高三理科数学附加题训练09
高三数学复习附加题专项训练15套有答案
ABC •••2013届高三数学复习附加题专项训练（一）烟雾满山飘 制作上传选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换为点(1,1)--与(0,2)-，设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求直线l 的方程答案：直线l 的方程为40x +=选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．答案：解得4a =+【必做题】22． 如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求APB ∆的重心G 的轨迹方程.答案：重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42)3x y x y x x --+-==-+即．23. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各2n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短.求该邮递员途径C 地的概率()f n 答案： 概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21n n n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++。
（第4题）BACA 1B 1C 12013届高三数学一轮复习附加题专项训练（二）1设A=1212⎤⎥⎢⎢⎢⎣，则6A的逆矩阵是 。
答案：逆矩阵为 1 00 -1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
选修4-4：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. 答案： 10z 的最大值是【必做题】22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．答案（1）1AA 与棱BC 所成的角是π3．（2）二面角1P ABA --．23. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）答案： （1）直线l 的斜率为（2）线段AB 中点的横坐标为定值2.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（三）选修4-2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵答案： 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程．解答： )4ρθπ=-．【必做题】 第22题口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ． （I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解答：（Ⅰ） ∴33(1)(2)49P P X P X ==+==；∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 第23题已知1()ln(1)(1)nf x a x x =+--,其中*n N ∈,a 为常数, (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2x ≥时,()1f x x ≤-.答案:(1) 2n =时,当0a >时,()f x 在1x =+处取得极小值2(1(1ln )2a f a+=+；当0a ≤时, ()f x 无极值. (2)略2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（四）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.答案：直线l '的方程为480x y +-=选修4-4：坐标系与参数方程求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．答案：弦长为【必做题】 第22题假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X . （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.答案：（Ⅰ）X 的分布列为（Ⅱ）Y 的分布列为第23题已知2()1f x x x =+-,()ln g x =若对任意12x >,都有()()f x g x ≤,试求a 的取值范围.答案: a 的取值范围是[,)e +∞.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（五）1选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案：66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值. 答案：当 53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)-【必做题】第22题 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥． （I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； 答案：（I ）略（II ）1||||AC n d n ⋅==u u u u r rr 7． 第23题设数列{}n a 满足*1112,().n n na a a n N a +==+∈ （1）证明：n a 对*n N ∈恒成立； （2）令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．23题提供答案 证明： （1）111111(0)(0,1)12,22,{}(2,)12111k k n n kk kk k y x x x xa a a a a n a a nn k nk a a a ++=+>∈∈∞==+≥≥+∞===>>==>=+=+>=是减函数,x (1,+)为增函数。
赣马高级中学高三数学附加题训练09
21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，假设多做，那么按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换 〔南通第一学期期末〕1237M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求1M - 答案要点：设1a b M cd -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，依题意，有12103701ab c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即3271032701a b a b c dc d +--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦那么23127030270b a bcd c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩，所以7,2,3,1ab c d ==-==-所以17231M --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆中心在原点，焦点在x 轴上。
离心率为12，点(,)P x y 是椭圆上的一个动点，假设y x 32+的最大值为10，求椭圆的标准方程．解：离心率为12，设椭圆标准方程是2222143x y c c +=，它的参数方程为⎧⎨⎩2cos x y θθ==(θ是参数)2x 4cos 3sin 5sin()c c c θθθϕ=+=+最大值是5c ，依题意510c =，2c =，椭圆的标准方程是2211612x y += 答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第22题、用数学归纳法证明:)(53*∈+N n n n 能被6整除.DBD1B答案要点:(1)当1=n时,3151+⨯能被6(2)假设kn=kk53+能被6整除,所以当1+=kn时,)5()55()133()1(5)1(3233kkkkkkkk+=+++++=+++6)1(3+++kk,而两个连续的整数的乘积)1(+kk是偶数,所以3(1)k k+能被6整除,所以3(5)3(1)6k k k k++++能被6整除,即当1+=kn*∈Nn都正确.第23题〔上海改编〕1111ABCD A BC D-是底面边长为1的正四棱柱，1O是11AC和11B D的交点．假设点C到平面11AB D的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A BC D-的高．答案要点：设正四棱柱的高为h．建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A hB DC h11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC=-=-=设平面11AB D的一个法向量为(,,)n x y z=，∵1111n AB n ABn AD n AD⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩，取1z=得(,,1)n h h=∴点C到平面11AB D的距离为2||43||n ACdn h⋅===，那么2h=．。
全国新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(九)(含答案详析)
专题限时集训 (九 )[ 第 9 讲等差数列、等比数列 ] (时间： 45 分钟 )1．已知 q 是等比数列 { a n } 的公比，则 “q<1”是“数列 { a n } 是递减数列”的 ( ) A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件 C ．充要条件 D ．既不充足也不用要条件 2．公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 21 项的和等于前 8 项的和．若 a 8＋ a k ＝ 0，则 k ＝ ( )A ． 20B ． 21C ． 22D ． 23 3．已知数列 { a n } ，以下说法中正确的选项是 ( )A ．若 a n 2＝ 4n ， n ∈ N *，则数列 { a n } 为等比数列2 * ，则数列 { a n } 为等比数列B ．若 a n a n ＋2 ＝a n ＋ 1， n ∈NC ．若 a m a n ＝2m ＋n ， m ， n ∈ N * ，则数列 { a n } 为等比数列n n ＋3＝ a n＋1 n ＋ 2，n ∈ N *，则数列 { a n为等比数列D ．若 a a a }4．在等比数列 { a n } 中， a 1＝ 2，前 n 项和为 S n ，若数列 { a n ＋ 1} 也是等比数列，则 S n 等于 ()A ． 2n ＋1 －2 B ．3nC ． 2nD ． 3n － 15．若数列 { a n } 知足 a 1＝ 15，且 3a n ＋1＝ 3a n － 2，则使 a k · a k ＋1<0 的 k 值为 ( )A ． 22B ． 21C ． 24D ． 23n 是其前 n 项和， a 1＝－ 11，S 10－ S 8＝ 2，则 S 11＝ (6．等差数列n){ a } 中， S10 8A ．－ 11B ． 11C ． 10D ．－ 107．