高中数学人教A版必修4练习1.5 第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质 课下检测 Word版含解析
高中数学人教A版必修四练习：1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)(含答案)
§1.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(二)课时目标 1.会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)的图象.2.明确函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y＝Asin(ωｘ＋φ)中，______叫做振幅，周期T＝______，频率f＝______，相位是______，初相是______．2．函数y＝Asin(ωｘ＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：定义域R值域__________周期性T＝____________奇偶性φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是__________函数单调性单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到一、选择题1．函数y＝Asin(ωｘ＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是()A．φ＝π2＋2kπ (k∈Z) B．φ＝π2＋kπ (k∈Z)C．φ＝2kπ (k∈Z) D．φ＝kπ（k∈Z)2．已知简谐运动f(x)＝2sin π3x＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π33．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是()。
人教版高中数学高一A版必修4达标训练 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象
更上一层楼基础•巩固1.已知函数y=2sinωx(ω＞0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点之间的距离为32π，则ω的值为( )A.3B.23 C.32 D.31 思路分析：函数y=2sinωx 的最小值是-2，它与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由232πωπ=，得ω=3. 答案：A2.图1-5-9是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )图1-5-9A.sin(1+x)B.sin(-1-x)C.sin(x-1)D.sin(1-x) 思路分析：函数y=f(x)的图象过点(1，0)，即f(1)=0，可排除A 、B. 又因为y=f(x)的图象过点(0，b)，b ＞0，即f(0)＞0，可排除C ，故选D. 答案：D3.函数y=cos(2x+3π)的图象的一个对称中心是( ) A.(65π，1) B.(3π，-1) C.(12π，0) D.(24π，0)思路分析：由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A 、B.当x=12π时，y=cos(2×12π+3π)=cos 2π=0，故选C. 答案：C4.若函数y=f(x)的图象上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=21sinx 的图象相同，则y=f(x)是( )A.y=21sin(2x+2π)+1 B.y=21sin(2x-2π)+1 C.y=21sin(2x-4π)+1 D.y=21sin(2x+4π)+1思路分析：设y=Asin(ωx+φ)+1，将它的横坐标伸长到原来的2倍，得y=Asin(2ωx+φ)+1；再将其图象向左平移2π个单位，得y=Asin ［2ω (x+2π)+φ］+1，即y=Asin(42ωπω+x +φ)+1；最后沿y 轴向下平移1个单位，得到y=21sinx ，即y=Asin(42ωπω+x +φ)=21sinx. ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==.04,12,21ϕωπωA 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.2,2,21πϕωA ∴y=21sin(2x-2π)+1.答案：B5.已知图1-5-10是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|＜2π)的简图，那么( )图1-5-10A.ω=1110,φ=6π B.ω=1110,φ=6π- C.ω=2,φ=6π D.ω=2,φ=6π-思路分析：曲线与y 轴的交点为(0，1)，说明当x=0时，函数值y=1,∴原来关系式变成2sinφ=1.∵-2π＜φ＜2π,∴φ=6π.排除B 、D. 又曲线与x 轴的一个交点是(1211π,0)，说明当x=1211π时，函数值y=0,即sin(61211πωπ+)=0,∴61211πωπ+=kπ(k ∈Z ).∵这点是曲线与x 轴的正方向的第二个交点，其相位是2π，即ω·61211πωπ+=2π,解得ω=2.因此ω=2,φ=6π. 答案：C6.函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在［0，4π］上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于___________.思路分析：由已知得2sin(ω·4π)=3，即ω·4π=2kπ+3π，ω=8k+34；已知函数在［0，4π］上单调递增，说明此函数的周期最小是2π，又T ＞0，∴T=22πωπ≥. ∴ω=34.答案：347.若函数y=sinx 的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的31倍，再将图象沿x 轴向左平移3π个单位，则变换后的图象所对应的函数解析式是_______. 答案:y=-sin3x 综合•应用8.若函数f(x)具有性质：①f(x)为偶函数；②对任意x ∈R ，都有f(4π-x)=f(4π+x)，则函数f(x)的解析式是__________.〔只需写出满足条件的f(x)的一个解析式即可〕答案:f(x)=cos4x9.将y=sinx 的图象经过怎样的变换才能得到y=3sin(21x-6π)的图象？ 解：将y=sinx 的图象向右平移6π，得到y=sin(x-6π)的图象；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y=sin(21x-6π)的图象；再使横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，即得到y=3sin(21x-6π)的图象.10.求函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x)(x ∈R )的最小值及取得最小值时自变量x 的集合.解：y=2sin(3π-x)-sin ［2π-(6π+x)］=2sin(3π-x)-sin(3π-x)=sin(3π-x)=-sin(x-3π).显然y min =-1，此时x-3π=2kπ+2π，得x=65π+2kπ，k ∈Z ，即函数的最小值为-1，此时{x|x=65π+2kπ，k ∈Z }.11.设三角函数f(x)=sin(35π+x k )(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M 、最小值m 与最小正周期T ；(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个最大值是M 与一个最小值是m. 解：(1)∵f(x)=sin(35π+x k ),(k≠0),且x ∈R ,∴M=1,m=1,T=||10k π. (2)设x ∈［n,n+1］,n ∈Z ，按题意，当自变量x 在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的周期应不大于区间的长度，即|-+)35(πkn ]35)1([π++n k |≥2π，解得|k|≥10π.所以最小的整数k=32. 回顾•展望12.(2006潍坊统考) 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmhg 称为标准值.设某人在某一时刻的血压满足函数式p(t)=125+25sin(170πt)，其中p(t)为血压(mmhg)，t 为时间(min)，试解答下列问题：图1-5-11(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)用“五点法”在给定的坐标系中作出p(t)在一个周期上的简图.思路分析：函数解析式中的ω=170π，由公式可直接得到周期；每分钟的心跳次数就是频率，即周期的倒数；五个点的横坐标就是图中给出的数值，求出对应的纵坐标即可描点；此人血压计的读数就是此函数的最大值和最小值，从图象可以观察得到. 解：(1)函数p(t)的周期8511702==ππT . (2)此人每分钟心跳的次数为85. (3)列表：t 0 3401 1701 3403 851 170πt 0 2π π 23π 2π p(t)125150125100125描点作图图略.。
人教版高中数学高一A版必修4学案 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象
疱工巧解牛知识•巧学一、φ对y=sin(x+φ)，x ∈R 的图象的影响1.以函数y=sin(x+3π)，x ∈R 与y=sin(x-4π)，x ∈R 为例说明. 函数y=cosx=sin(x+2π)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移2π个单位长度而得到的.显然，y=sin(x+3π)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有点向左平移3π个单位长度而得到的；y=sin(x-4π)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移4π个单位长度而得到的. 这函数y=sin(x+3π),x ∈R 与函数y=sin(x-4π),x ∈R 的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0,2π］上的简图.列表：x3π-6π 32π 67π 35π x+3π 0 2π π 23π 2π sin(x+3π)1-1x4π 43π 45π 47π 49π x-4π 0 2π π 23π 2π sin(x-4π)1-1描点作图：图1-5-2从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+3π)与y=sin(x-4π)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx 的横坐标小3π与多4π.2.一般地，函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换. 学法一得 移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ(φ＞0)个单位，相当于把y 轴向左(右)平移φ(φ＞0)个单位；把图象向上(下)平移k(k ＞0)个单位，相当于把x 轴向下(上)平移k(k ＞0)个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象. 二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=sin2x ，x ∈R 与y=sin21x ，x ∈R 为例说明. 