探究一类直线与双曲线交点构造的三角形面积问题
类比猜想,实验证明,变式探究——探讨与圆锥曲线有关的一类三角形面积的最值问题
时， Ｏ Ｂ的面积取得最大值言 Ａ Ａ ０；
１
（ 若０ ｎ ≤去 当Ｐ 段Ａ ２ ＜ｍ ＋ ｎ， 为线 Ｂ ）
的中点时， △０Ａ Ｂ的面积取得最大值
ｃ詈 一０ ＝５ ＜ ＜１ ｏ ＝ 百７ 一此丁 ＆ ， —， １ 时 ｃ ２ ０ ， ｏ １ ｕ ｓ ， ７ ＂
，
．
通过平移变换， 问题等 价于“ 原 已知 圆 Ｏ ：
Ｘ ＋ Ｙ 。＝ ２ ， ５
ｚ
ａ
过点Ｐ（ ３ ３作直线交 圆（于 、 一 ，） ＝ ）
ｓ ｉ ｎ／ＡＯＢ．下面
（） １当０＜Ｏ＜ 时， ∈［，） ｉ Ａ ｌ 丌，ｎ／ ＯＢ ｓ
二
１
Ｂ两点， △ＯＡ 求 Ｂ面积的最大值．
ｓ ／ ＯＢ的最大值． ｉ Ａ ｎ
设 ＯＰ交 圆 ０于 ， Ｐ为 弦 ＡＢ的 中点 时 ， 当
１ 问题的解答与推广 ．
１１问题 的解 答 ．
Ｏ 上 Ｂ， ０Ｂ最小． Ｐ 设 Ａ 的最小值为 ０
／ －？ ≤ ＬＡＯＢ ＜ 丌， Ｏ Ｌ： ￣ ｍ ｚ ４ ２ｚ Ｃ ＳＯ
－
—
—
递 减， 以 ｓ ＡＯＢ ≤ ｓ ， Ａ Ａ 所 ｉ ｎ／ ｉ Ｓ Ｏ Ｂ的最 大值 ｎ
为 ａｉ ＝２ 百。 ２ｎ 口ｉｚｓ Ｏ 罢 ｓ ｓ ｎｃ
＝
Ｂ
、ｍ０ ０ ／２ ｍ ２， ／ ＋礼 ｖａ 一（ ＋礼 ）
此 时 Ｊ为弦 ＡＢ的 中点． Ｆ ）
一
于是有 结论 １ 设 Ａ Ｂ是过 圆０ ： 。 ： ａ 内 Ｘ ＋Ｙ
。 ≤
．
，
： ＼ 口 ＿
＿
Ｐ（ ｎ 为弦 Ａ ｍ， ） Ｂ的 中点
直线与双曲线的相交弦问题
v1.0 可编辑可修改直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
双曲线中的面积问题
双曲线中的面积问题湖北省黄石市下陆中学宋毓彬学习反比例函数时，我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。
要解决好这些问题，应注意以下几个方面的基础知识：设反比例函数式为y=。
⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。
（如图1，以第一象限的图象为例）由四边形PMON为矩形。
设P点坐标为（m，n），P在y=图象上，则有mn=k。
∵OM=，ON==OM·ON=·==∴S⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。
（如图2，仍以第一象限的图象为例）=S△PON=S四边形OMPN=。
由图象可知，S⑶理解点的坐标的几何意义：点P的坐标为（m，n），则表示P到y轴的距离；表示P到x轴的距离。
⑷用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O对称，因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。
⑸会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。
如点P在双曲线y=的图象上，设P点的横坐标为m，则P点的坐标可表示为（m，）⑹会用割补法求面积。
尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）。
一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx（k＞0）与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B。
则△ABC的面积为（）。
A。
1 B。
2 C。
3 D。
4解：由A在双曲线y=上，AB⊥x轴于B。
∴S△ABO=×1=又由A、B关于O对称，S△CBO= S△ABO=∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1 故选（A）二、正确理解点的坐标的几何意义例2如图，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则S△AOB= 。
解：由y=－x+2交x轴于点M，交y轴于点NM点坐标为（2，0），N点坐标为（0，2）∴OM=2，ON=2由解得或∴A点坐标为（－2，4），B点坐标为（4，－2）S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM=ON·+OM·ON+OM·=6（或S △AOB=S△AOM+S△BOM=OM·+OM·=6）三、注意分类讨论例3如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上。
双曲线中的面积问题
双曲线中的面积问题湖北省黄石市下陆中学宋毓彬学习反比例函数时，我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。
要解决好这些问题，应注意以下几个方面的基础知识：设反比例函数式为y=。
⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。
（如图1，以第一象限的图象为例）由四边形PMON为矩形。
设P点坐标为（m，n），P在y=图象上，则有mn=k。
∵OM=，ON=∴S四边形OMPN=OM·ON=·==⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。
（如图2，仍以第一象限的图象为例）由图象可知，S△POM=S△PON= S四边形OMPN=。
⑶理解点的坐标的几何意义：点P的坐标为（m，n），则表示P到y轴的距离；表示P到x轴的距离。
⑷用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O对称，因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。
⑸会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。
如点P在双曲线y=的图象上，设P点的横坐标为m，则P点的坐标可表示为（m，）⑹会用割补法求面积。
尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）。
一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx（k＞0）与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B。
则△ABC的面积为（）。
A。
1 B。
2 C。
3 D。
4解：由A在双曲线y=上，AB⊥x轴于B。
∴S△ABO=×1=又由A、B关于O对称，S△CBO= S△ABO=∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1 故选（A）二、正确理解点的坐标的几何意义例2如图，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则S△AOB= 。
解：由y=－x+2交x轴于点M，交y轴于点NM点坐标为（2，0），N点坐标为（0，2）∴OM=2，ON=2由解得或∴A点坐标为（－2，4），B点坐标为（4，－2）S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM=ON·+OM·ON+OM·=6（或S△AOB=S△AOM+S△BOM=OM·+OM·=6）三、注意分类讨论例3如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质
２
槡
２ ２ ２ ｂ ＋ ｃ ｔ ａ ｎ θ ＝ ． ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒ ｃ ｓ ａ， ｒ ｃ ｓ ａ， ｅ ｃ ｅ ｃ θ＋ θ－ １＝ ２＝ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ） 则ｒ ｒ ｃ（ ａ＝ ｂ＋ ｃ ｔ １＋ － ｔ ａ ｎθ ａ ｎ θ， １ ２＝ ｒｒ 所以 Ｒ＝ １ ２ ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ｂ ｔ ａ ｎ θ） 由三角形内心坐标公式知Ｉ（ ａ， ． １＋ｓ ｅ ｃ θ
ｓ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ α α 故ｔ ＝ ａ ｎ α＝ ２ ｃ ｏ ｓ α 槡 １－ｓ ｉ ｎ α ＝
ｃ ｓ ｃ ｉ ｎ θ ＝ ｓ ｉ ｎ θ． ２ ２ ２ ２ ｂ ｂｃ ａｓ ｃｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ－ ｉ ｎθ θ＋ 槡
２ ２
ｒ １＋ ｅ 由 ① 知ｔ ａ ｎ α＝ ｂ １－ ｅ
槡
④
槡 （
ｂ－ ｃｓ ｉ ｎθ ＝ ２ ｂ ｓ ｉ ｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２ ８ １＋ ｅ ｅ时取等 当ｒ ＝ １－ Ｒ Ｓ≤ ｒ． ． ｅ ｂ １＋ ｅ 性质 １ 证毕 ．
数学通报 ２ ０ １ ７年 第５ ６卷 第４期 ｔ ａ ｎ θ 得ｒ＝ ｂ １＋ｓ ｅ ｃ θ （ ｒ Ｒ １＋ｓ ｅ ｃ ｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ） １ ２ ＝２ 由 ⑥ 两边平方整理得 ２ ２ ２ ２ （ ２＋２ ＝ ｒ ｂ ｔ ｓ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂ ｃ－ ａ ｓ ｓ ｃ） ｅ ｃ ｅ ｃ θ（ ａ θ＋ ， ｘ－ ａ ｎ θ＝ ｙ－ ｔ ２ ｔ ２ ｂ ａ ｎ θ
２ ２ ２ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ） ， 故令 ｘ＝０ 知 Ｗ （ ０， ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ２ ２ ２ ２ ） （ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ２ 得 Ｒ ＝ ＷＦ２ ＝ ｃ ＋ ２ ２ ４ ｂｔ ａ ｎθ
【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定细解析几何观念,提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系.多媒体x≤-a或x≥a y∈R例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（ 精确到1m ）解:设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为2221900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故22245251900b-=,所以2500b =,故双曲线方程为221900500x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:165x =的距离的比是54,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知45=MF d,22(5)41655x y x -+=-, 即222(5)161625()5x y x -+=-.整理得:221169x y -=.请你将例5与椭圆一节中的例最窄处即双曲线两顶点间221x y -=引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断,让学生自主探究直线与双曲线的位置关系,凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
双曲线专题讲练
双曲线专题主讲练1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PFPF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线（2）双曲线的第二定义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2 ＝1(mn <0)(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2 ＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0). (4)与双曲线12222=-by ax 共轭的双曲线为22221y x ba-=(5)等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为xy±= ，离心率为2=e .；类型一：双曲线的定义和方程(一)注意定义中“陷阱”：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支． (二)注意焦点的位置1． 已知A(0，－5),B(0,5),|PA|－|PB|=2a ，当a ＝3和5时，P 点的轨迹为( ) A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C ．双曲线一支和一条直线D ．双曲线一支和一条射线 D2、已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为解析：12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x yx3．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．解析：根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)．4、双曲线4x 2－y 2＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于17，则点P 到另一焦点的 距离等于_____________。
