(北京专版)高考数学分项版解析专题15复数文
高考数学复习备战：最新真题解析—复数
高考数学真题解析—复数考向一 复数的概念及运算【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-=C. 1,3a b =-=-D. 1,3a b ==【答案】B【试题解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B. 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力． 常见的命题角度有：（1）求复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点. 【得分要点】 解复数问题方法：(1)理解复数的基本概念．(2)解答中熟练应用复数的运算法则化简.(3)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设()31i 2z -=，则z =（ ） A 2B 2C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则及模的运算即可求得答案. 【详解】由题意，3(1i)2i(1i)2(1i)-=--=-+，2i 12(1i)2-=-+，2||z = A. 2．（2022·全国·模拟预测）若复数z 满足()32i 3i z +（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模长与乘法除法运算求解可得42i 55z =-，再根据复数的几何意义分析即可 【详解】 因为()32i 3i z +，即()2i 3i z +，故()()()22i 242i 2i 2i 2i 55z -===-++-，所以在复平面内z 所对应的点为42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限．故选：D ．3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知复数211i 1iz =+-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求解复数z ，得到z ，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】()()()()()21i 211i 11311i i i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 2222z +-=+=+=++-=+-+-++-， 则31i 22z =-，在复平面上对应的点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D ．4．（2022·海南海口·二模）复数213i+的虚部为（ ） A ．35B ．15C ．15-D ．35【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则即可求解. 【详解】由已知得()()()213i 226i 13i 13i 13i 13i 1055--===-++-，则复数13i 55-的虚部为35，故选：D. 5．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知复数z 满足()i i 43i z -=+，则z =（ ） A ．25B ．3 C ．3D ．32【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z ，再利用共轭复数及模的意义求解作答. 【详解】 依题意，43ii iz +-=，则有(43i)(i)+i 34i i 33i i (i)z +-==-+=-⋅-，于是得33i z =+，所以223332z =+故选：D6．（2022·全国·模拟预测）已知i 32i z -=，i 为虚数单位，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．23i -+ D ．23i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的代数运算法则即可解出． 【详解】因为i 32i z -=，所以()232i i 32i 23i23i i i 1z ++-+====--．故选：B ． 7．（2022·青海·模拟预测（理））若2i21ix y -=+（x ，R y ∈，i 为虚数单位），则复数i x y +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法结合复数相等求出x ，y 即可求解作答. 【详解】因2i21i x y -=+，则有2i 22i x y y -=+，而,R x y ∈，有222x y y =⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-，所以复数i x y +在复平面内所对应的点(2,1)--位于第三象限. 故选：C8．（2022·广东茂名·二模）已知复数z 在复平面内对应的点为()11，，z 是z 的共轭复数，则1z=（ ） A ．11i 22-+B ．11i 22+C ．11i 22-D ．11i 22--【答案】B 【解析】 【分析】求出z ，再由复数的除法运算可得答案. 【详解】∵复数z 在复平面内对应的点为()11，，∴1i z =+，1i z =-，()()11i 1i 11i 1i 1i 222++===+-+z .故选：B ．9．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知a R ∈，若复数(i)(1i)z a =+-，复数z 的实部是4，则z 的虚部是（ ） A ．2i - B ．2-C ．2iD ．2【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再根据复数z 的实部是4求解. 【详解】解：()(i)(1i)11i =+-=++-z a a a ，因为复数z 的实部是4，所以14a +=，解得3a =，所以42i z =-，则z 的虚部是-2，故选：B10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=-，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ） A ．12i -+ B ．2i --C ．12i -±D ．2i -±【答案】C 【解析】 【分析】设出复数z 的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a -++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=±⎩，所以12i z =-±.故选：C 二、填空题11．（2022·上海闵行·二模）若i1im ++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数m =___________； 【答案】-1 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则化简得到()()()()()i 1i 11i 1i 1i 2m m m +-++-=+-，根据i1im ++为纯虚数，得到方程，求出1m =-，检验后得到答案. 【详解】()()()()()i 1i 11i 1i 1i 2m m m +-++-=+-，因为i1im ++为纯虚数，所以10m +=，解得：1m =-，此时ii 1im +=+，符合要求， 故答案为：-112．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________ 52【解析】 【分析】根据复数的乘除运算法则，化简得z ，进而根据共轭复数得到z ，根据模长公式即可求解. 【详解】由()1i 34i z +=-得()()3-4i 1-i 34i 33i-4i 417i 1i 2222z ---====--+,所以17i 22z =-+,故221752||=222z ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:522 13．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i 为虚数单位，复数z 满足11i 2z ≤++≤，则1i z --的最大值为_______. 【答案】32 【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足12d ≤≤，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数z 满足112z i ≤++≤，即()11i 2z ≤---≤ 即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足12d ≤≤ 设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值22||||222232AP CP =+=++= ，故答案为：3214．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b -=__________．【答案】96i + 【解析】 【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可. 【详解】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b -=+-=++++--=+ ；故答案为：96i + .15．（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①2i 2z z -=-；②22z =的复数z ，z =______． 【答案】()1i ±+ 【解析】 【分析】设i R z a b a b =+∈，，，根据模长公式得出1a b ==±，进而得出z . 【详解】设i R z a b a b =+∈，，，由条件①()()222222a b a b +-=-+a b =，故222221z a b a b =⇒+=⇒==±，()1i z =±+；故答案为：()1i ±+16．（2022·上海交大附中模拟预测）已知1z 、2C z ∈，且12i z =+，234z i =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________．【答案】15i -+##5i 1- 【解析】 【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.。