由于函数y=sin2x 的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 4π 2π 43π π 2x 0 2π π 23π 2π sin2x 01-1同理，函数y=sin 21x 的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表：x0 π2π 3π4π 21x 0 2π π 23π 2π sin 21x 01-1描点作图：图1-5-3(1)函数y=sin2x 与y=sinx 的图象间的联系：从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x ，x ∈［0，π］的图象上，横坐标为2x ，x 0∈［0，π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx ，x ∈R 上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到的. (2)函数y=sin 21x 与y=sinx 的图象间的联系从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin21x ，x ∈［0，4π］的图象中，横坐标为2x 0，x 0∈［0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin21x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.2.一般地，函数y=sinωx(ω＞0且ω≠1)，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T 的关系是ωπ2=T .学法一得 函数y=sinωx 的图象是由y=sinx 的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状. 三、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=2sinx ，x ∈R ，y=21sinx ，x ∈R 为例说明. 由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 2π π 23π 2π Sinx 0 1 0 -1 0 2sinx0 20 -20 21sinx 021 021- 0描点画图：图15-4利用这两个函数的周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右扩展，从而得到它们在整个定义域上的简图.(1)函数y=2sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系通过图1-5-4及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=2sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=2sinx ，x ∈R 的值域是［-2，2］. (2)函数y=21sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系 通过图154及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=21sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的21倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此.所以函数y=21sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=21sinx ，x ∈R 的值域是［-21，21］. 学法一得 一般地，函数y=Asinx ，x ∈R (A ＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A 的变化而引起的，A 叫做函数的振幅，函数y=Asinx ，x ∈R 的值域是［-A ，A ］.四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx 图象间的关系1.以函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 为例说明. 函数y=3sin(2x+3π)的周期是π，先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图，按五个关键点列表：x6π-12π 3π 127π 65π 2x+3π 0 2π π 23π 2π 3sin(2x+3π)3-3描点画图：图1-5-5函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 的图象，可看作是先将y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，得到y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象；再把y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象；最后把y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)得到的.2.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变).联想发散 y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变). 五、A 、ω、φ的物理意义当函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈［0,+∞)(其中A ＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间ωπ2=T ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数Tf 1=，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相. 例如，函数y=2sin(3x-3π)，x ∈［0，+∞)的振幅是2，周期T=32π，频率π231==T f ，相位是3x-3π，初相是3π-.六、函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的对称问题1.对称轴过函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的图象的最值点作x 轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+2π，k ∈Z 解出，显然对称轴有无数条.例如，y=2sin(2x-3π)图象的对称轴方程是2x-3π=kπ+2π，k ∈Z ，即x=12521ππ+k ，k ∈Z .函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k ∈Z 解出.2.对称中心函数y=Asin(ωx+φ)与x 轴的交点都叫做该函数的对称中心，它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=ωϕπ-k ，即对称中心是(ωϕπ-k ，0).显然，函数y=4sin(2x-3π)的对称中心是(62ππ+k ，0). 同理，函数y=Acos(ωx+φ)的对称中心是(ωωππ-+2k ，0)，显然，函数y=2cos(2x+4π)的对称中心是(28ππk +，0). 学法一得 (1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合.由于函数y=Asin(ωx+φ)中的变量x ∈R ，所以它有无数条对称轴. (2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin(ωx+φ)的变量x ∈R ，所以它有无数个对称中心. 典题•热题知识点一 A 、ω、φ的求值与图象的平移 例1 (1)用“五点法”作函数y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；(2)怎样由y=sinx 的图象，得到y=2sin(2x-3π)的图象？ 解：(1)列表：x6π 125π 32π 1211π67π 2x-3π 0 2π π 23π 2π 2sin(2x-3π)2-2描点连线：图1-5-6把函数y=2sin(2x-3π)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的简图.振幅A=2，周期T=22π=π，初相φ=3π-.(2)解：先把函数y=sinx 的图象上所有的点向右平移3π个单位，得到函数y=sin(x-3π)的图象；再把y=sin(x-3π)图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x-3π)的图象；最后把y=sin(2x-3π)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象.知识点二 图象的平移 例2 已知函数y=21sin(2x+6π)+45，x ∈R . (1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？思路分析：本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.解：(1)要使y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2kπ，k ∈Z ，即x=6π+kx ，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+kπ，k ∈Z }.(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换： ①把函数y=sinx 的图象向左平移6π个单位，得到函数y=sin(x+6π)的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+6π)的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y=21sin(2x+6π)的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图象. 综上可得函数y=21sin(2x+6π)+45的图象.方法归纳 先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx 图象上的点(0，0)都被变换成了点(ωϕ，0).但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期，平移的单位为|φ|；先周期，后相位，平移的单位为ωϕ||.例3 把函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位，得到曲线y=21sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ)，按图象变换的法则，分两步，得y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，它就是y=21sinx ，构造A 、ω、φ的方程求解；二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=21sinx 得到y=f(x). 解：设y=Asin(ωx+φ)，把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(2ωx+φ)，再向左平移2π个单位，得到y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，即y=Asin x x sin 21)42(=++ϕπωω.由两个代数式恒等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==.2,2,21041221πϕωϕωπωA A∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x. 巧解提示：将y=21sinx 的图象向右平移2π个单位，得到y=21sin(x-2π)的图象，再把y=21sin(x-2π)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得到y=21sin(2x-2π)，即y=21-cos2x 的图象，所以所求函数f(x)=21-cos2x.