10.2 正项级数(精简版)
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10-2正项级数
4.比较审敛法 设un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn(n1,2,),若 vn 收敛,则 un收敛；
n1
n1
反之，若un发散，则vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn unvn,
n1
且 s n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,
即部分和数列有界
un收敛.
(A) 发散 ;
(B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
由nl im unn
1,知 1
un
~
1n, ∴
(B)
错
;
又 Sn(u11u12)(u12 u13) (u13 u14) (u14 u15) ( 1 )n 1(u 1 nun 1 1)
u 11(1)n1un 11
解: 1) 若 p1, 因为对一切 nZ ,
1 np
1 n
而调和级数
n
1
1 n
1
发散
,
由比较判别法可知
p
级数
n
1
n
p
发散 .
2) 若
p1,因为当n 1 x n 时,
1 np
1nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p1
1
1 (n1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
10.2数项级数敛散性的审敛法
《高等数学》第五次网络课导学
学习内容：数项级数敛散性的审敛法
重点内容：正项级数审敛法——比较法，比值法；交错级数的审敛法；绝对收敛与条件收敛的概念与判定
课程要求：了解正项级数的比较审敛法；掌握正项级数的比值审敛法；掌握交错级数审敛法——莱布尼兹判别法；掌握绝对收敛与条件收敛的判定。
学习步骤：签到——阅读《高等数学》教材10.2节正项级数敛散性的判定——观看视频3.2.2常数项级数的审敛法（两个视频）——完成测验——讨论问题——完成课后作业，共6个步骤
课后作业：
1.判断下列级数的敛散性（不用证明）
（1）∑∞
=11n n （2）∑∞=121n n （3）∑∞=1231n n （4）∑∞=1321n n
2.利用比较判别法判断下列级数的敛散性
（1）∑∞=-1
112n n e
（2）∑∞=+1
21n n n 3.利用比值判别法判断下列级数的敛散性
（1）∑∞=12
!n n n （2）∑∞=12
2
n n n
4.证明交错级数()
∑∞=+-1111n n n
收敛. 5.判断题
（1）交错级数()∑∞=+-1
111n n n
绝对收敛.（ ） （2）交错级数()
∑∞=+-12111n n n
绝对收敛.（ ）
（3）级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1
22sin n n n π绝对收敛.（ ）。
无穷级数-正项级数及其审敛法
∞
4. 判定下列级数的敛散性 ： ∞ ∞ 1 1 (1 ) ∑ ; ( 2 ) ∑ ln 1 + 3 . 3 2 n n=1 n + a n=1 1 n 3 + a 2 = 1, 解 ( 1 ) 因 lim 3 n→ ∞ n 2
而级数
3 n=1 n 2
∑
∞
1
收敛，
∞
由定理 11 .3 知， ∑
欲证 ∑ un 收敛 ，
n =1
∞
定理11.3 (极限形式的比较审敛法) 设正项级数 ∑ un , ∑ vn 满足
n =1 n =1
∞
∞
则有
un lim =l n→ ∞ vn
(0 ≤ l ≤ +∞ ),
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时, ∑ un 也收敛 ;
n =1
∑ v n收敛， 故原级数收敛 .
∞
例7 判断
n =1
∑
∞
x 2n n
2
的敛散性
( x为常数
x 2 (n + 1 )
, x ≠ 0 , ± 1 ).
un + 1 = lim 解 因为 ρ = lim n→ ∞ n → ∞ un
= lim n2
n→ ∞
(n + 1 )2
n2
x 2n
(n + 1 )
(0 ≤ ρ ≤ +∞ ), 则
( 1) 当ρ < 1 时, 级数收敛 ; ( 2) 当ρ > 1或 ρ = +∞ 时, 级数发散 .
(3) 当ρ = 1 时, 根值审敛法失效.
第二节正项级数
n1
想.如果猜想所给级数收敛，只需适当放大 un，使
其放大后的表达式 vn ，而正项级数 vn收敛.如果
n1
猜想级数发散，只需适当缩小
un
，使其缩小后的
表达式
vn
，而正项级数
vn发散.
n1
定.
