222双曲线简单的几何性质导学案
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
双曲线的几何性质导学案
2.2.2双曲线的几何性质（一）学习目标重难点1、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系；2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。
重点：双曲线的几何性质难点：直线与双曲线的交点，弦长问题，用第二定义求双曲线方程一、问题引导，自我探究以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做 。
3．顶点：双曲线和x 轴有两个交点是 ，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
4．渐近线：他们是如何确立的？5. 叫做等轴双曲线；等轴双曲线的渐近线是 。
6.双曲线的离心率是二、探究精讲:以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。
1．顶点：在双曲线12222=-b y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
高二数学 2.2.2双曲线的简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1
高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 【自主学习】（预习教材P49~ P51） 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．【合作探究】例1．（教材P51例3）求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．【目标检测】1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B．2 C．3D．2 4．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5、已知双曲线的离心率2e=(5,3)M-，求其标准方程。
双曲线的简单几何性质(学案)
学案2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）一、教学目标1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
二、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。
三、 教学过程 （一）复习1、椭圆标准方程及其几何性质：2、双曲线及其标准方程方程：参数关系：请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。
（二）双曲线的性质1、范围：推导：把双曲线方程12222=-by a x 变形为：结论 范围：2、对称性推导：结论3、顶点：结论 顶点：等轴双曲线：4、离心率定义：双曲线的 与 的比 ，叫做双曲线的离心率。
结论 双曲线的离心率1>e 且e 越大双曲线的开口就越开阔。
5、渐近线结论 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线方程练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。
（1）369422=-y x 的渐近线方程是： ； （2）369422-=-y x 的渐近线方程是： ； （3）10042522=-y x 的渐近线方程是： ； （4）10042522-=-y x 的渐近线方程是： 。
结论：把双曲线标准方程中等号右边的 改成 ，然后变形，即可得其渐近线方程。
例1、 求双曲线14416922=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
解：把方程14416922=-x y 化为标准方程1342222=-x y由此可知，半实轴长4=a ，半虚轴长3=b ；5342222=+=+=b a c焦点坐标是)5,0(),5,0(-；离心率45==a c e ；渐近线方程为x y 34±=。
【变式练习】1、求双曲线14416922-=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2、 求适合下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为45； （2） 顶点间距离为6，渐近线方程为x y 23±=；解：（1）设双曲线的标准方程为12222=-b y a x 或)0,0(>>b a 。
2.2.2双曲线的几何性质导学案(公开课)
2.2.2双曲线的几何性质使用时间：2016-4-18【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P51—P54，用红色笔进行勾画，并完成导学案预习自学部分时间不超过20分钟；2.限时、认真、独立完成合作探究设置的问题;3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂上讨论质疑。
【学习目标】1．探究、推导并初步掌握双曲线的几何性质。
2.培养学生运用数形结合的思想和联想、类比归纳的方法，解决实际问题。
3.通过合作探究，培养学生团队协作能力。
课前案.一、 基础知识储备:二、 预习效果检测：1.求函数 的最小值为（ ） A ．1 B. 2C. 3D. 42.若x>4,则函数41-+=x x y ( ) A. 有最大值 -6 B. 有最小值6 C ．有最大值 -2 D ．有最小值23.已知x 、y 都是正数，（1）如果xy=15，则x+y 的最小值是_________; （2）如果x+y=15，则xy 的最大值是_________;课中案合作探究1.已知.111b a ,的最小值，求且、ba Rb a +=+∈+跟踪训练：求满足已知正数,12,=+y x y x 的最小值yx 11+.小结：__________________________________________________________2.().__________1142的值域为->++=x x x y跟踪训练：若x>-1,求.1222的最小值+--=x x x y小结：_________________________________________________________3.(1)一个矩形的面积为100 问：这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2)已知矩形的周长为36m,问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？小结：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________【我的收获】____________________________________________________________________________________________课后案1. 求函数()的值的最大值以及相应的x x x xy 042>--=2.下列各式中，最小值为2的是 （ ）xyy x A.+ 414B.22+++x xx x e e -+221.3 θθtan 1tan .+D3.求函数()的值的最小值及相应的x x x x x y 1142>-+-=4.某工厂建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800 ，深度为3m .如果池底每1 的造价为150元，池壁每1 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少元?2m 2m 2m 2m。
《2.2.2双曲线的简单几何性质》导学案1
