1个球，若取出的两球不同色，则甲胜，否则乙胜．记A 1，A 2，A 3表示3个红球，B 表示1个白球，则取出一个球不放回，再取出一个球有12个基本事件：A 1A 2，A 1A 3，A 1B ，A 2A 1，A 2A 3，A 2B ，A 3A 1，A 3A 2，A 3B ，BA 1，BA 2，BA 3.其中甲胜包含6个基本事件：A 1B ，A 2B ，A 3B ，BA 1，BA 2，BA 3. 故甲胜的概率P ＝612＝12.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图如图所示，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021，试求数列{a n }的通项公式．解：由程序框图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d .S i ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a i －1a i ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a i ＋1.当k ＝5时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 61d ＝5a 1a 6＝511.所以a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11；①当k ＝10时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 111d ＝10a 1a 11＝1021，所以a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②联立，得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.。

2019秋高中数学章末评估验收卷(三)(含解析)新人教A版选修1_2

章末评估验收卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：依题意，z z －＝|a ＋3i|2＝a 3＋3＝4，所以a ＝±1. 答案：A2．“复数z 是实数”的充分不必要条件为( ) A ．|z |＝z B ．z ＝z －C ．z 2是实数D ．z ＋z －是实数解析：由|z |＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z |＝z ，如z ＝－2，此时|z |≠z ，故“|z |＝z ”是“z 为实数”的充分不必要条件．答案：A3．若复数z ＝1＋i ，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，则z －＝1－i.则z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 因此z 2＋z －2的虚部为0.答案：A4．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1，0，1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i∈S 答案：B5．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：a －i 1＋i ＝（a －i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（a －1）－（a ＋1）i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.答案：A6．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则m ＝1是z 1＝z 2的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件解析：因为z 1＝z 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，⇔m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．答案：A7．i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( )A.2－1 B ．2－ 2 C.2＋1D ．2＋ 2解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i ＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1，1)的最大距离，其值为1＋ 2.答案：C8．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：p 1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b2∈R ，得到b ＝0，所以z ∈R.故p 1正确；p 2：若z 2＝－1，满足z 2∈R ，而z ＝i ，不满足z ∈R ，故p 2不正确；p 3：若z 1＝1，z 2＝2，则z 1z 2＝2，满足z 1z 2∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确；p 4：实数的共轭复数是它本身，也是实数，故p 4正确．答案：B9.如图，在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，0那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i解析：由题意可知，因为四边形OACB 为正方形，所以AB 和CO 的中点坐标相同，设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1＋（－2）2，y 2＝2＋12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以第四个顶点对应的复数为－1＋3i.答案：D10．设复数z 满足|z |<1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －＋1z ＝52，则|z |等于( )A.45 B.34 C.23D.12解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －＋1z ＝|z z －＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12.答案：D11．复数2＋i 与复数13＋i 在复平面内的对应点分别是A ，B ，则∠AOB ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：因为13＋i ＝3－i 10＝310－110i ，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310，－110，又OA →＝(2，1)，所以cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝22.因此∠AOB ＝π4.答案：B12．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z －1·z 2是纯虚数，则复数z 2＝( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i解析：由z 1＝2＋i ，得z －1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i(b ∈R)，则z －1·z 2＝(2－i)(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1)i.由z －1·z 2是纯虚数，得2＋b ＝0且2b －1≠0，所以b ＝－2，故z 2＝1－2i. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．解析：因为z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.答案：(3，4)14．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________．解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i ，得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i15．若x ＝－52－i ，则x 2＋4x ＝________．解析：因为x ＝－52－i，所以x 2＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－i 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－i＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5（2＋i ）52＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5（2＋i ）5＝(2＋i)2－4(2＋i) ＝4－1＋4i －8－4i ＝－5. 答案：－516．复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝________．解析：由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a . 又a 为负数，所以z －a 为纯虚数．设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2.又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0. 故a ＝1±52.由于a 为负数，所以a ＝1－52.答案：1－52三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解：(1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝－1，即当m ＝－2或m ＝－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3，即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R)．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，向量OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R)，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，所以(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38.故实数a 的值为－38.19．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：(1)z －1z 2，(2)z －1z 2.解：z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i 25＝1－3i. (1)z －1·z 2＝(2＋3i)·(1－3i)＝2－6i ＋3i ＋9＝11－3i. (2)z －1z 2＝2＋3i 1－3i ＝（2＋3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝－7＋9i 10＝－710＋910i.20．(本小题满分12分)求同时满足下列条件的所有复数z . (1)z ＋10z 是实数，且1＜z ＋10z≤6；(2)z 的实部与虚部均为整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z ，且x ，y 不同时为0)．z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i＝x ＋y i ＋10（x －y i ）x 2＋y 2＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－10x 2＋y 2i ，因为z ＋10z 是实数，所以y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－10x 2＋y 2＝0，所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.又1＜z ＋10z ≤6，所以1＜x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2≤6. 当y ＝0时，此时x ≠0，所以1＜x ＋10x≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10x＞1x ＋10x ≤6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋10x＞0x 2－6x ＋10x ≤0，此不等式组无解．当x 2＋y 2＝10时，由1＜x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋10x 2＋y 2≤6，得1＜2x ≤6，所以12＜x ≤3.因为x ∈Z ，所以x ＝1或x ＝2或x ＝3. 把x 的值代入x 2＋y 2＝10中，并由y ∈Z 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 故所求的复数z 为1＋3i 或1－3i 或3＋i 或3－i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由已知条件得a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，2ab ＝2，所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.所以△ABC 的面积为1.22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b . (1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －－a －b i|＝2|z |，求z 为何值时，|z |有最小值并求出最小值．解：(1)将b 代入题中方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0，整理得(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0.则b 2－6b ＋9＝0，且a －b ＝0，解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.所以点Z 在以(－1，1)为圆心，22为半径的圆上．画图可知，z ＝1－i 时，|z |min ＝ 2.。

