最新高三教案-2018届高三数学函数的综合应用2 精品
专题03 函数的应用(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题 文字语言 ⇒建模 数学语言 ⇒求解 数学应用 ⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.考点一 函数的零点判断例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 考点二、二次函数的零点例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．考点三 函数零点的应用例3、【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2， x －2 2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【变式探究】对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －1 m ≤n ，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．考点四、二次函数的模型例4、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【变式探究】某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元考点五、分段函数的模型例5、【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 0<x ≤10 ，108x －1 0003x 2x >10 .(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型． (2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.2.【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x xf x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.1.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.2、【2016高考上海理数】已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数. 3.【2016高考上海理数】已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； （3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.4.【2016高考上海理数】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭ 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
最新高三教案-专题4函数的综合应用 精品
函 数 的 综 合 应 用复习目标：综合运用函数的知识、方法和思想解决问题。
一、知识梳理1、 函数与不等式、方程的联系；2、 函数与数列、向量、解几等知识的交汇。
二、训练反馈1、 定义运算 a*b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ,则函数f(x)=1*2x 的值域为__________.2、 过点P(1,1)作曲线作曲线y=x 3的两条切线，则它们夹角的正切值为A.33B.139C.1315D.59 ( )3、 若f(x)是R 上的减函数，且f(0)=3,f(3)=-1,设P={x| |f(x+t)-1|<2},Q={x|f(x)<-1},设“x P ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A.0≤tB.0≥tC.3-≤tD.3-≥t4、已知F(x)=f(x)+f(-x),R x ∈,[2,ππ--]是F(x)的单调递增区间，将F(x)的图象按a=()0,π平移得到一个新函数G(x)的图象，则G(x)的单调递减必定是（ ） A.]0,2[π-B.],2[ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,23 5、 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c,试找出方程f[f(x)]=x 有4个不等实根的充要条件，并证明你的结论。
三、典型例题设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任何x 1、x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0，都有f(x 1, x 2)=f(x 1) f(x 2),f(1)=a>0。
(1)求f(21)、f(41)； (2)证明：f(x)是周期函数；（3）证明：x R ∈时，均有f(x)>0； (4)若a n =f(2n+1+121+n ), b n =f(112++n n ),n ∈N +,求数列{a n }与{b n }的通项公式。
四、备选例题已知函数f(x)=xa a x --+1(Ra ∈)(1) 证明：函数y=f(x)的图象关于点（a ，-1）成中心对称图形； (2) 当x ∈[a+1,a+2]时，求证：23)(2-≤≤-x f ； (3) 利用函数y=f(x)构造一个数列{x n },方法如下：对给定的定义域中的x 1，令x 2= f(x 1), x 3=f(x 2),……x n =f(x n-1),……，在上述构造过程中，如果x i （i=2,3,4……）在定义域中，构造的过程将继续下去；否则将停止。
《函数的应用(二)》示范公开课教学设计
《函数的应用（二）》教学设计◆教学目标1．通过实例了解指数函数、对数函数、幂函数在复利计算、增长率等实际问题中的应用，进一步培养数学建模能力；2．在解决相关问题的过程中，巩固指对幂运算，提升数学运算的核心素养；3．通过实际问题的解决，逐步培养分析问题、解决问题的能力，渗透德育教育．◆教学重难点◆教学重点：能够运用指数函数、对数函数、幂函数解决某些简单的实际应用问题.教学难点：根据实际问题建立相应的数学模型.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第42-44页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：本节课要学的内容是函数的应用（二），主要讨论的是指数函数、对数函数和幂函数的应用，类似的内容能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力，在学习本节知识之前，可引导学生回顾一下有关内容，如指数函数、对数函数、幂函数的单调性等.