2019高一数学期中试题
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14.在 中，已知tanA ,tanB是方程 的两个实根，则 ．
15.已知 ,则 的值为
16.在 中， ，AD是角A的角平分线，且 ，则k的取值范围是；
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.(本小题满分10分)
已知 < < < ，
18.(本小题满分12分)
设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
C．cosA>sinB且cosB<sinAD．cosA<sinB且cosB>sinA
12.在△ABC中， 分别是 , 的中点，且 ，若 恒成立，
则 的最小值为（）
A B 1 C D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为
并求出最低总费用．
21.(本小题满分12分)
（1）设 <α< ，sin (α－ )＝ ，求： 的值．
（2） 求 的值。
22.(本小题满分12分)
（1）证明：
（2) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；若存在， 求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
(3) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
由（1）得， ，
设 ，则 ，
∴ ……………………………………………8分
由， ，得 ，∴ ，
从而 ，……………………………………………………………10分
当 ，即BE=25时， ,
所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元.…………12分
21.
（1)设 <α< ，sin (α－ )＝ ，求： 的值．
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
解：（1）由 ，得 ．
∴ …………5分
（2）由 ，得 ．
又∵ ，∴ ．
由 得：
．…………10分
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
(3)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(4)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.
解（1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.
∴ …………10分
∵ ，
∴ …………12分
20.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC= 米，为了便于居民平时休闲散步，
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
数学月测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5份，合计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数 最小值是 ( )
A．-1 B. C. D.1
2.下列四个条件中,能确定一个平面的是（）
A.一条直线和一个点B.空间两条直线
C.空间任意三点D.两条平行直线
3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
数学月测试卷参考答案
二、选择题，
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.D
7.B.
8.A
9.D
10.D
11.B
12.C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.- ．
14.-7
15.
16.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知 < < < ，
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求cos ．
A．c<a<bB．b<c<a
Байду номын сангаасC．a<b<cD．b<a<c
9.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10.设 ，且 是第四象限角，则 的值是（）
A. B. C. D.
11.在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinAB．cosA<sinB且cosB<sinA
(3)是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
（1）证明
……2分
（2）不妨设 。
在 中，由正弦定理， 。
又由余弦定理， 。
于是， ，解得 ， 即三边长为4、5、6.………7分
（3）假设这样的 存在。
在 中，由正弦定理，
。
又由余弦定理， 。
于是， ，
化简得 ，
整理得 。
因n为整数，故 ，则边长为1、2、3，不构成三角形。
故这样的三角形不存在。…………12分
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
4.已知 ∥ （ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
5.异面直线是指 （ ）
Ａ．空间中两条不相交的直线 Ｂ．分别位于两个不同平面内的两条直线
Ｃ．平面内的一条直线与平面外的一条直线 Ｄ．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：解法一由 <α< ，得 <α－ < ，
又sin (α－ )＝ ，
所以cos (α－ )＝ .
所以cosα＝cos [(α－ )＋ ]＝cos (α－ )cos －sin (α－ )sin ＝ ，所以sinα＝ .
故原式＝ ＝cosα(1＋2sinα)＝ .…………12分
解法二由sin (α－ )＝ ，得sinα－cosα＝ ，两边平方，得1－2sinαcosα＝ ，
即2sinαcosα＝ >0.
由于 <α< ，故 <α< .
因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝ ，
故sinα＋cosα＝ ，
解得sinα＝ ，cosα＝ .下同解法一．
（2）求 的值。
解析：原式＝ ＝
＝ ＝ …………6分
22.（12分）
（1）证明：
(2)是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；若存在， 求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7.函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为 （ ）
A． [ -2 ,2] B.[- , ] C.[-1,1 ] D.[- , ]
8．设 ， ， ，则( )
（1）设∠BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
并求出最低总费用．
解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE= ，∴OE= .…………1分
在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO= ，∴OF= .……………………2分
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.
19.(本小题满分12分)
已知 ， ，且 ，
（2）求 的值
20.(本小题满分12分)
某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC= 米，为了便于居民平时休闲散步，
又∠EOF=90°，∴EF= = ,
∴
即 ． …………………………………………4分
当点F在点D时，这时角 最小，求得此时 = ；
当点E在C点时，这时角 最大，求得此时 = ．
故此函数的定义域为 .……………………………………………………………6分
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求 的周长 的最小值即可.