等比数列 { a n } 中，a 1 ＝512，公比 q ＝－ 1，记∏ n ＝ a 1× a 2× × a n (即∏ n 表示数列 { a n }2的前 n 项之积 )，则∏ 8，∏ 9，∏ 10，∏ 11 中值为正数的个数是 ()A ． 1B ． 2C ．3D ．4＋ n － 10 2 8．已知数列 { a n } 知足 a 1＝－ 4，a n ＋ 1＝ 2a n － 2n 1，若 b n ＝ n ＋ a n ，且存在 n 0 对随意的 n(n ∈ N * n ≤ bn 0 建立，则 n 0 的值为 ()1)，不等式 bA ． 11B ． 12C ． 13D ． 149．在等差数列 { a n } 中，有 a 6＋ a 7＋ a 8＝12，则此数列的前 13 项之和为 ________．10．已知数列 { a n } 的首项 a 1＝ 1，其前 n 项和 S n ＝ n 2· a n (n ∈ N * )，则 a 9＝ ________．11．已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠ 0，且 a 1，a 3，a 13 成等比数列． 若 a 1＝ 1，S n 是数列 { a n }2S n ＋ 16的前 n 项和，则 a n ＋ 3 的最小值为 ________．12．已知定义在正整数集上的函数 f(n)知足以下两个条件：(1)f(m ＋ n)＝ f(m)＋ f(n)＋ mn ，此中 m ， n 为正整数； (2) f(3) ＝6.则 f(2013) ＝ ________________ ．13．在等差数列 { a n} 中， a2＋ a7＝－ 23， a3＋ a8＝－ 29.(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)设数列 { a n＋ b n} 是首项为 1，公比为 c 的等比数列，求{ b n} 的前 n 项和 S n.14．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n知足 S n＝2a n＋ (－ 1)n(n∈N* )．(1)求数列 { a n} 的前三项a1， a2， a3；a n＋2n为等比数列，并求出数列{ a n} 的通项公式．(2)求证：数列3(－ 1)15．已知数列 { a n} 的相邻两项a n， a n＋1是对于 x 的方程 x2－2n x＋b n＝ 0(n∈N* )的两根，且 a1＝ 1.(1)求证：数列a n－1× 2n是等比数列；3(2)设 S n是数列 { a n} 的前 n 项和，求S n.专题限时集训 (九 )1．D [ 分析 ] 当 q<1 时，等比数列未必是递减的，如q ＝－ 1 时，等比数列是正负相间的，是摇动数列，条件不充足；反之，数列的首项为负值， q>1 时数列是递减的，条件不用要．2．C [ 分析 ] S 21＝ S 8，即 a 9＋ a 10＋ ＋ a 21＝ 0，依据等差数列项的性质得 a 15＝ 0，当 k＝ 22 时， a 8＋ a 22＝2a 15＝0，因此 k ＝22.3． C [ 分析 ] 选项 A 中， a n ＝ ±2n，不必定是等比数列；选项 B ， D 中， a n ＝ 0 时，不能组成等比数列；选项 C 中，令 m ＝1 可得 a 1a n ＝ 2n ＋ 1，因为 a m a n ＝ 2m ＋ n≠ 0，因此 a 1≠ 0，因此 a n ＝2n＋1，因此数列 { a n } 为等比数列．a 14． C [ 分析 ] 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，因为 { a n ＋ 1} 也是等比数列，因此 (a 2＋ 1)2＝( a 1 ＋ 1)(a 3＋ 1)，即 a 22＋ 2a 2＋ 1＝ a 1a 3＋ a 1＋a 3＋1，即 2a 2 ＝ a 1 ＋a 3，即 2q ＝ 1＋ q 2，解得 q ＝ 1，因此数列 { a n } 是常数列，因此 S n ＝ 2n.5．D[ 分析 ] 因为 3a n ＋ 1＝ 3a n －2，因此 a n ＋1 －a n ＝－ 2，因此数列 { a n } 是首项为 15，公3差为－2的等差数列，因此 a n ＝ 15－2(n －1)＝－ 2n ＋ 47，由 a n ＝－ 2n ＋ 47>0，得 n<23.5，所 3 3 3 3 3 3以使 a k · a k ＋1<0 的 k 值为 23. S n6．A [ 分析 ] 依据等差数列和的性质可知，数列 也是等差数列，且 1n S ＝ a 1＝－ 11，1 公差为 1，因此S n＝－ 11＋ (n － 1)× 1＝ n － 12，因此 S n ＝ n(n － 12)，因此 S 11＝－ 11.nn － 17． B [ 分析 ] 等比数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 512 －12 ，该数列的奇数项为正当、偶数项为负值， Π 8 为四项正当四项负值相乘，故 Π 8 的值为正数， Π 9 为五项正当四项负值相乘，故 Π 9 为正当， Π 10 为五项正当五项负值相乘，故 Π 10 为负值， Π 11 为六项正当五项负值相乘，故 Π 11 为负值．n ＋ 1 a n ＋1 a n a 1a n 8． C[ 分析 ] a n ＋1＝ 2a n －2?2n ＋1－2n ＝－ 1，且 2 ＝－ 2，因此 2n ＝－ 2＋ (n －1)× ( －1)，由此得 a n ＝－ (n ＋ 1)×2n，因此 b n ＝(102－n)2n.当 n ≥ 102时， b n ≤ 0，要求的 n 0<102.若b n＝10 2－ n≥ 1，即 10 2－ n －（ 20 2－ 2－ 2n ） ≥ 0，即 10 2－ b n ＋1 [102－（ n ＋ 1） ]×2 20 2－ 2－ 2nb n ＝ （ 10 2－ n ）× 220 2－ 2n －（ 10 2－ n ＋1）2≤ n<1010 2－ n ＋ 1 ≥ 1，即 2－ 1，故 n ＝ 13；若 b n －110 2－n ＋ 1 ≥ 0，即 n ≤ 10 2－ 1 或 n ≥ 10 2＋ 1.综上可知 n 0＝13.9． 52 [分析 ] 等差数列 { a n } 中，有 a 6 ＋a 7＋ a 8＝ 3a 7＝ 12，∴ a 7＝ 4，∴ S 13＝ 13a 7＝ 52，故此数列的前 13 项之和为 52.10. 1[分析 ]S n ＝ n 2· a n ， S n ＋ 1＝ (n ＋ 1)2a n ＋1，故 a n ＋ 1＝ (n ＋1) 2a n ＋ 1－ n 2a n ，化简得 (n ＋452)a n ＋ 1＝ na n ，即a n＋1＝ n，因此 a 9＝a 9 ·a 8· ·a 2·a 1＝ 8 ×7× 6× × 2×1×1＝2＝ 1.a nn ＋ 2a 8 a 7a 110984 390 4511．4 [分析 ] 依据已知 (a 1＋ 2d)2＝ a 1(a 1＋ 12d)，化简得 d 2＝ 2a 1d ，d ≠0，得 d ＝ 2a 1＝ 2，所 以 a n ＝ 1 ＋ (n － 1)× 2 ＝ 2n －1 ， S n ＝ n 22S n ＋16 2n 2＋ 16n 2＋ 8 ， 所 以a n ＋3 ＝2n ＋ 2＝n ＋ 1 ＝（ n ＋ 1） 2－2（ n ＋ 1）＋ 99－ 2≥6－ 2＝ 4，当且仅当 n ＋ 1＝3，即 n ＝ 2 时等n ＋ 1 ＝ (n ＋ 1)＋n ＋ 1号建立．12．2 027 091 [分析 ] f(3) ＝ f(2) ＋ f(1)＋ 2，f(2) ＝ f(1)＋ f(1)＋ 1，因此 f(3)＝ 3f(1) ＋ 3，根据 f(3) ＝ 6 可得 f(1) ＝1.因此 f(n ＋ 1)＝ f(n)＋ f(1)＋ n ＝f(n)＋ n ＋ 1，因此 f(n ＋ 1)－ f(n)＝ n ＋ 1.令 n ＝1， 2， ， 2013 ，得 f(2) － f(1) ＝ 2，f(3) －f(2)＝ 3，f(2013) － f(2012) ＝ 2013，1＋ 2013各式相加得 f(2013) ＝ 1＋ 2＋ 3＋ ＋ 2013＝× 2013＝ 1 007× 2013＝ 2 027 091.13． 解： (1)设等差数列 { a n } 的公差是 d.依题意 a 3＋ a 8－ (a 2＋ a 7)＝ 2d ＝－ 6，进而 d ＝－ 3.因此 a 2＋ a 7＝ 2a 1＋ 7d ＝－ 23，解得 a 1＝－ 1.因此数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝－ 3n ＋ 2.(2)由数列 { a n ＋ b n } 是首项为 1，公比为 c 的等比数列，得 a n ＋ b n ＝c n － 1，即－ 3n ＋ 2＋ b n ＝ c n －1，因此 b n ＝ 3n － 2＋c n －1.因此 S n ＝ [1＋ 4＋ 7＋ ＋ (3n － 2)]＋ (1＋ c ＋c 2 ＋ ＋ c n －1)＝n （3n － 1）＋(1＋ c ＋ c 2＋ ＋ c n －1)． 2n （ 3n － 1）3n 2＋ n进而当 c ＝ 1 时， S n ＝＋ n ＝ ；2n2 当 c ≠1 时， S n ＝ n （ 3n － 1）＋ 1－ c .21－ c 14．解： (1)由 a 1＝ 2a 1－ 1，解得 a 1＝ 1；由 a 1＋ a 2＝ 2a 2＋ 1，解得 a 2＝0；由 a 1＋ a 2＋ a 3＝ 1＋ a 3＝ 2a 3－1，解得 a 3＝2.(2)证明：由 S n ＝ 2a n ＋ (－ 1)n ，得 S n ＋ 1＝ 2a n ＋1 ＋ (－1) n ＋1，后式减去前式得S n ＋1－ S n ＝ 2a n ＋ 1＋ (－1) n ＋ 1－ 2a n － (－ 1)n ，即 a n ＋1＝ 2a n ＋ 1＋ ( －1) n ＋1－ 2a n－ (－ 1)n ，整理得 a n ＋ 1＝ 2a n ＋2(－ 1)n .2 n ＋ 1 n2 n ＋ 1 2 na n ＋1＋ 3(－ 1) ＝ 2a n ＋ 2(－1) ＋ 3(－ 1) ＝ 2 a n ＋ 3（－ 1），又 a －2＝ 1，因此数列 n ＋2（－ 1） n是首项为 1，公比为 2 的等比数列，1 3 3 a 3 32 (－ 1) n 1 n － 1 ，因此 a n ＝ 1 × 2 n －1 2 n.因此 a n ＋ ＝ × 2 3 － (－ 1)3 3 3 a n ＋ a n ＋ 1＝ 2n，15． 解： (1)证明：∵ a n ，a n ＋ 1 是方程 x 2－ 2n x ＋ b n ＝0(n ∈ N *)的两根，∴111a n a n ＋1＝ b n .n ＋1nn ＋1－na n ＋1－ × 22 － a n － × 2a n － × 2∵3＝3＝3＝－ 1，a n － 1× 2na n － 1× 2na n －1× 2n333∴数列 a n － 1×2n是首项为 a 1－ 2＝ 1，公比为－ 1 的等比数列．3 3 3(2)由 (1)得 a n － 1× 2n＝1× (－ 1)n － 1，即 a n ＝1[2n －(－ 1) n ]．3 3 1 3∴ S n ＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a n ＝ 1 2 3 n1 ＋ (－1)2 ＋ (－ 1)3 ＋ ＋ (－{(2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ ＋ 2 )－ [( －1)3n]} ＝ 12（ 1－ 2n） － 1[1 －（－ 1） n]1 n ＋1（－ 1） n－ 11) 3 1－ 2 － 1－（－ 1）＝ 2－2－ 2.3。
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-9(含答案)
10．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应 为 0.10，0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立，以 ξ表示同时需要调整的部件 数，试求 ξ的数学期望 Eξ和方差 Dξ.