2.2.2《双曲线的简单几何性质》导学案【学习目标】1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；2.能解决一些简单的双曲线问题.【重点难点】双曲线的简单几何性质及其简单应用，对离心率的理解.【学习过程】一、问题情景导入1.前面我们研究了椭圆的哪些几何性质？2.类比椭圆几何性质的研究方法，怎样根据双曲线的标准方程()0,012222>>=-b a by a x 研究它的几何性质？ 二、自学探究：(阅读课本第49-51页，完成下面知识点的梳理)1.双曲线的范围:2.双曲线的对称性：3.双曲线的顶点与实轴、虚轴：4.双曲线的离心率：5.双曲线渐近线：思考：双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的几何性质是怎样的？ 三、例题演练：例1．求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.变式：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标、离心率和渐近线方程： ⑴32822=-y x ； ⑵81922=-y x ；⑶422-=-y x ； ⑷1254922-=-y x例2.根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： ⑴过点()2,3-P ，离心率25=e ； ⑵与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点()32,3-.变式：根据下列条件，求双曲线的标准方程： ⑴过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛5,316,415,3Q P ，且焦点在坐标轴上； ⑵过点()2,5-， 6=c ，焦点在x 轴上； ⑶与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()2,23； ⑷与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点()32,3-.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（）.12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A2.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x -3y =0的双曲线方程是(A )138********x y -= (B )13361381122x y -= (C )536554122x y -= (D )554536122x y -=。
双曲线的简单几何性质(一)导学案
1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。
《2.2.2双曲线的简单几何性质》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校2-2《双曲线的几何性质》导学案【学习目标】类比椭圆几何性质的研究方法研究双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率，了解双曲线的第二定义.【学习难点】双曲线的几何性质【学习难点】渐进线、离心率对双曲线的影响【问题导学】1.画出双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 的图像.2.根据1画出的图像类比椭圆几何性质的研究方法，分别指出双曲线 )0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 中x ，y 的范围、对称性、顶点、实轴长、实半轴长、虚轴长、虚半轴长.3.认真阅读课本，分别指出)0,0(12222>>=-b a b y a x 与)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近 线的定义，求法，特征.什么是等轴双曲线？等轴双曲线有何特征？4.类比椭圆，双曲线的离心率是什么？它刻画了双曲线的什么性质？【典型例题】例1、求与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的标准方程.【基础题组】1．求下列双曲线的实轴、虚轴长，顶点、焦点坐标、离心率和渐近线方程．(1)4x 2－3y 2=12 (2)16x 2－9y 2=－144 328)3(22=-y x 819)4(22=-y x 8)5(22-=-y x (6)1254922-=-y x2.双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) A . 32，4 B .4，32 C .3，4 D . 2，33．双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)的焦点到它的渐近线的距离等于( )A . 22b a b +B .bC . aD . 22b a a + 4．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A .23B . 26 C . 23 D .2 5．双曲线的渐近方程是x y 21±=，焦点在坐标轴上，焦距为10，其方程为( ) A . 152022=-y x B . 152022=-y x 或 152022=-x y C . 120522=-y x D . 152022±=-x y 6．已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的 ( ) A ．焦距为10 B ．实轴长与虚轴长分别为8与6C ．离心率e 只能是45或35D ．离心率e 不可能是45或35 7．等轴双曲线的一个焦点是F 1(4，0)，则它的标准方程是_________，渐近线方程是 ______________.8.已知双曲线1222=-b y x (b >0)的一条渐近线方程为x y 2=，则b =____________ 9.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，焦点与椭圆192522=+y x 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为____________，渐近线方程为____________10．若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为____________11．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ____________12．已知双曲线191622=-y x 上一点M 到左焦点F 1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M 点的坐标为____________13．双曲线的渐近线方程为x y ±=，两顶点之间的距离为2的标准方程：____________14．双曲线的其中一条渐近线的斜率为72，求此双曲线的离心率. 【拓展题组】15．双曲线x2b2－y2a2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B . 3C . 2D . 3216．双曲线x29－y216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A . 3B ．3C ．4D ．2 17．双曲线x24＋y2b ＝1的离心率e ∈(1，2)，则b 的取值范围是________．18．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.19．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________. 20．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．。