求三角形周长(面积)范围类问题解法探究
求三角形周长(面积)范围类问题解法探究楚雄第一中学赵泽民解三角形是高考的常考题型，主要出现在高考试卷 的解答题中，以解答题第17题的位置较为常见，偶尔也会 出现在选择题和填空题中.其考法主要围绕着正、余弦定 理，结合三角恒等变换，重点考査正、余弦定理的边角互 化及三角恒等变换公式的灵活应用，往往要求考生计算 边长、周长和面积的大小或范围.这类试题以中档题为主， 是考生志在必得却又容易卡壳的题目之一.本文主要以三 角形周长范围的求解为例，探讨此类题的解法，总结解题 规律，帮助考生摆脱“会而不对，对而不全”的苦恼.解决这类问题的方法主要有两种:一是利用“正弦定 理结合三角函数的值域”来求得最终范围；二是利用“余 弦定理结合基本不等式”来构造不等式使问题得到很好 的解决.在遇到此类问题时，学生往往偏向于计算量相对 较少的“余弦定理结合基本不等式”的解题思路来解决问题，但随着解题的深人，往往会遇到诸如范围被放大或缩 小的困境;另外一部分学生会考虑用“正弦定理结合三角 函数值域”的求解策略，但随着解决问题的深人往往会受 正弦定理转化的影响使问题变得“无从下手”，最终使自 己的心态从“满满的期待”转变为“满心的无奈与紧张那 么，当我们遇到这样的问题时，应该采取什么样的解题策 略呢？原题呈现：在锐角A /1SC 中，角的对边分别为 a ,6 ,c ,已知6=3，sin /l +asinfi =2(1) 求角4的大小;(2) 求周长的取值范围.对于A 4S C 周长的取值范围问题，我们驾轻就熟的往 往是“已知三角形的一个内角和其对边求周长的大小或 周长的最值”这一类问题.而本题的第(2)问却巧妙地避开① 当a 矣1时，由1矣*矣3得g U )矣0，/，U )«0，.../U ) 在[1,3]上单调递减，此时/(x K 1 )=-a -l =-2,解得a =l ;② 当时，由 1以《3得g U )>0，/，(*)>0, .•./0«:)在[1,3]上单调递增，此时/U )_=/(3)=U -l )ln 3-f -3=-2,解得a =」^±L <3,舍去；ln 3-—3③ 当l <a <3时，由 l <Cc <a 得g (;c )>0，/彳*)>0,由a <x <3得 g U )<0,/' U )<0,此时/U )在[1, a ]上单调递增，在[a , 3]上单 调递减，从而〇 )=( a_ 1) l na_ 1 _a =_2,解得a =e .综上所述，a =l 或a =e .【点拨】在例4中,/'U )的函数值符号由函数g U )z -U +D U -a )的函数值符号决定，/'U )的零点即的 零点为-1和a ,其中a 与定义域[1,3]的关系不确定,应分为 三类，即①a 矣1,②a >3,③l <a <3.总之，在解函数导数综合题的过程中，当导函数含函数g U )=ax +6,且导函数的符号由)函数值符号决定，要根据一次项系数的符号进行分类.当导函数含函数g U )z a ^+h +c ,且导函数的符号由g U )函数值符号决定，要把 握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论:首先，根 据二次项系数的符号进行分类;其次，根据方程g U )=0的 判别式A 的符号进行分类;最后，在根存在时，根据根的 大小进行分类.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 65了平时复习中“练熟练透”的解题方法，把已知条件由常 规的“已知三角形的一个内角和其对边”变为“已知三角 形的一边和与这条边不相对的角”，还加上了一条限制一“A/l f i C为锐角三角形”,最终要求考生求“周长的 取值范围”，成功地把一道毫无新意的“陈题”装满了“新 酒解决该题的第(2)问时无论考生选择“余弦定理结合 基本不等式”，还是选择“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略都会不同程度受挫，造成一定的心理负担.一、一波三折，尝试解答在解决第(2)问时，如果采用“余弦定理结合基本不 等式”的解题策略，能顺利地解决问题吗？我们又会遇到 哪些困惑呢？第一种境遇，由第(1)问很容易求得/1= |，结合已知条件6=3，我们容易想到P d+c^a cco sB或^(a+c)2 -l a c d+c o s S)，但苦于B角未知导致解题受阻，进而尝试 a^/^+^-Sfcccos/l或 +c)2-26c(l+cos/4),也因没有任何解题进展而放弃，最终无奈地写下“a+c>3”这一常见结 论，出现虽“惺惺相惜，但不得不罢手”的遗憾，因为这个 题由不得考生花太多的时间尝试.第二种境遇，尝试用“正弦定理结合三角函数值域”求解，考生受制于定式思维的影响，往往第一时间想到 a=2/?sin/4, 6=2/?siaB ,c=2/?sinC ,进一步得到a+ c= 2/f (sia4+S inC),结合/I+S+C=i7，快速地达到统一角的目 标，欣喜之余，发现2/?成了解下去的拦路虎，解题受挫，产 生“放弃与坚持”的纠结.第三种境遇，考生静下心来认真审视正弦定理+sirvi=2f t的结构和已知条件“6=3,4 =，找到解sin B sinC决问题的突破口，通过尝试发现，虽然“边不是角的对边，角也不是边的对角”,但只要搭配得当，也一样可以达到2V J统一角的目标.由-sin5-可知，csin；4 sinB3sinC-可知,0sinB，进一步得到a+c=2s\n B3V T;再由csinC3sinC合三角形内角和定理可知a+c:3V T2s\nB2sinB sin B3sin(^--B)sin/?，结，化简得a+c=3V T21+cosB 3 _ 3\^3~sin B 2 21+w寻-i..B Bzsin—cos—22•一1到此，本题基本上可以算是考生2 2 B2tan—2的囊中之物了，但部分欣喜若狂的考生可能会忘记题设对“三角形为锐角三角形”这一条件的限制而出现“大意失荆州”的苦恼与失落.由A/1S C为锐角三角形可知2(I,I),进一步求得tan!£(2-\A T,l),从而求得12 4 2-^E(1,2+\A T),q+c E( 3-^?—,3V T+6),又因B 2tan—2为6=3,所以周长的取值范围为a+6+C e(i V^,3V T+9).通过上述分析与解答，我们不难发现该题虽属中档题，每一个学生都是有思路的，但在解答的过程中却总是遇到或这样或那样的解题挫折，从心理上给学生造成相当大的压力，致使学生出现求之不得、弃之可惜的犹豫，导致宝贵的作答时间白白浪费.本题命题者设置了较多的“陷阱”，稍不留神，就会出现“会而不对，对而不全”的遗憾.另外，本题解题过程看似很新，实则还是利用了常规的“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略，只是方法和以往解题常规略有差异导致考生解题时“困难重重二、遇见真题，强化巩固变式：（2019年全国卷nUZUBC的内角的对边分别为a,6，c,已知o sin l^"=fesinA.2(1) 求 S;(2) 若A/IBC为锐角三角形，且c=l,求厶/1BC面积的取值范围.分析：（1)已知边角等式asin^^=6Sin A.结合三角形2内角和定理得到sin土1^"=cos呈，进一步可求得s in Z■，最222终求出角5.(2)由（1)求得角S，结合三角形面积公式、正弦定理，以及三角形内角和定理得到关于面积的表达式，从66 4左焱1 •中学教师202 U、2方法与策略A XB C为锐角三角形出发，可求得面积的范围.有前面的解题实践，我们很快就可以将解题策略放在“正弦定理结合三角函数求值域”这一路径上.解答：⑵由（1)可知又因为c=l,所以S A,sc=V T 4由正弦定理可知〇=csin/1sinC sinC2tanCj.因为A薦为锐角三角形，所如(+’2)，S导，苧点评:在本题第(2)问的解答过程中，准确地用好正 弦定理是关键，其易错点是忽视“S C为锐角三角形”这 一题设条件,导致角4 ,C的取值偏大，从而影响最终结果.三、反思人教A版《数学》（必修五）第一章“解三角形”重点讲 了正弦定理及其变形、余弦定理及其变形和三角形面积 公式，而这些内容往往结合三角恒等变换成为高考的热 点，深受命题者青睐.近几年,这一题型的命题方式呈现考 点被细化、方法更灵活、解题“陷阱”更隐秘的特点.表面上 考生人手是容易的，但要做对、做全却并非易事.在平时的 教学中，无论是教师，还是学生都认为这道题往往是考卷 中解答题的第一题，其难度中档，是平时训练力度较大、解题方法较全的题型.在大多数学生心中这类题是志在必 得的题目，是后进生突破90分，中等生突破120分的关键 题型之一,也是考生愉悦地解决后续大题的心理基础，对 提升应考状态也至关重要.解决这类问题,定理的选择很 重要，有效的边角互化是解题的关键,方法一旦出错，便 容易在这个问题上绕弯，甚至出现“无法自拔”的解题投 人，最终是“求之不得，弃之不舍”的无奈.所以，教师在平 时讲解训练时，一定要注重对方法的总结，鼓励学生大胆 尝试，重视对一题多解和多题一解的强化.总之，所有解题 时的从容应对，都是平时解题方法的日积月累，静下心 来，用心投人，所有的问题都经不起琢磨.解三角形中的面积与周长的相关问题其难度一般属 于中档题，解题关键是灵活应用正(余)弦定理及其变形，有效地结合三角函数值域或基本不等式来找到解题的突 破口，但在解题时需破除解题定式干扰，勇于尝试.一般情况是若已知当中给定的边是角的对边（或角是边的对 角）,则选择“余弦定理结合基本不等式”或“正弦定理结 合三角函数值域”都可以解决问题;但如果题设条件中限 制三角形为锐角三角形（或钝角三角形）则宜选择“正弦 定理结合三角函数值域”来解决问题;若已知三角形的边 不是已知角的对边（或已知三角形的角不是已知边的对 角）,则优先选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问 题.在使用正弦定理时，应规避三角形外接圆半径对解题 的影响，直接使用正弦定理解决问题即可.解题时,必须注 意三角形形状对解题结果的影响，注意角的取值范围.从近几年高考题来看，命题者往往选择比较熟悉的 命题背景，在题目中布下隐秘的陷阱.如在求周长或面积 的范围时，考生往往比较熟悉最值,而命题者在考生熟悉 的解题题型上，稍加改进，就可能困住考生.譬如在已知条 件中限制三角形形状或所给的边与角并不对应等.这提醒 我们在平时的教学训练中，应有针对性地进行一题多解 和多题一解的训练.这样可有效地提髙学生V I别问题和解 决问题的效率，可有效增强学生的解题自信.在教学中，教师强化学生的解后反思意识是非常有 必要的.引导学生写好解题反思有助于学生发现解题亮 点,关注解题过程中遇到的困难，优化解题过程和解题思 路.通过对解题过程的回顾与探讨、分析与研究，领悟解题 的主要思想，关键因素，掌握数学中的基本思想和通性通 法，并能灵活地应用其去解决不同的问题.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 67。
几类转化为双曲线特征三角形的问题的解法
解法1（代数法）
由抛物线定义AN=2a,可得N点横坐标x=2a-c
在△NF1F2中由面积法可求得N点纵坐标 y =
ab c
由N在抛物线上代入坐标化简可得：e4-2e3+e2-1=0，结合b＞a求
得e =
5 +1 2
特征三角形的问题的模型，体会巧妙结合特征三角形解题的魅力。
一、以准线与渐近线交点为背景的特征三角形问题
根据特征三角形的性质，准线与渐近线交点与相应焦点连线
与该渐近线垂直，可以形成特征三角形。
例1.设 双 曲 线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0, b
>
0)
的两条渐近线与直线
x = a2 分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点,若60°＜∠AFB＜90°,
很多医学生在中小学是单纯啃书本长大，进入大学后玩电脑和 手机成为他们唯一的兴趣。医疗卫生人员尤其需要素质的全面发 展。因为医疗卫生是一项独特的工作，救死扶伤特别需要人文关怀 和情感。看罗生特治病的故事，我们仿佛就看到是罗生特的医术、 灵性和人文情感在给人治病。当代医学生需要素质的全面发展以完 善自己。
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
>
0) 的左、右焦点为
F1,F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴
切于点(1,0)，且P与点F1关于直线
y
=
−
b a
x
对称,则双曲线的方程为
分析：首先由内切圆的性质易知切点（a,0),则a=1.