方法归纳 平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ(φ＞0)个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ(k ∈Z ，T 是函数的最小正周期)个单位也能实现转化.三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.知识点三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求它的解析式. 例4 已知函数y=Asin(ωx+φ)，|φ|＜2π的图象，试确定A 、ω、φ的值.图1-5-7解：显然，A=2. ∵T=65π-(-6π)=π，∴222===πππωT . 从图1-5-7中可以看出，函数y=2sin(2x+φ)是由y=2sin2x 的图象向左平移6π个单位得到的,所以y=2sin2(x+6π)，即φ=3π. 也可利用代点法求φ：由图可知当12]3)6[(21πππ=+-=x 时，y max =2. 故有2x+φ=2×12π+φ=2kπ+2π，即φ=2kπ+3π.∵|φ|＜2π，∴φ=3π.方法归纳 若用代点法确定函数y=Asin(ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A ＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k ∈Z .若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π，k ∈Z ，再依据φ的范围，确定φ的值.例5 图1-5-8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.图1-5-8思路分析：通过图象确定周期T ，从而进一步求得ω的值是关键，振幅A 也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得.解：由图象看出，这个交流电的周期T=0.2 s ，由频率f 与周期T 的关系式，得频率5112===a T f ，电流的最大值为10 A. 由图1-5-8可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin(ωt+φ)，其中A=10，ω=2.022ππ=T =10π，再把点(0，10)代入函数解析式I=10sin(10πt+φ)，得sinφ=1，取φ=2π，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin(10πt+2π)，t ∈［0，+∞).根据诱导公式，函数式可化为I=10cos10πt ，t ∈［0，+∞).方法归纳 A 表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T 或T 的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定. 问题•探究 思想方法探究问题 如何理解函数y=A 1sin(ω1x+φ1)与函数y=A 2sin(ω2x+φ2)图象间的关系?探究过程：设函数y=2sin(x+6π)，x ∈R 的图象为C ，要得到y=3sin(x+6π)，x ∈R 的图象，只需把C 上所有点的纵坐标伸长到原来的23倍(横坐标不变)；要得到y=2sin(21x+6π)，x ∈R的图象，只需把曲线C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；要得到y=2sin(x+3π)，x ∈R 的图象，只需把曲线C 上所有的点向左平移6π个单位长度；要得到y=2sin(x+6π)+2的图象，只需把曲线C 上所有点向上平移2个单位.对于余弦函数也是如此.不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x-4π)与y=cos2x 图象间的关系，由于y=sin(2x-4π)=cos ［2π-(2x-4π)］=cos(43π-2x)=cos(2x-43π)，所以只需把y=sin(2x-4π)的图象向左平移83π个单位长度，即可得到y=cos2x 的图象.把y=cos2x 的图象向右平移83π个单位，便可得到y=cos(2x-43π)，即y=sin(2x-4π)的图象，所以图象的变换是相对的.探究结论：由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω≠1)的思维过程是：①画出y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图；②沿x 轴平移，得到y=sin(x+φ)，x ∈R 在长度为一个周期的闭区间上的简图；③横坐标伸长或缩短，得到y=sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图；④纵坐标伸长或缩短，得到y=A sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图. 误区陷阱探究问题 “要想得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只需将函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位”这句话是否正确？探究过程：三角函数图象的变换包括了周期变换、振幅变换、相位变换和上下平移变换.其中由函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象是相位变换，它的实质是左右平移，而左右平移只是变换自变量x ，比如，将函数y=lg2x 的图象向左平移1个单位，得到的是函数y=lg2(x+1)的图象，而不是y=lg(2x+1).由于y=Asin(ωx+φ)=Asinω (x+ωϕ) (A ＞0,ω＞0)，则要由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只要向左或向右平移||ωϕ个单位即可.探究结论：这句话不正确，由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，应向左或向右平移||ωϕ个单位.。
人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件
三 、 教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂 ，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化 与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数 形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索 、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作 探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍 ，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍 ，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主 学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2
高中数学人教A版必修四课时训练：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 1.5(一) Word版含答案
§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) 课时目标 1.了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________．4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．y ＝sin x 的图象__________的图象______________的图象______________的图象．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1 5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎛⎭⎫2x ＋2π，x ∈R 7．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ).(1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π31．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)答案知识梳理1．向左 向右 |φ| 2.缩短 伸长1ω不变 3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ)作业设计1．B 2.C 3.D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .] 5．B [y ＝sin(2x ＋π6)4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．] 6．C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 7．sin x8．y ＝cos 2x9.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π. 10．①③11．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )， ∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可． 13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位 y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．] 14．D [方法一 正向变换y ＝f (x )——————→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )——————→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.]。
高一数学必修4课件：1-5-2函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
π π 个单位长度，可以得到函数 y＝sinx＋6的图象； 6
(2)把
π 1 x＋ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ， y＝sin 6 2 π y＝sin2x＋6的图象；
而纵坐标不变，可以得到函数 (3)将函数
π y＝sin 2x＋6的图象上的各点的纵坐标缩短到
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②对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中 心和一条对称轴相距周期的四分之一． ③讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，要善于采用整体策 略，即把ωx＋φ看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质 来解决．
π 7π ＝ 12 时，取得最大值2；当x＝ 12 时，取得最小值－2，则函数 f(x)＝________.
π 2sin2x＋3
[答案]
第一章
1.5
1.5.2
Hale Waihona Puke 成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
7π π T＝212－12＝π，A＝2.
