3.2.1 对数及其运算练习题(二)(改)
3.2.1(二)对数及其运算学生版
1 / 13.2.1 对数及其运算(二)一、基础过关1．若a>0且a≠1，x>0，y>0，n∈N ＋，且n>1，下列命题正确的个数为 ( )①(log a x)2＝2log a x ，②log a (x ＋y)＝log a x ＋log a y ，③log a x log a y ＝log a x y ，④log a x n ＝log a nx. A ．0B ．1C ．2D ．3 2．化简log 618＋2log 62的结果是( )A ．－2B ．2C ．2D ．log 62 3．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 4．已知3a ＝5b＝A ，若1a ＋1b ＝2，则A 等于( )A ．15 B.15 C ．±15 D ．2255.lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2的值为________．6．已知log a x ＝1，log b x ＝2，log c x ＝4，则log abc x ＝__________.7．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b＝36，求2a ＋1b 的值．8．计算下列各式的值： (1)lg 5·lg 8 000＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(2)log 155·log 1545＋(log 153)2. 二、能力提升9．若log 72＝a ，log 75＝b ，则lg 5用a ，b 表示为( )A ．ab B.b a ＋b C.1＋aba ＋bD.ab 1＋ab10．如果α，β是关于x 的方程lg(3x)·lg(5x)＝1的两实数根，则α·β等于( )A.115 B ．lg 15 C ．lg 3·lg 5 D ．15 11．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝________.12．若a 、b 是方程2(lg x)2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值． 三、探究与拓展13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)。
(完整版)对数的运算经典习题
（完整版）对数的运算经典习题1. 对数的定义根据定义，若幂运算 $a^x=b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记作 $\log_a b=x$。
其中，$a$ 叫做对数的底数，$b$ 叫做真数。
2. 对数的运算规律对数具有一些运算规律，以下是常见的对数运算规律：2.1 对数的乘法规律$\log_a (b\times c)=\log_a b+\log_a c$2.2 对数的除法规律$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$2.3 对数的幂运算规律$\log_a b^c=c\times \log_a b$3. 经典题3.1 题一已知 $\log_2 3\approx 1.59$，求 $\log_8 27$3.2 题二设 $a>1$，若 $\log_a 8=x$，求 $\log_{\sqrt{a}} 32$。
3.3 题三求证：$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=1$3.4 题四已知 $\log_2\sqrt{a}=k$，求 $\log_4 a$。
参考答案3.1 答案由对数的换底公式可知：$$\log_8 27=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}=\frac{\log_2 (3^3)}{3}=\frac{3\log_2 3}{3}=\log_2 3\approx1.59$$3.2 答案由对数的换底公式可知：$$\log_{\sqrt{a}} 32=\frac{\log_2 32}{\log_2\sqrt{a}}=\frac{5}{\frac{1}{2}\log_2 a}=\frac{10}{\log_2 a}=\frac{10}{x}$$3.3 答案根据对数的定义可知：$$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=\frac{\log_2 5\times\log_2 2}{\log_2 2}+1=1$$3.4 答案由对数的性质可知：$$\log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{k}{2}$$。
对数运算练习题
对数运算练习题对数运算练习题数学是一门充满魅力的学科，其中对数运算是数学中的一个重要部分。
对数运算常常出现在各种各样的数学问题中，对于学生来说，熟练掌握对数运算是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对对数运算的理解。
1. 计算log2(8)的值。
解析：log2(8)表示以2为底，8的对数。
可以将8写成2的幂的形式，即8=2^3，所以log2(8)=3。
2. 计算log5(1/25)的值。
解析：log5(1/25)表示以5为底，1/25的对数。
可以将1/25写成5的幂的形式，即1/25=5^(-2)，所以log5(1/25)=-2。
3. 计算log10(1000)的值。
解析：log10(1000)表示以10为底，1000的对数。
可以将1000写成10的幂的形式，即1000=10^3，所以log10(1000)=3。
4. 计算log3(27)的值。
解析：log3(27)表示以3为底，27的对数。
可以将27写成3的幂的形式，即27=3^3，所以log3(27)=3。
通过以上的练习题，我们可以看到对数运算的基本特点。
对数运算可以将指数运算转化为乘法运算，从而简化计算过程。
在实际应用中，对数运算经常用于解决指数增长、复利计算等问题。
除了以上的基本练习题，我们还可以通过一些拓展题来进一步提高对对数运算的理解。
5. 计算log4(√2)的值。
解析：我们可以将√2写成2的幂的形式，即√2=2^(1/2)，所以log4(√2)=1/2。
6. 计算log2(1/8)的值。
解析：我们可以将1/8写成2的幂的形式，即1/8=2^(-3)，所以log2(1/8)=-3。
通过以上的拓展题，我们可以看到对数运算在处理分数和根号时的应用。
对数运算可以将复杂的指数运算转化为简单的乘法运算，从而方便计算。
除了以上的练习题，我们还可以通过一些应用题来进一步提高对对数运算的理解。
7. 已知某种细菌的数量每小时增长50%，如果开始时有1000个细菌，经过多少小时细菌的数量会增长到5000个？解析：设经过x小时后，细菌的数量为5000个。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2.1 对数及其运算 第2课时 对数式的运算学案 新人教B
第2课时 对数式的运算1．了解自然对数的概念及表示． 2．理解对数的运算性质． 3．掌握换底公式及对数的运算．1．对数的运算法则若a >0，a ≠1，M >0，N >0自然语言数学表达式积的对数log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a (N 1·N 2·…·N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k (N i >0，i ＝1，2，…，k )正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和 商的对数log a M N＝log a M －log a N两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数 log a M n＝n log a M (n ∈R )正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数2．换底公式一般地，log b N ＝log a Nlog a b ，其中 b >0，b ≠1，N >0，a >0，a ≠1，这个公式称为对数的换底公式．换底公式两个重要的推论： (1)log a m b n＝n mlog a b ； (2)log a b ＝1log b a． 3．自然对数(1)以e 为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作ln_N ． (2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈2．302 6lg N ．1．下列各式中均有意义，结论正确的是( )A ．log a y ＝2log a yB ．log a x n＝n log a x C ．－log a x ＝1log a xD ．log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y 答案：B2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 125＝______． 解析：log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 22lg 2＋lg 3＝1－a2a ＋b ．答案：1－a2a ＋b3．若M 、N 同号，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 解：只有M 、N 同为正数时才成立．对数的运算法则计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 243lg 9； (4)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2．【解】 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12．(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋lg 22 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3． (3)原式＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52． (4)原式＝lg （33）12＋lg 23－3lg 1012lg3×2210＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝32．(1)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(2)要熟练掌握公式的正用和逆用．(3)在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件． (4)对于同底的对数的化简，常用方法是：计算下列各式的值：(1)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(2)lg(3＋5＋ 3－5)； (3)log 28＋43＋log 28－48． 解：(1)原式＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1．(2)原式＝12lg(3＋5＋ 3－5)2＝12lg[3＋5＋3－5＋2（3＋5）（3－5）] ＝12lg(6＋24)＝12lg 10＝12． (3)原式＝log 2(8＋43·8－43) ＝log 282－48＝log 24＝2．换底公式的应用计算：(1)log 1627·log 8132；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 【解】 (1)log 1627·log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516． (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝(log 32＋log 32log 39)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28＝(log 32＋12log 32)⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23 ＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54．应用换底公式的技巧及注意事项(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．1．log 89log 23的值是( )A ．23 B ．32 C ．1D ．2解析：选A ．