高三数学二轮复习冲刺：双曲线焦点三角形的十大应用
双曲线焦点三角形的十大结论一．基本原理本节中约定已知双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a 如图，顶点),(00y x P 在第一象限，.),(,212112γβαβα=∠>=∠=∠PF F F PF F PF 对于双曲线焦点三角形，有以下结论：1.如图，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.证明：由余弦定理可知2221212122cos F F MF MF MF MF θ=+-⋅．由双曲线定义知||21||||2MF MF a -=，可得222122124MF MF MF MF a+-⋅=所以2221424c MF MF a =⋅+-2121222cos 1cos b MF MF MF MF θθ⋅⇒⋅=-则22221222sincos 112sin 22sin cot 221cos 22sin tan 22i MF b b b S MF MF b θθθθθθθθ∆⋅=⋅⋅=⋅===-．2.如图，有γcos 12221-=⋅nPF PF ，cn y p 2cot 2γ=3.离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22-+=-===a c a c e .4.若21PF PF λ=，则有222)11(21c m n S PF F --+=∆λλ.5.若λ=OP ，则有2221m n S PF F -=∆λ.6.焦半径公式：如图，对于双曲线，a ex PF a ex PF -=+=0201,，对双曲线，其焦半径的范围为[)+∞-,m c .7.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0,(≠<<-=y b y b a x .证明：设内切圆与1212,,PF PF F F 的切点分别为,,M N T ，则由切线长定理可得1122,,PM PN F M FT F N F T ===,因为1212122PF PF F M F M F N F T a -=-=-=，12122F F FT F T c =+=，所以2F T c a =-，所以点T 的坐标为(,0)a ，所以点I 的横坐标为定值a .8.如图，直线)0(≠=k kx y 与双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，C 的左右焦点记为F F ,'，则BF AF '为平行四边形.结论9.已知具有公共焦点21,F F 的椭圆与双曲线的离心率分别为P e e ,,21是它们的一个交点，且θ221=∠PF F ，则有1)cos (sin (2221=+e e θθ.证明：依题意，在21PF F ∆中，由余弦定理得θ2cos 2212221221⋅⋅-+=PF PF PF PF F F )sin (cos 222212221θθ-⋅⋅-+=PF PF PF PF ()()22122212cos sin PF PF PF PF -++=θθ，所以1)(cos )(sin 221212221212=-⋅++⋅F F PF PF F F PF PF θθ，即1)cos ()sin (2221=+e e θθ.结论10.如图，过焦点2F 的弦AB 的长为t ，则1ABF ∆的周长为t m 24+.二．典例分析例1．已知12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，若12F PF 的面积是1，则12PF PF ⋅的值是__________．解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：22,cotcot 122F PF S b θθ∆=⋅==，所以452θ︒=，即90θ︒=．所以12PF PF ⊥ ，从而120PF PF ⋅=．例2．已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF PF ⋅=（）A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：222,60cot 1cot 22F PF S b θ︒∆===1212113sin 60222PF PF PF PF ︒⋅=⋅⋅所以124PF PF ⋅=．故选B ．例3已知12,F F 为双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，点()00,M x y 在C 上，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：由题意知12(F F ，且220012x y -=，即22022x y =+，所以())222120000000,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=+-=-<，解得033y -<<，故选A ．例4.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.解析：由焦点三角形面积公式，1223tan 30tan2PF F b S θ===︒.例5.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.解析：记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++，所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而tan 2θ=，故122tan2PF F b S θ== .例6.已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.解析：由焦点三角形面积公式，1223tan 60tan2PF F b S θ===︒，又121212121sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅ 12PF ⋅=故124PF PF ⋅=，由双曲线定义，122PF PF -=，解得：11PF =例7.（1）双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ,过焦点1F 的直线与该双曲线的同一支交于A 、B 两点,且m AB =，另一焦点为2F ,则2ABF ∆的周长为（）A.a 4 B.m a -4 C.ma 24+ D.ma 24-（2）设1F 与2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足︒=∠9021PF F ,则21PF F ∆的面积是（）A.1B.25 C.2D.5例8．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F '，右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足60F AF '∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是__________.解析：由条件可得2BF BF AF AF a ''-=-=，3BF AF =，BF AF '=，则=AF a ，3BF a =，3AF a '=，所以在F AF '△中，2222cos FF AF AF AF AF F AF ''''=+-⋅⋅∠，即222214962c a a a =+-⨯，即2247c a =，则c a =，所以双曲线C 的离心率为：c e a ==故答案为：2.例9．如图所示,已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,双曲线C 的右支上一点A ,它关于原点O 的对称点为B ,满足120AFB ∠=︒,且3BF AF =,则双曲线C 的离心率是______.解析：设双曲线的左焦点为F ',连接AF ',BF ',根据双曲线的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得32BF AF AF AF AF AF a '-=-=-=,则=AF a ,3BF a =,60F AF '∠=︒,所以2222cos FF AF AF AF AF F AF ''=-⋅∠'⋅'+,即222214962c a a a =+-⨯,即2247c a =，所以双曲线C 的离心率为:c e a ==故答案为：2.例10．如图，A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，F 是双曲线的右焦点.AFB△是以F 为顶点的等腰直角三角形，延长BF 交双曲线于点C .若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.解析：设左焦点为1F ，连接11,CF AF ，依题意：AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，A ，C 两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形1AFCF 是矩形，所以12AC F F c ==，设BF m =，则11,2AF CF m AF CF m a ====-，12,2,22AB m BF a m BC m a ==+=-，由2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩，整理得3m a =，22222210109104,,42c c a a a c a a +====.故答案为：102例11．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线交于点P ，12||||PO F F =，椭圆和双曲线的离心率分别是1e 、2e ，那么221211e e +=__________（点O 为坐标原点）．解析：设椭圆的长半周长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，它们的半焦距都为c ，并设12,PF m PF n ==，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得122,2m n a m n a +=-=，在1POF ∆中，由余弦定理得22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos m c c c c POF =+-⨯∠在2POF ∆中，由余弦定理得22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos n c c c c POF =+-⨯∠又由12POF POF π∠=-∠,两式相加，则22210m n c +=，又由()2222212222m n m n mn a a +=+-=+，所以222222121222105a a c a a c +=⇒+=，所以2212225a a c c +=，即2212115e e +=.例12.双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.解析：由题意，1a =，b =2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =-，因为1235PF PF =，所以00321521x x +=-，解得：02x =或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±.例13.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，双曲线222222:12x y C b a b -=-，1F ，2F 为2C 的焦点，P 为1C 和2C 的交点，若△12PF F 的内切圆的圆心的横坐标为1，1C 和2C 的离心率之积为83，则实数a 的值为（）A．3B．4C．5D．6解析：不妨设点P 在第一象限，设 12PF F 的内切圆的圆心为I ，且与1PF ，2PF ，12F F 的切点为M ，N ，K ，可得||||PM PN =，2211,F K F N MF F K ==，由双曲线的定义可得122PF PF b -=，即有122F K F K b -=，又122F K F K c +=，可得1F K c b =+，可得内切圆的圆心I 的横坐标为1b =，1C 和2C 的离心率之积为83，可得11813a =解得3a =，故选：A ．。
双曲线的焦点三角形问题知多少