由①②解得 a＝0.3，b＝0.5，
∴ a× b＝ 0.3× 0.5＝ 0.15. 答案 C
3．已知离散型随机变量 ξ，η，满足 ξ＋η＝8，且 ξ～B(10,0.6)，则 Eη，Dη分 别是 ( )
A ． 6、 2.4
B ． 2、 2.4
C． 2、 5.6
D ． 6、 5.6
解析 由均值、方差的性质， ξ＋η＝8，得 η＝ 8－ ξ，
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)设团体总分为 ξ，求随机变量 ξ的分布列和数学期望．
解析 (1)设乙闯关成功的概率为 P1，丙闯关成功的概率为 P2，则由题意得
1 3P1
＝16，
P1·P2＝15.
解得 P1＝12，P2＝25.
即乙闯关成功的概率为
12，丙闯关成功的概率为
2 5.
(2)由题意知，ξ的可能取值为
4 ＝5，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件 “该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 ”，与事件“ ξ＝ 0”是对立的， 6 119
所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1－ P(ξ＝ 0)＝1－ 125＝125.
(2)由题意知 P(ξ＝ 0)＝P( A 1 A 2 A 3)
高三数学附加题练习1-12
①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
②记花圃中红色鲜花区域的块数为S，求S的分布列及其数学期望E(S)．
高三数学附加题练习（五）
班级姓名
1．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A(0，1)，B(2，1)，C(2，3)，D(0，2)，经矩阵M＝ 表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1，问：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积是否相等？试证明你的结论．
高三数学附加题练习（九）
班级姓名
1．已知矩阵 ,向量 .
(Ⅰ)求 的特征值 、 和特征向量 、 ；
(Ⅱ)计算 的值.
2．已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ， 相交于 ， 两点.
（Ⅰ）把曲线 ， 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦 的长度.
3．在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ∥ ， ， ⊥平面 ， ， ， .
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ，求 的分布列及 的数学期望．
4．已知两曲线 ， ， ．
（1）求两曲线Leabharlann 交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与 轴交于 两点，求 的长．
高三数学附加题练习（三）
班级姓名
1．已知圆锥曲线的极坐标方程为 的焦点极坐标和准线极坐标方程．
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．
高三数学附加题练习（六）
班级姓名
1．已知矩阵 ，点 ，点 .
2018年高考一轮江苏数学理科 附加题部分 第3章 第65课 课时分层训练9
课时分层训练(九)A组基础达标(建议用时：30分钟)1．已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足AC＝AB，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．[解]由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，代入点C的轨迹方程得4x20＋4(y0－2)2＝9，化简得x20＋(y0－2)2＝9 4，故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝9 4.2．动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线. 【导学号：62172348】[解]设点P(x，y)，则k AP＝yx－a，k BP＝yx＋a.由题意得yx－a·yx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.所以点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A，B两点)．(2)当k≠0时，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A，B两点)．②若k<0，(*)式可化为x2a2＋y2(－ka2)＝1.当－1<k<0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A，B两点)；当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A，B两点)；当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A ，B 两点)． 3．如图65-3所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图65-3[解] 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)． 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．4．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知点E (1,0)，若A ，B 是曲线C 上的两个动点，且满足EA ⊥EB ，求EA →·BA →的取值范围. 【导学号：62172349】[解] 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则点D 的坐标为(x 0,0)． 由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y .因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4.所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为EA ⊥EB ，所以EA →·EB →＝0. 所以EA →·BA →＝EA →·(EA →－EB →)＝EA →2.设点A (x 1，y 1)，则x 214＋y 21＝1，即y 21＝1－x 214. 所以EA →·BA →＝EA →2＝(x 1－1)2＋y 21 ＝x 21－2x 1＋1＋1－x 214＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23.因为点A (x 1，y 1)在曲线C 上，所以－2≤x 1≤2. 所以23≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23≤9， 所以EA →·BA →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，9.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．如图65-4，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．图65-4[解] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .2．已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程．[解] 由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2yx ，③∴x ≠0，且|x |< 2.∵点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)． 3．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB ＝23，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．[解] (1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ， 则23＝24－d 2，得d ＝1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34， 故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →， 所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2. 又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)，所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点．4．已知点A (－1,0)，F (1,0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N .问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋1，y )，FP →＝(x －1，y )，AF →＝(2,0)． 由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x . 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)直线l 的方程为y ＝2(x ＋1)，设Q (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 过点M 的切线方程设为x －x 1＝m (y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0.由Δ＝16m2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x＋x 1)．同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．因为Q (x 0，y 0)在切线上，所以⎩⎨⎧y 1y 0＝2(x 0＋x 1)，y 2y 0＝2(x 0＋x 2).所以点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在直线yy 0＝2(x 0＋x )上，所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x )．又MN ∥l ，所以2y 0＝2，即y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，所以x 0＝－12，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.。
高三数学高考附加题专项练习套卷(10套)
高考附加题专项练习(一)1．过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．2．已知(n x 的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．3．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P 到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点Q （0，－1）作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积．4．如图，正方题1111D C B A ABCD -中，M 是棱1BB 的中点。
⑴求直线M A 1与平面1AMC 所成角的正弦值； ⑵求二面角11A MC A --的余弦值。
BEAFDC高考附加题专项练习(二)1．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF ==.(Ⅰ) 求二面角A-DF-B 的大小；(Ⅱ) 在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600,试确定点P 的位置.2.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.3. 某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．4. 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积高考附加题专项练习(三)1．已知圆的极坐标方程为θθρsin 5cos 35-=，求它的半径和圆心的极坐标。
2某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。
菲翔学校高考数学附加题强化试题9理 试题
墨达哥州易旺市菲翔学校数学高考附加题强化试题9班级21.[选做题]在B 、C 、D 三小题中只能选做2题,每一小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换矩阵11A ⎡=⎢-⎣24⎤⎥⎦,向量74α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α；(2)计算5A α的值.C ．选修4—4：坐标系与参数方程曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点.〔1〕把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕求弦AB 的长度. D ．选修4—5：不等式选讲设ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，〔1〕断定,,b c a a b c c a b +-+-+-的符号；〔2〕求证：c b a cb ac b a c b a c b a ++≥-++-++-+222． [必做题]第22、23题,每一小题10分,计20分.22．〔本小题10分〕在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对〞和“错〞两种结果，其中某明星判断正确的概率为p ，判断错误的概率为q ，假设判断正确那么加1分，判断错误那么减1分，现记“该明星答完nn S 〞． 〔1〕当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望及方差； 〔2〕当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率． 23．〔本小题10分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，2211()2n n n S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩， ，， 〔1〕计算(1),(2),(3)f f f 的值； 〔2〕比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.数学高考附加题强化试题9参考答案21.B 解：(1)矩阵A 的特征多项式为1()1f λλ-=24λ--2560λλ=-+= 得122,3λλ==,当1122,1λα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦时解得,当2213,1λα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦时解得.………5分(2)由12m n ααα=+得273,14m n m n m n +=⎧==⎨+=⎩得.……………………7分 由(2)得:5A α5551212(3)3()A A A αααα=+=+55551122214353()32311339λαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………10分 21.C.解：〔1〕曲线2C ：4πθ=〔R ∈ρ〕表示直线x y =…………………………2分 曲线1C ：θρcos 6=,即θρρcos 62=，所以x y x622=+即9)3(22=+-y x .…6分 〔2〕 圆心〔3，0〕到直线的间隔223=d ，3=r 所以弦长AB =23.………10分 21.D 〔1〕因为c b a ,,的三角形的三边，所以0,0,0b c a c a b a b c +->+->+->……4分〔2〕222a b c b c a c a b a b c+++-+-+- ()21a b c a b c=++++a b c =++………………………………………………………10分 22.〔1〕||3S =ξ 的取值为1，3，又21==q p ；………………………………1分 故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ，41)21()21()3(33=+==ξP ．…………………3分 所以ξ的分布列为：且ξE =1×43+3×41=23；…………………………………………………………5分 〔2〕当S 8=2时，即答完8题后，答复正确的题数为5题，答复错误的题数是3题，…6分 又)4,3,2,1(0=≥i S i ，假设第一题和第二题答复正确，那么其余6题可任意答对3题；假设第一题和第二题答复错误，第三题答复正确，那么后5题可任意答对题．………………8分此时的概率为33536587123088080()()()()33218733P C C ⨯=+⋅⋅==或．……………………10分 23.〔1〕由213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=；……3分 〔2〕由〔Ⅰ〕知(1)1,(2)1f f >>；下面用数学归纳法证明： 当3n ≥时，()1f n <．〔１〕由〔Ⅰ〕当3n =时，()1f n <；……5分 〔２〕假设(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k =+++<+，那么 11112(21)(22)k k k k =--<++，所以当1n k =+时，()1f n <也成立.……8分 由〔1〕和〔2〕知，当3n ≥时，()1f n <． 所以当1n =，和2n =时，()1f n >；当3n ≥时，()1f n <．……10分。
