新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校最新试题精选(一)分类汇编4 平面向量 理
2024届宁夏回族自治区银川一中高考三模理科数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}A x y x N==∈，则集合A 的子集个数为（）A.8B.16C.4D.7【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A ，确定集合中元素个数，再由公式，即可求出其子集个数.【详解】因为{}{}{}420,24,x x A x y x N x x N x x N==∈=-≥∈=≤∈{}{}2,0,1,2x x x N =≤∈=，所以集合A 的子集个数为328=.故选：A.【点睛】本题主要考查求集合的子集个数，属于基础题型.2.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为i - B.||2z = C.2z 为纯虚数D.z 的共轭复数为1i--【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知复数，再由虚部的定义，模长计算方式与共轭复数定义分别判定即可.【详解】由题意得22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-．对于A ，由1z i =-得复数z 的虚部为1-，所以A 不正确．对于B，1||||i z -==B 不正确．对于C ，由于22(1)2z i i =-=-，所以2z 为纯虚数，所以C 正确．对于D ,1z i =-的共轭复数为1z i =+，所以D 不正确．故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了虚部的定义，求复数的模与共轭复数，属于基础题.3.已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A.a b c <<B.c a b <<C.b c a <<D.b a c<<【答案】D 【解析】【分析】根据()lg f x x =，()0.2xg x =，()cos h x x =的单调性，分别判断,,a b c 的大概范围，即可得出大小.【详解】由题知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，因为()lg f x x =在定义域内单调递增，所以()()1510f f >，即lg15lg101c =>=，因为()0.2xg x =在定义域内单调递减，所以()102g g ⎛⎫<⎪⎝⎭，即0.5000.20.21a <=<=，因为()cos h x x =在()0,π上单调递减，所以()π22h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即πcos2cos 02b =<=，综上：01b a c <<<<.故选：D4.下列说法正确的个数为（）①命题“ABC 中，若A B ∠=∠，则sin sin A B ∠=∠”的逆命题是真命题②若命题2:,10p x R x x ∀∈++>，则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤③“命题p q ∧为真命题”是“命题p ⌝为假命题”的充要条件④设,a b 均为非零向量，则“0a b ⋅> ”是“a 与b的夹角为锐角”的必要不充分条件A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】①由正弦定理判断.②根据全称命题的否定是特称命题判断.③根据“命题p q ∧为真命题”则p ，q 都为真命题判断.④根据cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，当2πθ=时判断.【详解】①命题“ABC 中，若A B ∠=∠，则sin sin A B ∠=∠”的逆命题是：命题“ABC 中，若sin sin A B ∠=∠，则A B ∠=∠”，若sin sin A B ∠=∠，由正弦定理得a b =，所以A B ∠=∠，是真命题，故正确.②因为全称命题的否定是特称命题，故正确.③因为“命题p q ∧为真命题”，则p ，q 都为真命题，则“命题p ⌝为假命题”，故充分，因为“命题p ⌝为假命题”，说明p 为真命题，但q 的真假不确定，则p q ∧的真假不确定，故不必要，故错误.④因为cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> ，故必要，当0a b ⋅> 时，2πθ=满足条件，但不是锐角，故不充分，故必要不充分，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题判断真假，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.17【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由三角形面积为12，312022|33x ==，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P ==考点：定积分及几何概型概率6.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A.1021B.919C.1123D.2021【答案】A 【解析】【分析】根据流程图模拟执行程序即得.【详解】()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，输入1,0n S ==，进入循环：11101,112101323S n ⎛⎫=+=-=+=< ⎪⨯⎝⎭，进入循环：1111111111111,2131023352323525S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-=+=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进入循环；1111111111111,3141025572525727S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-=+=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进入循环； 1111111,91102171719219S n ⎛⎫⎛⎫=-+=-=+= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，进入循环；111111011,1011110219192122121S n ⎛⎫⎛⎫=-+=-==+=> ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，结束循环，所以输出的1021S =.故选：A.7.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若11AA AC BC ===，则异面直线1,A C AB 所成角的大小是（）A.6π B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】连接1B C ，则11B A C ∠即为异面直线1,A C AB 所成角，再分别求出11B AC 的边长即可求出11B A C ∠，得到答案【详解】如图所示，连接1B C11A B AB // ,11B A C ∴∠即为异面直线1,A C AB 所成角11AA AC BC === ，112,2AC B C ∴==又ACBC ⊥，112AB A B ∴==在11B AC 中，11112A B AC B C === 11B A C ∴ 是正三角形11π3B AC ∴∠=故选：C8.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是56π，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（）米．A.526B.524C.534D.536【答案】C 【解析】【分析】由已知结合弧长公式可求AD ，进而可得答案．【详解】根据题意作出下图，弧AC 的长为512π，5121.253AOC ππ∠==，所以5322 1.25sin 34AB AD π==⨯⋅=．故选：C ．9.设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（）A.（0，1]B.（0，1]∪[3，+∞）C.（0，1]∪[9，+∞）D.[9，+∞）【答案】C 【解析】【分析】可得当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ ，讨论焦点在x 轴和在y 轴上两种情况即可求解.【详解】若椭圆焦点在x 轴上，即03m <<时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ ，则tan tan 60AMO∠=≥= ，解得01m <≤；若椭圆焦点在y 轴上，即3m >时，则当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ ，则tan tan 60AMO ∠=≥= ，解得9m ≥；综上，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞ 故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆上存在点M 满足120AMB ∠= ，则此时120AMB ∠≥ ，则60AMO ∠≥ .10.()()()sin ,0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（）A.若圆C 的半径为5π12，则π()23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；B.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称；D.函数()f x 的最小正周期是10π9.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定D 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CMOM OC =+，求得A 的值，可判定A 正确.【详解】由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以D 不正确；又由2π2Tω==，且π(06f -=，即ππsin[2(]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,123(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12(3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π30sin32f A A ==，即32OM A =,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()1223A =+，解得3π6A =，所以()f x 的解析式为()3ππsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以A 正确.故选：A.11.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，EF 是BCD △的中位线，AC 与EF 交于点G ，已知PEF !是CEF △绕EF 旋转过程中的一个图形﹐且P ∉平面ABCD .给出下列结论：①//BD 平面PEF ；②平面PAC ⊥平面ABCD ；③“直线PF ⊥直线AC ”始终不成立.其中所有正确结论的序号为（）A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】B 【解析】【分析】利用线面平行的判定判断①；利用面面垂直的判定推理判断②；举例说明判断③.【详解】菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，EF 是BCD △的中位线，则//EF BD ，而EF ⊂平面PEF ，BD ⊄平面PEF ，因此//BD 平面PEF ，①正确；连接PG ，由BD AC ⊥，得,EF AG EF PG ⊥⊥，而,,AG PG G AG PG =⊂ 平面PAC ，则EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面ABCD ，因此平面PAC ⊥平面ABCD ，②正确；显然PGA ∠是二面角P EF A --的平面角，PEF !由CEF △绕EF 旋转过程中，PGA ∠从180 逐渐减小到0 （不包含180 和0 ），当90PGA ∠= 时，AG PG ⊥，,,PG EF G PG EF =⊂ 平面PEF ，则AG ⊥平面PEF ，而PF ⊂平面PEF ，于是PF AG ⊥，③错误，所以所有正确结论的序号为①②.故选：B12.已知对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()e 11ln 0kxkx x x +-+>恒成立，则实数k 的取值范围是（）A.()e,+∞ B.1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为()e 1(1)ln kxkx x x +>+，所以()e 1ln e(1)ln kxkxx x +>+①，令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，设1()()1ln g x f x x x'==++，所以22111()x g x x x x-'=-+=，当01x <<时，()0g x '<，当x >1时，()0g x '>，所以()f x '在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()()12f x f ''≥=，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，因为①式可化为()e()kxf f x >，所以e kx x >，所以ln xk x>，令ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在(0,e)单调递增，在(e,)+∞单调递减，所以max 1()(e)e h x h ==，所以1ek >，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-= 故1λ=.故答案为：114.过点(4,0)-作直线L 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 两点，如果8AB =，则L 的方程为_____.【答案】4x =-或512200x y ++=【解析】【分析】首先根据题意得到圆心(1,2)-，半径等于5，根据弦长公式得到圆心到直线的距离等于3，再分别讨论斜率是否存在，求直线方程即可.【详解】圆2224200xy x y ++--=，即22(1)(2)25x y ++-=，所以圆心(1,2)-，半径等于5，设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式得：8=，所以3d =.当直线L 的斜率不存在时，方程为4x =-，满足条件.当直线L 的斜率存在时，设斜率等于k ，直线L 的方程为0(4)y k x -=+，即40kx y k -+=，由圆心到直线的距离等于3得：3=，解得512k =-，直线L 的方程为512200x y ++=.综上，满足条件的直线L 的方程为4x =-或512200x y ++=，故答案为：4x =-或512200x y ++=【点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，弦长公式为解题的关键，属于中档题.15.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第2层有3个球,第3层有6个球,…,则第10层球的个数______.【答案】55【解析】【分析】设第n 层的个数为n a ,根据题意可得11n n a a n +-=+,然后利用等差数列求和即可求解.【详解】设第n 层的个数为n a ,根据题意可得11n n a a n +-=+,所以()()()()101099887211a a a a a a a a a a =-+-+-+-+ ()10101109821552⨯+=+++++== ,故答案为：55.16.在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.【答案】332【解析】【分析】由正弦定理可得1sin BD B =、1sin DC C =，即有113sin sin B C +=，而sin sin AB AC C B==可得32AB AC AC AB +=⋅，结合余弦定理求AC AB ⋅，再应用三角形面积公式求ABC 的面积即可.【详解】∴由正弦定理，sin sin 6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B B π=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C C π=⋅=，而3BC =，∴113sin sin B C+=，∵sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C AB =，123sin B AC =，∴112AC AB +=，即2AB AC AC AB +=⋅，又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅，∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去），∴133sin 22ABC S AC AB BAC =⋅⋅∠=.故答案为：332.【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求AC AB ⋅，根据三角形面积公式求面积.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析；()2413nn T =-【解析】【分析】（1）利用等差数列的求和公式及通项公式列方程求解即可；（2）先通过（1）求出数列{}n b 的通项公式，再通过证明1n nb b +为定值可得数列{}n b 是等比数列，最后利用等比数列的求和公式求和即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，2a 是1a 和5a 的等比中项，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+①，又5151025S a d =+=②，由①②得1a 1,d 2==，21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）可得212n n b -=，21121242n n n n b b ++-∴==，又12b =故数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列，()()214241143n nn T -∴==--.18.在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F-AE-P 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）先证明PA CD ⊥，然后可证明CD ⊥平面PAD ，从而得证面面垂直；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ．以,,AM AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求得二面角．【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．又因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ．（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，,AM AD ⊂平面ABCD ，所以PA AM ⊥，PA AD ⊥．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,．因为E 为PD 的中点，所以()0,1,1E ．所以(0,1,1)AE = ，(2,2,2)PC =-，(0,0,2)AP =uu u r ，所以1222(,,3333PF PC ==- ，所以224(,,)333AF AP PF =+= ．设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则02240333n AE y z n AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =，则1y =-，=1x -．于是(1,1,1)n =-- ．又因为平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)p = ，所以3cos ,3||||p n n p p n ⋅〈〉==-．由题知，二面角F AE P --为锐角，所以其余弦值为3．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，证明面面垂直的关键是掌握面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系用向量法求二面角是立体几何中求空间角的常用方法，此方法用计算代替证明，考查学生的运算求解能力．19.移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日，lpsosChina 针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄段人数类型[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60使用移动支付45402515不使用移动支付102045（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[)40,50之间的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）75199；（2）分布列见解析，35.【解析】【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求解.（2）利用超几何分布的概率计算公式即可求解.【详解】（1）记事件A ：第1次抽到的人使用移动支付，事件B ：第2次抽到的人不使用移动支付，所以()()()1257575125199199n AB P B A n A ⨯===⨯.（2）在年龄段[)40,50中抽取的人数为25255125⨯=，则X 的可能取值为0，1，2，3，所以()320325570115C P X C ===，()2120532519146C C P X C ===，()122053252223C C P X C ===，()0320532513230C C P X C ===，则X 的分布列为：X0123P5711519462231230故()571921693012311546232301155E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.20.已知拋物线2:2(0)C ypx p =>，焦点为F ，点()()004,0M y y >在抛物线C 上，且5MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，点,,M A B 中任意两点不重合，且0MA MB ⋅=，判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）24y x=（2）直线AB 过定点，定点坐标为(8,4)-【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解即可；（2）由题意可知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为x my b =+，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和向量数量积的坐标表示求解即可.【小问1详解】因为点()04,M y 在抛物线C 上，且M 点到焦点F 的距离5MF =，所以452p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =【小问2详解】由（1）得M 点坐标为(4,4)，由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB 为x my b =+，联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩得2440y my b --=，22(4)41(4)16160m b m b ∆=--⨯⨯-=+>，即20m b +>，124y y m +=，124y y b =-，所以21212()242x x m y y b m b +=++=+，221212()16y y x x b ==，因为11(4,4)MA x y =-- ，22(4,4)MB x y =--，所以121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()32MA MB x x y y x x x x y y y y ⋅=--+--=-++-++22224(42)44432161216320b m b b m b m b m =-+--⨯+=---+=，所以22123616164b b m m -+=++即22(6)(42)b m -=+，当6b -与42m +同号时，642b m -=+即48b m =+，此时22248(2)40m b m m m +=++=++>，所以直线AB 方程48(4)8x my m m y =++=++过定点(8,4)-，当6b -与42m +异号时，642b m -=+即44b m =-+，此时22244(2)0m b m m m +=-+=-≥，直线AB 方程44(4)4x my m m y =-+=-+过定点(4,4)与点,,M A B 中任意两点不重合矛盾；故直线AB 过定点，定点坐标为(8,4)-.21.已知函数()1()2ln f x a x x a x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个[]01,e x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）440x y --=（2）答案见详解（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当2a =时，可得()10f =，()12f '=，根据导数的几何意义结合直线的点斜式可求；（2）分类讨论,a ∆的符号，结合导数符号与原函数单调性之间的关系分析求解；（3）不等式等价于存在[]01,e x ∈，002ln x a x >，只需min2ln x a x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()2ln x F x x =，[]1,e x ∈，利用导数求出函数()F x 的最小值即可得出答案.【小问1详解】由题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，当2a =时，则1()22ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22222()x x f x x'-+=，可得()10f =，()12f '=，即切点坐标为()1,0，切线斜率2k =，所以切线方程为()021y x -=-，即220x y --=．【小问2详解】由（1）可知：222()ax x af x x -+'=，（ⅰ）当0a >时，对于方程220ax x a -+=，则244a ∆=-，①若01a <<，则2440a ∆=->，可知方程220ax x a-+=有两个不相等的实数根1a，11a a+，且110a a-<<，令()0f x '>，解得11a x a <或11a x a +>；令()0f x '<，解得1111a a x a a+<<；可知函数()f x 的单调递增区间为110,,a a ⎛⎛⎫-++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为11a a ⎛-+⎝⎭；②若1a ≥，则2440a ∆=-≤，可知220ax x a -+≥在()0,∞+上恒成立，即()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；（ⅱ）当0a ≤时，可知220ax x a -+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减；综上所述：若01a <<，函数()f x 的单调递增区间为11110,,a a ⎛⎛⎫++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为1111a a ⎛-+⎝⎭；若1a ≥，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；若0a ≤，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无递增区间.