2019高一数学期中试题
人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(A卷)(含解析)
f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) 1 f (x2 ) f (x1 x2 ) 1 0 ， 所 以
f (x1) f (x2 ) ，即 f (x) 在 R 上单调递增，故 C 正确，B 错误；
令 x1 x ， x2 x ， 则 f x x f x f x 1， 则 有 f x f x 1 f 0 1， 故 f x 2 f x ， 因 为 g x f x1的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 所 以
8.答案：B
解析：设 f (x) x ，代入点 3,
3 3
可得 3
3
1
32
，所以
1
，所以
f
(x)
1
x2
3
2
1 ，
x
对于 A：函数的定义域为 (0, ) ，所以 A 错误；
对于
B：因为
f
(x)
1
x2
，
所以 f (x) 在 (0, )
内单调递减，
B 正确；
对于 C：因为 f (x) 的定义域为 (0, ) ，所以不是偶函数，C 错误；
2.已知函数
f
x
f x 1, x
x2
2
x
3,
x
2, 2,
，则
f
f
1
(
D. 5 A B )
A.5
B.0
C.-3
D.-4
3.对于每个实数 x，若函数 f (x) 取三个函数 y 4x 1， y x 2 ， y 2x 4 的最小值，则函
数 f (x) 的最大值是( )
7
8
10
2019年人大附中高一数学期中考试
x 1 2
x 2
xR Nhomakorabea求f
x 的值域；
（3）若存在 m R 且 m Z ，使得 f m f m ，则称函数 f x 是 函数，若函数 f x x a 是
x 函数，求 a 的取值范围.
5
D.存在 x0 R ，使得 x02 0
5.己知函数
f
x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则
f
f
1 3
=（
）
A. 1
1
B.
3
3
C. 2
2
D.
3
3
1
6.已知 a, b 是实数，则“ a b 0 且 c d 0 ”是“ a b ”的（ ） dc
C. 3,3
D. (0, 5]
五、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
21.已知函数 f x 1 x x 3 ，则函数 f x 的最大值为___ __,函数 f x 的最小值点为________.
22.关于 x 的方程 g x t(t R) 的实根个数记 f t .
A. 0,1
B.1, 0,1
2.下列各组函数是同一函数的是（ )
A. y x 与 y 1 x
C.0,1, 2
D.1, 0,1, 2
B. y x 12 与 y x 1
C. y x2 与 y x x
D.
y
x3 x2
x 1
与
y
x
3.下列函数中，在区间 0, 2 是增函数的是（ ）
2019年潍坊市高一数学下期中试卷(及答案)
A．1
B．2
C．3
D．4
12．若圆 x2 y2 2x 4 y 0 的圆心到直线 x y a 0 的距离为 2 ，则 a 的值为( ) 2
A．-2 或 2
B． 1 或 3 22
C．2 或 0
D．-2 或 0
二、填空题
13．经过两条直线 2x 3y 1 0 和 3x y 4 0 的交点，并且平行于直线
【考点定位】点线面的位置关系
3．A
解析：A 【解析】
分析：将三棱锥的外接球转化为以 AP, AB, BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球
半径，进而可得结果.
详解：因为 PA 平面 AB ， AB, BC 平面 ABC ， PA BC ， PA AB, AB BC ，
所以三棱锥的外接球，就是以 AP, AB, BC 为长宽高的长方体的外接球，
此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意；
当
2
a
0 ，即 a
2 时，直线 ax
y
2a
0 化为
2
x
a
2
y
a
1，
a
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 2 a 2 a ，解得 a 1； a
综上所述，实数 a 2 或 a 1．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直
图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形
状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为 AC 的中点，即
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
数学试卷
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
【解析】
【分析】
由 ，都有 ，可得 ，再根据等差数列的性质即可判断.
【详解】 等差数列 的公差 ， ，都有 ，
，
.
故选： .
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.
12.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运动， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由
又 所以 .
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得 ，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
19.设 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大值及此时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有最大值为
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 的最大值以及取最大值时 的值.
20.已知向量 ， 且 .
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2） ；
【解析】
试题分析：
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 这个结论．
江苏省徐州市2019～2020学年度高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度江苏省徐州市高一第一学期期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题)1.已知集合A＝{1,3,5},B＝{3,5,7},则A∩B＝( )A.3,5,B.C.D.2.函数f(x)＝＋ln(1－x)的定义域为( )A. B. C. D.3.已知幂函数f(x)的图象过点(2,16),则f(3)＝( )A.27B.81C.12D.44.函数f(x)＝a x＋1＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点( )A. B., C. D.5.设a＝logπ3,b＝π0.3,c＝log0.3π,则( )A. B. C. D.6.已知函数,则的值是( )A.27B.C.D.7.已知函数f(x)＝ax5－bx3＋cx－3,f(－3)＝7,则f(3)的值为( )A.13B.C.7D.8.函数y＝(a＞1)的图象的大致形状是( )A. B. C. D.9.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数,当x＜0时,f(x)＝x＋2,那么不等式2f(x)－1＜0的解集是( )A. B.或C. D.或10.已知函数f(x)＝x2•(a＋)是R上的奇函数,则实数a＝( )A. B. C. D.111.若函数f(x)＝a x－a－x(a＞0且a≠1)在R上为减函数,则函数的单调递增区间( )A. B. C. D.12.若函数f(x)＝|lg x|－()x＋a有2个零点,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题)13.已知集合A＝{－2,0,1,3},B＝{x|－＜x＜},则A∩B的子集个数为______.14.若函数f(x)＝lg x＋x－3的零点在区间(k,k＋1),k∈Z,则k＝______.15.若函数f(x)＝的值域为R,则实数a的范围是______.16.已知函数y＝x＋有如下性质：常数a＞0,那么函数在(0,]上是单调减函数,在[,＋∞)上是单调增函数.如果函数f(x)＝|x＋－m|＋m在区间[1,4]上的最小值为7,则实数m的值是______.三、解答题(本大题共6小题)17.计算：(1)；(2)2lg5＋lg8＋lg5•lg20＋(lg2)2.18.已知集合A＝{x|3≤3x≤27},B＝{x|1＜log2x＜2}.(1)分别求A∩B,(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|2a＜x＜a＋2},若C⊆A,求实数a的取值范围.19.已知函数f(x)是定义在(－4,4)上的奇函数,满足f(2)＝1,当－4＜x≤0时,有f(x)＝.(1)求实数a,b的值；(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式,并利用定义证明函数f(x)在(0,4)上的单调性.20.某公司生产一种化工产品,该产品若以每吨10万元的价格销售,每年可售出1000吨,若将该产品每吨分价格上涨x%,则每年的销售数量将减少mx%,其中m为正常数,销售的总金额为y万元.(1)当m＝时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售总金额最大？(2)当x＝10时,若能使销售总金额比涨价前增加,试设定m的取值范围.21.已知函数f(x)＝x|x－a|＋x(a∈R)(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值；(2)若对于任意x∈[1,2],恒有f(x)≥2x2,求实数a的取值范围；(3)若a≥2,函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为4,求实数a的值.22.已知函数f(x)＝lg(m＋),m∈R.(1)当m＝－1时,求函数f(x)的定义域；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x lg2有且仅有一个零点,求实数m的取值范围；(3)任取x1,x2∈[t,t＋2],若不等式|f(x1)－f(x2)|≤1对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.答案和解析1.【参考答案】C【试题分析】解：∵集合A＝{1,3,5},B＝{3,5,7},∴A∩B＝{3,5}.故选：C.利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【参考答案】B【试题分析】解：要使f(x)有意义,则,解得,∴f(x)的定义域为.故选：B.可看出,要使得f(x)有意义,则需满足,解出x的范围即可.本题考查了函数定义域的定义及求法,对数函数的定义域,考查了计算能力,属于基础题.3.【参考答案】B【试题分析】解：设幂函数f(x)＝xα,又f(x)过点(2,16),∴2α＝16,解得α＝4,∴f(x)＝x4,∴f(3)＝34＝81.故选：B.用待定系数法求出f(x)的解析式,再计算f(3)的值.本题考查了幂函数的定义与应用问题,是基础题.4.【参考答案】D【试题分析】解：由x＋1＝0,解得x＝－1,此时y＝1＋2＝3,即函数的图象过定点(－1,3),故选：D.根据指数函数过定点的性质,直接领x＋1＝0即可得到结论本题主要考查指数函数过定点问题,利用指数幂等于0是解决本题的关键.5.【参考答案】D【试题分析】解：0＝logπ1＜logπ3＜logππ＝1,π0.3＞π0＝1,log0.3π＜log0.31＝0,∴b＞a＞c.故选：D.容易得出,从而得出a,b,c的大小关系.考查对数函数、指数函数的单调性,以及增函数和减函数的定义.6.【参考答案】B【试题分析】解：∵∴＝f(－3)＝故选B.由已知中的函数的解析式,我们将代入,即可求出f()的值,再代入即可得到的值.本题考查的知识点是分段函数的函数值,根据分析函数的解析式,由内到外,依次代入求解,即可得到答案.7.【参考答案】B【试题分析】解：∵函数f(x)＝ax5－bx3＋cx－3,f(－3)＝7,令g(x)＝ax5－bx3＋cx,则g(－3)＝10,又g(x)为奇函数,∴g(3)＝－10,故f(3)＝g(3)－3＝－13,故选：B.令g(x)＝ax5－bx3＋cx,则g(－3)＝10,又g(x)为奇函数,故有g(3)＝－10,故f(3)＝g(3)－3.本题考查函数的奇偶性的应用,求函数值,令g(x)＝ax5－bx3＋cx,求出g(3)＝－10,是解题的关键.8.【参考答案】C【试题分析】解：当x＞0时,y＝a x,因为a＞1,所以函数y＝a x单调递增,当x＜0时,y＝－a x,因为a＞1,所以函数y＝－a x单调递减,故选：C.根据函数的单调性即可判断.本题考查了函数图象和识别,关键掌握函数的单调性,属于基础题9.【参考答案】B【试题分析】解：因为y＝f(x)为奇函数,所以当x＞0时,－x＜0,根据题意得：f(－x)＝－f(x)＝－x＋2,即f(x)＝x－2,当x＜0时,f(x)＝x＋2,代入所求不等式得：2(x＋2)－1＜0,即2x＜－3,解得x＜－,则原不等式的解集为x＜－；当x≥0时,f(x)＝x－2,代入所求的不等式得：2(x－2)－1＜0,即2x＜5,解得x＜,则原不等式的解集为0≤x＜,综上,所求不等式的解集为{x|x＜－或0≤x＜}.故选：B.