双曲线的简单几何性质+导学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案课时目标：1.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线的渐近线及渐近线的求法；2理解离心率的几何意义.活动一、复习回顾1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的______________ 等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做_________ .这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______ .2. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a, b, c 的关系活动二：类比探究1.思考：我们前面在学习椭圆的几何性质时，主要从哪几方面学习了椭圆的几何性质？2.类比探究双曲线的几何性质 （1焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)性质范围对称性顶点轴及轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线（2）重、难点突破：双曲线的渐近线渐近线方程：____________________ 渐近线方程：____________________（3）思考归纳：结合双曲线的离心率与渐近线斜率的关系总结出离心率的几何意义.活动三：练习巩固例. 求双曲线 229-16=144y x 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程.活动四：课堂小结1.知识清单：双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线及离心率；结论1：渐近线方程为：y =±ba x (焦点在x 轴上)或y =±ab x （焦点在y 轴上）. 结论2：离心率越大，双曲线开口越___ ；离心率越小，开口越___.2.数学思想方法归纳： 类比、数形结合等.3.常见误区：忽略焦点位置致错.活动五：作业布置课后思考：设双曲线方程为22(0)x y k k R k -=∈≠且，求该双曲线的渐近线方程与离心率，并观察该双曲线有什么特点？。
高中数学《双曲线的简单几何性质第二课时》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质(第二课时)一、学习目标1．掌握双曲线的简单的几何性质．2．掌握直线与双曲线的位置关系．【重点、难点】1.了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中.（重点）2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题.(难点)二、学习过程【复习引入】复习 1：直线与椭圆有哪些位置关系:复习2: 判断直线与椭圆位置关系的方法:【导入新课】直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)．② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．(2)弦长公式：斜率为k 的直线l 与双曲线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2.【典型例题】例1．若直线y=kx-1与双曲线122=-y x 有且只有一个交点,则k 的值为__________ .例2.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x 2-错误!未找到引用源。
=1于A,B 两点,则|AB|= .例3.过点P(8,1)的直线与双曲线x 2-4y 2=4相交于A,B 两点,且P 是线段AB 的中点,求直线AB 的方程.【变式拓展】1 直线2x-y-10=0与双曲线152022=-y x 的交点是 ____________ .2.双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±2x ，且经过点(3，－23)．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.3.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则双曲线的方程为________．三、总结反思1.求弦长的两种方法(1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长.(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线l:y=kx+b(k ≠0)与双曲线C:12222=-b y a x (a>0,b>0)交于A(11,y x ),B(22,y x )两点,则|AB|= ||1||1211212y y x x k k -+=-+ 提醒:若直线方程涉及斜率,要注意讨论斜率不存在的情况.2.中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解决.另外,要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.四、随堂检测1．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－23.直线y=x+4与双曲线x 2-y 2=1的交点坐标为 .4.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x 2-错误!未找到引用源。
2022年《导学案双曲线的几何性质》优秀教案
双曲线的几何性质一、教学目标1、知识与技能理解双曲线的几何性质，能根据几何性质解决一些简单问题，从而培养分析、归纳、推理等能力；2、过程与方法在与椭圆的几何性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的根本方法；3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，进一步的体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用教学重点及难点二、教学重难点：重点：双曲线的几何性质及其初步应用；难点：双曲线的渐近线、离心率的应用三、复习回忆问题1、双曲线的两种标准方程是什么？a，b，c三个量之间的关系是怎样的？问题2、根据椭圆的几何性质，试完成下表四、新知探索类比椭圆的几何性质及其研究方法，我们根据双曲线的标准方程〔以焦点在轴上的为例〕来研究双曲线的性质思考：想一想椭圆的几何性质，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？环节一、双曲线几何性质的探究1、类比椭圆的几何性质，填写下表：说明：1、双曲线的对称中心叫做双曲线的中心2、双曲线与它的对称轴的交点即为双曲线的顶点双曲线仅有两个顶点：线段叫做双曲线的实轴，实轴长是，叫实半轴长，线段叫做双曲线的虚轴，虚轴长是，叫虚半轴长拓展：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线2、渐近线〔性质4〕直线叫做双曲线〔〕的渐近线探究：中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是什么呢？归纳：3、离心率〔性质5〕双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即，因为，所以思考：椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度,那么双曲线的离心率能够刻画什么几何特征呢因为，所以，越大，说明e越〔填大、小〕，说明双曲线的开口越〔填大、小〕4、自主整理：归纳双曲线的几何性质：环节二、双曲线的几何性质的简单应用例1、双曲线的焦点在轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程，并画出其草图例2、求双曲线的实半轴长，虚半轴长，顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程环节三、课堂练习1、求以下双曲线的实轴长和虚轴长，焦点坐标和渐近线方程（1）〔2〕（3）〔4〕2、一双曲线的焦点坐标为〔5，0〕，渐近线的方程为，求此双曲线的标准方程和离心率3、求双曲线的渐近线方程，并画出草图课堂小结：学完本节课，你有什么收获，试着自己总结一下吧！作业：55习题2-2A 第1，3题。
《2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)》导学案1