2024全国高考真题数学汇编：复数的四则运算
2024全国高考真题数学汇编复数的四则运算一、单选题1．（2024全国高考真题）若1i 1z z ，则z （）A ．1i B ．1i C ．1iD ．1i 2．（2024全国高考真题）设z ，则z z （）A ．2 BC ．D ．23．（2024北京高考真题）已知1i i z ，则z （）．A ．1i B ．1i C ．1i D ．1i4．（2024全国高考真题）若5i z ，则 i z z （）A ．10iB ．2iC ．10D ．2二、填空题5．（2024天津高考真题）已知i 是虚数单位，复数 i 2i ．6．（2024上海高考真题）已知虚数z ，其实部为1，且 2z m m zR ，则实数m 为．参考答案1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z ，所以111i i z .故选：C.2．D 【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z ，故22i 2z z .故选：D3．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得 i 1i i 1z .故选：C.4．A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z ，则 i 10i z z .故选：A5．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】i 2i 527 .故答案为：7.6．2【分析】设1i,R z b b 且0b ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设1i z b ，b R 且0b .则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b，m R ，22323101b m b b b b，解得2m ，故答案为：2.。
高考真题：复数
高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设 的实部与虚部相等，其中 为实数，则 （ ）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．B ．C ．D ． 213．若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是A ．B ．C ．D ．14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ． （–∞，1） B ． （–∞，–1）C ． （1，+∞）D ． （–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ．C ．D ． 17．( )A ．B ．C ．D ．18．（2017新课标全国卷II 文科）A ．B ．C ．D ．19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限20．设有下面四个命题：若复数 满足 ，则 ；：若复数 满足 ，则 ；：若复数 满足 ，则 ；：若复数 ，则 .其中的真命题为A ．B ．C ．D ．21．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1− )C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i )(i )a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】 试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A. 5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ . 视频 10．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析： ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得 ，由复数求模的法则可得，则 .故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6). 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设 ，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得： ，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)＝i,＝－i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意 ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭复数为 .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令 ，则由得 ，所以 ，故 正确；当 时，因为 ，而 知，故 不正确；当 时，满足 ，但 ，故 不正确；对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】 试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四WORD 格式-专业学习资料-可编辑学习资料分享 则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。
高考数学北师大理一轮复习 第章 推理与证明算法复数 归纳与类比 文档
1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋)．(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A ．28B ．76C ．123D ．199 答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.2．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案 D解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 3．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________. 答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)4．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾； 若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论，设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16， 而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为__________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1000 解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1100－100＝1000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．(1)n级分形图中共有________条线段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．答案(1)3×2n－3(2)9－9×⎝⎛⎭⎫23n解析(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3) (n∈N＋)．(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为b n＝3×⎝⎛⎭⎫23n－1(n∈N＋)，∴n级分形图中所有线段长度之和为S n＝3×⎝⎛⎭⎫230＋3×⎝⎛⎭⎫231＋…＋3×⎝⎛⎭⎫23n－1＝3×1－⎝⎛⎭⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎫23n.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 (1)183 (2)C解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N ＋)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N ＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6(n －1)2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________. 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例6 已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称．(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的前提，一般地，若前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为前提．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．10．