ʏ河北省张家口市第一中学 郝荩华双曲线的焦点三角形问题,既能考查同学们对双曲线定义的理解和灵活运用,又能考查大家的解三角形技能和数学运算素养,因此备受命题者青睐㊂那么这类问题主要有哪些呢?下面举例说明㊂1.焦点三角形的面积问题例1 已知双曲线C :y2m -x 28=1m >0 的上㊁下焦点分别为F 1㊁F 2,P 为双曲线C 上一点,且满足øF 1P F 2=120ʎ,则әP F 1F 2的面积为( )㊂A.833B .83C .3m3D .3m 分析:记|P F 1|=r 1,|P F 2|=r 2,øF 1P F 2=θ,根据双曲线定义结合余弦定理可得r 1r 2=2b21-c o s θ,再利用三角形面积公式可推得S әF 1P F2=b2t a nθ2,即可求得答案㊂解:记|P F 1|=r 1,|P F 2|=r 2,øF 1P F 2=θ㊂因为|r 1-r 2|=2a ,所以(r 1-r 2)2=4a 2㊂在әF 1P F 2中,由余弦定理得r 21+r 22-2r 1r 2c o s θ=(2c )2,配方得(r 1-r 2)2+2r 1r 2-2r 1r 2c o s θ=4c 2,即4a 2+2r 1r 2(1-c o s θ)=4c 2㊂所以r 1r 2=2(c 2-a 2)1-c o s θ=2b21-c o s θ㊂由面积公式得S әF1P F2=12r 1r 2s i n θ=b 2s i n θ1-c o s θ=b 22s i n θ2c o s θ22s i n 2θ2=b 2t a nθ2㊂所以S әF1P F2=b2t a nθ2,本题中b 2=8㊂又因为θ=120ʎ,所以S әP F 1F 2=8t a n 60ʎ=833㊂本题选A ㊂2.焦点三角形的周长问题例2 已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ,P 是双曲线C 的左支上一点,M (0,2),则әP F M 的周长的最小值为( )㊂A.2+42 B .4+22C .32D .26+3分析:设双曲线C 的左焦点为F 1,则|P F |-|P F 1|=2a ㊂由题意可得әP F M 的周长为|M F |+|M P |+|P F |=22+2+|M P |+|P F 1|,当M ,P ,F 1三点共线时,|M P |+|P F 1|的值最小,从而可得答案㊂解:设双曲线C 的左焦点为F 1,则|P F |-|P F 1|=2a ㊂由题可知a =1,c =2㊂所以|P F |=2+|P F 1|,F 1(-2,0),F (2,0)㊂易得|M F |=22㊂әP F M 的周长为|M F |+|M P |+|P F |=22+2+|M P |+|P F 1|㊂因为当M ,P ,F 1三点共线时,|M P |+|P F 1|的值最小,最小值为|M F 1|=22,所53解题篇 经典题突破方法 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.以әP F M 周长的最小值为2+42㊂故本题选A ㊂3.焦点三角形的内角问题例3 在平面直角坐标系x O y 中,曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 是以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第一象限内的交点,过点A 且与直线A O 垂直的直线与x 轴相交于点B ,若øB A F 2=15ʎ,则双曲线C 的离心率为( )㊂A.2 B .3 C .2 D .5分析:根据圆的性质㊁同角的余角相等,结合双曲线的定义㊁双曲线离心率公式㊁辅助角公式进行求解即可㊂图1解:如图1,设双曲线C的焦距为2c ㊂因为øF 1A F 2=90ʎ,øO A B =90ʎ,所以øO A F 2+øO A F 1=øO A F 2+øB A F 2=90ʎ,可得øO A F 1=øB A F 2=15ʎ㊂又由|O A |=|O F 1|,可得øA F 1O =15ʎ㊂在R t әA F 1F 2中,|A F 1|=2c c o s 15ʎ,|A F 2|=2c s i n 15ʎ㊂由双曲线的定义得2a =|A F 1|-|A F 2|,也即2a =2c (c o s 15ʎ-s i n 15ʎ),解得a =2c c o s 60ʎ,则e =2㊂故选A ㊂4.焦点三角形的内切圆问题例4 已知点F 1(-3,0)㊁F 2(3,0)分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,M 是双曲线C 右支上的一点,M F 1与y 轴交于点P ,әM P F 2的内切圆在边P F 2上的切点为Q ,若|P Q |=2,则双曲线C 的离心率为㊂分析:设әM P F 2的内切圆与M F 1,M F 2的切点分别为A ,B ,然后根据切线长定理结合双曲线的定义列方程可求出a ,从而求出离心率㊂解:设әM P F 2的内切圆与M F 1,M F 2的切点分别为A ,B ㊂由切线长定理可知|M A |=|M B |,|P A |=|P Q |,|B F 2|=|Q F 2|㊂又|P F 1|=|P F 2|,所以|M F 1|-|M F 2|=|M A |+|A P |+|P F 1|-(|M B |+|B F 2|)=|P Q |+|P F 2|-|Q F 2|=2|P Q |㊂由双曲线的定义可知|M F 1|-|M F 2|=2a ,所以|P Q |=a =2㊂又因为c =3,所以双曲线的离心率e =c a =32㊂故答案为32㊂5.焦点三角形的综合应用例5 已知F 1㊁F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,点B 为双曲线C 的左顶点,动点A 在双曲线C 上,当A F 2ʅB F 2时,|A F 2|=|B F 2|,且|A F 1|-|A F 2|=2,则双曲线C 的方程为( )㊂A.x 23-y 2=1 B .x 2-y 24=1C .x 24-y 2=1 D .x 2-y 23=1分析:先根据双曲线的定义求出a ,再根据直角三角形中|A F 1|2=|A F 2|2+|F 1F 2|2建立方程求出c ,根据双曲线的系数关系即可求得方程㊂解:因为|A F 1|-|A F 2|=2a =2,所以a =1㊂所以|A F 2|=|B F 2|=|O B |+|O F 2|=a +c =1+c ㊂又因为|A F 1|-|A F 2|=2,所以|A F 1|=|A F 2|+2=3+c ㊂因为A F 2ʅB F 2,所以在R tәA F 1F 2中,由勾股定理得|A F 1|2=|A F 2|2+|F 1F 2|2,于是4c 2+(1+c )2=(3+c )2,即c 2-c -2=0㊂解得c =-1(舍去)或c =2㊂由a 2+b 2=c 2,得b 2=3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1,选D ㊂(责任编辑 徐利杰)63 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
2024高考数学解三角形“热考”十点【学生版】
解三角形“热考”十点热点题型速览热点一 三角形中边角计算热点二 判断三角形的形状热点三 三角形解的个数问题热点四 解三角形与平面向量的交汇热点五 解三角形与解析几何交汇问题热点六 解三角形与立体几何交汇问题热点七 正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题热点八 三角形周长问题热点九 三角形面积问题热点十 三角形范围(最值)问题三角形边(关系式)的问题三角形角(函数值)问题三角形周长问题三角形面积问题热点一三角形中边角计算1(2023·北京·统考高考真题)在△ABC中，(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)，则∠C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π62(2020·全国·统考高考真题)在△ABC中，cos C=23，AC=4，BC=3，则cos B=()A.19B.13C.12D.233(2021·全国·高考真题)在△ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=()A.1B.2C.5D.34(2020·山东·统考高考真题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2+b2=c2+ab sin C，且a sin B cos C+c sin B cos A=22b，则tan A等于()A.3B.-13C.3或-13D.-3或135(2021·浙江·统考高考真题)在△ABC中，∠B=60°,AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=，cos∠MAC=.【规律方法】1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；②求边：根据正弦定理，求另外的两边．（1）已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．（2）已知三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．热点二判断三角形的形状6在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．7(2020·全国·统考高考真题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2π2+A +cos A =54．(1)求A ；(2)若b -c =33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【规律方法】利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a =b ，a 2+b 2=c 2)，进而确定三角形的形状．2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或c 2=a 2+b 2或b 2=a 2+c 2.②△ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2且b 2+c 2>a 2且c 2+a 2>b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2.④若sin 2A =sin 2B ，则A =B 或A +B =π2.3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．热点三三角形解的个数问题8(2016·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5，c=2，cos A= 23，则b=()A.2B.3C.2D.39在△ABC中，已知sin C=12，a=23，b=2，求边c．10(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)在①tan A tan C-3tan A=1+3tan C；②2c-3acos B=3b cos A；③a-3csin A+c sin C=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【方法技巧】三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．具体解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解上表中若A为锐角，则当a<b sin A时无解；若A为钝角或直角，则当a≤b时无解．热点四解三角形与平面向量的交汇11(2023·全国·统考高考真题)正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ⋅ED=()A.5B.3C.25D.512(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA +GB =GA -GB，当∠C 取最大值时，cos C =()A.45B.35 C.25D.1513【多选题】(2023·浙江·二模)在△ABC 中，AB 2+AC 2=2BC 2，CD =BC ，则()A.AD >CDB.AD <52CD C.∠ADC >π6D.∠ADC <π4【点评】1.交汇考向主要有：(1)向量坐标运算条件下解三角形问题；(2)三角形中向量运算问题；(3)共线向量条件下解三角形问题；(4)向量的模与解三角形问题.2.解答的总体思路可归结为三个环节：(1)根据向量运算的定义、法则、运算律等，加以计算；(2)应用三角公式，进行变形进而完成化简；(3)应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，实施边角转化.就整体而言，正确向量运算、恒等变形是基础，恰当的边角转化是关键，考查的核心是解三角形、三角问题，向量运算是工具.应该注意的是，向量运算条件的给出，也可能是向量平行、垂直，需根据相关条件加以转化.热点五解三角形与解析几何交汇问题14(2021·全国·统考高考真题)已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,PF 1 =3PF 2 ，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.1315(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆x 29+y 26=1，F 1,F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |=()A.25B.302C.35D.35216(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若∠AFB =∠CFB ，则|AF |=．【点评】1.与椭圆、双曲线的定义及几何性质相结合，在“焦点三角形”中，综合应用定义、正弦定理或余弦定理，确定几何量或几何量之间的关系，解决离心率(范围)计算问题，这类问题多以客观题出现；2.直线与圆锥曲线位置关系问题中，通过交点等构造或产生三角形，计算三角形面积(最值)、线段长度等，这类问题多在主观题出现，解题过程往往通过直线与圆锥曲线方程联立方程组，应用判别式、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、正弦定理、余弦定理等．热点六解三角形与立体几何交汇问题17(2023·全国·统考高考真题)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为()A.22B.32C.42D.6218(2023·全国·统考高考真题)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.2519(2023·河南·校联考模拟预测)点P是圆柱上底面圆周上一动点，△ABC是圆柱下底面圆的内接三角形，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，C=60°，三棱锥P-ABC的体积最大值为233，则该三棱锥外接球的表面积为()A.193π B.283π C.539π D.433π【点评】与立体几何的交汇问题，往往是利用几何体中存在的三角形，应用正弦定理或余弦定理，确定解题所需要的几何量，完成角的(函数值)的计算、面积计算等，有时与数学文化相结合，解决古典书籍中的问题，或与时俱进，解决现实生活中的立体几何问题，善于发现相关三角形或做辅助线构造三角形，是解题的重要基础.热点七正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题20(2023·全国·统考高考真题)在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=．21(2020·江苏·统考高考真题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2,B= 45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=-45，求tan∠DAC的值．【点评】解三角形应用于平面几何问题的基本思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．(3)特别提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．