法一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log 89log 23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23． 法二：将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23．2．计算：log 52·log 79log 513·log 734．解：原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349＝log 13212·3log 2232＝－12·log 32·3log 23＝－32．对数运算中的综合问题若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．【解】 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0． 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12．由已知a ，b 是原方程的两个根， 则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12．即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12．应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．1．方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．解析：原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)， 即x 2－x －2＝0， 解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0， 故方程的解是x ＝2． 答案：x ＝22．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2．1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．1．在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N ．log a M N ＝log a M log a N．log a N n＝(log a N )n．log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．要特别注意它的前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是 M ，N 都是正数这一条件，否则 M ，N 中有一个小于或等于 0，就导致 log a M 或 log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0 与 M ·N >0 并不等价．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，则下列式子中正确的个数是( ) ①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：A2．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3 解析：选D ．lg 8＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3． 3．log 327＝________． 答案：64．设2a ＝5b＝10，则1a ＋1b＝________．解析：因为2a＝10， 所以a ＝log 210， 所以1a＝lg 2，又因为5b＝10，所以b ＝log 510， 所以1b＝lg 5，所以1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1． 答案：1[A 基础达标]1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D ．原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6． 2．设a >0，a ≠1，x ∈R ，下列结论错误的是( ) A ．log a 1＝0 B ．log a x 2＝2log a x C ．log a a x＝xD ．log a a ＝1解析：选B ．当x ≤0时，log a x 无意义，故选B ． 3．如果lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )A ．2a ＋b 1＋a ＋bB ．a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 1－a ＋bD ．a ＋2b 1－a ＋b解析：选C ．因为lg 2＝a ，lg 3＝b ， 所以lg 12lg 15＝lg 3＋lg 4lg 3＋lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 3＋1－lg 2＝2a ＋b1＋b －a．4．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( ) A ．3a B ．32a C ．aD ．a2解析：选A ．原式＝3lg x 2－3lg y2＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2) ＝3(lg x －lg y )＝3a ．5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A ．因为2x＝3， 所以x ＝log 23． 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43) ＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3．故选A ．6．log 535－2log 573＋log 57－log 51．8＝________．解析：原式＝(log 55＋log 57)－2(log 57－log 53)＋log 57－(log 59－log 55) ＝1＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋1 ＝2． 答案：27．设10a＝2，10b＝3，则log 1815＝________(用a ，b 表示)． 解析：由10a＝2，10b＝3得a ＝lg 2，b ＝lg 3．所以log 1815＝lg 15lg 18＝lg 3＋lg 5lg 2＋lg 9＝lg 3＋1－lg 2lg 2＋2lg 3＝b ＋1－aa ＋2b． 答案：b ＋1－aa ＋2b8．已知m ＞0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝__________． 解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100， 所以x ＝0． 答案：0 9．计算：(1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432；(2)(log 25＋log 40．2)(log 52＋log 250．5)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23·(log 32＋12log 32)＋log 2254 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56log 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 32＋54＝56×32×lg 3lg 2×lg 2lg 3＋54 ＝54＋54＝52． (2)原式＝(log 25＋12log 215)(log 52＋12log 512)＝(log 25＋12log 25－1)(log 52＋12log 52－1)＝(log 25－12log 25)(log 52－12log 52)＝14·log 25·log 52＝14． 10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0．25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0．25(2x ＋1)． 解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2．经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2．(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)． 即log 43－x 3＋x ＝log 41－x2x ＋1．整理得3－x x ＋3＝1－x2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0．当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去． x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0．[B 能力提升]11．若 lg a ，lg b 是方程 2x 2－4x ＋1＝0 的两个根，则 (lg a b )2的值等于() A ．2 B ．12C ．4D ．14解析：选A ．由根与系数的关系，得 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2．12．若集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，则log 2(x 2＋y 2)＝________．解析：由{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }知：xy ＝1，此时两集合为{x ，1，0}＝{0，|x |，y }，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＝－1， 从而log 2(x 2＋y 2)＝log 22＝1．答案：113．已知log 89＝m ，log 35＝n ，试用m ，n 表示log 512．解：因为m ＝log 89＝23log 23＝23·lg 3lg 2， 所以lg 2＝23mlg 3， 又n ＝log 35＝lg 5lg 3，所以lg 5＝n lg 3． 则log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋43m lg 3n lg 3＝1＋43m n ＝3m ＋43mn． 14．(选做题)设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．解：由换底公式得log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3， 整理得：(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34． 所以当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值34．。
对数与对数运算练习题
对数与对数运算练习题在数学中，对数是解决指数问题的一种重要工具。
对数运算是指对数之间的各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
本文将提供一些对数与对数运算的练习题，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：基础对数运算1. 计算 log₄ 16。
2. 计算 log₂ 8 + log₄ 2。
3. 计算 log₃ 9 - log₅ 125。
4. 计算 log₁₀ 100 - log₁₀ 10。
练习题二：对数的性质运用1. 若logₓ y = 3，计算logₓ √y 的值。
2. 若logₓ y = a，logₓ z = b，求logₓ (yz) 的值。
3. 若logₐ b = x，logₓ b = y，求logₐ x 的值。
4. 若 log₂ a = m，log₂ b = n，求logₐ (ab) 的值。
练习题三：对数方程的求解1. 解方程logₓ (x - 2) = 1。
2. 解方程 log₂ (3x + 1) = log₂ (2x - 4)。
3. 解方程 log₄ (x² - 5x + 4) = 2。
练习题四：对数运算的应用1. 在化学实验中，若酸的浓度 c 可以表示为 pH = -log₁₀ c，若某酸的浓度为 10⁻⁴ mol/L，求其 pH 值。
