回归分析的概念和分析(doc 20页)
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析法是一种统计方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
通过建立一个数学模型，回归分析可以预测和研究变量之间的相关性。
回归分析法的原理是通过最小化预测值和实际值之间的差异，找到自变量与因变量之间的最佳拟合线。
回归分析法的基本概念包括自变量、因变量、回归方程和残差。
自变量是研究者控制或选择的变量，用于解释因变量的变化。
因变量是研究者感兴趣的变量，被自变量所影响。
回归方程是用来描述自变量和因变量之间关系的数学方程，通常采用线性或非线性形式。
残差是指回归模型中预测值与实际值之间的差异。
回归分析法的原理是通过最小二乘法来确定回归方程的系数，以使残差的平方和达到最小值。
最小二乘法的核心思想是使得回归方程的预测值与实际值之间的误差最小化。
具体来说，就是通过计算残差平方和的最小值，来找到最适合数据的回归方程。
在进行回归分析时，需要进行模型的选择、拟合和检验。
模型的选择通常基于理论、经验和数据。
拟合模型时，需要估计回归方程中的系数，通常采用最小二乘法进行估计。
检验模型时，需要检验回归方程的显著性和拟合优度。
回归分析法可以分为简单线性回归和多元回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
多元回归可以有不同的形式，如线性回归、非线性回归和多项式回归等。
回归分析法的应用广泛，可以用于预测、解释和控制变量。
例如，在经济学中，回归分析可以用于预测消费者支出；在医学研究中，可以用于解释药物对疾病的治疗效果；在市场营销中，可以用于控制广告投入对销售额的影响。
总之，回归分析法是一种统计方法，通过建立数学模型来研究自变量和因变量之间的关系。
它的原理是通过最小化预测值与实际值之间的差异，来找到最佳拟合线。
回归分析法可以应用于各个领域，用于预测、解释和控制变量。
回归分析的基本概念与应用
回归分析的基本概念与应用回归分析是一种重要的统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它可以帮助我们理解和预测变量之间的因果关系，并进行相应的预测分析。
本文将介绍回归分析的基本概念和应用，并探讨其在实际问题中的应用。
一、回归分析的基本概念1.1 变量在回归分析中，我们需要研究的对象通常称为变量。
变量可以是因变量（被解释变量）或自变量（解释变量）。
因变量是我们希望解释或预测的变量，自变量是我们用来解释或预测因变量的变量。
1.2 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最简单的一种情况，它研究的是两个变量之间的线性关系。
在简单线性回归中，我们假设因变量和自变量之间存在一个线性关系，并通过最小二乘法来拟合一条直线，以最好地描述这种关系。
1.3 多元回归多元回归是回归分析中更为复杂的情况，它研究的是多个自变量对因变量的影响。
在多元回归中，我们可以考虑多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元回归模型来预测因变量。
二、回归分析的应用2.1 经济学中的应用回归分析在经济学中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来研究商品价格与销量之间的关系，从而优化定价策略。
另外，回归分析还可以用于分析经济增长与就业率之间的关系，为制定宏观经济政策提供依据。
2.2 医学研究中的应用回归分析在医学研究中也有着重要的应用。
例如，研究人员可以利用回归分析来探索某种药物对疾病的治疗效果，并预测患者的生存率。
此外，回归分析还可以用于分析不同因素对心脏病发作风险的影响，为预防和治疗心脏病提供科学依据。
2.3 营销策划中的应用回归分析在营销策划中也有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来分析广告投入与销售额之间的关系，从而优化广告投放策略。
此外，回归分析还可以用于研究消费者行为和购买决策等问题，为制定更有效的市场营销策略提供指导。
三、回归分析的局限性尽管回归分析在实际问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
首先，回归分析基于变量之间的线性关系假设，对于非线性关系的研究需要采用其他方法。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
回归分析概念相关多元回归分析
回归分析概念相关多元回归分析回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间的关系。
它可以用来预测或解释因变量在自变量变化时的变化情况。
相关分析是回归分析的一种特殊情况，用于研究两个变量之间的关系。
它通过计算两个变量之间的相关系数来衡量它们的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
与相关分析相比，多元回归分析可以同时研究一个因变量和多个自变量之间的关系。
它通过拟合一个线性模型来预测或解释因变量的变化。
多元回归分析的最常见形式是多元线性回归，它可以用来研究因变量在多个自变量变化时的变化情况。
在多元回归分析中，每个自变量都有一个回归系数，代表它对因变量的影响程度。
多元回归分析需要满足一些假设，包括线性假设（因变量和自变量之间的关系是线性的）、独立性假设（观测之间是相互独立的）、等方差性假设（残差的方差是恒定的）和正态性假设（残差是正态分布的）。
如果这些假设不成立，可能需要采取一些特殊技术，如非线性回归或转换变量。
多元回归分析的步骤包括数据收集、模型建立、模型拟合和结果解释。
在数据收集阶段，需要收集因变量和自变量的数据。
在模型建立阶段，需要选择适当的自变量，并建立一个数学模型。