热点八三角形周长问题22(2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin C sin(A-B)= sin B sin(C-A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cos A=2531，求△ABC的周长．23(2022·北京·统考高考真题)在△ABC中，sin2C=3sin C．(1)求∠C；(2)若b=6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．热点九三角形面积问题24(2023·全国·统考高考真题)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.25(2022·浙江·统考高考真题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c, cos C=35．(1)求sin A的值；(2)若b=11，求△ABC的面积．【点评】三角形面积有关的问题解答步骤：（1）化简转化：根据条件，利用三角恒等变换公式，化简已知条件等式，再利用正弦定理、余弦定理化边、化角；（2）选择公式：多选择S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；（3）求值(最值).热点十三角形范围（最值）问题26(2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．27(2020·浙江·统考高考真题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin A-3a =0．(I)求角B的大小；(II)求cos A+cos B+cos C的取值范围．28(2020·全国·统考高考真题)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin B sin C．(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.【思路引导】(1)第一步，应用正弦定理角化边；第二步，应用余弦定理求cos A，进而求得A；(2)重点分析方法一：由于BC已知，因此，主要任务是确定AC+AB的最值.第一步，应用余弦定理并化简可得AC+AB2-AC⋅AB=9；第二步，利用基本不等式求得AC+AB的最大值，进而得到结果.29(2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)在①a+csin A-sin C=b sin A-sin B；②2b-ac-cos Acos C=0；③向量m =c，3b与n=cos C，sin B平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且a=4，求△ABC面积的取值范围.【点评】1.边角、周长问题：利用正弦定理余弦定理灵活的进行边角转化，如果转化成 “边”的表达式，应用基本不等式求最值(范围)；如果转化成三角函数表达式，应用二次函数的性质或应用三角函数的性质求解.2.面积问题求解基本步骤：一是应用正弦定理、余弦定理实施边角转化；二是确定三角形面积的表达式；三是应用均值不等式或三角函数性质求其最值(范围).。
一次函数与反比例函数构成的斜拉三角形面积问题探解
一次函数与反比例函数构成的斜拉三角形面积问题探解一次函数与反比例函数的交点为底，第三个顶点在x轴上的三角形叫做x轴的斜拉三角形，第三个顶点叫做斜拉三角形的斜拉点.求斜拉三角形的面积成为二函数联手创新的新亮点，下面就结合2019年的考题，向大家介绍一下斜拉三角形面积的求解，供学习时借鉴.一、正比例函数与反比例函数生成的斜拉三角形的面积例1 （四川凉山）如图1，正比例函数y=kx与反比例函数y=4x的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8 B．6 C．4 D．2解析：设点A（a,4a）,根据反比例函数的对称性，得点C与点A关于原点对称，所以点C的坐标为（-a,-4a），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，根据题意，得OB=a，AB=CD=4a,根据题意，得斜拉三角形ABC可以分割成以OB为底边的两个三角形的面积和，所以S三角形ABC =S三角形AOB+S三角形BOC=1122OB AB OB CD⨯⨯+⨯⨯=1()2OB AB CD OB AB⨯⨯+=⨯= a×4a=4.所以选C.点评：解答时，注意处理好三个关系：1.采用设而不求的思想，表示出一个交点的坐标，为解题思路的展开奠定基础；2.充分利用好反比例函数的对称性，正比例函数的对称性，确定原点对称点的坐标，是解题的一个重要关键点；3.把斜拉三角形的面积分割成有公共底的两个三角形的面积和是建立等式的关键，也是揭示答案的根源.二、一次函数与反比例函数生成的斜拉三角形的面积例2（铜仁）如图2，一次函数y ＝kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数y= -12x的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，A 点的横坐标与B 点的纵坐标 都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）写出不等式kx+b ＞﹣的解集．解析：（1）根据题意，得点A （3，-4），点B(-4,3),所以3443k b k b +=-⎧⎪⎨⎪-+=⎩，解得11k b =-⎧⎪⎨⎪=-⎩，所以一次函数的解析式为y=-x-1；（2）根据题意，得斜拉三角形AOB 可以分割成以OC 为底边的两个三角形的面积和，所以S 三角形AOB =S 三角形AOC +S 三角形BOC =1122OC AE OC BF ⨯⨯+⨯⨯=1()2OC AE BF ⨯⨯+.因为y=-x-1，所以点C（-1,0），所以OC=1, S三角形AOB =171(43)22⨯⨯+=；（3）从图像看出，不等式kx+b＞﹣的解集是x＜-4或0＜x＜3.点评：利用交点坐标的意义，确定交点的坐标，从而确定一次函数的解析式，求得一次函数与x轴的交点坐标，从而确定了斜拉三角形AOB的公共底边的大小，为斜拉三角形面积的计算创造了条件.三、一次函数与反比例函数生成的斜拉三角形的面积求点的坐标例3 （四川遂宁）如图，一次函数y=x﹣3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．解析：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中，得：a＝﹣1，所以B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y=kx（k≠0）中，得：k＝4，所以反比例函数的表达式为y＝4x；（2）如图3，设点P的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3），点O到直线PC的距离为m；当点P 在点C 的上方时，PC=4m -m+3，所以△POC 的面积=12×m ×（4m-m+3）=3，整理，得2m -3m+2=0，解方程，得m=1或m=2；当点P 在点C 的下方时，PC=m ﹣3-4m ，所以△POC 的面积=12×m ×（m ﹣3-4m）=3，整理，得2m -3m-10=0，解方程，得m=5或m=-2；因为m ＞0，所以m ＝5或1或2所以点P 的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）． 点评：这是一种特殊的斜拉三角形，其特殊性表现在如下几点： 1.斜拉三角形的斜拉点在原点；2.斜拉三角形的底边与y 轴平行； 3.斜拉三角形的底边长度是底边两个端点纵坐标差的绝对值； 4.解答时，要注意灵活运用分类思想，避免漏解.四、求一次函数与反比例函数生成的斜拉三角形面积的最大值例4（乐山）如图4，点P 是双曲线C ：xy 4=（0>x ）上的一点，过点P 作x 轴的垂线 交直线AB ：221-=x y 于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动, 且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 .解析：如图4，设点P 的坐标为（m ，4m）（m ＞0），则Q （m ，12m ﹣2），点O 到直线PQ 的距离为m ；因为点P 在点Q 的上方，所以PQ=4m -12m+2，设△POC 的面积为W ， 则W=12×m ×（4m -12m+2）=-142m +m+2，因为a= -14＜0，所以W 有最大值， 当m=-112()4⨯-=2时，W 值最大，此时W=-14×4+2+2=3.所 以三角形POQ 面积的最大值为3.点评：这是特殊斜拉三角形的最值问题，解答时，只需将三角形面积最值转化成动点P 横坐 标的二次函数的最值问题即可.正确转化是解题的关键.第二节 一次函数和反比例函数及其应用1 一次函数图象性质2019年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2019年安徽合肥市中考模拟题替代 (2019年安徽合肥市中考模拟9-4分)若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣4（kb +1）＞0，解得kb ＜0， A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b =0，即kb =0，故D 不正确；故选B ．2018年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2018年安徽合肥市中考模拟题替代 (2018年安徽合肥市中考模拟8-4分)若b ＞0，则一次函数y =﹣x +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】解：∵一次函数y =x +b 中k =﹣1＜0，b ＞0， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选：C ．(2017年安徽9-4分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是（ ）【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx 的交点横坐标为1，且交点在第一象限，将x ＝1代入反比例函数表达式可得y ＝b1＝b ＞0，交点坐标为(1，b )，将(1，b )代入抛物线表达式可得b ＝a ＋b ＋c ，∴a ＋c ＝0，∴ac 互为相反数，故ac <0，∴对于直线y ＝bx ＋ac ，∵b >0，ac <0，∴图象过一、三、四象限．(2009年安徽8-4分)已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是( )【解析】由已知一次函数经过(0，1)，可求得k >0，b ＝1，∴2k >0，b ＝1，倾斜度增加，则画出图象草图，故选C .2 一次函数和反比例函数综合应用2019年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2019年安徽合肥市高新区中考模拟题替代 (2018年安徽合肥市高新区中考模拟21-10分)已知一次函数y 1＝x ＋m 的图象与反比例函数y 2＝6x 的图象交于A 、B 两点，已知当0＜x ＜1时，y 1＜y 2；当x ＞1时，y 1＞y 2.(1)求一次函数的函数表达式；(2)已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C 到x 轴的距离为2，求△ABC 的面积．【解析】(1)解：∵当0＜x ＜1时，y 1＜y 2；当x ＞1时，y 1＞y 2， ∴点A 的横坐标为1，代入反比例函数解析式，y ＝61，解得y ＝6，∴点A 的坐标为(1，6)， 又∵点A 在一次函数图象上， ∴6＝1＋m ， 解得m ＝5，∴一次函数的解析式为y 1＝x ＋5；(2)解：∵第一象限内点C 到x 轴的距离为2，∴点C 的纵坐标为2， ∴2＝6x ，解得x ＝3，∴点C 的坐标为(3，2)，过点C 作CD ∥x 轴交一次函数的图象于点D ，则点D 的纵坐标为2， ∴x ＋5＝2， 解得x ＝－3，∴点D 的坐标为(－3，2)， ∴CD ＝3－(－3)＝3＋3＝6， 点A 到CD 的距离为6－2＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5y ＝6x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6y 2＝－1， ∴点B 的坐标为(－6，－1)，∴点B 到CD 的距离为2－(－1)＝2＋1＝3， ∴S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×6×4＋12×6×3＝12＋9＝21.(2018年安徽13-5分)如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝6x的图象有一个交点A (2，m )，AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y ＝kx ，使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是____________．【解析】∵点A (2，m )在反比例函数y ＝6x 的图象上，∴m ＝3，∴点A (2，3)，点B (2，0)；∵点A (2，3)也在正比例函数y ＝kx 的图象上，∴3＝2k ，即k ＝32；∵直线l 由直线y ＝32x 平移而得，∴设直线l 对应的函数表达式为y ＝32x ＋b ；∵直线l 经过点B (2，0)，∴0＝32×2＋b ，解得：b ＝－3，∴直线l 对应的函数表达式为y ＝32x －3.2017年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2017年安徽淮南市中考模拟题替代 (2017年安徽淮南市中考模拟21-10分)如图，A （4，3）是反比例函数y =kx在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB ∥x 轴，截取AB =OA （B 在A 右侧），连接OB ，交反比例函数y =kx的图象于点P ． （1）求反比例函数y =kx的表达式； （2）求点B 的坐标； （3）求△OAP 的面积．