高一数学指数函数经典例题

高一数学 指数函数平移问题

⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .

f (x )的图象

向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象.

指数函数·经典例题解析

(重在解题方法)

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y 3

(2)y (3)y 12x

＝＝＝-+---213321x x

解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0．

(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4

12

-=x y ； （2）||

2()3

x y =； （3）12

41

++=+x x y ；

【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]

A ．a ＜b ＜1＜c ＜d

B ．a ＜b ＜1＜d ＜c

C ． b ＜a ＜1＜d ＜c

D ．c ＜d ＜1＜a ＜b

解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数①

②

满足不等式

,则它们的图象是 ( ).

【例3】比较大小：

(1)2(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

2481632

358945

12--()

(3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，

又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．

22224282162133825491

2

2841621

2

3

13

5

25

8

38

9

49

3859=====

解 (2)0.6110.6

∵＞，＞，

∴＞．

-

---45

12

45

12

32

32

()()

解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 及时演练（1）1.72.5与

1.73

( 2 )0.1

0.8

-与0.2

0.8

- ( 3 )

1.70.3 与0.93.1

（４）

5

.31

.2和

7

.20

.2

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，＞，

a a a

a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

111

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，

∴＞，＞a

a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()--+--+-1a 1n 101

【例５】已知函数f(x)＝a －

1

2x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.

【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝1

2.

解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝1

2.【答案】 12

【例6】解求函数＝的单调区间及值域．

令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5x

x 2

5x 622()()34

3

4

u

＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数

＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．

－＋6x x y x 25x 6(][)()(][)-+-+525

2

345252

又∵＝－＋＝≥，

函数＝，在∈，∞上是减函数，

所以函数＝的值域是，．

－＋u x 5x 6y u y 2

x 25x 6()()[)()(]x u ----+52141

4

341

4

340108

324

【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．

＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()141

2

121211212341

2

121

2

222

x x x x x x x u --+=-+-

+-3401212121

2

1212141

2

在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01]

(][()()()()[x x x x

当x ＝0时，函数y 有最大值为1．

【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+1

1

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域； (3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ．

f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+111

1

∴函数f(x)为奇函数．

(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒11

111

10即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)

＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．

a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l x

x x x x -+-+--++112121*********()

()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212