根据f(x)为奇函数,得到f(－x)＝－f(x),设x大于0,得到－x小于0,代入已知的解析式中化简即可求出x 大于0时的解析式,然后分两种情况考虑,当x小于0时和x大于0时,分别把所对应的解析式代入所求的不等式中,得到关于x的两个一元一次不等式,求出不等式的解集的并集即为原不等式的解集.此题考查了其他不等式的解法,考查了函数奇偶性的应用,是一道基础题.10.【参考答案】A【试题分析】解：根据题意,函数f(x)＝x2•(a＋)是R上的奇函数,则有f(－x)＝－f(x),即(－x)2(a＋)＝－(x2•(a＋),变形可得：a＋＝－(a＋),则有2a＝－1,即a＝－；故选：A.根据题意,由函数奇偶性的定义可得f(－x)＝－f(x),即(－x)2(a＋)＝－(x2•(a＋),变形分析可得a的值,即可得答案.本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题.11.【参考答案】C【试题分析】解：∵函数f(x)＝a x－a－x(a＞0且a≠1)在R上为减函数,则0＜a＜1.则函数的单调递增区间,即y＝x2＋2x－3在y＞0时的减区间.由y＝x2＋2x－3＞0,求得x＜－3,或x＞1.再利用二次函数的性质可得,y＝x2＋2x－3在y＞0时的减区间为(－∞,－3),故选：C.复合函数的单调性,指数函数、二次函数的性质,先判断0＜a＜1,本题即求y＝x2＋2x－3在y＞0时的增区间,再利用二次函数的性质得出结论.本题主要考查复合函数的单调性,指数函数、二次函数的性质,属于中档题.12.【参考答案】B【试题分析】解：原函数转化为f(x)＝|lg x|－()x＋a,|lg x|＝()x－a,函数有2个零点,相当于y＝|lg x|与y＝()x－a有两个交点,根据图象：当x＝1时,y＝()x－a的值－a＞0即可所以a∈(－∞,).故选：B.原函数转化为f(x)＝|lg x|－()x＋a,|lg x|＝()x－a,根据图象：当x＝1时,y＝()x－a的值－a＞0即可.把零点问题转换为两个函数的交点问题,考察图象法的应用,中档题.13.【参考答案】8【试题分析】解：∵A＝{－2,0,1,3},B＝{x|－＜x＜},∴A∩B＝{－2,0,1},∴A∩B的子集个数为：23＝8个.故答案为：8.进行交集的运算求出A∩B,从而得出A∩B的元素个数,进而可得出A∩B的子集个数.本题考查了描述法、列举法的定义,交集的运算,集合子集个数的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.14.【参考答案】2【试题分析】解：因为函数y＝lg x与y＝x－3都是定义域上的增函数,所以函数f(x)＝lg x＋x－3也为定义域上的增函数.因为f(2)＝lg2＋2－3＜lg10＋2－3＝0,f(3)＝lg3＋3－3＞0,所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝lg x＋x－3的近似解在区间(2,3)上,所以k＝2.故答案为：2.确定函数f(x)＝lg x＋x－3也为定义域上的增函数.计算f(2)＝lg2＋2－3＜lg10＋2－3＝0,f(3)＝lg3＋3－3＞0,由零点存在性定理可得函数f(x)＝lg x＋x－3的近似解在区间(2,3)上,即可得出结论.本题考查零点存在性定理,考查学生的计算能力,比较基础.15.【参考答案】[0,＋∞)【试题分析】解：x≤1时,f(x)≤2＋a；x＞1时,f(x)＝(x－a)2＋1－a2,∴①a＞1时,f(x)≥1－a2,且f(x)的值域为R,∴2＋a≥1－a2,解得a∈R,∴a＞1；②a≤1时,f(x)＞(1－a)2＋1－a2＝2－2a,且f(x)的值域为R,∴2＋a≥2－2a,解得a≥0,∴0≤a≤1,∴综上得,实数a的范围是[0,＋∞).故答案为：[0,＋∞).根据f(x)的解析式得出,x≤1时,f(x)≤2＋a；x＞1时,f(x)＝(x－a)2＋1－a2,从而得出：a＞1时,f(x)≥1－a2,进而得出2＋a≥1－a2；a≤1时,f(x)＞2－2a,进而得出2＋a≥2－2a,从而解出a的范围即可.本题考查分段函数值域的求法,配方求二次函数值域的方法,考查计算能力,属于中档题.16.【参考答案】6【试题分析】解：设t＝在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,所以t∈[4,5],问题化为y＝|t－m|＋m在区间[4,5]上的最小值为7,当m＞5时,y min＝y(5)＝m－5＋m＝7,m＝6；当m∈[4,5]时,y min＝y(m)＝m＝7(舍去)；当m＜4时,y min＝y(4)＝4－m＋m＝7,不成立.故答案为：6.换元将问题化为绝对值函数在闭区间上的最小值问题,根据对称轴在闭区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可.本题是一个经典题目,通过换元将问题化为绝对值函数在闭区间上的最小值问题,接下来根据对称轴在闭区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可.17.【参考答案】解：(1)原式＝＝4－4＋3－π－1＋π＝2.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5•(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋lg2(lg5＋lg2)＋lg5＝2＋lg2＋lg5＝3.【试题分析】(1)利用指数幂的运算性质即可得出.(2)利用对数的运算性质及其lg2＋lg5＝1即可得出.本题考查了指数幂与对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.18.【参考答案】解：(1)因为A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3},B＝{x|1＜log2x＜2}＝{x|2＜x＜4},所以A∩B＝{x|2＜x≤3},从而(C R B)∪A＝{x|x≤3或x≥4}.(2)当2a≥a＋2,即a≥2时C＝∅,此时C⊆A,符合条件；当2a＜a＋2,即a＜2时,C≠∅,要使C⊆A,只需即.故要使C⊆A,实数a的取值范围是{a|a≥2或}.【试题分析】(1)求出集合A,B,由此能求出A∩B和(C R B)∪A.(2)当2a≥a＋2,即a≥2时C＝∅,符合条件；当2a＜a＋2,即a＜2时,C≠∅,要使C⊆A,只需由此能求出实数a的取值范围是.本题考查交集、补集、并集的求法,考查交集、补集、并集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.19.【参考答案】解：(1)∵函数f(x)是定义在(－4,4)上的奇函数,∴f(0)＝0,即,∴b＝0,又因为f(2)＝1,所以f(－2)＝－f(2)＝－1,即,所以a＝1,综上可知a＝1,b＝0,(2)由(1)可知当x∈(－4,0)时,,当x∈(0,4)时,－x∈(－4,0),且函数f(x)是奇函数,∴,∴当x∈(0,4)时,函数f(x)的解析式为,任取x1,x2∈(0,4),且x1＜x2,则＝,∵x1,x2∈(0,4),且x1＜x2,∴4－x1＞0,4－x2＞0,x1－x2＜0,于是f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),故在区间(0,4)上是单调增函数.【试题分析】(1)根据f(x)是定义在(－4,4)上的奇函数及－4＜x≤0时的f(x)解析式即可得出b＝0,并可求出f(－2)＝－1,从而可得出,求出a＝1；(2)根据上面知,x∈(－4,0)时,,从而可设x∈(0,4),从而得出,从而得出x∈(0,4)时,,然后根据函数单调性的定义即可判断f(x)在(0,4)上的单调性：设任意的x1,x2∈(0,4),且x1＜x2,然后作差,通分,提取公因式,然后判断f(x1)与f(x2)的大小关系即可得出f(x)在(0,4)上的单调性.本题考查了奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,求奇函数在对称区间上的解析式的方法,以及函数的单调性,考查了推理能力和计算能力,属于基础题.20.【参考答案】解：(1)由题设,当价格上涨x%时,每年的销售数量将减少mx%,销售总金额y＝10(1＋x%)•1000(1－mx%)＝－mx2＋100(1－m)x＋10000().当时,y＝[－(x－50)2＋22500],当x＝50时,y max＝11250.即该产品每吨的价格上涨50%时,销售总金额最大.(2)当x＝10时,若能使销售总金额比涨价前增加,能使销售总金额增加,则存在使y＞10×10000,由得,所以m＜10.由y＞10×10000,即－100m＋1000(1－m)＋10000＞10000亦即,所以.故若能使销售总金额比涨价前增加,m的取值范围设定为.【试题分析】(1)得出y关于x的函数,根据二次函数的性质求出结论；(2)根据题意列不等式得出m的范围.本题考查了函数解析式,函数最值的计算,考查不等式的解法,属于中档题.21.【参考答案】解：(1)∵f(x)是奇函数,∴f(－1)＝－f(1),∴－|－1－a|－1＝－(1•|1－a|＋1)∴－|1＋a|－1＝－|1－a|－1,∴|1＋a|＝|1－a|,∴a＝0,当a＝0时,f(x)＝x•|x|＋x是奇函数,∴a＝0；(2)任意的x∈[1,2],f(x)≥2x2恒成立,∴x|x－a|＋x≥2x2恒成立,∴|x－a|＋1≥2x恒成立,∴|x－a|≥2x－1恒成立, ∵x∈[1,2],∴2x－1∈[1,3],2x－1＞0,∴x－a≥2x－1恒成立或x－a≤－2x＋1恒成立,∴a≤－x＋1恒成立或a≥3x－1恒成立,而－x＋1∈[－1,0],3x－1∈[2,5],∴a≤－1或a≥5；(3)∵a≥2,x∈[0,2],∴x－a≤0,∴|x－a|＝－(x－a),∴f(x)＝x[－(x－a)]＋x＝－x2＋(a＋1)x,开口向下,对称轴为x＝≥,①当,即2≤a≤3时,f(x)max＝f()＝＝4,∴a＝3或a＝－5(舍),②当＞2,即a＞3时,f(x)max＝f(2)＝－4＋2a＋2＝2a－2＝4,∴a＝3,又a＞3,矛盾,综上a＝3.【试题分析】(1)由奇函数的性质f(－x)＝－f(x),进而求解；(2)x∈[1,2],2x－1∈[1,3],2x－1＞0,f(x)≥2x2等价于x－a≥2x－1恒成立或x－a≤－2x＋1恒成立,进而求解；(3))∵a≥2,x∈[0,2],∴x－a≤0,∴f(x)＝x[－(x－a)]＋x＝－x2＋(a＋1)x,进而比较对称轴与区间端点的关系求解；(1)考查奇函数的性质,去绝对值号；(2)考查不等式恒成立的转化,得出x－a≥2x－1恒成立或x－a≤－2x＋1恒成立,是突破本题的关键点；(3)考查不等式在特定区间上的最值问题,将不等式恒成立转化为二次函数在特定区间上的最值.22.【参考答案】解：(1)当m＝－1时,,要使函数f(x)有意义,则需,即2x＜2,从而x＜1.故函数f(x)的定义域为{x|x＜1}；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x lg2有且仅有一个零点,即有且仅有一个根,亦即,即,即m(2x)2＋2•2x－1＝0有且仅有一个根.令2x＝t＞0,则mt2＋2•t－1＝0有且仅有一个正根,当m＝0时,2•t－1＝0,,即x＝－1,成立；当m≠0时,若△＝4＋4m＝0即m＝－1时,t＝1,此时x＝0成立；若△＝4＋4m＞0,需,即m＞0,综上,m的取值范围为[0,＋∞)∪{－1}；(3)若任取x1,x2∈[t,t＋2],不等式|f(x1)－f(x2)|≤1对任意t∈[1,2]恒成立,即f(x)max－f(x)min≤1对任意t∈[1,2]恒成立,因为在定义域上是单调减函数,所以,,即,即,,所以,即,又有意义,需,即,所以,t∈[1,2],.所以m的取值范围为.【试题分析】(1)将m＝－1代入f(x)中,根据,解不等式可得f(x)的定义域；(2)函数g(x)＝f(x)＋2x lg2有且仅有一个零点,则可得方程m(2x)2＋2•2x－1＝0有且仅有一个根,然后求出m的范围；(3)由条件可得f(x)max－f(x)min≤1对任意t∈[1,2]恒成立,求出f(x)的最大值和最小值代入该式即可得到m 的范围.本题考查了函数定义域的求法,函数的零点判定定理和不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想和转化思想,属难题.。