【小问3详解】因为存在一个[]01,e x ∈，使得()()00f x g x >，则002ln ax x >，等价于02ln x a x >，令()2ln x F x x =，[]1,e x ∈，则()()221ln x F x x-'=，当[]1,e x ∈时，()0F x '≥，可知()F x 在[]1,e 上单调递增，则()()10F x F ≥=，可得0a >，所以实数a 的取值范围()0,∞+.【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为：x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4π3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线()π03θρ=≥与曲线1C 交于点A ，射线()06πp θ=≥与曲线2C 交于点B ，求AOB 的面积．【答案】（1）2ρ=，[]0,πθ∈80y +-=（2）2【解析】【分析】（1）先将1C 化为普通方程，再根据极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；先利用两角和的正弦公式化简整理2C ，再结合极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；（2）先求得2,3πA ⎛⎫ ⎪⎝⎭和π4,6B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后结合三角形的面积公式以及点的极坐标的几何意义即可求解.【小问1详解】由题意得：1C 的普通方程为()2204y x y +=≥cos ,sin x y ρθρθ== 1C ∴的极坐标方程为2ρ=，[]0,πθ∈.由sin 4π3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得13sin cos 422ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭134022y x ∴+-=即2C80y +-=．【小问2详解】射线()π03θρ=≥与曲线1C 交点A 的极坐标为2,3πA ⎛⎫ ⎪⎝⎭由π 6πsin 43θρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩得4ρ=，6π4,B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭AOB ∴ 的面积为124sin 2π2π36AOB S ⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭△．[选修4—5：不等式选讲]23.已知关于x 的函数()223(R)f x x x x =-++∈.（1）求关于x 的不等式()7f x ≥的解集.（2）若函数()f x 的最小值为m ､且实数a ，b 满足222a b m +=，求2a b +的最大值.【答案】（1）{2x x ≤-或}2x ≥（2）【解析】【分析】（1）写出()f x 的分段形式，分类讨论，求出不等式的解集；（2）利用（1）中分段函数的单调性求出4m =，设2cos ,a b θθ==，[]0,2πθ∈，利用辅助角公式求出2a b +的最值.【小问1详解】31,3()2235,3131,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，317x --≥，解得：83x ≤-，与3x <-取交集得：3x <-，当31x -<<时，57x -+≥，解得：2x ≤-，与31x -<<取交集得：32x -<≤-，当1x >时，317x +≥，解得：2x ≥，与1x >取交集得：2x ≥，综上：不等式()7f x ≥的解集为{2x x ≤-或}2x ≥；【小问2详解】()f x 为连续函数，且当1x ≤时，()f x 单调递减，当1x >时，()f x 单调递增，故当1x =时，()f x 取得最小值，()()min 14f x f ==，则2224a b +=，设2cos ,a b θθ==，[]0,2πθ∈，则()24cos a b θθθϕ+=+=+，其中122cos ,sin 33ϕϕ==，当()sin 1θϕ+=时，2a b +取得最大值为。
宁夏银川市(新版)2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题如图为延安革命纪念馆陈列的呈正四棱台的木盒子，它是以前计量粮食用的斗，其四周和底部五面合围，上部开口的中间有一斗柄，作为手提之用．1947年，党中央果断做出了“撤离延安、转战陕北”的重大决策，为了及时供应部队军粮，保证部队的粮食需求，地方政府将米脂、镇川和子洲等地的公粮集中在沙家店粮站，这个斗就是沙家店粮站当时使用过的，纪念馆测得该正四棱台下底面边长为38厘米，上底面边长为32厘米，侧棱长23厘米．则斗的侧面与底面夹角余弦值为（）A．B．C．D．第(4)题考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（）A．24B．36C．72D．144第(5)题已知为奇函数，则（）A．3B．C．0D．第(6)题下列命题错误的是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．设，若，，则C．线性回归直线一定经过样本点的中心D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且第(7)题在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．第(2)题下列关于平面向量，，的运算，一定成立的有（ ）A．B．C．D．第(3)题对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件：①“”的充要条件为“”；②；③，都有．则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（）A．为B．为C．若，则为D．若为，则也为（为自然对数的底数）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为__________．第(2)题用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）第(3)题已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知且，.(1)求角B及边b的大小；(2)求的值．第(2)题已知函数在处的切线为．（1）求实数的值；（2）求的单调区间和最小值．第(3)题在中，．(1)求；(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．第(4)题在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．第(5)题已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.(1)求的方程；(2)设点，直线与分别交于点.①判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：②记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.。
新课标全国统考区(吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南)高三数学 名校最新试题精选分类汇编2 函数
一、选择题1 ．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）已知函数1()()|cos 2|f x f x x π==,[0,1]x ∈.当n ≥ 2时,1()(())n n f x f f x -=,则方程2013()2013xf x =的实数解的个数为 A ．22013B ．42013C ．2D ．4【答案】B 2 ．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）定义在实数集R 上的函数)(x f y =的图象是连续不断的,若对任意实数x,存在实数常数t 使得)(x t f +)(x tf -=恒成立,则称f (x)是一个“关于t 函数”,有下列“关于t 函数”的结论:①0)(=x f 是常数函数中唯一一个“关于t 函数”;②“关于21函数”至少有一个零点;③2)(x x f =是一个“关于t 函数”,其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A3 ．（河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x的最大整数,若函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点,则a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 34,45⎛⎤⎥⎝⎦D ．34,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C4 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）函数2cos 23x y x =-的图象大致是【答案】C5 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数1()ln kx f x x +⎧=⎨⎩(0)(0)x x ≤>,则下列关于函数[()]1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点;当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点;当0k <时,有1个零点说明:第13题--第21题为必做题,第22题----第24题为选做题. 【答案】D 6 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知R 上的函数y=f(x),其周期为2,且x∈(-1,1]时f(x)=1+x 2,函数g(x)=1sin (0)11,(0)x x x xπ+>⎧⎪⎨-<⎪⎩,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为 （ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】C 7 ．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩,其中0m >.若方程3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为( )zxxk（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7) C ．48(,)33D ．()7,2【答案】B 8 ．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）已知函数122,0()|21|,0x x f x x x x +⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩,若方程()210f x a +-=恰有四个实数根,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1(,0]2-B ．1[,0]2- C ．3[1,)2 D ．3(1,]2【答案】A9 ．（山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）设函数1()f x x x=-,对任意[)1,,()()0x f mx mf x ∈+∞+<恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)-B ．,0m R m ∈≠C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞-()1,⋃+∞【答案】C ()()0f mx mf x +<恒成立,即10mmx mx mx x-+-<恒成立,若0m >,则1mmx mx mx x-+-在[)1,+∞上为增函数,不恒小于0,故0m <,此时,()()f mx mf x +为减函数,只需当1x =时恒成立,即2110,0m m m m--<<,解得1m <-10．（河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知函数(),()ln ,()ln 1x f x e x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为a ,b ,c ,则（ ）A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c 【答案】A 11．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）设函数)10(22)(≠>-=-a a ka a x f x x 且在(+∞∞-,)上既是奇函数又是减函数,则)(log )(k x x g a -=的图象是【答案】A12．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word 版 ）已知0x 是函数)),0((ln sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的零点,21x x <,则①),1(0e x ∈;②),(0πe x ∈;③0)()(21<-x f x f ;④0)()(21>-x f x f 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③【答案】A13．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word 版 ）下列函数中在区间),1(+∞上为增函数,且其图像为轴对称图形的是 （ ）A ．122-+-=x x yB ．x y cos =C ．|1|lg -=x yD ．x x x y 3323+-=【答案】C 14．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R,都有(2)()(1)f x f x f +=-成立,且当[2,3]x ∈ 时,2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+在()0,+∞上至少[有三个零点,则a 的取值范围是 （ ）A ．2) B ．3 C ．5 D ．6 【答案】B15．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）已知函数()y f x =的图象如图所示,则函数(||)y f x =-的图象应是【答案】B 16．（内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ,则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（ ）A ．2a -1B ．1-2aC ．2-a-1D ．1-2-a【答案】B17．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =223,([0,1))3,([1,0))x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩＋－－,且)()2(x f x f =+,273)(++=x x x g ,则方程)()(x f x g =在区间]3,8[-上的所有实数根之和为（ ）A ．0B ．10-C ．11-D ．12-【答案】C 18．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个 【答案】C 19．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）已知函数2013...4321)(2013432x x x x x x f ++++-+=,2013...4321)(2013432x x x x x x g --+-+-=设F(x)=f(x+4).g(x-4),且函数F(x)的零点在区间[a-1,a]或[b-1,b](a<b,a,b∈ Z)内,则a+b 的值为 （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】D由()(4)(4)F x f x g x =+⋅-可知,函数()F x 的零点即为()4f x +的零点或()4g x -的零点.'232012()1f x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+,当1x >-时,2013'2320121()101x f x x x x xx+=-+-+⋅⋅⋅+=>+成立,'232012(1)110f x x x x -=-+-+⋅⋅⋅+=>,当1x <-时,2013'2320121()101x f x x x x x x+=-+-+⋅⋅⋅+=>+也成立,即'232010()10f x x x x x=-+-+⋅⋅⋅+>恒成立,所以2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+在R 上单调递增. ()()1111(0)1,111...023********f f ⎛⎫⎛⎫=-=-+--++--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()f x 的惟一零点在[]1,0-内,()4f x +的惟一零点在[]5,4--内.同理()4g x -的惟一零点在[]5,6内,因此6,4, 2.b a a b ==-+=20．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）下列函数一定是偶函数的是（ ）A ．cos(sin )y x =B ．sin cos y x x =C ．ln(sin )y x =D ．sin xy e=【答案】【命题意图】本小题通过三角函数考查复合函数的奇偶性,对学生的函数部分的基础知识加以考查,并且要求学生有一定的数形结合的想象能力. 本小题是一道侧重考查数学概念的基本题. 【试题解析】A 由偶函数定义可知,函数cos(sin )y x =中,x 的定义域关于原点对称且cos(sin())cos(sin )x x -=,故选（ ）A ．21．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）函数f (x )x sin x,(x R )=+∈ （ ） A ．是偶函数,且在(-∞,+∞)上是减函数 B ．是偶函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 C ．是奇函数,且在(-∞,+∞)上是减函数 D ．是奇函数,且在(-∞,+∞)上是增函数 【答案】D22．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x xy e e -=-,其中是奇函数的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④ 【答案】B 二、填空题 23．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）已知函数y=13x x -++的最大值为M,最小值为m,则mM=____________【答案】2224．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）已知x ∈R ,用符号[]x 表示不超过x 的最大整数.函数[]()(0)x f x ax x=-≠有且仅有3个零点,则a 的取值范围是__________.【答案】3445a <≤或4332a ≤< 25．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知函数:y=f(x)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线y=x 对称,则f(3)=_____ 【答案】 -226．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）将函数y=-x 2+x(e∈[0,1])的图象绕点M(1,0)顺时针旋转θ角 ()20πθ<<得到曲线C,若曲线C 仍是一个函数的图象,则角θ的 最大值为_______ 【答案】4π27．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点(2,-1),且函数)(x f y =的图像与函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线xy =对称,则)(x f =____________.【答案】xy )21(=。
宁夏银川市(新版)2024高考数学统编版测试(综合卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学统编版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A．－B ．C ．－D ．第(2)题已知复数，则（ ）A ．B．C ．D ．第(3)题若，则（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题函数若，且，则的取值范围是（ ）A．B ．C ．D ．第(5)题贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（ ）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B．2016年，快递业务量增长速度最快C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓第(7)题已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（）.A．B．1C．D．第(8)题已知向量，，若，则实数A．B．C．6D．-6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）A．若数列为等比数列，且其前项的和，则B．若数列为等比数列，且，则C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列D．若数列为等差数列，，则最小第(2)题平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（）A．B．在方向上的投影是1C．的最大值是D．若向量满足，则的最小值是第(3)题已知事件与事件为互斥事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则（）A．B．C．D．事件与事件不独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线与圆相交于A，B两点，其中点，若，且圆与轴相切，则圆的方程为______．第(2)题已知是双曲线的左､右焦点，点在上. ，则的离心率为__________.第(3)题已知，若存在使得，则k的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面(1)求证：;(2)求二面角的大小.第(2)题已知函数，其中．(1)若．证明：当时，；(2)若，函数有三个极值点．证明：．注：…是自然对数的底数．第(3)题如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设平面交棱于点．(1)求；(2)求二面角的平面角的正切值．第(4)题已知数列满足对任意的正整数，都有，且该数列前三项依次为，，，又已知数列的前项和为，且，（1）求，的通项公式；（2）令，求数列的前项和.第(5)题在中，内角所对的边分别为．已知，，，的面积为9．(1)求的值；(2)求及的值．。
新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校最新试题精选(一)分类汇编5 数列 理
一、选择题1 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若28515a a a +=-,则9S 等于（ ）A ．60B ．45C ．36D ．182 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3613S S =,则612S S 等于 （ ）A ．13B ．15C ．18D ．193 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）等差数列{}n a 及等比数列{}n b 中,,0,02211>=>=b a b a 则当3≥n 时有 （ ）A ．n n b a >B ．n n b a =C ．n n b a ≥D ．n n b a ≤4 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知函数bx x x f +=2)( 的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平行,若数列1{}()f n 的前n 项和为n s ,则2013s 的值为 （ ）A ．20102011B ．20122011C ．20132012D ．201420135 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2531(2)2a a x dx =+⎰,则95S S = （ ）A ．9B ．259C ．2D ．2526 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是)1(≠d d ,且11b a =,44b a =,1010b a =,则1a 和d 的值分别为（ ）A ．332,2B ．332,2-C ．332,2--D ．332,2-7 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知{}n a 为等差数列,其前n项和为{}n S ,若36a =,312S =,则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．38 ．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）已知等比数列{}n a 的前10项的积为32,则以下说法中正确的个数是①数列{}n a 的各项均为正数; ②数列{}n a 中必有小于2的项; ③数列{}n a 的公比必是正数; ④数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1.（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9 ．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）已知函数23420122013()123420122013x x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅-+234()1234x x x g x x =-+-+-2012201320122013x x +-, 若函数()f x 有唯一零点1x ,函数()g x 有唯一零点2x ,则有( ) （ ）A ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈B ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈C ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈D ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈10．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100,那么714a a ⋅的最大值为 （ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在11．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知数列{}n a 是等差数列,135105a a a ++=,24699a a a ++=,{}n a 的前n 项和为n S ,则使得n S 达到最大的n 是 （ ） A ．18B ．19C ．20D ．2112．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）已知数列{}n a 满足:2122a a a =-+,12()1,n n a a n a n N *+=+-+∈,当且仅当3n =时n a 最小,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,3-B ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,4D ．