2018届高考数学理科二轮总复习练习：专题九 附加题部分 含解析 精品
1．(2015·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长． 解 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则各点的坐标为 B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．(1)由题意知，AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0,2,0)． 因为PC →＝(1,1，－2)，PD →＝(0,2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1,0,2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1,2λ)， 又DP →＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.2．(2015·江苏)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数． (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6； 若a ＝3，则b ＝1,3,6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： 1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立；3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立；4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立；5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立；6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．3．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎨⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2. 又∵P ，Q 关于l 对称， ∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p . 又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p . ∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )．②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ， 即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0有两个不等实根．∴Δ＞0. 即4p 2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43，故所求p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，43. 4．(2016·江苏)(1)求7C 36－4C 47的值；(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.(1)解 7C 36－4C 47＝7×20－4×35＝0.(2)证明 对任意的m ，n ∈N *，n ≥m ， ①当n ＝m 时，左边＝(m ＋1)C m m ＝m ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＝m ＋1，原等式成立．②假设当n ＝k (k ≥m )时命题成立．即(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)C m ＋2k ＋2，当n ＝k ＋1时，左边＝(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＋(k ＋2)C m k ＋1＝ (m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3.而(m ＋1)C m ＋2k ＋3－(m ＋1)C m ＋2k ＋2＝(m ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋3)！(m ＋2)！(k －m ＋1)！－(k ＋2)！(m ＋2)！(k －m )！ ＝(m ＋1)×(k ＋2)！(m ＋2)！(k －m ＋1)！[(k ＋3)－(k －m ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋1)！m ！(k －m ＋1)！＝(k ＋2)C m k ＋1， ∴(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3，∴左边＝右边．即当n ＝k ＋1时命题也成立．综合①②可得原命题对任意m ，n ∈N *，n ≥m 均成立．5．(2017·江苏)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．解 在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系A －xyz .因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°， 则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)， A 1(0,0，3)，C 1(3，1，3)．(1)A 1B →＝(3，－1，－3)，AC 1→＝(3，1，3)， 则cos 〈A 1B →，AC 1→〉＝A 1B →·AC 1→|A 1B →||AC 1→|＝(3，－1，－3)·(3，1，3)7＝－17，因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为AE →＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B →＝(3，－1，－3)，BD →＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE →，m 〉＝AE →·m |AE →||m |＝(3，0，0)·(3，3，2)3×4＝34.设二面角B －A 1D －A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B －A 1D －A 的正弦值为74. 6．(2017·江苏)已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m ，n ∈N *，n ≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m ＋n 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉(k ＝1,2，3，…，m ＋n ).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X )是X 的数学期望，证明：E (X )<n(m ＋n )(n －1).(1)解 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ＝C n －1m ＋n －1C n m ＋n ＝n m ＋n.(2)证明 随机变量X 的概率分布为随机变量X 的数学期望为E (X )＝∑k ＝n m ＋n1k ·C n －1k －1C n m ＋n＝1C n m ＋n ∑k ＝n m ＋n 1k ·(k －1)！(n －1)！(k －n )！.所以E (X )<1C n m ＋n ∑k ＝n m ＋n(k －2)！(n －1)！(k －n )！＝1(n －1)C n m ＋n ∑k ＝n m ＋n (k －2)！(n －2)！(k －n )！＝1(n －1)C n m ＋n(1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2)＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1n －1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1n ＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝…＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1m ＋n －2＋C n －2m ＋n －2) ＝C n －1m ＋n －1(n －1)C nm ＋n ＝n (m ＋n )(n －1)， 即E (X )<n(m ＋n )(n －1).江苏高考附加题第22题一般在空间向量与立体几何问题、随机变量与概率分布、抛物线之间轮考，试题难度中等，主要考查基本概念和运算求解能力；23题主要考查计数原理、二项式定理、数学归纳法等，试题难度大．热点一 空间向量与立体几何例1 (2017·江苏镇江一模)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 是棱PC 的中点．(1)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(2)若点F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的正弦值． 解 (1)以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)． 由点E 为棱PC 的中点， 得E (1,1,1)．故BE →＝(0,1,1)，BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0，不妨令y ＝1，则x ＝2，z ＝1， 可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的法向量， 于是cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|＝26·2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (2)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)， AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1， 故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)． 由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0， 因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0， 解得λ＝34，即BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0，不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的法向量， 取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－31010，即sin 〈n 1，n 2〉＝1010. 故二面角F －AB －P 的正弦值为1010. 思维升华 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．跟踪演练1 (2017·江苏苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝2，点M ，N 分别在P A ，BD 上，且PM P A ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD . 又P A ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以点O 为坐标原点，DA →，AB →方向分别为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，2)． OA →＝(1，－1,0)，AP →＝(－1,1，2)，故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝⎛⎭⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝⎛⎭⎫13，13，0， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，cos 〈MN →，PC →〉＝MN →·PC →|MN →||PC →|＝32，所以MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝⎛⎭⎫－43，23，0. 设m ＝(x ，y ，z )是平面PCB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·CB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，得z ＝1，m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·NC →＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝4，z 1＝2，n ＝(2,4，2)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝523×22＝53333，所以二面角N －PC －B 的余弦值为53333.热点二 曲线与方程、抛物线例2 (2017·江苏宿迁三模)在平面直角坐标系xOy 中，点F (1,0)，直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值． (1)解 因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直，所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离．连结PF ，因为点P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点，所以MP ＝PF ，所以点P 的轨迹是抛物线．焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 所以曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由题意知，过点M (－1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y －n ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0，所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0， 即k 2＋kn －1＝0.(*)因为Δ2＝n 2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2＝－1，所以∠AMB ＝90°，为定值．思维升华 求轨迹方程主要有两种方法：一是直接法，二是定义法．本题利用抛物线的定义求解，对于抛物线试题，解题关键是联立方程组，构造方程，利用方程思想解题． 跟踪演练2 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0.设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM →与NQ →共线． (1)解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点． 因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3,0)，所以OP →＝(x ，y )，ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x . 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明 因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0.所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4. 因为点M 为线段PQ 的中点， 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即点M (2m 2＋1,2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)， 所以SM →＝(2m 2＋2,2m －y 1)， NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． 因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2) ＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1 ＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0， 所以向量SM →与NQ →共线．热点三 计数原理与二项式定理例3 设f (n )＝(a ＋b )n (n ∈N *，n ≥2)，若f (n )的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P . (1)求证：f (7)具有性质P ；(2)若存在n ≤2 017，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．