2π 又π＝ ω ，∴ω＝2.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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1．5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第一章 三角函数
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1．5.2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
的图象，那么
第一章
人教a版必修4学案：1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(2)(含答案)
1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(二)自主学习知识梳理1．函数y ＝2.简谐振动在物理学中，常用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，其中A >0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．A 就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f ＝1T＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x ＝0时的相位φ称为________．自主探究利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要，____________，__________.若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.对点讲练知识点一 利用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．回顾归纳 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．变式训练1 作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图象．知识点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．回顾归纳 由图象求解析式，本质就是“五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．变式训练2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．知识点三 正、余弦函数的对称问题例3 如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一个周期的图象．(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．回顾归纳 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0⇔ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝x 0轴对称⇔f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A ⇔ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．变式训练3 关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．课时作业一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z ) 2．函数图象的一部分如图所示，其函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π34．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.12二、填空题6．函数y ＝－3sin ⎝⎛⎫－2x ＋π3 (x ≥0)的初相是________． 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．10．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)答案知识梳理 1.2.振幅 最大距离 T ＝2πω ω2π次数 ωx ＋φ 初相自主探究⎝⎛⎭⎫－φω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0 －φω －φω＋T 4 －φω＋T 2 －φω＋34T－φω＋T 对点讲练例1 解 令X ＝2x ＋π，则x ＝1⎝⎛⎭⎫X －π.列表：变式训练例2 解 方法一 以N 为第一个零点，则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)．∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3， 所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0ω·5π6＋φ＝π解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 变式训练2 2，π6解析 ∵图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，∴sin φ＝12. 又|φ|<π，∴φ＝π6或5π6.又由“五点法”可得ω×0＋φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6. ∵⎝⎛⎭⎫11π12，0是第五个点，∴ω⎝⎛⎭⎫11π12＋φ＝2π，即ω⎝⎛⎭⎫11π12＋π6＝2π. ∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝π6.例3 解 (1)由图知，A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∴φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)设P (x ，y )为函数y 2图象上任意一点，则P (x ，y )关于直线x ＝2的对称点P ′为 (4－x ，y )．∵y 1与y 2关于直线x ＝2对称．∴点P ′(4－x ，y )落在y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4上． ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4x ＋π即y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. ∴周期T ＝2ππ4＝8；频率f ＝1T ＝18；振幅A ＝2；初相φ＝－π4.变式训练3 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π (k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．课时作业 1．B2．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1.]3．D [ω＝2π＝2，又f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.]4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．B [∵对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2.∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]6．－π3解析 由诱导公式可知y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故初相为－π3. 7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.∴与y 轴最近的对称轴方程为x ＝－π6.8.5π129．解 (1)由图象可知：A ＝2，T ＝2×(6＋2)＝16，则ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ由π8×2＋φ＝π2，得φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的递增区间为[16k －k,16k ＋2]，k ∈Z .10．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y。
人教版数学高一A版必修四作业 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(一)
1.5函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(一)一、选择题1．(2017·湖州期末)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度即可．2．若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图象，则m 的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 依题意，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －m ＋π3＝sin x ， ∴m －π3＝2k π(k ∈Z )，∴m ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又m >0，∴m 的最小值为π3.3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6， 所以只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 D解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．5．(2017·荆州高一检测)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 B解析 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度，得y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度，得y 3＝cos(x －1)．令x ＝0，得y 3>0，令x ＝π2＋1，得y 3＝0，观察即得答案．6．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 B解析 对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象．7．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 C解析 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象． 二、填空题8．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 右 π89．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为________．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 解析 由题意得所得图象对应的解析式为y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案22解析 y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再对每一点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π6＝22. 11．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换答案11π3解析 cos x2＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋φ2＋π2的图象．令φ2＋π2＝2k π＋π3，k ∈Z .∴φ＝4k π－π3，k ∈Z . ∴当k ＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值．12．某同学给出了以下判断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度而得到的． 其中正确的结论是______．(将所有正确结论的序号都填上) 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 ①③ 三、解答题13．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 解 方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 四、探究与拓展14．(2017·绍兴柯桥区期末)将函数f (x )＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为________．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 π6解析 f (x )＝12sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度后得到12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ，此函数图象关于x ＝π3对称， 所以令x ＝π3得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， 所以2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π6.15．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，34. (2)由题意知f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 由g (x )＝0得，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12， 解得x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
人教版高中数学必修四练习1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象