57,22⎛⎫⎪⎝⎭13．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,前n 项和为n S ,且4532,,4a a a 成等差数列,若11=a ,则=4S （ ）A ．7B ．8C ．15D ．1614．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）已知等差数列{}n a 的公差不为零,且12513a a a ++=,1a ,2a ,5a 又成等比数列,则数列{}n a 的公差为（ ）A ．4B ．1C ．3D ．2二、填空题15．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知等差数列{}n a 的公差为2,若431a a a ，，成等比数列,则2a =______16．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,对于任意的n N +∈,2,,n n n a S a 成等差数列,设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且2(ln )nn nx b a =,若对任意的实数(]1,x e ∈(e 是自然对数的底)和任意正整数n ,总有n T r <()r N +∈.则r 的最小值为_____. 17．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）给出下列不等式:111123++>,11131...2372++++>,1111...22315++++>,11151 (23312)++++>,,则按此规律可猜想第n 个不等式为__________.18．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）设n 为正整数,nn f 131211)(++++= ,经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ,27)32(,3)16(>>f f ,观察上述结果,对任意正整数n ,可推测出一般结论是____________19．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）数列{}n a 满足11a =,21a =,21n n a a n ++=+()*n N ∈,若{}n a 前n 项和为n S ,则100S =_.三、解答题20．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设各项均为正数的等比数列{}n a 中,1310a a +=,3540a a +=.设2log n n b a =. (1)求数列{}n b 的通项公式; (2)若11c =,1nn n nb c c a +=+,求证:3n c <;21．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知各项均为正数的数列{a n }满足*2121,02N n a a a a n n n n ∈=--++,且a 3+2是a 2、a 4的等差中项.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若n n n n n b b b S a a b +++== 2121,log ,求使5021>⋅++n n n S 成立的n 的最小值.22．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设数列{}n b 的前n 项和为n S ,且22n n b S =-;数列{}n a 为等差数列,且514a =,720a =. (1)求数列{}n b 的通项公式; (2)若(1,2,3,),n n n n c a b n T ==为数列{}n c 的前n 项和,求n T .23．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）数列{}n a 满足)(2sin 2)2cos 311(,2,1*22221N n n a n a a a n n ∈π+π-===+.(Ⅰ)求43a ,a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设n n a ...a a s +++=21,求n s 2.24．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知等比数列{}n a 中,1n n a a +>,且满足:2420a a +=,38a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若12log n n n b a a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求n S25．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知数列﹛a n ﹜中,a 1=2,a n=112--n a ),2(*N n n ∈≥. (I)设b n =11-n a *N n ∈,求证:数列﹛b n ﹜是等差数列(II)设c n =2·1+n n b b (*N n ∈),求数列﹛c n ﹜的前n 项和S n .26．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知函数()f x 定义在(1,1)-上,1()12f =,满足()()()1x y f x f y f xy --=-,且数列11,2x =1221+n n n x x x +=.(Ⅰ)证明:()f x 定义在(1,1)-上为奇函数 (Ⅱ)求()n f x 的表达式; (Ⅲ)若*11121,(),()2n n n n n a a f x a n N +==-∈,试求n a27．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）已知数列{}n a 的前n 项和2n =(*)S n n N ∈,等比数列{}n b 满足1134,2b a b b == (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若(*)n n n c a b n N =∈,求数列{}n c 的前n 项和n T28．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足)1(22--=n n a n S n n , 且211=a . (Ⅰ) 令n n S nn b 1+=, 证明:)2(1≥=--n n b b n n ; (Ⅱ) 求{}n a 的通项公式.29．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知{}n a 为等比数列,11a =,6243a =.n S 为等差数列{}n b 的前n 项和,13b =,535S =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设1122...n n n T a b a b a b =+++,求n T .30分)已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60,且6a 为1a 和21a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足1()n n n b b a n +-=∈*N ,且13b =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 31．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9a a a a a +==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++,求数列1{}nb 的前n 项和.32．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）已知正项数列满足24(1)n n S a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和T n .【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选（一）分类汇编5：参考答案一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. D 5. A6. D7. C8. A9. D 10. A 11. C 12. D 13. C 14. D 二、填空题 15. 6- 16. 217. 21121312111+>-+++++n n 18. 22)2(+≥n f n19. 2525三、解答题20.解:(1)设数列{a n }的公比为q (q >0),由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10a 1q 2＋a 1q 4＝40,∴a 1=q =2, ∴a n =2n, ∴b n =n (2)∵c 1=1<3,c n +1-c n =n2n ,当n ≥2时,c n =(c n -c n -1)+(c n -1-c n -2)++ (c 2-c 1)+c 1=1+12+222++n －12n －1,∴12c n =12+122+223++n －12n 相减整理得:c n =1+1+12++12n －2-n －12n －1=3-n ＋12n －1<3,故c n <3。
新课标全国统考区(吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南)高三数学 名校最新试题精选分类汇编10 排
一、选择题1 ．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）从l、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个【答案】A2 ．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word版）计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（）A．60种B．42种C．36种D．24种【答案】A3 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）甲乙丙3位同学选修课程,从4门课程中选.甲选修2门,乙丙各选修3门,则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．1 92种【答案】C4 ．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检,每校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种【答案】B5 ．（内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数有() 种A B C D.6 .8 .12 .16【答案】C6 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）从6名男生4名女生中选4名代表,则至少有1名女生入选的选法有( )种（）A．205 B．210 C．190 D．195【答案】D7 ．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）2 013年第12届全国运动会举行期间,某校4名大学生申请当A,B,C三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A比赛项目,则不同的安排方案共有( )（）A．20种B．24种C．30种D．36种【答案】B8 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,赠送给4位朋友每位朋友至少1本,则不同的赠送方法共有（）A．24种B．28种C．60种D．120种【答案】B9 ．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道),那么从A到B的最短线路有( )条（ ）A ．100B ．400C ．200D ．250【答案】C10．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）从3名医生和4名护士中选出3人,分别从事三项不同的工作,要求3人中医生和护士同时都有,则选派方案共有 ( )种 （ ）A ．108B ．180C ．186D ．270【答案】B11．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）若数列{}n a 满足规律:123212......n n a a a a a -><><><,则称数列{}n a 为余弦数列,现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】【命题意图】本小题通过排列组合考查学生的逻辑推理能力,另外本小题还考查学生建立数学模型解决实际数学问题的思想,是一道中档难度的试题.【试题解析】C ①将3,4,5排在中间和两侧,再用1,2插两缝共323212A A =种;②将2,4,5排列,则结果必为21435;将2,5,4排列,则结果必为21534;将4,5,2排列,则结果必为43512;将5,4,2排列,则结果必为53412. 故选 C ．二、填空题12．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球,从中取出3个球,则取出球的编号互不相同的取法有_________种(用数字作答).【答案】3213．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张卡片,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法总数为________________.【答案】1814．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度,决定将这6列列车编成两组,每组3列,且甲与乙两列列车不在同一小组,如果甲所在小组3列列车先开出,那么这6列列车先后不同的发车顺序共有____________.【答案】 216A B。
新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校最新试题精选(一)分类汇编9 圆锥曲线 理
一、选择题1 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（文）试题）已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 （ ）A ．54B ．1C ．34D ．742 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于（ ） A ．B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ．(1,+∞)B ．(1,2)C ．(1,1+2)D ．(2,1+2)3 ．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）设F 1,F 2是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()220OP OF F P +⋅=(O 为坐标原点),且213PF PF =,则双曲线的离心率为（ ）A ．212+ B ．12+C ．213+ D ．13+4 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（文）试题）已知抛物线px y 22=(p>0)的准线与圆05422=--+x y x 相切,则p 的值为 （ ）A ．10B ．6C ．4D ．25 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）已知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且l PA ⊥,垂足为A ,若直线AF 的斜率为3-,则|P F |等于（ ）A ．32B ．4C ．34D ．86 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3,则双曲线12222=-bx a y 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±7 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（文）试题）设双曲线2221(0)9y x a a -=>的渐近线方程为340x y ±=,则双曲线的离心率为 （ ）A ．54B ．53C ．74D ．78 ．（吉林省吉大附中2012-2013学年度高三第二学期模拟测试数学文试题 ）已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ,2F ,点A 在双曲线上,且2AF x ⊥轴,若1253AF AF =,则双曲线的离心率等于 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．39 ．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（文）试题 ）双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率是2,则渐近线方程为 （ ）A ．3x ± y = 0B ．x ±3y=0C ．x ± 3y = 0D ．3x ± y = 010．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ）已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称相异两点A B 、,则||AB 等于 （ ）A ．3B ．4C ．32D ．4211．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ）已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 （ ）A ．423+B ．31-C ．3+12D ．3+112．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（文）试题）已知抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点到准线的距离为41, 且C 上的两点()()2211,,,y x B y x A 关于直线m x y +=对称, 并且2121-=x x , 那么m =（ ）A ．23B ．25 C ．2D ．313．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（文）试题）已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若2ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C ．()21,1+ D ．()+∞+,2114．（黑龙江省哈三中2013届高三3月第一次模拟数学文试题（word 版） ）已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上的一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,,双曲线离心率为e ,则2tan2tanβa=（ ）A ．11+-e eB ．11-+e eC ．1122-+e e D ．1122+-e e15．（黑龙江省哈三中2013届高三3月第一次模拟数学文试题（word 版） ）已知椭圆141622=+y x ,过右焦点F 且斜率为k(k> O)的直线与椭圆交于A,B 两 点,若'=,则k=（ ）A ．1B ．2 C ．3D ．216．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考文科数学试题 ）如图,1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点,以坐标原点O 为圆心,1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点,若△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．31-D ．13+17．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（文）试题）点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点,其右焦点为(,0)F c ,若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为8c,则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．(]1,8B ．41,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．45(,)33D ．(]2,318．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（文）试题）双曲线22221x y a b-=的离心率为3,则它的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．22y x =± C ．2y x =±D ．12y x =±19．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l与抛物线在第一象限的交点为A ,直线l 与抛物线的准线的交点为B ,点A 在抛物线的准线上的摄影为C ,若AF FB =,36BA BC ⋅=,则抛物线的方程为（ ）A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =20．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（文）试题）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆4222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若)(21OP OF OE +=,则双曲线的离心率为 （ ）A ．210 B ．510 C ．10D ．221．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考数学试题（文科））若抛物线的焦点坐标为(0,2),则抛物线的标准方程是 （ ）A ．x y 42= B ．y x 42=C ．x y 82=D ．y x 82=二、填空题22．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知点()0,1A -及直线:1l x =-,点P是抛物线x y 42=上一动点,则点P 到定点A 的距离与P 到直线l 的距离和的最小值为___23．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（文）试题）已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b>0)的一条渐近线与曲线32y x =+相切,则该双曲线的离心率等于______.24．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）P 为抛物线24y x =上任意一点,P 在y 轴上的射影为Q ,点M (4,5),则PQ 与PM 长度之和的最小值为__________.25．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（文）试题 ）若椭圆过抛物线x y82=的焦点,且与双曲线122=-y x有相同的焦点,则该椭圆的标准方程为______________.26．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）阅读下表后,请应用类比的思想,得出椭圆中的结论圆椭圆定 义 平面上到动点P 到定点O 的距离等于定长的点的轨迹平面上的动点P 到两定点F 1,F 2的距离之和等于定值2a 的点的轨迹(2a>|F 1F 2|)结 论如图,AB 是圆O 的直径,直线AC,BD 是圆O 过A,B 的切线,P 是圆O 上任意一点, CD 是过P 的切线,则有“2PO PC PD =⋅”椭圆的长轴为AB,O 是椭圆的中心,F 1,F 2是椭圆的焦点,直线AC,BD 是椭圆过A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过P 的切线,则有_________27．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）双曲线2221()4x y b N b -=∈的两个焦点为12F F 、,P 为双曲线上一点, 4OP <, 1122,,PF F F PF 成等比数列,则2b =______28．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（文）试题）已知抛物线方程24x y =,直线y kx m =+交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,且124x x =-,则m 的值_____.29．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学文试题（word 版） ）已知双曲线1222=-y a x (a >0)的右焦点是拋物线y 2 =8x 的焦点,则该双曲线的渐近线方程是______30．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ,过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为B ,若MB AM =,则p 等于____________.31．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考文科数学试题 ）已知抛物线2y ax =的准线方程为2y =-,则实数a 的值为_______32．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,由F 向其渐近线引垂线,垂足为P ,若线段PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离线率为__________. 三、解答题 33．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（文）试题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F(2,0),M 为椭圆的上顶点,O 为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点,设两直线的斜率分别为1k ,2k ,且128k k +=,证明:直线AB 过定点(2,21--).34．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）如图,在直角坐标系xOy 中,点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分.(1)求p ,t 的值;(2)求△ABP 面积的最大值.35．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（文）试题 ）已知椭圆C 的焦点坐标为)1,0(),1,0(21F F -,离心率21=e , (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点)0,2(-M 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.36．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）已知椭圆的两个焦点)0,3(),0,3(21F F -,过1F 且与坐标轴不平行的直线1l 与椭圆相交于M 、N 两点,如果2MNF ∆的周长等于8. (1)求椭圆的方程;(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ,试问在x 轴上是否存在定点)0,(m E ,使QE PE ⋅恒为定值?若存在,求出点E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.37．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为32,且经过点(4,1)M ,直线:l y x m =+交椭圆于不同的两点,A B . (1)求椭圆的方程; (2)求m 的取值范围;(3)若直线l 不过点M ,试问MA MB k k +是否为定值?并说明理由.38．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（文）试题）在平面直角坐标系中,已知曲线C 上任意一点P 到两个定点)0,3(1-F 和)0,3(2F 的距离之和为4.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设过()2,0-的直线l 与曲线C 交于B A 、两点,以线段AB 为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点? 若能,请写出此时直线l 的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.39．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点,过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ,设OM OP OQ =+(Ⅰ)求点M 的轨迹方程;(Ⅱ)求使得OP 和OM 的夹角最大的P 点的坐标. 40．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（文）试题）椭圆中心是原点O ,长轴长2a ,短轴长22,焦点(),0(0)F c c >.直线2a x c=与x 轴交于点A ,2OF FA =,过点A 的直线与椭圆交于,P Q 两点.(Ⅰ)求椭圆方程及离心率; (Ⅱ)若67OP OQ ⋅=,求直线PQ 的方程; (Ⅲ)若点M 与点P 关于x 轴对称,求证: ,,M F Q 三点共线.。