判定正项级数 un 的收敛性应注意以下几点：
n1
1.如果
lim
n
un易求，应先判定是否lim
n
un
0？若
lim
n
un
0
则可知 un 发散.
n1
2.可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性.特别是 un中
含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.
3.使用比较判别法时，应先对 un的收敛性作一个猜
4
n
，u
n1
3n1 5n1 4n1
.
3n1
lim un1 n un
lim
5n1 4n1 3n
5n 4n
lim
n
3
1 4 n 5
5
1
4 5
n
1
3 5
1,
所以原级数收敛.
例6
判定级数
n 1
nn a n n!
(a 0,a e)
收敛性.
解 原级数为正项级数，其通项为
un
nn ， an (n)!
n1
n1
若un vn (n 1,2, , n) ，则有
0 Sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
如果vn收敛，可知 n 有上界，从而知{Sn}有上界.
n1
再由正项级数收敛的充分必要条件可知 un 收敛.
n1
10-2正项级数
n=1 ∞
+∞
北京理工大学数学系
例 1 讨论 P-级数 -
1 1 1 1 的收敛性. 1 + p + p + p + L + p + L的收敛性.( p > 0) 2 3 4 n 1 1 设 p ≤ 1, Q p ≥ , 则P − 级数发散 . 解 n n
n dx 1 设 p > 1, 由图可知 p < ∫n−1 p n x 1 1 1 sn = 1 + p + p + L + p 2 3 n 2 dx n dx o ≤ 1 + ∫1 p + L + ∫n−1 p x x
时级数收敛; 则ρ < 1时级数收敛;
时级数发散; ρ > 1时级数发散;
∞
时失效. ρ = 1时失效.
北京理工大学数学系
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 比值审敛法的优点 不必找参考级数.
两点注意: 两点注意
1.当 时比值收敛法失效; 1.当ρ = 1时比值收敛法失效;
1 例 级数∑ 发散, n =1 n
北京理工大学数学系
).比较审敛法的极限形式 1’).比较审敛法的极限形式: ).比较审敛法的极限形式:
un = l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n→ ∞ v n n =1 n =1
则(1) 当 0 < l < +∞ 时, 两级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时，若
发散. ∑v 发散.
n=1 n
∞
注意： 注意：级数的前有限项不影响级数的收敛性
北京理工大学数学系
例 2 证明级数
∑
+∞
北京理工大学数学系
例 1 讨论 P-级数 -
1 1 1 1 的收敛性. 1 + p + p + p + L + p + L的收敛性.( p > 0) 2 3 4 n 1 1 设 p ≤ 1, Q p ≥ , 则P − 级数发散 . 解 n n
n dx 1 设 p > 1, 由图可知 p < ∫n−1 p n x 1 1 1 sn = 1 + p + p + L + p 2 3 n 2 dx n dx o ≤ 1 + ∫1 p + L + ∫n−1 p x x
时级数收敛; 则ρ < 1时级数收敛;
时级数发散; ρ > 1时级数发散;
∞
时失效. ρ = 1时失效.
北京理工大学数学系
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 比值审敛法的优点 不必找参考级数.
两点注意: 两点注意
1.当 时比值收敛法失效; 1.当ρ = 1时比值收敛法失效;
1 例 级数∑ 发散, n =1 n
北京理工大学数学系
).比较审敛法的极限形式 1’).比较审敛法的极限形式: ).比较审敛法的极限形式:
un = l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n→ ∞ v n n =1 n =1
则(1) 当 0 < l < +∞ 时, 两级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时，若
发散. ∑v 发散.
