2017年秋季新版湘教版八年级数学上学期2.4、线段的垂直平分线课件3
湘教版八年级数学课件-线段的垂直平分线
(B) A
l
B (A)
結論
由此得出線段垂直平分線的性質定理：
線段垂直平分線上的點到線段兩端 的距離相等.
動腦筋
我們知道線段垂直平分線上的點到線段兩 端的距離相等，反過來，如果已知一點P到線段 AB兩端的距離PA與PB相等，那麼點P線上段AB 的垂直平分線上嗎？
（1）當點P線上段AB上時， 因為PA=PB， 所以點P為線段AB的中點， 顯然此時點P線上段AB的垂直平分線上.
由於兩點確定一條直線， 因此我們可以通過在已知直線 上作線段的垂直平分線來找出 垂線上的另一點，從而確定已 知直線的垂線.
練習
用尺規完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要 求寫出作法）.
1. 如圖，在直線l上求作一點P，使PA= PB.
2. 如圖，作出△ABC的BC邊上的高.
中考 試題
例
如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的C，D是線段AB外的兩點，且 AC =BC，AD=BD，AB與CD相交於點O.
求證：AO=BO.
證明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 點C和點D線上段AB的垂直平分線上， ∴ CD為線段AB的垂直平分線.
又 AB與CD相交於點O
∴ AO=BO.
做一做
（2）當點P線上段AB外時，如下圖所示. 因為PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 過頂點P作PC⊥AB，垂足為點C， 從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線. 即 PC⊥AB，且AC=BC.
因此直線PC是線段AB的垂直平分線， 此時點P也線上段AB的垂直平分線上.
結論
由此得到線段垂直平分線的性質定理的逆定理： 到線段兩端距離相等的點線上段的垂
本課節內容 2.4
線段的垂直平分線
【精品教学课件】湘教版八年级数学上册 2.4 线段的垂直平分线
教学课件
数学 八年级上册 湘教版
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第2章 三角形
2.4 线段的垂直平分线
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指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
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怎样做出一条线段的垂直平分线？
1. 分别以点A、B为圆心，大于 1 AB 2
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4、已知如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足， DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长为_______。
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5、公路l同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停 靠站C，使停靠站到A、B两村距离相等，你如何确定停靠 站C的位置D中，直线AC垂直平分BD于 点O.
（1）图中有多少对全等三 角形，请把它们写出来； （2）任选（1）中一对全等 三角形加以证明.
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1、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论
一定成立的是（ ）
A．ED = CD B．∠DAC = ∠B C．∠C ＞2∠B D．∠B +∠ADE=90°
证明线段相等的新方法：利用线段垂 直平分线的性质。 线段垂直平分线上的点与线段两端的 距离相等。 与线段两端距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上。 折纸 过中点作垂线 尺规作图法
线段垂直平分线上的点与线段两端的 距离相等。
你能写出上述定理的逆命题吗？它是真 命题吗？
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直 平分线上。
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已知：如图，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高， DE＝DF。求证：AD垂直平分EF。
湘教初中数学八年级上册《2.4线段的垂直平分线》课堂教学课件 (3)
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小结
1. 线段的垂直平分线的性质和判定定理 是什么？
2、用尺规作线段垂直平分线的方法和作用。
思考题：
如图，在一条公路的同一侧有两个工厂，现想在公路
上建一个中转站，要使它到两个工厂的距离相等，那
么中转站应设在何处？
A
B
作业：P72 A 4、5 B 6、7
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E ·B
D
动脑筋 如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？
(1)当点P在直线l上.
这一步的目的是什么？
①在直线l 上点P 的两旁分别截 取线段PA， PB，使PA= PB；
C
②的分长别为以半径A，画B弧为，圆两心弧以相大交于于12点ACB；
③过点C， P作直线CP， 则直线CP为所求作的直线.
A
P· B l
做一做
作法
为什么？
①为分 半别 径以 画点 弧，A，两B弧为相圆交心于，点以C大和于点12D；AB 的长
②过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB
的垂直平分线.