在模型拟合阶段，需要使用统计软件拟合模型，并计算回归系数和拟合优度。
在结果解释阶段，需要解释回归系数的含义，并进行模型的诊断和解释。
多元回归分析有很多应用领域，包括经济学、社会科学、医学等。
它可以用来预测销售额、分析市场需求、评估政策效果等。
通过多元回归分析，研究人员可以深入了解因变量与多个自变量之间的复杂关系，并得出有关预测和解释的结论。
总结起来，回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
相关分析是其特殊情况，用于研究两个变量之间的关系。
多元回归分析是同时研究一个因变量和多个自变量之间的关系。
多元回归分析的步骤包括数据收集、模型建立、模型拟合和结果解释。
回归分析的基本概念与方法
回归分析的基本概念与方法在当今的数据驱动时代，回归分析作为一种强大的统计工具，广泛应用于各个领域，帮助我们理解和预测变量之间的关系。
那么，什么是回归分析？它又有哪些基本的方法呢？回归分析，简单来说，就是研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
其目的是通过建立数学模型，来描述这种关系，并能够根据自变量的值来预测因变量的值。
比如说，我们想研究房价和房屋面积、地理位置、房龄等因素之间的关系。
通过回归分析，我们可以建立一个数学公式，当输入房屋的面积、地理位置、房龄等信息时，就能大致预测出房价。
回归分析有多种类型，其中最常见的是线性回归和非线性回归。
线性回归是回归分析中最简单也是最基础的形式。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，也就是可以用一条直线来表示这种关系。
举个例子，如果我们想研究一个人的身高和体重之间的关系，线性回归可能会告诉我们，体重随着身高的增加而大致呈线性增长。
在数学上，线性回归模型可以表示为：Y ＝ a ＋ bX ，其中 Y 是因变量，X 是自变量，a 是截距，b 是斜率。
为了确定这个模型中的参数 a 和 b ，我们需要使用一些数据，并通过最小二乘法来进行拟合。
最小二乘法的基本思想是，使得观测值与预测值之间的误差平方和最小。
通过一系列的数学计算，找到最合适的 a 和 b 的值，从而得到最佳的线性回归模型。
然而，现实世界中的很多关系并不是简单的线性关系。
这时候就需要用到非线性回归。
非线性回归的形式多种多样，比如二次函数、指数函数、对数函数等等。
假设我们研究一种药物的剂量和药效之间的关系，可能开始时药效随着剂量的增加而迅速上升，但到了一定程度后，增加剂量对药效的提升就不那么明显了，这种关系可能更适合用非线性模型来描述。
在进行回归分析时，有几个重要的概念需要了解。
首先是残差。
残差是观测值与预测值之间的差异。
通过观察残差，我们可以判断模型的拟合效果。
如果残差随机分布在零附近，说明模型拟合较好；如果残差呈现出某种规律，比如有明显的趋势或聚集，那么可能意味着模型存在问题，需要进一步改进。
回归分析和相关分析的基本概念和方法
回归分析和相关分析的基本概念和方法回归分析和相关分析是统计学中常用的分析方法，用于研究变量之间的关系、预测变量的值以及对未来情况进行估计。
本文将介绍回归分析和相关分析的基本概念和方法。
回归分析是一种通过建立数学模型来描述变量之间关系的方法。
它基于一个或多个自变量（也称为预测变量）与一个因变量（也称为响应变量）之间的关系。
回归分析的目的是通过自变量的值来预测和解释因变量的值。
常见的回归分析方法有线性回归、多元回归和逻辑回归等。
线性回归是最常用的回归分析方法之一，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过拟合一条直线或平面来描述这种关系。
多元回归则可以处理多个自变量的情况，逻辑回归则适用于因变量为二元变量的情况。
回归分析的方法可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
它可以用于各个领域的研究，如经济学、社会学、医学等。
通过观察变量之间的相关性，我们可以了解它们之间的内在关系，并根据这些关系做出相应的决策。
与回归分析类似，相关分析也是研究变量之间关系的一种方法。
相关分析衡量了两个变量之间的线性关系强度和方向，它可以告诉我们变量之间的相关性程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中负值表示负相关，正值表示正相关，0表示无相关性。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关系，并可以预测一个变量的值，当我们知道其他相关变量的值时。
相关分析还可以用于探索性数据分析，帮助我们发现变量之间的新关系，并进行深入研究。
在进行回归分析和相关分析之前，我们需要先收集数据，并进行数据预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理和异常值检测等步骤。
然后，我们可以根据研究的目的选择合适的回归模型或相关系数，并进行参数估计和假设检验。
为了确保结果的可靠性，我们还需要进行模型诊断和效果评估。
模型诊断可以检查模型是否满足回归或相关分析的假设，并纠正违反假设的情况。
效果评估可以通过计算预测误差、确定系数和显著性检验等指标来评估模型的拟合效果。
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系，并用这些关系来预测或解释一个或多个因变量。
它可以帮助我们理解自变量与因变量之间的线性关系，并根据这种关系进行预测和解释。
回归分析的核心原理是建立一个线性方程来描述自变量和因变量之间的关系。
这个线性方程也称为回归方程。
回归方程的一般形式如下：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xk表示自变量，β0、β1、β2、..、βk表示模型的系数，ε表示误差项。