n=1 n
∞
注意： 注意：级数的前有限项不影响级数的收敛性
北京理工大学数学系
例 2 证明级数
∑
正项级数的定义
正项级数的定义正项级数的定义正项级数是指一个由非负实数构成的无穷级数，即所有项都大于等于零。
一、基本概念1. 无穷级数无穷级数是指由无限多个项组成的和，每个项都是一个实数。
2. 正项级数正项级数是指所有的项都大于等于零的无穷级数。
换句话说，如果一个无穷级数中所有的项都是非负实数，则该级数为正项级数。
二、符号表示正项级数通常用以下符号表示：∑n=1∞an=a1+a2+a3+...+an+...其中，a1, a2, a3,..., an,...均为非负实数。
三、收敛与发散1. 收敛如果一个正项级数的部分和有上界，则该正项级数收敛。
即：S = a1 + a2 + a3 + ... + an ≤ M其中，M为某个实常量。
2. 发散如果一个正项级数的部分和没有上界，则该正项级数发散。
即：S = a1 + a2 + a3 + ... + an → ∞四、判别法则在判断一个正项级是否收敛或发散时，可以使用以下几种判别法则：1. 比较法则对于两个正项级数∑an和∑bn，如果存在一个正整数N，使得对于n > N，有an ≤ bn，则有：- 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；- 如果∑an发散，则∑bn也发散。
2. 极限比较法则对于两个正项级数∑an和∑bn，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则∑an和∑bn同时收敛或同时发散；- 如果L > 1，则当且仅当∑bn收敛时，∑an也收敛；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
3. 比值法则对于一个正项级数∑an，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则该级数收敛；- 如果L > 1，则该级数发散；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
4. 根值法则对于一个正项级数∑an，如果存在一个正实数L，使得当n趋向于无穷大时，则有：- 如果L < 1，则该级数收敛；- 如果L > 1，则该级数发散；- 如果L = 1，则该法则无法判断。
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
正项级数
3
而
1,
n
1 3
n
收敛,
当n 时， 1 3 n
n
n1
故原级数收敛.
1 3
n
.
例5 判定级数
ln(1 n
n 1
1
2
) 的敛散性.
解
n , ln(1
1 n
2
)~
1 n
2
ln(1 lim
n
1 n
2
)
1 n
2
1,
而
1 n
2
收 敛 , 故原级数收敛.
;
(2)
n! 10
; n
(3)
1 (2 n 1) 2 n
.
n 1
n 1
n 1
1
1 ( n 1 )! 0 ( n ), 解 (1 ) 1 un n1 1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n !
un1
(2)
n! 10
n
;
n
n 1
n 1
且 u n kv n ( n N , k 0) (vn kun )
则 u n 收敛 (发散).
n 1
去掉级数前面部分的有限项 不会影响级数的收敛性
例1 证明级数
1 n ( n 1)
是发散的.
n1
证明
1 n ( n 1)
1 n1
1
,
而级数
n 1发散,
思考题解答
由正项级数 u n 收敛,可以推得 u n 收敛.
2
而
1,
n
1 3
n
收敛,
当n 时， 1 3 n
n
n1
故原级数收敛.
1 3
n
.
例5 判定级数
ln(1 n
n 1
1
2
) 的敛散性.
解
n , ln(1
1 n
2
)~
1 n
2
ln(1 lim
n
1 n
2
)
1 n
2
1,
而
1 n
2
收 敛 , 故原级数收敛.
;
(2)
n! 10
; n
(3)
1 (2 n 1) 2 n
.
n 1
n 1
n 1
1
1 ( n 1 )! 0 ( n ), 解 (1 ) 1 un n1 1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n !
un1
(2)
n! 10
n
;
n
n 1
n 1
且 u n kv n ( n N , k 0) (vn kun )
则 u n 收敛 (发散).
n 1
去掉级数前面部分的有限项 不会影响级数的收敛性
例1 证明级数
1 n ( n 1)
是发散的.
n1
证明
1 n ( n 1)
1 n1
1
,
而级数
n 1发散,
思考题解答
由正项级数 u n 收敛,可以推得 u n 收敛.