高考中的合情推理问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()A．A＝N＋，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}C ．A ＝{x |0<x <1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2014＝⎝⎛⎭⎫20142×5⎝⎛⎭⎫20142×5＋12＝a 5035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2. (2)对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N ＋，所以A ＝N ＋，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B＝R 是“保序同构”的，应排除C.选D. 答案 (1)①5035 ②5k (5k －1)2(2)D温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.2．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1 答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 3．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n 答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2为a n 与a n ＋1(n ∈N ＋)的积的个位数，则a 2017等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 D解析 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，a 13＝2，a 14＝2.可见从第3项开始，{a n }为周期为6的循环数列，根据规律得a 2017＝2.6．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1， x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝(3x 1＋3)＋(3x 2＋3)(3x 1＋3)(3x 2＋3)＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3(3x 1＋3x 2)＋3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2)＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2＋23)＝33. 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC平面ACD ，AD 平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD . ∵AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．12.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r 2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r 2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 2答案 B解析 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d ，选B.13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案 VO －P 1Q 1R 1VO －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为VO －P 1Q 1R 1VO －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f (12013)＋f (22013)＋f (32013)＋f (42013)＋…＋f (20122013)． 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)， 所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12013)＋f (20122013)＝2， f (22013)＋f (20112013)＝2， f (32013)＋f (20102013)＝2， …f (20122013)＋f (12013)＝2.2 2013)＋f(32013)＋f(42013)＋…＋f(20122013)＝12×2×2012＝2012.所以f(12013)＋f(。
(完整版)高中数学复数
第1章：复数与复变函数 §1 复数1．复数域形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。
实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。
记为z x Re =， z y Im =虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。
复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。
设，复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法：除法：相等：当且仅当复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。
解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z 2．复平面一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。
于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。
如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角向量的长度称为复数的模或绝对值，即：易知：(1)(2)(3)(4) 点与点的距离为实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满足称为复数的辐角，记为：。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之复数
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题02复数本专题考查的知识点为：复数，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：复数的几何意义，复数的四则混合运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以复数的四则混合运算为重点较佳.1．【2020年北京卷02】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A．1+2i B．−2+i C．1−2i D．−2−i2．【2019年北京理科01】已知复数z＝2+i，则z•z=（）A．√3B．√5C．3D．53．【2018年北京理科02】在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．【2017年北京理科02】若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）5．【2015年北京理科01】复数i（2﹣i）＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i6．【2013年北京理科02】在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．【2012年北京理科03】设a，b∈R．“a＝0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．【2011年北京理科02】复数i−21+2i=（）A．i B．﹣i C．−45−35i D．−45+35i9．【2016年北京理科09】设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝．10．【2014年北京理科09】复数（1+i1−i）2＝．1．在复平面内，复数1的共轭复数对应的点位于1−iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】复数z=1+i的模为（）1−iA．1B．2C．√2D．√223．3+i＝（）1+iA．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i4．【北京市东城汇文中学2017-2018学年高三上期中】若复数z=2，其中i为虚数单位，则z̅=1−iA．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i5．【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练】若复数z满足2z+z̅=3−i，其中i为虚数单位，则|z |=（）A．2B．√3C．√2D．36．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（）A．z̅=−a+iB．|z|≥1C．z一定不是纯虚数D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限7．【2020届北京市西城区高三第一次模拟】若复数z=(3−i)(1+i)，则|z|=（）A．2√2B．2√5C．√10D．208．复数2+i的共轭复数是（）A．2−i B．−2−i C．i−2D．i+29．