回归方程中，自变量的系数β表示因变量在自变量变化一个单位时的变化量。
例如，假设自变量为X1，系数β1为2，那么当X1增加1个单位时，因变量Y将增加2个单位。
回归分析的目标是通过拟合回归方程来估计模型的系数，并使用这些系数进行预测或解释。
常用的回归分析方法有最小二乘法和最大似然估计法。
最小二乘法是一种常用的回归估计方法。
它通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定最佳的回归系数。
最小二乘法的优点是计算简单，并且能够提供估计系数的置信区间和显著性检验。
最大似然估计法是另一种常用的回归估计方法。
它通过寻找使得观测值出现的概率最大的回归系数来进行估计。
最大似然估计法的优点是可以处理更加复杂的模型，并且提供了参数的置信区间和假设检验。
在进行回归分析之前，需要满足一些基本的假设。
其中最重要的是线性性和正态性假设。
线性性假设指的是自变量和因变量之间的关系是线性的，正态性假设则指的是误差项ε服从正态分布。
在回归分析中，还需要评估模型的拟合优度。
常用的指标包括决定系数（R-squared）和调整决定系数（adjusted R-squared）。
决定系数表示回归方程对因变量变异的解释程度，取值范围从0到1，越接近1表示模型的拟合优度越好。
调整决定系数则对变量的个数进行了修正，避免过拟合。
回归分析有很多应用领域，例如经济学、社会学、生物学和工程学等。
回归分析的概念和分析
第七章回归分折讨论随机变量与非随机变量之间的关系的问题称回归分析；讨论随机变量之间的关系的问题称相关分析．关于这两种问题，或统称回归分析，或统称相关分析都能够．然而，自然界的众多的变量间，还有另一类重要关系，我们称之为相关关系．例如，施肥量与农作物产量之间的关系，这种关系虽不能用函数关系来描述，但施肥量与产量有关系，这种关系确实是相关关系，又比如，人的身高与体重的关系也是相关关系，尽管人的身高不能确定体重，但总的讲来，身高者，体也重些，总之，在生产斗争与科学实验中，甚至在日常生活中，变量之间的相关关系是普遍存在的．事实上，即使是具有确定性关系的变量间，由于实验误差的阻碍，其表现形式也具有某种的不确定性．回归分折方法是数理统计中一个常用方法，是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法,．它不仅提供了建立变量间关系的数学表达---通常称为经验公式的一般方法，而且还能够进行分析，从而能判明所建立的经验公式的有效性，以及如何利用经验公式达到预测与操纵的目的．因而回归分析法得到了越来越广泛地应用．回归分析要紧涉及下列内容：(1)从一组数据动身，分析变量间存在什么样的关系，建立这些变量之间的关系式(回归方程)，并对关系式的可信度进行统计检验；(2)利用回归方程式，依照一个或几个变量的值，预测或操纵男一个变量的取值；(3)从阻碍某一个变量的许多变量中，推断哪些变量的阻碍是显著的，哪些是不显著的，从而可建立更有用的回归方程，(4)依照预测和操纵所提出的要求，选择试验点，对试验进行设计．我们在本章，重点讨论一元线性回归，对多元回归只作简单地介绍．§1 一元线性回归一元线性回归分析中要考察的是：随机变量Y与一个一般变量x之间的联系。
对有一定联系的两个变量：x 与Y ，我们的任务是依照一组观看值1,12,2,(),(),,(),n n x y x y x y推断Y 与x 是否存在线性关系y a bx ε=++，我们能否通过这组观看值将确定系数a 与b 出来呢?这确实是回归问题要解决的问题，且推断Y 与x 是否真存在此线性关系.一 . 经验公式与最小二乘法:【例1】 纤维的强度与拉伸倍数有关．下表给出的是24个纤维样品的强度与拉伸倍数的实测记录．我们希望通过这张表能找出强度y 与拉伸倍数x 之间的关系式们将观看值,()(124)i i x y i ≤≤作为24个点，将它们画在平面上，这张图称为散点图，这散点图启发我们，这些点尽管是散乱的，但大体上散布在一条直线的周围．也确实是讲，拉伸倍数与强度之间大致成线性关系．我们用（＊）确定，是线性的，要完全确定经验公式，就要确定(＊)中的系数a 和b ，那个地点b 通常称为 回归系数，关系式叫做回归方程．从散点图来看，要找出a 与b 是不困难的，在图上划一条直线，使该直线总的来看最“接近”这24个点．因此，这直线在y 轴上的截距确实是所求的a ，它的斜率确实是所求的b ．几何方法尽管简单，然而太祖糙，而对非线性形式的问题，就几乎无法实行．然而，它的差不多思想，即“使该直线总的讲来最接近这24个点”，却是专门可取的，问题是把这差不多思想精确化，数量化．下面介绍一种方法，求一条直线使其“总的来看最接近这24个点”，这确实是最小二乘法．给定的n 个点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ,那么，关于平面上任意一条直线l : y a bx =+我们用数量2[()]i i y a bx -+来刻画点(,)i i x y 到直线l 的远近程度, 因此二元函数21(,)[()]ni i i Q a b y a bx ==-+∑ 就定量的描述了直线l 跟那个n 点的总的远近程度,那个量是随不同的直线而变化,或者讲是随不同的a 与b 而变化的,因此要找一条直线, 使得该直线总的来看最“接近” 这 n 个点的问题就转化为:要找两个数a 与b , 使得二元函数(,)Q a b 在ˆˆ,a a b b ==处达到最小, 即ˆˆ(,)min((,))Q ab Q a b = 由因此(,)Q a b n 个量平方之和，因此“使(,)Q a b 最小”的原则称为平方和最小原则，适应上称为最小二乘原则．由最小二乘原则求a 与b 可能值的方法称为最小二乘法．按照最小二乘原则，具体求ˆˆ,ab 的问题确实是利用极值原理，求解二元一次联立方程组有唯一解:因此，关于给定的n个点1122x y x y x y，先算出ˆb，(,),(,),,(,)n n再算出ˆa，就得到了所求的回归方程:可计算【例１】的因此所求经验公式, 即回归方程为【例2】P．