四川省成都市第七中学高一下学期期末考试数学试题

四川省成都市第七中学高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 722．已知点(),P x y 的坐标满足条件4{ 1x y y x x +≤≥≥，则22x y +的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 10D. 163．已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A. 2nB. 3nC. 2n -D. 3n - 4．如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5．若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1± D. 32-6．若ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=，则B 等于（ ） A.6π B. 4π C. 3πD. 34π7．直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ） A. []1,2- B. [)(]2,,1+∞⋃-∞- C. []2,1- D. (][),21,-∞-⋃+∞8．已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A.2132π+ B. 4136π+ C. 2166π+ D. 2132π+ 9．()()001tan171tan28++的值是（ ）A. -1B. 0C. 1D. 210．设000020132tan151cos50cos2sin2,,221tan 152a b c -=-==+，则有（ ） A. c a b << B. a b c << C. b c a << D. a c b << 11．若sin cos24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α的值可以为（ ） A. 12-或1 B. 12 C. 34 D. 34- 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. //EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题13．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为__________．14．过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有__________条. 15．已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭，则a =__________． 16．数列{}n a 满足， 123231111212222n n a a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________． 三、解答题17．已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B . （1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值.18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， 13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论； （2）求二面角1B CD B --大小的正切值.19．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证： //MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值； （3）求证： MN ⊥面PCD .20．已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()·f x a b =， ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值.21．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值； （2）若4b =，求ABC S ∆的最大值.22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn n a b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .四川省成都市第七中学高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】D【解析】试题分析： 184********a a a aS ++=⋅=⋅=. 【考点】等差数列的基本性质．2．已知点(),P x y 的坐标满足条件4{ 1x y y x x +≤≥≥，则22x y +的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 10D. 16 【答案】C【解析】可行域如图, 22x y +表示可行域内点到原点距离的平方,所以22x y +的最大值为2||10OA = ,选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3．已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A. 2nB. 3nC. 2n -D. 3n- 【答案】A【解析】由()2125n n n a a a +++=得()2121522q q q +=⇒=或（舍） ，由2510a a =得()22491112a q a q a q =⇒== ，所以111222n n n n a a q --==⨯= ，选A.4．如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 【答案】B【解析】由三余弦定理得001πcos cos cos cos45cos4523BAC BAD CAD BAC ∠=∠∠==⇒∠= 选B.5．若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 1± D. 32- 【答案】C【解析】由两直线11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=垂直充要条件12120A A B B +=得：()()()()22112301,1a a a a a a +-+-+=⇒==± ，选C.6．若ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=，则B 等于（ ） A.6π B. 4π C. 3πD. 34π【答案】B【解析】试题分析：针对sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=利用正弦定理边角互化可得2222a c ac b +-=，即2222a c b ac +-=，所以22222cos 2a c b ac B ac +-===4B π=.【考点】本小题主要考查解三角形，正弦定理、余弦定理.7．直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ） A. []1,2- B. [)(]2,,1+∞⋃-∞- C. []2,1- D. (][),21,-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】由题意得()()2,33,2A B -、在直线10ax y ++=上或异侧，所以()()231321012a a a a ++-++≤⇒≥≤-或 ，选D.8．已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）212π+ B. 4136π+216π D. 2132π+ 【答案】C【解析】试题分析：该几何体是一个半球和一个三棱锥，故体积为322121366ππ+=+⎝⎭. 