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三高考信息卷（一）】在复平面内与复数z=2i所对应的点关1+i于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．−1−i B．1−i C．1+i D．−1+i10．【2019届北京市清华大学附属中学高三第二学期入学检测】已知复数z满足(1+i)z=|√3+i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1−i B．1+i C．12−12i D．12+12i11．已知i为虚数单位，复数11−i的虚部是（）.A．12B．−12C．12iD．−12i12．【北京市第四中学2018届高三第一次模拟考试（一模）】已知复数z满足(1−i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．若复数z=(x2−1)+(x−1)i为纯虚数，则实数x的值为（）A．1B．0C．−1D．−1或114．【北京市东城区2018-2019学年度第二学期（4月）高三综合练】在复平面内，复数(2−i)z对应的点位于第二象限，则复数z可取（）A．2B．-1C．i D．2+i15．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）】在复平面内，复数z=1+2ii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．在复平面内，复数2−ii对应的点位于（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限17．已知复数z在复平面上对应的点为(1，−1)，则A．z+1是实数B．z+1是纯虚数C．z+i是实数D．z+i是纯虚数18．【北京市第四中学2019届高三高考调研】复数z=1−i1+i的虚部是（）A．i B．1C．−i D．−119．复数3−i1−i等于（）A ．B．1−2i C．2+i D．2−i20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知复数z满足z(1−i)2=1+i(i为虚数单位)，则z̅=( )A．−12+12i B．−12−12i C．12+12i D．12−12i21．【2020届北京市高三高考模拟】若复数z满足z=(1−2i)⋅i，则复平面内z̅对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．【北京师范大学附属中学2019届高三高考模拟（三）】已知复数z满足z(1+i)=|−1+√3i|，则复数z 的共轭复数为（）A．−1+i B．−1−i C．1+i D．1−i23．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】在复平面内，复数i(i−1)对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件25．【北京市海淀八模2019届高三理科数学模拟】已知复数z在复平面内对应点是(1,−2)，i为虚数单位，则z+2z−1=（）A．−1−i B．1+i C．1−32i D．1+32i26．【北京市丰台12中2017-2018学年高三上学期11月月考】复数1+2i2−i=（）．A．i B．1+i C．−i D．1−i27．【北京市门头沟区2019届高三3月综合练习】复数z满足z=2i1−i，那么|z|是() A．√2B．2√2C．2D．√328．【北京市2020届高考数学预测】设复数z满足1+3iz=z，则|z|=（）A．√1010B．√55C．√5D．√1029．【北京市通州区2020届高考一模】已知复数z=i(2+i)（i是虚数单位），则|z|=（）A．1B．2C．√5D．330．【北京市第五十中学2019—2020学年度高一第二学期期中】复数10i1−2i=（）A．-4+2i B．4-2i C．2-4i D．2+4i1．【2020年北京卷02】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i ⋅z =（）． A ．1+2i B ．−2+i C ．1−2i D ．−2−i【答案】B 【解析】由题意得z =1+2i ，∴iz =i −2. 故选：B.2．【2019年北京理科01】已知复数z ＝2+i ，则z •z =（ ） A ．√3 B ．√5 C ．3 D ．5【答案】解：∵z ＝2+i ， ∴z •z =|z|2=(√22+12)2=5． 故选：D ．3．【2018年北京理科02】在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】解：复数11−i=1+i (1−i)(1+i)=12+12i ，共轭复数对应点的坐标（12，−12）在第四象限． 故选：D ．4．【2017年北京理科02】若复数（1﹣i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，+∞）【答案】解：复数（1﹣i ）（a +i ）＝a +1+（1﹣a ）i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴{a +1＜01−a ＞0，解得a ＜﹣1． 则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B ．5．【2015年北京理科01】复数i （2﹣i ）＝（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i【答案】解：原式＝2i ﹣i 2＝2i ﹣（﹣1）＝1+2i ； 故选：A ．6．【2013年北京理科02】在复平面内，复数（2﹣i ）2对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】解：复数（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．7．【2012年北京理科03】设a，b∈R．“a＝0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】解：因为a，b∈R．“a＝O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R．“a＝O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选：B．8．【2011年北京理科02】复数i−21+2i=（）A．i B．﹣i C．−45−35i D．−45+35i【答案】解：i−21+2i =(i−2)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=i−2+2+4i5=i故选：A．9．【2016年北京理科09】设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝．【答案】解：（1+i）（a+i）＝a﹣1+（a+1）i，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a+1＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣110．【2014年北京理科09】复数（1+i1−i）2＝．【答案】解：（1+i1−i ）2=[(1+i)2(1−i)(1+i)]2=(2i2)2=−1．故答案为：﹣1．1．在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】1 1−i =1+i(1−i)(1+i)=12+12i的共轭复数为12−12i对应点为(12,−12)，在第四象限，故选D.2．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】复数z=1+i1−i的模为（）A．1B．2C．√2D．√22【答案】A【解析】z=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=i.模长为1.故选：A3．3+i1+i＝（）A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 【答案】D【解析】由题意3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，故选：D.4．【北京市东城汇文中学2017-2018学年高三上期中】若复数z=21−i，其中i为虚数单位，则z̅= A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i【答案】B【解析】z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i,∴z̅=1−i，选B.5．【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练】若复数z满足2z+z̅=3−i，其中i为虚数单位，则|z |=（）A．2B．√3C．√2D．3【答案】C【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R)，则2z+z̅=2x+2yi+x−yi=3x+yi=3−i，则x=1,y=−1，所以z=1−i，所以|z|=√2，故选C.6．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（）A．z̅=−a+iB．|z|≥1C．z一定不是纯虚数D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限【答案】B【解析】解：∵z=a+i(a∈R)，∴z̅=a−i，故A错误；|z|=√a2+1⩾1，故B正确；当a=0时，z为纯虚数，故C错误；∵虚部为1大于0，∴在复平面上，z对应的点不可能在第三象限，故D错误．故选：B．7．【2020届北京市西城区高三第一次模拟】若复数z=(3−i)(1+i)，则|z|=（）A．2√2B．2√5C．√10D．20【答案】B【解析】z=(3−i)(1+i)=4+2i，故|z|=√20=2√5.故选：B.8．复数2+i的共轭复数是（）A．2−i B．−2−i C．i−2D．i+2【答案】A【解析】根据共轭复数的定义可得复数2+i的共轭复数是2−i.故选A.9．