期中达标测评卷(B卷)-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2022-2023学年人教A 版（2019）高一数学上学期期中达标测评卷（B 卷）满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,{1,3,5,7,9},{1,2,3,4,5}U A B ===Z ，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{1,3,5}B.{1,2,3,4,5}C.{7,9}D.{2,4}2.已知a ∈R ，则“a >1<”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知幂函数()(1)a f x b x =-的图象过点1)3，则a b +等于( ) A.32B.0C.12D.14.已知集合{}2320A x x x =--<∣，{0}B x x a =-<∣，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为( ) A.1a ≤B.12a <≤C.2a >D.2a ≤5.若函数的定义域是，则函数A.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. C. D.7.已知函数21,0,()21,0x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩若()2()2f m f m <-，则实数m 的取值范围是( )A.(,1)(2,)-∞-+∞B.(1,2)-C.(2,1)-D.(,2)(1,)-∞-+∞8.下列说法中，错误的是( ) A.若0,a b c d >><<b d>(1)y f x =+[1,1]-()g x 11,00,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦[0,1)(1,4](0,1]>b > C.若0,b a m >>>ab> D.若,a b c d ><，则a c b d ->-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.下列说法正确的是( )A.“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题B.“0xy >”是“0x y +>”的充要条件C.命题“x ∃∈R ，210x +=”的否定是“x ∀∈R ，210x +≠”D.若“13x <<”的一个必要不充分条件是“22m x m -<<+”，则实数m 的取值范围是[1,3]10.已知函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-.若a ，b ∈R ，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的是( ) A.0a b +>，0ab < B.0a b +<，0ab > C.0a b +<，0ab <D.以上都可能11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()f x =1, 0,x x ⎧⎨⎩为有理数,为无理数称为狄利克雷函数，则下列关于函数()f x 的说法正确的是( ) A.函数()f x 的值域是[]0,1 B.,(())1x f f x ∀∈=RC.(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立D.存在三个点()()11,A x f x ，，，使得为等腰直角三角形12.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，则下列说法中()()22,B x f x ()()33,C x f x ABC △正确的是( ) A.0a >B.不等式0bx c +>的解集为{12}xx <-∣ C.0a b c ++>D.不等式20cx bx a -+<的解集为{x∣14x <-或1}3x > 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知:|3|5,:123p x q a x a -<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________.14.若函数2()(24)1f x ax a x =--+在区间(1,5)上单调，则实数a 的取值范围是________.15.某企业制作一份宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为2625cm ，如图所示，其中上边、下边和左边各留宽为2cm 的空白，右边留宽为7cm 的空白，中间阴影部分为文字宣传区域.设矩形画册的长为，宽为图，文字宣传区域的面积为，则当b 为_______cm 时，文字宣传区域面积S 最大，最大面积是_______.16.设集合{1,2,3,4,5}I =，若非空集合A 同时满足①A I ⊆，②||mi )n(A A ≤表示A 中元素的个数，表示集合A 中的最小元素)，则称集合A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为_________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知集合{3217}A x x =-<+<∣，集合{4B x x =<-∣或2},{321}x C x a x a >=-<<+∣.（1）求()AB R；c m a cm b 2cm S 2cm min()A（2）若()A B C ⊆R ，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知关于x 的不等式的解集为或. （1）求a ，b 的值； （2）当，n >1bn+=时，有222m n k k +≥++恒成立，求实数k 的范围.19.（12分）某大型企业原来每天成本1y (单位：万元)与日产量x (单位：吨)之间的函数关系式为212(154)1208y x k x k =+-++，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k 万元，尾气净化装置安装后当日产量1x =时，总成本142y =. （1）求k 的值；（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少.(日平均利润就是日总利润÷日产量) 20.（12分）已知，.（1）当0是不等式22(1)(2)0x a x a a --+-<的一个解时，求实数a 的取值范围； （2）若p 是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知幂函数()2()294m f x m m x =+-在(,0)-∞上为减函数. （1）试求函数()f x 解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性并写出其单调区间. 22.（12分）已知函数. （1）求((1))f f 的值；（2）用定义证明函数在(2,2)-上为增函数； （3）若，求实数a 的取值范围.2320ax x -+>{1xx <∣}x b >0m >2:2320p x x --≥2:2(1)(2)0q x a x a a --+-<q ⌝2(),(2,2)4xf x x x =∈-+()f x (2)(21)f a f a +>-数学答案1.答案：D解析：根据题意分析，可得阴影部分为属于B 但不属于A 的元素，即阴影部分表示()U A B ，又{1,3,5,7,9}A =，{1,2,3,4,5}B =，则(){2,4}U A B =. 2.答案：A解析：由a ><1<时，推不出1a >一定成立.所以“1a >”是1<”的充分不必要条件. 3.答案：B解析：()(1)a f x b x =-是幂函数，11b ∴-=，即2b =，又其图象过点13⎫⎪⎭，13a f ∴==，解得2a =-，220ab ∴+=-+=.4.答案：A解析：{}22320{320}{2A x x x x x x x x =--<=-+>=>∣∣∣或1}x <，{0}{}B x x a x x a =-<=<∣∣，因为B A ⊆，所以1a ≤.5.答案：D解析：由函数(1)y f x =+的定义域是[1,1]-，得11x -≤≤，所以012x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[]0,2.在函数()g x =022,0,x x ≤≤≠解得01x <≤，所以函数()g x 的定义域是(0,1]. 6.答案：B解析：因为x ，y 为正数，1818(2)x y y x y x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭16101018x y y x =++≥=，4y =时，取等号.. 7.答案：C解析：当0x ≥时，221()12f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭(0)1f =；当0x <时，()21f x x =+单调递增，且()1f x <.所以函数()f x 在R 上单调递增，由()2()2f m f m <-，得22m m <-，解得21m -<<.8.答案：Ab .故正确.0,0a m >>>，所以对于D ，因为c d <，所以c d ->-.又a b >，所以a c b d ->-.故正确. 9.答案：CD解析：x 22x =是有理数，故A 错；1x =-，2y =-时，0xy >，但，不是充要条件，故B 错；命题“x ∃∈R ，”的否定是“x ∀∈R ，”，故C 正确； 若“13x <<”的一个必要不充分条件是“”，则21,23,m m -≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取得，解得，故D 正确.故选CD. 10.答案：BC解析：由函数()f x 为幂函数可知，解得1m =-或2m =.当1m =-时，31()f x x=；当2m =时，3()f x x =.由题意得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，因此3()f x x =，在R 上单调递增，且为奇函数.结合()()f x f x -=-以及()()0f a f b +<可知()()()f a f b f b <-=-，所以a b <-，即b a <-，所以0a b +<.当0a =时，0b <，0ab =；当0a >时，0b <，0ab <；当0a <时，0(0)ab b a <<<-，0(0)ab b ==，0(0)ab b ><均有可能成立.故选BC. 11.答案：BC解析：对于A 选项，函数的值域为{0,1}，故A 选项错误.对于B 选项，当x 为有理数时，()1,(())f x f f x =(1)1f ==；当x 为无理数时，()0,(())f x f f x ==(0)1f =.所30x y +=-<210x +=210x +≠22m x m -<<+13m ≤≤211m m --=以,(())1x f f x ∀∈=R ，故B 选项正确.对于C 选项，x 为有理数时，2x +为有理数，(2)()1f x f x +==；当x 为无理数时，2x +为无理数，(2)()0f x f x +==.所以(2)()f x f x +=恒成立，故C 选项正确.对于D 选项，若ABC △为等腰直角三角形，不妨设角B 为直角，则()()()123,,f x f x f x 的值的可能性只能为()()()1230,1,0f x f x f x ===或()()()1231,0,1f x f x f x ===，由等腰直角三角形的性质211x -=，所以()()12f x f x =，这与()()12f x f x ≠矛盾，故D 选项错误. 12.答案：ABD解析：由题意知，3-和4是方程20ax bx c ++=的两根，且0a >，即选项A 正确；所以34,(3)4,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩即,12,b a c a =-⎧⎨=-⎩所以不等式0bx c +>可化为120ax a -->，即120x +<，解得12x <-，即选项B 正确；不等式20cx bx a -+<可化为2120ax ax a -++<，即21210x x -->，解得x <x {3xx ∉≤-∣或4}x ≥，所以当1x =时，有0a b c ++<，即选项C 错误.故选ABD.13.答案：112aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 解析：由|3|5x -<，得28x -<<，又p 是q 的充分不必要条件，所以21,823,(23)(1)8(2),a a a a -≥-⎧⎪≤-⎨⎪---≠--⎩解得a ≥112aa ⎫≥⎬⎭∣. 14.答案：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析：①当0a =时，()41f x x =+，所以()f x 在(1,5)上单调递增，满足题意；②当0a ≠时，函数()f x 图象的对称轴为直线(24)22a a x a a---=-=，若()f x 在(1,5)上单≥1≤，解得1,0(0,)2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.综上所述，1,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.解析：由题设可得625ab =，故(4)(9)661(94)S a b a b =--=-+，其中4,9a b >>.由基本不等式可得942625300a b +≥⨯⨯=，当且仅当50,3a b ==故当50,3a b ==max 661300361=-=. 16.答案：12解析：由题意可知，所有可能的取值为1，2，3，4，5.当时，，则；当时，，则符合条件的集合A 有，共4个； 当时，，则符合条件的集合A 有，共4个； 当时，||4A ≤，则符合条件的集合A 有{4},{4,5}，共2个； 当min()5A =时，||5A ≤， 则符合条件的集合A 有{5}.综上所述，I 的所有好子集的个数为1442112++++=. 17、答案：（1）（2）233aa ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣ 解析：（1）由题意知{23},{42}A xx B x x =-<<=-≤≤R ∣∣， 所以(){22}AB x x =-<≤R∣.（2）由(1)得{23}A xx =-<<∣，又{4B x x =<-∣或2}x >，所以{4A B x x =<-∣或2}x >-，所以(){42}A B x x =-≤≤-R∣.而{321}C x a x a =-<<+∣，要使()AB C ⊆R，只需324,12,a a -<-⎧⎨+>-⎩所以3a -<<233a a ⎫-<<-⎬⎭∣. 18、答案：（1）见解析 （2）32k -≤≤解析：（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1xx <∣或}x b >， min()A min()1A =||1A ≤{1}A =min()2A =||2A ≤{2},{2,3},{2,4},{2,5}min()3A =||3A ≤{3},{3,4},{3,5},{3,4,5}min()4A ={22}x x -<≤∣所以关于x 的方程2320ax x -+=有两个实根，分别为1x =21,x b =，且有0a >，1,2.a b =⎧⇒⎨=⎩ 21n+=，因为不等式222m n k k +≥++恒成立，所以2min (2)2m n k k ≥+++.