设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、问题导入引语：因为生活中很多量与量的关系都可以归结为指数关系，因此指数函数、对数函数和幂函数有着广泛的应用.下面举例说明.（板书：函数的应用（二））【新知探究】问题2：复利计息与“70原则”复利计息，俗称“利滚利”，是把前一期的本金和利息加在一起，作为下一期的本金进行计息的一种方式．所谓“70原则”，是指在复利计息的情况下，本息和翻倍的一种简算方思考与讨论：①复利问题中涉及到哪些变量？这些变量之间有什么数量关系？②“70原则”研究的问题中，所需满足的数量关系是什么？所需求解的变量是什么？③如何说明“70原则”包含的数学道理？师生活动：学生尝试自己得出问题的结果．并思考运用的是何种函数模型.预设的答案：①本金、利率、存期、本息和，本息和＝本金×(1+利率)存期．②设本金为a元，每期利率为r，存期为x*f x元，则x∈N，到期的本息和为()()=+．()(1)xf x a r设计意图：银行利率问题是我们身边最常见的一种经济指数模型，银行计息在存款与贷款中必不可少．通过这一例子，可以让学生初步认识到指数函数在利息计算中的应用，体现到用所学知识解决表面看起来很深奥的问题，为今后研究借贷计息作一铺垫．例 1 有些银行存款是按复利的方式和计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息，假设最开始本金为a元，每期的利率为r，存x期后本息和为f(x)元.（1）写出f(x)的解析式；（2）至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？解：（1）不难看出，f(1)=a+ar=a（1+r），f(2)=a（1+r）+a（1+r）r=a(1+r)2f(3)=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3......因此f (x )=a (1+r )x ，x ∈N*.（2）由f (x )≥2a ,由此可解得 x ≥ln2ln 1r +（）设不小于ln2ln 1r +（）的最小整数为0x ,则至少要经过0x 期后,本息和才能不小于本金的2倍.由例1的(2)可以得到银行业中经常使用“70原则”：因为ln2≈0.69315，而且当r 比较小时，ln （1+r ）≈r ，所以ln20.6931570ln 1100r r r≈≈+（） 即利率为r 时，本息和大约要70100r期才能“倍增”（即为原来的2倍）.例如，当年利率为5%时，约要经过14年，本息和才能“倍增”问题3： 年均下降率与节能减排问题按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》（国发[2016]74号）的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%． 师生活动：①2015年二氧化硫排放总量的最大值是多少万吨？（精确到1万吨） ②年均下降率是指一定年限内，平均每年下降的速度．请问在“十三五”期间，全国每年二氧化硫排放的年均下降率是多少？（精确到0.001）③如果2016~2019这四年的年均下降率均为3%，那么2020年的年均下降率应为多少？（精确到0.001）④2019年全国二氧化硫排放总量应控制在多少万吨以内？（精确到1万吨）预设的答案：一般地，若记2015年之后的第x (0,1,2,3,4,5)x =年二氧化硫排放总量的最大值为()f x 万吨，则()(0)(1)x f x f r =⋅-．设计意图：节能减排，节约能源，保护环境，这是当前国家一项重要的工作举措．随着现代社会物质生活条件的提高，各种能源消耗也增大不少，而我们往往忽视能源的减少还会带来环境的恶化，危害人们的生活乃至生命．本例意图是给学生渗透一种节能环保的意识． 例3 已知某地区第一年的经济增长率为a （a ∈[0,1]且a 为常数），第二年的经济增长率为x （x ≥0），这两年的平均经济增长率为y ，写出y 与x 的关系，并求y 的最小值.师生活动：学生充分思考后，写出并有老师给出答案.预设的答案：解：根据题意有 (1+a )(1+x )=(1+y )2,从而有y =0,1)1)(1(≥-++x x a显然，上述函数是增函数，因此x =0时，y 1.设计意图：平均增长率是学生不太熟悉的，讲解时要重点解释为什么(1+a )(1+x )=(1+y )2, 问题4：声强等级与噪声污染人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音．一般地，声强级()f x 是指该处的声强x （单位：瓦/米2）与参考声强的比值的常用对数再乘以10，参考声强是12110-⨯瓦/米2，即：师生活动：①人能听到的等级最低的声音的强度是多少？②为了防止噪音，我国著名声学家马大猷教授曾总结和研究了国内外现有各类噪音的危害和标准，提出了三条建议：（1）为了保护人们的听力和身体健康，噪音的允许值在 75~90 dB ．（2）保障交谈和通讯联络，环境噪音的允许值在 45~60 dB ．（3）对于睡眠时间建议在 35~50 dB ．请你计算，90dB 、60dB 、50dB 的声音强度之比．预设的答案强度：310-瓦/米2、610-瓦/米2、710-瓦/米2，它们的比值为10000:10:1．嘈杂的马路声音等级为90dB ，其声音强度至少是正常交谈的1000倍，是睡眠的10000倍．人不宜长时间呆在嘈杂的环境之中．设计意图：噪声污染属于感觉公害，对人、动物、仪器仪表以及建筑物均构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．防止噪音，不制造噪音，这需要大家共同行动．通过这个例子渗透另一种环保意识，甚至激发有志者投身研究如何防止和利用噪音．生活中类似的应用还有很多，如地震的级别．练习：教科书第44页习题A1，2题．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．【课堂小结】1．板书设计：4.6函数的应用（二）1．复利计息与“70原则”例12．年均下降率与节能减排问题例23．声强等级与噪声污染例3练习与作业：教科书第44页习题A3,4题；教科书第45页习题B 1，2题．2．总结概括：问题：（1）本节课我们学习了哪些常见的数学模型？2. 应用函数解决实际问题的一般步骤有哪些？其关键环节是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；（2）第一步：阅读、理解；第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；第三步：解答数学模型，求得结果；第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的应用，随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色． 布置作业：教科书第45页习题B 3,4题．【目标检测】1.