宁夏省银川市2024年高三下学期联考数学试题含解析
2024年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．22．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=3．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 5．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．若||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D ．38．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．29．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．5510．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ） A ．18- B ．63-C ．18D ．6311．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．12．已知复数31iz i-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校
【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选（一）分类汇编8：圆锥曲线一、选择题1 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）曲线21y ax ax =-+ (0)a ≠在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = （ ）A ．13B ． 13-C ．12D ．12-2 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 （ ）A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 3 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知F 是抛物线2y x =的焦点,,A B 是抛物线上的两点,3AF BF +=,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 （ ）A ．34B ．1C ．54D ．744 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于（ ） A ．B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ．(1,+∞)B ．(1,2)C ．(1,1+2)D ．(2,1+2)5 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知抛物线241y x =的焦点是C 的圆心,且该圆与直线0643=++y x 相切,则圆C 的方程为 （ ）A ．2)1(22=+-y x B ．4)1(22=-+y xC ．4)1(22=+-y x D ．2)1(22=-+y x6 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点,若()OP OF OE +=21,则双曲线的离心率为 （ ）A ．333+ B ．251+ C ．25 D ．231+ 7 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知抛物线22px y =(p>0)的准线与圆05422=--+y y x 相切,则p 的值为（ ）A ．10B ．6C ．81D ．241 8 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知抛物线22y px =的焦点F与双曲线22179x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且2AK AF =,则△AFK 的面积为 （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．329 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）设双曲线2221(0)9y x a a -=>的渐近线方程为340x y ±=,则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．53C ．74D ．710．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知互相垂直的两条直线y=kx 和y=-k x分别与双曲线2x 2-y 2=1交于点A,B,点P 在线段AB 上,且满足OP OB OP OA ..=则所有的点P 在 （ ）A ．双曲线2x 2-y 2=1上B ．圆x 2+y 2=1上C ．椭圆1222=+y x 上D ．|x|+|y|=1上11．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称相异两点A B 、,则||AB 等于 （ ）A ．3B ．4C ．32D ．4212．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( ) （ ）A ．423+B ．31-C ．3+12D ．3+113．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点O 为双曲线的中心,点P 在双曲线右支上,12PF F ∆的内切圆圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B,则下列结论成立的是 （ ）A ．||||OA OB >B ．||||OA OB <C ．||||OA OB =D ．||||OA OB 与的大小关系不确定本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 14．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点到准线的距离为41, 且C 上的两点()()2211,,,y x B y x A 关于直线m x y +=对称, 并且2121-=x x , 那么m =（ ）A ．23B ．25 C ．2D ．315．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若2ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C ．()21,1+ D ．()+∞+,2116．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点为M ,若∆MAB 是直角三角形,则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．317．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 （ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭18．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为12,F F ,两条曲线在第一象限的交点记为P ,12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ,则12e e ⋅的取值范围是 （ ）A ．)51,0(B ．)31,51(C ．1(,)3+∞D ．1(,)5+∞19．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切,则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．320．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）设双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,直线:x=ca2与两条渐近线交于,P Q 两点,如果PQF ∆是等边三角形,则双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．12B ．32C ．3D ．221．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”.下列方程:①221x y -=;②2||y x x =-,③3sin 4cos y x x =+;④2||14x y +=-对应的曲线中存在“自公切线”的有 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 22．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与点(1,0)到直线1=-b y a x 的距离之和为S,且S c 54≥,则离心率e 的取值范围是 （ ）A ．]5,25[B ．]7,2[C ．]7,25[D ．]5,2[23．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ,在长轴12A A 上任取一点M ,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ,则使得120PF PF ⋅<u u u r u u u u r的点M 的概率为（ ）A 2B 6C 26D ．1224．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l与抛物线在第一象限的交点为A ,直线l 与抛物线的准线的交点为B ,点A 在抛物线的准线上的摄影为C ,若AF FB =u u u r u u u r ,36BA BC ⋅=u uu r u u u r ,则抛物线的方程为（ ）A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =25．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆4222a y x =+的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若)(21OP OF OE +=,则双曲线的离心率为 （ ）A ．210 B ．510 C ．10 D ．226．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）抛物线24y px =(0p >)与双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)有相同的焦点为F ,点A 是两曲线的交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为 （ ）A ．51+ B ．31+ C ．21+D ．221+ 二、填空题27．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）P 为抛物线24y x =上任意一点,P 在y 轴上的射影为Q ,点M (4,5),则PQ 与PM 长度之和的最小值为__________.28．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,12F F 、为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点,A B 、为双曲线的顶点,以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M N 、两点,且满足30oMAB ∠=,则该双曲线的离心率为____.29．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）已知抛物线方程24x y =,过点(0,)M m 的直线交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,且124x x =-,则m 的值_____. 30．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）抛物线2y x=上的点到直线10x y ++=的最短距离为_____31．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ,过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为B ,若MB AM =,则p 等于____________32．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）已知1P 、2P 、、2013P 是抛物线24y x =上的点,它们的横坐标依次为1x 、2x 、、2013x ,F 是抛物线的焦点,若12201310x x x +++=L ,则122013P F P F P F +++=L ___.33．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）1F ,2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点,点P 在双曲线左支上不同于左顶点的任意一动点,圆Q 与线段1PF 延长线,线段2PF 延长线,线段12F F 均相切,则圆心Q 的轨迹方程是34．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,由F 向其渐近线引垂线,垂足为P ,若线段PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离线率为__________.三、解答题 35．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-P 为该平面上一动点,作,PQ l ⊥垂足为Q ,0)2()2(=-⋅+→→→→PC PQ PC PQ .(1) 问点P 在什么曲线上?并求出该曲线方程;(2)点O 是坐标原点,A B 、两点在点P 的轨迹上,若)1(λλ+=+,求λ的取值范围.36．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）00(,)P x y 0()x a ≠± 是双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >> 上一点,M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM ,PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r,求λ的值.37．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ,点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上,且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)如图,动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点,点,M N 是直线l 上的两点,且l M F ⊥1,l N F ⊥2. 求四边形12F MNF 面积S 的最大值.38．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知椭圆C 的对称中心为原点O,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,且12||F F =2, 点3(1,)2在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程; (2)过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,若2AF B ∆122,求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.39．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -=相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知点(4,0),,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同点,连接PB 交椭圆C 于另一点E ,直线AE 与x 轴相交于点Q ,过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点,求OM ON u u u u r u u u rg的取值范围.40．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知椭圆C 的离心率23=e ,长轴的左、右端点分别为)0,2(),0,2(21A A -.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线1+=my x 与椭圆C 交于Q R ,两点,直线R A 1与Q A 2交于点S .试问:当m 变化时,点S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.41．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>> ,其离心率为12,经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l :1()2y kx m k =+ ≤与椭圆C 交于A 、B 两点,P 为椭圆上的点,O 为坐标原点,且满足+OP OA OB u u u r u u u r u u u r=,求OP u u u r 的取值范围. 42．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）椭圆中心是原点O ,长轴长2a ,短轴长22,焦点(),0(0)F c c >.直线2a x c=与x 轴交于点A ,2OF FA =u u u r u u u r,过点A 的直线与椭圆交于,P Q 两点.(Ⅰ)求椭圆方程及离心率;(Ⅱ)若67OP OQ ⋅=u u u r u u u r ,求直线PQ 的方程;(Ⅲ)若点P 与点M 关于x 轴对称,求证: ,,M F Q 三点共线.43．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）如图,已知点A(0,1),点P 在圆C:x 2 + (y +1 )2= 8上,点M 在AP 上,点N 在CP 上,且满足AM = MP,NM ⊥AP,设点N 的轨迹为曲线E. (I)求曲线E 的方程;(II) 过原点且斜率为k(k>0)的直线l 交曲线E 于F,H 两点,直线FO 交曲线E 于另一点G,求ΔFHG 的面积最大值44．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =,右焦点到直线1x ya b+=的距离217d =,O 为坐标原点(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点O 作两条互相是垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值.并求定值 45．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M (2,1),平行于OM 的直线l 在y 轴的截距为m ,直线l 与椭圆相交于,A B 两个不同的点. (Ⅰ)求实数m 的取值范围;(Ⅱ)证明:直线,MA MB x 与轴围成的三角形是等腰三角形.46．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中,已知()()()()()2,,1,,,,0,2,0,221--x N x M y x P A A ,若实数λ使得⋅=⋅P A ON OM 12λP A 2(O 为坐标原点).(Ⅰ) 求P 点的轨迹方程,并讨论P 点的轨迹类型; (Ⅱ) 当22=λ时,是否存在过点()2,0B 的直线l 与(Ⅰ)中P 点的轨迹交于不同的两 点F E ,(E 在F B ,之间),且[1>∆∆EOFOBES S . 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围, 若不存在,说明理由.47．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知椭圆M 的中心为坐标原点,且焦点在x 轴上,若点M 的一个顶点恰好是抛物线y 2=8x 的焦点,M 的离心率12e =,过M 的右焦点F 作与坐标轴垂直的直线l ,交M 于A ,B 两点. (1)求椭圆M 的方程.(2)设点N (t ,0)是一个动点,且()NA NB AB +⊥u u u r u u u r u u u r,求实数t 的取值范围.48．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的3,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点),当3||<AB 时,求实数t 的取值范围.49．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）已知双曲线2222:1x y E a b-=的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线60x y -+=相切. (Ⅰ) 求双曲线E 的方程;(Ⅱ)已知点F 为双曲线E 的左焦点,试问在x 轴上是否存在一定点M ,过点M 任意作一条直线交双曲线E 于,P Q 两点,使FP FQ ⋅u u u r u u u r为定值?若存在,求出此定值和所有的定点M 的坐标;若不存在,请说明理由.50．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）已知:圆221x y +=过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点:直线y kx m =+与圆221x y +=相切 ,与椭圆22221x y a b+=相交于A,B 两点记23,.34OA OB λλ=⋅≤≤u u u r u u u r 且(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求k 的取值范围; (Ⅲ)求OAB ∆的面积S 的取值范围.51．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(3,)2,离心率12e =,若点00(,)M x y 在椭圆C 上,则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”,直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“椭点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .(1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的右顶点为D ,上顶点为E ,试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.52．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）如图,已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2,1),且与x 轴交于点A ,O 为坐标原点, 定点B 的坐标为(2,0).(1)若动点M 满足0||2=+⋅AM BM AB ,求点M 的轨迹C;(2)若过点B 的直线l ′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F(E 在B 、F 之间),试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.53．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）如图,已知椭圆C:12222=+ay b x (0>>b a )的离心率22=e ,短轴右端点为A,M(1,0)为线段OA 的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M 任作一条直线与椭圆C 相交于两点P 、Q,试问在x 轴上是否存在定点N,使得QNM PNM ∠=∠,若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选（一）分类汇编8：圆锥曲线参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C8. D 9. B 10. B 11. C 12. D 13. C 14. A 15. C16. B17. C 18. C 19. C 20. D 21. B22. A 23. B 24. D 25. A 26. B 二、填空题128.329. 1 30.823 31. 232. 202333. ()x a y a y a =<->，或34. 2 三、解答题35.解:(1)由0)2()2(=-•+PC PQ PC PQ 得: 0422=-PC PQ设(,)P x y ,则222(4)4(1)0x x y ⎡⎤+-++=⎣⎦,化简得: 22143x y +=,点P 在椭圆上,其方程为22143x y += (2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ,由)1(λλ+=+得:=+λ,所以,A 、B 、C 三点共线.且0λ>,得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即: 12121x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩ 因为2211143x y +=,所以222(1)()143x y λλλ----+= ① 又因为2222143x y +=,所以22222()()43x y λλλ+= ② 由①-②得: 2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得: 2352x λλ-=,因为222x -≤≤,所以35222λλ--≤≤ 解得:133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 36.解:(1)点P (x 0,y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上,有x 20a 2-y 2b2=1,由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a =15,可得a 2=5b 2,c 2=a 2+b 2=6b 2,则e =ca =305(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ,得4x 2-10cx +35b 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)分37.38.故椭圆的方程为221 43x y+=又422221212222644(412)||1()41(34)34k k AB k x x x x k k k -=++-⋅=+-++即 222212112(1)||134k k AB k k ++=+=+,39.