2
正项级数-精选文档
n
n 2 ( 1 ) 级数 u 收敛 , n n 2 n 1 n 1
n 1 u 2 ( 1 ) n 1 但 a , n n u 2 ( 2 ( 1 )) n
1 lima2n , n 6
3 lim a2n1 , n 2
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证 对任意的ε> 0 , 存在 N > 0 , 使得当 n > N 时，有 u q n1 q , u n ⑴ 若 q < 1 , 则取ε= ( 1 - q ) / 2 , 于是有
un1 1 q 1 q q 1, un 2 2 由定理 12.7 知级数∑un 收敛．
⑴ 若 q < 1 , 则级数∑un 收敛；
⑵ 若 q > 1 , 则级数∑un 发散．
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定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）
设∑un 为正项级数， l ( 0 < l < 1 )为常数 ⑴ 若存在正整数 N0 ，使得当 n > N0 时，成立
n
un l ,
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推论 设 ∑un 和∑vn 是两个正项级数，若 un lim l n v n 则 ⑴ 当 0 < l < +∞ 时，级数∑un 与∑vn 敛散性相同；
⑵ 当 l = 0 时，若级数∑vn 收敛，则级数∑un收敛； ⑶ 当 c = +∞ 时，若∑vn 发散，则∑un发散．
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一、正项级数收敛性的一般判别原则
若级数 ∑un 的各项的符号都相同，则称∑un为同 号级数，若各项都是正数即 un > 0 ，则称∑un为正项级
n 2 ( 1 ) 级数 u 收敛 , n n 2 n 1 n 1
n 1 u 2 ( 1 ) n 1 但 a , n n u 2 ( 2 ( 1 )) n
1 lima2n , n 6
3 lim a2n1 , n 2
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证 对任意的ε> 0 , 存在 N > 0 , 使得当 n > N 时，有 u q n1 q , u n ⑴ 若 q < 1 , 则取ε= ( 1 - q ) / 2 , 于是有
un1 1 q 1 q q 1, un 2 2 由定理 12.7 知级数∑un 收敛．
⑴ 若 q < 1 , 则级数∑un 收敛；
⑵ 若 q > 1 , 则级数∑un 发散．
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定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）
设∑un 为正项级数， l ( 0 < l < 1 )为常数 ⑴ 若存在正整数 N0 ，使得当 n > N0 时，成立
n
un l ,
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推论 设 ∑un 和∑vn 是两个正项级数，若 un lim l n v n 则 ⑴ 当 0 < l < +∞ 时，级数∑un 与∑vn 敛散性相同；
⑵ 当 l = 0 时，若级数∑vn 收敛，则级数∑un收敛； ⑶ 当 c = +∞ 时，若∑vn 发散，则∑un发散．
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一、正项级数收敛性的一般判别原则
若级数 ∑un 的各项的符号都相同，则称∑un为同 号级数，若各项都是正数即 un > 0 ，则称∑un为正项级
第二节 正项级数
n 1
sin
2
n
由于x > 0时，sinx < x，
2 2 n n 1 Sn ui i (1 n ) 2 i 1 i 1 2
级数的前n项和数列有界
sin n n
sin 收敛 n 2 n 1
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xn ( 2) 2 n ( x 0) n1 (1 x )(1 x )(1 x ) xn 解 un (1 x )(1 x 2 )(1 x n )
从而 an 1 an a1 bn1 bn1 bn b1
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a1 (1) 若 bn收敛, 则 bn也收敛, n 1 n 1 b1
由比较审敛法的 an也收敛 a1 ( 2) 若 an发散, 则 bn也发散. n 1 n 1 b1
n 1
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
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1 1
n
dx 1 1 1 1 (1 p1 ) 1 p x p1 n p1
n n
则级数 un 发散;
n 1
(2) 如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在,
n
则级数 un 收敛.
n 1
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例4 判定下列级数的敛散性:
10.2 正项级数(精简版)
12 22 32 级数 2 3 2 2 2
2018年6月26日星期二
1 1 2
n2 n 2
19
收敛。
（自学课本 例6）
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例 7（补充题）判别级数 1 1 1 1 2 3 4 5 6 的敛散性.