因为1242(2)4n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭48≥+=，当且仅当2n m =时，取等号，所以282k k ≥++，即260k k +-≤， 解得32k -≤≤. 19、答案：（1）1k =（2）尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.解析：（1）由题意，尾气净化装置安装后总成本222(154)12082(153)1208y x k x k kx x k x k =+-+++=+-++，当日产量1x =时，总成本142y =，代入计算得1k =. （2）由(1)可得2212128y x x =++，总利润()2248212128236128(0)L x x x x x x =-++=-+->，∴尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.20、答案：（1） （2） 解析：（1）由题意可知，202(1)0(2)0a a a --⨯+-<，{02}aa <<∣322aa ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭∣解得02a <<.故实数a 的取值范围为{02}aa <<∣. （2）由，解得. 由，解得. 故， 从而或.因为p 是的充分不必要条件，2x x a ≤-∣或}x a ≥， 322aa ⎫≤≤⎬⎭∣. 21.答案：（1）5()f x x -=（2）该幂函数为奇函数，其单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞ 解析：（1）由题意得，22941m m +-=，解得12m =或5m =-， 经检验当12m =时，函数()f x 在区间(,0)-∞上无意义， 所以，则5()f x x -=. （2），∴要使函数有意义，则， 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x -==-=--， ∴该幂函数为奇函数.当0x >时，根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数，函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数，故其单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞.22 （2）见解析（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭22320x x --≥x ≤2x ≥22(1)(2)0x a x a a --+-<2a x a -<<:p x ≤2,:2x q a x a ≥-<<:2q x a ⌝≤-x a ≥q ⌝5m =-551()f x x x -==0x ≠. （2）证明：任取，且， 则因为，所以， 所以，即. 所以函数在上为增函数.（3）由(2)知()f x 在(2,2)-上为增函数，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩即102a -<<. 所以实数a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.1(1)14=+2155101145==⎛⎫+ ⎪⎝⎭12,(2,2)x x ∈-12x x <()()1212221244x x f x f x x x -=-++=1222x x -<<<21120,40x x x x ->-<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x (2,2)-。
2019-2020学年天津市南开区南开中学高一期中数学试题(解析版)
天津市南开区南开中学高一期中数学试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]0,1B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(0,1)【答案】B【解析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}， B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键．2．命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ） A ．不存在0x R ∈，020x > B ．存在0x R ∈，020x ≥ C ．对任意的x ∈R ，020x ≤ D ．对任意的x ∈R ，020x >【答案】D【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．Q 特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A ．(2)(3)(4)f f f --＜＜ B ．(3)(2)(4)f f f --＜＜ C ．(4)(3)(2)f f f --＜＜ D ．(3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2）， 即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3【答案】A【解析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件.当2a =时，2y x =为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A.本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5．设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A ．2211x x -+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x-+ 【答案】C【解析】试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ． 【考点】求函数解析式．6．若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ） A ．413,⎛-⎫⎪⎝⎭B ．(),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭U C ．()1,4-D ．()()–21,∞-+∞U ，【答案】A【解析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫-⎪⎝⎭； 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．7．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9．设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A ．()(),22-∞-+∞UB ．()(),20,2-∞-UC ．()()2,02-+∞UD ．()()2,00,2-U【答案】B【解析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解. 【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题.二、多选题11．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A ．2a b+≥ B ．12a a+≥C ．||2a b b a+≥D ．()()2222a ba b +≥+【答案】CD【解析】当0a <，0b <时，2a b +0a <，时，12a a+…不成立；由||||||a b b ab a a b+=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-…，可判断．【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥Q； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥Q ，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12．下列判断中哪些是不正确的（ ）A ．()(1f x x =-是偶函数B ．()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数C ．()f x =D ．()f x =是非奇非偶函数【答案】AD【解析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =，()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()33f x x x∴==+-，()=()f x f x --Q()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD. 【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题．三、填空题13．函数y x =________. 【答案】12. 【解析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，Q 函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题． 14．已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得．【详解】∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f （1x ）-2f （x ）21x=-， 联立两式消去f （1x ），可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15．已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3.【解析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+Q 是奇函数， ()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =Q ， ()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16．已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞U .【解析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4kx =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k (24)-…，解得k 即可．【详解】Q 函数()224f x x kx =--对称轴4kx =， 又Q 函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥， 16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞U . 【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17．已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)-【解析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)- 【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 18．设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题19．已知全集U =R ，集合2{|3180}A x x x =--≥，5{|0}14x B x x +=≤-. （1）求()U C B A ⋂.（2）若集合{|21}C x a x a =<<+，且B C C =I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-（2）52a ≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B 及U C B ，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B ⊆求解，分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论．试题解析 ：（1）由题意得{|3A x x =≤-或6}x ≥，{|514}B x x =-≤<， ∴{|5U B x x =<-ð或14}≥，∴(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-． （2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，①当C =∅时，则有21a a ≥+，解得1a ≥．②当C ≠∅时，则有2111425a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a -≤<．综上可得52a ≥-． 实数a 的取值范围为5[)2-+∞，． 20．已知幂函数()af x x =的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围. 【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3.