【解析】解：（1）将点A （4，3）代入y =kx的表达式；解得：k =12，则反比例函数解析式为y =12x； （2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，则OC =4、AC =3，∴OA ==5， ∵AB ∥x 轴，且AB =OA =5， ∴点B 的坐标为（9，3）； （3）∵点B 坐标为（9，3）， ∴OB 所在直线解析式为y =13x ， 由1312y x y x==⎧⎨⎩可得点P 坐标为（6，2）， 过点P 作PD ⊥x 轴，延长DP 交AB 于点E ， 则点E 坐标为（6，3）， ∴AE =2、PE =1、PD =2，则△OAP 的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5． (2016年安徽20-10分)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝ax 的图象在第一象限交于点A (4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB .(1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝a x的表达式； (2)已知点C (0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC .求此时点M 的坐标．【解析】解：(1)∵点A (4，3)，∴OA ＝42＋32＝5，∴OB ＝OA ＝5，∴B (0，－5)，将点A (4, 3)、点B (0, －5)代入函数y ＝kx ＋b 得，⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝3b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－5， 将点A (4, 3)代入y ＝a x 得，3＝a 4，∴a ＝12， ∴所求函数表达式分别为y ＝2x -5和y ＝12x； (2) 如解图，∵点B 的坐标为(0, -5)，点C 的坐标为(0, 5)，∴x 轴是线段BC 的垂直平分线，∵MB ＝MC ，∴点M 在x 轴上，又∵点M 在一次函数图象上，∴点M 为一次函数的图象与x 轴的交点，如解图所示，令2x -5＝0，解得x ＝52， ∴此时点M 的坐标为(52， 0)．(2015年安徽21-12分)如图，已知反比例函数y ＝k 1x与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A (1，8)，B (－4，m )．(1)求k 1、k 2、b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)若M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)是反比例函数y ＝k 1x图象上的两点，且x 1<x 2，y 1<y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．【解析】(1)解：把A (1，8)，代入y ＝k 1x ，得k 1＝8，∴y ＝8x， 将B (－4，m )代放y ＝8x，得m ＝－2. ∵A (1，8)，B (－4，－2)在y ＝k 2x ＋b 图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋b ＝8－4k 2＋b ＝－2， 解得k 2＝2，b ＝6.(2)解：设直线y ＝2x ＋6与x 轴交于点C ，当y ＝0时，x ＝－3，∴OC ＝3.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×3×8＋12×3×2＝15. (3)解：点M 在第三象限，点N 在第一象限．理由：由图象知双曲线y ＝8x在第一、三象限内，因此应分情况讨论： ①若x 1<x 2<0，点M 、N 在第三象限分支上，则y 1>y 2，不合题意；②若0<x 1<x 2，点M 、N 在第一象限分支上，则y 1>y 2，不合题意；③若x 1<0<x 2，点M 在第三象限，点N 在第一象限，则y 1<0<y 2，符合题意．∴点M 在第三象限，点N 在第一象限．(2011年安徽21-12分)如图，函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与函数y 2＝k 2x(x >0)的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A 点坐标为(2，1)，C 点坐标为(0，3)．(1)求函数y 1的表达式和B 点坐标；(2)观察图象，比较当x >0时，y 1与y 2的大小．【解析】(1)解：由直线过A 、C 两点得⎩⎪⎨⎪⎧2k 1＋b ＝1b ＝3解得k 1＝－1，b ＝3. ∴y 1＝－x ＋3.将A 点坐标代入y 2＝k 2x 得1＝k 22，∴k 2＝2，∴y 2＝2x. 设B 点坐标为(m ，n )，∵B 是函数y 1＝－x ＋3与y 2＝2x图象的交点，∴－m＋3＝2m，解得m＝1或m＝2，由题意知m＝1，此时n＝2m＝2，∴B点的坐标为(1，2)．(2)解：由图知：①当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2；②当x＝1或x＝2时，y1＝y2；③当1＜x＜2时，y1＞y2.3一次函数解决实际应用2019年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2019年安徽合肥市中考模拟题替代（2019安徽合肥市中考模拟模拟20-10分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【解析】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，所以函数解析式为：y=20x+1470；（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21﹣x＜x，解得：x＞10.5，又∵y=20x+1470，且x取整数，∴当x=11时，y有最小值=1690，∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．2018年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2018年安徽芜湖市中考模拟题替代（2018安徽芜湖市中考模拟模拟22-10分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，，∴x≥1003∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，≤x≤601333①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．2017年安徽中考真题未考查此知识点，故用安徽2017年安徽淮南市中考模拟题替代（2017安徽淮南市中考模拟模拟22-12分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y 与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．【解答】解：（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据题意得：(){3.67205.4 3.6a b a b +==，解得{80120a b ==， 故答案为80，120；（2）图中点C 的实际意义是：快车到达乙地；∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h ）， ∴点C 的横坐标为6，纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480，即点C （6，480）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km ．即相遇前：（80+120）x =720﹣500，解得x =1.1，相遇后：∵点C （6，480），∴慢车行驶20km 两车之间的距离为500km ，∵慢车行驶20km 需要的时间是0.25（h ），∴x =6+0.25=6.25（h ），故x =1.1 h 或6.25 h ，两车之间的距离为500km ．(2009年安徽23-8分)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图①所示．(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．图①(2)写出批发该种水果的资金金额w (元)与批发量n (kg)之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解析】解：(1)题图①中的①表示批发量不少于20 kg 且不多于60 kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；题图①中的②表示批发量高于60 kg 的该种水果，可按4元/kg 批发.(2)由题意得w ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n （20≤n ≤60）4n （n ＞60），图象如解图所示．由解图可知，资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.。
过定点的直线与双曲线交点情况的探讨！！！
过定点的直线与双曲线交点情况的探讨1任意直线与双曲线交点情况备注：此情况下m≠0，如果m=0，一次方程无解，直线L就会与渐近线重合，则与双曲线无交点。
备注：由以上结论可知，任意一条直线与双曲线的交点最多为2个，最少为0个，也有1个的情况(直线与双曲线相切或者直线与渐近线平行)。
2过定点与双曲线仅一个交点的直线情况接下来重点讨论过定点与双曲线只有一个交点的直线条数情况，总共有以下6种情况。
①定点P在双曲线内，如下图绿色区域(不包含在双曲线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，且这两条直线分别与对应的两条渐近线平行，具体如下：备注：根据上图点P在双曲线内，很明显可以看出过定点P与双曲线有两个交点的直线有无数条，与双曲线无交点的直线有0条，所以此处只探讨过定点P与双曲线只有一个交点的直线条数这种相对复杂的情况，并且这种情况也是常考点！②定点P在双曲线与渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在双曲线上和渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的同一支上，具体如下：③定点P在两条渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的两支上，具体如下：④定点P在双曲线上，如下图绿色区域：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有三条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑤定点P在渐近线上，如下图绿色区域(不包含原点)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，其中一条直线与对应的渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑥定点P在原点上，如下图：可知此时过原点，与双曲线只有一个交点的直线是不存在，即0条。
高考数学总复习考点知识专题讲解19 面积问题方法论(上)
高考数学总复习考点知识专题讲解专题19 面积问题方法论在前文，我们讲到了焦点三角形的面积公式，并广泛应用于离心率的题型，我们也介绍了阿基米德三角形的面积公式，显然面积问题成为近年来的压轴问的呼声越来越高，似乎压轴问不是定点定值就是面积定值或者最值，本文介绍几种常见的面积问题处理方法，让这些隐藏在题目中的条件被充分挖掘，面积问题，涉及方程的等量转化思想，数形结合思想，还有不等式的思想，属于一类综合性问题，限于篇幅，本文可能不会那么系统，更多详细内容大家可以关注一下《高中数学新思路——圆锥曲线高考数学总复习考点知识专题讲解 专题》。