基础达标1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析 提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，于是可得． 答案 A2．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )．解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 答案 A3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2， 直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )． A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析 ∵最大值是4，故A 不符合题意． 又∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，故排除B.又4x ＋π3＝π2＋k π⇒4x ＝π6＋k π⇒x ＝π24＋k π4＝π3，所以k ＝76∉Z ，排除C ，故选D. 答案 D4．先作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________．解析 作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，其函数解析式为y ＝sin (－x )，再将函数y ＝sin (－x )的图象向左平移π4个单位，得到函数图象的函数解析式为：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π45．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________．解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.答案 x ＝－π66．(2012·宝鸡期末)如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．解析 由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，∴ω＝2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π， ∴φ＝π3.∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π37．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π.∵T ＝2π|ω|＝π，ω>0， ∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，又曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，⎝⎭8∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x 0 π8 38π 58π 78π π 2x ＋π4 π4 π2 π 32π 2π 9π4 y 12－21能力提升8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4解析 由题意可知，A ＝2，⎝⎭22∴ω＝2πT ＝2π4π＝12. ∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝0. ∵－π<φ<π， ∴φ＝3π4，或φ＝－π4. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－1，∴φ＝3π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，故选B.答案 B9．(2012·枣庄高一检测)关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )图象关于直线＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍， ∴①错误；对于②，由f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴②正确；对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心． ∴③正确；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错误． 答案 ②③10．(2012·洛阳高一检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )在x ＝0时取得最值．即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， 所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2.又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2或23.。
数学人教A版必修4 1.5第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 作业 Word版含解析
[.基础达标]．函数＝(－)的图象的一条对称轴是( )．＝．＝－．＝．＝－解析：选.由－＝π＋，∈，解得＝π＋，∈，令＝－，得＝－.．已知ω＞，函数()＝(ω＋)的一条对称轴为＝，一个对称中心为(，)，则ω有( )．最大值．最小值．最大值．最小值解析：选.由题意知－≥，故＝≤π，ω≥.．已知简谐运动()＝的图象经过点()，则该简谐运动的最小正周期和初相φ分别为( )．＝，φ＝．＝，φ＝．＝π，φ＝．＝π，φ＝解析：选.∵＝＝＝，又图象过点()，∴φ＝.∵－＜φ＜，∴φ＝.．函数＝(ω＋φ)(ω＞，φ＜)在一个周期内，当＝时，取得最大值，当＝时，取得最小值－，那么函数的解析式为( )．＝(＋)．＝(＋)．＝(＋)．＝(＋)解析：选.由题意知＝，＝(－)＝π，所以ω＝＝，又()＝，所以×＋φ＝＋π(∈)，所以φ＝＋π(∈)，又φ＜，所以φ＝，所以＝(＋)．．函数()＝(ω＋φ)(其中＞，φ＜)的图象如图所示，为了得到()＝的图象，则只要将()的图象( )．向右平移个单位长度．向右平移个单位长度．向左平移个单位长度．向左平移个单位长度解析：选.由题图可知，＝，＝＝π，故ω＝＝，由于(，)为五点作图的第三点，∴×＋φ＝π，解得φ＝，所以()＝(＋)，将函数()的图象向右平移个单位长度，得＝＝＝()，故选.．函数＝(－)的振幅是，周期是，频率是，初相是，图象最高点的坐标是．解析：由题意，得＝，＝＝π，＝＝，φ＝－.当－＝π＋(∈)，即＝π＋(∈)时，函数取得最大值.答案：π－(π＋，)(∈)．函数()＝(ω＋φ)(>，ω>)在闭区间[－π，]上的图象如图所示，则ω＝.解析：由图象知，＝－(－)＝，所以ω＝.答案：．已知函数()＝(ω＋φ)(ω＞)的图象如图所示，则()＝.解析：依题意知×＝，∴ω＝，又图象过点()，则令＋φ＝，得φ＝－.故()＝(×－)＝－.答案：－．设函数()＝(＋φ)(－π＜φ＜)，已知它的一条对称轴是直线＝.()求φ；()求函数()的单调递减区间．解：()函数的一条对称轴是直线＝，×＋φ＝π＋，∈，因为－π＜φ＜，所以φ＝－.()由()知，()＝，＋π≤－≤＋π，∈，即＋π≤≤＋π，∈，所以函数()的单调递减区间为(∈)．．已知函数()＝(ω＋φ)，∈，(其中＞，ω＞＜φ＜)的周期为π，且图象上一个最低点为.()求()的解析式；()当∈时，求()的最值．解：()由函数()图象上一个最低点为(，－)，得＝，由周期＝π，得ω＝＝＝.由点在图象上，得＝－，即＝－，所以＋φ＝π－(∈)，故φ＝π－(∈)，又＜φ＜，所以＝，φ＝.所以函数解析式为()＝.()因为∈，所以＋∈，所以当＋＝.即＝时，函数()取得最小值；当＋＝，即＝时，函数()取得最大值.[.能力提升]．将函数＝(＋φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )π．－．解析：选＝(＋φ)＝＝(＋＋φ)，因为＝(＋＋φ)是偶函数，所以＋φ＝＋π(∈)，即φ＝＋π(∈)．令＝，得φ＝，故选.。
人教版高中数学高一A版必修4学案 1.5 函数y=Asin(ωxφ)的图象
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一、作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象活动与探究1把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )迁移与应用1．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．2．用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在一个周期上的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相．1．用“五点法”作图时，利用五个关键点，令ωx ＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π，求出x 及相应的y 值，作出图象即可．2．图象变化中，当|ω|≠1时，应将ωx ＋φ化为ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω． 二、求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式活动与探究2若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)在其一个周期内的图象上有一个最高点⎝⎛⎭⎫π12，3和一个最低点⎝⎛⎭⎫7π12，－5，求这个函数的解析式．迁移与应用函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是__________．对于这类给定一些条件求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的题目，有一定的解题规律可寻：一般是先确定振幅A ，周期T ，解得ω，这些都是比较容易的，最难的是求φ的值，它一般是用点来代入求得，如果代入的是最高点或最低点，其φ值很容易确定；否则，则还要结合函数的单调性来确定．三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用活动与探究3函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．迁移与应用已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解决该类题目的关键是由y ＝A sin(ωx ＋φ)确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解．当堂检测1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π63．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 4．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是__________．5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝__________，φ＝________．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)0 π2 π 3π22π (2)y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) y ＝sin(ωx )y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ)预习交流1 提示：不是．∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴向左平移π6个单位．此种情况需将x 的系数化为“1”．2．A 2π|ω| 1T ＝|ω|2πωx ＋φ x ＝0时的相位φ预习交流2 提示：(1)定义域：R ； (2)值域：[－A ，A ]；(3)最小正周期：T ＝2πω；(4)对称性：对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )，对称轴是x ＝k πω＋π－2φ2ω(k ∈Z )．对称中心为图象与x 轴的交点；对称轴为过图象最高点或最低点与x 轴垂直的直线．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据平移或伸缩变换写出所得到的函数解析式，再结合y ＝cos x 图象的“五点”进行变化得到图象．A 解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A ．迁移与应用 1．④②或②⑥ 解析：y ＝sin x ――→④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――→②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3或y ＝sin x ――→②y ＝sin x 2⑥,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3． 2．解：(1)(2)描点画图：周期T ＝π，频率f ＝1T ＝1π，相位为2x ＋π4，初相为π4．活动与探究2 思路分析：利用图象性质，结合“五点法”作图，分别求出A ，B ，ω，φ的值即可．解：由已知，y ma x ＝3，y min ＝－5，则 ①A ＝y max －y min 2＝3－(－5)2＝4；②B ＝y max ＋y min 2＝3＋(－5)2＝－1；③由T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2；④函数的解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ＝4sin(2x ＋φ)－1． 将点⎝⎛⎭⎫π12，3代入，得4sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ－1＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，所以π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，这里对φ没有限制，应该说φ＝2k π＋π3，k ∈Z 的任意一个解都满足题意，一般取|φ|＜π2，故所求的函数解析式为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1． 迁移与应用62 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62．活动与探究3 思路分析：(1)根据最大值求A ，根据对称轴的条件，得函数周期，从而求ω；(2)利用α范围，求出整体ωα2－π6的范围，结合图象利用特殊角的三角函数求值．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2．∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π． ∴ω＝2．故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1． (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3．∴α－π6＝π6．故α＝π3．迁移与应用 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )当x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1．依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2．由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z ．又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2．又ω＞0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．∴φ＝π2，ω＝2或23．【当堂检测】1．C 解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只须将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．2．C 解析：由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6．3．D 解析：“五点法”对应解方程．设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1， 所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3．所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6．故选D ．4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析： y ＝sin x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3． 5．2 π3 解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω＞0)．又由f (0)＝3且|φ|＜π2得到φ＝π3．。
人教A版高考数学必修四练习1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象1.5第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
