CH7时间序列计量经济模型

例．一个最简单的随机时间序列是一具有零均 值同方差的独立分布序列： Xt=µt ， µt~N(0,σ2) 该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 白噪声（ noise） 白噪声 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由 定义,一个白噪声序列是平稳的 一个白噪声序列是平稳的。 一个白噪声序列是平稳的 例 9.1.2 ．另一个简单的随机时间列序被称为 随机游走（ walk） 随机游走 （ random walk ） ，该序列由如下随机过程 生成：
一、问题的引出：非平稳变量与经典 问题的引出： 回归模型
⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： 到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据 截面数据(cross-sectional data) • 面板数据 面板数据（panel data/time-series crosssection data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据 时间序列数据是最常见
n →∞ i
− X ) 2 / n) = Q
第（1）条是OLS估计的需要 第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致 P lim ˆ 性”特性： ( β ) = β
n →∞
注意：在双变量模型中： 注意：在双变量模型中：
ˆ = β + ∑ xi u i = β + ∑ xi u i / n β ∑ xi2 ∑ xi2 / n
• 然而，对X取一阶差分 first difference 一阶差分（first difference）: 一阶差分 ∆Xt=Xt-Xt-1=µt 由于µt是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 • 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 事实上，随机游走过程是下面我们称之为 是下面我们称之为1 AR(1 过程的特例 归AR(1)过程的特例 Xt=φXt-1+µt 不难验证: )|φ|>1 不难验证 :1)|φ|>1时 ， 该随机过程生成的时间序列 是发散的， 表现为持续上升( 或持续下降( 是发散的 ， 表现为持续上升 (φ>1) 或持续下降 (φ<因此是非平稳的； 1)，因此是非平稳的；
二、时间序列模型的基本概念
• 随机过程：随时间由随机变量组成的一个 随机过程： 有序序列称为随机过程。 ,t∈T}表示 表示。 有序序列称为随机过程。用{xt,t∈T}表示。 简记为{x 简记为{xt}或xt。 • 时间序列：随机过程的一次观测结果称为 时间序列： 时间序列。也用{x ,t∈T}表示 表示， 时间序列。也用{xt,t∈T}表示，并简记为 {xt}或xt。 • 随机过程和时间序列一般分为两类。一类 随机过程和时间序列一般分为两类。 是离散型的，一类是连续型的。 是离散型的，一类是连续型的。
2)φ=1时 是一个随机游走过程，也是非平稳的。 2)φ=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。 第二节中将证明:只有当-1<φ<1时 第二节中将证明:只有当-1<φ<1时，该随机过程 才是平稳的。 才是平稳的。 • 1 阶自回归过程 AR(1) 又是如下 k 阶自回归 AR(K) 过 阶自回归过程AR( 又是如下k阶自回归AR(K) AR(1 AR(K)过 的特例： 程的特例： Xt= φ1Xt-1+φ2Xt-2…+φkXt-k + 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。 该随机过程平稳性条件将在第二节中介绍。
因此：
ˆ = β + P lim ∑ xi u i / n = β + 0 = β P lim β n →∞ Q P lim ∑ xi2 / n
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则 如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则 如果 ）， 不成立，回归估计量不满足“一致性” （2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于 大样本的统计推断也就遇到麻烦。 大样本的统计推断也就遇到麻烦。
Xt=Xt-1+µt
这里， µt是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值 均值：E(Xt)=E(Xt-1) 均值 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的 初值为X0，则易知 X1=X0+µ1 X2=X1+µ2=X0+µ1+µ2 … … Xt=X0+µ1+µ2+…+µt + 由于X0为常数，µt是一个白噪声，因此Var(Xt)=tσ2 的方差与时间t 有关而非常数， 即 Xt 的方差与时间 t 有关而非常数 ， 它是一非平稳序 列。
rk
1
rk
1
0
k
0
k
(a) (b) 图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。 暗含着一个重要假设 • 数据非平稳，大样本下的统计推断基础 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 一致 要求——被破怀。 被破怀。 性”要求 被破怀 • 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 经典回归分析的假设之一：解释变量X 量 • 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： 放宽该假设： 是随机变量，则需进一步要求： (1)X 不相关∶Cov(X,µ (1)X与随机扰动项 µ 不相关∶Cov(X,µ)=0 (2) ∑ ( X i − X ) 2 / n 依概率收敛： P lim (∑ ( X 依概率收敛：
Xt
Xt
t (a) (b) 图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
t
• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形 定 义 随 机 时 间 序 列 的 自 相 关 函 数 ACF） （autocorrelation function, ACF）如下： ρk=γk/γ0 γ γ 自相关函数是关于滞后期k的递减函数。 自相关函数是关于滞后期k的递减函数。 实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本）， 实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本）， 样本自相关函数（ 因此，只能计算样本自相关函数 因此，只能计算样本自相关函数（Sample function）。 autocorrelation function）。
CH7 时间序列计量经济模型
November ,2011
第一节 时间序列的基本概念 第二节 单位根检验 第三节 协整分析 第四节 误差修正模型
ห้องสมุดไป่ตู้7.1 时间序列的基本概念
问题的引出： 一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列的基本概念 三、时间序列数据的平稳性 四、平稳性的图示判断
三、时间序列数据的平稳性
• 给出一个随机时间序列，首先可通过该 序列的时间路径图 时间路径图来粗略地判断它是否 时间路径图 是平稳的。 • 一个平稳的时间序列 平稳的时间序列在图形上往往表现 平稳的时间序列 出一种围绕其均值不断波动的过程； • 而非平稳序列 非平稳序列则往往表现出在不同的时 非平稳序列 间段具有不同的均值（如持续上升或持 续下降）。
数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” ⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问 题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量， 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却 有很高的相关性（有较高的R2)： 有很高的相关性 例如： 例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。 在现实经济生活中： 在现实经济生活中 情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的 实际的时间序列数据是非平稳的， 实际的时间序列数据是非平稳的 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
一个时间序列的样本自相关函数定义为： 一个时间序列的样本自相关函数定义为：
rk =
∑ (X
t =1
n−k
t n
− X )(X t + k − X )
t
∑ (X
t =1
− X)
2
k = 1,2,3, ⋯
易知， 随着k的增加， 样本自相关函数下降且趋 易知 ， 随着 k 的增加 ， 于零。 但从下降速度来看， 于零 。 但从下降速度来看 ， 平稳序列要比非平稳 序列快得多。 序列快得多。
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• 滞后算子： 滞后算子：
• 用L表示一阶滞后算子，定义 表示一阶滞后算子， • Lxt=xt-1 • 则k阶滞后算子定义为 • Lkxt=xt-k
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时间序列分析中首先遇到的问题 首先遇到的问题是关于时间序 首先遇到的问题 列数据的平稳性 平稳性问题。 平稳性 假定某个时间序列是由某一随机过程 假定某个时间序列是由某一随机过程 process）生成的， （stochastic process）生成的，即假定时间序列 {Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分 ） 布中随机得到，如果满足下列条件： 布中随机得到，如果满足下列条件： 均值E(X )=µ 与时间t 无关的常数； 1）均值E(Xt)=µ是与时间t 无关的常数； 方差Var(X )=σ 与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=σ2是与时间t 无关的常数； 协方差Cov(X )=γ 是只与时期间隔k 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=γk 是只与时期间隔k有 与时间t 无关的常数； 关，与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的 stationary) 平稳的（ 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而 平稳随机过程（ 该随机过程是一平稳随机过程 该随机过程是一平稳随机过程（stationary process）。 stochastic process）。