第四章数列章末检测试卷一(第四章)(含解析)高中数学人教A版选择性必修第二册

章末检测试卷一(第四章)［时间：120分钟分值：150分］一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列1，3，5，7，…，2n―1，则35是这个数列的第（）A.20项B.21项C.22项D.23项2.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4=8，S3=18，则S5等于（）A.34B.35C.36D.383.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（）A.1B.3C.6D.94.等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a1011+a1012+a1013+a1014=8，则S2024等于（）A.8096B.4048C.4046D.20245.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列｛a n｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为（）A.12 023B.22 023C.31 011D.15056.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a6+a7>0，a6+a8<0，则S n最大时n的值为（）A.4B.5C.6D.77.已知数列｛a n｝中的项都是整数，且满足a n+1={a n2,a n为偶数,3a n+1,a n为奇数,若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（）A.7B.6C.5D.48.若数列｛a n｝的前n项和为S n，b n=S nn，则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”.已知数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”且通项公式为b n=n，设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若T n<12m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（）A.（-1，3）B.［-1，3］C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =（n +2）·(67)n，则下列说法正确的是（）A.a 1是数列｛a n ｝的最小项B.a 4是数列｛a n ｝的最大项C.a 5是数列｛a n ｝的最大项D.当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列10.设d ，S n 分别为等差数列｛a n ｝的公差与前n 项和，若S 10=S 20，则下列说法中正确的是（）A.当n =15时，S n 取最大值B.当n =30时，S n =0C.当d >0时，a 10+a 22>0D.当d <0时，|a 10|>|a 22|11.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=3n +39n +3，则使得a n b n 为整数的正整数n的值为（）A.2 B.3C.4D.14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n +1=4×3n -1，则S 2 024= .13.在等差数列｛a n ｝中，前m （m 为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且a m -a 1=14，则a 100的值为 .14.已知函数f （x ）=（x +1）3+1，正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，则2 025Σk =1f （lg a k ）= . 四、解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=3a n .（1）求｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）数列｛b n ｝是等差数列，S n 为｛b n ｝的前n 项和，若b 1=a 1+a 2+a 3，b 3=a 3，求S n .（7分）16.（15分）已知等差数列｛a n ｝中，a 5-a 2=6，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）设b n =1a n a n +1，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，若S n =335，求n 的值.（9分）17.（15分）在数列｛a n ｝中，前n 项和S n =1+ka n （k ≠0，k ≠1）.（1）证明：数列｛a n ｝为等比数列；（5分）（2）求数列｛a n ｝的通项公式；（4分）（3）当k =-1时，求a 21+a 22+…+a 2n .（6分）18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分）（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分）19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n 行有n 个数，a ij 表示第i 行第j 个数，例如，a 43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m >0）.已知a 11=2，a 41=12a 32+2，a 22a 21=m .（1）求m 及a 53；（7分）（2）记T n =a 11+a 22+a 33+…+a nn ，求T n .（10分）答案精析1.D ［已知数列1，3，5，7，…，2n ―1，则该数列的通项公式为a n =2n ―1，若2n ―1=35=45，即2n -1=45，解得n =23，则35是这个数列的第23项.］2.B ［因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ，因为S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=18，则a 2=6，所以2d =a 4-a 2=2，则d =1，所以a 5=9，S 5=S 3+a 4+a 5=18+8+9=35.］3.D ［因为等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，即log 3(a 1·a 2·…·a 12)=12，所以a 1·a 2·…·a 12=312，所以(a 6a 7)6=312，所以a 6a 7=32=9.］4.B ［由等差数列的性质可得a 1 011+a 1 012+a 1 013+a 1 014=2(a 1 012+a 1 013)=8，所以a 1 012+a 1 013=4，所以S 2 024=2 024(a 1+a 2 024)2=2 024(a 1 012+a 1 013)2=4 048，故B 正确.］5.B ［由题意，知最长弦长为直径，即a 2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a 1=252―32=8，所以d =a 2 024―a 12 024―1=22 023.］6.C ［∵等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 6+a 7>0，a 6+a 8<0，∴a 6+a 8=2a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 最大时n 的值为6.］7.B ［a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数,若a 8=1，可得a 7=2，a 6=4，所以a 5=8或a 5=1.①若a 5=8，则a 4=16，a 3=32或a 3=5，当a 3=32时，a 2=64，a 1=128或a 1=21；当a 3=5时，a 2=10，a 1=20或a 1=3； ②若a 5=1，则a 4=2，a 3=4，a 2=8或a 2=1，当a 2=8时，a 1=16；当a 2=1时，a 1=2，故当a 8=1时，a 1的所有可能的取值集合M =｛2，3，16，20，21，128｝，即集合M 中含有6个元素.］8.D ［由题意，得数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，由“均值数列”的定义可得S nn =n ，所以S n =n 2，当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1，a 1=1也满足a n =2n -1，所以a n =2n -1，所以1a n a n +1=1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1―12n +1)，所以T n =12(1―13+13―15+…+12n ―1―12n +1)=12(1―12n +1)<12，又T n <12m 2-m -1对一切n ∈N *恒成立，所以12m 2-m -1≥12，整理得m 2-2m -3≥0，解得m ≤-1或m ≥3.即实数m 的取值范围为(-∞，-1］∪［3，+∞).］9.BCD ［假设第n 项为｛a n ｝的最大项，则{a n ≥a n―1,a n ≥a n +1,即{(n +2)·(67)n≥(n +1)·(67)n―1,(n +2)·(67)n≥(n +3)·(67)n +1,所以{n ≤5,n ≥4,又n ∈N *，所以n =4或n =5，故数列｛a n ｝中a 4与a 5均为最大项，且a 4=a 5=6574，故B ，C 正确；当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列，故A 错误，D 正确.］10.BC ［因为S 10=S 20，所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ，解得a 1=-292d.所以S n =-292dn +n (n ―1)2d =d 2n 2-15nd =d 2［(n -15)2-225］.对于选项A ，因为d 的正负不确定，S n 不一定有最大值，故A 错误；对于选项B ，S 30=30a 1+30×292d =30×(―292d )+15×29d =0，故B 正确；对于选项C ，a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(―292d +15d )=d >0，故C 正确；对于选项D ，a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ，a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d ，因为d <0，所以|a 10|=-112d ，|a 22|=-132d ，|a 10|<|a 22|，故D 错误.］11.ACD ［由题意可得S 2n―1T 2n―1=(2n ―1)(a 1+a 2n―1)2(2n ―1)(b 1+b 2n―1)2=(2n ―1)a n (2n ―1)b n =a n b n ，则a n b n =S 2n―1T 2n―1=3(2n ―1)+39(2n ―1)+3=3n +18n +1=3+15n +1，由于a nb n 为整数，则n +1为15的正约数，则n +1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.］12.32 024―12解析　根据题意，可得a 1+a 2=4×30=4，a 3+a 4=4×32，…，a 2 023+a 2 024=4×32 022，所以S 2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×(30+32+…+32 022)=4×1―(32)1 0121―32=32 024―12.13.101解析　∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63，∴奇数项之和为S 奇=135-63=72，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S 奇-S 偶=2a 1+(m ―1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m -1)，∴a 1+a m2=9，∵a m -a 1=14，∴a 1=2，a m =16.∵m (a 1+a m )2=135，∴m =15，∴d =a m ―a 1m ―1=1，∴a 100=a 1+99d =101.14.2 025解析　函数f (x )=(x +1)3+1的图象可看成由y =x 3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y =x 3的对称中心为(0，0)，所以f (x )=(x +1)3+1的对称中心为(-1，1)，所以f (x )+f (-2-x )=2，因为正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，所以a 1·a 2 025=a 2·a 2 024=…=a 21 013=1100，所以lg a 1+lg a 2 025=lg a 2+lg a 2 024=...=2lg a 1 013=-2，所以f (lg a 1)+f (lg a 2 025)=f (lg a 2)+f (lg a 2 024)= (2)2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 1）+f （lg a 2）+f （lg a 3）+…+f （lg a 2 025），①2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 2 025）+f （lg a 2 024）+f （lg a 2 023）+…+f （lg a 1），②则①②相加得22 025Σk =1f （lg a k ）=［f （lg a 1）+f （lg a 2 025）］+［f （lg a 2）+f （lg a 2 024）］+…+［f （lg a 2 025）+f （lg a 1）］=2 025×2，所以2 025Σk =1f （lg a k ）=2 025.15.解　(1)因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以数列｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1.(2)由(1)得，b 1=a 1+a 2+a 3=1+3+9=13，b 3=9，则b 3-b 1=2d =-4，解得d =-2，所以S n =13n +n (n ―1)2×(-2)=-n 2+14n.16.解　(1)设数列｛a n ｝的公差为d ，因为a 5-a 2=6，所以3d =6，解得d =2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1=5，所以a n =2n +3.(2)由(1)知b n =1a n a n +1=1(2n +3)(2n +5)，所以b n =12(12n +3―12n +5)，所以S n =12[(15―17)+(17―19)+…+(12n +3―12n +5)]=n5(2n +5)，由n5(2n +5)=335，得n =15.17.(1)证明　因为S n =1+ka n ，①S n -1=1+ka n -1(n ≥2)，②由①-②，得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2)，所以a n =kk ―1a n -1.当n =1时，S 1=a 1=1+ka 1，所以a 1=11―k .所以｛a n ｝是首项为11―k ，公比为kk ―1的等比数列.(2)解　因为a 1=11―k ，q =kk ―1，所以a n =11―k ·(k k ―1)n―1=-k n―1(k ―1)n .(3)解　因为在数列｛a n ｝中，a 1=11―k ，公比q =kk ―1，所以数列｛a 2n ｝是首项为(1k ―1)2，公比为(k k ―1)2的等比数列.当k =-1时，等比数列｛a 2n ｝的首项为14，公比为14，所以a 21+a 22+…+a 2n=14×[1―(14)n ]1―14=13×[1―(14)n ].18.解　(1)设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元，设除去设备引进费用，第n 年的成本为a n ，构成一等差数列，前n 年成本之和为[24n +n (n ―1)2×8]万元，所以f (n )=100n -［24n +4n (n -1)+196］=-4n 2+80n -196=-4(n ―10)2+204，n ∈N *，所以当n =10时，f (n )max =204(万元)，即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.(2)设n 年后平均盈利为g (n )万元，则g (n )=f (n )n=-4n -196n +80，n ∈N *，因为g (n )=-4(n +49n)+80，当n ∈N *时，n +49n ≥2n·49n=14，当且仅当n =49n ，即n =7时取等号，故当n =7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元.19.解　(1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2，a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m，a41=a11+(4-1)×m=3m+2，a32+2，∵a41=12(2m2+2m)+2，∴3m+2=12即m2-2m=0.又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10，∴a53=a51×22=40.(2)由(1)得a n1=a11+(n-1)×2=2n.当n≥3时，a nn=a n1·2n-1=n·2n.(*)又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8.a11=2，a22=8符合(*)式，∴a nn=n·2n.∵T n=a11+a22+a33+…+a nn，∴T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n，①2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，②由①-②得，-T n=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1-n·2n+1=2×(1―2n)1―2=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，∴T n=(n-1)·2n+1+2.。