236―――例1.2对任意两个相关变量，即使它们不存在线性关系，都能够通过它们的一组观测值用最小二乘法，在形式上求得Y 和X 的回归直线方程. 实际上，假如Y 和X 没有线性相关关系，所求的回归直线方程是没有意义的．因此建立了回归直线方程之后，还需要推断Y 与X间是否真有线性相关关系，这确实是回归效果的检验问题．称为回归效果的显著性检验． 首先介绍“平方和分解公式”．二. 平方和分解公式与线性相关关系：:关于任意的n 组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y , 恒有:2211ˆ()()nni i i i i y y y y ==-=-∑∑+ 21ˆ()(1)nii y y =-∑’其中 ˆi y ˆˆ,(1,2,,)ia bx i n =+= 现记yy l =21()ni i y y =-∑， 21ˆ()ni i U y y ==-∑，21ˆ()ni i i Q y y ==-∑ 则平方和分解公式是：(1)yyl U Q'=+证明：因为ˆˆa y b x=- , 121()()ˆ()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，同时＝0因此yyl U Q=+即2211ˆ()()n ni i ii iy y y y==-=-∑∑+ 21ˆ()niiy y=-∑ˆi y =ˆˆia bx +是回归直线上， 其横坐标为i x 点的纵坐标，因为因此1ˆ,y 2ˆ,y ˆ,n y的平均值也等于y ．我们还能够通过,,yy l U Q 的均值，进一步讲明它们之间的关系．有了上面这些关于,,yy l U Q 的分析表明：(1)(1,2,,)i y i n =的离差平方和由两部分组成：回归平方和U 和残差平方和Q , 其中Q 完全由随机因素引起，(2)U 中尽管也有随机因素，然而当0b≠时,要紧是由X 与Y 线性相关关系决定．因而U与Q之比的比值反映了这种线性相关关系与随机因素对Y的阻碍的大小．比值越大，线性相关关系越强．大到什么程度才能讲明有线性相关关系，还要进行检验，因而应查找检验的统计量．则ˆˆ,;xyxxlb a y bx Ul==-=2ˆxxb l=ˆ,xy yybl Q l U=-.(参看P.244+3, 注意:这是常用的计算公式)三．相关性检验:（1）提出原假设：:0H b=（2）选择统计量：/(2)UFQ n=-（3）求出在假设H成立的条件下，(1,2)F F n- ,（4）选择检验水平α，查第一自由度为1与第二自由度为2n-.的,F-分布表（附表4），得临界值λ，使得(),P Fλα>=（5）依照样本值计算统计量的观看值F，给出拒绝或同意H。
回归分析名词解释
回归分析名词解释回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它用于确定一个或多个自变量与一个因变量之间的关系模型，并通过此模型预测未知变量的值。
回归分析的目标是寻找自变量与因变量之间的最佳拟合线性关系。
在简单线性回归中，只有一个自变量和一个因变量，而多元线性回归则允许多个自变量和一个因变量。
回归分析包括以下几个关键概念：1. 自变量：自变量是研究者感兴趣的解释性变量。
它们被认为对因变量产生影响。
2. 因变量：因变量是研究者希望预测或解释的变量。
它们是回归分析的主要焦点。
3. 拟合线：拟合线表示自变量和因变量之间的关系。
回归分析试图找到一条最佳拟合线，以最好地表示数据。
4. 斜率：回归方程中的斜率表示因变量以自变量的单位变化时的变化量。
它反映了自变量对因变量的影响程度。
5. 截距：回归方程中的截距表示当自变量为零时，因变量的预测值。
它有助于解释因变量的基本水平。
回归分析的方法基于最小二乘法，试图最小化实际观测值与拟合线之间的误差。
通过计算残差（实际观测值与拟合线之间的差异）的平方和，回归分析可以确定最佳拟合线。
回归分析的应用广泛，可以用于各种领域中的数据分析和预测，如经济学、社会科学、医学等。
它可以帮助研究者了解变量之间的关系，并预测未来的观测值。
同时，回归分析的结果也可以用于制定决策、优化资源分配和评估政策效果。
然而，回归分析也有一些限制。
例如，它假设自变量和因变量之间的关系是线性的，而现实世界中的关系可能更为复杂。
此外，回归分析还要求数据符合一些假设，如正态分布和同方差性。
因此，在使用回归分析之前，研究者需要仔细检查数据的适用性和假设的满足程度。
综上所述，回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
通过寻找最佳拟合线性关系，回归分析可以帮助预测和解释因变量，并在各种领域中应用广泛。
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析定义：利用数据统计原理，对大量统计数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程(函数表达式)，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法。
分类：1. 根据因变量和自变量的个数来分类：一元回归分析；多元回归分析；2. 根据因变量和自变量的函数表达式来分类：线性回归分析；非线性回归分析；几点说明：1. 通常情况下，线性回归分析是回归分析法中最基本的方法，当遇到非线性回归分析时，可以借助数学手段将其化为线性回归；因此，主要研究线性回归问题，一点线性回归问题得到解决，非线性回归也就迎刃而解了，例如，取对数使得乘法变成加法等；固然，有些非线性回归也可以直接进行，如多项式回归等；2. 在社会经济现象中，很难确定因变量和自变量之间的关系，它们大多是随机性的，惟独通过大量统计观察才干找出其中的规律。
随机分析是利用统计学原理来描述随机变量相关关系的一种方法；3. 由回归分析法的定义知道，回归分析可以简单的理解为信息分析与预测。