= …………4分
所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 .…………6分
（2） = =－ , 所以 ,
因为C为锐角, 所以 ,…………8分
又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , ………10分
……12分
19.解： …………4分
∵ ，∴ ，∵ ， ， ∴
∴ ，∴ ，………6分
∵ ，∴ （第三象限的角）
15.已知 ,则 的值为
16.在 中， ，AD是角A的角平分线，且 ，则k的取值范围是；
三．解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.(本小题满分10分)
已知 < < < ，
18.(本小题满分12分)
设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
C．cosA>sinB且cosB<sinAD．cosA<sinB且cosB>sinA
12.在△ABC中， 分别是 , 的中点，且 ，若 恒成立，
则 的最小值为（）
A B 1 C D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为
并求出最低总费用．
21.(本小题满分12分)
（1）设 <α< ，sin (α－ )＝ ，求： 的值．
（2） 求 的值。
22.(本小题满分12分)
（1）证明：
（2) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；若存在， 求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
(3) 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
由（1）得， ，
设 ，则 ，
∴ ……………………………………………8分
由， ，得 ，∴ ，
从而 ，……………………………………………………………10分
当 ，即BE=25时， ,
所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元.…………12分
21.
（1)设 <α< ，sin (α－ )＝ ，求： 的值．
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
解：（1）由 ，得 ．
∴ …………5分
（2）由 ，得 ．
又∵ ，∴ ．
由 得：
．…………10分
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.
(3)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(4)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.
解（1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.
∴ …………10分
∵ ，
∴ …………12分
20.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC= 米，为了便于居民平时休闲散步，
该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，
要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
数学月测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5份，合计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数 最小值是 ( )
A．-1 B. C. D.1
2.下列四个条件中,能确定一个平面的是（）
A.一条直线和一个点B.空间两条直线
C.空间任意三点D.两条平行直线
3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
数学月测试卷参考答案
二、选择题，
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.D
7.B.
8.A
9.D
10.D
11.B
12.C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.- ．
14.-7
15.
16.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知 < < < ，
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求cos ．
A．c<a<bB．b<c<a
Байду номын сангаасC．a<b<cD．b<a<c
9.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10.设 ，且 是第四象限角，则 的值是（）
A. B. C. D.
11.在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinAB．cosA<sinB且cosB<sinA
(3)是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
（1）证明
……2分
（2）不妨设 。
在 中，由正弦定理， 。
又由余弦定理， 。
于是， ，解得 ， 即三边长为4、5、6.………7分
（3）假设这样的 存在。
在 中，由正弦定理，
。
又由余弦定理， 。
于是， ，
化简得 ，
整理得 。
因n为整数，故 ，则边长为1、2、3，不构成三角形。
故这样的三角形不存在。…………12分
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
4.已知 ∥ （ ）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
5.异面直线是指 （ ）
Ａ．空间中两条不相交的直线 Ｂ．分别位于两个不同平面内的两条直线
Ｃ．平面内的一条直线与平面外的一条直线 Ｄ．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：解法一由 <α< ，得 <α－ < ，
又sin (α－ )＝ ，
所以cos (α－ )＝ .
所以cosα＝cos [(α－ )＋ ]＝cos (α－ )cos －sin (α－ )sin ＝ ，所以sinα＝ .
故原式＝ ＝cosα(1＋2sinα)＝ .…………12分
解法二由sin (α－ )＝ ，得sinα－cosα＝ ，两边平方，得1－2sinαcosα＝ ，
即2sinαcosα＝ >0.
由于 <α< ，故 <α< .
因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝ ，
故sinα＋cosα＝ ，
解得sinα＝ ，cosα＝ .下同解法一．
（2）求 的值。
解析：原式＝ ＝
＝ ＝ …………6分
22.（12分）
（1）证明：
(2)是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；若存在， 求出该三角形三边；若不存在，请说明理由。
6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7.函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为 （ ）
A． [ -2 ,2] B.[- , ] C.[-1,1 ] D.[- , ]
8．设 ， ， ，则( )
（1）设∠BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？
并求出最低总费用．
解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE= ，∴OE= .…………1分
在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO= ，∴OF= .……………………2分
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.
19.(本小题满分12分)
已知 ， ，且 ，
（2）求 的值
20.(本小题满分12分)
某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC= 米，为了便于居民平时休闲散步，
又∠EOF=90°，∴EF= = ,
∴
即 ． …………………………………………4分
当点F在点D时，这时角 最小，求得此时 = ；
当点E在C点时，这时角 最大，求得此时 = ．
故此函数的定义域为 .……………………………………………………………6分
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求 的周长 的最小值即可.
= …………4分
所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 .…………6分
（2） = =－ , 所以 ,
因为C为锐角, 所以 ,…………8分
又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , ………10分
……12分
19.解： …………4分
∵ ，∴ ，∵ ， ， ∴
∴ ，∴ ，………6分
∵ ，∴ （第三象限的角）