第一章 1.5 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为导学号 14434460( B )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)[解析] 函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y ＝2sin2(x＋π12)，令2(x ＋π12)＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B ．2．若函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是导学号 14434461( A ) A ．5π6B ．π2C ．π3D ．－π2[解析] 由于f(x)是偶函数，则f(x)图象关于y 轴即直线x ＝0对称， 则f(0)＝±2，又当φ＝5π6时，f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋5π6＝2，则φ的值可以是5π6.3．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是导学号 14434462( A )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3[解析] 本题考查正弦型函数的周期与初相． 34T ＝5π12－(－π3)＝3π4， ∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3.4．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为导学号 14434463( A )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 函数f(x)的周期T≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2. 5．若函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f(－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝导学号 14434464( B )A ．3或0B ．－3或3C ．0D ．－3或0[解析] 由于函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f(x)的最大值或最小值， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3. 二、填空题6．简谐振动s ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π3，在t ＝12时的位移s ＝ 32 .初相φ＝ π3 .导学号 14434465 [解析] 当t ＝12时，s ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝3×12＝32.三、解答题7．已知函数y ＝12cosx ＋12|cosx|.导学号 14434466(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． [解析] (1)y ＝12cosx ＋12|cosx|＝⎩⎪⎨⎪⎧cosx ，x ∈[2k π－π2，2k π＋π2] k∈Z 0，x ∈[2k π＋π2，2k π＋3π2] k∈Z .函数图象如图所示．(2)由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π.(3)由图象知函数的单调增区间为[2k π－π2，2k π](k ∈Z)．B 级 素养提升一、选择题1．设函数f(x)＝2sin(π2x ＋π5)．若对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为导学号 14434468( B )A ．4B ．2C ．1D ．12[解析] f(x)的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝T2＝2.2．(2017天津高考理科)设函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f(5π8)＝2，f(11π8)＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则导学号 14434469( A )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24[解析] ∵f(5π8)＝2，f(11π8)＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为4(11π8－5π8)＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f(x)＝2sin(23x ＋φ)．∴2sin(23×5π8＋φ)＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.3．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f(x)取得最大值，则导学号 14434470( A )A ．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B ．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D ．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数[解析] ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f(x)有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π，∵－π<φ≤π，∴φ＝π3.∴f(x)＝2sin(x 3＋π3)，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．二、填空题4．若将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图象重合，则ω的最小值为 74.导学号 14434472[解析] y ＝sin(ωx ＋5π6)的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[ω(x －π3)＋56π]，即y ＝sin(ωx ＋56π－ω3π)，故56π－ω3π＋2k π＝π4(k ∈Z)， 即ω3π＝712π＋2k π， ω＝74＋6k(k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为74.5．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__.导学号 14434473[解析] ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∵φ＝k π＋π3.∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)．由图象及性质可知②④正确．三、解答题7．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－3，相邻的两个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.导学号 14434474求：(1)f(x)的解析式； (2)f(x)的值域； (3)f(x)的对称轴． [解析] (1)A ＝3，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝3sin(2x ＋φ)． 又⎝⎛⎭⎪⎫π3，0在f(x)图象上，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0.∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0.又－π<φ<0，∴φ＝－2π3.∴f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)值域是[－3，3]．(3)令2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z)，∴x ＝7π12＋k π2(k ∈Z)．∴对称轴是直线x ＝7π12＋k π2(k ∈Z)．。
高中数学1.5.2函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用课时作业新人教A版必修4
课时作业13 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．最大值为12，周期为π3，初相为π4的函数表达式可表示为( )A ．y ＝12sin(π3x ＋π4)B ．y ＝12sin(π3x －π4)C ．y ＝12sin(6x ＋π4)D ．y ＝12sin(6x －π4)解析：∵A ＝12，2πω＝π3⇒ω＝6，φ＝π4，∴C 项正确．答案：C2．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)的图象的一个对称中心是(－7π12，0)，则φ可取( )A.π4 B ．－π4C.7π12D ．－7π12解析：把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0得sin[3×(－712π)＋φ]＝0，∴φ－74π＝k π，令k ＝－2得φ＝－2π＋74π＝－π4，故选B. 答案：B3．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( )A.5π6 B.π2C.π3D ．－π2解析：令x ＝0得f (0)＝2sin(－π3＋φ)＝±2，∴sin(φ－π3)＝±1，把φ＝56π代入，符合上式．故选A.答案：A 4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：很明显，A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π， ∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．又f (π3)＝0，∴sin(23π＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴π6≤23π＋φ≤76π，∴23π＋φ＝π， ∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴g (x )＝sin2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即将f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象．答案：A5．点P (－π6，2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω>0，|φ|<π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则( )A ．f (x )的最小正周期是πB ．f (x )的值域为[0,4]C ．f (x )的初相φ＝π3D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧－π6ω＋φ＝k π k ∈Z ①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝sin(x ＋π6)＋2.故函数f (x )的值域为[1,3]，初相为π6，排除A ，B ，C 项，选D 项．答案：D6．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：依题意可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，图象向左平移n (n >0)个单位得f (x ＋n )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n ＋π6，要使平移后的函数为偶函数，则n 的最小值为5π6. 答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图象知32T ＝π，∴T ＝2π3，A ＝2，又∵T ＝2πω，∴ω＝3，将点(π4，0)代入y ＝2sin(3x ＋φ)得：sin(3×π4＋φ)＝0，取φ＝－34π.∴f (x )＝2sin(3x －3π4)，∴f (7π12)＝2sin(3×7π12－3π4)＝2sin π＝0.答案：08．方程2sin(x ＋π3)＋2a －1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[0，π]，x ＋π3∈[π3，4π3]，2sin(x ＋π3)∈[－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a <2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12<a ≤1－32.答案：(－12，1－32]9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：依题f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6<T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0<ω<12，∴ω＝143. 答案：143三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象离P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．解：(1)T 4＝π3－π12＝π4，T ＝π，∴ω＝2πT＝2，A ＝5，又∵ω·π12＋φ＝0，∴φ＝－π6.∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43(4π－π4)＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin(25x ＋φ)的图象过点(π4，0)得sin(π10＋φ)＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin(25x －π10)．(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m >0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数，由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m >0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．12.如图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求φ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.因为T ＝π，且ω>0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，且A (π2，0)，y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π2，3)．因为点P 在函数y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，所以cos(4x 0－5π6)＝32. 又因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3或x 0＝3π4.。
2019年高中数学人教A版必修4 1.5第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 作业练习本 Word版含解析
[A.基础达标]1．函数y ＝12sin(x －π3)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C.由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.2．已知ω＞0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为(π12，0)，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1解析：选A.由题意知π3－π12≥T 4，故T ＝2πω≤π，ω≥2.3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A.∵T ＝2πω＝2ππ3＝6，又图象过点(0,1)，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内，当x ＝π12时，取得最大值2，当x＝7π12时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( ) A ．y ＝2sin(x 2＋π3) B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(x 2＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π6)解析：选B.由题意知A ＝2，T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2，又f (π12)＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以y＝2sin(2x＋π3)．5．函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x 的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度解析：选A.由题图可知，A＝1，T＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故ω＝2πT＝2，由于(π3，0)为五点作图的第三点，∴2×π3＋φ＝π，解得φ＝π3，所以f(x)＝sin(2x＋π3)，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得y＝sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x－π6＋π3＝sin 2x＝g(x)，故选A.6．函数y＝6sin(14x－π6)的振幅是________，周期是________，频率是________，初相是________，图象最高点的坐标是________．