【考点】三视图．9．()()001tan171tan28++的值是（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】()()1tan171tan28++()()00000000001tan17tan28tan17tan281tan 17281tan17tan28tan17tan28=+++=++-+ ()000001tan451tan17tan28tan17tan282=+-+=，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.10．设000020132tan151cos50cos2,,21tan 152a b c -===+ ） A. c a b << B. a b c << C. b c a << D. a c b <<【答案】A【解析】()000sin 302sin28,a =-=0000tan215tan30sin30sin28=,b a =⨯=>>2000sin 25sin25sin28c a b a c ===∴>，选A.11．若sin cos24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α的值可以为（ ） A. 12-或1 B. 12 C. 34 D. 34- 【答案】A 【解析】sin cos24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()()2sin cos cos sin cos sin 2αααααα⇒-=--+ 2sin cos 0cos sin =2αααα⇒-=+或 111sin201+sin2=sin2122ααα⇒-=⇒=-或或 ，选A. 点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. //EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值 【答案】D【解析】试题分析：因为在正方体中， ,AC BD AC ⊥∴⊥面11,B D DB BE ⊂面11,B D DB AC BE ∴⊥，故A 正确；因为平面ABCD 平面1111A B C D ， EF ⊂平面1111A B C D ，所以EF 面ABCD ，故B 正确；因为2,2EF BEF =的面积为定值121,24EF ⨯=又AC ⊥面11B D DB ， AO ∴为棱锥A BEF -的高，所以三棱锥A BEF -的体积为定值，故C 正确；因为利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与1D 重合1sin ,302αα==︒；当F 与1B 重合时2tan 2α=，所以异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故D 错误；故选D ．【考点】棱柱的结构特征二、填空题13．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为__________．【答案】3π 【解析】因为11//AD BC ,所以直线1AB 与1BC 所成角为11B AD ∠ 因为1111AD B D AB == ,所以11π3B AD ∠=,即直线1AB 与1BC 所成角大小为3π 14．过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有__________条. 【答案】2【解析】显然1x =过点()1,3且与原点的距离为1;再设()31y k x -=- ,234131k k k -+=⇒=+ ,所以满足条件的直线有两条15．已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭，则a =__________． 【答案】-2【解析】()211101,2ax a x ⎛⎫+-->--⎪⎝⎭的解集为 11,2⇒-- 为方程()2110ax a x +--=两根,因此11122a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭16．数列{}n a 满足， 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________． 【答案】16,1{ 2,2n n n a n +==≥【解析】因为123231111212222n na a a a n ++++=+,所以()12312311111121122222n n n n a a a a a n +++++++=++,两式相减得11122n n a ++=，即12,2n n a n +=≥，又1132a =，所以16a =，因此16,1{ 2,2n n n a n +==≥ 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题17．已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B . （1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值.【答案】（1）S 最小值为4，直线l 方程为240x y -+=（2）4【解析】试题分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，根据直角三角形面积公式可得()1111·12?24422S k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据基本不等式求最值，并确定k 的值，即得直线l 的方程；（2）利用向量数量积得2··24MA MB MA MB k k=-=-+≥，再根据基本不等式求最值 试题解析：解：由题意，分别令0x =， 0y =解得 ()10,12,2,0B k A k ⎛⎫+--⎪⎝⎭且0k >. （1）()1111·12?244,022S kk k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时144k k +≥=，当且仅当12k =时取等.所以S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=. （2）易得()2,1M -，∴()1,1,2,2MA MB k k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 2··24MA MB MA MB k k =-=-+≥，当且仅当1k =时取到， MA MB 的最小值为4.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， 13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论； （2）求二面角1B CD B --大小的正切值.【答案】(1) 1D 在棱11A B 中点(2)53【解析】试题分析：（1）先寻找线线平行，所以取1D 为棱11A B 中点，再根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据线面平行证面面平行（2）过点B 作直线CD 的垂线B E ,再由三垂线定理可得1B E 也与直线CD 垂直，即1B EB ∠为二面角1B CD B --的平面角.再结合勾股定理解三角形得二面角1B CD B --大小的正切值试题解析：解：（1）当1D 在棱11A B 中点时，可使平面11//AC D 平面1CDB ，证明：易得1111//,A //C D CD D B D .因此平面11//AC D 平面1CDB .（2）在平面ABC 内，过点B 作直线CD 的垂线，记垂足为E ，连接1B E ， 1B EB ∠即为二面角1B CD B --的平面角.由已知，结合勾股定理得ABC ∆为直角三角形， 125?345BE BE =⨯⇒=，从而1145tan 123BB B EB BE ∠===. 二面角1B CD B --大小的正切值为53. 点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.19．