高中数学第三章数系的扩充与复数的引入311数系的扩充和复数的概念学业分层测评含解析新人教A版选修2 2

3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是( )
A．－2 B．－ 2
C. 2 D．2
【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，
∴其虚部是 2.
【答案】 C
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝∅
【解析】复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝∅，故选D.
【答案】 D
3．(2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
【解析】由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.
【答案】 B
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋y i的实部和虚部，故①是假命题；
对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
【答案】 A
5．复数i －2的虚部是( )
A ．i
B ．－2
C ．1
D ．2
【解析】 i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.
【答案】 C
二、填空题
6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.
【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.
【答案】 －3
7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________．
【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
【答案】 3－3i
8．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－a i(a ∈R )是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；
⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i 2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i 4－1＝0成立，故⑥正确；2i 是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．
【答案】 ①②③⑥
三、解答题
9．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.
(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．
(2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，
所以m ＝－1时，z 是纯虚数．
10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．
【解】 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，
即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，
解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，
得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.
综上可知，m ＝1或m ＝2.
[能力提升]
1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )
A ．－7
B ．－17
C ．7
D ．－7或－17 【解析】 ∵复数z 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A. 【答案】 A 2．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数
z ＝( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i 【解析】 由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，
即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1，
所以z ＝3－i.
【答案】 B
3．设复数z ＝1m ＋5
＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是__________. 【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，
解得m ＝3.
【答案】 3
4．如果log 12
(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值． 【解】 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12
(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，log 12m ＋n －1， ①②
由①得m ＝0或m ＝3，
当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；
当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾．
综上可得，m ＝0，n ＝1.。