解(1)由题意知12c e a ==,22222214c a b e a a -∴===,即2243a b =, 又6311b ==+224,3a b ∴==, 故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-,由22(4)143y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩,得2222(43)3264120k x k x k +-+-=, 设112211(,),(,),(,)B x y E x y A x y -,则22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++①直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--,令0y =,则221221()y x x x x y y -=-+,将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理得12121224()8x x x x x x x -+=+-②将①代入②得1x =,则直线AE 与x 轴相交于点(1,0)Q ,当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为(1)y m x =-,且3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上,由22(1)143y m x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=,易知0>V ,所以22234343422284129,,434343m m m x x x x y y m m m -+===-+++, 则23434225125334344(43)m OM ON x x y y m m +=+=-=--++u u u u r u u u r g . 又21133044(43)m -≤-<+,所以5[4,)4OM ON ∈--u u u u r u u u r g .当直线MN 的斜率不存在时,其方程为1x =,解得33(1,),(1,)22M N -,此时54OM ON =-u u u u r u u u r g故OM ON u u u u r u u u r g的取值范围是5[4,]4--. 40. (Ⅰ)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ,由题意得2,23==a a c 解得3=c 所以122=-=c a b ,即椭圆C 的方程为1422=+y x(Ⅱ)由题意,知直线l 为:1x my =+.取0,m =得331,,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝,直线1A R 的方程是33,63y x =+直线2A Q 的方程是33,2y x =-交点为()14,3.S 若331,,1,22R Q ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由对称性可知交点为()24,3.S - 若点S 在同一条直线上,则直线只能为:4x =l以下证明对于任意的,m 直线1A R 与直线2A Q 的交点S 均在直线:4x =l 上.事实上,由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()22144,my y ++=即()224230m y my ++-=, 记()()1122,,,R x y Q x y ,则12122223,44m y y y y m m --+==++ 设1A R 与l 交于点00(4,),S y 由011,422y y x =++得1016.2y y x =+ 设2A Q 与l 交于点00(4,),S y ''由022,422y y x '=--得2022.2y y x '=-1200126222y y y y x x '-=-+-Q ()()()()122112612322y my y my x x --+=+-()()()1212124622my y y y x x -+=+- ()()2212121244022m m m m x x ---++==+-,∴00y y '=,即0S 与0S '重合, 这说明,当m 变化时,点S 恒在定直线:4x =l 上 解法二:(Ⅰ)同解法一.............. (Ⅱ)取0,m =得331,,1,22R Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎝,直线1A R 的方程是33,63y x =+直线2A Q 的方程是33,2y x =-交点为()14,3.S 取1,m =得()83,,0,155R Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线1A R 的方程是11,63y x =+直线2A Q 的方程是11,2y x =-交点为()24,1.S ∴若交点S 在同一条直线上,则直线只能为:4x =l以下证明对于任意的,m 直线1A R 与直线2A Q 的交点S 均在直线:4x =l 上事实上,由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得即()224230m y my ++-=,记()()1122,,,R x y Q x y ,则12122223,44m y y y y m m --+==++ 1A R 的方程是()112,2y y x x =++2A Q 的方程是()222,2yy x x =-- 消去,y 得()()12122222y yx x x x +=-+- ① 以下用分析法证明4x =时,①式恒成立. 要证明①式恒成立,只需证明121262,22y y x x =+- 即证()()1221313,y my y my -=+即证()121223.my y y y =+ ②∵()12122266230,44m mmy y y y m m ---+=-=++∴②式恒成立.这说明,当m 变化时,点S 恒在定直线:4x =l 上解法三:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()22144,my y ++=即()224230m y my ++-=.记()()1122,,,R x y Q x y ,则12122223,44m y y y y m m --+==++ 1A R 的方程是()112,2y y x x =++2A Q 的方程是()222,2yy x x =-- 由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得()()121222,22y y x x x x +=-+-即()()()()2112211222222y x y x x y x y x ++-=⋅+--()()()()2112211231231y my y my y my y my ++-=⋅+-- 1221212323my y y y y y +-=⋅+112211232234424234m m y y m m m y y m --⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭=⋅=-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭g . 这说明,当m 变化时,点S 恒在定直线:4x =l 上注:还可有其他方法,只要过程严密,结论正确都给分41. (Ⅰ)由已知可得222214a b e a -==,所以2234a b =又 232b a = 解之得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=(Ⅱ) 由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得:222(34)84120k x kmx m +++-=,222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ①设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、,则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++ 由于点P 在椭圆C 上,所以 2200143x y +=.从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++,化简得22434m k =+,经检验满足①式.又||OP ===因为12k ≤,得3≤4k 2+3≤4,有34≤3432+kOP ≤≤42. (Ⅰ)解:由题意,可设椭圆的方程为(22212x y a a +=>.由已知得,().22222a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得2a c == 所以椭圆的方程为22162x y +=,离心率e (Ⅱ)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ 的方程为()3y k x =-.由方程组,()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222231182760k x k x k +-+-=,依题意()212230k ∆=->,得33k -<<设(,),(,)1122P x y Q x y ,则21221831k x x k +=+,①212227631k x x k -=+.②由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-.于是()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++. ③∵OP OQ ⋅=u u u r u u u r 67,∴x x y y +=121267. ④由①②③④得k =241,从而(k =±∈12.所以直线PQ 的方程为x y --=230或x y +-=230(Ⅲ)证明:因为,,A P Q 三点共线,所以假设AP AQ λ=u u u r u u u r(1λ>) 所以(,),(,)112233AP x y AQ x y =-=-u u u r u u u r.由已知得方程组(),,,.12122211222233162162x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩ 注意1λ>,解得2512x λλ-=因(,),(,)1120F M x y -,故(,)((),)1121231FM x y x y λ=--=-+-u u u u r (,)(,)121122y y λλλλ--=-=-而(,)(,)222122FQ x y y λλ-=-=u u u r ,所以FM FQ λ=-u u u u r u u u r .所以,,M F Q 三点共线43. (Ⅰ)NM 为AP 的垂直平分线,∴|NA|=|NP|,又∵|CN|+|NP|=22,∴|CN|+|NA|=22>2.∴动点N 的轨迹是以点(01)C -，,(01)A ，为焦点的椭圆, 且长轴长222=a ,焦距22c =,∴1,1,22===b c a ,∴曲线E 的方程为2212y x +=(Ⅱ)⑴ 当直线l 与y 轴重合时,FHG ∆不存在. ⑵ 当直线l 与y 轴不重合时,设直线l 的方程为1,y kx =+1122(,),(,)F x y H x y ,则11(,),G x y --由221,22,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(2)210,k x kx ++-=FH ∴== ∴点G 到直线l的距离d ===1122FHG S FH d ∆=⨯⋅=122==设211,t k =+≥则1112FHG S ∆===≤=此时,1,t = 0.k = 44.解:(I)由.3,22121c b c a a c e =∴===即得 由右焦点到直线1=+bya x 的距离为,721=d 得:,721||22=+-b a ab bc 解得.3,2==b a 所以椭圆C 的方程为.13422=+y x (II)设),(),,(2211y x B y x A ,(10):当k 存在时,设直线AB 的方程为,m kx y +=,与椭圆13422=+y x 联立消去y 得 ,012)2(432222=-+++m kmx x k x.43124,4382221221km x x k km x x +-=+-=+ ,0,2121=+∴⊥y y x x OB OA 0))((2121=+++m kx m kx x x即,0)()1(221212==+++m x x km x x k ,043843124)1(222222=++-+-+∴m km k k m k 整理得)1(12722+=k m , 并且符合0>∆. 所以O 到直线AB 的距离.72127121||2==+=k m d所以定值为7212 (20):当k 不存在时, 同理可求得O 到直线AB 的距离为7212 所以定值为7212 45.本小题满分12分46. (Ⅰ) 化简得: ()()2222121λλ-=+-y x①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线 ②0=λ时方程为222=+y x 轨迹为圆③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()1122222=-+λy x 轨迹为椭圆 ④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为()1122222=--λy x 轨迹为双曲线. (Ⅱ)P ∴=,22λΘ点轨迹方程为1222=+y x . 21::x x S S OBF OBE =∆∆47.()()()()[]022121221=-+++-t m y y m y y ,由21y y ≠知()()()0221212=-+++t m y y m,将①代入得4312+=m t所以实数t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈41,048.解(1) 由已知3c e a ==,所以2234c a=,所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b+=又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a=所以1b =所以2214x y +=(2)设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y 设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=24222416(91)(14)0k k k ∆=--+>得215k < 2212122224364,1414k k x x x x k k-+=⋅=++ 1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 121()x x x t =+=2224(14)k t k + []12122116()()6(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+又由21213AB kx x =+-<, 所以2212(1)()3k x x +-<221212(1)()43k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦2(1)k +242222244(364)(14)14k k k k ⎡⎤--⎢⎥++⎣⎦3< 22(81)(1613)0k k -+>所以221810,8k k ->> 所以21185k << 由22236(14)k t k =+得 222236991414k t k k==-++所以234t <<,所以2t -<<2t <<49.解:(Ⅰ)2,1,c a b ==∴=所以双曲线E 的方程为22:13x E y -=;(Ⅱ)解法一:当直线为0y =时,((2,0),P Q F -(2,0)2,0)1;FP FQ ∴⋅=⋅+=u u u r u u u r当直线不是0y =时,可设:,l x ty m =+(t ≠代入22:13x E y -=整理得222(3)230(t y mty m t -++-=≠ * 由0∆>得229,m t +>设方程*的两个根为12,,y y 满足212122223,,33mt m y y y y t t -+=-=--1122(2,)(2,)FP FQ ty m y ty m y ∴⋅=++⋅++u u u r u u u r22221212221215(1)(2)()(2),3t m m t y y t m y y m t ---=++++++=-当且仅当2212153m m ++=时,FP FQ ⋅u u u r u u u r为定值,解得3m =-±,3m =-不合题意,舍去,而且3m =--满足0∆>;综上得:过定点(3M -任意作一条直线交双曲线E 于,P Q 两点,使FP FQ ⋅u u u r u u u r为定值解法二: 前同解法一,得FP FQ ⋅=u u u r u u u r 22221215,3t m m t ---- 由222212151,3t m m t ---=- 得2212153m m ++=,解得3m =-±,下同解法一解法三: 当直线不垂直x 轴时,设:()(l y k x m k =-≠代入22:13x E y -=整理得22222(31)63(1)0(k x mk x m k k --++=≠± * 由0∆>得222310,m k k -+>设方程*的两个根为12,,x x 满足222121222633,,3131mk m k x x x x k k ++==--1122(2,())(2,())FP FQ x k x m x k x m ∴⋅=+-⋅+-u u u r u u u r22222212122(21215)1(1)(2)()4,31m m k k x x mk x x m k k ++-=++-+++=-当且仅当2212153m m ++=时,FP FQ ⋅u u u r u u u r为定值,解得3m =-±,3m =-不合题意,舍去,而且3m =-满足0∆>;当直线l x ⊥轴时,:3l x =--代入22:13x E y -=得1,2y = 21212(1)(1)(11;FP FQ y y y y ∴⋅=--⋅-=--+=u u u r u u u r综上得:(结论同解法一) (注:第(II)题有一般性结论)50.解:(Ⅰ)由题意知2c=2,c=1 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b=1.故a=2所求椭圆方程为1222=+y x(Ⅱ)因为直线l:y=kx+m 与圆122=+y x 相切所以原点O 到直线l 的距离21||k m +=1,即:m 122+=k又由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x mkx y ,(221k +)022422=-++m kmx x设A(11,y x ),B(22,y x ),则22212212122,214km x x k km x x +-=+-=+=•=OB OA λ2212122121)()1(m x x km x x k y y x x ++++=+=22211k k ++,由4332≤≤λ,故1212≤≤k ,即]1,22[]22,1[⋃--的范围为k(III)]4))[(1()()(||2122122212212x x x x k y y x x AB -++=-+-= =22)12(22+-k ,由1212≤≤k ,得:34||26≤≤AB||21||21AB d AB S ==,所以:3246≤≤S 51.(Ⅰ)由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+21143322222a c c b a b a 解得42=a ,32=b ,方程为13422=+y x ·······3 分(Ⅱ) 设),(),,(2211y x B y x A ,则)3,2(),3,2(2211y x Q y x P(1)当直线l 的斜率存在时,设方程为m kx y +=⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 联立得:0)3(48)43(222=-+++m kmx x k 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+=∆22212212243)3(44380)43(48k m x x k km x x m k ①由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得:0432121=+y y x x ·整理得:04)(4)43(221212=++++m x x km x x k ② 将①式代入②式得:22243m k =+, ··········· 6 分048,0,043222>=∆>∴>+m m k Θ又点O 到直线m kx y +=的距离21k m d +=2222222221223414334143433411m mk k m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=·········· 8 分所以32322122===∆m m d AB S OAB·········· 10 分(2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为m x =(22<<-m )联立椭圆方程得:4)4(322m y -= 代入0432121=+y y x x 得到04)4(3322=--m m 即552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上:OAB ∆的面积是定值3又ODE ∆的面积33221=⨯⨯=,所以二者相等. ·······12分52.解:(I)由22414x y y x ==得, .21x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y 故l 的方程为1-=x y ,∴点A 坐标为(1,0)设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x AM y x BM AB -=-==,由0||2=+⋅AM BM AB 得 .0)1(20)2(22=+-⋅+⋅+-y x y x整理,得.1222=+y x ∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心,焦点在x 轴上,长轴长为22,短轴长为2的椭圆 (II)如图,由题意知直线l 的斜率存在且不为零,设l 方程为y=k (x -2)(k ≠0)①将①代入1222=+y x ,整理,得0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k , 由△>0得0<k 2<21. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2) 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822212221k k x x k k x x ② 令||||,BF BE S S OBF OBE ==∆∆λλ则,由此可得.10,22,21<<--=⋅=λλλ且x x BF BE 由②知,124)2()2(221+-=-+-k x x,10.223223,2121)1(40,21010.21)1(4,812)1(.1224)(2)2()22222222212121<<+<<-<-+<∴<<-+=+=+∴+=++-=-⋅-λλλλλλλλΘΘK K K K K K 又解得分即（k k k k x x x x x x 1223<<-∴λ.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3-22,1)53.解:(1)由已知,2b =,又e =,即=,解得a =所以椭圆方程为22148x y += (Ⅱ)假设存在点0(,0)N x 满足题设条件.当PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有PNM QNM ∠=∠,即0x ∈R ; 当PQ 与x 轴不垂直时,设PQ 的方程为(1)y k x =-,代入椭圆方程化简得: 2222(2)280k x k x k +-+-=.设11()P x y ,,22()Q x y ,,则212222k x x k +=+,212282k x x k-=+, 121020PN QN y y k k x x x x +=+--121020(1)(1)k x k x x x x x --=+-- 1202101020(1)()(1)()()()k x x x k x x x x x x x --+--=--, ∵ 120210120120(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x x x x x --+--=-+++ 2200222(1)2(8)222x k k x k k+-=-+++. 若PNM QNM ∠=∠, 则0PN QN k k +=, 即2200222(1)2(8)[2]022x k k k x k k+--+=++, 整理得0(4)0k x -=,∵k ∈R ,∴04x =.综上在x 轴上存在定点(4,0)N ,使得PNM QNM ∠=∠。
新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校最新试题精选(一)分类汇编14 导数 理