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三高考信息卷（一）】在复平面内与复数z=2i1+i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．−1−i B．1−i C．1+i D．−1+i【答案】D【解析】由题z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+22=1+i，在复平面对应的点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为−1+i.故选：D10．【2019届北京市清华大学附属中学高三第二学期入学检测】已知复数z满足(1+i)z=|√3+i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1−i B．1+i C．12−12i D．12+12i【答案】A 【解析】因为z=|√3+i|1+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以应选答案A．11．已知i为虚数单位，复数11−i的虚部是（）.A．12B．−12C．12iD．−12i【答案】A 【解析】1 1−i =1+i(1−i)(1+i)=12+12i，则其虚部为12，本题选择A选项.12．【北京市第四中学2018届高三第一次模拟考试（一模）】已知复数z满足(1−i)z=2+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】∵(1−i)z =2+i ，∴(1−i )(1+i )z =(2+i )(1+i )，2z =1+3i ,z =12+32i ,z̅=12−32i ,z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为(12,−32)，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 13．若复数z =(x 2−1)+(x −1)i 为纯虚数，则实数x 的值为（） A ．1 B ．0 C ．−1 D ．−1或1【答案】C 【解析】解：因为z =(x 2−1)+(x −1)i ∴x 2−1=0且x-1≠0故有x=-1选C14．【北京市东城区2018-2019学年度第二学期（4月）高三综合练】在复平面内，复数(2−i)z 对应的点位于第二象限，则复数z 可取（） A ．2 B ．-1 C ．i D ．2+i【答案】B 【解析】不妨设z =a +bi(a,b ∈R)，则(2−i)z =(2−i)(a +bi)=(2a +b)+(2b −a)i ， 结合题意可知：2a +b <0,2b −a >0，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：2a +b =4,2b −a =−2，不合题意； 对于选项B ：2a +b =−2,2b −a =1，符合题意； 对于选项C ：2a +b =1,2b −a =2，不合题意； 对于选项D ：2a +b =5,2b −a =0，不合题意； 故选B .15．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）】在复平面内，复数z =1+2i i对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 由题意可得：z =1+2i i=i+2i 2i 2=i−2−1=2−i ，则复数z 对应的点为(2,−1)，位于第四象限. 本题选择D 选项.16．在复平面内，复数2−ii对应的点位于（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】2−i i =(2−i)(−i)−i=−1−2i，2−ii对应点的坐标为(−1,−2)，位于第三象限.故选：C.17．已知复数z在复平面上对应的点为(1，−1)，则A．z+1是实数B．z+1是纯虚数C．z+i是实数D．z+i是纯虚数【答案】C【解析】由题意得复数z=1−i，所以z+1=2−i，不是实数，所以选项A错误；z+1也不是纯虚数，所以选项B错误；z+i=1是实数，所以选项C正确；z+i不是纯虚数，所以选项D错误.故选C．18．【北京市第四中学2019届高三高考调研】复数z=1−i1+i的虚部是（）A．i B．1C．−i D．−1【答案】D【解析】∵复数z=1−i1+i =(1−i)21−i2=1−2i−11+1=﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选D．19．复数3−i1−i等于（）A ．B．1−2i C．2+i D．2−i 【答案】C【解析】因为3−i1−i =(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i2=2+i,故选C.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知复数z满足z(1−i)2=1+i(i为虚数单位)，则z̅=( )A．−12+12i B．−12−12i C．12+12i D．12−12i【答案】B 【解析】由于z(1−i)2=1+i，因此z=1+i(1−i)2=1+i−2i=−1+i2，因此z̅=−12−12i，故选B.21．【2020届北京市高三高考模拟】若复数z满足z=(1−2i)⋅i，则复平面内z̅对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】解：z=(1−2i)⋅i=2+i，z̅＝2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．22．【北京师范大学附属中学2019届高三高考模拟（三）】已知复数z满足z(1+i)=|−1+√3i|，则复数z 的共轭复数为（）A．−1+i B．−1−i C．1+i D．1−i【答案】C【解析】由z(1+i)=|−1+√3i|=√(−1)2+(√3)2=2，得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴z̅=1+i．故选C．23．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】在复平面内，复数i(i−1)对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】试题分析：∵i(i−1)=i2−i=−1−i，在复平面内对应的点的坐标为(−1,−1)，位于第三象限，故选C. 24．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为(a+i)2＝a2−1+2ai，当a=1时，(a+i)2＝2i，是纯虚数，当(a+i)2为纯虚数时，a=±1，故选A25．【北京市海淀八模2019届高三理科数学模拟】已知复数z在复平面内对应点是(1,−2)，i为虚数单位，则z+2z−1=（）A．−1−i B．1+i C．1−32i D．1+32i【答案】D 【解析】z+2 z−1=3−2i−2i=1+32i，选D.26．【北京市丰台12中2017-2018学年高三上学期11月月考】复数1+2i2−i=（）．A．i B．1+i C．−i D．1−i 【答案】A【解析】1+2i 2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+i+4i−25=i，故选A.27．【北京市门头沟区2019届高三3月综合练习】复数z满足z=2i1−i，那么|z|是() A．√2B．2√2C．2D．√3【答案】A【解析】∵z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，∴|z|=√2．故选A．28．【北京市2020届高考数学预测】设复数z满足1+3iz=z，则|z|=（）A．√1010B．√55C．√5D．√10【答案】A 【解析】1+3iz=z，z=11−3i =1+3i10=110+310i，|z|=√1010.故选:A.29．【北京市通州区2020届高考一模】已知复数z=i(2+i)（i是虚数单位），则|z|=（）A．1B．2C．√5D．3【答案】C【解析】因为复数z=i(2+i)=−1+2i，所以|z|=√(−1)2+22=√5，故选：C.30．【北京市第五十中学2019—2020学年度高一第二学期期中】复数10i1−2i=（）A．-4+2i B．4-2i C．2-4i D．2+4i【答案】A【解析】由已知得，10i1−2i =10i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−20+10i5=−4+2i．。
高考复数专题及答案doc
一、复数选择题1．设复数1i z i=+，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12i - 2．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i + 3．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3 C ．5 D ．6．设()2211z i i =+++，则||z =（ ）A B ．1 C ．2 D 7．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1BCD ．58．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2 C ．10 D 10．122i i-=+（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．-i 11．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BCD ．3 12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2 D13．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D14．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限15．题目文件丢失！二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-18．