信息即统计数据，分析即对信息进行数学处理，预测就是加以外推，也就是适当扩大已有自变量取值范围，并承认该回归方程在该扩大的定义域内成立，然后就可以在该定义域上取值进行“未来预测”。
固然，还可以对回归方程进行有效控制；4. 相关关系可以分为确定关系和不确定关系。
但是不管是确定关系或者不确定关系，只要有相关关系，都可以选择一适当的数学关系式，用以说明一个或者几个变量变动时，另一变量或者几个变量平均变动的情况。
相关关系线性相关非线性相关彻底相关不相关正相关负相关正相关负相关回归分析主要解决的问题：回归分析主要解决方面的问题；1. 确定变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出数学表达式；2. 根据一个或者几个变量的值，预测或者控制另一个或者几个变量的值，且要估计这种控制或者预测可以达到何种精确度。
回归模型：回归分析步骤：1. 根据自变量与因变量的现有数据以及关系，初步设定回归方程；2. 求出合理的回归系数；3. 进行相关性检验，确定相关系数；4. 在符合相关性要求后， 即可根据已得的回归方程与具体条件相结合， 来确定事物的未来 状况，并计算预测值的置信区间；回归分析的有效性和注意事项：有效性： 用回归分析法进行预测首先要对各个自变量做出预测。
报告中的线性回归分析与结果解读
报告中的线性回归分析与结果解读标题一：线性回归分析的基础概念线性回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它用于研究两个或更多变量之间的关系。
本节将介绍线性回归的基础概念，包括回归方程、自变量和因变量的定义以及回归系数的含义。
在线性回归中，我们研究的目标变量被称为因变量，记作Y。
而用来预测或解释因变量的变量被称为自变量，记作X。
回归方程可以用来描述因变量和自变量之间的关系，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中β0、β1、β2...βk 是回归系数，表示自变量对因变量的影响程度，ε是误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值与回归方程的预测值之间的误差最小化。
一种常用的求解方法是最小二乘法，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
解释变量的选择对回归结果的解释能力有重要影响，通常需要依据领域知识、相关性分析等方法进行选择。
标题二：线性回归模型的拟合优度评估线性回归分析的结果需要进行拟合优度评估，以判断回归方程的拟合程度。
一种常用的方法是使用R方（决定系数），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对观测数据的解释能力越强。
除了R方之外，我们还可以使用调整后的R方（Adjusted R-square）来评估模型拟合优度。
调整后的R方考虑了自变量个数对R方的影响，避免了自变量个数增加而导致R方过高的问题。
此外，我们还可以通过回归分析的残差分布来评估模型的拟合优度。
残差是观测值与回归方程预测值之间的差异，如果残差满足独立性、正态性和方差齐性的假设，表示回归模型对数据的拟合比较好。
标题三：回归系数的显著性检验在线性回归分析中，显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。
常用的显著性检验方法包括t检验和F检验。
对于单个自变量，t检验用于检验自变量的回归系数是否显著。
t统计量的计算公式为t = βj / SE(βj)，其中βj是回归系数，SE(βj)是标准误。
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析回归分析是统计学中最广泛应用的方法之一，可以用来模拟一个或多个自变量与应变量（或响应变量）之间的关系。
回归分析可以用于研究一个变量或多个变量对另一个变量的影响，也可以用于预测结果或评估策略。
本文将讨论回归分析原理和应用，重点是线性回归和多元线性回归。
回归分析的概念回归分析是一种预测分析方法，其中一个或多个自变量用于对应变量进行建模。
在回归分析中，自变量是一个或多个特定变量，其值（或一些属性）由研究人员控制或测量。
反过来，应变量或响应变量是一个或多个需要预测或估计的变量。
回归分析通过确定自变量与应变量之间的关系来预测或估计结果。
回归分析分为线性回归和非线性回归。
线性回归假设自变量与应变量之间存在线性关系，非线性回归则假设存在其他类型的关系。
线性回归是回归分析中最常见的方法，因为它简单易懂，易于使用和解释。
线性回归在线性回归中，研究人员试图将一个或多个自变量与一个应变量之间的关系建立为直线函数形式的方程。
这个方程称为线性回归方程。
线性回归方程的形式通常为：y = a + bx其中y是应变量，x是自变量，a和b是回归系数。
要确定回归系数，通常使用最小二乘法。
最小二乘法是一种数学方法，它可以通过找到最小平方误差来确定回归系数。
平方误差是指每个观测值与方程估计值之间的差异的平方。
回归分析中的常见统计量包括p值、R平方、均方误差和可决系数。
其中，p 值表示回归系数是否显著不为0，R平方表示自变量对应变量的变异性的比例，均方误差是误差的平方平均值，可决系数表示自变量对应变量之间的相关性程度。
多元线性回归在多元线性回归中，有两个或更多自变量与应变量之间的关系。
多元线性回归方程形式如下：y = a + b1x1 + b2x2 + ... + bnxn其中yi是应变量，xi是自变量，a和bi是回归系数。
在多元线性回归中，使用的方法与线性回归非常相似，只是需要多个自变量和回归系数。
在多元线性回归中，需要关注回归系数的符号和显著性，以及各自变量之间的互相关性。
回归分析法
回归分析法回归分析法是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的关系。
它可以用来预测因变量的值，并揭示自变量对因变量的影响程度。