知识点1 焦点三角形相关面积问题 1.焦长公式：A 是椭圆()012222>>=+b a by ax 上一点，1F 、2F 是左、右焦点，21F AF ∠为α，AB 过1F ，c是椭圆半焦距，则（1）αcos 21c a b AF -=；（2）αcos 21c a b BF +=；（3）αα22222222sin 2cos 2c b ab c a ab AB +=-=．证明过程利用余弦定理或者复数变换，参考《秒一》，考试遇到大题一定要证明.2.面积之和：①αααα22222222sin sin 2sin 2cos 22122c b c ab c c a ab h AB S ABF +=⋅-⋅==△， ②αα22222sin sin 2c b c ab h AB S AOB +==△， 最值问题：ααααααsin sin 2sin sin 2sin 2cos 2212222222222222c bcab c b c ab c c a ab h AB S ABF +=+=⋅-⋅==△分母属于一个对勾函数模型，取得最值得条件在于b 与c 的大小比较，或者说离心率范围．①当b c ≥，即22≥e 时，bc c b 2sin sin 22≥+αα，当仅当c b =αsin 时等号成立，此时ab bccab S ABF ==222max 2△．②当b c <，即22<e 时，22222s i n s i n a c b c b =+≥+αα，当1s i n=α时等号成立，此时acb S ABF 2max22=△． 3.面积之差：e aeb a bc a b bc BF AF c S S F BF F AF =≤+=+=-⋅=-αααααααtan tan 2sin cos cos sin 22sin 2222222112121，当且仅当ab±=αtan 时等号成立. 4.过焦点的弦与其中垂线构造的三角形面积(1)设椭圆焦点弦AB 的中垂线与长轴的交点为D ，则FD 与AB 之比是离心率的一半（如图）(2)设双曲线焦点弦AB 的中垂线与焦点所在轴的交点为D ，则FD 与AB 之比是离心率的一半（如图）(3)设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴的交点为D ，则FD 与AB 之比是离心率的一半（如图）(1)证明：根据椭圆焦长公式：2cos b BF a c α=-||，2cos b AF a c α=+||,22222cos ab AB a c α=-||,222222cos cos cos 2222cos b b AB AF BF BF AF b c a c a c CF AF AF a c αααα-+--+=-=-===-|||||| 2222cos cos CF b c DF a c αα==-||||，故22222DF b c c eAB a ab ===||||． (2)证明：当直线AB 与双曲线交于一支时，证明过程同椭圆一致；当直线AB 与双曲线交于两支时，2cos b BF c a α=-||，2cos b AF c a α=+||,22222cos ab AB c a α=-||,2222cos cos b c CF c a αα=-||，其余过程与椭圆一致．(3)证明：抛物线)0(22>=p px y 焦点弦公式：1cos pAF α=+；1cos p BF α=-；22sin p AB α=．2cos 222sin AB AF BFBF AFp CF AF AF αα+-=-=-==||||||，2cos sin CF p DF αα==||||，故12DF AB =||||． 我们以椭圆为例来表达线段长度，注意到αsin FD CD =，2AB e c FD c OD -=-=，故ααsin 22sin AB e c AB e DE CD CE -+=+=162sin 2cos sin 2222αααAB e DF CDCF S CFD =⋅=⋅=∆；【例1】设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点()0,2，离心率为23． （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为1F ，右焦点2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于B A 、，求2ABF △的面积．【例2】已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P ．求四边形ABCD 的面积的最小值．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且△1F AB 的周长为8．（1）求椭圆C 的方程；（2）记△1F AB 的面积为S ，求S 的最大值．【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ，N 两点，分别记ABM △，ABN △的面积为1S ，2S ，求12||S S -的最大值．【例5】（2023•沙坪坝区期末）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点为1F 、2F ，且12||4F F =，直线l 过2F 且与椭圆C 相交于A 、B 两点，当2F 是线段AB的中点时，||AB =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当线段AB 的中点M 不在x 轴上时，设线段AB 的中垂线与x 轴交于点N ，与y 轴交于点P ，O 为椭圆的中心，记OMN ∆的面积为1S ，APM ∆的面积为2S ，当12S S 取得最大值时，求直线l 的方程.【例6】已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，垂直于x轴的焦点弦的弦长为，直线20x y-与以原点为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记MFD∆的面积为1S，OED∆的面积为2S．求122212S SS S+的取值范围．5.焦弦常数与三角形面积关于焦弦常数设点P为椭圆或双曲线上任一点，过焦点12F F、分别作弦PA、PB，设11PF F Aλ=，22PF F Bμ=，则2222222()2(1)1a c ea c eλμ+++==--．推广如果将焦点12F F、换成1(0)M m-，、2(0)M m，，则22222()a ma mλμ++=-．证明对1122PM M APM M Aλμ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用定比点差法易得：222222ppa ax m mm ma ax m mm mλμ⎧⎛⎫=--+-+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++-⎪⎪⎝⎭⎩．两式相减即证.所以说，焦弦常数是轴点弦的特殊性质，具体说来是双对称轴点弦一定具备的属性，一旦遇到两轴点关于原点对称时，我们不妨想到坐标齐次化和定比点差.【例7】（2022•荆州模拟）设点0(P x ，00)(0)y y ≠是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，射线1PF 、2PF 分别交椭圆C 于M ，N 两点，已知2PMF ∆的周长为在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：211||||OPNOF NS PF MF S ∆+为定值．【例8】（2022•郫都区月考）已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF 的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R ．（1）当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；（2）记△11FQ R 与△22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最大值．【例9】（2022•郴州模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，过左焦点F 的直线1(0)x ty t =-≠交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM MF λ=，PN NF μ=，记OMN ∆，2OMF ∆，22(ONF F ∆为C 的右焦点）的面积分别为1S ，2S ，3S ． （1）证明：λμ+为定值；（2）若123S mS S μ=-，42λ--剟，求m 的取值范围．【例10】（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．知识点2双曲线渐近线三角形面积问题如果说椭圆最特殊的就是周长为a 4的三角形面积，在这里衍生各种面积和差与比值关系，那么双曲线最特殊的就是渐近线了，从特征三角形离心率分析开始，我们又来到了面积的探索，其实双曲线可以追溯到初中我们学习的反比例函数，因为将初中的反比例函数图像旋转45°，再进行坐标拉伸（仿射），就能得到我们现在看到的双曲线，而渐近线就是我们以前中学反比例函数的坐标轴，仿射能将面积按照比例放大，而原始存在的一系列面积定值和一些定比分弦问题，以然存在.定理一：双曲线2222:1x y C a b-=上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c（左图）；证明：设11()，P x y 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是0bx ay -=和0bx ay +=，点11()，P x y乘积2222221122b x a y a b c c-= 定理二：过双曲线2222:1x y C a b-=上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交渐近线于A ，B 两点，则||||PA PB 是一个常数24c ，2AOBP ab S =四边形，224a b OA OB-?（中图）；证明：如右图，过点P 作1PM l ^于点M ，2PN l ^于点N ，2MAP NBP AOB a ???，其中tan b a a =，则22sin 22sin cos ab c a a a ==，22422222||||||||sin 244PM PN a b c c PA PB c a b a ==?； 2222||||sin 222AOBPPM PN a b c ab S c ab 四边形a ===；2222||||cos2||||(21)4a a b OA OB OA OB PA PB c a -?=?=我们将这个双曲线仿射拉伸成为等轴双曲线，再旋转45°，我们来看一下，大概我们就知道了一切的原委，如右图，过点P 作渐近线平行线，一定会有k S OAPB =为定值，所以xyF 2F 1PN MOxyABF 2F 1PNMO我们还能推出以下性质.【例11】（2021•芜湖模拟）设M 为双曲线222:1(0)16x y D a a -=>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点．若ABM ∆的面积为4，则双曲线D 的离心率为()A ．2C注意：当我们记不住这些面积和一些乘积为定值时，不妨把任意点直接设为左右顶点，以减小计算.定理三：如左图，作双曲线割线CD 并交渐近线于A ，B 两点，则BD AC =.我们也给出以下推论：若M 是CD 中点，则一定也是AB 中点，反之亦然;证明：法一：如右图所示，过点C 和点D 分别作渐近线平行线，构成两个平行四边形OECH 和OFDG ，EC 与BD 交于点N ，根据定理二我们可知2abS S OFDG OECH ==，故O E N F O E C HS S BCBD ADAC ==，所以BDBC BD AC AD AC -=-，所以BD AC =，所以BM AM =,DM CM =.法二：设直线为m ty x +=，代入双曲线方程222222b a y a x b =-得：02)(222222222=-++-b a m b t m y b y a t b代入双曲线渐近线的退化二次曲线方程02222=-y a x b 得：02)(2222222=++-m b tmy b y a t b ，所以AB 中点坐标和CD 中点坐标重合，所以BM AM =,DM CM =.【例12】（2022新高考II 卷）设双曲线2222:1(0x y C a a b -=>,0)b >右焦点为(20)F ，,渐近线方程为y =， （1）求C 的方程（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点11()P x y ，，22()Q x y ，在C 上，且120x x >>，10y >，过P 且斜率为Q M .请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③MA MB =.【例13】（2023•武汉月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点，以右焦点2F 为圆心作圆与两条渐近线相切，圆面积恰为12π．（1）求双曲线的方程；（2）任作一直线l 与双曲线右支交于两点A ，B ，与渐近线交于两点C ，D ，A 在B ，C 两点之间，求证：||||AC BD =．【例14】（2020•多选•日照一模）已知双曲线221(*)x y n N n n-=∈，不与x 轴垂直的直线l与双曲线右支交于点B ，(C B 在x 轴上方，C 在x 轴下方），与双曲线渐近线交于点A ，(D A 在x 轴上方），O 为坐标原点，下列选项中正确的为()A ．||||AC BD =恒成立B ．若13BOC AOD S S ∆∆=，则||||||AB BC CD ==C ．AOD ∆面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若||||||AB BC CD ==，则AOD ∆的面积为定值定理四：过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y ，作双曲线的切线交两渐近线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则称△AOB 为双曲线的切线渐近三角形，双曲线的切线渐近三角形有如下性质：(1) 点P 处的切线方程为00221x x y y a b-=，即2221OP AB b k k e a ==-．(2) 点P 是线段AB 的中点，即PA PB =．(3) ①渐近三角形的面积为定值，即AOB S ab =△；②22OA OB a b =-，22OA OB a b =+；【例15】（2023•辽宁月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22123x y -=有相同的焦点；且C 的一条渐近线与直线220x y -+=平行． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，试判断AOB ∆的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由．【例16】（2021•石家庄模拟）已知双曲线222:1(0)y C x a a-=>，其上、下焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．过双曲线上一点0(M x ，0)y 作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于P ，Q 两点，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是()A ．若l y ⊥轴，则||2PQ =B ．若点M 的坐标为(1,2)，则直线l 的斜率为14C ．直线PQ 的方程为0021y y x x a-=D ，则三角形OPQ 的面积为2【例17】（2022•重庆月考）已知双曲线22221(0)x y a a a-=>的右焦点为(2,0)F ，过右焦点F作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于A ，B 两点，点A ，P 在第一象限，O 为原点． （1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP ∆，OBP ∆，OPQ ∆的面积分别是OAP S ∆，OBP S ∆，OPQ S ∆，求OPQ OAP OBPS S S ∆∆∆⋅的范围．