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 19．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为20．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =21．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件22．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =23．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称24．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥25．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限26．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =28．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于129．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1 B ．4- C ．0 D ．530．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．A【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果.【详解】，的虚部为.故选：.解析：A【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果.【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12. 故选：A .2．C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C 3．B【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.4．D【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，故选：D.解析：D【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.5．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A6．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．7．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.8．C【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．9．D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.10．D【分析】利用复数的除法求解.【详解】.故选：D解析：D【分析】利用复数的除法求解.【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D11．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】 据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.12．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 13．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 14．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A. 解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.15．无二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC 【分析】 根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 20．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.21．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.22．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题23．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．24．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 25．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 29．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
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一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 2．在复平面内，复数534ii-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 3．已知复数1=-iz i，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．12B C D ．24．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6BC ．5D 7．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ）A ．－1B ．1C ．－iD ．i8．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35iC ．35D ．65-9．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 10．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．511．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D12．若复数z 满足()322iz i i-+=+，则复数z 的虚部为（ ）A ．35B ．35i -C ．35D ．35i13．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知复数z 的共轭复数212iz i-=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -15．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ） A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=18．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 19．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-20．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ） A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -21．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-22．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =23．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为24．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =25．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =26．设复数z 满足1z iz+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =27．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 28．复数z 满足233232iz i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =29．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 30．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解.【详解】，.故选：B.解析：B【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解.【详解】2z i =-，()()()()12111313 222555i ii i ii z i i i+++++∴====+--+.故选：B.2．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可.【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i iii i i⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534ii-（i为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：D 3．