【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可． 【详解】（1）幂函数()af x x =的图象经过点(，2a ∴=解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增， 则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a <?，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题． 21．已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>Q ；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x Q 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--.（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）；（3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】（1）根据奇函数定义和当0x …时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论． 【详解】（1）Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--，又Q 当0x ≤时，()22f x x x =--，()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩.（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒ 减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈，二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-， 当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+ 综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-， 当0a ≤时，()min 12g x a =-， 当01a <<时，2()min 21g x a a =--+ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
高一数学下学期期中试题(含解析)
，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．1808．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．函数1()1f x x =+-的定义域为 ． 13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= ． 14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数．2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【解答】解：因为全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}， 所以：{0U A =ð，2}， 故选：A ．2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…【解答】解：命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+…”的否定是：否定限定量词和结论，故为：(0,)x ∀∈+∞，13x x+<， 故选：C ．3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|3|1x -<，131x ∴-<-<，解得24x <<． 则由“24x <<” ⇒ “2x >”， 由“2x >”推不出“24x <<”，则“|3|1x -<”是“2x >”的充分不必要条件； 故选：A ．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解答】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， (1)(3)()f f f π-<-<，则c a b <<， 故选：D ．5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米【解答】解：2() 4.914.717h t t t =-++， ∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为14.71.52( 4.9)t =-=⨯-，此时2(1.5) 4.9 1.514.7 1.51728h =-⨯+⨯+≈， 故选：B ．6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)【解答】解：对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立， ①当240m -=且20m +≠，即2m =时，104>对x R ∈恒成立， 2m ∴=满足题意；②当2m ≠且2m ≠-时，则有2240(2)4(2)0m m m ⎧->⎨=---<⎩，解得26m <<． 综合①②，可得26m <…，故实数m 的取值范围为[2，6)， 故选：D ．7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．180【解答】解：本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？ 11194()345÷++479460=÷120=（人)故选：A ．8．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：已知a ，b 为正实数，①11a b a b<⇒>⇒>①正确； ②1414414()()14529b b a a b a b a b a a a b+=++=++++=…，所以②不正确； ③1122a a a a +=…，同理12b b +…，11()()4a b a b∴++…，所以③正确；④11111)11111y a a a a a =+=++--=+++…，当且仅当111a a +=+，即0a =时取等号，而0a >，所以1y >，不能取等号，所以 ④不正确． 故选：B ．9．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]【解答】解：由奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，可知()f x 在(,0)-∞是减函数，从而可得，()f x 在R 上单调递减， 由(2)1f -=，可知f （2）1=-， f （2）1(1)1(2)f x f =--=-剟，212x ∴--剟，解可得，13x -剟，即解集为[1-，3] 故选：C ．10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,1)--B．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)【解答】解：设函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--，方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， ∴函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，∴(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2222026030a a a a a a ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩，解得：11a -<<-或31x <<+， 故选：B ．11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40【解答】解：函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=的对称中心为(2,3)， 函数315()322x g x x x -==+--也关于(2,3)中心对称， 则若交点为1(x ，1)y 时，1(4x -，16)y -也为交点，若交点为2(x ，2)y 时，2(4x -，26)y -也为交点，⋯，所以128128112288()()()x x x y y y x y x y x y ++⋯++++⋯+=++++⋯++1111222288881[()(46)()(46)()(46)]402x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-=．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．函数1()1f x x =+-的定义域为 [2-，1)(1⋃，)+∞ ． 【解答】解：由题意得： 2010x x +⎧⎨-≠⎩…， 解得：2x -…且1x ≠，故函数的定义域是[2-，1)(1⋃，)+∞， 故答案为：[2-，1)(1⋃，)+∞．13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= 2 ． 【解答】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()f x x x =-， 所以(2)f f -=-（2）(24)2=--=， 故答案为：2．14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 {|6x x <或1}2x > ． 【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<， 所以方程20ax bx c ++=的解为2和6，且0a <； 由根与系数的关系得， 26260b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 解得8b a =-，12c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++<化为212810x x -+>， 解得16x <或12x >，所以所求不等式的解集为1{|6x x <或1}2x >． 故选：1{|6x x <或1}2x >． 15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 11[,]22- ．【解答】解：(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有2211[1,1]22y m m ∈---+，①10m +…，即1m -…时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩……，解得12m -…，又1m -…，∴这种情况不合题意； ②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时，由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩………，解得1122m-剟， ③10m -…，即1m …时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递减，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩……，解得12m …，又1m …，∴这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是11[,]22-．故答案为：11[,]22-．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得{|25}AB x x =-剟，{|36}AB x x =-剟．（2）①若C =∅，则121m m +>-，2m ∴<； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，解得23m 剟， 综上可得3m …． 17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数． 【解答】解：（1）由题意211x ax --+…， 变形2311011x a x a x x --++=++…， 这等价于(31)(1)0x a x -++…且10x +≠， 解得1x <-或13a x -…，所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->， 那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 210x x ->，12(1)(1)0x x ++>， 21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称， 又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==， ()F x ∴在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图象如下图：观察图象可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时， 即()F x 的图象与直线y t =图象有两个交点， 观察函数图象可得3t >或1t =-．