解析：由题意，得A＝6，T＝2π14＝8π，f＝1T＝18π，φ＝－π6.当14x－π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝8kπ＋8π3(k∈Z)时，函数取得最大值6.答案：68π18π－π6(8kπ＋8π3，6)(k∈Z)7．函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象知，T＝0－(－2π3)＝2π3，所以ω＝3.答案：38．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则f(2)＝________.解析：依题意知34×2πω＝2，∴ω＝3π4，又图象过点(1,1)，则令3π4＋φ＝π2，得φ＝－π4.故f (2)＝sin(3π4×2－π4)＝－22.答案：－229．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，即5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )． 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值． 解：(1)由函数f (x )图象上一个最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2，由周期T ＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上， 得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6.所以函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 所以当2x ＋π6＝π6.即x ＝0时，函数f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，函数f (x )取得最大值 3.[B.能力提升]1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.34πB.π4C ．0D ．－π4解析：选B.y ＝sin(2x ＋φ)――――――――――――→向左平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π8)＋φ＝sin(2x ＋π4＋φ)， 因为y ＝sin(2x ＋π4＋φ)是偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π4＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π4，故选B.2．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，以下说法正确的是( ) A ．函数的周期为π4B ．函数是偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上为减函数解析：选C.该函数的周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因此它是非奇非偶函数； 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上是增函数，因此只有C 项正确．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．解析：根据题图可知34T ＝5π12－(－π3)＝9π12＝3π4，所以函数的周期为π，可得ω＝2，根据图象过点(5π12，2)，代入解析式，结合－π2＜φ＜π2，可得φ＝－π3.答案：2，－π34．若对任意的实数a ，函数f (x )＝14sin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3－13(k ＞0)，x ∈⎣⎡⎭⎫a －π3，a ＋π6的图象与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，则实数k 的值为________．解析：由函数f (x )的图象在x ∈⎣⎡⎭⎫a －π3，a ＋π6时与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，故⎣⎡⎭⎫a －π3，a ＋π6的区间长度是函数f (x )的最小正周期，即T ＝π2，所以k ＝2πT ＝4. 答案：45．如图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求φ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6. 因为T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，且A ⎝⎛⎭⎫π2，0，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3.因为点P 在函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32. 又因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3或x 0＝3π4.6．(选做题)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn 上的面积为2n(n ∈N *)． (1)求函数y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积； (2)求函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎡⎦⎤π3，4π3上的面积．解：(1)y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的图象如图所示．由函数y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23，可得函数y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为43. (2)由图可知阴影部分面积即为所求面积，即S ＝S 四边形ABCD ＋23＝π＋23.。
2019-2020数学人教A版必修4 1.5第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 作业 Word版含解析
[A.基础达标]1．函数y ＝12sin(x －π3)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C.由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.2．已知ω＞0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为(π12，0)，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1 解析：选A.由题意知π3－π12≥T 4，故T ＝2πω≤π，ω≥2.3．已知简谐运动f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A.∵T ＝2πω＝2ππ3＝6，又图象过点(0,1)， ∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内，当x ＝π12时，取得最大值2，当x ＝7π12时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( )A ．y ＝2sin(x2＋π3)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(x 2＋π6)D ．y ＝2sin(2x ＋π6)解析：选B.由题意知A ＝2，T ＝2(7π12－π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2，又f (π12)＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以y ＝2sin(2x ＋π3)．5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象()A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选A.由题图可知，A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2πT ＝2，由于(π3，0)为五点作图的第三点，∴2×π3＋φ＝π，解得φ＝π3，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ＝g (x )，故选A.6．函数y ＝6sin(14x －π6)的振幅是________，周期是________，频率是________，初相是________，图象最高点的坐标是________．解析：由题意，得A ＝6，T ＝2π14＝8π，f ＝1T ＝18π，φ＝－π6. 当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝8k π＋8π3(k ∈Z )时，函数取得最大值6.答案：6 8π 18π －π6 (8k π＋8π3，6)(k ∈Z )7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象知， T ＝0－(－2π3)＝2π3，所以ω＝3.答案：38．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则f (2)＝________.解析：依题意知34×2πω＝2，∴ω＝3π4，又图象过点(1,1)，则令3π4＋φ＝π2，得φ＝－π4.故f (2)＝sin(3π4×2－π4)＝－22.答案：－229．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，即5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )．10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x∈R ，(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值．解：(1)由函数f (x )图象上一个最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2，由周期T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6.所以函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6.即x ＝0时，函数f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，函数f (x )取得最大值3.[B.能力提升]1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.34π B.π4C ．0D ．－π4解析：选B.y ＝sin(2x ＋φ)――――――――――――→向左平移π8个单位长度y ＝sin 错误!＝sin(2x ＋错误!＋φ)， 因为y ＝sin(2x ＋π4＋φ)是偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π4＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π4，故选B.2．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，以下说法正确的是( )A ．函数的周期为π4B ．函数是偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数解析：选C.该函数的周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此它是非奇非偶函数；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上是增函数，因此只有C项正确．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．解析：根据题图可知34T ＝5π12－(－π3)＝9π12＝3π4，所以函数的周期为π，可得ω＝2，根据图象过点(5π12，2)，代入解析式，结合－π2＜φ＜π2，可得φ＝－π3.答案：2，－π34．若对任意的实数a ，函数f (x )＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3－13(k ＞0)，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －π3，a ＋π6的图象与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，则实数k 的值为________．解析：由函数f (x )的图象在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －π3，a ＋π6时与直线y ＝－12有且仅有两个不同的交点，故⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －π3，a ＋π6的区间长度是函数f (x )的最小正周期，即T ＝π2，所以k ＝2πT＝4.答案：45．如图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求φ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.因为T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0－π2，3.因为点P 在函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x0－5π6＝32.又因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3或x 0＝3π4.6．(选做题)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn 上的面积为2n (n ∈N *)． (1)求函数y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积；(2)求函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积．解：(1)y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的图象如图所示．由函数y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23，可得函数y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为43.(2)由图可知阴影部分面积即为所求面积，即S ＝S 四边形ABCD ＋23＝π＋23.。
人教版高中数学-必修4课后强化作业 1-5-2 函数y=Asin(ωxφ)的性质及应用
基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅各是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2 D ．π，－2[答案] B2．函数y ＝sin(x ＋π2)，x ∈R ( ) A ．在[－π2，π2]上是增函数 B ．在[0，π]上是减函数 C ．在[－π，0]上是减函数 D ．在[－π，π]上是减函数 [答案] B3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T 分别是( )A ．A ＝3，T ＝5π6B ．A ＝3，T ＝5π3C ．A ＝32，T ＝5π6 D ．A ＝32，T ＝5π3[答案] D[解析] 由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为32，半个周期为π2－(－π3)＝5π6，故周期为53π.4．三角函数式：①y ＝3sin(2x －5π6); ②y ＝3sin(2x ＋7π6)； ③y ＝3sin(2x －5π12); ④y ＝3cos(2x ＋2π3)． 其中在[π6，2π3]上的图象如图所示的函数是( )A ．③B ．①②C ．①②④D ．①②③④[答案] B[解析] 代入(π6，－3)，(23π，3)检验．5．简谐运动y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的相位和初相分别是( )A ．3,5B ．5x ＋π4，π4C ．3，π4 D.π4，5x ＋π4[答案] B6．(广东揭阳第一中学2012－2013)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C 二、填空题7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期是2π5，则ω＝________.[答案] 58．函数y ＝sin(2x －π6)的图象在上(－π，π)上有______条对称轴． [答案] 4 三、解答题9．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(|φ|<π2)的图象如图，求函数的表达式． [解析] 由函数图象可知A ＝1， 函数周期T ＝2×[3－(－1)]＝8， ∴ω＝2πT ＝π4，又sin(π4＋φ)＝0，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π4(k ∈Z )，而|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴函数的表达式为y ＝sin(π4x －π4)．10．挂在弹簧下的小球上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h (cm)由函数关系式h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4决定． (1)以t 为横坐标，h 为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t ≤π)； (2)求小球开始振动的位置；(3)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置； (4)经过多少时间，小球往返振动一次？ (5)每秒小球能往返振动多少次？[解析] (1)利用五点法可以作出其图象(如图所示)．(2)令t ＝0，则h ＝322，所以小球开始振动时的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322. (3)最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3. (4)小球经过π秒往返振动一次． (5)每秒小球能往返振动1π次.。