B先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于， 则. 故选：B解析：B 【分析】先利用复数的除法运算将1=-iz i化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B4．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限 故选：B5．C 【分析】根据复数的几何意义得． 【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴， ∴． 故选：C ．【分析】根据复数的几何意义得,a b ． 【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=． 故选：C ．6．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案． 【详解】 ， ， 所以，， 故选：C.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案． 【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =， 故选：C.7．B 【分析】 ，然后算出即可. 【详解】由题意，则复数的虚部为1 故选：B解析：B 【分析】1iz i -+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部． 【详解】 因为，所以复数z 的虚部是． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部． 【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．9．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.10．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．11．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．12．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.13．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点 【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点 【详解】 因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D14．A 【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部. 【详解】 ，所以，则的虚部为. 故选：A解析：A 【分析】先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-， 所以zi ，则z 的虚部为1.故选：A15．C 【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】 由题意，，∴，对应点，在第三象限． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论． 【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限．故选：C ．二、多选题 16．AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD18．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 19．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．20．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.21．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.22．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误； 解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误； 对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 23．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 24．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.25．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】122z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.26．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.27．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.28．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.29．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】 (1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误，复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.30．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确； 当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．。
【备战2019】(北京版)高考数学分项汇编 专题15 复数(含解析)文
专题 15 复数
1. 【20180 高考北京文第 2 题】在复平面内，复数 6＋5i， －2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中 点，则点 C 对应的复数是( ) A．4＋8i C．2＋4i B．8＋2i D．4＋i
10i 2. 【2018 高考北 京文第 2 题】在复平面内，复 数 3 i 对应的点的坐标为(
金截克持队希西和目就毫乐强双奇题大腾五然为门迪他其钱的先从思不是翻击曼而马拉蒙以了胜刺柏生纷斯这尔有里终赛两男因在我诉牧级承给势却球意也还恭败问皇组很置牙又者怕较结出止过由拳一薪并到负尼杀最狂前束没上摩联举自该场线开人姜听阿记格都此伯续着后比系列个来冠说屠气认触A变报战己极好能部1法已盛或被扎只卫嗽洲清3周员中样脸罗族之愣对萨要明原进力镇赫死像成付泄森压权D口冷标皱么每于席排查难齐初买反们利奥仁小养张去更季教阵可段媒刚伦无把果继那罚红搡表控佛议复退受分伤你练节耸第宴踏欧神绝军手热座择丹哪会架下扫符轮伏C傲回狼颜令逼非时道视咒行距应当加再今憾抹外冲须迹严愈责黑远名客冒2主博告八厅埃殊况做虎耿努决林岁打赔万朵实款月支汰裁定随羞修放论轻现完忙命竟惊业亚如及关巴4纳叹创情显事掌动愉作提粗:泾爽指减您面补话老取乎树使淡豪访迷国待谨采等界抢地点二同恶号工状心它用内观色稀直0避但跟禁次输些推欢身式几甲澜怎兰约追年真世水感签特夺多四凳连托范吗谴运经近全合虽证凭胆挑幻基够各暴重否正让幕毡始什拼笑激麻斗常堪脚体间另怒向超需B千替荷将子图才恢郁群血市调钟围望趣午均苦俱仍十操看任致悬闷休英位吃衡乱判讽痛想除尤容化奖拔勒威哨仅落辅本方踝接太率何娥携德转候震汉平语许谁读声起闻积象通切吭助瓦害日左横楚充永家梦属谱疼偶捍板攻长造惨理衅底财殴守键松新偏俯执狠三响箭布得活快愤烧评帮诀背遗息相亡仲步算犯撇根解拜发足咧友颓喜贵垫肉慎规阶跃侵信谙揍刻班握元拨忆赢扮引管烈索阳据字依儿知佳按塔习纵零射彩章少量种脱嫦朋灵文际件走急模收耳坎波伙腩角9贾空淋突皮所汗防未官整维嘘深渭腕肩宣质锋倒达印懂辑价鉴献佩毁至龄司请熬惩般易针辱诺咳干头必虑演砰效满七差六敬痊届肯黄僻圆盯呼锁弱帅网移辈祝觉兴参赞唇略屎公住白米捷恰凶宽野细带处育幸悟术宕逻浩8简褒猜注错办则池称句呵煽抓备选杯录乙侯抛眉刀眼程且鱼5务机吼探低嗯制欲测降遏台期改摆踹她安掉便留胳耍畏慢叫女腿懑译剩愿故纯骂功电专高滕牌6百啊卜忠早瘾立掏断局即毕梅环料涯煎山边星杂拦坑韧病庆靠单片影保消型7谋狗展袒婊精学垃混闹刁性乌良危敌耻兵求天惯晋括建似牢颗丢智史限隆粹代妄历踩轰入夫缓丰抉彬咄跳站嘴怂首划风末砸麦音坐领赌默铲亲珍益攫示别尊亨潮烦魔匆嫌漓跌扭痕包潜额吹鞋尽险爱美购霍铁戒伊斥挥恨蛋夸言贬城吉卢著誉骚态库圾九温普既缩争巨劲费钉挣俑失产右衣喊王传狈坏刮材膊讯爆椅陷遇离职忘确缺滚榜释居富淘艳设阔绩照紧恿抬裂见喷试兽狡久例拖圈堵侩停路恼嘈猾坛搏夜弄考耶义骄度团仇阻耐蛮甚困荣臣素免值临
北京市高考数学分项精华版 专题15 复数(含解析)
【备战2015】（十年高考）北京市高考数学分项精华版 专题15 复数（含解析）
【2006高考北京理第1题】在复平面内，复数1i i +对应的点位于（ ） （A ）第一象限
（B ）第二象限 （C ）第三象限
（D ）第四象限 【答案】D 【解析】1i i +111
i i i （＋）＝＝－－故选D 2. 【2009高考北京理第1题】在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3. 【2011高考北京理第2题】复数
i 212i -=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55
-+
4. 【2012高考北京理第3题】设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 【2013高考北京理第2题】在复平面内，复数(2－i)2
对应的点位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6. 【2005高考北京理第9题】若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为 .