在本文中，我们将介绍回归分析法的基本概念、原理和应用，并通过一个案例来说明如何使用回归分析法解决实际问题。
一、回归分析法的基本概念和原理回归分析法是一种研究变量间关系的统计方法。
它的基本思想是通过建立一个数学模型来描述因变量和自变量之间的关系。
回归分析通常用一条直线（简单线性回归）或曲线（多项式回归）来拟合观测数据，并通过对模型的参数进行估计，得出最优拟合函数，用以预测因变量的值。
回归分析法的核心原理是最小二乘法。
最小二乘法的目的是使观测数据与模型的拟合度最好，即使残差（实际观测值与预测值之间的差异）最小化。
通过最小二乘法，我们可以求得最优的模型参数估计值，从而获得模型的拟合线或曲线。
回归分析法可以分为简单线性回归和多元线性回归两种形式。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。
根据实际问题的需求，我们可以选择适当的回归模型进行分析。
二、回归分析法的应用回归分析法在实际问题中有广泛的应用。
下面我们以一个市场营销案例为例来说明回归分析法的应用。
假设一家公司生产和销售某种产品，他们希望了解广告投入与产品销量之间的关系，以便制定更有效的营销策略。
为了解决这个问题，他们收集了一段时间内的广告投入和产品销量的数据。
首先，我们需要对数据进行可视化和描述性统计分析，以了解数据的分布和特征。
然后，我们可以根据数据建立一个数学模型，假设广告投入是因变量，产品销量是自变量。
接下来，我们可以通过回归分析来估计模型的参数，并利用模型对未来的广告投入进行预测。
通过回归分析，我们可以得出广告投入与产品销量之间的关系。
例如，如果回归系数为正，则说明广告投入对产品销量有正向影响，即广告投入越大，产品销量越高。
反之，如果回归系数为负，则说明广告投入对产品销量有负向影响。
统计学中的回归分析
回归分析是统计学中一种重要的方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
通过回归分析，可以对自变量的变化如何影响因变量进行量化和预测。
本文将介绍回归分析的概念、应用领域以及常见的回归模型。
回归分析是在观察数据基础上进行的一种统计推断方法，它关注变量之间的因果关系。
通过回归分析，可以确定自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析最常见的形式是简单线性回归，即只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，我们想研究体育成绩与学习时间之间的关系，可以将学习时间作为自变量，成绩作为因变量，通过建立线性模型来预测学习时间对成绩的影响。
回归分析在各个领域都有广泛的应用。
在经济学中，回归分析可以用来研究价格和需求、收入和消费之间的关系。
在社会学中，可以用回归分析来研究教育水平与收入的关系、人口数量与犯罪率之间的关系等。
在医学研究中，回归分析可以用来探讨生活习惯和患病风险的关系。
无论是对个体还是对群体进行研究，回归分析都可以提供有力的工具和方法。
常见的回归模型包括线性回归、多元回归和逻辑回归等。
线性回归适用于自变量与因变量之间呈线性关系的情况。
多元回归则用于处理多个自变量和一个因变量之间的关系。
逻辑回归是一种分类方法，用于预测离散变量的取值。
这些回归模型都有各自的假设和拟合方法，研究人员需要根据具体情况选择适合的模型。
在进行回归分析时，还需要注意一些问题。
首先，要注意解释回归系数的意义。
回归系数表示因变量单位变化时自变量的变化量，可以用来解释自变量对因变量的影响方向和程度。
其次，要注意模型拟合度的评估。
常见的评估指标包括决定系数（R^2）、调整决定系数和均方根误差（RMSE）等。
这些指标可以评估模型对实际数据的拟合程度。
最后，要注意回归分析的前提条件。
回归分析假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布，因此需要验证这些前提条件是否成立。
综上所述，回归分析是统计学中一种常用的分析方法，可以用来研究自变量对因变量的影响关系。
回归分析是什么如何利用回归模型进行
回归分析是什么如何利用回归模型进行回归分析是一种统计学方法，用于确定变量之间的关系。
它通过建立一个数学模型，来预测和解释因变量与一个或多个自变量之间的关系。
回归模型可以用来分析数据，预测未来趋势，并评估变量之间的影响。
一、回归分析的基本概念回归分析的目的是确定因变量（也称为响应变量）与一个或多个自变量（也称为预测变量）之间的关系。
回归模型通常表示为: Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε其中，Y是因变量，X₁、X₂、...、Xₚ是自变量，β₀、β₁、β₂、...、βₚ是回归系数，ε是误差项。
回归模型中的回归系数代表自变量对因变量的影响程度。
误差项ε表示模型无法解释的随机波动。
二、回归分析的步骤1. 数据收集：收集包含因变量和自变量的数据。
数据应来自随机样本，并尽可能具有代表性。
2. 数据探索：进行数据可视化和统计分析，了解数据的分布、关系和异常值等情况。
3. 模型选择：根据问题的需求和数据特征，选择适合的回归模型。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归、岭回归等。
4. 拟合模型：使用最小二乘法或其他优化算法，拟合回归模型，确定回归系数。
5. 模型评估：评估回归模型的性能和拟合程度。
常用指标包括均方误差、决定系数等。
6. 预测和解释：利用拟合好的回归模型，对未知数据进行预测，并解释自变量对因变量的影响。
三、回归模型的应用1. 预测：回归模型可以用于预测未来趋势。
例如，可以利用房屋面积、地理位置等因素，构建回归模型来预测房价。
2. 解释：回归模型可以帮助解释变量之间的关系。
例如，可以分析销售额与广告投入、季节因素等之间的关系。
3. 控制变量：回归模型可以控制其他变量的影响，只关注特定因变量与自变量之间的关系。