2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2单元评估验收(二) Word版含答案

单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关“三段论”推理“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( ) A．推理正确B．推理形式错误C．大前提错误D．小前提错误解析：三段论中大前提、小前提及推论形式均正确，所以结论正确．答案：A2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为( )A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a，b大小不定解析：a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a<b. 答案：B5．求证：3＋7<25的证明过程如下：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了( )A．综合法B．分析法C．反证法D．综合法、分析法合用解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B6．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知选项D正确．答案：D7．设f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( )A．0 B．1C.52D．5解析：因为f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，所以令x＝－1，则有f(1)＝f(－1)＋f(2)．因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝2f(1)．因为f(1)＝12，所以f(2)＝1，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝f(2)＋f(2)＋f(1)＝2f(2)＋f(1)＝2＋12＝52.答案：C8．已知对正数a和b，有下列命题：①若a＋b＝1，则ab≤12；②若a＋b＝3，则ab≤32；③若a＋b＝6，则ab≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则ab≤( )A．2 B.9 2C．4 D．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92. 答案：B9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0. 答案：A10．下列不等式中一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立； C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x2＋1≤1. 答案：C11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x解析：根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x . 答案：C12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 2＝1，求证：a 1＋a 2≤2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，即4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤2.根据上述证明方法，若n 个正实数a 1，a 2，…，a n 满足a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝n 时，你能得到的结论是( ) A ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n B ． a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 2C ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤nD ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤n解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋n ，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0；即4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n 2≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．答案：菱形的对角线互相垂直且平分14．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和仅有一个大于1”，故对立面为“x ，y 都大于1”．答案：若x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 都大于115．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，分别回答如下：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．解析：易知三人同去的城市为A .又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B 城，所以甲去过A 城，C 城，乙只去过A 城．答案：A16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， ∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2， f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n(x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B1－tan Atan B＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B .所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tan A tan B )＋3tan A tan B ＝4.故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立． (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β. 又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本题满分12分)已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32； sin 25＋sin 265＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ______________________＝32，(*) 并给出(*)式的证明．解：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos （2α＋120°）2＋1－cos （2α＋240°）2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2α·cos 240°－sin 2αsin 240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边，所以原式得证．21．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nSnn2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d . 由c ＝0，得b n ＝Sn n ＝a ＋n －12d . 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12. 证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，只要证a2＋b2＋4ab 2a2＋2b2＋5ab ≤23.因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立． (2)假设af (b )＝a b ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12，由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，于是a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.。

2019秋高中数学评估验收卷(一)(含解析)新人教A版选修2-2.doc

评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．cos α＋sin x B ．2sin α＋cos x C ．sin xD ．cos x解析：函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．答案：C2．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y ＝x .答案：D3．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝( )A.12B.13 C ．2D ．3解析：由s ＝at 2＋1得v (t )＝s ′＝2at ，依题意v (2)＝12，所以2a ·2＝12，得a ＝3. 答案：D4．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0，⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：由题意知，函数f (x )定义域为x >0，因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，由f ′(x )≤0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2－1≤0.解得0<x ≤22.答案：A5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0，1])的最大值是( )A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，因为f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1，所以f (x )在[0，1]上的最大值为1.答案：A6．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为( ) A ．21 B ．－21 C ．27D ．－27解析：由题意知，－2，4是函数f ′(x )＝0的两个根，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a3，－2×4＝b 3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.所以a －b ＝－3＋24＝21.故选A. 答案：A7．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．1＋eB ．e C.1eD ． e －1解析：W ＝∫10F (x )d x ＝∫10(1＋e x)d x ＝(x ＋e x)|10＝(1＋e)－1＝e. 答案：B8．设函数在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )解析：f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )＞0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选项A 正确．答案：A9．若曲线f (x )＝a e x＋b x在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2e(x ＋1)，则ab ＝( ) A ．1 B ．3 C ．eD ．3e解析：因为f ′(x )＝a e x －b x2，所以f ′(1)＝a e －b ＝2e ，a e ＋b ＝4e ，所以a ＝3，b ＝e ，ab ＝3e.答案：D10．已知积分∫10(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析：因为∫10(kx ＋1)d x ＝k ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x |10＝k ，所以12k ＋1＝k ，所以k ＝2. 答案：A11．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )>0的解集为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：令F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，因为f (x )>xf ′(x )，所以F ′(x )<0，F (x )为定义域上的减函数，由不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )>0得：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x>f （x ）x ，所以1x <x ，所以x >1.答案：C12．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：2x ln x ≥－x 2＋ax －3(x >0)恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x(x >0)恒成立，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝x 2＋2x －3x2.当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．答案：B二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________．解析：因为f (x )＝e xln x ，所以f ′(x )＝(e xln x )′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝ e x ·ln x ＋e x ·1x ，f ′(1)＝e 1·ln 1＋e 1·11＝e.答案：e14．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：因为f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·sin x ＋cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·sin π4＋cos π4，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4＋sin π4＝22(2－1)＋22＝1.答案：115．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －116．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0，2]上有根，则实数m 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．显然，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以当x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2；当x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.因为f (x )＝0在[0，2]上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，所以－2≤m ≤2. 答案：[－2，2]三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝exx，求函数f (x )的单调区间．解：f ′(x )＝－1x 2e x ＋1x e x ＝x －1x2e x，由f ′(x )＝0，得x ＝1. 因为当x ＜0时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]． 18．(本小题满分12分)已知F (x )＝∫x－1t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)． (1)求F (x )的单调区间；(2)求函数F (x )在[1，5]上的最值．解：F (x )＝∫x －1(t 2－4t )d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2x－1＝13x 3－2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)．(1)F ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋73′＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4；由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，所以F (x )的单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)．(2)由(1)知F (x )在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．因为F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，所以F (x )在[1，5]上的最大值为23，最小值为－253.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋12x 2－ax ＋1(a >1)．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当a >1时，求函数y ＝f (x )的单调区间和极值．解：(1)f (0)＝1，f ′(x )＝ax ＋1＋x －a ＝x （x －a ＋1）x ＋1，f ′(0)＝0，所以函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f ′(x )＝0，即x （x －a ＋1）x ＋1＝0.解得x ＝0或x ＝a －1.当a >1时，f (x )，f ′(x )随x 变化的情况如下：↗↘↗＝1，极小值为f (a －1)＝a ln a －12a 2＋32.20．(本小题满分12分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)并解释它的实际意义．解：(1)因为T (0)＝1205＋15＝39(℃)，T (10)＝12010＋5＋15＝23(℃)．则T (0)－T (10)＝39－23＝16(℃)，即蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)蜥蜴体温的平均变化率为T （10）－T （0）10－0＝－1.6(℃/min)，它表示从t ＝0 min 到t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)因为T ′(t )＝⎝⎛⎭⎪⎫120t ＋5＋15′＝－120（t ＋5）2，所以T ′(5)＝－120102＝－1.2(℃/min)，它表示t ＝5 min 时蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)若a ＝4，过点(0，2)可作曲线y ＝f (x )的几条不同的切线？解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，又由f ′(0)＝b ，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)a ＝4时，f (x )＝13x 3－2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－4x ，点(0，2)不在f (x )的图象上，设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率k ＝x 20－4x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－0＝x 2－4x 0，y 0＝13x 30－2x 20＋1⇒23x 30－2x 20＋1＝0，上式有几个解，过(0，2)就能作出f (x )的几条切线．令g (x )＝23x 3－2x 2＋1，则g ′(x )＝2x 2－4x ＝2x (x －2)，g (x )，g ′(x )随x 变化的情况如下：↗↘↗g 极大值＝g (0)＝1>0，g 极小值＝g (2)＝－3<0，所以g (x )有三个零点，即过(0，2)可作出f (x )的3条不同的切线．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，所以a ＝4.(2)解：因为f ′(x )＝x －a x，f (x )的定义域为x >0，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝（x －a ）（x ＋a ）x，令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x >1时，g ′(x )＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0.所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.。