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证： //MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值； （3）求证： MN ⊥面PCD .【答案】（1）见解析（2）63（3）见解析 【解析】试题分析：（1）取PD 的中点E ，利用平几知识证四边形AMNE 是平行四边形.即得//MN AE .再根据线面平行判定定理得//MN 平面PAD ；（2）由PA ⊥矩形ABCD 得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角，再解直角三角形得PC 与面PAD 所成角的正弦值（3）由等腰三角形性质得AE PD ⊥，再根据PA ⊥矩形ABCD 得,PA CD ⊥而CD AD ⊥，所以根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面PAD ，即得CD AE ⊥，因此AE ⊥平面PCD .最后根据//MN AE ，得MN ⊥面PCD . 试题解析：解：记PD 中点为E ，易得EN 平行且等于AM ，（1）证明：如图，取PD 的中点E ，连结AE EN 、， 则有////EN CD AM ，且1122EN CD AB MA ===， ∴四边形AMNE 是平行四边形.∴//MN AE .∵AE ⊂平面PAD ， MN ⊄平面PAD ， ∴//MN 平面PAD ；（2）易得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角， 6sin 3CD CPD PC ∠==，所以， PC 与面PAD 所成角大6；（3）证明：∵PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD ADC ⊂平面ABCD . ∴,PA CD PA AD ⊥⊥， ∵,CD AD PA AD A ⊥⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ，又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥， ∵045PDA ∠=， E 为PD 中点， ∴AE PD ⊥，又∵PD CD D ⋂=， ∴AE ⊥平面PCD . ∵//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD . 20．已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()·f x a b =， ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值.【答案】（1）=S 2）cos2α=【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积坐标表示得()21·3sin cos sin 2f x a b x x x ==+-，再根据二倍角公式及配角公式得()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据1,2B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭可解得2,33B C A ππ+==，由正弦定理可得,6B π=即得2C π=，最后根据直角三角形面积公式求面积（2）由()35f α=得3sin 2,65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭利用同角三角函数关系得4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后根据2266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和余弦公式展开得cos2α的值.试题解析：解： ()211·3sin cos sin cos2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以12S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时， 2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值； （2）若4b =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）tan :tan 4A B =（2）20解析：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+， 从而sin cos 4sin cos A B B A =，即tan :tan 4A B =；（2）由（1）知内角A B 、均为锐角，如图所示过C 作CD 垂直于AB 垂足为D . 设,CD m AD n ==，由题意结合tan :tan 4A B =得4BD n =，且22216m n b +==，所以m n ==2255516··2022222ABCm n S mn ∆+=≤==. 【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角： 3sin cos sin cos sinC 5A B B A -=，再根据三角形内角关系及诱导公式得()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+，即得sin cos 4sin cos A B B A =，因此tan :tan 4A B =；（2）过C 作CD 垂直于AB 垂足为D ，利用底乘高的一半表示三角形面积：设,CD m AD n ==，则由比例关系4BD n =，因此52ABC S mn ∆=，又22216m n b +==，所以可利用基本不等式求最值 试题解析：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+， 从而sin cos 4sin cos A B B A =，即tan :tan 4A B =；（2）由（1）知内角A B 、均为锐角，过C 作CD 垂直于AB 垂足为D . 设,CD m AD n ==，由题意结合tan :tan 4A B =得4BD n =，且22216m n b +==，所以m n ==2255516··2022222ABCm n S mn ∆+=≤==. 22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()11412331?2n n n n +++---+【解析】试题分析：（1）对条件1122n n n a a ++=+两边同除以12n +得11n n b b +=+，即得数列{}n b 为首项及公差均为1的等差数列，再根据等差数列通项公式求数列{}n b 的通项公式；（2）因为·2n n a n =，所以利用错位相减法求和得数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）对n c 裂项处理： ()()()11111122?21?2n n n n n n c n n ++⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再根据分组求和以及裂项相消法求和得数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得·2n n a n =， 1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯错位相减得12111222222212nn n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n n n n n nn n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111111122221?22?22?23?2?21?2n n nn n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+--⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求。