1 解：令 un ，则 (2n 1) 2n
k 1 1 即 p d x (k 2,3, p k 1 k x
) 于是有
n
1 这表明数列 sn 有界，由定理 1 知级数 p 收敛. n 1 n 1 综上所述，对于 p 级数 p ，当 p 1 时收敛， n 1 n p 1时发散．
2018年6月26日星期二 7
例 6（补充题）判别级数
12 22 32 2 3 2 2 2 n2 n 2
的敛散性．
n2 解：令 un n ， 则 2 (n 1) 2 2 n 1 un 1 1 n 1 lim lim 2 2 lim n u n n 2 n n n 2n 所以根据比值审敛法可知，
1 1 时, p p , 故 k x
2018年6月26日星期二
8
目录
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k 1 1 1 1 1 dx p 1 p p p 1 k 1 k k p 1 (k 1) k 1 1 考虑强级数 p 1 的部分和 p 1 n n 2 ( n 1) n 1 1 sn p 1 p 1 (k 1) k 1 k
n 1 n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 vn 也发散 .
n 1 n 1
（证明略）
2018年6月26日星期二
1 1 2
n2 n 2
19
收敛。
（自学课本 例6）
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例 7（补充题）判别级数 1 1 1 1 2 3 4 5 6 的敛散性.
1 解：令 un ，则 (2n 1) 2n
k 1 1 即 p d x (k 2,3, p k 1 k x
) 于是有
n
1 这表明数列 sn 有界，由定理 1 知级数 p 收敛. n 1 n 1 综上所述，对于 p 级数 p ，当 p 1 时收敛， n 1 n p 1时发散．
2018年6月26日星期二 7
例 6（补充题）判别级数
12 22 32 2 3 2 2 2 n2 n 2
的敛散性．
n2 解：令 un n ， 则 2 (n 1) 2 2 n 1 un 1 1 n 1 lim lim 2 2 lim n u n n 2 n n n 2n 所以根据比值审敛法可知，
1 1 时, p p , 故 k x
2018年6月26日星期二
8
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k 1 1 1 1 1 dx p 1 p p p 1 k 1 k k p 1 (k 1) k 1 1 考虑强级数 p 1 的部分和 p 1 n n 2 ( n 1) n 1 1 sn p 1 p 1 (k 1) k 1 k
n 1 n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 vn 也发散 .
n 1 n 1
（证明略）
10-2 正项级数 共25页PPT资料
与直线
及 轴所围
的面积
由图不难看出，此面积夹在两 个阶梯形面积之间，即有
o 1234
设 为级数 的前 项的部分和，上式即可表为
由此即得
充分性 设已知无穷积分
收敛，于是序列
也收敛，从而它有上界. 由不等式
推出
有上界. 因而级数 收敛 .
必要性 已知级数 收敛，要证无穷积分
也收敛. 用反证法. 若
发散，注意到
如果n l i m nu n l 0 (或n l i m nu n ),
则级数 un发散;
n1
如果有p1, 使得nl im npun存在,
则级数 un收敛.
n1
例3 判定如下级数的敛散性.
1
( 1 ) s in; n 1 n
(2 )
2 n 1 。
n1
(2 )设 S n , (n ), un vn,
kn
Tn vk sn T n 不是有界数列,
k1
v n 发散.
n1
定理证毕 .
注意到级数的每一项同乘不为零的常数c，以及去掉级
数开头的有限项不影响级数的收敛性，可得如下结论：
推论 若存在自然数 N及 c( 0)，当 nN时
第二节 正项级数的收敛性判别法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
命题1 正项级数
收敛
部分和序列
有上界 .
证 “ ”若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有上界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
定理1（比较判别法）
(完整版)正项级数(2)
(1)
n 1
为正项级数,un 0,(n 1, 2,L ) 于是,其部分和 sn1 u1+u2 +L un +un1 sn +un1 sn
部分和数列 {sn }为单调增加数列.
结合数列极限的单调有界定理,有基本定理:
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定理12.5 正项级数 un 收敛的充要条件是:部分和
数列 {Sn }有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有 Sn M . 证 由于 ui 0(i 1, 2,L ), 所以{Sn}是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界 定理).这就证明了定理的结论.
性作出判断.