例如，可以控制年龄、性别等因素，分析学习时间与考试成绩之间的关系。
四、回归分析的局限性1. 假设前提：回归分析假设因变量与自变量之间存在线性关系，并且误差项满足一些统计假设。
回归分析理论
回归分析第一节回归分析的意义一、什么是回归分析回归分析是根据一个已知变量来预测另一个变量平均值的统计方法。
回归与相关之间既存在着密不可分的关系，也有本质的区别。
从关系看，若两变量无相关时（即r=0），则不存在预测的问题；若两变量存在关系，那么相关程度愈高，误差愈小，预测的准确性越高。
当变量完全相关时（即r=1），意味着不存在误差，其预测将会完全准确的。
从区别看，一是相关表示两个变量双方向的相互关系，回归只表示一个变量随另一个变量变化的单方向关系。
二是回归中有因变量和自变量的区分，相关并不表明事物的因果关系，对所有的研究变量平等看待，不作因变量、自变量的区分二、回归分析的内容通过回归分析主要解决以下几个问题：（1）确定几个变量之间的数学关系式。
（2）对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。
（3）利用所确定的数学关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确度。
回归分析内容：（一）建立回归方程（二）检验方程的有效性（三）利用方程进行预测（四）进行因素分析第二节一元线性回归方程的建立一、一元线性回归意义一元线性回归是指只有一个自变量的线性回归（linear regression），对具有线性关系的两个变量，回归的目的首先是找出因变量（一般记为Y）关于自变量（一般记为X）的定量关系。
如例11-1：10位大一学生平均每周所花的学习时间及他们期末考试成绩。
观察数据我们可以发现两者之间呈正相关，不过更直接的方法是绘制散点图，即分别用两列变量做横、纵轴，描点。
若它们的分布在一条带状区域，就预示着两列变量之间有相关，如图11-1所示。
若没有随机误差的影响，这些点将落在一条直线上，这条直线称回归线（regression line），它是描述因变量Y关于自变量X关系的最合理的直线。
图11-1 两列变量的关系图二、一元线性回归方程Y a bX =+因回归表示两个变量单方向的推算关系，所以既可以用X 去预测Y ，也可以用Y 去预测X 。
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回归分析的概念和分析(doc 20页)第七章回归分折讨论随机变量与非随机变量之间的关系的问题称回归分析；讨论随机变量之间的关系的问题称相关分析．对于这两种问题，或统称回归分析，或统称相关分析都可以．但是，自然界的众多的变量间，还有另一类重要关系，我们称之为相关关系．例如，施肥量与农作物产量之间的关系，这种关系虽不能用函数关系来描述，但施肥量与产量有关系，这种关系就是相关关系，又比如，人的身高与体重的关系也是相关关系，虽然人的身高不能确定体重，但总的说来，身高者，体也重些，总之，在生产斗争与科学实验中，甚至在日常生活中，变量之间的(4)根据预测和控制所提出的要求，选择试验点，对试验进行设计．我们在本章，重点讨论一元线性回归，对多元回归只作简单地介绍． §1 一元线性回归 一元线性回归分析中要考察的是：随机变量Y 与一个普通变量x 之间的联系。
对有一定联系的两个变量： x 与Y ，我们的任务是根据一组观察值1,12,2(),(),,x y x y判断Y 与x 是否存在线性关系y a bx ε=++，我们能否通过这组观察值将确定系数a 与b 出来呢?这就是回归问题要解决的问题，且判断Y 与x 是否真存在此线性关系.一 . 经验公式与最小二乘法:【例1】 纤维的强度与拉伸倍数有关．下表给出的是24个纤维样品的强度与拉伸倍数的实测记录．我们希望通过这张表能找出强度y 与拉伸倍数x 之间的关系式们将观察值,()(124)i i x y i ≤≤作为24个点，将它们画在平面上，这张图称为散点图，这散点图启示我们，这些点虽然是散乱的，但大体上散布在一条直线的周围．也就是说，拉伸倍数与强度之间大致成线性关系．我们用（＊）确定，是线性的，要完全确定经验公式，就要确定(＊)中的系数a和b，这里b通常称为回归系数，关系式叫做回归方程．从散点图来看，要找出a与b是不困难的，在图上划一条直线，使该直线总的来看最“接近”这24个点．于是，这直线在y轴上的截距就是所求的a，它的斜率就是所求的b．几何方法虽然简单，但是太祖糙，而对非线性形式的问题，就几乎无法实行．然而，它的基本思想，即“使该直线总的说来最接近这24个点”，却是很可取的，问题是把这基本思想精确化，数量化．下面介绍一种方法，求一条直线使其“总的来看最接近这24个点”，这就是最小二乘法．给定的n 个点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ,那么，对于平面上任意一条直线l :y a bx =+我们用数量2[()]i i y a bx -+来刻画点(,)i i x y 到直线l 的远近程度, 于是二元函数1(,)[(ni i Q a b y a bx==-+∑就定量的描述了直线l 跟这n 个点的总的远近程度,这个量是随不同的直线而变化,或者说是随不同的a 与b 而变化的,于是要找一条直线, 使得该直线总的来看最“接近” 这 n 个点的问题就转化为:要找两个数a 与b , 使得二元函数(,)Q a b 在ˆˆ,a a b b ==处达到最小,即ˆˆ(,)min((,))Q a b Q a bQ a b是n个量平方之和，所以“使由于(,)Q a b最小”的原则称为平方和最小(,)原则，习惯上称为最小二乘原则．由最小二乘原则求a与b估计值的方法称为最小二乘法．ˆ,a b的问题就是利用极值原理，按照最小二乘原则，具体求ˆ求解二元一次联立方程组有唯一解:于是， 对于给定的n 个点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，先算出ˆb ，再算出ˆa ，就得到了所求的回归方程:可计算【例１】的因此所求经验公式, 即回归方程为【例2】P ．