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -； 当1a =-时，不等式的解集为∅； 当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -． （2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++， 设g （a ）2(1)a x x x =-+++，[1a ∈-，1]，要使g （a ）0…在[1a ∈-，1]上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -⎧⎨⎩……，即22210,10,x x x ⎧++⎨-⎩……解得1x …或1x -…， 所以x 的取值范围为{|1x x -…或1}x …．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本【解答】解：（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =， 当040x <<时，22()900(10300)26010600260W x x x x x x =-+-=-+-；当40x …时，22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=，所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-⎪⎩…．（2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+ 当30x =时，()8740max W x =⋯当40x …，29190100001000010000()9190()9190x x W x x x x x x -+-==--+=-++， 因为0x >，所以10000200x x +=…，当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x -+=…， 所以()8990max W x =万元， 因为87408990<，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元． 21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数． 【解答】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12bx a=-=-①；(0)3f c ==-②； 设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=，12||4x x -===；③由①②③解得1a =，2b =，3c =-，2()23f x x x ∴=+-．（2）2()()(2)2I g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-．由题意知：212k +--…或222k +-…， 0k ∴…或6k -…．()II ①当0k …时，对称轴212k x +=--…，()g x 在[1-，2]上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+， ②当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()()24k k k h k g +--+=-=， ③当6k -…时，对称轴222k x +=-…，()g x 在[1-，2]单调递减，()h k g =（2）210k =+，∴21,0,44(),604210,6k k k k h k k k k -+⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+-⎪⎩……， 令244m t =--…，即()(4)h m m λ=-…，画出()h m 简图，)i 当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，244t ∴-=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．)ii 当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =有2个零点． )iii 当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且2m ，3(4m ∈-，2)(2--⋃，0)，240m +>，340m +>，224t m ∴-=时，解得t =，234t m -=时，解得t =有4个不同的零点．)iv 当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =2个零点．)v 当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．。
2024-2025学年高一数学上学期期中真题精选(易错题8类考点专练)(人教A版2019必修第一册)
>
1
，
x
+
x
1 -1
的最小值为
3
D．函数 y = 2 + x + 1 x < 0 的最大值是 0
x
2．（多选）（23-24 高一上·广东广州·期中）下列结论正确的是（ ）
A．当 x >1时， x + 1 的最小值为 2 x
B．当 x < 0 时， x + 1 的最大值是 -2 x
C．当 0 < x < 1， x 3 - 3x 取得最大值 3
x
=
ìïax2 - 2x - a, x ³ 1
íïîa + 3 x -1, x < 1 是
R
上的减函数，则实数
a
的取值范
围是 .
4．（23-24
高一上·湖南衡阳·期中）已知
f
x
=
ì ï
x2
-
ax
+
5( x
í ïî1
+
1 x
x
³
1
<
1)
是 -¥, +¥
上的减函数，则
a
的取值范围
是
.
易错点 08 复合函数单调性忽视定义域
9 2
ù úû
D．
-¥,1
U
éêë4,
9 2
ù úû
3．（多选）（23-24 高一上·河南郑州·期中）已知集合 A = 4,8 ， B = x mx + 2 = 0 ，若 B Í A ，则实数 m
可以是（ ）
A． - 1 2
B．1
C． - 1 4
D．0
4．（23-24 高一上·河北沧州·期中）已知集合 P = x -1 < x < 3 ， Q = x 2m -1 < x < 3m - 2 ，若 Q Í P ，求
人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(B卷)(含解析)
函数，当 x 0, 时 f x x 1 ，由一次函数的性质可知， f x x 1 在 0, 上单调递
增，即 f x x 1 在 0, 上单调递增，故 B 正确；
对于
C：
f
x
2
x3
3
x2
的定义域为 R，且
f
x
3
x2
3
x2
f
x ，所以
f
x
2
x3 为
偶函数，由幂函数的性质可知，
f
0
1 2t t
2t
3 ，
2 2t2 0 ，故 3 b 0 . 2t
当 0 t 1 时， 2t2 b 1 2t t ，同理可得 0 2t2 2 ， 1 1 2t t 9 4 5 ，故
2t
2t
2t 3 3 2t
3 b 9 4 5 .综上所述， 3 b 9 4 5 .故选：D. 8.答案：A
则( )
A. 3 b 2 3
C. 2 b 9 4 5 3
B. 3 b 0 D. 3 b 9 4 5
8.若 f x x 2 3x a 的最小值是 4，则实数 a 的值为( )
A.6 或 18
B. 6 或 18
C.6 或 18
D. 6 或 18
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全
解析：关于 x的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 , 2 3, ， a 0 ，①正确；由题意，
-2
和
3
是关于
x
的方程
ax2
bx
c
0
的两根，根据根与系数的关系得
2 3 2 3
c a
b a
2019北京人大附中高一(上)期中数学含答案
2019北京人大附中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．（5分）设集合M＝{m∈Z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N＝（ ）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）A．与y＝1 B．与y＝x﹣1C．与y＝x D．与y＝x3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ）A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．D．4．（5分）命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为（ ）A．对任意a∈R，都有a2＜0 B．对任意a∈R，都有a2＜0C．存在a∈R，使得a2≥0 D．存在a∉R，使得a2＜05．（5分）已知函数f（x）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f（）]＝（ ）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）已知a，b是实数，则“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）．B．C．D．分）方程组的解集用列举法表示为 分）已知函数，则方程分）几位同学在研究函数（，则对任意，若存在，使得分）已知函数．）已知函数，当．．．．数，）若（）若函数，求函数，若函数是2019北京人大附中高一（上）期中数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．【分析】由题意知集合M＝{m∈z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．【分析】直接利用同一函数的定义的应用求出结果．【解答】解：针对选项A：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．对于选项B：和函数y＝x﹣1不相等，故错误．对于选项C：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．对于选项D：的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用，属于基础题．3．【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y＝在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在a0∈R，使得a02＜0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5．【分析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】解：由图象知f（x）＝∴f＝﹣1＝﹣，∴＝＝﹣+1＝．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及分段函数的解析式和函数单调性的判断，属于基础题．6．【分析】直接利用不等式的性质和简易逻辑中的四个条件的应用求出结果．【解答】解：当c＜d＜0，所以，故，由于a＞b＞0，所以，故．但是，整理得，整理不出a＞b＞0且c＜d＜0．故“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．8．【分析】直接利用集合的定义和真子集的关系式的关系式运算的应用求出结果．【解答】解：集合M＝{x∈R|5﹣|2x﹣3|为正整数}，故5﹣|2x﹣3|＞0，整理得|2x﹣3|＜5，即﹣5＜2x﹣3＜5，解得﹣1＜x＜4，由于集合M为正整数，所以M＝{﹣，0，，1，，2，，3，}，故集合M的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：集合元素在不等式的解法中的应用，主要考查学生对集合的定义的理解，属于基础题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．【分析】直接接二元一次方程组求出结果，再转换解集的形式．【解答】解：整理得，解得，转换为列举法为{（3，﹣7）}．故答案为：{（3，﹣7）}．【点评】本题考查的知识要点：二元一次方程组的解法和应用，针对性的考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题．10．【分析】直接利用分段函数的解析式，进一步解一元二次方程求出结果．【解答】解：根据函数的解析式，当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．所以解集为{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．【点评】本题考查的知识要点：分段函数的解析式的应用，一元二次方程的解法的应用，针对性的考查学生对分类讨论思想问题的应用，属于基础题型．11．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x≥4×2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】首先求出函数的对称轴，进一步利用对称轴和区间的关系求出a的范围．【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，函数的对称轴和区间的关系的应用，考查学生对函数的图象的理解问题和应用，属于基础题型．13．【分析】①因为|x|＜1+|x|，所以由绝对值不等式得，函数值域（﹣1，1）．②f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，进而可得出正确．③理由同上．