2. 若一座大楼的高度 H 可以表示为 H = log₂ (t + 5) + 10，其中 t 为某物体从大楼顶部自由下落所需时间（单位：秒），求当 t = 2 时，大楼的高度 H。
以上是对数与对数运算的练习题，通过解题的过程，我们可以更好地理解对数的概念及其运算规律。
希望这些练习题能够帮助读者提高对数的应用能力，并在数学学习中取得更好的成绩。
3.2.1(一)对数及其运算学生版
1 / 1§3.2 对数与对数函数3．2.1 对数及其运算(一)一、基础过关1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 2．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是( )A ．a>5或a<2B ．2<a<5C ．2<a<3或3<a<5D ．3<a<4 3．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33 C ．x ＝ 3D ．x ＝9 4．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.7．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26. 8．求下列各式中x 的取值范围． (1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)． 二、能力提升9．(12)－1＋log 0.54的值为( )A ．6 B.72C ．8D.37 10．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．22511．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则ba ＝________.12．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26； (2)22＋log 23＋32－log 39. 三、探究与拓展13．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.。
对数与对数运算练习题
对数与对数运算练习题对数与对数运算练习题数学是一门既抽象又具有深度的学科，其中对数是数学中的一个重要概念。
对数可以帮助我们解决各种问题，从科学计算到金融投资都离不开它。
在本文中，我们将通过一些对数运算练习题来加深对对数的理解。
1. 计算下列对数的值：a) log2(8)b) log5(125)c) log10(1000)d) log3(1/9)解析：对数的定义是指数运算的逆运算。
例如，log2(8)表示以2为底，结果为8的对数。
因此，log2(8)的值是3，因为2的3次方等于8。
同样地，log5(125)的值是3，因为5的3次方等于125。
log10(1000)的值是3，因为10的3次方等于1000。
最后，log3(1/9)的值是-2，因为3的-2次方等于1/9。
2. 计算下列对数运算：a) log2(16) + log2(4)b) log3(27) - log3(9)c) log5(25) × log5(125)d) log6(36) ÷ log6(6)解析：对数运算的性质包括加法、减法、乘法和除法。
a) log2(16) + log2(4)可以化简为log2(16 × 4)，即log2(64)。
log2(64)的值是6，因为2的6次方等于64。
同样地，b) log3(27) - log3(9)可以化简为log3(27 ÷ 9)，即log3(3)。
log3(3)的值是1，因为3的1次方等于3。
c) log5(25) × log5(125)可以化简为log5(25× 125)，即log5(3125)。
log5(3125)的值是5，因为5的5次方等于3125。
最后，d) log6(36) ÷ log6(6)可以化简为log6(36 ÷ 6)，即log6(6)。
log6(6)的值是1，因为6的1次方等于6。
3. 解决下列方程：a) log2(x) = 4b) log3(x) = 2c) log5(x) + log5(2) = 3d) logx(64) = 2解析：解决对数方程的关键是将其转化为指数方程。
(统编版)2020高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算同步训练新人教B版必修2
3.2.1 对数及其运算5分钟训练1.对数式x=ln2化为指数式是( ) A.x e =2 B.e x=2 C.x 2=e D.2x=e 答案：B2.以下说法不正确的是( )A.0和负数没有对数B.对数值可以是任意实数C.以a(a ＞0,a≠1)为底1的对数等于0D.以3为底9的对数等于±2 答案：D3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 答案：C 4.log 2487+log 212-21log 242=_____________.答案：21- 解法一：487log 2+log 212-21log 242 =21(log 27-log 248)+log 24+log 23-21log 26-21log 27 =21-log 21621-log 23+2+log 23-2121-log 23=21-.解法二：原式=log 2(21)67112347(-=⨯⨯⨯.10分钟训练 1.式子)5log 211(22+的值为( )A.52+B.52C.2+25 D.1+25答案：B 解析：原式=5222)52(log )5log 1(22==+.2.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N 答案：D解析：在对数运算的性质中，与A 类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B 中的lg 23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C 中的log a M+N 表示(log a M)+N ，它与log a (M+N)不是同一意义；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2NMN M 3log =，所以M=N. 3.已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么ba 11-等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得0112.02.11100011=-ba =1 000.∴ba 11-=1. 解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011 2=3，∴b a 11-=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 4.若lnx-lny=a,则ln(2x )3-ln(2y )3等于( )A.2aB.aC.23aD.3a答案：D 解析：ln(2x )3-ln(2y )3=3(ln 2x -ln 2y)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a. 5.已知lg6=0.778 2,则102.778 2=______________.答案：600解析：∵lg6=0.778 2,∴100.778 2=6.∴102.778 2=102·100.778 2=100×6=600.6.(1)已知3a=2,用a 表示log 34-log 36; (2)已知log 32=a,3b=5,用a 、b 表示log 330. 解：(1)∵3a=2,∴a=log 32. ∴log 34-log 36=log 332=log 32-1=a-1. (2)∵3b=5, ∴b=log 35. 又∵log 32=a,∴log 330=21log 3(2×3×5) =21(log 32+log 33+log 35)=21(a+b+1). 30分钟训练1.已知a 、b 、c 为非零实数，且3a =4b =6c，那么( ) A.b ac 111+= B.ba c 122+=C.b ac 221+= D.ba c 212+= 答案：B解析：设3a=4b=6c=k ，则a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ，得a 1=log k 3，b1=log k 4，c 1=log k 6.所以ba c 122+=. 2.设x 、y 为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是( )①log a x 2=2log a x ②log a 3>log a 2 ③log a |x·y|=log a |x|·log a |y| ④log a x 2=2log a |x| A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C解析：①②③不一定成立，④一定成立.3.(探究题)已知f(x 6)=log 2x,那么f(8)的值为( ) A.34 B.8 C.18 D.21 答案：D解析：设t=x 6,则x=61t ,所以f(t)=log 261t ,f(8)=log 2212log 821261==. 4.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f （91）］的值是( )A.9B.91C.-9D.91- 答案：B 解析：f(91)=log 391=-2，f(-2)=3-2=91.5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x ＞1},在映射f:M→N 作用下,点(x,y)与点(log 2x,log 2y)相对应,设u=log 2x,v=log 2y,则N 的集合为( ) A.{(u,v)|u+v=0} B.{(u,v)|u+v=0,u ＞0} C.{(u,v)|u+v=1} D.{(u,v)|u+v=1,v ＞0} 答案：B解析：∵x＞1,∴log 2x ＞0. 又∵xy=1,∴x=y1. 于是log 2x=log 2y1=-log 2y, 从而log 2x+log 2y=0.6.已知log 23=a,log 37=b,则log 1456=_________________. 答案：abab++13解析：由log 23=a,log 37=b,得log 27=ab.log 1456=abab++=++=⨯⨯=137log 17log 3)72(log )87(log 14log 56log 222222.7.式子n a n ana aa a 1log 1log log ++(a ＞0,a≠1)的化简结果是_______________. 答案：-n解析：原式=n aaa na na na 1log log log 11=++--log a a-nlog a a-n 1log a a=n 1-n-n1=-n. 8.已知a 、b 均为正实数,且a 2+b 2=7ab,试证明213lg =+b a (lga+lgb). 证明：∵a 2+b 2=7ab,∴(a+b)2=9ab.∵a＞0,b ＞0,∴ab ba =+3. ∴21lg 3lg ==+ab b a (lga+lgb).9.已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3,求a 的值.解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga＜0.又［f(x)］max =aa a a lg 1lg 4lg 44lg 162-=-=3,∴4lg 2a-3lga-1=0. ∴lga=1或lga=41-. ∵lga＜0, ∴lga=41-. ∴a=4110-.10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N 为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m 可以定义为m=lgN ，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度. 解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N 1和N 2，由题意得⎩⎨⎧==,lg 5.8,lg 2.821N N 因此lgN 2-lgN 1=0.3， 即12lgN N =0.3，∴12N N =100.3≈2. 因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.。
对数及其运算的练习题(附答案)
姓名_______ §2。
2。
1 对数与对数运算一、课前准备 1，.对数：定义:如果a N a a b=>≠()01且,那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g (a 是底数,N 是真数，lo g a N 是对数式。
） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
2。
对数的运算性质及换底公式。
如果 a 〉 0，a ≠ 1，b 〉0,M 〉 0, N 〉 0 ,则：(1）log ()a MN = ； （2)nm mn b a =log （3）log aMN= ;（4） log n a M = 。
（5） b a b a =log 换底公式log a b = 。
（6） b aba=log （7）ba b a nn log 1log =考点一： 对数定义的应用例1：求下列各式中的x 的值; （1）23log27=x； （2）32log 2-=x ； （3）9127log =x （4）1621log =x例2：求下列各式中x 的取值范围； （1）)10(2log-x (2）22)x )1(log +-（x （3)21)-x )1(log （+x例3：将下列对数式化为指数式（或把指数式化为对数式） （1)3log3=x (2)6log 64-=x （3）9132-= （4）1641=x ）（考点二 对数的运算性质1.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x)=⎩⎨⎧>---≤-)0(),2()1(log )0(),4(2x x f x f x x ,则f(3)的值为__________2.计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 344932lg 21+- (2）8.1lg 10lg 3lg 2lg -+3.已知)lg(y x ++)32lg(y x +-lg3=lg4+lgx+lgy,求x ：y 的值4.计算: （1）)log log log 582541252++（)log log log 812542525++（ （2）3473159725log log log log ••+)5353(2log --+(3)求0.32log ⎝⎭的值 (4)：已知 2log 3 = a , 3log 7 = b ,用 a ，b 表示42log 56。
（完整版）对数运算计算题练习（含答案）.docx
（完整版）对数运算计算题练习（含答案）.docx2017-2018 学年高一数学必修一对数运算计算题练习1、计算：.2、计算：3、计算：.4、计算：．5、计算：6、计算：log224lg 0.5 log 327 lg 2log 2 38、计算：lg 2 3 lg 9 1 (lg27 lg 8 lg 1000 ) .lg 0.3lg 1.29、计算： lg25 ＋lg2 ·lg 50 ＋ lg 22；10、计算：11、计算：12、计算：13、计算：14、计算： 2(lg 2) 2lg 2 lg 5(lg 2)2lg 2115、计算：.16、计算：17、计算：；18、计算：20、计算：21、计算：22、计算：；23、计算：24、计算：25、计算：26、计算：27、计算：；28、计算．29、计算：.30、计算：．31、计算：32、计算： 2log 32－ log 3＋log38－；33、计算：.34、计算：35、计算：36、计算： lg+lg 70-lg 3-；37、计算：(lg5)2· lg50＋ 21＋ log 5. ＋ lg2238、计算：39、计算：参考答案1、答案为： 1.5.2、答案为： 4.75.3、答案为： 6.5.4、答案为： 4.5.5、答案为： -4.6、答案为： 1.5.8、答案为： -1.5.9、答案为： 2.10、答案为： 1.25.11、答案为： 212、答案为： 513、答案为： 1＋ 2.14、答案为： 1.15、答案为： -7.16、答案为： 5.17、答案为： 0.18、答案为： 320、答案为： 0.5.21、答案为： 4.22、答案为： a-2 .23、答案为： 1.24、答案为： 1.5.25、答案为： 0.5.26、答案为： 7/6.27、答案为： 6.28、答案为： 1.29、答案为： 3.5.30、答案为： 1.31、答案为： 3.5.32、答案为： -7.33、答案为： 2.34、答案为： 035、答案为： 1.25.36、答案为： lg3.37、答案为： 1＋ 2.38、答案为： 11.39、答案为： 2.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)32对数与对数函数321对数及其运算同步测控新人教B版1
3.2.1 对数及其运算同步测控我夯基,我达标1.式子2)5log 211(2+的值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 解析：原式=)5log 1(2+=2)52(log 2=25.答案：B2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a xB.log a |xy|=log a |x|+log a |y|C.log a 3＞log a 2D.log a yx =log a x-log a y 解析：A 、D 的错误在于不能保证真数为正，C 的错误在于a 值不定.答案：B3.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg321 D.51lg2 解析：令x 5=t ，则x=5t =t 51. ∴f（t ）=lgt 51=51lgt. ∴f（2）=51lg2. 答案：D4.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N解析：本题易错选A 或B 或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A 类似的一个错误的等式是lg2+lg3=lg5；B 中的lg 23表示（lg3）2，它与lg32＝lg9意义不同；C 中的log a M+N 表示（log a M ）+N ，它与log a （M+N ）意义不同；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3NM ，所以M ＝N. 答案：D5.求下列各式的值:(1)设log b x-log b y ＝a ，则log b 5x 3-log b 5y 3＝____________;(2)设log a (x ＋y)＝3，log a x ＝1，则log a y ＝____________;(3)3|91|log 3=_____________.解析：(1)∵log b x-log b y ＝a,∴log b y x＝a.∴log b 5x 3-log b 5y 3＝log b 3355y x＝log b (y x )3＝3log b y x＝3a.(2)∵log a (x ＋y)＝3, ∴a 33＝x ＋y.又log a x ＝1,∴x＝a.∴y＝a 3-a.从而log a y ＝log a (a 3-a). (3)3|91|log 3＝3|3log 23|-=3|3log 2|3-＝32＝9.答案：(1)3a (2)log a (a 3-a) (3)96.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （log 23）的值为__________.解析：∵1<log 23<2,∴3+log 23>4.∴f(3+log 23)=(21)3log 32+ =(21)24log 2=(21)241log 21=241.又∵当x<4时，f(x+1)=f(x),∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=241. 答案：2417.求下列各式中的x ：（1）log 54x ＝21-；（2）log x 5＝23； （3）log （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.分析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解：（1）原式转化为（54）21-=x ，所以x=25. （2）原式转化为x 23=5，所以x=325. （3）由对数性质,得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x ＝8.8.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg 45.分析:解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解：lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+2121-lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合,我发展9.对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是( )①若M=N ，则log a M=log a N ②若log a M=log a N ，则M=N ③若log a M 2=log a N 2，则M=N ④若M=N ，则log a M 2=log a N 2A.①③B.②④C.②D.①②③④ 解析：在①中，当M=N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M=log a N 不成立. 在②中，当log a M=log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M=N ，因此M=N 成立.在③中，当log a M 2=log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2=N 2，即|M|=|N|，但未必有M=N ，例如，M=2，N=-2时，也有log a M 2=log a N 2，但M≠N.在④中，若M=N=0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2=log a N 2不成立.∴只有②正确.答案：C10.设log a c 、log b c 是方程x 2-3x+1=0的两根，则log b a c=__________.解析：依题意,得⎩⎨⎧=∙=+,1log log ,3log log c c c c b a b a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+,1log log 1,3log 1log 1ba b a c c c c 即⎩⎨⎧=∙=+.1log log ,3log log b a b a c c c c ∴(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=32-4=5.∴log c a-log c b=±5. 故log b a =5551log log 1log 1±=±=-=b a b a c c c . 答案：±55 11.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）解析：∵log 189=a ，∴log 18218=1-log 182=a. ∴log 182=1-a.又∵18b =5,∴log 185=b.∴log 3645=ab a -+=++=22log 15log 9log 36log 45log 1818181818. 答案：ab a -+2 12.若26x =33y =62z ，求证:3xy-2xz-yz=0.分析:由已知条件到结论，本质就是把指数式化为对数式，要把指数位置上的字母拿下来，唯一的方法就是取对数，通常我们两边同时取常用对数，也可以根据题目的具体情况取其他数字（条件中已有的底数）为底数，总之要同底，然后利用对数的性质和运算法则化简计算.证法一:设t=26x =33y =62z ,两边取常用对数,则x=2lg 6lg t ,y=3lg 3lg t ,z=6lg 2lg t . ∴3xy -2xz-yz=6lg 3lg 6lg 6lg 2lg 6lg 3lg 2lg 6lg 222t t t -- =)]3lg 12lg 1(6lg 13lg 2lg 1[6lg 2+-t =)3lg 2lg 13lg 2lg 1(6lg 2-t =0.证法二：∵26x =33y =62z ，∴两边取以3为底的对数，有6xlog 32=3y=2zlog 36，由前面的等式,得yz=2xzlog 32,由后面的等式,得3xy=2xzlog 36.∴3xy -2xz-yz=2xzlog 36-2xz-2xzlog 32=2xz(log 36-1-log 32)=2xz （log 36-log 33-log 32)=0. 科学是实事求是的学问。
课件6： 3.2.1 对数及其运算(二)
跟踪训练 3 (1)已知 lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1,求 lg 45;
探究点二 换底公式与自然对数
导引 在实际应用中,常常碰到底数不为 10 的对数,如何求这
类对数呢？如何求 log35?