【例18】（2023•重庆期末）如图，已知双曲线22:12x C y -=，经过点(1,1)T 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，与C 的渐近线交于M ，N 两点（从左至右的顺序依次为A ，M ，N ，)B，其中k ∈． （Ⅰ）若点T 是MN 的中点，求k 的值； （Ⅱ）求OBN ∆面积的最小值．【例19】（2023•深圳一模）已知双曲线14:22=-y x E 与直线3:-=kx y l 相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点.（1）当k 变化时，求点M 的轨迹方程；（2）若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求k 的值，若不存在，说明理由.知识点3 坐标面积公式在△ABC 中，已知11(,)AB x y =，22(,)AC x y =，则△ABC 的坐标面积公式为2221221111sin ()222ABC S AB AC A AB AC AB AC x y x y ==-=-△． 面积公式的推导不难，处理后续数据成为了关键，我们先看一道高考题.【例20】（2015•上海）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC ∆的面积为S ．（1）设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（2）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．【例21】（2014•新课标Ⅰ）已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，直线AF O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【例22】已知1F ，2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点.点M 为椭圆上一点，当12F MF ∠取最大值3π时，121()6MF MF MF +⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线4x =上一点（且P 不在x 轴上），过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，连接AB '交x 轴于点G .设2AF G △，2BF G △的面积分别为1S ，2S ，求12||S S -的最大值.【例23】已知O 为坐标原点，M 是椭圆1C ：2214x y +=上的一个动点，点N 满足3ON OM =，设点N 的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程.（2）若点A ，B ，C ，D 在椭圆1C 上，且2CD AB =，AC 与BD 交于点P ，点P 在2C 上.证明：PCD △的面积为定值.【例24】已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0，点(0,2)M 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知(0,1)P ，直线l ：y kx m =+（0k ≠）与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【例25】（2022·福建师大附中模拟）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线. （1）求双曲线C 的标准方程；（12）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，过点(2,0)T 的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT △的面积为1S ，QBT △的面积为2S ，求证：12S S 为定值.【例26】已知椭圆221.,43x y PA PB +=分别和椭圆相切. P 在4x =上. B '和B 关于x 对称,AB '和x 于点G . 求22AF G BF G S S -最大值.同步训练1．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方．若||3AB =，2ABF △的内切圆的面积为916π，则直线2AF 的方程是（）A ．3230x y +-=B ．2320x y +-=C ．434x y +-D ．3430x y +-=2．已知1F ，2F 为椭圆E 的左右焦点，点3(1,)2P -为其上一点，且有12||||4PF PF +=． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB △的面积S 的最大值．3.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点．且长轴长为4． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线1与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD △与OAC △的面积之差的绝对值的最大值．（O 为坐标原点）4.如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=，其左右焦点为1(1,0)F -及2(1,0)F ，过点1F 的直线交椭圆C于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且1||AF 、12||F F 、2||AF 构成等差数列． （1）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，(OED O ∆为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =说明理由．5.(2016全国Ⅰ理)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1) 证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2) 设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M 、N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P 、Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．6.（2023•河南期中）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点1F ，2F 分别是双曲线222:19y C x -=的左右顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设P 是第一象限内1C 上的一点，1PF ，2PF 的延长线分别交1C 于点1Q ，2Q ，设1r ，2r 分别为△12PFQ 、△21PF Q 的内切圆半径，求12r r -的最大值．7.（2023•沙坪坝区月考）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右支上一点P 作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点M ，N ，O 为坐标原点，设OMN ∆的面积为S ，若22b S …，则双曲线C 的离心率取值范围为.（用区间作答）8.已知S 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点M 、N ，交y 轴于点P 、Q ，若11()4OP OQ OMON ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为( )．21 / 21 A ．(1,2] B ．[2,)+∞ C． D．)+∞9.（2022•成都模拟）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且1OPF ∆的面积为24b ． （1）求双曲线C 的离心率；（2）动直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限），且OAB ∆的面积恒为8，是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线C ，若存在，求出双曲线C 的方程；若不存在，说明理由．10.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点到其左右焦点F 1，F 2的距离之和均为4，且椭圆的中心O 到直线0bx ay ab +-=. （1）求椭圆E 的方程； （2）已知以椭圆右顶点A 为直角顶点的动直角三角形斜边端点B 、C 落在椭圆E 上，求动直角△ABC 面积的最大值.11. 已知()221,2,0,,4x y A P Q +=在椭圆上, 且满足120AP AQ k k ⋅=.求APQ ∆面积最大值.。
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，
双曲线的解析式是 ｙ ＝ ， 因此解方程 ＋１ ＝ ， 所
’
５ Ｘ（ ５ ＋２ ） ３ ５
ｓ ——广
． ｓ ＝
…
＝
，
，
以 ＋ 龙 ＿ ２ ＝ ０ ， 解得 ｌ ＝ 一２ ， ｘ ２ ＝ｌ ， 所 以点 Ａ坐标
． ， ， 一
，
． ｓ ＝ ÷ ０ ｃ × ＋ ÷ Ｄ ｃ × Ｉ Ｉ ： １ ｘ ｎ × ＋
×ｎ×（ ｎ＋１ ） ： ．
二
， 求
分 别代 入 当 ＝４ ， ５ ， ６ ， …， 时， 对应 的三 角 形 的 面积数 值 ：
＝
， ｌ 的值．
后＝ 时， Ａ Ｏ Ａ Ｂ 的面 积记 为 Ｓ ，
（ ２ ） 当 ＝２时， 求 △Ａ Ｏ Ｂ的面积 ； （ ３ ） 当． ｊ ｝ ＝１ 时， ／ Ｘ Ｏ ‘ Ａ Ｂ 的面积记为 Ｉ ｓ ｌ ， 当Ｉ ｊ ｝ ：２
时， ／ Ｘ Ｏ Ａ Ｂ 的面积 记为 ． ｓ ， …， 以此 类推 ， 当 ＝几时 ， Ｚ Ｘ Ｏ Ａ Ｂ 的面积 记 为 ， 若ｓ ． ＋Ｓ ＋． ． ． ＋ｓ ：
评 注 这 一 问题 的一 般 解法 ：
． ｓ １ ＋ Ｓ ： ２ ＋ … ． ． ． 十 ＝ ３ ＋ ４ ＋ ＋ 萼 ． ． ： ＋
：
面 积 是 丢 ｏ ｃ × ＋ － ￣ ｏ ｃ × Ｉ Ｉ ＝ 丢 × ２ ｘ ｌ ＋ １ ×
呈 一＋ 。 ＋ —
贝 Ⅱ Ｓ ｌ ＋ ＋… ＋Ｓ ＋
＝
６×１ ９ ６ ＝６ × １ ４×１ ４ ＝７ × １ ２×１ ４
＝７×４×３ Ｘ ２×７＝ ７×（ ４×２ ）×（ ３×７ ） ＝
７×（ ７＋１ ）Ｘ（ ２． ×７＋７ ） ， 因此 ：７ ．
（ ２ ）当 １ ＋． ｓ ２＋． ・ ・ ＋Ｓ ＝１ ４ ２ ５时 ， 求／ Ｚ的值．
＋ —
＋… ＋ １ — — ＿ ＿ 一 ຫໍສະໝຸດ ＂ ４ －２ ＝ 一 ＋
２ ＋ ２ × ２
＋
３ ＋２ × ３
２
２ ＋ ２ｎ ２
１
＝
２
×（ １ ＋２ ＋３ ＋． ． ‘ ＋ ）＋（ １＋２
＋
如（ １ ）当 Ｊ ｓ ＋５ ：＋… ＋． ｓ ：
．
・３＝ ０ 解得 Ｘ １ 一３ ， ＝１ ， 所 以点 Ａ坐标 是 （ １ ，
出 ｎ＝６ ．
３ ） ， 点 Ｂ坐标是（ 一３ ， 一１ ） ． 直线 Ａ Ｂ与 轴交点坐标是 Ｄ（ －２ ， ０ ） ， 与Ｙ 轴交
点坐标 是 Ｃ（ ０ ， ２ ） ， 因此 Ｏ Ｃ＝Ｏ Ｄ＝２ ， 所 以 △肖 Ｄ 的
是（ １ ， ２ ） ， 点 坐 标是 （ 一２ ，一１ ） ．。
（ ２ ）当 ＝２ 时， 直线 解析 式是 ） ， ＝ ＋２， 双 曲线
，
曲 解析 式是 ＝ ３ ， 因 此 解 方器 ＋２ ＝ 所以 ２ ＋
．
’
而 孚一 一 一 萼 一 ・ ２ 一 莩 一 ＝ 。 ， 因 此 得
／
（ Ｊ ｉ ｝为 正 整 数 ）交 于
／ ， １ Ｄ
图１
｜ ｓ ＿ ｃ ‘ ） （
＝
Ａ， 两点．
（ １ ） 当Ｊ ｌ ｝ ＝１ 时， 求Ａ ，
１ ＝ ， （ ３ × １ ＋ １ × ３ × ４ ＝ 萼 ． … ， 以 此 类 推 ， 当
两点的坐标；
时， 求 ｎ的值 ．
…
＋ｎ ） ，
则 答案 为 ｎ＝７ ， 观察 上面构 造 的方程 ：
１ １ ） （ ２ ｎ＋７ ） ＝ ｎ＋１ ） （ ２ ｎ＋７ ） ＝
女 口 暴绎 窄条件： １ ＋ ２ 十 ３ ＋…＋ ｎ ＝ １ ｎ （ 几 十
１ ） ①， 及１ ＋２ ＋３ ＋． ． ・ ＂ｎ ４ ２ ＝ １（ ＋１ ） （ ２ ｎ＋ １ ） ②，
Ｙ ＝ ＋尼和 双 曲线 Ｙ ＝
Ｄ
＋
” Ｙ
，
＝
。
２
× １ × １＋
÷ ２ × ｔ × ２ ＝ 吾 ２ ｒ ．
×Ｉ ｘ ． Ｉ
Ｘ
ｃ
当Ｊ ｉ ｝ ． ＝ ２ 时， ＡＯ Ａ Ｂ的面积记为 ． ｓ ２ ， Ｊ ｓ ２ ＝ ４ ，
当 ＝３时 ， ＡＯ Ａ Ｂ 的面 积记 为 Ｓ ３ ，
或 丢 ０ Ｄ ； × ＋ Ｉ Ｏ Ｄ × ＿ Ｉ ｙ Ｉ ＝ ２ × ２ × ３ ＋ １ ×
２ Ｘ １＝ ４ ．
（ ３ ） 当Ｉ ｌ ｝ ＝ｌ时 ， ／ ｘ Ｏ Ａ Ｂ 的面 积记 为 ｓ ｌ ，
Ｓ ｌ ｃ ｃ× Ｉ ｘ Ｂ Ｉ
．
点构成的三角形的面积与系数 ｍ， ｎ常数 有关 ， 下 面结合 ２ ０ １ ５ 年湖南邵 阳市招考压轴题对构成三角 形面积的探究规律问题进行分析， 供参考． 题目 （ ２ ０ １ ５年湖南 省邵 阳市 ） 如图 ， 已知 直线
江 苏省 兴化 市 大营初 中 河 南省 商丘 市谢 集一 中 ２ ２ ５ ７ ６ ７ ４ ７ ６ ０ ３ ２ 史继 生 魏祥 勤
直线， ， ＝ ＋ ｎ （ ｍ≠０ ， ｍ， ｎ 都 是常 数 ）与双 曲
王 ． － ’
线 ｙ＝ （ ． ｊ ｝ ０ ， ｜ ｝ ｉ 为 常数 ）如果 有交 点 ， 则 消 去 Ｙ以 后 得 出 的关 于 的方程 ｍＸ ２ ＋心 一Ｉ ｌ ｝ ＝０满足 条件 ｎ ＋４ ｍ ｋ≥ ０ ． 在 双 曲线 与直 线 相 交 时 ， 两 个交 点 与 原
探究一类直线与双曲线交点构造的三角形面积问题江苏省兴化市大营初中225767史继生河南省商丘市谢集一中476032魏祥勤直线ymxnm0mn都是常数与双曲线ykxk0k为常数如果有交点则消去y以后得出的关于x的方程mx2nxk0满足条件n24mk0
中学数学杂志 ２ ｏ １ ５ 年第 ８ 期
探究＿类直线与 、 曲线交点构造的三角形面积问题