有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V 立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r 立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r ＋[g (0)－p r ]e －r vt (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数． (1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g (0)<p r时，湖泊的污染程度将越来越严重； (3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?(1)解 设0≤t 1<t 2，∵g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，即[g (0)－p r ]·[e －r v t 1－e －r vt 2]＝0， ∴g (0)＝p r. (2)证明 设0≤t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝[g (0)－p r ]·[e －r v t 1－e －r vt 2] ＝[g (0)－p r ]·2112r r e t e t v v r e t t v-+， ∵g (0)－p r<0，t 1<t 2， ∴g (t 1)－g (t 2)<0，∴g (t 1)<g (t 2)．在湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r vt . 设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r vt . 由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r vt . ∴t ＝v r ln 20(天)，即需要v rln 20天时间． 点评 高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．设计意图：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．。
高中数学教案《函数的应用》
教学计划：《函数的应用》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解和掌握函数在解决实际问题中的应用方法和技巧。
o学生能够运用所学知识分析实际问题，建立函数模型，并求解问题。
o学生能够识别并解决涉及函数概念的实际问题，如最值问题、增长率问题等。
2.过程与方法：o通过案例分析，引导学生从实际问题中抽象出函数关系，培养数学建模能力。
o运用合作探究和讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和问题解决能力。
o通过对比、归纳等方法，帮助学生总结函数应用的一般规律和解题思路。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，增强应用数学解决实际问题的意识。
o培养学生的逻辑思维能力和创新意识，鼓励学生敢于质疑和探究。
o引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值，培养对数学学科的热爱和尊重。
二、教学重点和难点●重点：理解函数在实际问题中的应用方法，能够建立并解决函数模型。
●难点：如何从实际问题中抽象出函数关系，以及函数模型的求解和验证。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●生活实例展示：展示几个涉及函数应用的实际问题（如最优购物方案、经济增长预测等），引起学生兴趣。
●提出问题：引导学生思考这些问题中是否存在函数关系？如何运用函数知识解决这些问题？●明确目标：介绍本节课将要学习的内容——函数的应用，并说明学习目标。
2. 案例分析（15分钟）●典型例题剖析：选取一两个具有代表性的实际问题（如利润最大化问题），详细分析如何从问题中抽象出函数关系，建立函数模型，并求解问题。
●思路展示：通过板书或PPT展示解题思路和步骤，引导学生理解函数应用的全过程。
●学生讨论：组织学生讨论解题过程中的关键点和难点，鼓励学生提出疑问和见解。
3. 方法归纳（10分钟）●总结规律：引导学生总结函数应用的一般规律和解题步骤（如分析问题、建立模型、求解验证等）。
●对比分析：通过对比不同问题的函数模型和应用方法，帮助学生理解函数应用的多样性和灵活性。
●巩固记忆：通过提问或练习等方式，帮助学生巩固对函数应用方法的理解和记忆。
最新高三教案-2018届高三数学函数的应用举例 精品
第二章函数第十一节：函数的应用举例教学目的：1．提高学生阅读理解能力，抽象转化能力，分析实际问题，解答实际问题的能力．2．充分认识函数思想的实质，强化应用意识．教学重点：用函数的知识与方法解决实际问题。
教学难点：用函数的知识与方法解决实际问题。
教学方法：讲练结合考点分析及学法指导：从1993年开始考察应用题以来，考察力度逐年加强，都需要用到函数的知识与方法才能解决，从如何建立函数关系入手，考察函数的基本性质，以及数形结合、分类讨论、最优化等数学思想，重视对实践能力的考察是高考的新动向，因此要强化函数思想的应用意识的训练，势在必行。
教学过程：一、知识点讲解：数形结合、分类讨论、最优化等数学思想，重视对实践能力的考查是高考的新动向．因此要强化函数思想的应用意识的训练，势在必行．解函数应用问题，一般地可按以下四步进行：第一步，阅读理解、认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背影，领悟从背影中概括出来的数学实质．尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化．审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．第二步：引进数学符号，建立数学模型一般的设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识，物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果．第四步：再转译成具体问题作出解答．二、例题分析：（一）基础知识扫描1．某种茶杯，每个0．5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数为，其定义域为．2．建筑一个容积为8 000m3、深6 m的长方体蓄水池(无盖)，池壁造价为a元／m2，池底造价为2a元／m2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为，定义域为．底边长为 m时总造价最低是元．3．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资50分，超过20克重而不超过40克重付邮资100分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0<x≤40)克的函数，其表达式为= 。
2018届高三数学(文)教师用书：第2章函数、导数及其应用
C．[1,2) ∪(2，＋∞ )
D.