2019秋高中数学章末评估验收(二)(含解析)新人教A版选修1-1.doc

章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( )A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．4 3解析：方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，所以a 2＝3，b 2＝9.所以c 2＝a 2＋b 2＝12，所以c ＝23，所以2c ＝4 3. 答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0)D ．(1，0)解析：由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B.253或3 C. 5 D.5153或15 解析：由题意知m >0，当5>m 时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝ca＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当5<m 时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝ca＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选B.答案：B4．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段．答案：D5．双曲线x 2－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：依题意得，c 2＝a 2＋b 2＝1＋3＝4，所以双曲线的右焦点坐标是(2，0)，一条渐近线方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，因此焦点到渐近线的距离为23（3）2＋1＝3，故选B.答案：B6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8B ．16C ．32D ．64解析：抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.答案：B7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A.1－52 B.5－12 C.－1－52D.5＋12解析：依题意有(2b )2＝2a ·2c ，即4b 2＝4ac ，所以 b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，所以 a 2－c 2＝ac .两边同除以a 2，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca＝0.即有e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．答案：B8．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34B ．1C ．2D ．4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)，所以 m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又因为直线l 与圆M 相切，所以 c ＝1，所以 a 2－3＝1，所以 a ＝2. 答案：C9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D ．3解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43. 答案：A10．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)解析：设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. 所以 |PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |)＝ |MB |－|NB |＝4－2＝2.所以点P 的轨迹是以M (－3，0)，N (3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B 点)，且a ＝1，所以 c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x ＞1)．答案：A11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.答案：D12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，即e 2＝c 2a 2<12.因为0<e <1，所以0<e <22，即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝114．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．解析：设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，0)，准线为x ＝－1，|AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1.则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.答案：215.如右图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c ，0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以 e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．答案：6316．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，因为∠AMB ＝90°，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′(x 0，y 0)为AB 中点，所以M 为A ′B ′的中点，所以MM ′平行于x 轴，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1，1)，得AM →＝(－1－x 1，1－y 1)， BM →＝(－1－x 2，1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，所以1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2(1－2k 2＋4k 2＋1)－k (2k 2＋4k2－2)＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，求m 的取值范围．解：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，AB 的中点为M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在两点关于它对称．当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y＝－1m ，所以y ＝－m2，所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－m 2，因为M 在抛物线内，则有52>⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 22，得－10<m <10且m ≠0，综上所述，m 的取值范围为(－10，10)．18．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．解：设PF 1的中点为M ，连接F 2M .由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a . 在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝（2c ）2－（2a ）2＝2b ，故|PF 1|＝4b .根据双曲线的定义有4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b ax ，即4x ±3y ＝0.19．(本小题满分12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，联立得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2，1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→. 解：(1)因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，所以设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ，所以λ＝6，所以所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，所以双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)．因为点M 在双曲线上，所以32－m 2＝6，所以m 2＝3.所以MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.21．(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2，0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q (－74，14)共线，求k .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2（x 2－x 1）2＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3. 直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋2（x ＋2），x 2＋3y 2＝3，得[(x 1＋2)2＋3y 21]x 2＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2＝0. 设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝－12y 21（x 1＋2）2＋3y 21＝4x 21－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 21－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 14x 1＋7.所以y C ＝y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 14x 1＋7. 设D (x D ，y D )，同理得x D ＝－12－7x 24x 2＋7，y D ＝y 24x 2＋7.记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74－y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋74＝4(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0. 故y 1－y 2＝x 1－x 2. 所以直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.① 因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，则t >0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0<t ≤1，因为S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.。

2019年人教A版选修1-2高中数学章末综合测评4及答案

章末综合测评(四) 框图(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.【答案】 B2．在下面的图示中，是结构图的是( )A.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→得到一个明显成立的条件C.D.【解析】A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．【答案】 BA．图象变换B．奇偶性C．对称性D．解析式【解析】函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.【答案】 B4．阅读如图2所示的知识结构图：图2“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．【答案】 C5．(2015·湖南高考)执行如图3所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S ＝( )图3A.67 B.37 C.89D.49【解析】第一次循环：S ＝11×3，i ＝2；第二次循环：S ＝11×3＋13×5，i ＝3；第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋15×7，i ＝4，满足循环条件，结束循环．故输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＝37，故选B. 【答案】 B6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )【解析】由学校教职工组织结构易知选A.【答案】 A7．(2015·重庆高考)执行如图4所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )图4A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524【解析】由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.【答案】 C8．(2016·锦州高二检测)如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )【导学号：19220067】A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位【解析】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．【答案】 A9．(2014·湖南高考)执行如图6所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )图6A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4,5] D．[－3,6]【解析】由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．综上，输出S的值属于[－3,6]．【答案】 D10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )图7A ．设备安装B ．土建设计C ．厂房土建D ．工程设计【解析】结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．【答案】 A11．执行如图8所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝( )图8A.113B.49C.299D.43【解析】 x ＝9时，y ＝93＋2＝5，|y －x |＝|5－9|＝4＜1不成立；x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113－5＝43＜1不成立；x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝49＜1成立，输出y＝299. 【答案】 C12．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间内⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，那么输入实数x 的取值范围是( )【导学号：19220068】图9A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)【解析】若输出f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，则x ∈[－2，－1]．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．【解析】组织结构图一般采用“树”形结构．【答案】“树”14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．图10【解析】基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．【答案】指数函数、对数函数、幂函数15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________.【导学号：19220069】【解析】由题意可画出工序流程图如图所示：∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.【答案】 316．(2014·山东高考)执行如图11所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．图11【解析】由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2 000的最大整数的程序框图．【解】如图：18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．【解】该公司局域网设置的结构图如图所示．19．(本小题满分12分)写出《数学3(必修)》第2章“统计”的知识结构图．【解】20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：图12试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．【解】先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．【解】选举过程流程图为：22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．根据以上信息，绘制出其组织结构图．【解】该公司组织结构图如下：。