④由数学归纳法得证．【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，∴，故函数值域（﹣1，1）．②正确；f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）＝，f2（x）＝，当n＝k时，f k（x）＝成立，当n＝k+1时，f k+1（x）＝成立，由数学归纳法知，此命题正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查函数的性质以及恒成立问题，属于中档题．14．【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1；∴当≤x≤2时，当x＝1时，f（x）有最小值﹣1；当x＝2时，f（x）有最大值1；即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]；当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故答案为：[﹣5，0]．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．【分析】（1）推导出A＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B，A∪B．（2）先求出∁R A，由（∁R A）∩B＝B，得到B⊆∁R A，从而A∩B＝∅，由B＝∅，求出a≥0，由B≠∅，求出﹣≤a＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}．当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，即A∩B＝∅．①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，a的取值范围为a≥﹣．【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集定义的合理运用．16．【分析】（1）﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根，由韦达定理或直接代入可得解；（2）将（x1+1）（x2+1）＝8展开x1x2+x1+x2＝7，将方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的韦达定理代入，可得解；（3）利用二次方程的根的分布条件可得解；【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根；所以，解之得：b＝0，c＝﹣1；（2）因为c＝b2+2b+3，f（x）＝x2+2bx+c＝0，所以x2+2bx+b2+2b+3＝0因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的两根，所以△＝4b2﹣4b2﹣8b﹣12≥0即；所以，因为（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+x1+x2＝7，所以﹣2b+b2+2b+3＝7；所以b2＝4，所以b＝2或b＝﹣2，因为，所以b＝﹣2；（3）因为f（1）＝0，所以c＝﹣1﹣2b设g（x）＝f（x）+x+b＝x2+（2b+1）x﹣b﹣1，则有解得，故b的取值范围为；【点评】本题考查三个二次之间的关系，利用韦达定理整体代入的处理方法，考查了二次方程根的分布问题，属于中档题．17．【分析】（1）利用奇偶函数判断方法判断；（2）利用减函数的定义判断即可；（3）根据分段函数写出结论．【解答】解：（1）因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数的定义域关于原点对称，因为，所以f（x）是奇函数．（2）函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，证明：任取x1，x2∈（0，2]，且0＜x1＜x2≤2，，因为0＜x1＜x2≤2，所以2≥x2＞0，2＞x1＞0，所以4＞x1x2，所以x1x2﹣4＜0，又因x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．（3）实数t的取值范围为[0，1]．【点评】考查判断函数的奇偶性，函数单调性的证明，和分段函数的应用，中档题．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．【分析】根据函数定义域和值域关系，分别进行讨论求解即可．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．【点评】本题主要考查方程的求解，结合函数的定义域和值域的关系，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，比较基础．19．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得f（a）＜f（3）⇒|a|＞3，解可得a的取值范围，结合函数的定义域即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，4）上为减函数，又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，解可得：a＞3或a＜﹣3；又由函数的定义域为（﹣4，4），即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数的定义域，属于基础题．20．【分析】利用参数分离法分离出2a，求出y＝x+的值域，即可得到解．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得，当且仅当x＝成立，又y＝x+，y（1）＝6，y（3）＝，所以y∈[，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[，6]，a∈[，3]，故选：C．【点评】考查函数的零点问题，用了参数分离法，对勾函数求值域，中档题．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．【分析】先求出函数定义域，利用基本不等式求出最大值，因为f（x）≥0，f（x）＝0为最小，求出即可．【解答】解：的定义域为[﹣3，1]，由基本不等式，得，当1﹣x＝x+3，即x＝﹣1时，成立，当x＝﹣3，1时f（x）＝0，故答案为：；﹣3，1．【点评】考查求函数的定义域，函数最值，利用了基本不等式，中档题．22．【分析】（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，直接求解可得；（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多，对第二段函数的对称轴进行讨论，结合函数图象得到答案【解答】解：（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，则方程g（x）＝t只有一个解，所以f（t）＝1；（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立；即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；当a≤0 时，作出函数g（x）的图象；显然不满足方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；当a＞0时，作出函数g（x）的图象；要存在t，使得方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；则要求二次函数的最大值要大于2；即，解得a＞1；故答案为：1，（1，+∞）．【点评】本题考查对新定义的理解与等价转化，考查函数的单调性，方程的根的个数和数形结合的思想，属于中档题．23．【分析】（1）由“保值”区间的定义直接写出即可；（2）根据题意，按[a，b]⊆（0，+∞），[a，b]⊆（﹣∞，0），a＝0及b＝0四种情况讨论即可．【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y＝x2的一个“保值”区间为[0，1]；（2）易知，函数f（x）＝x2+m（m≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），①当[a，b]⊆（0，+∞）时，则，即方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的正根，则，解得；②当[a，b]⊆（﹣∞，0）时，则，则a+b＝﹣1，则，即方程x2+x+m+1＝0有两个不相等的负根，则，解得；③当a＝0时，此时f（0）＝0，则m＝0，与题设矛盾；④当b＝0时，则，即m2+m＝0，解得m＝﹣1或m＝0（舍去）；综上，实数m的取值范围为．故答案为：[0，1]；．【点评】本题考查函数中的新定义问题，解决本题的关键是把问题转化为一元二次方程中根与系数的关系问题，进而建立不等式组得解，本题属于中档题．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．【分析】（1）直接考察数据的取整问题，直接求出结果．（2）利用函数的取整问题的应用，进一步求出函数的值域．（2）利用函数f（x）是Ω函数和函数的取整，进一步进行讨论，最后求出参数的范围．【解答】解：（1）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，所以f（1.2）＝1，f（﹣1.2）＝﹣2．（2）方法1：因为，所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t，使得，此时，f（x）＝0；（2）存在整数t，使得，此时，f（x）＝1．综上，f（x）的值域为{0，1}．（3）当函数是Ω函数时，若a＝0，则f（x）＝x显然不是Ω函数，矛盾．若a＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，同理可证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，此时不存在m∈（﹣∞，0），使得f（m）＝f（[m]），同理不存在m∈（0，∞），使得f（m）＝f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时不是Ω函数．当a＞0时，设f（m）＝f（[m]），所以，所以有a＝m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜[m]（[m]+1），所以[m]2＜a＜[m]（[m]+1）．。
高一上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(原卷版)
2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（提高篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章、第三章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集UU=R，集合AA={xx|4<xx−2<8}，BB={xx|2+aa<xx< 1+2aa}，若AA∪BB=AA，则aa的取值范围是（）A．(−∞,1]B．�−∞,92�C．�4,92�D．(−∞,1]∪�4,92�2．（5分）（23-24高一上·重庆·期中）下面命题正确的是（）A．已知xx∈R，则“xx>1”是“1xx<1”的充要条件B．命题“若∃xx0≥1，使得xx02<2”的否定是“∀xx<1,xx2≥2”C．已知xx,yy∈R，则“|xx|+|yy|>0”是“xx>0”的既不充分也不必要条件D．已知aa,bb∈R，则“aa−3bb=0”是“aa bb=3”的必要不充分条件3．（5分）（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2≤2xx+3yy≤6，−3≤5xx−6yy≤9，则zz=11xx+3yy的取值范围是（）A．�zz|53≤zz≤893�B．�zz|53≤zz≤27�C．�zz|3≤zz≤893�D．{zz|3≤zz≤27}4．（5分）（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数ff(xx)的图象经过点�√2,12�，则下列判断正确的是（）A．ff(xx)在(0,+∞)上为增函数B．方程ff(xx)=4的实根为±2C．ff(xx)的值域为(0,1)D．ff(xx)为偶函数5．（5分）（23-24高二下·浙江·期中）关于xx的不等式(aa−1)xx2−aaxx+aa+1≥0的解集为RR，则实数aa的取值范围是（）A．aa>1B．aa≥2√33C．−2√33≤aa≤2√33D．aa≤−2√33或aa≥2√336．（5分）（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数ff(xx)=xx2−2,gg(xx)=−12xx+1，用MM(xx)表示函数ff(xx),gg(xx)中的较大者，即MM(xx)=max{ff(xx),gg(xx)}，则MM(xx)的最小值为（）A．0 B．7−√178C．14D．27．（5分）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若aa>bb，且aabb=2，则(aa−1)2+(bb+1)2aa−bb的最小值为（）A．2√5−2B．2√6−4C．2√5−4D．2√6−28．（5分）（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数ff(xx)的定义域为R，对任意实数xx，yy满足ff(xx+yy)= ff(xx)+ff(yy)+12，且ff(12)=0，当xx>12时，ff(xx)>0．给出以下结论：①ff(0)=−12；②ff(−1)=32；③ff(xx)为R上的减函数；④ff(xx)+12为奇函数. 其中正确结论的序号是（）A．①②④B．①②C．①③D．①④二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