【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校文科试题精选（一）分类汇编14：导数一、选择题1 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数的“新驻点”,若函数()2g x x =,()ln h x x =,3()x x ϕ=(0)x ≠的“新驻点”分别为,,a b c ,则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>2 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处切线平行于直线2+=x y ,那么点P 的坐标为 （ ）A ．()1,0B ．()0,1-C ．()0,1D ．()1,0-3 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（文）试题 ）曲线x x y ln =在e x =处的切线的斜率为A eB 2C 1D e14 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43 C ．83D ．1695 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为: 31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大利润的年产量为 （ ） A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 6 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）如下图,已知()32()0,f x ax bx cx d a =+++≠记2412b ac ∆=-则当0>∆且0<a 时,)(x f 的大致图像是7 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（文）试题）已知直线y kx =是ln y x=的切线,则k 的值为（ ）A ．eB ．e -C ．1e D ．1e-8 ．（吉林省吉大附中2012-2013学年度高三第二学期模拟测试数学文试题 ）若曲线22y x =的一条切线l与直线084=-+y x 垂直,则切线l 的方程为（ ）A ．034=++y xB ．490x y +-=C ．034=+-y xD ．420x y --=9 ．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学文试题（word 版） ）已知函数()ln f x x =，（ ）A ．(x 1 -x 2)[f(x 1) –f(x 2)] < 0B ．2)()()2(2121x f x f f x x f +<+C ．x 1f(x 2) > x 2f(x 1)D ．x 2f(x 2) > x 1f(x 1)10．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（文）试题）已知0,0>>b a 且函数()22423+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值,则ab 的最大值等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．911．（黑龙江省哈三中2013届高三3月第一次模拟数学文试题（word 版） ）若函数f (x )=2x 2-lnx 其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 （ ）A ．23>kB．<k 2321><k D 1<≤k 12．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）函数2cos sin )(x x x x x f ++=,则不等式)1()(ln f x f <的解集为 （ ）A ．),0(eB ．),1(eC ．),1(e eD ．),1(),1(e e e13．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知函数x e x f x +=)(,b ax x g +=)((0>a ),若对]2,0[1∈∀x ,]2,0[2∈∃x ,使得)()(21x g x f =,则实数a ,b 的取值范围是（ ）A ．2102+≤<e a ,1≥bB ．2102+≤<e a ,1≤bC ．212+≥e a ,1≥bD ．212+≥e a ,1≤b14．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）设点P 在曲线xy e =上,点Q 在曲线11(0)y x x=->上,则||PQ 的最小值为（ ）A 1)e -B 1)e -CD15．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）已知函数1)(2323++++=x n m mx x y 的两个极值点分别为x 1,x 2,且1(0,1)x ∈,2(1,)x ∈+∞,记分别以m ,n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ,若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞16．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（文）试题）定义域为R 的连续函数()f x ,对任意x 都有()()4f x f x =-,且其导函数)(x f '满足0)()2(>'-x f x ,则当24a <<时,有 （ ） A ．()()()222log a f f f a << B ．()()()222log a f f f a << C ．()()()22log 2a f f a f << D ．()()()2log 22a f a f f <<二、填空题17．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程____ 三、解答题18．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（文）试题）设函数232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+,x∈R,其中t ≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式;(Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.19．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）设21x f (x )e (ax x )=++. (I)若a>0,讨论f (x )的单调性;(Ⅱ)x =1时,f (x )有极值,证明:当θ∈[0,2π]时,2|f (cos )f (sin )|θθ-<20．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（文）试题 ）已知223629)(m x x x x f ++-=, 其中R m ∈,(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若对任意[]3,0∈x ,都有m x f >)(恒成立,求m 的取值范围.21．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）设3)(,ln )(23--=+=x x x g x x xax f . (1)当2=a 时,求曲线1)(==x x f y 在处的切线方程;(2)如果存在]2,0[,21∈x x ,使得M x g x g ≥-)()(21成立,求满足上述条件的最大整数M ; (3)如果对任意的]2,21[,∈t s ,都有)()(t g s f ≥成立,求实数a 的取值范围.22．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）设函数2()2ln f x x x =-.(1) 求()f x 的单调区间;(2) 求()f x 在1[,]e e上的最大值和最小值;(3)若关于x 的方程2()f x x x a =-+在区间[1,3]上恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围.23．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（文）试题）已知函数为常数）b bx x x g x x f (21)(,ln )(2-==. (Ⅰ)函数)(x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与)(x g 的图象相切,求实数b 的值;(Ⅱ)设)()()(x g x f x h +=,若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间,求实数b 的取值范围. 24．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）已知函数()ln 1,.af x x a R x=+-∈ (Ⅰ)若曲线()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+,求函数()y f x =的单调区间; (Ⅱ)若0a >,且对(0,2]x e ∈时,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围. 25．（吉林省吉大附中2012-2013学年度高三第二学期模拟测试数学文试题 ）已知函数2()ln f x x x ax =+-.(Ⅰ)若函数()f x 在其定义域上为增函数,求a 的取值范围; (Ⅱ)设11n a n=+(*n ∈N ),求证: 22212123()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++.26．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（文）试题 ）设函数f(x) =x 2 + bx - a·lnx.(I) 在点(1,f(1))处的切线与y 轴垂直,1是函数f(x)的一个零点,求f(x)的单调区间;(II) 若对任意b 属于[ - 2 ,- 1 ], 及任意x 属于(1 ,e )(e 为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 27．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ）已知函数2()ln()f x x a x x =+--,在点0x =处取极值(Ⅰ)求实数a 的值(Ⅱ)若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上有两个不等的实根,求b 的取值范围 28．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学文试题（word 版） ）已知函数f(x)=xlnx.(I )设g(x) =f(x) - ax,若不等式g(x) ≥ - 1对一切x∈ e (0,+ ∞ )恒成立,求实数a 的取值范围;29．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（文）试题）已知函数x a x a x x f ln )12()(2++-=(Ⅰ) 当1=a 时, 求函数)(x f 的单调增区间; (Ⅱ) 求函数)(x f 在区间[]e ,1上的最小值;(III) 设x a x g )1()(-=,若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,10,使得)()(00x g x f ≥成立,求实数a 的取值范围.方程为x+y=2.31．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）已知函数x e x g x x f ==)(,ln )((1)若函数11)()(-+-=x x x f x ϕ,求函数)(x ϕ的单调区间; (2)设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线,证明:在区间),1(+∞上存在唯一的0x ,使得直线l 与曲线)(x g y =相切.32．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考文科数学试题 ）已知函数(1)求函数()x f 的极值点;(2)若直线 过点(0,—1),并且与曲线()x f y =,相切,求直线 的方程;(3)设函数()()()1--=x a x f x g ,其中R a ∈,求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.(其中e 为自然对数的底数)33．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（文）试题）设函数2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+- (a R ∈).(1) 当0a =时,求函数()f x 在点(,())P e f e 处的切线方程; (2) 对任意的[)1,x ∈+∞,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.34．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）已知函数2()ln (0)f x ax x x x a =+->(a∈R)(1)若a=0,讲座函数的单调性(2)函数()f x 满足(1)2f =,且在定义域内2()2f x bx x ≥+恒成立,求实数b 的取值范围;(3)当11x y e <<<时,试比较y x 与1ln 1ln yx++的大小.35．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（文）试题）已知函数ax x x f -=2)(,x x g ln )(=(1)若)()(x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2) 设)()()(x g x f x h +=有两个极值点1x ,2x 且)21,0(1∈x ,求证:2ln 43)()(21->-x h x h ;36．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考数学试题（文科））已知函数ln ()1a b xf x x +=+在点(1,(1)f )处的切线方程为2x y +=.(1)求a 、b 的值; (2)对函数()f x 定义域内的任一个实数x ,()mf x x<恒成立,求实数m 的取值范围.【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校文科试题精选（一）分类汇编14：导数与积分参考答案一、选择题 1. B 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B 7. C 8. D 9. C 10. D 11. D 12. C 13. D14. D 15. B 16. C二、填空题17. 430x y --= 三、解答题18.解:(I)我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+ 23(sin )433x t t t =-+-+.由于2(sin )0x t -≥,1t ≤,故当sin x t =时,()f x 达到其最小值()g t ,即 3()433g t t t =-+(II)我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，. 列表如下:t121⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 12-1221⎛⎫- ⎪⎝⎭，12112⎛⎫ ⎪⎝⎭，()g t '+- 0 +()g t↗极大值1()2g - ↘ 极小值1()2g ↗由此可见,()g t 在区间1(1,)2--和1(,1)2单调增加,在区间11(,)22-单调减小,极小值为1()22g =,极大值为1()42g -= 19.20.解:(1)由已知得)2)(1(3693)(2'--=+-=x x x x x f令0)('=x f ,得1=x 或2=x当x 变化时,)('x f 、)(x f 随x 的变化如下表:所以)(x f 的单调增区间)1,(-∞和),2(+∞,单调减区间)2,1(.21.22.解:(1)函数2()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∝,'22(1)(1)()2x x f x x x x -+=-=由'()0f x >得1x >,由'()0f x <得01x <<,故()f x 的递增区间为(1,)+∝,递减区间为(0,1).(2)由'()0f x =得1x =(1x =-舍去)由(1)()f x 在[1,]e 上递增,在1[,1]e 上递减则当1x =时,()f x 取最小值(1)1f =, 而211()2,f e e =+2()2f e e =-,故当x e =时,()f x 取最大值2()2f e e =-.(3)方程2()f x x x a =-+,即222ln x x x x a -=-+,即2ln 0x x a --=,令()2ln g x x x a =--,'22()1x g x x x -∴=-=由'()0g x >得2x >,由'()0g x <得02x <<,则()g x 在(0,2)上递减,在(2,)+∝上递增,因此要使方程2()f x x x a =-+在区间[1,3]上恰好有两个相异的实根,于是{(1)0(2)0(3)0g g g ≥<≥即{1022ln 2032ln30a a a -≥--<--≥ 22ln 232ln 3x ∴-<≤-.故实数a 的取值范围是(22ln 2,32ln 3]--.23.解:(Ⅰ)因为x x f ln )(=∴xx f 1)(=',因此1)1(='f 即函数)(x f 的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为1,且01ln )1(==f∴函数)(x f 的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y = x -1, 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bx x y x y 2211得02)1(22=++-x b x 令△=4(b+1)2-8=0 解得21±-=b (Ⅱ)因为)0(21ln )()()(2>-+=+=x bx x x x g x f x h 所以xbx x b x x )x (h 112+-=-+=', 由题意知0)(<'x h 在),(+∞0上有解,因为x>0,设12+-=Ωbx x )x (,则010>=Ω)( 所以只要⎪⎩⎪⎨⎧>-->04)(022b b 即可,.........从而解得b>2,所以b 的取值范围为),(+∞224.解: (1) ()ln 1,.a f x x a R x=+-∈)(x f 定义域为),0(+∞ 直线1y x =-+的斜率为1-,x xa x f 1)('2+-= 11)1('-=+-=a f 2=∴a 所以22212)('x x x x x f -=+-= 由20)('>>x x f 得; 由200)('<<<x x f 得所以函数()y f x =的单调增区间为)2(∞+，,减区间为(0,2)(2) 0a >,且对(0,2]x e ∈时,()0f x >恒成立ln 10(0,2]a x x e x+->∈在恒成立. 即恒成立对]2,0()ln 1(e x x x a ∈-> 设]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-=]2,0(,ln 1ln 1)('e x x x x g ∈-=--=当10<<x 时, 0)('>x g ,为增函数)(x g当e x 20≤<时, 0)('<x g ,为减函数)(x g所以当1=x 时,函数)(x g 在]2,0(e x ∈上取到最大值,且11ln 1)1(=-=g所以1)(≤x g 所以1a >所以实数a 的取值范围为),1(+∞25.解:(Ⅰ)函数2()ln (0)f x x x axx =+->, 则'1()2f x x a x=+-(0)x > 因为函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数,所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立. 即120x a x+-≥在(0,)+∞上恒成立. 所以12x a x+≥.因为当0x >时,12x x +≥当且仅当12x x =,即2x =时等号成立.所以a ≤.故实数a 的取值范围是(-∞(Ⅱ)令3a =,则2()ln 3f x x x x =+-.'1()23f x x x =+-2231(21)(1)x x x x x x -+--==. 当1x >时,'()0f x >,所以()f x 在(1,)+∞上是增函数. 所以1(1)(1)2f f n+>=-. 所以2111ln(1)(1)3(1)2n n n+++-+>-. 所以21113(1)(1)2ln(1)n n n+-+<++. 即2132ln(1)n n a a n -<++ 所以21132ln(11)a a -<++,222132ln(1)2a a -<++, 233132ln(1)3a a -<++,2132ln(1)n n a a n-<++. 所以22212123()n na a a a a a +++---- 2221122(3)(3)(3)n n a a a a a a =-+-++-231(2ln )(2ln )(2ln )12n n+<++++++ 2ln(1)n n <++.故所证不等式成立26.解:(Ⅰ)'()2a f x x b x =+-,∵'(1)0f =,(1)0f =,∴1a =,1b =-∴()f x '=121x x --,∴令'()0f x >,得()f x 的增区间()1,,+∞ 令'()0f x <,得()f x 的减区间()0,1 (Ⅱ)根据题意,对任意[]2,1b ∈--,及任意 (1,)x e ∈,使得()0f x <成立,即2ln 0x bx a x +-<成立,令2()ln g b xb x a x =+- ,[2,1]b ∈--,则()g b 是关于b 的一次函数且为增函数,2max ()(1)ln 0g b g x x a x ∴=-=--<在(1,)e 上恒成立, 即2ln x x a x ->在(1,)e 上恒成立, 令()h x =2ln x x x -,(1,)x e ∈,2(21)ln (1)()ln x x x h x x ---'=,令()(21)ln (1)x x x x ϕ=---,()2112ln 12ln 1x x x x x x ϕ-'=+-=+-, 设1()2ln 1r x x x =+-,()2210r x x x '=+>,所以()r x 为增函数,所以()()10r x r >=, 所以()0x ϕ'>,()x ϕ为增函数,所以()(1)0x ϕϕ>=,所以()0h x '>,()h x 为增函数,所以()22()ln e e h x h e e e e -<==-,所以2a e e ≥-27.解析:(Ⅰ)()()()12x x a x a f x x a-+-+'=+ 由题意, ()00f '= 解得1a =(Ⅱ)构造函数()[]()25()ln 10,22h x x x x x b x ⎛⎫=+----+∈ ⎪⎝⎭,则 ()()224545()2121x x x x h x x x --++-'==-++=-)1(2)1)(54(+-+x x x 令 ()0h x '= 得 x=-5/4,或x=1 又知[]0,2x ∈∴ 当01x ≤<时,函数()h x 单调递增,当12x <≤函数()h x 单调递减方程5()2f x x b =-+在区间[]02，上有两个不同的实根,等价于函数()h x 在[]02，上有两个不同的零点,则只需 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+-=>-+-=≤-=0343ln )2(02312ln )1(0)0(b h b h b h 即 01ln 22ln 31b b b ≥⎧⎪⎪<+⎨⎪≥-⎪⎩ ∴ 所求实数b 的取值范围是1ln 31ln 22b -≤<+28.29. (Ⅰ)当1=a 时,x x x x g ln 3)(2+-=,0132)(2>+-='xx x x g 1>x 或21<x .函数)(x f 的单调增区间为),1(),21,0(+∞即0)(ln 22≥-+-x x a x x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上有解 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,0ln <-x x ,)ln 2(2x x x x a --≤∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1有解令=)(x h x x x x --ln 22,则=')(x h 2)(ln )2ln 2)(1(x x x x x ---- 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,02ln 2<--x x∴当0)(,1,1≤'⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x h e x ,此时)(x h 是减函数;当[]0)(,,1≥'∈x h e x ,此时)(x h 是增函数.021)1(2<+-=e e ee h 012)(2>--=e e e e h30. (Ⅰ)由2(1)(ln )ln ()()1(1)b x a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++·········2分 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上, 所以1)1(=f ,又直线2=+y x 的斜率为1-,则1)1(-='f .·········4分 故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ···········6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得)0(1ln 2)(>+-=x x x x f 由x m x f <)(及,0>x 得m x x x x <+-1ln 2.···········7分 令22)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(,1ln 2)(+--=+--+-='+-=x x x x x x x x x x g x x x x x g . 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x =--⇒'=--<>, 故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数,故当10<<x 时,0)1()(=>h x h ,当1>x 时,0)1()(=<h x h .······10分 从而当10<<x 时,()0g x '>,当1>x 时,0)(<'x g ,则)(x g 在)1,0(是增函数,在),1(+∞是减函数,故1)1()(max ==g x g . 要使m x x x x <+-1ln 2成立,只需1>m . 故m 的取值范围是),1(+∞ ····12分31.解:(1)222)1(1)1(21)(-+=-+='x x x x x x ϕ 1,0≠>x x ,0)(>'∴x ϕ,增区间为(0,1)和(1,+∞) (2),1)(,1)(00x x f x x f ='∴=' 切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-① 设)(x g y l =与切于点),,(11x e x 010ln ,1,)(1x x x e e x g x x -=∴=∴=' , l ∴方程00001ln 1x x x x x y ++=,②由①②可得11ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=-x x x x x x x , 由(1)知,11ln )(-+-=x x x x ϕ在区间),1(+∞上单调递增, 又01211ln )(<--=-+-=e e e e e ϕ,01311ln )(222222>--=-+-=e e e e e e ϕ, 由零点存在性定理,知方程0)(=x ϕ必在区间),(2e e 上有唯一的根,这个根就是0x ,故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ,使得直线l 与曲线)(x g y =相切32.解:(1)()x x x f ,1ln +='>0而()x f '>0⇔lnx+1>0⇔x >()x f e ',1<0⇔1ln +x <0⇔0<x <,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点,极大值点不存在(2)设切点坐标为()00,y x ,则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-又切线l 过点()1,0-,所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=-- 解得.0,100==y x所以直线l 的方程为.1-=x y(3)()()1ln --=x a x x x g ,则().1ln a x x g -+='()x g '<0a x -+⇔1ln <0⇔0<x <()x g e a '-,1>0x ⇔>,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减,在()+∞-,1a e 上单调递增 ①当,11≤-a e 即1≤a 时,()x g 在[]e ,1上单调递增, 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g②当1<1-a e <e,即1<a<2时,()x g 在[)1,1-a e 上单调递减,在(]e e a ,1-上单调递增. ()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g③当,1-≤a e e 即2≥a 时,()x g 在[]e ,1上单调递减, 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上,当1≤a 时,()x g 的最小值为0;当1<a<2时,()x g 的最小值为1--a ea ; 当2≥a 时,()x g 的最小值为.ae e a -+33.(1)当0a =时,()ln 1f x x x x =-+-,'()ln f x x =-,则'()1,()1k f e f e ==-=-所以函数()f x 在点(,())P e f e 处的切线方程为1()y x e +=--,即10x y e ++-=.(2) '()21ln (21)2(1)ln f x ax x a a x x =----=--,易知,ln 1x x ≤-,则'()2(1)(1)(21)(1)f x a x x a x ≥---=--.当210a -≥时,即12a ≥时,由[)1,x ∈+∞得'()0f x ≥恒成立, ()f x 在[)1,+∞上单调递增,()(1)0f x f ≥=符合题意,所以12a ≥; 当0a ≤时,由[)1,x ∈+∞得,'()0f x ≤恒成立,()f x 在[)1,+∞上单调递减,()(1)0f x f ≤=,显然不合题意,0a ≤舍去; 当102a <<时,由ln 1x x ≤-得11ln 1x x ≤-,即1ln 1x x≥- 则11'()2(1)(1)()(21)x f x a x ax x x -≤---=-, 因为102a <<,所以112a >,所以11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,'()0f x ≤恒成立, ()f x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,()(1)0f x f ≤=,显然不合题意,102a <<舍去. 综上可得,a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭34. (Ⅰ)x x f x x x x f a ln )(,ln )(,0/-=-==, 1,0)(/==x x f ···········1分）上是增函数，在（10)(,0)(),1,0(/x f x f x >∈）上是减函数在（），（+∞<∞+∈,1)(,0)(,1/x f x f x ···········4分 (Ⅱ)由原式b xx x ≥--⇔ln 11令xx x x g ln 11)(--=,可得)(x g 在(]1,0上递减,在[)+∞,1上递增 ∴0)1()(min ==g x g ·········7分即0≤b ······8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知xx x g ln 11)(+-=在(0,1)上单调递减 ∴11<<<y x e 时,)()(y g x g > 即yy x x ln 1ln 1+<+ ·············10分 而11<<<y x e时,0ln 1,0ln 1>+∴<<-x x ··················11分 x y x y ln 1ln 1++<∴···············12分 35.解:(1))()(x g x f ≥,x x x a ln -≤∴ )0(>x ,设x x x x ln )(-=ϕ,221ln )(xx x x -+='ϕ 当)1,0(∈x 时,)(x ϕ'0<,当),1(+∞∈x 时,)(x ϕ'0>1)1()(=≥∴ϕϕx ,(]1,∞-∈∴a(2)x ax x x h ln )(2+-= x ax x x h 12)(2+-='∴ (0>x ) 解法(一)2121=∴x x , )21,0(1∈x ),1(2+∞∈∴x ,且122+=i i x ax (2,1=i )--01' ∴)ln ()ln ()()(2222112121x ax x x ax x x h x h +--+-=- 212122222121ln )ln 1()ln 1(x x x x x x x x +-=+---+--=2222222ln 41x x x --= (12>x ) 设2222ln 41)(x x x x --=μ )1(≥x , 02)12()(322≥-='x x x μ 2ln 43)1()(-=>∴μμx 即2ln 43)()(21->-x h x h 解法(二)2121=∴x x , )21,0(1∈x ),1(2+∞∈∴x ,且122+=i i x ax (2,1=i ) 31222>+=∴x x a 由x ax x x h ln )(2+-=的极值点可得 2ln 432ln 432)1()21()()(21->--=->-a h h x h x h36.解:(Ⅰ)由2(1)(ln )ln ()()1(1)b x a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++ 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ,又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=- 故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a (Ⅱ)由(Ⅰ)得)0(1ln 2)(>+-=x x x x f 由x m x f <)(及m x x x x x <+-⇒>1ln 20 令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x x x x x x x x x x g x x x x x g 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x =--⇒'=--<>,故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数,故当10<<x 时,0)1()(=>h x h ,当1>x 时,0)1()(=<h x h从而当10<<x 时,()0g x '>,当1>x 时,0)(/<x g)(x g ⇒在)1,0(是增函数,在),1(+∞是减函数,故1)1()(max ==g x g 要使m x x x x <+-1ln 2成立,只需1>m 故m 的取值范围是),1(+∞ (备注:也可以用数形结合的方法,相应给分)。