2019秋高中数学章末评估验收(三)(含解析)新人教A版选修1-1.doc

章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0. 答案：A2．曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3D ．x ＝2解析：因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y －(－3)＝0×(x －2)，即y ＝－3.答案：C3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1的单调递减区间是( ) A ．(1，2) B ．(－1，1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＜0，可得－1＜x ＜1. 答案：B4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由f (x )在x ＝－3时取得极值，即f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0，所以 a ＝5.答案：D5．若曲线y ＝1x在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 解析：y ′＝－1x 2，由－1x 2＝－4，得x 2＝14，从而x ＝±12，分别代入y ＝1x，得p 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.答案：B6．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：f ′(x )＝3ax 2＋12ax，所以f ′(1)＝3a ＋12a≥－12，即a ＋4a ≥－4，又a <0，有a ＋4a≤－4，所以a ＋4a＝－4，故a ＝－2.答案：B7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且Q 与P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：设毛利润为L (P )元，由题意知L (P )＝PQ －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150 P 2＋11 700 P －166 000，所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30或P ＝－130(舍去)．当20≤P ＜30时，L ′(P )＞0，L (P )为增函数；当P ＞30时，L ′(P )＞0，L (P )为减函数，故P ＝30为L (P )的极大值点，也是最大值点，此时L (30)＝23 000，即最大毛利润为23 000元．答案：D8．已知f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )解析：因为x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，所以f (x )为减函数；同理，f (x )在(－2，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．故A 图象符合．答案：A9．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：因为[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋g ′(x )·f (x )<0，所以函数y ＝f (x )g (x )是减函数．所以当a <x <b 时，f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )．故选C.答案：C10．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＋7a ＝0，对于此方程，Δ＝4a 2－84a ，当Δ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A11．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f ′(x )在x ＝1处的导数值为0，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案：D12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2. 因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，故当x >0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R)是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)上单调递增，且g (－1)＝g (1)＝0.当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <－1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若曲线y ＝x a＋1(a ∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________．解析：由题意，知y ′＝ax a －1，故在点(1，2)处的切线的斜率a ，又因为切线过坐标原点，所以a ＝2－01－0＝2.答案：2 14．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．解析：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．f ′(x )＝（x －1）－x （x －1）2＝－1（x －1）2，当x ≥2时，f ′(x )<0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.答案：215．当x ∈[－1，2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，所以当x ∈[－1，2]时，(f (x ))max ＝2，所以m ＞2. 答案：(2，＋∞)16．函数f (x )＝ax 3－3x 在区间(－1，1)上为单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，因为f (x )在(－1，1)上为单调减函数，所以f ′(x )≤0在(－1，1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1，1)上恒成立，所以a ≤1x2，因为x ∈(－1，1)，所以a ≤1.答案：a ≤1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R)，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值； (2)求g (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 从而g (x )＝f (x )－f ′(x ) ＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c ) ＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c . 因为g (x )是一个奇函数，且x ∈R ，所以g (0)＝0，得c ＝0. 由奇函数的定义，得b ＝3. (2)由(1)，知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6.令g ′(x )>0，得x >2或x <－2；令g ′(x )<0，得－2<x < 2.所以(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间，(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1，0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. (1)解：f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2，3)上为减函数？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解：f ′(x )＝e x－a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x－a ≥0，即f (x )在R 上递增，若a >0，则由e x －a ≥0，得e x≥a ，所以x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调增区间是[ln a ，＋∞]． (2)因为f ′(x )＝e x－a ≤0在(－2，3)上恒成立，所以a ≥e x在x ∈(－2，3)上恒成立．又因为－2<x <3，所以e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3，在x ∈(－2，3)上f ′(x )<0，即f (x )在(－2，3)上为减函数，所以a ≥e 3.故存在实数a ∈[e 3，＋∞)，使f (x )在(－2，3)上为减函数． 20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)讨论f (x )的极值．解：由已知，得f ′(x )＝6x 2－6(a －1)x ＝6x [x －(a －1)]．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2，由于f ′(x )≥0恒成立，且只有x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在R 上单调递增．当a >1时，f ′(x )＝6x [x －(a －1)]，f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：↗↘由上表可知，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(a －1，＋∞)，单调递减区间为(0，a －1)．(2)由(1)，知当a ＝1时，函数f (x )没有极值；当a >1时，函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在x ＝a －1处取得极小值f (a －1)＝1－(a －1)3.21．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，那么可获利200元；如果生产出一件次品，那么损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x ∈N *)．(1)求该厂的日盈利额T (单位：元)关于日产量x (单位：件)的函数； (2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)由题意，知次品率p ＝日产次品数/日产量．若每天生产x 件，则次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x4x ＋32，所以当每天生产x 件时，有⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)． (2)由(1)，知T ′＝－25·（x ＋32）（x －16）（x ＋8）2. 由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0<x <16时，T ′>0；当x >16时，T ′<0. 所以当x ＝16时，T 最大．故该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3－a ln x －13(a ∈R ，a ≠0)．(1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，都有f (x )≥0成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3ln x －13，f (1)＝0，所以f ′(x )＝x 2－3x，所以f ′(1)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝x 2－a x ＝x 3－ax(x >0)．①当a <0时，f ′(x )＝x 3－ax>0恒成立，函数f (x )的递增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗所以函数f (x )的递增区间为(3a ，＋∞)，递减区间为(0，3a )．(3)对任意的x ∈[1，＋∞)，使f (x )≥0成立，只需对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )min ≥0.①当a <0时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以只需f (1)≥0，而f (1)＝13－a ln 1－13＝0，所以a <0满足题意．②当0<a ≤1时，0<3a ≤1，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以只需f (1)≥0而f (1)＝13－a ln 1－13＝0，所以0<a ≤1满足题意；③当a >1时，3a >1，f (x )在[1，3a ]上是减函数，[3a ，＋∞)上是增函数，所以只需f (3a )≥0即可，而f (3a )<f (1)＝0，所以a >1不满足题意．综上，a ∈(－∞，0)∪(0，1]．。

2019秋高中数学章末评估验收(一)(含解析)新人教A版选修2_1

章末评估验收(一)(时间：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的)1．以下语句中是命题的是( ) A ．梯形是四边形 B ．作直线AB C ．x 是整数 D ．今天会下雪吗？答案：A2．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0〞的否认是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0 答案：C3．命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1 000，那么¬p 为( ) A ．∀n ∈N ，2n≤1 000 B ．∀n ∈N ，2n＞1 000 C ．∃n ∈N ，2n ≤1 000D ．∃n ∈N ，2n＜1 000解析：特称命题的否认为全称命题，即∀n ∈N ，2n ≤1 000. 答案：A4．命题①假设a ＞b ，那么1a ＜1b；②假设－2≤x ≤0，那么(x ＋2)(x －3)≤0.那么以下说法正确的选项是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为假设1a ＜1b，那么a ＞b ，假设a ＝－2，b ＝3，那么不成立，故A 错；②的逆命题为假设(x ＋2)(x －3)≤0，那么－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．答案：D5．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0〞是“a ∥b 〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A6．命题p ：假设实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，那么x ，y 互为相反数；命题q ：假设a ＞b ＞0，那么1a ＜1b.以下命题p ∧q ，p ∨q ，¬p ，¬q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：命题p ，q 都是真命题，那么p ∧q ，p ∨q 都是真命题，¬p ，¬q 是假命题．答案：B7．“a ＜0〞是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根〞的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a有实根，故a ＜0.答案：C8．以下说法正确的选项是( ) A ．a >b 是ac 2>bc 2的充要条件 B ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 C ．∃x 0∈R ，e x 0≤0D ．假设p ∧q 为假命题，那么p ∨q 为真命题解析：由a >b 推不出ac 2>bc 2，A 不正确；由a >1，b >1能推出ab >1，B 正确；e x 0>0(x 0∈R)恒成立，C 不正确；由p ，q 都为假命题可得p ∧q 为假命题，此时p ∨q 为假命题，D 不正确．答案：B9．命题p ：假设不等式x 2＋x ＋m ＞0恒成立，那么m ＞14；命题q ：在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，那么( )A ．p 假q 真B ．“p 且q 〞为真C ．“p 或q 〞为假D ．¬p 假¬q 真解析：易判断出命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以¬p 为假，¬q 为假．结合各选项知B 正确．答案：B10．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，“f (x )，g (x )均为偶函数〞，是“h (x )为偶函数〞的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：假设f (x )，g (x )均为偶函数，那么h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，所以h (x )为偶函数．假设h (x )为偶函数，那么f (x )，g (x )不一定均为偶函数．可举反例说明，如f (x )＝x ，g (x )＝x 2－x ＋2，那么h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋2为偶函数．答案：B11．以下判断正确的选项是( )A ．命题“负数的平方是正数〞不是全称命题B ．命题“∀x ∈N *，x 3>x 2〞的否认是“∃x 0∈N *，x 30<x 20〞C ．“a ＝1〞是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π〞的必要而不充分条件 D ．“b ＝0〞是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数〞的充要条件解析：选项A 是全称命题，不正确；选项B 应该是∃x 0∈N *，x 30≤x 20，不正确；对于选项C ，f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，周期T ＝2π2a ＝πa ，当a ＝1时，周期是π，当周期是π时，a ＝1，所以“a ＝1〞是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期是π〞的充要条件；选项D 正确．答案：D12．有以下命题：①“假设x ＋y ≥0，那么x ＞0且y ＞0〞的否命题；②“矩形的对角线相等〞的否命题；③“假设m ≥1，那么mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R 〞的逆命题；④“假设a ＋7是无理数，那么a 是无理数〞的逆否命题．其中正确的命题是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①的逆命题为“假设x ＞0且y ＞0，那么x ＋y ＞0〞，为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等〞，为假；③的逆命题为“假设mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，那么m ≥1〞，因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1，所以③是假命题；④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．假设“x ∈[2，5]或x ∈{x |x <1或x >4}〞是假命题，那么x 的取值范围是________．解析：由题意知，x ∉[2，5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题，即x ∈(－∞，2)∪(5，＋∞)且x ∈{x |1≤x ≤4}为真命题，可得x ∈[1，2)．答案：[1，2)14．假设|x －1|<a 的充分条件是|x －1|<b (其中a ，b >0)，那么a ，b 之间的关系是________．解析：由题意可知|x －1|<b 的解集包含于|x －1|<a 的解集，所以a ≥b .答案：a≥b15．命题“在△ABC中，如果∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2〞的逆否命题是________________．答案：在△ABC中，假设c2≠a2＋b2，那么∠C≠90°16．给出以下四个命题：①假设“p且q〞为假命题，那么p，q均为假命题；②命题“假设a＞b，那么2a＞2b－1〞的否命题为“假设a≤b，那么2a≤2b－1〞；③“任意x∈R，x2＋1≥0〞的否认是“存在x∈R，使得x2＋1＜0〞；④在△ABC中，“A＞B〞是“sin A＞sin B〞的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)解析：“p且q〞为假命题，那么p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否认可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A＞B〞是“sin A＞sin B〞的充要条件是正确的．答案：②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)(1)当c<0时，假设ac>bc，那么a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形，请写出“p或q〞“p且q〞“非p〞形式的复合命题．解：(1)逆命题：当c<0时，假设a<b，那么ac>bc，是真命题．否命题：当c<0时，假设ac≤bc，那么a≥b，是真命题．逆否命题：当c<0时，假设a≥b，那么ac≤bc，是真命题．(2)p或q：对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形．p且q：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形．非p：对角线互相垂直的四边形不是菱形．18．(本小题总分值12分)写出以下命题的否认，并判断其真假，同时说明理由．(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；(2)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.解：(1)¬q：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．(2)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥x＞0成立．(3)¬s：∀x∈R，3x－1≠0，假命题．这是由于x＝0时，3x－1＝0.19．(本小题总分值12分)给定两个命题，p ：对于任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1＞0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，可以得到0≤a ＜4.关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14.如果p 正确，q 不正确，有0≤a ＜4，且a ＞14，所以14＜a ＜4.如果q 正确，p 不正确，有a ＜0或a ≥4，且a ≤14，所以a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4. 20．(本小题总分值12分)p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，假设¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：¬p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2或x >10，令A ＝{x |x <－2或x >10}．¬q ：x 2－2x ＋1－m 2>0，解得x <1－m 或x >1＋m ，令B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m }．因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以B A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10且等号不能同时成立⇒m ≥9，所以m 的取值范围是[9，＋∞)．21．(本小题总分值12分)c ＞0，设命题p ：y ＝c x为减函数；命题q ：函数f (x )＝x ＋1x＞1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．假设p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进展分类讨论即可．假设p 真，由y ＝c x为减函数，得0＜c ＜1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2，假设q 真，那么1c ＜2，即c ＞12.假设p 真q 假，那么0＜c ＜1，c ≤12，所以0＜c ≤12；假设p 假q 真，那么c ≥1，c ＞12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 22．(本小题总分值12分)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立〞是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)＜0的解集为A ，假设“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m ＜0成立〞是真命题，得x 2－x －m ＜0在－1≤x ≤1时恒成立，所以m ＞(x 2－x )max ，得m ＞2，即B ＝{m |m ＞2}． (2)不等式(x －3a )(x －a －2)＜0，①当3a ＞2＋a ，即a ＞1时，解集A ＝{x |2＋a ＜x ＜3a }，假设x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，那么A B ，所以2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，假设x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，那么A B成立；③当3a ＜2＋a ，即a ＜1时，解集A ＝{x |3a ＜x ＜2＋a }，假设a ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，那么AB 成立，所以3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