高一数学上学期期中试题人教版 新版(1).doc
2019学年度第一学期高一年级期中考试数学试题2018.11.14一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分, 满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1、设集合1{|0},{|lg(23)}3x A x B x y x x -=<==-- ，则A B =I （ ） A ．}233|{-<<-x x B ．}1|{>x xC ．}3|{>x xD ．}323|{<<x x2、函数2(44)xy a a a =-+是指数函数，则a 的值是（ ）A ．4B ．1或3C ．3D ．1 3、当0a >且1a ≠时，函数13x y a-=+的图象一定经过点（ ）A.()4,1B.()1,4C.()1,3D.()1,3- 4、函数21()log (12)1f x x x =-++的定义域为（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,)2-∞C ．1(1,0)(0,)2-UD ．1(,1)(1,)2-∞--U5、函数2(13)y x x x =+-≤≤的值域是( )A. [0,12]B.]12,41[- C. 1[,12]2-D . ]12,43[6、设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2)f -，()f π，(3)f -的大小关系是( )A.()(3)(2)f f f π>->-B.()(2)(3)f f f π>->-C.()(3)(2)f f f π<-<-D.()(2)(3)f f f π<-<-7、如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤08、已知55(),3x xf x --=则()f x 是（ ） A. 奇函数，在R 上为增函数 B. 偶函数，在R 上为增函数 C. 奇函数，在R 上为减函数 D. 偶函数，在R 上为减函数9、若0a >且1a ≠,则函数2(1)y a x x =--与函数log a y x =在同一坐标系内的图像可能是( )10、已知0.356,0.3,ln 0.4,a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>11、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >1，2－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞12、函数()22log 32y x x =-+的单调递减区间为（ ）A 、(),1-∞B 、 ()2,+∞C 、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D 、3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13、已知函数3log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1(())9f f =_____________.14、函数133xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的最大值为________．15、函数11142x xy ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为___________________.16、若132log <a，则a 的取值范围是___________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17、（本小题满分10分）（1）71log 2121lg lg 2510074-+⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭（2）14030.75333264()(2)162---⎡⎤--++⎣⎦18、（本小题满分10分） 已知311=+-xx 求下列各式子的值：(1)22-+x x (2)2121-+x x19、（本小题满分12分）设全集是实数集R ,集合(){|log 13}a A x y x x ==--，{|20}xB x m =+≤（1）、当4m =-时，求A B U ,A B I （2）、若()R C A B B =I ,求实数m 的取值范围20、（本小题满分12分）已知函数21()log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数)(x f 的定义域；（2）若当),1(+∞∈x 时，m x x f >-+)1(log )(2恒成立．求实数m 的取值范围.21、（本题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，12()log (7).f x x =+（1）求函数()f x 的表达式；（2）若(1)(3)0,f a f a ---<求a 的范围。
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∴
即 ． …………………………………………4分
当点F在点D时，这时角 最小，求得此时 = ；
当点E在C点时，这时角 最大，求得此时 = ．
故此函数的定义域为 .……………………………………………………………6分
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求 的周长 的最小值即可.
解析：解法一由 <α< ，得 <α－ < ，
又sin (α－ )＝ ，
所以cos (α－ )＝ .
所以cosα＝cos [(α－ )＋ ]＝cos (α－ )cos －sin (α－ )sin ＝ ，所以sinα＝ .
故原式＝ ＝cosα(1＋2sinα)＝ .…………12分
解法二由sin (α－ )＝ ，得sinα－cosα＝ ，两边平方，得1－2sinαcosα＝ ，
数学月测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5份，合计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数 最小值是 ( )
A．-1 B. C. D.1
2.下列四个条件中,能确定一个平面的是（）
A.一条直线和一个点B.空间两条直线
C.空间任意三点D.两条平行直线
3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
∴ …………10分
∵ ，
∴ …………12分
20.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC= 米，为了便于居民平时休闲散步，
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
数学月测试卷参考答案
二、选择题，
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.D
7.B.
8.A
9.D
10.D
11.B
12.C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.- ．
14.-7
15.
16.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知 < < < ，
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求cos ．
由（1）得， ，
设 ，则 ，
∴ ……………………………………………8分
由， ，得 ，∴ ，
从而 ，……………………………………………………………10分
当 ，即BE=25时， ,
所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元.…………12分
21.
（1)设 <α< ，sin (α－ )＝ ，求： 的值．
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7.函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为 （ ）
A． [ -2 ,2] B.[- , ] C.[-1,1 ] D.[- , ]
8．设 ， ， ，则( )
= …………4分
所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 .…………6分
（2） = =－ , 所以 ,
因为C为锐角, 所以 ,…………8分
又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , ………10分
……12分
19.解： …………4分
∵ ，∴ ，∵ ， ， ∴
∴ ，∴ ，………6分
∵ ，∴ （第三象限的角）
解：（1）由 ，得 ．
∴ …………5分
（2）由 ，得 ．
又∵ ，∴ ．
由 得：
．…………10分
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
(3)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(4)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.
解（1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.
14.在 中，已知tanA ,tanB是方程 的两个实根，则 ．
15.已知 ,则 的值为
16.在 中， ，AD是角A的角平分线，且 ，则k的取值范围是；
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.(本小题满分10分)
已知 < < < ，
18.(本小题满分12分)
设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.
19.(本小题满分12分)
已知 ， ，且 ，
（2）求 的值
20.(本小题满分12分)
某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC= 米，为了便于居民平时休闲散步，
(3)是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
（1）证明
……2分
（2）不妨设 。
在 中，由正弦定理， 。
又由余弦定理， 。
于是， ，解得 ， 即三边长为4、5、6.………7分
（3）假设这样的 存在。
在 中，由正弦定理，
。
又由余弦定理， 。
于是， ，
化简得 ，
整理得 。
因n为整数，故 ，则边长为1、2、3，不构成三角形。
故这样的三角形不存在。…………12分
C．cosA>sinB且cosB<sinAD．cosA<sinB且cosB>sinA
12.在△ABC中， 分别是 , 的中点，且 ，若 恒成立，
则 的最小值为（）
A B 1 C D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
4.已知 ∥ （ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
5.异面直线是指 （ ）
Ａ．空间中两条不相交的直线 Ｂ．分别位于两个不同平面内的两条直线
Ｃ．平面内的一条直线与平面外的一条直线 Ｄ．不同在任何一个平面内的两条直线
即2sinαcosα＝ >0.
由于 <α< ，故 <α< .
因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝ ，
故sinα＋cosα＝ ，
解得sinα＝ ，cosα＝ .下同解法一．
（2）求 的值。
解析：原式＝ ＝
＝ ＝ …………6分
22.（12分）
（1）证明：
(2)是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；若存在， 求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
（1）设∠BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
并求出最低总费用．
解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE= ，∴OE= .…………1分
在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO= ，∴OF= .……………………2分
A．c<a<bB．b<c<a
C．a<b<cD．b<a<c
9.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10.设 ，且 是第四象限角，则 的值是（）
A. B. C. D.
11.在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinAB．cosA<sinB且cosB<sinA
并求出最低总费用．
21.(本小题满分12分)
（1）设 <α< ，sin (α－ )＝ ，求： 的值．
（2） 求 的值。
22.(本小题满为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；若存在， 求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
(3) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。