例如级数
1 n2
和
1 ,它们的比式极 n
限都是 un1 1(n ), 但
un
1 收敛 (§1例5), n2
而
1 n
却是发散的(§1例3).
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
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*推论2设 un 为正项级数.
(i) 若 lim un1 q 1, 则级数收敛; u n
n1
原则及上述不等式可得级数un 收敛.
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推论1(比式判别法的极限形式) 若 un 为正项级
数，且
lim un1 q,
(7)
u n n
则
(i) 当 q 1 时, 级数 un 收敛; (ii) 当 q 1 或 q 时, 级数 un 发散.
证 由(7)式, 对任意取定的正数 ( 1 q ), 存在正数
2
1 2 n 1
2,
sn 有上界,
1 .
n1 n!
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10-2正项级数
若级数
n1
un
收敛，则 l i m n
s n 存在，部分和
数列{sn}有界.
正项级数
u n 发散的充分必要条件是
n1
lni msn .
定理10.2（比较审敛法）设有两个正项级数 u n ,
n1
v n , 并且满足 u n v n(n 1 ,2 ,L ). 若级数 v n 收敛，
n1
n1
11
1
sn12p3pLnp
1 p 1 1 [ ( 1 2 1 p 1 ) ( 2 1 p 1 3 1 p 1 ) L ( ( n 1 1 ) p 1 n 1 p 1 ) ]
1
1
1p
1 p1(1np1)
1
p1
p1
0 sn
p p1
于是当p>1时，级数
1 np
n1
收敛。
=
1 a
a(n1)
a 1 时，级数收敛； a 1 时，级数发散；
a 1 时，limln(n2)limln(n2) 级数发散。
n (a1)n n (11)n
n
n
（2）
an1(n1)! n!
lim
n
(n1)n1
annn
lima
n
n n
1
n
a e
ae 时，级数收敛； ae 时，级数发散；
xn
(1
（2）
4(1)n 5 un 3nn 3n
级数
5 3n
n1
收敛.
由比较审敛法知，
n1
4
(1)n 3n n
收敛.
定理10.5（积分审敛法）设函数f(x)在[1, ] 上连续非
负且单调减少，记 un f(n), 则级数 u n 和反常积分
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1 而级数 是发散的。 n 1 n 1 所以级数 ln 1 发散。 n n 1
2018年6月26日星期二 14
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分析： 本例主要介绍比较审敛法的极限形式的应用。
解法2：（补充解法）
1 例4 判别级数 ln 1 的敛散性. n n 1
10
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1 例3 判别级数 的敛散性. n 1 ( n 1)( n 4)
解法2: （补充解法——利用级数收敛的定义）
（转下页）
2018年6月26日星期二 11
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 3 6 4 7 5 8 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n 1 n 1 n 2 1 1 1 1 n n 3 n 1 n 4 1 1 1 1 1 1 1 n 13 即 sn 3 2 3 4 n 2 n 3 n 4 36
2018年6月26日星期二 20
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定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 数, 且 lim n u n , 则
为正项级
(1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
说明 : （证明略） 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
1 是收敛的． n n 1 3 1
（自学课本 例1）
2018年6月26日星期二
5
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1 1 1 例2 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
解法1: （课本解法）
1）若 p 1, 因为对一切
1 而调和级数 , n
12 22 32 级数 2 3 2 2 2
2018年6月26日星期二
1 1 2
n2 n 2
19
收敛。
（自学课本 例6）
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例 7（补充题）判别级数 1 1 1 1 2 3 4 5 6 的敛散性.
1 解：令 un ，则 (2n 1) 2n
定理 1 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ”若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
收敛 , 则
收敛， 故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
3
单调递增,
也收敛.