2019秋高中数学单元评估验收(二)(含解析)新人教A版选修1_2

单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关“三段论”推理“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( )A ．推理正确B ．推理形式错误C ．大前提错误D ．小前提错误解析：三段论中大前提、小前提及推论形式均正确，所以结论正确．答案：A2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理答案：A4．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A.42x＋2B.2x ＋1C.1x ＋1D.22x ＋1解析：当x ＝1时，f (2)＝2f （1）f （1）＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f （2）f （2）＋2＝24＝23＋1，当x ＝3时，f (4)＝2f （3）f （3）＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2x ＋1.答案：B5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a ·b ＝b ·a ；②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ；④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确；②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b ⊥c )，故④错误．答案：B6．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 017的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：因为55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58末四位数字为0625，59末四位数字为3125，510末四位数字为5 625，511末四位数字为8125，512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，所以52 017＝54×503＋5，末四位数字为3125.答案：A7．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形解析：因为sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．答案：C8．设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立； ②函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数．若命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(－2，2)解析：若①为真，则Δ＝4a 2－16<0，即－2<a <2.若②为真，则5－2a >1，即a <2.当①真②假时，无解；当①假②真时，a ≤－2.答案：A9．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：利用类比推理，可知A 项正确．答案：A10．下列不等式中一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1. 答案：C11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cosx ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x解析：根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cosx .答案：C12．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每条边有2个点，第3层每条边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6（n －1）2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．答案：菱形的对角线互相垂直且平分14．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有______________．解析：观察f (n )中n 的规律为2k(k ＝1，2，…)，不等式右侧分别为2＋k 2，k ＝1，2，…，所以f (2n)>2＋n 2(n ≥2)．答案：f (2n)>2＋n 2(n ≥2)15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，分别回答如下：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．解析：易知三人同去的城市为A .又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B 城，所以甲去过A 城，C 城，乙只去过A 城．答案：A16．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．解析：CE 平分∠ACB ，而平面CDE 平分二面角A CD B . 所以AC BC 可类比成S △ACDS △BCD，故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD.答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)证明：对于任意实数x ，y ，都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.证明：要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2，即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可．又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0显然成立，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立，只需再证x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3即可．而x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)，因为x －y 与x 3－y 3同号，所以(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立，所以对于任意实数x ，y ，都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：连接AB ，假设AC ⊥平面SOB .因为直线SO 在平面SOB 内，所以AC ⊥SO . 因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB ，所以SO ⊥平面SAB ，所以平面SAB ∥底面圆O . 这显然出现矛盾，故假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝bx ＋1（x ＋1）2(x ≠－1)，且f (1)＝log 162.(1)求函数f (x )的表达式．(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 3，x 4的值．解：(1)由题设，得f (1)＝log 162＝14，又f (1)＝b ＋14，所以b ＋14＝14，则b ＝0. 从而f (x )＝1（x ＋1）2(x ≠－1)．(2)由(1)知，f (1)＝14，f (2)＝19，f (3)＝116，f (4)＝125.所以x 3＝(1－f (1))(1－f (2))(1－f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58.x 4＝58×(1－f (4))＝58×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝35.20．(本题满分12分)已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3.求证：a b ＝a ＋ba ＋b ＋c.证明：要证a b ＝a ＋ba ＋b ＋c，只需证a 2＋ab ＋ac ＝ab ＋b 2，即证a (a ＋c )＝b 2.由正弦定理，只需证sin A (sin A ＋sin C )＝sin 2B . 因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，所以sin A (sin A ＋sin C )＝sin π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＋sin π2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝34.又sin 2B ＝sin2π3＝34，所以sin A (sin A ＋sin C )＝sin 2B 成立．所以a b ＝a ＋ba ＋b ＋c成立．21．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d .由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立． (2)假设af (b )＝ab ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12，由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，于是a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.。