(1)证明 f (7)的展开式中第二，三，四项的二项式系数分别为C 17＝7，C 27＝21，C 37＝35. 因为C 17＋C 37＝2C 27，即C 17，C 27，C 37成等差数列，所以f (7)具有性质P .(2)解 设f (n )具有性质P ，则存在r ∈N *,1≤r ≤n －1，使C r －1n ，C r n ，C r ＋1n 成等差数列，所以C r －1n ＋C r ＋1n ＝2C r n .整理得4r 2－4nr ＋(n 2－n －2)＝0， 即(2r －n )2＝n ＋2， 所以n ＋2为完全平方数．又n ≤2 017，由于442<2 017＋2<452，所以n 的最大值为442－2＝1 934，此时r ＝989或945. 思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别．(2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．(3)关于x 的二项式(a ＋bx )n (a ，b 为常数)的展开式可以看成是关于x 的函数，且当x 给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．跟踪演练3 在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D r n x r ＋…＋D 2n －1nx 2n －1＋D 2n n x 2n 的展开式中，把D 0n ，D 1n ，D 2n ，…，D 2n n 叫做三项式系数．(1)当n ＝2时，写出三项式系数D 02，D 12，D 22，D 32，D 42的值；(2)类比二项式系数性质C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，给出一个关于三项式系数D m ＋1n ＋1(1≤m ≤2n －1，m ∈N ，n ∈N )的相似性质，并予以证明．解 (1)因为(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，所以D 02＝1，D 12＝2，D 22＝3，D 32＝2，D 42＝1.(2)类比二项式系数性质C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，三项式系数有如下性质：D m ＋1n ＋1＝D m －1n ＋D m n ＋D m ＋1n(1≤m ≤2n －1)． 证明如下：因为(1＋x ＋x 2)n ＋1＝(1＋x ＋x 2)·(1＋x ＋x 2)n ，所以(1＋x ＋x 2)n ＋1＝(1＋x ＋x 2)·(D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D 2n －1nx 2n －1＋D 2n n x 2n )． 上式左边x m＋1的系数为D m ＋1n ＋1，上式右边xm＋1的系数为D m ＋1n ＋D m n ＋D m －1n， 于是D m ＋1n ＋1＝D m －1n ＋D m n ＋D m ＋1n(1≤m ≤2n －1)．热点四 随机变量及其概率分布例4 (2017·江苏扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E (X )． 解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64(种)不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24(个)基本事件，则P (M )＝2464＝38， 所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764，P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二 甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫14k ⎝⎛⎭⎫343－k，k ＝0,1,2,3， 所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算．跟踪演练4 (2017·江苏南京考前指导卷)箱子中有4个形状、大小完全相同的小球，其中红色小球2个、黑色和白色小球各1个，现从中有放回的连续摸4次，每次摸出1个球． (1)求4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率； (2)求4次摸出球的颜色种数ξ的概率分布与数学期望．解 (1)记事件A 为“摸出1个球是红色小球”，事件B 为“摸出1个球是黑色小球”，事件C 为“摸出1个球是白色小球”，则A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝14，P (C )＝14.记事件D 为“有放回的连续摸4次，恰好有1次红球和1次黑球”，则P (D )＝A 24×12×14×⎝⎛⎭⎫142＝332. 故4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率是332.(2)随机变量ξ的可能值为1,2,3.记事件A i 为“摸出i 个红色小球”，事件B i 为“摸出i 个黑色小球”，事件C i 为“摸出i 个白色小球”．P (ξ＝1)＝P (A 4＋B 4＋C 4)＝P (A 4)＋P (B 4)＋P (C 4)＝⎝⎛⎭⎫124＋⎝⎛⎭⎫144＋⎝⎛⎭⎫144＝9128；P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫14＝132＋332＋18＝14， P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫14＝132＋332＋18＝14， P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫14＝164＋3128＋164＝7128，P (ξ＝2)＝P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＋P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＋P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝14＋14＋7128＝71128； P (ξ＝3)＝P (A 2·B 1·C 1＋A 1·B 2·C 1＋A 1·B 1·C 2)＝A 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋A 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫12＋A 24⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫12＝316＋332＋332＝38. 故随机变量ξ的概率分布为所以数学期望E (ξ)＝1×9128＋2×71128＋3×38＝295128.热点五 数学归纳法例5 (2017·江苏南通三模)已知函数f 0(x )＝cx ＋dax ＋b (a ≠0，ac －bd ≠0)．设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求f 1(x )，f 2(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明你的结论． 解 (1)f 1(x )＝f 0′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cx ＋d ax ＋b ′＝bc －ad (ax ＋b )2，f 2(x )＝f 1′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤bc －ad (ax ＋b )2′＝－2a (bc －ad )(ax ＋b )3.(2)猜想f n (x )＝(－1)n －1·a n －1·(bc －ad )·n ！(ax ＋b )n ＋1，n ∈N *. 证明：①当n ＝1时，由(1)知结论正确． ②假设当n ＝k ，k ∈N *时结论正确， 即有f k (x )＝(－1)k －1·a k －1·(bc －ad )·k ！(ax ＋b )k ＋1. 当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k －1·a k －1·(bc －ad )·k ！(ax ＋b )k ＋1′＝(－1)k －1·a k －1·(bc －ad )·k ！·[(ax ＋b )－(k ＋1)]′＝(－1)k ·a k ·(bc －ad )·(k ＋1)！(ax ＋b )k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②得对一切n ∈N *结论正确．思维升华 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．跟踪演练5 已知实数数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＝n ＋23n ·(a n －1＋2)，n ≥2.证明：当n ≥2时，{a n }是单调减数列． 证明 当n ≥1时，有a n ＋1－a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋33(n ＋1)－1a n ＋2(n ＋3)3(n ＋1)＝23(n ＋1)(n ＋3－na n)．下面用数学归纳法证明：a n >1＋3n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝2时，a 2＝46(3＋2)＝103>1＋32；(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，结论成立，即a k >1＋3k .那么，a k ＋1＝k ＋33(k ＋1)(a k ＋2)>k ＋33(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋3k ＋2 ＝1＋3k >1＋31＋k.故由(1)(2)知，a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．因此，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＋1－a n ＝23(n ＋1)(n ＋3－na n )<0，即当n ≥2时，{a n }是单调减数列．1．如图所示，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解 如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D －xyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)． 连结BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于点H . 设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°， 由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝22， 所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.2．某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题．用X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的概率分布和数学期望．解 用A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2. (1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2) ＝nm ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2). (2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2. P (X ＝n )＝P (A1A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14， P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12， P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14. 从而X 的概率分布为所以E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.3．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作抛物线的两条弦AB ，CD ，设直线AC 与BD 的交点为P ，直线AC ，BD 分别与y 轴交于M ，N 两点．(1)求证：点P 恒在抛物线的准线上； (2)求证：四边形PMFN 是平行四边形．证明 (1)由题意知F (1,0)，不妨设A (a 2,2a )，D (b 2,2b )，a >0，b <0，B (x B ，y B )． 直线AB 的方程为2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0， 得ay 2＋2(1－a 2)y －4a ＝0，由根与系数的关系得，2ay B ＝－4，即y B ＝－2a ，代入抛物线方程y 2＝4x ，得x B ＝1a 2，即B ⎝⎛⎫1a 2，－2a ， 同理得C ⎝⎛⎭⎫1b2，－2b ， 则直线AC 的方程为y ＝2b ab －1x －2aab －1，直线BD 的方程为y ＝2a ab －1x －2bab －1， 则M ⎝⎛⎭⎫0，－2a ab －1，N ⎝⎛⎭⎫0，－2b ab －1. 联立直线AC ，BD 的方程得⎩⎨⎧y ＝2b ab －1x －2aab －1，y ＝2a ab －1x －2bab －1可得点P 的横坐标为定值－1，即点P 恒在抛物线的准线上．(2)因为k FN ＝0－⎝⎛⎭⎫－2bab －11－0＝2bab －1＝k AC ，k FM ＝0－⎝⎛⎭⎫－2aab －11－0＝2a ab －1＝k BD ，所以四边形PMFN 是平行四边形．4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小． 解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k ，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n ＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0； 当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0； 当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0； 当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0； 当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0； 当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0. 猜想：当n ≥5时，S n －P n >0. 证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0. ②假设当n ＝k (k ≥5)时，S k －P k ＝2k －k 2>0. 当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2＝2·2k －k 2－2k －1＝2(2k －k 2)＋k 2－2k －1 ＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1 ＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0. ∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立． 由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立， 即S n >P n 成立．由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ； 当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ； 当n ＝3时，S n <P n .A 组 专题通关1．(2017·江苏扬州考前指导卷)如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝CF ＝1.(1)求两条异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值； (2)求直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．解 (1)以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则A (3,0,0)，C 1＝(0,3,3)，D 1＝(0,0,3)，E (3,0,2)， ∴AC 1→＝(－3,3,3)，D 1E →＝(3,0，－1)，∴cos 〈AC 1→，D 1E →〉＝AC 1→·D 1E →|AC 1→||D 1E →|＝－9－333×10＝－23015.则两条异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值为23015.(2)由(1)知B (3,3,0)，BE →＝(0，－3,2)，D 1E →＝(3,0，－1)． 设平面BED 1F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －z ＝0，－3y ＋2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1,2,3)．