2018年6月26日星期二
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切
是两个正项级数,
有
un vn , 则有
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
1 n n 解： （1）因为 lim un lim n n n 5
2 （2） ln n n 1 3
1 1 1 e 1 1 <1 lim n n 5 n 5
n
n
n2
1 1 所以由根值审敛法可知级数 1 收敛． n n 1 5n
1 (2n 1) 2n
un 1 (2n 1) 2n 1， lim lim n (2n 1)(2 n 2) n u n
比值审敛法此时失效． 1 1 1 2 ，而级数 2 收敛， 但注意到 (2n 1) 2n n n 1 n 1 所以级数 收敛． n 1 (2n 1) 2 n
1 1 1 1 1 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 2 2 3 n ( n 1) 1 n 1 1 p 1 (n 1) 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
问题是：要寻找一个这样的
vn 或un往往是比较困难的！
能否“通过级数自身的特点来判别其敛散性”呢？ 答案是肯定的！ 下面将介绍的比值审敛法和根值审敛法就是这样的方 法．
2018年6月26日星期二 17
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定理4 比值审敛法 ( D’ Alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 . （证明略）
2018年6月26日星期二 9
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1 例3 判别级数 的敛散性. n 1 ( n 1)( n 4)
解法1: （课本解法）
因为 0 而级数
1 1 2, (n 1)(n 4) n
是 的 p 级数， 它是收敛的． 也是收敛的．
由比较审敛法知级数
2018年6月26日星期二
1 所以级数 ln 1 发散。 n n 1
2018年6月26日星期二 15
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3 的敛散性. 例5 判别级数 n n 1 2 n 解： 因为
3 2 n n 1 n 1 n n 2 2
n 2 2 ln n n n （2）因为 un ln n ln n ，而当 n 时， 的极限为 0 ， 3 n n 3
n2
所以 lim u n lim
n n
2
n
3
ln n n
2 1 ， 因此所给级数发散．
22
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2018年6月26日星期二
1 1 时, p p , 故 k x
2018年6月26日星期二
8
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k 1 1 1 1 1 dx p 1 p p p 1 k 1 k k p 1 (k 1) k 1 1 考虑强级数 p 1 的部分和 p 1 n n 2 ( n 1) n 1 1 sn p 1 p 1 (k 1) k 1 k
n
收敛时， un 也收敛；
n 1
v
n 1
发散时， u n 也发散.
n 1
（证明略）
2018年6月26日星期二 13
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1 例4 判别级数 ln 1 的敛散性. n n 1
解法1：（课本解法）
1 ln 1 因为 lim n 1 n 1 n
例 6（补充题）判别级数
12 22 32 2 3 2 2 2 n2 n 2
的敛散性．
n2 解：令 un n ， 则 2 (n 1) 2 2 n 1 un 1 1 n 1 lim lim 2 2 lim n u n n 2 n n n 2n 所以根据比值审敛法可知，
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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2018年6月26日星期二
n 1 n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 vn 也发散 .
n 1 n 1
（证明略）
2018年6月26日星期二 4
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1 例 1（补充题）证明级数 n 是收敛的． n 1 3 1
1 1 1 证明： n n ，且 n 收敛 3 1 3 n 1 3
第十章
第二节 正项级数
（Series of Positive Terms ）
一、正项级数的定义
二、正项级数审敛法 三、小结与思考练习
2018年6月26日星期二
1
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一、正项级数定义
(Definition and of positive term series)
1. 什么叫正项级数？
若 un 0 , 则称
n
例如 , p – 级数
但
1 1 ( n ) un n n p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
n
21
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p
2018年6月26日星期二
例 8（课本例 7）
判别下列级数的敛散性．
n2
1 1 （1） n 1 ； n n 1 5
un 为正项级数 .
n 1
2. 研究正项级数的意义何在？
正项级数是最重要的一种数项级数 关于对正项级数敛散性的研究方法和结论， 是我们后续讨论一般项级数的基本研究方法和理 论依据．
2018年6月26日星期二 2
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二、正项级数审敛法
(Convergence Test for Series of Positive Term)
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1 1 1 例2 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
解法2：（补充解法）
1）若 p 1, 方法同“解法1”； 2) 若
因为当
k 1 1 dx p p k 1 k k k 1 1 1 1 p 1 dx p 1 p k 1 x p 1 (k 1) k
所以，
2018年6月26日星期二
收敛．
12