高中数学必修四课时作业2：§1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(一)一、基础达标1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是( )A ．－π3，5π3，11π3 B ．－2π3，4π3，10π3 C ．－π6，11π6，23π6 D ．－π3，2π3，5π3[答案] B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度 [答案] B[解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.3．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 [答案] C4．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数 [答案] D5．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数[解析]式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1[答案] B[解析] 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数[解析]式为y ＝1＋cos 2x .6．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( )[答案] A[解析] 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象有两种变化途径：①y ＝sin x ――――――――――――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――――――――――――――――――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3②y ＝sin x ――――――――――――――――――――――――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ―――――――――――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.二、能力提升8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 [答案] B[解析]＝sin [2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．9．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 [答案] C[解析] ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――――――――――――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)． [答案] ①③11．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________． [答案] 32π[解析] y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π.12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式． 解 法一 正向变换y ＝f (x )―――――――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3， ∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x ―――――――――――――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――――――――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.三、探究与创新13．(2013·上海理)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0； (1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω＞0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0＜ω≤34(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π3或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
【高一数学】必修四《1.5.2函数y=Asin(ωx+φ)的性质》课时练习及答案
函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象第二课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质层级一 学业水平达标1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 3．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π64．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 6.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.7．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数的图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为___________________________．9．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心．10.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相．层级二 应试能力达标1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π32.函数所示f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 018)＝( )A ．－1B ．1 C.22D ．－223.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的 值等于( )A. 2 B ．2＋22 C.2＋2D.2－24．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，05.如图所示的曲线是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2 的图象的一部分，则这个函数的解析式是____________．6．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴方程为x ＝π6，则实数ω的值为________．7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象的一条对称轴是直线x ＝π4. (1)求φ值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间和对称中心．8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象第二课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质层级一 学业水平达标6.解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3， ∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32. 答案：327．解析：由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为T 2＝π2，知T ＝2πω＝π，得ω＝2，又图象关于点(x 0,0)成中心对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝0,2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝5π12. 8．解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 9．解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即函数的对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)． 10.解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.1.解析：选A 由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z)．结合各选项可知函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 2.解析：选C 由图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 018)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 018π4＋7π4＝cos ⎝⎛⎭⎫253×2π＋π4＝22. 3.解析：选C 由图可知A ＝2，φ＝2k π，k ∈Z ，T ＝8， ∴2πω＝8，即ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∵周期为8，且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2sin π4＋2sin π2＝2＋2.4．解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫0，A 2. 又当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， ∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．又∵A 的值不能确定，∴A 、B 、D 不一定正确．5.解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝⎛⎭⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，∴ω＝2.又⎝⎛⎭⎫5π6，0是五点作图法中的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，∴φ＝π3.∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 6．解析：令ωx ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数图象的对称轴方程为x ＝k ωπ＋π4ω，k ∈Z.根据题意得k ＝0，所以π4ω＝π6，解得ω＝32.7．解：(1)∵x ＝π4是f (x )的图象的一条对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π4＋φ＝±1，∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝3π8. (2)由(1)知y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－7π4≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－7π4，4k π＋π4(k ∈Z)． 由12x ＋3π8＝k π(k ∈Z)得x ＝2k π－3π4(k ∈Z)， 故该函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－3π4，0(k ∈Z)．∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z)．又0＜φ＜π， ∴φ＝2π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍， 纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象， 所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减． ∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3 (k ∈Z)。
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一、选择题
．设函数()＝.若对任意∈，都有()≤()≤()成立，则－的最小值为( )
．．
．
解析：()的周期＝，－＝＝.
答案：．若()＝(ω＋φ)＋对任意实数都有(＋)＝(－)，且()＝－，则实数的值等于( )
．－．±
．－或－．或
解析：依题意得函数()的图像关于直线＝对称，于是当＝时，函数()取得最值，因此有±
＋＝－，所以＝－或＝－.
答案：．已知函数＝(ω＋φ)在区间[，π]上单调，且()＝，(
π)＝，则函数的最小正周期为( )
．π
．π ．π解析：∵函数＝(ω＋φ)在区间[，π]上单调，且()＝，(π)＝，∴＝π－＝π，∴＝π.
答案：．将函数＝(－θ)的图像向右平移
个单位长度得到图像′，若′的一条对称轴是直线＝，则θ的一个可能取值是( )
π ．－π
π ．－π
解析：由＝(－θ)向右平移得到＝，且关于＝对称，
∴＝±，
即－－θ＝π＋(∈)，θ＝－π－(∈)，
当＝－时，θ＝.
答案：
二、填空题．如图所示的是函数()＝(ω＋φ)＋(>，ω>，φ∈
(，))的图像的一部分，则()＝.
解析：由于最大值和最小值之差等于，故＝，＝.
由于＝φ＋，且φ∈(，)，得φ＝.
由图像知ω(－π)＋φ＝π－，
得ω＝－＋(∈)．
又>π，∴<ω<.∴ω＝.
∴函数()的解析式是()＝(＋)＋.
∴()＝(×＋)＋＝.
答案：
．已知函数()＝(ω＋φ)(ω>)的图像如图所示，则ω＝.
解析：由题意设函数周期为，
则＝π－＝，∴＝π.
∴ω＝＝.
答案：
．设函数＝的图像关于点()成中心对称，若∈，则＝.
解析：因为函数图像的对称中心是其与轴的交点，所以＝＝，又∈，故＝－.
答案：－
．关于函数()＝(∈)的说法如下：
①＝()的解析式可改写为＝；
②＝()是以π为最小正周期的周期函数；
③＝()的图像关于点对称；
④＝()的图像关于直线＝－对称．
其中，正确的说法是．
解析：∵＝
＝，∴①正确；②④不正确；
而③中＝，∴是对称中心，故③正确．
答案：①③
三、解答题
．设函数()＝(ω＋)，ω＞，且以为最小正周期．
()求()的解析式；
()当∈时，求()的最值．
解：()∵()的最小正周期为，∴ω＝＝.
∴()＝(＋)．
()由∈，得＋∈，
(＋)∈.
∴当(＋)＝－，
即＝－时，()有最小值－，
当(＋)＝，即＝时，()有最大值.．已知曲线＝(ω＋φ)(＞，ω＞)上的一个最高点的坐标为(，)，由此点到相邻最低点间
的曲线与轴交于点(π，)，若φ∈(－，)．。