则直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·n |AC 1→||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3＋6＋933·14＝24221.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 是边长为2的等边三角形，PC ＝13，点M 在PC 上，且P A ∥平面BDM .(1)求直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值； (2)求平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小．解 因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为正三角形，作AD 边上的高PO ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，由面面垂直的性质定理，得PO ⊥平面ABCD ， 又ABCD 是矩形，同理CD ⊥平面P AD ， 知CD ⊥PD ，PC ＝13，PD ＝2，故CD ＝3.以AD 中点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (1,3,0)，C (－1,3,0)， D (－1,0,0)，连结AC 交BD 于点N ，连结MN . 因为P A ∥平面MBD ，平面APC ∩平面MBD ＝MN ， 所以MN ∥P A ，又N 是AC 的中点， 所以M 是PC 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫－12，32，32，设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， BD →＝(－2，－3,0)，MD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，－32，由n ·BD →＝0，n ·MD →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3y ＝0，－x 2－3y 2－3z2＝0， 令x ＝1，解得y ＝－23，z ＝13，所以取n ＝⎝⎛⎭⎫1，－23，33.(1)设PC 与平面BDM 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n |PC →||n |＝31313， 所以直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为31313.(2)向量CD →＝(0，－3,0)为平面P AD 的法向量， 设平面BDM 与平面P AD 所成的锐二面角为φ， 则cos φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝12， 故平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小为π3.3．(2017·江苏南京一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E (X )． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23. (2)由题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝5×13＝53.4．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A ，B 两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座中任意选听一场．若A 组有1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B 组有2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率； (2)若从A ，B 两组中各任选2人，设X 为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．解 (1)设“选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M ，则P (M )＝C 27C 13C 310＝2140，即选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为2140.(2)X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝950，P (X ＝1)＝C 11C 14C 23＋C 24C 12C 13C 25C 25＝1225， P (X ＝3)＝C 11C 14C 22C 25C 25＝125，故P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝310.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝65.5．如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标 x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以MN ＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝82k 2＋1|4k －3|，令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，MN ＝2 2 25t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，MN ＝2 2⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是852.6．是否存在正整数m 使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9对任意自然数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解 由f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36，由此猜想m ＝36.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k 时，结论成立，即f (k )能被36整除， 设f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9＝t ·36. 当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝(2k ＋7)·3k ＋1＋2·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)＝3·36t ＋18·2s ＝36(3t ＋s )． 所以当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切正整数n ，存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9都能被m 整除，m 的最大值为36.7．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中， 令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32. 所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导， 得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中， 令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160.8．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C k nm m ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *. (1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值． (1)解 当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C k n11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C n n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1. (2)证明 P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C k nmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)m m ＋k ＋(－1)n m m ＋n ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)kC k n －1m m ＋k ＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k nmm ＋k ＝P (n －1，m )－mn P (n ，m )．即P (n ，m )＝nm ＋n P (n －1，m )，由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C n n ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.B 组 能力提高9．(2017·江苏南京二模)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．(1)求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；(2)点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D ＝λ.若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．解 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD .连结AC ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 的中点，所以BC ⊥AE . 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD .以{AE →，AD →，AA 1→}为正交基底建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，A 1(0,0,2)，E (3，0,0)， F ⎝⎛⎭⎫32，12，1. (1)AD →＝(0,2,0)， EF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，所以AD →·EF →＝1.从而cos 〈AD →，EF →〉＝AD →·EF →|AD →||EF →|＝24.故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24. (2)设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D ＝λ，则A 1M →＝λA 1D →，即(x ，y ，z －2)＝λ(0,2，－2)． 则M (0,2λ，2－2λ)，CM →＝(－3，2λ－1,2－2λ)． 设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为AE →＝(3，0,0)，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，12y 0＋z 0＝0.取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0,2，－1)． 由于CM ∥平面AEF ，则n ·CM →＝0， 即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23.10．如图，在四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，SD ＝AD ＝AB ＝2，DC ＝1.(1)求二面角S －BC －A 的余弦值；(2)设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为22613，求线段CP 的长．解 (1)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1,0)，S (0,0,2)，所以SB →＝(2,2，－2)，SC →＝(0,1，－2)，DS →＝(0,0,2)． 设平面SBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·SB →＝0，n 1·SC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －2z ＝0，y －2z ＝0，取z ＝1，得x ＝－1，y ＝2，所以n 1＝(－1,2,1)是平面SBC 的一个法向量．因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量n 2＝(0,0,1)． 设二面角S －BC －A 的大小为θ， 所以|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪16＝66， 由图可知二面角S －BC －A 为锐二面角， 所以二面角S －BC －A 的余弦值为66. (2)由(1)知E (1,0,1)，则CB →＝(2,1,0)，CE →＝(1，－1,1)． 设CP →＝λCB →(0≤λ≤1)， 则CP →＝λ(2,1,0)＝(2λ，λ，0)，所以PE →＝CE →－CP →＝(1－2λ，－1－λ，1)．易知CD ⊥平面SAD ，所以DC →＝(0,1,0)是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin α＝|cos 〈PE →，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PE →·DC →|PE →||DC →|＝λ＋15λ2－2λ＋3， 即λ＋15λ2－2λ＋3＝22613，得λ＝13或λ＝119(舍)． 所以CP →＝⎝⎛⎭⎫23，13，0，|CP →|＝53， 所以线段CP 的长为53. 11．如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (2,1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，证明直线AB 的斜率为定值． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)， 因为点P (2,1)在抛物线上，所以22＝2p ×1，p ＝2. 故所求抛物线的方程是x 2＝4y .(2)由题意知，k AP ＋k BP ＝0，所以y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝0，x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2＝0，所以x 1＋24＋x 2＋24＝0，所以x 1＋x 2＝－4.k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 214－x 224x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－1.12．(2017·江苏徐州二模)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a (a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a .求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解 (1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“没有1首原创新曲被演唱”．所以P (A )＝1－P (A )＝1－C 45C 48＝1314.所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314.(2)设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0,1,2,3. 依题意知，X ＝ax ＋2a (4－x )，故X 的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a . 则P (X ＝8a )＝P (x ＝0)＝C 45C 48＝114，P (X ＝7a )＝P (x ＝1)＝C 13C 35C 48＝37，P (X ＝6a )＝P (x ＝2)＝C 23C 25C 48＝37，P (X ＝5a )＝P (x ＝3)＝C 33C 15C 48＝114.从而X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝8a ×114＋7a ×37＋6a ×37＋5a ×114＝132a .13．如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝6C 37＝635. (2)由题意知，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635， P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835.14．(2017·江苏苏锡常镇一模)设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n ＝sin n π2tan n θ，其前n 项和为S n .(1)求证：当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝12(1)n --tan n θ.(2)求证：对任意正整数n ，S 2n ＝12sin 2θ·[1＋(－1)n ＋1·tan 2n θ]．证明 (1)因为a n ＝sinn π2tan nθ. 当n 为偶数时，设n ＝2k ，a n ＝a 2k ＝sin 2k π2tan 2kθ＝sin k π·tan 2k θ＝0，a n ＝0. 当n 为奇数时，设n ＝2k －1，a n ＝a 2k －1 ＝sin(2k －1)π2tan n θ＝sin ⎝⎛⎭⎫k π－π2·tan nθ. 当k ＝2m 时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2m π－π2·tan nθ ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2·tan n θ＝－tan nθ， 此时n －12＝2m －1，a n ＝a 2k －1＝－tan n θ＝(－1)2m －1tan n θ＝12(1)n --tan n θ.当k ＝2m －1时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2m π－3π2·tan nθ ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3π2·tan n θ＝tan nθ， 此时n －12＝2m －2，a n ＝a 2k －1＝tan n θ＝(－1)2m －2tan n θ＝12(1)n --tan n θ.综上，当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝12(1)n --tan n θ.。