问题 1
假设lloogg2253＝x,则 log25＝xlog23,即 log25＝log23x,从而
有 3x＝5,进一步可得到什么结论？
答 把 3x＝5 化为对数式为:log35＝x, 又因 x＝lloogg2253,所以得出 log35＝lloogg2253的结论.
小结 在问题 3 中的第(2)题中,我们得到 loga(MN)＝m＋n,又由 logaM＝m,logaN＝n,进行 m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质, 即:loga(MN)＝logaM＋logaN.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都 是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的 积:loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk.
( C)
13 2.log3 27＋lg 25＋lg 4＋7 log72＋(－9.8)0＝_____2_____.
解析 原式＝12log333＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝123.
3.求证:(1)logxylogyz＝logxz;(2)logan bn＝logab. 证明 (1)因为 logxylogyz＝logxyllooggxxyz＝logxz, 所以 logxylogyz＝logxz. (2)logan bn＝llooggaabann＝nnllooggaaba＝logab.
3.2.1 对数及其运算(二) 学案(人教B版必修1)
3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
对数与对数的运算精典练习题
2.2.1 对数与对数的运算练习一 一、选择题1、 25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ）A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a 2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x等于（ ） A 、31 B 、321C 、221D 、3313、 n n ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1B 、－1C 、2D 、－2 4、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a - 5、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 6、 若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<n<m<1D 、0<m<n<17、 若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ）A 、a<b<cB 、 a<c<bC 、c<b<aD 、c<a<b二、填空题8、 若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________ 9 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________10、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________11、 若2log 2,log 3,m n a a m n a+===___________________ 12、 lg25+lg2lg50+(lg2)2=三、解答题13、 222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+14、 若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(b a ab ⋅的值。
3.2.1对数及其运算
2.不查表,求值. 不查表,求值 不查表
(1).(log 4 3 + log8 3)(log 3 2 + log 9 2) log 1 2
2 5 4
5 — 2
(2). lg 5. log
10
20 + lg 2
4 — 3
(
2
) 3
2
log 3 2 1
能力拓展
(1)已知 log16 3 = m,试用m表示 log 9 16.
2
( 2 ) log 2 128 = 7
1 = 16 2 2 7 = 128
1 2 = 4 1 4 3 = 81
2
4
1 (3) log 2 = 2 4 1 ( 4 ) log 3 = 4 81
求下列各式的值: 例3 求下列各式的值
(1) log264; (2) log3 9 .
1 ___
=4/3 =3
(3)(log 2 125 + log 4 25 + log8 5) (log125 8 + log 25 4 + log 5 2)
=13
例10
已知 log18 2 = a,试用a表示 log 3 2
log 3 2 log 3 2 = 解: 由 log18 2 = log 3 (2 × 9) log 3 18
a (1 + 8%) x = 2a a1.08 x = 2a 即:. 08 x = 2 x = ?? 1
?
1.对数的概念 1.对数的概念
对于实数集R 在指数函数y=a 中,对于实数集R内的 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y x,在正实数集内都有唯一确定的值 每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应; 和它对应;
(统编版)2020高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教B版必修6
3.2.1 对数及其运算自主整理1.对数的概念(1)如果a(a>0,且a≠1)的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 称为对数的底，N 称为真数;(2）以10为底的对数称为常用对数，log 10N 记作lgN ；(3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log e N 记作lnN.2.对数的性质(1）真数N 为正数（负数和零无对数）.(2）log a 1=0.(3）log a a=1.(4）对数恒等式：a N a log =N.(5)运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则①log a (MN)=log a M+log a N;②log a NM =log a M-log a N; ③log a M n =nlog a M(n∈R ).3.对数的换底公式一般地,我们有log a N=aN m m log log (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0), 这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导:(1）log a b·log b a=1；(2）log n a b m =mn log a b. 高手笔记1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）.5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N. 名师解惑1.对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a≠1，N ＞0呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。
3.2.1对数及其运算1
(2). lg 5. log
20 lg 2 10
2
3
2
2
log3 21
1.对数的概念、表示.
2.指数式与对数式的关系和转化. 3.常用对数和自然对数.
4.对数的运算.
5.换底公式.
(3) lg1;
(4) lg100.
(5) lg0.001;
(6) log927.
练习:
（1 log 2 2 2 ）
3
(2) lg 100
3
(3) log 3 9 log 3 27 (4) lg 10 lg 0.1
2
注意:
在对数式中，a、b、N的取值范围 １.a的范围是 a＞0，a≠1
２.b的范围是 ３.Ｎ的范围是
知识点2.对数指数互化
指 数
b = N a
底 数
指数式ab=N 对数式logaN=b 幂
log a N = b
底数 真 数 对 数 b 指数 对数
a 底数 对数的底数
N 幂 真数
知识点2.对数指数互化
例1.把下列指数式写成对数式：
(1)2 8 1 1 (3)2 2
3
(2)2 32 1 1 3 (4)27 3
题型3.利用对数的运算性质解题
练习： 1 32 4 1. lg lg 8 lg 245 2 49 3 2 2 2 2. lg 5 lg 8 lg 5. lg 20 lg 2 3 lg 2 lg 3 lg 10 3. lg 1.8
题型4.利用对数恒等式和换底公式解题 例9.计算
1 log 0.2 3 4
(1)5
( 2) log 4 3 log 9 2 log 2 32
对数与对数的运算精典练习题
2.2.1 对数与对数的运算练习一一、选择题 1、 25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A 、31 B 、321 C 、221 D 、3313、 nn ++1log（n n －＋1）等于（ ） A 、1B 、－1C 、2D 、－24、 已知32a=，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a -5、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或16、 若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<n<m<1D 、0<m<n<17、 若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ） A 、a<b<c B 、 a<c<b C 、c<b<a D 、c<a<b二、填空题8、 若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________9 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________10、 3a＝2，则log 38－2log 36＝__________11、 若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________12、 lg25+lg2lg50+(lg2)2=三、解答题13、 222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+14、 若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(ba ab ⋅的值。