7. 【2007高考北京理第9题】22(1)i =+ ．
8. 【2008高考北京理第9题】已知2
()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．
9. 【2010高考北京理第9题】在复平面内，复数2i 1i
-对应的点的坐标为__________．
10. 【2014高考北京理第9题】复数21()1i i
+=- .。
2022年全国高考数学北京卷答案解析
2022年全国高考数学北京卷答案解析北京卷着重基础以及数学能力的结合,突出对学生素养的考查。
试卷整体难度、区分度合理,对后续学生的复习有指导意义。
下面是小编为大家整理的关于2022年全国高考数学北京卷答案解析，如果喜欢可以分享给身边的朋友喔!2022年全国高考数学北京卷答案解析搞定数学复习方法复习数学时，要制定好计划，不但要有本学期大的规划，还要有每月、每周、每天的小计划，计划要与老师的复习计划吻合，不能相互冲突，如按照老师的复习进度，今天复习到什么知识点，就应该在今天之内掌握该知识点，加深对该知识点的理解，研究该知识点考查的不同侧面、不同角度。
在每天的复习计划里，要留有一定的时间看课本，看笔记，回顾过去知识点，思考老师当天讲了什么知识，归纳当天所学的知识。
可以说，每天的习题可以少做，但这些归纳、反思、回顾是必不可少的。
望你在制定计划时注意。
做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。
学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。
因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。
也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。
高中数学考试答题技巧具体方法1：调理大脑思绪，提前进入数考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
高考数学分项版解析 专题15 复数 文
专题15 复数 文 1. 【2010高考北京文第2题】在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】试题分析：由题意知A (6,5)，B (－2,3)，故C (2,4)，则点C 对应的复数为2＋4i.2. 【2012高考北京文第2题】在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)【答案】A3. 【2013高考北京文第4题】在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】试题分析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A.4. 【2011高考北京文第2题】复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+5. 【2014高考北京文第9题】若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .【答案】2【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.考点：本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.6. 【2015高考北京，文9】复数()1i i +的实部为 ．【答案】1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.【考点定位】复数的乘法运算、实部.7. 【2016高考北京文数】复数122i i+=-（） A.i B.1i + C.i - D.1i -【答案】A考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化。
2022年新高考北京卷数学高考真题(解析版)
2022年新高考北京卷数学高考真题一、单选题1．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--U C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--U 【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--U ð，故选：D ．2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ）A ．1B ．5C ．7D ．253．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪上单调递增6．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8．若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-9．已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】在底面上的投影为O ，连接BO ，则23623⨯⨯=，故3612PO =-=10．在ABC V 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA u u u r ，PB u u u r，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，二、填空题11．函数1()f x x=+的定义域是_________．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==L ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题14．在ABC V 中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，233⨯．以上16．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、（含950m乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.17．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．18．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈L ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a L 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<L ，求证：7k ≥．【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++<L 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【详解】（1）21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．四、双空题20．若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 0（答案不唯一） 1【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，a<0不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-， 解得 01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1。
高考数学压轴专题北京备战高考《复数》单元汇编及答案
新高考数学《复数》专题解析一、选择题1．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．设i 为虚数单位，321i z i =+-，则||z =（ ）A ．1B C D ．2【答案】D【解析】【分析】计算出z ，进而计算z 即可.【详解】 ()()()3133313222,111222i i i i i z i i i ⋅+-=+=+=+=+--+2z ∴==. 【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C ．5D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.4．已知复数z 满足()13i z i +=+，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i -D ．1122i + 【答案】A【解析】因为|3+|2(1)1(1)(1)i i z i i i -===-+-，所以应选答案A ．5．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi6．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m=-+++-，若z 为负实数，则m 的取值集合为（ ）A ．{}0B ．{}8C ．()2,4-D ．()4,2-【答案】B【解析】由题设可得2280{280m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。
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专题15 复数 文
1. 【2010高考北京文第2题】在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知A (6,5)，B (－2,3)，故C (2,4)，则点C 对应的复数为2＋4i.
2. 【2012高考北京文第2题】在复平面内，复数
10i 3i
+对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1)
C ．(－1,3)
D ．(3，－1)
【答案】A
3. 【2013高考北京文第4题】在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A.
4. 【2011高考北京文第2题】复数212i i
-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -
- (D)4355i -+
5. 【2014高考北京文第9题】若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .
【答案】2
【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.
考点：本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.
6. 【2015高考北京，文9】复数()1i i +的实部为 ．
【答案】1-
【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.
【考点定位】复数的乘法运算、实部.
7. 【2016高考北京文数】复数122i i
+=-（） A.i B.1i + C.i - D.1i -
【答案】A
考点：复数运算
【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化。