新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校最新试题精选(一)分类汇编11 统计 理
【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校文科试题精选（一）分类汇编11：统计一、选择题1 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（文）试题 ）一组数据为2,1,0,1,2--,则这组数据的方差和标准差分别为A 0,0B 2, 2C 2,4D 4,22 ．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a ,视力在4.6到5.0之间的学生数为b ,则a ,b 的值分别为（ ）A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83 3 ．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）在一次实验中,测得(x ,y )的四组值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y 与x 之间的回归直线方程为 （ ）A ．y ^=35x +2B ．y ^=x +2 C ．y ^=2x +1 D ．y ^=x +14 ．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 （ ）A ．若K 2的观测值为K 2=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B ．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病C ．若K 2的观测值为K 2=9.967, 如果我们认为吸烟与患肺病有关系,则有1%的可能性使得推判出现错误 D ．以上三种说法都不正确 5 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（文）试题）下列命题正确的有① 用相关指数2R 来刻画回归效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越好;② 命题p :“01,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝:“01,R 2≤--∈∀x x x ”;③ 若一组数据8,12,x ,11,9的平均数是10,则其方差是2; ④ 回归直线一定过样本点的中心(y x ,). （ ）A ．1个B. 2个C ． 3个D ．4个6 ．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ）某变量x 与y 的数据关系如下:x 174 176 176 176 178 y175175176177177则对的线性回归方程为 （ ）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．1882y x =+D ．176y =7 ．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学文试题（word 版） ）某厂采用节能降耗技术后生产某产品的产量x(吨)与消耗的标准 煤y(吨)如下表所示:根据上表,得到线性回归方程为y ˆ=0.7x+0.35,则实数a =（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．5 8 ．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试,则一班和二班分别被抽取的人数是 （ ） A ．8,8 B ．9,7 C ．10,6 D ．12,4 9 ．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（文）试题）某中学高一年级560人,高二年级540人,高三年级520人,用分层抽样的方法抽取容量为81的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是 （ ） A ．28、27、26 B ．28、26、24 C ．26、27、28 D ．27、26、25 10．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）某同学进入高三后,4次月考的数学成绩的茎叶图如右图,则该同学数学成绩的方差是（ ）A ．125B ．45C ．5D ．5311．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（文）试题）某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图 如图所示.其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60)[60,70), [70,80),[80,90),[90,100].则图中x 的值为（ ）A ．0.18B ．0.018C ．0.36D ．0.00912．（2013:从散点图可以看出y 与x 线性相关,且回归方程为a x y+=95.0ˆ,则=a （ ）A ．3.25B ．2.6C ．2.2D ．0 二、填空题 13．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为m ,中位数为n ,众数为p ,则m ,n ,p 的大小关系是_____________. 14．（黑龙江省哈三中2013届高三3月第一次模拟数学文试题（word 版） ）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽 出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本,其频率分布直方图如图所示,根据此图估计学生在课外 读物方面的支出费用的中位数为______元三、解答题 15．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）有A 、B 、C 、D 、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别从A 、B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次. 用茎叶图表示这两组数据如下:(Ⅰ) 现要从A 、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑, 你认为派哪位工人参加合适?请说明理由;(Ⅱ) 若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛,求A、B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率.16．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),,第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.(Ⅰ)求第七组的频率;(Ⅱ)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数;(Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,x y,事件E{5=P E F.-≤},事件F={15x y},求()x y->17．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）某市十所重点中学进行高三联考,共有5 000名考生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:(1)根据上面频率分布表,推出①,②,③,④处的数值分别为_______,_______, _______,_____ ;(2)在所给的坐标系中画出区间[80,150]上的频率分布直方图;(3)根据题中信息估计总体:(i)120分及以上的学生数;(ii)平均分;(iii)成绩落在[126,150]中的概率.18．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组[160,165),第2组[165,170),第3组[170,175),第4组[175,180),第5组[180,185],得到的频率分布直方图如图所示.、、组的频率;(1)求第345、、组中用分层抽样的方法抽取6名学(2)为了能选拨出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第345、、组每组各抽取多少学生进入第二轮面试?生进行第二轮面试,求第345(3)在(2)的前提下,学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.19．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（文）试题）在某届世界大学生夏季运动会期间,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图(单位:cm):若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm 以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.(Ⅰ)分别求男、女志愿者的平均身高及中位数;(Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?1011247654320568985421899987791918171615女男20．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（文）试题）近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进(Ⅱ)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女性的概率;(Ⅲ)为了研究心肺疾病是否与性别有关,请计算出统计量2K ,你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关?大气污染会引起各种疾病,试浅谈日常生活中如何减少大气污染. 下面的临界值表供参考:(参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)21．（吉林省吉大附中2012-2013学年度高三第二学期模拟测试数学文试题 ）随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm ),按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).(Ⅰ)求频率分布直方图中x 的值及身高在170cm 以上的学生人数;(Ⅱ)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ,B ,C 三个组,用分层抽样的方法从三个组中抽取6人,求从这三个组分别抽取的学生人数;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,要从6名学生中抽取2人,用列举法计算B 组中至少有1人被抽中的概率.22．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学文试题（word版））为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了 50名市民进行调查,他们月收人(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表:将月收入不低于55的人群称为“高收人族”,月收入低于55的人群称为“非高收入族”.(I )根据已知条件完成下面的2x2列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令?(II)现从月收入在[15,25)的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率.附:23．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）某校从参加高三一模考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分),数学成绩分组及各组频数如下:(1)请把表中的空格都填上,并估计高三学生成绩在85分以上的比例和平均分;(2)为了帮助成绩差的同学提高成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从)100,90[成绩中选两名同学,共同帮助)50,40[中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率。
新课标全国统考区(宁夏、吉林、黑龙江)高三数学 名校最新试题精选(一)分类汇编17 不等式选讲 理
【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校文科试题精选（一）分类汇编17：不等式选讲一、解答题1 ．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）(本小题满分10分)选修4—5;不等式选讲2 ．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（文）试题）《选修4—5:不等式选讲》设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.(Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集;(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ,求a 的值3 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）选修4—5:不等式选讲.设函数f (x )=|2x -1|+|2x -3|,x ∈R (Ⅰ)解不等式f (x )≤5;(Ⅱ)若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ,求实数m 的取值范围.4 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（文）试题 ）已知函数21)(++-=x x x f(1) 求函数)(x f 的最小值;(2) 解不等式5)(≥x f .5 ．（宁夏银川二中2013届高三第五次月考数学（文）试题）选修4—5:不等式选讲已知函数f (x)=|x -2|+|2x+1|.(Ⅰ)画出函数f (x)的图象,并写出函数f (x)的值域;(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x)>12a a ++对于任意x∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.6 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（文）试题）选修4—5;不等式选讲已知2221(,,)a b c a b c R ++=∈,求a b c ++的最大值.7 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（文）试题）《选修4-5:不等式选讲》已知a 和b 是任意非零实数. (Ⅰ)求a b a b a -++22的最小值; (Ⅱ)若不等式)22(22x x a b a b a -++≥-++恒成立,求实数x 的取值范围.8 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）选修4—5:不等式选讲已知函数2()log (|1||2|f x x x m =++--）.(Ⅰ)当7=m 时,求函数)(x f 的定义域;(Ⅱ)若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ,求m 的取值范围.9 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（文）试题）选修4—5:不等式选讲已知关于x 的不等式|2|||2(0)ax ax a a-+-≥>.(Ⅰ)当1a =时,求此不等式的解集;(Ⅱ)若此不等式的解集为R ,求实数a 的取值范围.10．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（文）试题 ）选修4-5 :不等式选讲已知f(x) = ︱ax + 1︱ (a ∈R),不等式f(x) >5的解集为﹛x ︱x>2或x<-3﹜.(I)求a 的值;(II) 若不等式f(x) –f(2x ) ≤k 在R 上有解,求k 的取值范围.11．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题 ）选修4—5:不等式选讲已知a R ∈,设关于x 的不等式|2||3|24x a x x -++≥+的解集为A(Ⅰ)若1a =,求A(Ⅱ)若A R =,求a 的取值范围2012~2013学年度高三年级第一次模拟考12．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学文试题（word 版） ）选修4—5:不等式选讲设函数()|1|||(0)f x x x a a =++->(Ⅰ)若2a =时,解不等式()4f x ≤;(Ⅱ)若不等式()4f x ≤的对一切[,2]x a ∈恒成立,求实数a 的取值范围13．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（文）试题）选修4-5:不等式选讲 设不等式112<-x 的解集为M , 且M b M a ∈∈,.(Ⅰ) 试比较1+ab 与b a +的大小;(Ⅱ) 设A max 表示数集A 中的最大数, 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=b ab b a a h 2,,2max , 求h 的范围.14．（黑龙江省哈三中2013届高三3月第一次模拟数学文试题（word 版） ）选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x-1|+|2x-3|-a.(I)当a = 2时,求不等式f(x)≥0的解集;(II )若f(x) ≥O 恒成立,求a 的取值范围.2013年哈三中第一次高考模拟考15．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（文）试题）选修4—5:不等式选讲已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-=(1)当5=a 时,求函数)(x f 的定义域;(2)当函数)(x f 的值域为R 时,求实数a 的取值范围.16．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考文科数学试题 ）《选修4-5:不等式选讲》已知函数()|21||23|f x x x =++-.(1)求不等式6)(≤x f 的解集;(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空,求实数a 的取值范围.17．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（文）试题）选修4—5:不等式选讲已知不等式212x px x p ++>+.(1)如果不等式当2p ≤时恒成立,求实数x 的范围;(2)如果不等式当24x ≤≤时恒成立,求实数p 的范围.18．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学(文)试题）选修4-5:不等式选讲设函数()|21||3|f x x x =+--.(1)解不等式()0f x >;(2)已知关于x 的不等式3()a f x +<恒成立,求实数a 的取值范围.19．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（文）试题）已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++(1)解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈;(2)若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方(没有公共点),求m 的取值范围.20．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考数学试题（文科））选修4-5:不等式选讲设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈.(1)当4a =时,求不等式()5f x ≥的解集;(2)若()4f x ≥对x R ∈恒成立,求a 的取值范围.【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校文科试题精选（一）分类汇编17：不等式选讲参考答案一、解答题1. 解:(Ⅰ)由)(x f ≤a 得,1122a a x -+≤≤, 因为不等式)(x f ≤a 的解集为{}10≤≤x x ,所以10,21 1.2a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得a =1; (Ⅱ)由11()()(1)2121g x f x f x m x x m==+++-+++的定义域为R 知; 对任意实数x ,有21210x x m -+++≠恒成立 因为()()212121212x x x x -++≥--+=,所以2m>-,2.3. 略4. 4-5:不等式选讲:解:(1)因为3)2()1(21)(=+--≥++-=x x x x x f所以函数)(x f 的最小值为3.5. 解:(Ⅰ)图象略,值域为5[,)2+∞ (Ⅱ) |x -2|+|2x+1|>12a a ++恒成立,则52>12a a ++, 解得a >-2或a <-836. 选修45-;不等式选讲解:(方法一)222,,,1a b c R a b c ∈++=22222222()(111)()(111)3a b c a b c a b c ∴++=++≤++++=当且仅当a b c ===时, a b c ++. (方法二)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥2222222222222()222a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ∴++=+++++≤++++++++2221a b c ++=,2()3a b c ∴++≤当且仅当a b c ===时等号成立,故a b c ++.7. 解:(I)||4|22||2||2|a b a b a b a b a =-++≥-++ 对于任意非零实数a 和b 恒成立,当且仅当0)2)(2(≥-+b a b a 时取等号,|||2||2|a b a b a -++∴的最小值等于4 (II) |||2||2||2||2|a b a b a x x -++≤-++ 恒成立, 故|2||2|x x -++不大于|||2||2|a b a b a -++的最小值由(I)可知|||2||2|a b a b a -++的最小值等于4.实数x 的取值范围即为不等式4|2||2|≤-++x x 的解.可用分类讨论法;数性结合法;图像法等方法,只要过程严密,结论正确即可解不等式得.22≤≤-x8. :⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ,或⎩⎨⎧>+-+<≤72121x x x ,或⎩⎨⎧>+---<7211x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞⋃--∞;R x ∈ 时,R,m m ,34≤+∴的取值范围是]1-,(-∞9. 选修4—5:不等式选讲(Ⅰ)解:当1a =时, 不等式为|2||1|2x x -+-≥.由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1,2的距离之和大于 于2.∴52x ≥或12x ≤ ∴不等式的解集为51|22x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或. 注 也可用零点分段法求解.(Ⅱ)解:∵|2||||2|ax ax a a -+-≥-,∴原不等式的解集为R 等价于|2|2a -≥, ∴4a ≥或0a ≤,又0a >,∴4a ≥.10.解:(Ⅰ)由|ax+1|>5得4ax >或6ax <-.又f(x)>5的解集为{x|2x >或3x <-},当a>0时,4x a >或6x a <-,得a=2. 当a ≤0时,经验证不合题意.综上,2a =(Ⅱ)设g(x)=f(x)-()2x f ,则(),1,132,1,21,,2≤＝≥x x g x x x x x ⎧⎪--⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-⎪⎩ 则函数()g x 的图象如下: 由图象可知,g(x)≥12-, 故原不等式在R 上有解时,k≥12-.即k 的取值范围是k≥12-11.解(1)当x ≤-3时,原不等式化为-3x-2≥2x+4, 得x ≤-3,当-3<x ≤21,原不等式化为4-x ≥2x+4,得3<x 0≤当x>21时,3X+2≥2X+4,得x 2≥综上,A={}2,0|≥≤x x x(2)当x ≤-2时,32++-x a x ≥0≥2x+4成立.当x>-2时, 32++-x a x = +-a x 2x+3≥2x+4.得x ≥a +1 或x ≤31-a , 所以a +1≤-2或a +1≤31-a ,得a ≤-2. 综上,a 的取值范围为a ≤-212.13.14. (Ⅰ) ()0f x ≥解集为:2{|2}3x x x ≥≤或 ·········· 5 分 (Ⅱ)12a ≤ ·········· 10 分 15.解(1)当5=a 时,求函数)(x f 的定义域,即解05|5||1|>--+-x x 不等式 所以定义域为21|{<x x 或}211>x (2)设函数)(x f 的定义域为A ,因为函数)(x f 的值域为R ,所以A ⊆+∞),0(由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1|所以04≤-a所以4≥a16.解:(Ⅰ)原不等式等价于313,,222(21)(23)6,(21)(23)6,x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或1,2(21)(23) 6.x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解之得31312,12222x x x <≤-≤≤-≤<-或,或. 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x(Ⅱ)()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f . 41>-∴a ,解此不等式得53>-<a a 或 (本题利用图像法或几何意义法仍然可解,请酌情给分.)17. (Ⅰ)}{|<-1>3x x x 或 (Ⅱ)}{p|p>-118. (Ⅰ)0)(>x f 的解集为:),32()4,(+∞⋃--∞ ··········(Ⅱ)213-<a ·········· 10 分 19.20.选修4-5:不等式选讲 解::(Ⅰ)541≥-+-x x 等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4255x x >⎧⎨-≥⎩, 解得:0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥.(Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-(当1x =时等号成立) 所以min ()1f x a =- . 由题意得:14a -≥, 解得3-≤a 或5≥a .。