对数及对数函数练习题及详细答案
1.log89log23的值为()A．1B．－1C.23 D.32答案 C2．(2013·陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．log a b·log c b＝log c aB．log a b·log c a＝log c bC．log a(bc)＝log a b·log a cD．log a(b＋c)＝log a b＋log a c答案 B解析利用对数的换底公式进行验证，log a b·log c a＝log c blog c a·log c a＝log c b，故选B.3．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y ＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.4．log2sin π12＋log2cosπ12的值为()A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案 C解析log2sin π12＋log2cosπ12＝log2(sinπ12cosπ12)＝log2(12sinπ6)＝log214＝－2，故选C.5．当0<x<1时，下列不等式成立的是()A．(12)x＋1>(12)1－x B．log(1＋x)(1－x)>1C．0<1－x2<1 D．log(1－x)(1＋x)>0 答案 C解析方法一：考查答案A：∵0<x<1，∴x＋1>1－x.∴(12)x＋1<(12)1－x，故A不正确；考查答案B：∵0<x<1，∴1＋x>1,0<1－x<1.∴log(1＋x)(1－x)<0，故B不正确；考查答案C：∵0<x<1，∴0<x2<1，∴0<1－x2<1，故C正确；考查答案D：∵0<1－x<1,1＋x>1.∴log(1－x)(1＋x)<0.故D不正确．方法二：(特值法)取x＝12，验证立得答案C.6．若0<a<1，在区间(0,1)上函数f(x)＝log a(x＋1)是()A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0答案 D解析∵0<a<1时，y＝log a u为减函数，又u＝x＋1增函数，∴f(x)为减函数；又0<x<1时，x＋1>1，又0<a<1，∴f(x)<0.选D.7．函数的图像大致是()答案 C解析 ∵＝⎩⎨⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C.8．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c ，故a ＞b ＞c ，选A.9．0＜a ＜1，不等式1log ax ＞1的解是( ) A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.10．若a >1，b >1，p ＝log b (log b a )log b a ，则a p ＝________. 答案 log b a11．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x ∈________，a ∈________.答案 (1，＋∞) (1，＋∞)12．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1.又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是(12，1)．13．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝__________.(lg2≈0.301 0)答案155解析由10m－1＜2512＜10m，得m－1＜512lg2＜m.∴m－1＜154.12＜m.∴m＝155.14．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝________.答案 2解析f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a>1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.15.已知函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析要使f(x)＝x2－ax－a的值能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，解之得a≥0或a≤－4，即a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)．16．设函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)．证明：ab＜1.答案略解析由题设f(a)＞f(b)，即|lg a|＞|lg b|.上式等价于(lg a)2＞(lg b)2，即(lg a＋lg b)(lg a－lg b)＞0，lg(ab)lg ab＞0，由已知b＞a＞0，得0＜ab＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.17．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)．答案 (1)x ＝2时，最小值74 (2)0<x <1解析 (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇔0<x <1.。
对数及其运算练习题含答案
对数及其运算练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知2x=3y=m，且1x +1y=2，则m的值为( )A.√2B.√6C.√22D.62. lg25−2lg12+log2(log2256)=( )A.3B.4C.5D.63. 计算lg2−lg15−e ln2−(14)−12+√(−2)2的值为（）A.−1B.−5C.32D.−524. 函数f(x)=lg(x2−1)−lg(x−1)在[2,9]上的最大值为()A.0B.1C.2D.35. 若函数f(x)=|ln x|满足f(a)=f(b)，且0<a<b，则4a2+b2−44a+2b的最小值是( )A.0B.1C.32D.2√26. 已知函数f(x)={2x,x≥4,f(x+1),x<4,则f(2+log23)的值为()A.8B.12C.16D.247. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为( )（结果精确到0.1．参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771．）A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天8. 碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：log 20.7719≈−0.3735，log 20.7674≈−0.3820，log 20.7628≈−0.3906）( ) A.75.42% B.76.28% C.76.74% D.77.19%9. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n+2=a n+1+a n (n ∈N ∗)故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a n =√5[(1+√52)n−(1−√52)n]．设n是不等式log √2[(1+√5)x −(1−√5)x ]>2x +11的正整数解，则n 的最小值为( ) A.11 B.10 C.9 D.810. 若b >a >1且3log a b +6log b a =11，则a 3+2b−1的最小值为________．11. 计算： log 26−log 23−3log 312+(14)12=________.12. 若函数f(x)=1+|x|+cos x x ，则f(lg 2)+f (lg 12)+f(lg 5)+f (lg 15)=_______.13. 正数x ，y 满足x +4y =2，则log 2x +log 2y 的最大值是________.14. 已知b >a >1，若log a b −log b a =32，且a b =b a ，则a −b =_______.15. 计算：e ln 12+π0−4−12+lg 4+lg 25=_________.16. 已知函数f(x)=log 2(3+x)+log 2(3−x)． (1)当x =1时，求函数f(x)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(3)若f(x)<0，求实数x 的取值范围．17.(1)化简：4x 14(−3x 14y −13)÷(−6x −12y −23)3；(2)计算：(log 43+log 83)(log 32+log 92).18. 计算下列各题.(1)log 2√748+log 212−12log 242−21+log 23 ；(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0；(3)已知log 23=a ，3b =7，求log 1256.19. 已知函数f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为−2，求a 的值．20. 已知函数f (x )=lg (2x−1+a) ，a ∈R ． (1)若函数f (x )是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数y =f (x )与函数y =lg (2x )的图像的公共点的个数，并说明理由；(3)当x ∈[1,2)时，函数y =f (2x )的图像始终在函数y =lg (4−2x )的图象上方，求实数a 的取值范围．21. 已知f(x)=log a x ，g(x)=2log a (2x +t −2)(a >0, a ≠1, t ∈R)． (1)若f(1)=g(2)，求t 的值；(2)当t =4，x ∈[1, 2]，且F(x)=g(x)−f(x)有最小值2时，求a 的值；(3)当0<a<1，x∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析对数及其运算练习题含答案一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】2x=3y=m>0，可得x=log2m，y=log3m．代入利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵2x=3y=m>0，∴x=log2m，y=log3m．∴2=1x +1y=1log2m+1log3m=logm 2+logm3=logm 6，∴m2=6，解得m=√6．故选B．2.【答案】C【考点】对数及其运算【解析】本题考查对数式四则运算等基本知识，考查运算求解等数学能力．【解答】解：lg25−2lg12+log2(log2256)=lg100+log2(log228)=2+log28=5.故选C.3.【答案】A【考点】对数的运算性质对数及其运算【解析】利用指数，对数的性质和运算法则求解．