想一想：如何找线段的中点？
C
因为线段AB的垂直平分线CD A·
与线段AB的交点E就是线段AB 的
中点， 所以可以用这种方法作出线
段的中点.
大于P到l得距离？
C
1、把线段AB四等分。 A
2、A、B、C三工厂共同协商修建一个
B
·A
供水站，要求到三厂距离相等，请你帮
·B 忙设计水厂建在什么地方？画图说明。
·C
3、如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，
且∠C＝ 2∠B，求证：BD＝AC＋CD.
线段的垂直平分线(课件）
板书设计
课题：2.4.1线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线 2. 线 段 垂 直 平 分 线 的 性质定理和逆定理
教师板演区
学生展示区
作业布置
基础作业 教材第72页习题2.4A 组第2、3、4题 能力作业 教材第73页习题2.4B 组第6题
平分线是它的对称轴.
新知讲解
探究：
（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的垂直平分线 MN；
（2）在线段AB的垂直平分线MN上任取一点P, 连接PA，PB，
M
（3）测量PA、PB的长度，你有什么发现？
P
PA=PB
（4）你能证明这个发新知讲解
证明：∵直线MN是线段AB 的垂直平分线，
点的集合是一条射线
定理：线段垂直平分线上的点和这条 线段两个端点的距离相等.
逆定理：和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合.
点的集合是一条直线
课堂练习
1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平
新知讲解
想一这想个：点三与角三形
例：已知：如图，在△ABC中，AB,BC垂线角 有直三有形 什平边什的 么分的么三 关线垂特个 系相直点顶 呢平交呢点 ？分于？ 这点个O，点连接OA，OB，OC.
到三角形三求证：点O在AC的垂直平分线上.
个它顶们点交的距
离于相一等点.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线
数学湘教版 八年级上
新知导入
1、什么是轴对称图形？ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全
重合，这样的图形就叫做轴对称图形. 2、什么是对称轴？
2017年秋季新版湘教版八年级数学上学期2.4、线段的垂直平分线课件21
作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成：
（1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作一个角的平分线； （4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 那么利用尺规还能解决什么作如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？
A
B
C
B
尺规作图
例1 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已 知直线的垂线？ C
D A
E K
F B
大家拿出圆规和直尺，按照教材中的作法一起来 做一做
作线段的垂直平分线
轴对称的性质是什么？ 说一说 线段垂直平分线的性质．
如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
作线段的垂直平分线
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验 证呢？ 不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称 轴吗？
课堂练习
练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平 分线上， B D ∴ AC =CE．
C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． A 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
八年级
上册
线段的垂直平分线
本课说明
本节课内容属于“图形与几何” 领域，是在学习 了轴对称的概念和性质的基础上，研究线段垂直平分线 的性质和判定． 本节课还包括基本的尺规作图．是学生在学习了用 尺规作一条线段等于已知线段、经过已知直线外一点作 这条直线的垂线等尺规作图的基础上，用尺规作图的方 法作线段的垂直平分线．
最新湘教版八年级数学上册2.4 线段的垂直平分线3 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
课题线段的垂直平分线的性质和判定【学习目标】1．通过观察，得出并理解线段垂直平分线的概念．2．掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理．3．能够证明线段垂直平分线的性质定理并能够用它们解决问题．【学习重点】掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理．【学习难点】线段垂直平分线的性质定理的综合运用．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：要证明一点在一条线段的垂直平分线上，只需知道这点到这条线段的两端点的距离相等．要证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明直线上的两点到线段的两个端点的距离相等，利用两点确定一条直线即可得证．情景导入生成问题问题1下面图形中哪些是轴对称图形？如果是，请说出它的对称轴．图1图2图3问题2如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系？(如图2，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)自学互研生成能力知识模块一探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理(一)合作探究教材P68“探究”～P69“动脑筋”．如果两点A、A′关于直线l对称，则l是线段AA′的垂直平分线；如果l是线段AA′的垂直平分线，则点A 与点A′关于直线l对称．