高考数学附加题专练(9)人教版
21．【 做 】 本 包含A 、B 、C 、D 四小 ， 定此中两 ， 并在相 的答 地区内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做， 按作答的前两 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步．B ． 修 4— 2：矩 与（本小 分 10 分）在平面直角坐 系xOy 中，直 ykx 在矩 01的 下获得的直 点P(4, 1) ，1 0 求 数 k 的 ．C ． 修 4— 4：坐 系与参数方程（本小 分10 分）在极坐 系中， 已知a sin （ a0 ）与直 cos 1 相切，求 数 a 的 ．【必做 】第 22、 23 ，每小10 分，共 20 分． 在答 卡指定地区内作答， 解答．．．．．．． 写出文字 明、 明 程或演算步 ．22．（本小 分10 分）已知数列 { a n } 足： a 11， a n 12a n ( n N *) ．2a n 1（ 1）求 a 2 ， a 3 的 ；（ 2） 明：不等式 0 a n a n 1 于随意 n N * 都建立． 23．（本小 分 10 分）如 ，在平面直角坐 系 xOy 中，抛物 的 点在原点，焦点F （ 1，0）． 抛物在 x 上方的不一样两点 A 、 B 作抛物 的切AC 、 BD ，与 x 分 交于 C 、 D 两点，且 AC 与BD 交于点 M ，直 AD 与直 BC 交于点 N ．（ 1）求抛物 的 准方程； （ 2）求 ： MN x ；（ 3）若直 MN 与 x 的交点恰 F （ 1， 0），求 ：直AB 定点．yAM B数学附带 参照答案N21．【 做 】CD O FxB ． 修 4— 2：矩 与解： T ：x x x 0 1 x yyy，1 0 y，即yxx ，（第 23 题）y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分x.代入直 y kx ，得 x ky ．1将点P(4，1)代入上式，得k4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分22C ．解：将 a sin 化成一般方程x 2y 2 ay ，整理，得 x2ya a ．24将直 cos1 化成一般方程x y20 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分a 22aa 42 2由 意， 得．解得 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1022分22 ．（1 ）解：由意 ， 得a 22，a 34． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分35（ 2） 明：①当 n1 ，由（1），知 0a 1a 2 ，不等式建立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分② 当n k (k N * ) ，0 a k a k 1成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当 n k 1，由 假 ，知ak 10 ．而a k2ak 12a k 12a k 2a k 1 a k 12a k a k 1 12(a k1a k )0 ，ak 1 1 a k1 (a k 1 1)( a k1) (a k 1 1)(a k 1)因此 0 a k 1a k2，即当 n k 1 ，不等式建立．由①②，得不等式 0 a nan 1于 任 意 n N *成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分23． 解：（ 1） 抛物 的 准方程y 22 px( p 0) ，由 意，得p1 ，即 p2 ．2因此抛物 的 准方程y 24x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（ 2） A( x 1，y 1 ) ， B( x 2，y 2 ) ，且 y 10 ， y 20 ．由 y 24 x （ y0 ），得 y2 x ，因此 y1 ．x因此切AC 的方程 yy 11(x x 1 ) ，即 y y 12(x x 1) ．x 1y 12整理，得 yy 1 2( x x 1 ) ，①且 C 点坐 ( x 1，0) ．同理得切 BD 的方程 yy 2 2( x x 2 ) ，②且 D 点坐 (x 2，0) ．由 ①②消 去y，得x Mx 1 y 2x 2 y 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分y 1 y 2又直 AD 的方程 yy 1( x x 2 ) ，③x 1x 2直 BC 的方程 yy 2( x x 1) ． ④x 2x 1由③④消去 y ，得 x Nx 1 y 2 x 2 y 1 ．y 1 y 2所 以 x Mx N， 即 MNx． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ 3）由 意， M (1，y 0 ) ，代入（ 1）中的①②，得 y 0 y 12(1 x 1 ) ， y 0 y 2 2(1 x 2 ) ．因此 A( x 1，y 1)，B(x 2，y 2 ) 都 足方程 y 0 y 2(1 x) ．因此直AB 的方程 y 0 y 2(1 x) ．故直AB 定点( 1，0) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分103。
高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练九)数学归纳法
(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r ＋…－C 4t －54(t －1)·4， ∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ≥4.显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4. 综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n .3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立， ∴a ≥12－x. 又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数， ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数． (1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小． 解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k ， ∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，∴S n－P n＝2n－n2.当n＝1时，S1－P1＝2－1＝1>0；当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，S n－P n>0.证明如下：①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n＝P n；当n＝3时，S n<P n.。
高三第二学期理科数学附加题限时训练
高三理科数学附加题限时训练（7）21.(选做题）B.（选修4—2 ：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若矩阵AB 对应的变换把直线:20l x y +-=变为直线l '，求直线l '的方程．C.（选修4—4 ：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为cos ,(sin x r y r θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，0)r >，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为17. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。
甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。
用X 表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.（1）求随机变量X 的概率分布列和数学期望()E X ； （2）求甲取到白球的概率.23.（本小题满分10分）设()f x 是定义在R 上的函数，已知*n N ∈，且00111222012()()(1)()(1)()(1)n n n n n n g x C f x x C f x x C f x x n n n --=-+-+-+L 0()(1)n n n n C f x x n+-.（1）若()1f x =，求()g x ； （2）若()f x x =，求()g x .2016届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（Ⅱ）参考答案及评分标准21B 解：∵1101,20201A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴111011=22020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………………………4分 在直线l '上任取一点(,)P x y ，它是由l 上的点000(,)P x y 经矩阵AB 所对应的变换所得，则一方面，∵点000(,)P x y 在直线:20l x y +-=上，∴0020x y +-=.……①00x x AB y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即0011202x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴000122x y x y y⎧+=⎪⎨⎪=⎩， …………………………7分 ∴001412x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……② 将②代入①得112042x y y -+-=，即480x y +-=，∴直线l '的方程为480x y +-=. ……………………………10分21C 解：圆C的参数方程为cos ,(sin x r y r θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，0)r >，消去参数θ得()2220x y r r ⎛⎛+++=> ⎝⎭⎝⎭，所以圆心22C ⎛-- ⎝⎭，半径为r .…………3分 直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，化为普通方程为0x y +. ……………6分圆心22C ⎛ ⎝⎭到直线0x y +=的距离为2d =，……8分 ∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴3321r d =-=-=．…………………………………10分22.解：设袋中白球共有x 个，*x N ∈，则依题意知：22717x C C =，∴(1)12176721x x -⨯=⨯⨯，即 260x x --=，解之得3x =（2x =-舍去）.………………………………………1分 （1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X 的所有可能取值是1，2，3，4，5.13173(1)7A P x A ===，1143272(2)7A A P x A ===，2143376(3)35A A P x A ===，3143473(4)35A A P x A ===，4143571(5)35A A P x A ===.……………………………………………………………5分（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）所以32631()12345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………6分（2）记事件A =“甲取到白球”，则事件A 包括以下三个互斥事件： 1A =“甲第1次取球时取出白球”； 2A =“甲第1次取球时取出白球”； 3A =“甲第1次取球时取出白球”.依题意知：131173()7A P A A ==，21432376()35A A P A A ==，41433571()35A A P A A ==，………………9分（注：此段3分的分配是每错1个扣1分，错到3个即不得分.） 所以，甲取到白球的概率为12312336122()()()()()7353535P A P A A A P A P A P A =++=++=++=. ………………………………10分23.解：（1）∵()1f x =，所以01()()()1nf f f n n n==⋅⋅⋅==， ………………………1分∴001112220()(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n g x C x x C x x C x x C x x --=-+-+-++-L [(1)]1n x x =-+=.∵00无意义，∴()1g x =，且0x ≠，1x ≠，x R ∈. …………………………4分 （注：不写x 的取值范围不扣分.）（2）∵11!!(1)!!()!(1)!!(1)![(1)(1)]!rr nn n n n rC r n nC r n r r n r n r ---=⋅==⋅=------，其中1,2,,r n =L .∴11r r n n rC nC --=（1,2,,r n =L ）. …………………………6分 又∵()f x x =，∴00111222012()0(1)(1)(1)(1)n n n nn n n n n n g x C x x C x x C x x C x x n n n--=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-L11122201[(1)2(1)(1)(1)]n n r r n r n n n n n n C x x C x x rC x x nC x x n---=-+-++-++-L L .01112211011111[(1)(1)(1)(1)]n n r r n r n n n n n n n C x x C x x C x x C x x n---------=⋅-+-++-++-L L ……………………………………8分00111211(1)(1)1101111[(1)(1)(1)(1)]n n r r n r n n n n n n x C x x C x x C x x C xx -------------=-+-++-++-L L 1[(1)]n x x x x -=-+=.即().g x x = 且0x ≠，1x ≠，x R ∈. ……………………………………………………10分 （注：不写x 的取值范围不扣分.）。