高三数学_高考宁夏数学期末试题分类汇编函数
是（ ）
A．（5，1）
B．（1，5）
C．（1，4）
D．（4，1）
答案:（B ）
12．（宁夏 09）给出下列三个图像和三件事，图像与事件吻合最好的是（ ）
（1）我离开家不久，发现自己的作业本忘在家里了，于是返回家里，找到了作业本再上
学
（2）我骑着自行车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间
A． y sin x ( x R )
B．
y
1 (
)x
(x
R)
2
C． y x ( x R )
D． y x 3 ( x R )
答案:（ D ）
24、（宁夏 09）已知函数① y 2 x ；② y log 2 x ；③ y x 1 ；④ y x 。则下列函数图
象（在第一象限部分）从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是（ ）
宁夏高三数学期末模拟试题分类汇编
一.选择题
第 2 部分:函数(包含导数)
1．（宁夏 09）函数 y x 2 1 1 x 2 的定义域为( )
A． { x | x 1或 x 1}
B． { x | 1 x 1}
C．{1} D．{-1,1}
答案:（D）
2．（宁夏 09）f ( x )是定义在 R 上的偶函数 , 当 x 0时 , f ( x ) x f ( x ) 0, 且 f ( 4) 0 ，
增函数，下列四个关于 f ( x ) 的命题中:
① f ( x ) 是周期函数；
② f ( x ) 在［0，1］上是减函数；
③ f ( x ) 在［1，2］上是增函数;
其中正确命题的个数是
A．1 个
B．2 个
答案:（D ）
④ f ( x ) 的图象关于 x 1 对称；
宁夏银川市(新版)2024高考数学统编版测试(强化卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学统编版测试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数有四个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题已知，，若，则（）A．B．C．D．第(4)题设集合，集合，则A．B．C．D．第(5)题已知函数，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为（）A．7B．6C．5D．4第(6)题已知实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．15C．4D．19第(7)题已知集合，，则A B＝（）A．B．C．D．第(8)题已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知平面向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．若，则D．若，则第(2)题若，则（）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余数为6D．的个位数为6第(3)题已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形可能出现的是（）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在如图所示的算法流程图中，若输入m＝4，n＝3，则输出的a＝_____．第(2)题已知向量a，b满足||＝1，||＝2，|－|＝，则＝_______.第(3)题设向量，，若，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知直线与抛物线交于两点（异于点），直线与交于点，直线与交于点，证明：直线与轴交于定点．第(2)题一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．（I）求取出的3个球编号都不相同的概率；（II）记为取出的3个球中编号的最小值，求的分布列与数学期望．第(3)题已知椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标．第(4)题已知数列满足，.（1）若.①设，求证：数列是等比数列；②若数列的前项和满足，求实数的最小值；（2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式.第(5)题2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：实践理论基础中等优异基础中等优异(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求，的值；(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；(3)若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值．（直接写出答案）。
宁夏银川市(新版)2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．ÆB．C．D．第(2)题已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ,则双曲线的离心率是A．B．C．D．第(4)题已知函数的图象恒过定点A，设抛物线上任意一点M到准线l的距离为d，则的最小值为A．5B．C．D．第(5)题（）A．B．C．D．第(6)题若函数有唯一零点，则实数（）A．2B．C．4D．1第(7)题一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是A．B．C．D．第(8)题从1到10的连续10个整数中随机抽取3个，已知这3个数之和为奇数，则这3个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线：，：，则下列结论正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，在x轴上的截距相等则D．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍第(2)题已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是第(3)题如图，已知四边形是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中正确的是（）A．B．与可能垂直C．四面体的体积的最大值是D．直线与平面所成角的最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则__________.第(2)题曲线在处的切线与直线平行，则___________.第(3)题已知正方体的棱长为，点为的中点，平面，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题记实数、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①，②；（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．第(2)题如图，在长方体ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点O，点F在线段AH上且，BE与底面ABCD所成角为.（1）求证：AC⊥BE；（2）M为线段BD上一点，且，求异面直线AM与BF所成角的余弦值.第(3)题在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等．(1)在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；(2)记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．第(4)题已知函数f（x）＝ln x+a（x2+x），g（x）＝x3+5x.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝2时，证明：f（x）＜g（x）﹣.第(5)题已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）判断函数的零点个数.。
宁夏银川市(新版)2024高考数学统编版质量检测(培优卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学统编版质量检测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数满足：则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数满足如下条件：①任意，有成立；②当时，；③任意，有成立，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．第(3)题若数据、、、、的方差为，数据、、、、，的方差为，，则（）A．B．C．D．关系不确定第(4)题若函数为偶函数，则实数a的值为（）A．B．0C．D．1第(5)题若函数的最小值3，则实数的值为A．5或8B．或5C．或D．或第(6)题设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点. 若，则的值为（）A．B．C．D．第(7)题某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（）A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多第(8)题设复数z满足，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)已知，若（为自然对数的底数），则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．第(3)题如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（）A．平面B．直线与是异面直线C．当取得最小值时，的最小值为D．直线与平面的交点是的外心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量满足，则的夹角为___________.第(2)题若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值是______.第(3)题某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：）所示，四边形为矩形，，，均与圆O相切，B､C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，，则该零件的截面的周长为___________.（结果保留）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：年份2015201620172018201920202021年份代号t1234567人均存款y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9变量t，y具有线性相关关系.现有甲､乙､丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确？(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1，则称该数据为“不可靠数据”，若误差为0，则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．第(3)题已知函数.（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围第(4)题已知数列的前项之积为.(1)求数列的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.第(5)题某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查. (Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率.。
宁夏银川市(新版)2024高考数学统编版能力评测(综合卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学统编版能力评测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题是双曲线的右焦点，过点向一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则的离心率是A．B．2C．D．第(2)题下列说法中，不正确的是（）A．B．C．D．第(3)题某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A．、B．、C．、D．、第(4)题若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题设向量，，，若，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知向量，向量，则与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°第(7)题已知函数，（，为自然对数的底数），若对任意给定的，在上总存在两个不同的（，），使得成立，则的取值范围是A．B．C．D．第(8)题若复数z满足，则（）A．B．C．D．5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（）A ．如果，则，，使得B．如果，则，，使得C．如果，则，常数，使得恒成立D．如果，，使得，则，，便得第(2)题已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（）A．的最小值是B．的最小值是C．当最大时，D．当最小时，第(3)题如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，为面的中心，则以下命题正确的是（）A．平面截正方体所得的截面面积为B．四面体的外接球的表面积为C．四面体的体积为D．若点为的中点，则存在平面内一点，使直线与所成角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________．第(2)题已知数列满足：对任意，，且，，其中，则使得成立的最小正整数为________.第(3)题若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示:（1）求的值；（2）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第2组中抽到人的概率．第(2)题对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．第(3)题如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点．若，求的值．第(4)题从这九个数字中任意取出不同的三个数字．（1）求取出的这三个数字中最大数字是的概率；（2）记取出的这三个数字中奇数的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．第(5)题如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的下底面ABCD是边长为a的正方形，AA1＝a，且点A1在下底面ABCD上的射影恰为D 点．（I）证明：B1D⊥面A1CB；（II）求二面角A1﹣BC﹣B1的大小。
宁夏银川市(新版)2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知平面向量，，与垂直，则的值是（）A．B．1C．D．2第(2)题已知是定义在R上的单调函数，实数，，，，若，则（）A．B．C．D．第(3)题设，，（e为自然对数底数），则a，b，c大小关系为（）A．B．C．D．第(4)题设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知，为单位向量，若，则与的夹角为（）A．B．C．D．第(6)题随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：），图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔占地面积为（）A．B．C．D．第(7)题已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．第(8)题某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，．．．，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽到的号码有下列四种情况:①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5第(2)题已知向量，则（）A．B．C．D．第(3)题如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，垂足为点O，，E为的中点，则下列结论错误的是（）A．B．平面C．平面平面D．平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知变量满足约束条件，则的最小值为___________.第(2)题根据下列算法语句：当输入为60时,输出的值为___________________第(3)题已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是_______，______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若点在以，为左，右焦点的双曲线：上，双曲线C的虚轴长为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)如图，点P在双曲线C的左支上，若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，其中A在第一象限，且l与的平分线m垂直，垂足为D，线段AP中点为O，求的最大值．第(2)题已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．(1)求双曲线C和抛物线E的方程；(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．第(3)题已知函数().（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若对，恒成立，求的取值范围.第(4)题已知函数，其中．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设在处存在极值，，若存在，使得（为的导函数），证明：．第(5)题已知函数.（Ⅰ）求函数在上的最值；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.。
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姓名____________班级___________学号____________分数_____________
1 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-,
若2-a b 与b 垂直,则=a （ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D ．3
2 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知向量()1,3a =,向量b 满足
1a b =,25a b -=,则b 的值为
（ ）
A ．22
B ．23
C ．4
D ．25
3 ．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）在ABC ∆中,点P 在BC 上,且
PC BP 2=,Q 是AC 的中点,以P 为坐标原点建立平面直角坐标系,若)5,1(),3,4(==PQ PA ,则=BC
（ ）
A ．(6,-21)
B ．(2,-7)
C ．(-2,-7)
D ．(-6,21)
4 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）若等边△ABC 的边长为23,
平面内一点M 满足12
63CM CB CA =+,则MA MB ⋅=
（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．2
D ．3
5 ．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）已知点O 是边长为1的等边ABC
∆的中心,则()()OA OB OA OC +•+等于
（ ）
A ．
1
9
B ．19
-
C ．36
-
D ．16
-
6 ．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知P 为边长为
2的正方形ABCD 及其内部一动点,若PBC PAB ∆∆,面积均不大于1,则BP AP ⋅取值范围是 （ ） A ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡23,21
B ．()2,1-
C ．⎥⎦
⎤ ⎝
⎛2
1,0
D ．[]1,1-
7 ．（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知a ,b 是两个互相垂直的单位
向量,且c ·a =c ·b =1,,则对任意正实数t ,1c ta b t
++的最小值是
（ ）
A ．2
B ．22
C ．4
D ．42
8 ．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）在ABC
∆中,AC=6,BC=7,5
1
cos =
A ,O 是ABC ∆的内心,若O
B y OA x OP +=,其中10,10≤≤≤≤y x ,动点P 的轨迹所覆盖的面积为 （ ）
A ．
63
10
B ．
63
5
C ．
3
10 D ．
3
20 9 ．（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）在平行四边形ABCD 中,AE EB =,2CF FB =,
连接CE 、DF 相交于点M ,若AM AB AD λμ=+,则实数λ与μ的乘积为 （ ）
A ．
1
4
B ．
38
C ．
34
D ．
43
10．（黑龙江哈三中2013
届高三第二次模拟数学（理)试题）ΔABC
中,(cos ,sin )m A A =,(cos ,sin )n B B =-,若1
2
m n ⋅=,则角C 为 （ ）
A ．
3
π
B ．
23
π C ．
6
π
D ．56
π
二、填空题
11．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）梯形ABCD 中, AB ∥ CD , 2AB CD =,
M N 、分别是CD 、
AB 的中点,设AB a =, AD b =.若MN ma nb =+,则n
m
=___
12．（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知直线0x y m ++=与圆2
2
2x y +=交
于不同的两点A 、B ,O 是坐标原点,OA OB AB +≥,那么实数m 的取值范围是________.
13．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知AD 是ΔABC 的中线,若
∠A=120°,2-=⋅AC AB ,则||AD 的最小值是______.
14．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）设单位向量a,b 的夹角为60°,则∣a +
2b∣=__________.
15．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）已知向量,,,a b c d
满足:||1,||2a b ==
,b 在a 上的投影为
1
2
,()()0a c b c --=,||1d c -=,则||d 的最大值为____. 16．（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）设c b a ,,是单位向量,且c b a +=,则
向量b a ,的夹角等于____________
17．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）下列命题中,正确的是
____________________
(1)平面向量a 与b 的夹角为060,)0,2(=a ,1=b ,则=+b a 7
(2)在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ,若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列则B =
3
π
(3)O 是ABC ∆所在平面上一定点,动点P 满足:sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭
,
()0,λ∈+∞,则直线AP 一定通过ABC ∆的内心
④设函数[] x 0()(1) x<0
x x f x f x ⎧-≥⎪
=⎨
+⎪⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]1.3-=-2,[]1.3=1,则函数
11
()44
y f x x =-
-不同零点的个数2个 18．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向
量a b λ+与向量c =(1,-2)共线,则实数λ=_______.
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类汇编4：平面向量参考答案
一、选择题 1. C 2. B 3. D
4. B
5. D
6. D
7. B
8. A
9. B 10. B 二、填空题 11. -4
12. (2,2][2,2)--⋃ 13. 1 7
15. 2
2
2+ 16.
3
π
17. (1)(2)(3) 18. -1。