《双曲线的简单几何性质(1)》导学案学习目标理解并掌握双曲线的几何性质．学习重难点理解并掌握双曲线的几何性质．学习过程问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质.范围：x ：________ y ：_____________.对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：( )，( )．实轴，其长为_______；虚轴，其长为___________． 离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：0x y a b ±=．问题2：类比问题1，写出双曲线22221y x a b-=的几何性质图形：范围：x ：_________y ：__________.对称性：双曲线关于_______轴、_________轴及__________都对称．顶点：( )，( )实轴，其长为__________；虚轴，其长为___________．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为：__________________新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫_____________双曲线，其方程为：______________.合作探究例1．求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； ⑵离心率e =(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．。
双曲线的简单几何性质导学案(供参考)
2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标：1、通过对双曲线标准方程的讨论，把握双曲线的范围，对称性，极点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的明白得。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的大体问题。
【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学习难点】渐近线方程的导出。
知识回忆一、双曲线的概念： 二、双曲线的标准方程：3、回忆椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？学习进程一、 双曲线的几何性质（一）试一试类比探讨椭圆的简单几何性质的方式，依照双曲线的标准方程22221,(0,0)x y a b a b-=>>，研究它的几何性质。
①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22by 从而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。
22ax = 从而得y 的范围为 。
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明因此双曲线关于 对称。
同理，以y -代y ，方程不变得双曲线关于对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。
③极点：即双曲线与对称轴的交点。
在方程12222=-by a x 里，令y=0,得x= 取得双曲线的极点坐标为1A （ ）2A （ ） ；咱们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。
线段 别离叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长别离为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
试探：离心率能够刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特点？探讨：在学习椭圆时，以原点为中心，2a 、2b 为邻边的矩形，关于估量仍以原点为中心，2a 、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和那个矩形有什么关系？当a 、b 为已知时，那个矩形的两条对角线的方程是什么？○5双曲线特有性质----- 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线 ， 。
高中数学《双曲线的简单几何性质》导学案
授课教师：姓名：班级：2.3.2 双曲线的简单几何性质复习回顾：椭圆的图像与性质类比椭圆,探讨双曲线 的几何性质:范围；对称性；顶点；离心率；渐近线一、探究双曲线 的简单几何性质1、范围：2、对称性：3、顶点(与对称轴的交点)：4、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点（2）线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a 叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. （3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 4.渐近线思考（1）双曲线 的渐近线方程是？ （2）等轴双曲线的渐近线方程是什么？（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图5.离心率二、根据双曲线的几何性质求标准方程例2. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线的渐近线的方程为2x ±3y ＝0且经过P (6，2)；(2)经过点P (3，－2)，离心率e ＝52.22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)x y a b a b-=>> xyo -b 1B2Bb1A 2A-aa 722-.图1A 2A O1F 2F 2B 1B xy22221(0,0)x y a b a b -=>>变式2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．例3：1、双曲线 9x 2-16y 2=144的实半轴长等于 ；虚半轴长等于 ； 顶点坐标是 ；渐近线方是 . 离心率e= 。
2、离心率e=2是双曲线为等轴双曲线的 条件 。
（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空。
）例4：如图所示，过双曲线 的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.22136x y -=。
双曲线的简单的几何性质第二课时标准导学案
探究2：双曲线与直线
练习2：过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，求 两点的坐标．
练习3：过双曲线 的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，求 ？
【达标测试】
1．若椭圆 和双曲线 的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则 的值为（）．
课题:双曲线的简单几何性质第二课时导学案班级:_ _________
主备人: ________审核人:________审批人：_________授课人:__________
备注
（教师复备栏及学生笔记）
学习目标
【三维目标】
知识与技能：1．熟练掌握双曲线的定义及几何性质，能根据定义推导双曲线的标准方程回用性质解题；
A． B． C． D．
2．以椭圆 的焦点为顶点，离心率为 的双曲线的方程（）．
A. B.
C. 或 D.以上都不对
3．过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的直线，交双曲线于 、 ， 是另一焦点，若∠ ，则双曲线的离心率 等于（）．
A. B. C. D.
4．双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_______________.