2019_2022学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修1_2

模块综合检测(时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设z ＝10i3＋i ，那么z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i解析：选D.由z ＝10i 3＋i ＝10i 〔3－i 〕〔3＋i 〕〔3－i 〕＝1＋3i ，得z －＝1－3i.2．实数的构造图如下图，其中1，2，3三个方格中的内容分别为( )A ．有理数、零、整数B ．有理数、整数、零C ．零、有理数、整数D ．整数、有理数、零解析：选B.由实数的包含关系知B 正确．3．观察按以下顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜测第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：选B.等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，应选B.4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈〞，其中“大前提〞和“小前提〞分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A.解此题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题〞(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件〞(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论〞(③雅安人一定坚强不屈)．应选A.5．复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i.假设z 1z 2为实数，那么实数m 的值为( )A.83B.32 C ．－83D ．－32解析：选D.z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝〔m ＋2i 〕〔3＋4i 〕〔3－4i 〕〔3＋4i 〕＝〔3m －8〕＋〔6＋4m 〕i 32＋42.因为z 1z 2为实数，所以6＋4m ＝0，所以m ＝－32.6．执行如下图的程序框图，那么输出的S 值是( )A ．4 B.32 C.23D ．－1解析：选D.根据程序框图的要求一步一步地计算判断．根据程序框图，程序执行的步骤为S ＝4，i ＝1＜6；S ＝－1，i ＝2＜6；S ＝23，i ＝3＜6；S ＝32，i ＝4＜6；S ＝4，i ＝5＜6；S ＝－1，i ＝6＜6不成立，输出S ＝－1.7．假设关于x 的一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，那么p ＋q 的值是( )A ．－1B ．0C ．2D ．－2解析：选B.把1＋i 代入方程得(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0，即2i ＋p ＋p i ＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0，因为p ，q 为实数，所以p ＋q ＝0.8．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵轴上的截距是a ，那么必有( )A ．b 与r 的符号一样B ．a 与r 的符号一样C ．b 与r 的符号相反D ．a 与r 的符号相反解析：选A.当b >0时，两变量正相关，此时r >0；当b <0时，两变量负相关，此时r <0，所以选A.9．面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为h 1，h 2，h 3，h 4，假设a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，那么h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，假设S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，那么H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.4V kB.3VkC.2V kD.V k解析：选B.根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得：13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k.10．对于两个复数α＝－12＋32i ，β＝－12－32i ，有以下四个结论：①αβ＝1；②αβ＝1；③|α||β|＝1；④α3＋β3＝1，其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.αβ＝14＋34＝1.αβ＝－12－32i.|α||β|＝1.α3＋β3＝1＋1＝2，所以①③正确．11．假设p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，那么p ，q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B.q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .12．函数f (x )在[－1，1]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，那么以下不等式正确的选项是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)解析：选A.α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π.所以π2>β>π2－α>0.所以0<cos β<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α<1，1>sin β>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α>0.又因为f (x )在[－1，1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．二、填空题：此题共4小题，每题5分．13．a ∈R ，i 为虚数单位，假设a －i2＋i为实数，那么a 的值为________．解析：a －i 2＋i ＝〔a －i 〕〔2－i 〕〔2＋i 〕〔2－i 〕＝〔2a －1〕－〔a ＋2〕i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，那么a ＋25＝0，a ＝－2. 答案：－214．某考察团对中国10个城市进展职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^x ，假设A ，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________(准确到1%)．解析：因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^x ，A 城市居民人均消费水平为y ，所以可以估计该城市的职工人均工资水平xx ，所以x ，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为错误!×100%≈83%.答案：83%15．蜜蜂被认为是自然界中最出色的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，那么用n 表示的f (n )＝________．解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)．所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋116．集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且以下三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，那么100a ＋10b ＋c 等于________．解析：因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：假设①正确，那么②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b ＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾；假设②正确，那么①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；假设③正确，那么①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧c ≠0，a ＝2，b ≠2，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c＝201.答案：201三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ，因为a ，b 都是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4〔a ＋2〕，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题总分值12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码． (2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否那么重修．试画出该远程教育学院网上学习流程图．解：某大学远程教育学院网上学习流程图如下：19．(本小题总分值12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进展了一次调查，并用如下图的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：分类主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 50岁以上总计(2)出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：分类主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 4 8 12 50岁以上16218(2)因为K 2的观测值k ＝12×18×20×10，其亲属的饮食习惯与年龄有关．20．(本小题总分值12分)在锐角三角形ABC 中，3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是正三角形．证明：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由正弦定理及条件可得3sin B ＝23sin A sin B . 因为sin B ≠0，所以sin A ＝32，所以A ＝π3. 又cos B ＝cos C 且B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝C .又B ＋C ＝2π3，所以B ＝C ＝π3.所以△ABC 是正三角形．21．(本小题总分值12分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，a 1＝23，且－3a 2，1a 3，1a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ·log 3(1－S n ＋1)＝1，求适合方程b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝2551的正整数n 的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由－3a 2，1a 3，1a 4成等差数列，得－3＋1q2＝2q，解得q ＝13或q ＝－1(舍)，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)因为S n ＋1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋11－13＝1－13n ＋1，得log 3(1－S n ＋1)＝log 313n ＋1＝－n －1，所以b n ＝－1n ＋1， b n b n ＋1＝1〔n ＋1〕〔n ＋2〕＝1n ＋1－1n ＋2，b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，由题意得12－1n ＋2＝2551，解得n ＝100.22．(本小题总分值12分)某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进展了一次调研，得到了票价x (单位：元)与渴望观影人数y (单位：万人)的结果如下表：x 30 40 50 60 y43(1)假设y 与x 具有较强的相关关系，试分析y 与x 之间是正相关还是负相关； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．(3)根据(2)中的线性回归方程，假设票价为x元，x＋6.65)万人，可预测票房收入为z＝xxx2x，易得，当x，z取得最大值，，能获得最大票房收入．。

2019秋高中数学单元评估验收(一)(含解析)新人教A版选修1_2

单元评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B ．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D ．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的解析：相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用，独立性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义，故选C.答案：C2．对于回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法中不正确的是( ) A ．直线必经过点(x －，y －)B ．x 增加1个单位时，y 平均增加b ^个单位 C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^D ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^解析：回归直线方程是根据样本数据得到的一个近似曲线，故由它得到的值也是一个近似值．答案：D3．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K 2的观测值k ＝6.023，根据这一数据查阅表，市政府关于“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过( )C ．0.025D ．0.005解析：因为K 2的观测值k ＝6.023>5.024，对应犯错误概率的临界值为0.025，所以这一断言犯错误的概率不超过0.025.答案：C4．在一线性回归模型中，计算其相关指数R 2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( ) A ．该线性回归方程的拟合效果较好B ．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C ．随机误差对预报变量的影响约占4%D ．有96%的样本点在回归直线上解析：由相关指数R 2表示的意义可知A 、B 、C 三种说法都很妥当，相关指数R 2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上．答案：D5．下列是x 与y 之间的一组数据则y 关于x 的回归方程y ^＝b x ＋a ，对应的直线必过点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C ．(2，2)D ．(1，2)解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4为样本点的中心，故一定在回归直线上．答案：A6．已知线性回归方程y ^＝2x ＋a ^相应于点(3，6.5)的残差为－0.1，则a ^的值为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．－0.5D ．－0.6解析：因为相应于点(3，6.5)的残差为－0.1，所以6.5＝6＋a ^－0.1，解得a ^＝0.6. 答案：B7．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K 2的观测值k ＝6.023，根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过( )C ．0.025D ．0.005解析：因为K 2的观测值k ＝6.023>5.024，对应犯错误概率的临界值为0.025，所以这一断言犯错误的概率不超过0.025.答案：C8．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的解析：计算3293与101314可知相差很小，故选B.答案：B9．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关；②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为0.001%；④没有证据显示患肝病与嗜酒有关．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由列联表可求K 2的观测值k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝9 965（7 775×49－2 099×42）29 874×91×7 817×2 148≈56.632由56.632>10.828>6.635.且P (K 2≥10.828)＝0.001，P (K 2≥6.635)＝0.010. ∴①，②均正确．答案：B10．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y －＝49＋26＋39＋544＝42，因为a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，所以当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5. 答案：B11．两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：列2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝66×[10（35－c ）－21c ]231×35×（10＋c ）（56－c ）≥5.024. 把选项A ，B ，C ，D 代入验证可知c ＝3. 答案：A12.以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点； ③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线，所以①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69，所以③正确；④正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知下表所示数据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝________．解析：由题意，得x －＝4，y －＝5(1 028＋a )，代入y ^＝4x ＋242，可得15(1 028＋a )＝4×4＋242，解得a ＝262.答案：26214．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.解析：由表格知x －＝30，得y －＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a . 则a ＋62＋75＋81＋89＝75×5 ∴a ＝68. 答案：6815．若两个分类变量x 与y 的2×2列联表为：则“X 与Y ．解析：由列联表数据，可求得随机变量K 2的观测值k ＝81×（10×16－40×15）225×56×50×31≈7.227＞6.635.因为P (K 2≥6.635)≈0.01，所以“x 与y 之间有关系”出错的概率为0.01. 答案：0.0116．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x ＋1的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________．解析：由y ＝3e2x ＋1，得ln y ＝ln(3e2x ＋1)，即ln y ＝ln 3＋2x ＋1.令u ＝ln y ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2x . 答案：u ＝1＋ln 3＋2x (其中u ＝ln y )三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某电视台联合报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：根据表中数据，别有关系？[P (K 2≥10.828)≈0.001]解：假设对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别无关，由列联表中的数据，可以得到，K2的观测值k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝1 000×（198×109－217×476）2415×585×674×326≈125.161＞10.828，又P (K 2≥10.828)≈0.001，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关．18．(本小题满分12分)已知某书店共有韩寒的图书6种，其中价格为25元的有2种，18元的有3种，16元的有1种．书店若把这6种韩寒的图书打包出售，据统计每套的售价与每天的销售数量如下表所示：(1)根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程y ＝－3.46x ＋a ，求a ； (2)若售价为100元，则每天销售的套数约为多少(结果保留到整数)? 解：(1)由题目中的数据可得， x －＝105＋108＋110＋1124＝108.75，y －＝40＋30＋25＋154＝27.5，则a ^＝27.5－(－3.46)×108.75＝403.775. (2)由(1)知y ^＝－3.46x ＋403.775，当x ＝100时，y ^＝－3.46×100＋403.775≈58，故售价为100元时，每天大约可以销售58套图书．19．(本小题满分12分)有两个分类变量X 和Y 的取值分别为{x 1，x 2}，{y 1，y 2}，其2×2列联表为：其中a ，15－a 均为大于0.1的前提下认为X 与Y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X 与Y 之间有关系，则k >2.706，而K 2的观测值为k ＝65×[a ×（30＋a ）－（20－a ）×（15－a ）]220×45×15×50，由k >2.706，得a >7.19或a <2.04. 又a >5且15－a >5，a ∈Z ，即a ＝8或a ＝9.故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X 与Y 之间有关系． 20．(本小题满分12分)以下资料是一位销售经理收集到的每年销售额y (千元)和销售经验x (年)的关系：(1)依据这些数据画出散点图并作直线y ^＝78＋4.2x ，计算(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算;(3)比较(1) (2)中的残差平方和的大小.解：(1)散点图与直线y ^=78+4.2x 的图形如图，,对x ＝1，3，…，13，有y ^i ＝82.2，90.6，94.8，94.8，103.2，111.6，120，120，124.2，132.6，(y i －y^i)2＝179.28.(2)x －＝110＝142，∴b ^＝568142＝4，a ^＝y －－b ^x －＝108－7×4＝80，故y ^＝80＋4x ，对x ＝1，3，…，13，有 y ^＝84，92，96，96，104，112，120，120，124，132，错误!(y i －错误!i )2较小．21．(本小题满分12分)有甲、乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表．(2)根据列联表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”．(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：解：(1)完成列联表如下表所示．(2)得到k ＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109.因为6.109>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )．所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36个．事件A 包含的基本事件有：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，共8个．所以P (A )＝836＝29.22．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝ 116∑i ＝116 （x i －x －）2＝ 116（∑i ＝116x 2i －16x －2）≈0.212,＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1，2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1，2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝1n （x i －x －）（y i －y －）∑i ＝1n（x i －x －）2∑i ＝1n （y i －y －）2，0.008≈0.09.解：(1)因为1，2，3，…，16的平均数为8.5，所以样本(x i ，i )(i ＝1，2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116（x i －x －）（i －8.5）∑i ＝116 （x i －x －）2∑i ＝116 （i －8.5）2＝－2.784×0.212×18.439≈－0.178，所以|r |＝0.178＜0.25，所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①x －－3s ＝9.97－3×0.212＝9.334，x －＋3s ＝9.97＋3×0.212＝10.606，第13个零件的尺寸为9.22，9.22＜9.334，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查．②剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为16x －－9.2215＝16×9.97－9.2215＝10.02，标准差s ＝115[∑i ＝116 （x i －10.02）2－（9.22－10.02）2]＝0.008≈0.09.。