【解答】解：原式=lg2+lg5−2−2+2 =lg10−2=1−2=−1．故选A.4.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=lg x 2−1x−1=lg(x+1)在[2,9]上单调递增，所以f(x)max=f(9)=lg10=1．故选B．5.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数及其运算函数的最值及其几何意义【解析】利用对数函数的性质可知ab＝1，进而目标式可转化为2a+b2−42a+b，通过换元令t=2a+b(t≥2√2)，进一步转化为t2−4t，利用函数y=t2−4t在[2√2,+∞)上的单调性，即可求得最值．【解答】解：依题意，|ln a|=|ln b|，又0<a<b，∴ln a+ln b=0，即ab=1，且0<a<1<b，又4a 2+b2−44a+2b =(2a+b)2−8ab2(2a+b)=2a+b2−42a+b，令t=2a+b≥2√2ab=2√2，当且仅当“2a=b”时取等号，则4a 2+b2−44a+2b =t2−4t，又函数y=t2−4t在[2√2,+∞)上单调递增，故y min=2√222√2=0，即4a2+b2−44a+2b的最小值为0．故选A.6.【答案】 D【考点】指数式与对数式的互化 对数及其运算 函数的求值【解析】本题考查指数式、对数式的运算． 【解答】解：因为3<2+log 23<4，所以f(2+log 23)=f(3+log 23)=23+log 23=8×3=24． 故选D ． 7.【答案】 A【考点】等比数列的前n 项和 数列的应用 对数及其运算 【解析】由题设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为12，其前n 项和为A n ，莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ，由题意可得：3(1−12n )1−12=2n −12−1，整理后求解即可．【解答】解：由题设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为12，其前n 项和为A n ，莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n , 则A n =3(1−12n )1−12，B n =2n −12−1， 由题意可得：3(1−12n )1−12=2n −12−1，整理得(2n )2−7×2n +6=0， 即(2n −1)(2n −6)=0，解得n =0（舍去）或n =log 26， 故n =log 26=lg 6lg 2=lg 2+lg 3lg 2≈0.3010+0.47710.3010≈2.6，即蒲、莞长度相等，所需时间为2.6天． 故选A ． 8. 【答案】 C【考点】对数及其运算指数式与对数式的互化【解析】 无【解答】解：∵ 每经过5730年衰减为原来的一半，∴ 生物体内碳14的含量y 与死亡年数t 之间的函数关系式为y =(12)t 5730．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有2021+168=2189年， 由题意可得，y =(12)21895730≈(12)0.3820=2−0.3820．因为log 20.7674≈−0.3820，所以y ≈2−0.3820≈0.7674=76.74%． 故选C ． 9.【答案】 D【考点】 对数及其运算 数列的函数特性 数列与不等式的综合 【解析】首先对不等式进行化简得出a n >√2)11√5，即a n 2>2115，根据数列的单调性，求出满足不等式成立的n 的最小值即可. 【解答】解：∵ n 是不等式log √2[(1+√5)x−(1−√5)x]>2x +11的正整数解， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n ]>2n +11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−2n >11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−log √2(√2)2n>11，∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−log √22n >11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n2n]>11， ∴ log √2[(1+√52)n−(1−√52)n]>11，∴ (1+√52)n−(1−√52)n>(√2)11，∴√5[(1+√52)n −(1−√52)n]>√2)11√5.令a n=√5[(1+√52)n−(1−√52)n]，则数列{a n}即为斐波那契数列，∴a n>√2)11√5，即a n2>2115.∵{a n}为递增数列，∴{a n2}也为递增数列.∵a7=13，a8=21，a72<2115，a82>2115，∴使得a n2>2115成立的n的最小值为8.故选D．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）10.【答案】2√2+1【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数及其运算【解析】本题考查对数的运算、基本不等式的应用．【解答】解：由b>a>1，得logab>1，b−1>0，又∵logb a=1log a b，∴3loga b+6log a b=11，解得loga b=3或logab=23（舍去），则a3=b，a3+2b−1=b+2b−1=(b−1)+2b−1+1≥2√2+1（当且仅当b−1=√2，即b=√2+1时，取等号），故a3+2b−1的最小值为2√2+1．故答案为：2√2+1．11.【答案】1【考点】有理数指数幂的化简求值对数及其运算【解析】无【解答】解：原式=1+log23−log23−12+12=1.故答案为：1．12.【答案】6【考点】对数及其运算函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(x)=1+|x|+cos xx，∴ f(−x)+f(x)=2+2|x|，∵lg12=−lg2,lg15=−lg5，∴ f(lg2)+f(lg 12)+f(lg5)+f(lg15)=2×2+2(lg2+lg5)=6，故答案为：6.13.【答案】−2【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为log2x+log2y=log2x+log2y+2−2=log2x+log2y+log24−2=log2(4xy)−2，因为x+4y=2，所以log2(4xy)−2≤log2(x+4y2)2−2=−2，当且仅当x=4y，即x=1，y=14时取等号，故log2x+log2y的最大值是−2.故答案为：−2．14.【答案】−2【考点】对数及其运算 【解析】 无【解答】解： 令log a b =t ，则log b a =1t .∵ b >a >1，则t >0，∴ t −1t =32，解得t =2，或t =−12（舍去）， ∴ log b a =12，即b =a 2.∵ a b =b a ，∴ a a 2=(a 2)a ，即a 2=2a ， ∴ a =2，b =4， ∴ a −b =−2． 故答案为：−2． 15.【答案】 3【考点】对数的运算性质 对数及其运算【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可. 【解答】解：e ln 12+π0−4−12+lg 4+lg 25 =12+1−12+lg (4×25)=1+2=3 .故答案为：3.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 16.【答案】解：(1)f(1)=log 2(3+1)+log 2(3−1)=3； (2)由{3+x >03−x >0，解得：−3<x <3，定义域关于原点对称，而f(−x)=log 2(3−x)+log 2(3+x)=f(x)， 故函数f(x)是偶函数； (3)若f(x)<0，则log 2(3+x)+log 2(3−x) =log 2(3+x)(3−x)<0， 即0<9−x 2<1，解得：−3<x <−2√2或2√2<x <3． 【考点】对数函数的图象与性质对数值大小的比较 对数及其运算 函数奇偶性的判断【解析】（1）将x =1的值带入f(x)，求出f(1)的值即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）根据对数函数的性质，问题转化为0<9−x 2<1，解出即可． 【解答】解：(1)f(1)=log 2(3+1)+log 2(3−1)=3； (2)由{3+x >03−x >0，解得：−3<x <3，定义域关于原点对称，而f(−x)=log 2(3−x)+log 2(3+x)=f(x)， 故函数f(x)是偶函数； (3)若f(x)<0，则log 2(3+x)+log 2(3−x) =log 2(3+x)(3−x)<0， 即0<9−x 2<1，解得：−3<x <−2√2或2√2<x <3． 17. 【答案】 解：(1)原式=−12x 12y −13−216x−32y−2=x 12y −1318x−32y−2=x 12y −1318(x −2y −53)x 12y −13=118x −2y −53=1181x 21y 53=x 2y 5318.(2)原式=(lg 32lg 2+lg 33lg 2)(lg 2lg 3+lg 22lg 3) =12+14+13+16=54.【考点】 对数及其运算 分数指数幂【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用换底公式、对数的运算性质即可得出． 【解答】解：(1)原式=−12x 12y −13−216x−32y−2=x 12y−1318x −32y −2=x 12y −1318(x −2y −53)x 12y −13=118x −2y −53=1181x 21y 53=x 2y 5318.(2)原式=(lg 32lg 2+lg 33lg 2)(lg 2lg 3+lg 22lg 3) =12+14+13+16=54. 18. 【答案】解：(1)log 2√748+log 212−12log 242−21+log 23 =log 2√748+log 212−log 2√42−2⋅2log 23=log √748×12√42−2×3=log 22−12−6=−12−6=−132.(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0=4×(47)−1−214×234+1=7−2+1 =6.(3)∵ log 23=a ，3b =7， ∴ log 32=1a ， b =log 37，∴ log 1256=log 356log312=log 3(23×7)log 3(22×3)=3log 32+log 372log 32+1=3a +b 2a+1=3+ab 2+a.【考点】对数的运算性质根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值对数及其运算【解析】(1)利用对数的运算法则求解即可； (2)利用有理指数幂的运算求解即可；(3)由题意得到log 32=1a ， b =log 37，所以log 1256=log 356log 312=log 3(23×7)log 3(22×3)=3log 32+log 372log 32+1，代入即可. 