结合轴对称的性质可以归纳得出线段的垂直平分线的性质定理与判定定理：1．线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．2．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．(二)自主学习1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段：BE＝CE，BD＝CD，AE＝AC＝EC＝BE．2．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝70°．知识模块二运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题(一)自主学习阅读教材P69例．(二)合作探究1．已知：如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上．证明：连接OB.∵OM是AB的垂直平分线(已知)，∴OA＝OB(线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等)．∵OA＝OC(已知)，∴OB＝OC(等量代换)．∴点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点N，垂足为M.(1)求△AEN的周长；(2)求∠EAN的度数；(3)判断△AEN的形状．解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：AE＝BE，AN＝NC，因此△AEN的周长等于BC的长，即△AEN的周长为12；(2)在△ABC中，因为∠BAC＝120°，AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°，再由题中条件易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°，所以∠EAN＝60°；(3)由(2)易知△AEN是等边三角形．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理知识模块二运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题检测反馈达成目标【当堂检测】见学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
湘教版八年级数学上册《线段的垂直平分线》课件
相等的点,在这条线段的垂
直平分线上).
A
C
B
老师提示:这个结论是经常 N
用来证明点在直线上(或直线经
过某一点)的根据之一.
M P
点P在线 段AB的垂 直平分线 MN上
PA=PB
A
NB
定理：线段垂直平分线上的点和这条线 段两个端点的距离相等.
定理：和一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上.
开启智慧
已知:如图,在ΔABC中, AB、BC的中垂
线交于点O，那么点O在AC的中垂线吗？为
什么？
A ME
这点o是三角
形的 外 心
·O
B
C
从这里我们可以看到,要F想证明三N角形三条垂直平分线交于
一点,只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条 垂直平分线上就可以了. Z，xxk
生活中的数学
A
思
反过来: 到一条线段两个 端点距离相等的点,在这条
考 分 析
线段的垂直平分线上吗?
.P
′ 已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平 A
B
分线上.
定理 :到一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,∵PA=PB(已知),
M
∴点P在AB的垂直平分线上
P
(到一条线段两个端点距离
生活中的数学
A 在宁连高速公路L（楚州段）的同
侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂 的工人看病，市政府计划在公路边上 修建一所医院，使得两个工厂的工人
都没意见，问医院的院址应选在何处B？
你的方案是什么?
L
高速公路
回顾思考
线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点距离相等.
湘教版数学八上 《线段垂直平分线、垂线的作法》新版课件
点P与已知直线 l 的位置关系有两种: P
点P在直线 l 上或点P在直线 l 外.
由于两点确定一条直线，因此我 们可以通过在已知直线上作线段的垂 直平分线来找出垂线上的另一点，从 而确定已知直线的垂线.
（1）当点P 在直线 l 上
作法：
①在直线l上点P的两旁分别截取线
段PA，PB，使PA=PB；
A
C
P
Bl
③ 过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
（2）当点P 在直线 l 外
P
作法：
①以点P为圆心，以大于点P
到直线l的距离的线段长为半
A
径画弧，交直线l于点A，B；
②
分别以点A，B为圆心，以大于
1 2
AB
C
的长为半径画弧，两弧交于点C；
③ 过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
第2章 三角形
线段垂直平分线、垂线的作法
湘教版·八年级数学上册
新课导入
如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.
推进新课
根据“到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上”，要作线段 AB的垂直平分线，关键是找出到线段 AB两端距离相等的两点.
作法： 你知道为什么吗？ C
D
作法： C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）过点C、D作直线CD，则直
Bl
巩固练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）. 1. 如图，在直线l 上求作一点P，使PA=PB.
B A
P l
2. 如图，作出△ABC的BC边上的高. A
B
D
C
E
课后小结
线段垂直平分线、垂线的作法
作线段AB的垂直平分线.