236――― 例1.2对任意两个相关变量，即使它们不存在线性关系，都可以通过它们的一组观测值用最小二乘法，在形式上求得Y 和X 的回归直线方程. 实际上，如果Y 和X 没有线性相关关系，所求的回归直线方程是没有意义的．因此建立了回归直线方程之后，还需要判断Y 与X 间是否真有线性相关关系，这就是回归效果的检验问题．称为回归效果的显著性检验． 首先介绍“平方和分解公式”．二. 平方和分解公式与线性相关关系：:对于任意的n 组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y , 恒有:2211ˆ()()n n i i i i i y y y y ==-=-∑∑+ 21ˆ()(1)ni i y y =-∑’其中 ˆi y ˆˆ,(1,2,,)i a bx i n =+= 现记yy l =21()ni i y y =-∑，21ˆ()ni i U y y ==-∑，21ˆ()ni i i Q y y ==-∑则平方和分解公式是：(1)yy l U Q '=+证明：因为ˆˆay b x =-, 121()()ˆ()nii i nii xx y y b xx==--=-∑∑，并且＝0所以yy l U Q=+即2211ˆ()()n ni i ii i yy yy==-=-∑∑+21ˆ()ni i y y =-∑ˆi y =ˆˆia bx +是回归直线上， 其横坐标为i x 点的纵坐标，因为所以1ˆ,y 2ˆ,y ˆ,n y的平均值也等于y ．我们还可以通过,,yy l U Q 的均值，进一步说明它们之间的关系．有了上面这些对于,,yy l U Q 的分析表明：(1)(1,2,,)i y i n 的离差平方和由两部分组成：回归平方和U 和残差平方和Q , 其中Q 完全由随机因素引起，(2)U 中虽然也有随机因素，但是当0b ≠时,主要是由X 与Y 线性相关关系决定．因而U 与Q 之比的比值反映了这种线性相关关系与随机因素对Y 的影响的大小．比值越大，线性相关关系越强．大到什么程度才能说明有线性相关关系，还要进行检验，因而应寻找检验的统计量．则ˆˆ,;xy xxl b ay bx U l ==-=2ˆxx b l =ˆ,xyyy bl Q l U =-.(参看P.244+3, 注意: 这是常用的计算公式)三．相关性检验:（1）提出原假设： :0H b = （2）选择统计量： /(2)UF Q n =-（3）求出在假设H 成立的条件下， (1,2)FF n - ,（4）选择检验水平α，查第一 自由度为1与第二 自由度为2n -.的,F -分布表（附表4），得临界值λ ，使得(),P F λα>=（5） 根据样本值计算统计量的观察值F ，给出拒绝或接受H 。
的判断：当 F λ>时，则拒绝H 。
；当F λ<时,则接受H 。
．如果F 值相当大则表明X 与Y 线性影响较大，就可以认为X 与Y 间有线性相关关系；反之，如果F 值较小，则没有理由认为X 与Y 间有线性相关关系．衡量回归效果的好坏，除了采用回归问题的方差分析外, 还可以用统计量xy xx yy l R l l =来描述两个变量线性关系的密切程度，当R接近0, Y与X之间的线性相关程度愈小，反之，当R接近愈大，愈接近1，Y与X之间的线性相关就愈为密切．对一个具体问题，只有当相关系数R的绝对值大到一定程度时才可用回归直线来近似地表示Y与X之间的关系.对于假设H，由F和R提供的两钟形式上不同的检验方法，实质上是一回事。
（参看P. 243 --- P.244）【例3】 P.244 ―――例1.4【例4】 钢的含碳量与抗拉强度之间具有相关关系。
抽查某种钢材12根，测得含碳量(％)和抗拉强度(kg ／mm 2)的观测值如下：根据这组数据，求Y 对X 的线性回归方程，(0.05)α=解：（1） 计算,,,,xx xy yy x y l l l 与回归系数：编号i x i y 2i xi i x y * i i y y *11.3411.6953.316812 1.4 44 1.96 61.6 19363 1.4 45 1.96 63 2025 4 1.5 43 2.25 64.5 1849 5 1.6 46 2.56 73.6 2116 6 1.6 47 2.56 75.2 2209 7 1.7 47 2.89 79.9 22098 1.8 46 3.24 82.8 21169 1.9 46 3.61 87.4 2116 10 2.0 49 4.0098240111 2.1 49 4.41 102.9 2401 12 2.2514.84 112.2 2601 总和∑20.5 55435.97 954.4 25660162135.97ii x==∑，162125660ii y==∑，161954.4i ii x y==∑121222i 1i=11(x )0.94212xx i i l x ==-=∑∑121212i ii i=1i=111=x y (x )()7.98312xy i i l y =-=∑∑∑,121222111()83.6712yy ii i i l y y ===-=∑∑ ˆ8.4xyxxl b l == ˆˆ31.81ay bx =-= Y对X 的线性回归方程：ˆ31.818.4yx =+ （2） 检验X 与Y 线性相关性：:0H b =取统计量：,12/(2)UF n Q n ==- ，在假设H 成立的条件下，(1,10)FF ,0.05α=，得0.05(1,10)4,96F =，计算：ˆ67.15xyU b l =*= 16.52yy Q l U =-=40.64 4.96/10UF Q ==> 则拒绝H 。
，即抗拉强度与钢的含碳量之间是真有显著的线性相关关系，【例5】为了确定老鼠血镕的减少量和注射胰岛素A的剂量之间的关系，将在同样条件下繁殖的7只老鼠注射了不同剂量的胰岛素A，所得数据如下：解：计算回归系数：ˆb=ˆa=四．习题：P．254 ---- 1，2附表相关系数临界值表。