【解答】解：(1)log 2√748+log 212−12log 242−21+log 23 =log 2√748+log 212−log 2√42−2⋅2log 23=log √748×12√42−2×3=log 22−12−6=−12−6=−132.(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0=4×(47)−1−214×234+1=7−2+1 =6.(3)∵ log 23=a ，3b =7， ∴ log 32=1a ，b =log 37， ∴ log 1256=log 356log 312=log 3(23×7)log 3(22×3)=3log 32+log 372log 32+1=3a +b 2a+1=3+ab 2+a.19. 【答案】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)． (2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3) =log a [(1−x )(x +3)] =log a (−x 2−2x +3) =log a [−(x +1)2+4]， ∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4． ∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4， 即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2， ∴ log a 4=−2， ∴ a −2=4， ∴ a =12. 【考点】对数函数的定义域 对数及其运算 对数函数的值域与最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)． (2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3) =log a [(1−x )(x +3)] =log a (−x 2−2x +3) =log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4． ∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4， 即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2， ∴ log a 4=−2， ∴ a −2=4， ∴ a =12. 20.【答案】解：(1)因为f (x )为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有f (x )+f (−x )=0， 即lg (2x−1+a)+lg (2−x−1+a)=0， 所以(a +2x−1)⋅(a −2x+1)=1，显然x ≠1，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x ≠−1．上面等式左右两边同时乘以(x −1)(x +1)得： [a (x −1)+2]⋅[a (x +1)−2]=x 2−1，化简得： (a 2−1)x 2−(a 2−4a +3)=0，上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有{a 2−1=0a 2−4a +3=0，解得a =1． (2)由(1)知a =1， 所以f (x )=lg (1+2x−1)， 即f (x )=lgx+1x−1，由x+1x−1>0得x <−1或x >1，所以函数f (x )定义域D =(−∞,−1)∪(1,+∞)，由题意，要求方程lg x+1x−1=lg 2x 解的个数，即求方程： 2x −2x−1−1=0在定义域D 上的解的个数． 令F (x )=2x −2x−1−1，显然F (x )在区间(−∞,−1)和(1,+∞)均单调递增，又F (−2)=2−2−2−3−1=14−13<0，F (−32)=2−32−2−52−1=2√215>0 ， 且F (32)=232−212−1=2√2−5<0, F (2)=22−21−1=1>0，所以函数F (x )在区间(−2,−32)和(32,2)上各有一个零点，即方程2x −2x−1−1=0在定义域D 上有2个解，所以函数y =f (x )与函数y =lg 2x 的图象有2个公共点．(3)要使x ∈[1,2）时，函数y =f (2x )的图象始终在函数y =lg (4−2x )的图象的上方， 必须使22x −1+a >4−2x 在x ∈[1,2)上恒成立，令t =2x ，则t ∈[2,4)，上式整理得t 2+(a −5)t +6−a >0在t ∈[2,4)恒成立， 分离参数得：a >−t 2+5t−6t−1=−(t−1)2+3(t−1)−2t−1=−(t −1+2t−1)+3, t −1∈[1,3)，因为t −1∈[1,3)，所以t −1+2t−1∈[2√2,113)，所以−(t −1+2t−1)+3∈(−23,3−2√2]，所以a >3−2√2，即实数a 的取值范围为(3−2√2,+∞)． 【考点】函数奇偶性的性质对数函数图象与性质的综合应用 对数及其运算 函数零点的判定定理 函数的单调性及单调区间 函数的最值及其几何意义 基本不等式在最值问题中的应用 函数恒成立问题 【解析】此题暂无解析 【解答】解：(1)因为f (x )为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有f (x )+f (−x )=0， 即lg (2x−1+a)+lg (2−x−1+a)=0， 所以(a +2x−1)⋅(a −2x+1)=1，显然x ≠1， 由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x ≠−1．上面等式左右两边同时乘以(x −1)(x +1)得： [a (x −1)+2]⋅[a (x +1)−2]=x 2−1， 化简得： (a 2−1)x 2−(a 2−4a +3)=0，上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有{a 2−1=0a 2−4a +3=0，解得a =1．(2)由(1)知a =1， 所以f (x )=lg (1+2x−1)，即f (x )=lg x+1x−1， 由x+1x−1>0得x <−1或x >1，所以函数f (x )定义域D =(−∞,−1)∪(1,+∞)，由题意，要求方程lg x+1x−1=lg 2x 解的个数，即求方程： 2x −2x−1−1=0在定义域D 上的解的个数． 令F (x )=2x −2x−1−1，显然F (x )在区间(−∞,−1)和(1,+∞)均单调递增，又F (−2)=2−2−2−3−1=14−13<0，F (−32)=2−32−2−52−1=2√215>0 ， 且F (32)=232−212−1=2√2−5<0, F (2)=22−21−1=1>0，所以函数F (x )在区间(−2,−32)和(32,2)上各有一个零点，即方程2x −2x−1−1=0在定义域D 上有2个解，所以函数y =f (x )与函数y =lg 2x 的图象有2个公共点．(3)要使x ∈[1,2）时，函数y =f (2x )的图象始终在函数y =lg (4−2x )的图象的上方， 必须使22x −1+a >4−2x 在x ∈[1,2)上恒成立，令t =2x ，则t ∈[2,4)，上式整理得t 2+(a −5)t +6−a >0在t ∈[2,4)恒成立， 分离参数得：a >−t 2+5t−6t−1=−(t−1)2+3(t−1)−2t−1=−(t −1+2t−1)+3, t −1∈[1,3)，因为t −1∈[1,3)，所以t −1+2t−1∈[2√2,113)，所以−(t −1+2t−1)+3∈(−23,3−2√2]，所以a >3−2√2，即实数a 的取值范围为(3−2√2,+∞)． 21. 【答案】解：(1)∵ f(1)=g(2)， ∴ 0=2log a (4+t −2)， 解得t =−1.(2)当t =4时，F(x)=g(x)−f(x)=log a (2x+2)2x，x ∈[1, 2].令ℎ(x)=(2x+2)2x =4(x +1x +2)，x ∈[1, 2].设u =x +1x ，x ∈[1, 2]，易知u(x)=x +1x 在[1, 2]上为单调增函数．∴ ℎ(x)在[1, 2]上是单调增函数， ∴ ℎ(x)min =16，ℎ(x)max =18． 当0<a <1时，有F(x)min =log a 18， 令log a 18=2，解得a =3√2>1（舍去）； 当a >1时，有F(x)min =log a 16， 令log a 16=2，解得a =4>1， ∴ a =4．(3)当0<a <1，x ∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a <1，x ∈[1, 2]时，log a x ≥2log a (2x +t −2)恒成立， 由log a x ≥2log a (2x +t −2)可得log a √x ≥log a (2x +t −2)， ∴ √x ≤2x +t −2， ∴ t ≥−2x +√x +2． 设u(x)=−2x +√x +2 =−2(√x)2+√x +2 =−2(√x −14)2+178.∵ x ∈[1, 2]，∴ √x ∈[1, √2]．∴ u(x)max =u(1)=1，∴ 实数t 的取值范围为t ≥1． 【考点】 对数及其运算函数的最值及其几何意义 函数恒成立问题【解析】（1）当t =4，x ∈[1, 2]，且F(x)=g(x)−f(x)有最小值2时，求a 的值；（2）当0<a <1，x ∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ f(1)=g(2)， ∴ 0=2log a (4+t −2)， 解得t =−1.(2)当t =4时，F(x)=g(x)−f(x)=log a (2x+2)2x，x ∈[1, 2].令ℎ(x)=(2x+2)2x=4(x +1x +2)，x ∈[1, 2].设u =x +1x ，x ∈[1, 2]，易知u(x)=x +1x 在[1, 2]上为单调增函数． ∴ ℎ(x)在[1, 2]上是单调增函数， ∴ ℎ(x)min =16，ℎ(x)max =18． 当0<a <1时，有F(x)min =log a 18， 令log a 18=2，解得a =3√2>1（舍去）； 当a >1时，有F(x)min =log a 16， 令log a 16=2，解得a =4>1， ∴ a =4．(3)当0<a <1，x ∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a <1，x ∈[1, 2]时，log a x ≥2log a (2x +t −2)恒成立， 由log a x ≥2log a (2x +t −2)可得log a √x ≥log a (2x +t −2)， ∴ √x ≤2x +t −2， ∴ t ≥−2x +√x +2． 设u(x)=−2x +√x +2 =−2(√x)2+√x +2 =−2(√x −14)2+178.∵ x ∈[1, 2]，∴ √x ∈[1, √2]．∴ u(x)max =u(1)=1，∴ 实数t 的取值范围为t ≥1．。