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章末评估验收卷(四)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )
A．程序框图B．工序流程图
C．知识结构图D．组织结构图
解析：设计生产过程，应用工序流程图．
答案：B
2．在下面的图中，是结构图的是( )
A.起床→洗漱→吃早饭→上学
B.
C.
D.
解析：采用排除法，A是流程图，C是条形图，D是Venn图，故选B.
答案：B
3．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①，②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法
解析：根据分析法、综合法、反证法的特点知A正确．
答案：A
4．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．设备安装B．土建设计
C．厂房土建D．工程设计
解析：由工序流程图知，设备采购的下一道工序是设备安装．
答案：A
5．如图所示是一结构图，在处应填入( )
A．图象变换B．对称性
C．奇偶性D．解析式
解析：根据函数的性质，应填入奇偶性．
答案：C
6．(2017·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．2 B.3 2
35
解析：当输入k ＝0，s ＝1时，k ＜3成立．因此
k ＝1，s ＝1＋1
1＝2，k ＜3成立．因此k
＝2，s ＝2＋12＝32，k ＜3成立．因此k ＝3，s ＝32＋132
＝53，k ＜3不成立，输出S ＝5
3
.
答案：C
7．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中最可取的是( )
解析：到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．
答案：D
8．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )
46C.1112
D.2524
解析：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝3
4，满足
条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，此时输出s ＝25
24
.
答案：D
9．某市质量监督局计量认证审查流程图如图所示，从图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有( )
A ．1处
B ．2处
C ．3处
D ．4处
解析：从题干图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有：(1)审查资料及受理不合格；(2)文审不合格；(3)评审材料审查不合格．共3处．
答案：C
10．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：“求简单函数的导数”的“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
答案：C
11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：本小题考查程序框图等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，难度较小．由
a ＝1，i ＝0→i ＝0＋1＝1，a ＝1×1＋1＝2→i ＝1＋1＝2，a ＝2×2＋1＝5→i ＝2＋1＝3，a ＝
3×5＋1＝16→i ＝3＋1＝4，a ＝4×16＋1＝65>50，所以输出i ＝4.
答案：B
12．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )
A ．4
B.3
2
C.23
D ．－1
解析：初始：S ＝4，i ＝1，
第一次循环：1<6，S ＝2
2－4
＝－1，i ＝2；
第二次循环：2<6，S ＝22＋1＝2
3，i ＝3；
第三次循环：3<6，S ＝22－23＝3
2，i ＝4；
第四次循环：4<6，S ＝2
2－
32＝4，i ＝5；
第五次循环：5<6，S ＝2
2－4
＝－1，i ＝6.
6<6不成立，此时跳出循环，输出S 值，S 值为－1. 答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把题13图所示的结构图补充完整：①为______，②为________，③________．
解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一个种类包括的动物，填上①③.
答案：地龟哺乳动物长尾雀
14．已知等式□3×6 528＝3□×8 256中“□”表示的是同一个一位数字．程序框图(如题14图所示)表示的就是求等式中“□”表示的数字的算法，请将如图所示的程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．
解析：①处应填“y＝x？”，因为y＝x成立时，则输出i，否则指向②，并转入循环，因此②应具有计数功能，故应填“i＝i＋1”．
答案：y＝x？i＝i＋1
15．小明晚上放学回家要做如下事情：复习功课用30分钟，休息用30分钟，烧水用15分钟，做作业用25分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．解析：休息时可以烧水，故最少时间为30＋30＋25＝85(分钟)．
答案：85
16．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
解析：输入x＝1，x<2成立，执行x＝2；
当x＝2时，x<2不成立，执行y＝3x2＋1＝3×22＋1＝13；输出y＝13.
答案：13
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解：流程图如图所示：
18．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．
解：知识结构图如图所示：
19．(本小题满分12分)银行办理房屋抵押贷款手续如下：先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户，然后有三种选择：(1)若直接办理抵押贷款，则只进行抵押登记，然后发放贷款；(2)若采用全程担保方式，则直接发放贷款；(3)若采用阶段性担保方式，则先发放贷款，然后再办理抵押登记．试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图．解：
20．(本小题满分12分)某地行政服务中心办公分布结构如下．
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心这三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层．
(2)二楼：公安局、民政局、财政局．
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局．
(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局．
(5)五楼；其余部门办理窗口．
试绘制该中心结构图．
解：该行政中心办公分布结构图如图所示：
21．(本小题满分12分)甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下面的程序框图所示，求甲胜的概率．
解：根据程序框图可知，甲、乙两人玩游戏的规则是：从装有3个红球和1个白球的袋中任意取出1个球后不放回，再任意取出1个球，若取出的两球不同色，则甲胜，否则乙胜．
记A 1，A 2，A 3表示3个红球，B 表示1个白球，则取出一个球不放回，再取出一个球有12个基本事件：A 1A 2，A 1A 3，A 1B ，A 2A 1，A 2A 3，A 2B ，A 3A 1，A 3A 2，A 3B ，BA 1，BA 2，BA 3.
其中甲胜包含6个基本事件：A 1B ，A 2B ，A 3B ，BA 1，BA 2，BA 3. 故甲胜的概率P ＝612＝1
2
.
22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图如图所示，若k ＝5，
k ＝10时，分别有S ＝5
11和S ＝1021
，试求数列{a n }的通项公式．
解：由程序框图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d .
S i ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1
a i a i ＋1
＝
1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a i －1a i ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a 1－1a i ＋1.
当k ＝5时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 61d ＝5
a 1a 6＝511.
所以a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11；①
当k ＝10时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 111d ＝
10a 1a 11＝1021
，
所以a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②联立，得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.。