5．方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则 的取值范围．
6．求与双曲线 共渐近线且过 的双曲线的方程
【本课小结】
教学反思：
备注
（教师复备栏及学生笔记）
2．熟练掌握双曲线的两种标准方程，会求与双曲线有关的几何参数及利用这些参数求双曲线的标准方程，研究双曲线的相关性质；
3．掌握直线与双曲线的关系的处理办法
过程与方法：在与椭圆类比中获得双曲线的相关解题思路，培养学生观察能力，想象力，数形结合能力。
双曲线简单的几何性质导学案
标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率课题 2.2.2双曲线简单的几何性质学习 目标 掌握双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。
重点 双曲线几何性质难点 双曲线几何性质的应用复习回顾1. 双曲线的标准方程:焦点在x 轴上：焦点在y 轴上：2.椭圆的图形及简单的集合性质（焦点在x 轴，焦点在y 轴）完成下表自主学习 双曲线12222=-b y a x 的简单几何性质1.范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a =-≥，进一步得： ，或 ．这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域；2.对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 和 为对称轴， 为对称中心；3.顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点（ ），（ ），由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做 ，长为 ，焦点不在的对称轴叫做 ，长为 ；4、渐近线：直线 叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）．合作探究1、双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±32x B．y＝±23x C．y＝±94x D．y＝±49x2、中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）A、192522=-yxB、192522=-yx或192522=-xyC、13610022=-yxD、13610022=-yx或13610022=-xy3、下列曲线的离心率为26的是（）A、14222=-yxB、12422=-yxC 、16422=-yxD、110422=-yx探究一：双曲线简单几何性质例1：求双曲线14491622=-yx的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
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茅台高级中学导学案（数学选修1-1）
执笔：梁潇 审核： 高二（ ）班 姓名：_________ 第____组 标准方程
范围
对称性顶点焦点
对称轴离心率
课题 2.2.2双曲线简单的几何性质
学习 目标 掌握双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。
重点 双曲线几何性质
难点 双曲线几何性质的应用
复习回顾
1. 双曲线的标准方程:
焦点在x 轴上：
焦点在y 轴上：
2.椭圆的图形及简单的集合性质
（焦点在x 轴，焦点在y 轴）完成下表
自主学习 双曲线122
22=-b y a x 的简单几何性质
1.范围：由双曲线的标准方程得，22
2210y x b a =-≥，进一步得： ，
或 ．这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域；
2.对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 和 为对称轴， 为对称中心；
3.顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点（ ），（ ），由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做 ，长为 ，焦点不在的对称轴叫做 ，长为 ；
4、渐近线：直线 叫做双曲线22
221x y a b -=的渐近线；
5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）．
合作探究1、双曲线
x2
4－
y2
9＝1的渐近线方程是()
A．y＝±
3
2x B．y＝±
2
3x C．y＝±
9
4x D．y＝±
4
9x
2、中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）
A、
1
9
25
2
2
=
-
y
x
B、
1
9
25
2
2
=
-
y
x
或
1
9
25
2
2
=
-
x
y
C、
1
36
100
2
2
=
-
y
x
D、
1
36
100
2
2
=
-
y
x
或
1
36
100
2
2
=
-
x
y
3、下列曲线的离心率为2
6
的是（）
A、
1
4
2
2
2
=
-
y
x
B、
1
2
4
2
2
=
-
y
x
C 、
1
6
4
2
2
=
-
y
x
D、
1
10
4
2
2
=
-
y
x
探究一：双曲线简单几何性质
例1：求双曲线
144
9
162
2=
-y
x的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
变1：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。
茅台高级中学导学案（数学选修1-1）执笔：梁潇审核：高二（）班姓名：_________ 第____组
探究二：由性质求方程
例2：求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
类
比
椭
圆
当堂检测※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：15分钟满分：10分）计分：
1、双曲线1
y-
4
x2
2
=的离心率是()
A.
3
2 B.
5
2 C.
5
4 D.
3
2
2、双曲线1
12
y
-
4
x2
2
=的焦点到渐近线的距离为()
A．2 3 B．2 C. 3 D．1
3、双曲线1
y
mx2
2=
+的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为() A．－
1
4B．－4 C．4 D.
1
4
4、若双曲线1
4
x
2
2
2
=
-
b
y
(b>0)的渐近线方程为y＝±
1
2x，则b等于________．
5、求以椭圆
x2
16＋
y2
9＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．
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