高三数学9月学生学业能力调研考试试题理附加题试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期高三数学〔理9月〕进步卷1.(15分)直线1y e =是函数()xax f x e =的切线〔其中 2.71828e =〕.(I)务实数a 的值；(II)假设对任意的(0,2)x ∈，都有2()2m f x x x <-成立，务实数m 的取值范围；〔Ⅲ〕假设函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，证明：1()g x '+2()g x '12()2x x g +'> ．2.〔15分〕函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．(Ⅰ)假设函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，务实数a 的取值范围；(Ⅱ)假设直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (Ⅲ)当0b =时，假设()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．〔取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4〕1.解：(Ⅰ)由题意得(1)()xa x f x e-'=，设切点〔0,1x e〕 所以0()0f x '=，得01x =.那么1a ee=，1a ∴=……………3分(Ⅱ)由〔1〕知2()2xx m f x ex x=<-对任意(0,2)x ∈都成立，220x x->，即232xx x m e ->对任意(0,2)x ∈都成立，………5分 令232()xx x h x e -=，………6分 (0,1),()0x h x '∴∈>；(1,2),()0x h x '∴∈<()h x ∴在(0,1)上单增，()1,2上单减，………7分max 1()(1),h x h e ∴==1()(1),h x h e∴≤=………8分 1m e∴>…………9分(Ⅲ)证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以1()1g x x'=-，因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln x x x x -=， ………10分不妨令211x t x =>，那么21x tx =，那么11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-，………11分要证1()g x '+2()g x '12()2x x g +'>只要证12121121x x x x +>++只要证112(1)1ln ln (1)ln t t t t t t t t---+>++………12分即证12(1)ln 01t t t t t ---->+令12(1)()ln 1t t t t t t ϕ-=---+令432()41m t t t t t =+-++2()12680m t t t ''=+->对1t >恒成立()m t '∴在()1,+∞上单增()(1)0m t m ''∴>=()m t ∴在()1,+∞上单增，()(1)0m t m ∴>=即()0t ϕ'>()t ϕ∴在()1,+∞上单增()(1)0t ϕϕ∴>=,即原不等式成立.……………14分2、解：(Ⅰ)()()()h x f x g x =-1ln ,x ax b x =---,那么211()h x a x x'=+-，……1分∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x '=+-≥，……2分即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞．……4分(Ⅱ)设切点0001(,ln )x x x -，那么切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-， 即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--，……5分 令010t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，…6分 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，那么1(21)(1)()21t t t t t tϕ+-'=-+-=，……7分当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-．……9分 (Ⅲ)由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x x a x x x x x --=-，……10分 即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()xx x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x xx x x x x x x ++-=-，……11分不妨令120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，那么2(1)()0(1)t F t t t -'=>+，……12分 ∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，那么2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，那么2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又12121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<-=-=∴2ln 2>，即1>，……13分 令2()ln G x x x =-，那么0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln210.8512=+≈<，∴1G=>>>，即2122x x e>．……14分。
高考数学 黄金配套练习9-3 理
高考数学 黄金配套练习9-3 理1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <0C ．－2<a ≤0 D．－2<a <23答案 D解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x ＋a 2)2＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0，∴3a 2＋4a －4<0⇒－2<a <23.2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案 C解析 由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1， 则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1，从而圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2.因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.4．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0 答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C ，答案为D.5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 答案 A解析 依题意得圆心坐标是(0,2)，因此所求圆的方程是x 2＋(y －2)2＝1，选A.6．过圆点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( ) A ．y ＝3x B ．y ＝－3xC ．y ＝33xD ．y ＝－32x答案 C解析 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的圆心为P (－2,0)，半径r ＝1，如图所示，过原点的直线l切圆于点A ，则PA ⊥l ，|PA |＝1，|OP |＝2，在Rt△PAO 中，∠POA ＝30°，∴k l ＝tan30°＝33，∴l 的方程为y ＝33x . 7．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝13答案 C解析 解法一：(待定系数法)设出圆的方程求解．解法二：(排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.8．如果直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于相异两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|>|OA →－OB →|，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(2，2)C ．(－2，－2)∪(2，2)D ．(－2,2) 答案 C解析 由|OA →＋OB →|>|OA →－OB →|，(OA →＋OB →)2>(OA →－OB →)2,4OB →·OA →>0，即∠AOB 是锐角，点O到直线AB 的距离大于1.又直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，因此1<|m |2<2，由此解得－2<m <－2或2<m <2，选C.9．从原点O 向圆：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为________．答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt△POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为：23π×32＝π.10．已知两点A (－1,0)、B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值是________．答案 12(4＋5)，12(4－5)解析 如图所示，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到AB 的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52和2－52. 11．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点，则圆的方程为________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝2解析 所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以，两直线的交点即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以，圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.二、填空题12．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－mx －2my ＝0(m ≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C 必定经过坐标原点；②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ；④直线y ＝x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心． 答案 ①② 三、解答题13．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |， 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12， ∴有d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.14．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．分析 由题意可知点(x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上解析 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1∵－5≤2cos θ＋sin θ≤ 5 ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1± 5∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0 ∴c 的取值范围为c ≥2－1答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－115．如图，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4.过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 为切点)，使得PM ＝2PN .试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解析 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 由已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2.因为两圆的半径均为1，所以PO 21－1＝2(PO 22－1)． 设P (x ，y )则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33， 所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33(或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．教师备选题1．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否过定点(与b 无关)？请证明．解析 解法一：(1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以，b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧(－1－1－b )2＋D(－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D(－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－b ＋1，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1. 经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上． 因此，圆C 过定点．解法二：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )．令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ>0，解得b <1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)． 证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)＋b ＝0，右边＝0. 所以圆C 必过定点(0,1)． 同理可证圆C 必过定点(－2,1)．。
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D
B
D 1
B 高三理科数学附加题训练09
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换
（2012南通第一学期期末）已知123
7M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，求1
M - 答案要点：设1a b M c
d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，依题意，有121
03
70
1a
b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即3271
03270
1a b a b c d
c d +--⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢
⎥+--⎣⎦⎣⎦
则231
27030270
b a b
c
d c d +=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩，所以7,2,3,1a b c d ==-==-所以17
231M --⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
选修4-4：坐标系与参数方程
椭圆中心在原点，焦点在x 轴上。
离心率为1
2
，点(,)Pxy 是椭圆上的一个动点，若y x 32+的最大值为10，求椭圆的标准方程．
解：离心率为12，设椭圆标准方程是2
2
22143x y c c +=，它的参数方程为⎧⎨
⎩2cos x y θθ
==(θ是参数)
2x 4cos 3sin 5sin()c c c θθθϕ=+=+最大值是5c ，
依题意510c =，2c =，椭圆的标准方程是
22
11612
x y += 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第22题、
用数学归纳法证明:)(53*
∈+N n n n 能被6整除.
答案要点:(1)当1=n 时,3
151+⨯能被6整除,命题正确；
(2)假设k n =时命题正确,即k k 53
+能被6整除,
所以当1+=k n 时,)5()55()133()1(5)1(3
233k k k k k k k k +=+++++=+++
6)1(3+++k k ,而两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数,所以3(1)k k +能被6整除,
所以3
(5)3(1)6k k k k ++++能被6整除,即当1+=k n 时命题也正确,由(1)、(2)知命题时
*∈N n 都正确.
第23题
（2011上海改编）已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11AC 和11B D 的交点．若点C 到平面11AB D 的距离为4
3
，求正四棱柱1111ABCD A BC D -的高． 答案要点：设正四棱柱的高为h ．
建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h
11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=
设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z =，
∵ 11110
n AB n AB n AD n AD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩，取1z =得(,,1)n h h =
∴ 点C 到平面11AB D 的距离为2||4
3
||n AC d n h ⋅=
==，则2h =．。