－
1，－
1 2
∪
－ 12， 1
解析： 选 D
由函数
1－ x2
1－x2 ≥ 0，
y＝
2
2x
－
3x－
2
得
2x2－ 3x－2≠ 0，
解得
－ 1≤ x≤ 1， x≠ 2且 x≠－ 12，
即－
1≤ x≤ 1 且 x≠ － 12， 所以所求函数的定义域为
－ 1，－
1 2
∪
－ 1， 1 2
1－ |x－ 1| 4．函数 f(x)＝ ax－ 1 (a＞ 0 且 a≠ 1)的定义域为 ____________________．
1－|x－ 1|≥ 0，
0≤ x≤2，
解析： 由 ax－ 1≠ 0
? x≠0
? 0＜ x≤ 2，
故所求函数的定义域为 (0,2] ．
答案： (0,2]
[ 谨记通法 ] 函数定义域的求解策略
名称
称 f：A→ B 为从集合 A 到集合 B 称对应 f：A→ B 为从集合 A 到集
的一个函数
合 B 的一个映射
记法
y＝f (x)， x∈ A
对应 f ：A→ B 是一个映射
2． 函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 y＝ f(x)，x∈A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { f(x)|x∈ A} 叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集．
数 f(x＋ 1)有意义，则有 1≤ x＋ 1≤2 017，解得 0≤ x≤ 2 016，故函数 f(x＋ 1)的定义域为 [0,2
2018届高考数学总复习教学案：函数模型及其应用
第十节函数模型及其应用[知识能否忆起]1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)函数y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而不同[小题能否全取]1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案：选B由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析：选B 由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y是经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成___________________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )． 答案：y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )5.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.答案：2 500 m 21.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：2．解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．一次函数与二次函数模型典题导入[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？[自主解答] 设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．由题悟法1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．以题试法1．(·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ， 则AF ＝40－y .∵△AFE ∽△ACB ，∴AF AC ＝FE BC ，即40－y 40＝x60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．分段函数模型典题导入[例2] (·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？[自主解答] (1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝⎛⎭⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝⎛⎭⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ， 故f (x )＝⎩⎨⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532，故当x ＝475时，f (x )max ＝34532. 当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．由题悟法1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．以题试法2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时， y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元； 乙户用水量为3x ＝4.5吨， 付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．指数函数模型典题导入[例3] (·广州模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[自主解答] (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)．则 a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m 10＝⎝⎛⎭⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24，⎝⎛⎭⎫12n 10≥⎝⎛⎭⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．由题悟法增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．以题试法3．某电脑公司年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690,1＋x ＝1310，因此年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)． 答案：1 3001．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．(·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,100%]解析：选A 根据题意得，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为( )A ．2 000元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 000元解析：选B 设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫1－133＝2 400. 4．(·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2.于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 6．(·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．7．(·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为______．解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋(x －500)×0.7，x >500.当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．答案：546.6元8．(·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.答案：30 cm,20 cm9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：2010．(·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．解：对于函数模型y ＝f (x )＝x150＋2， 当x ∈[10,1 000]时，f (x )为增函数， f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9，所以f (x )≤9恒成立．但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，即f (x )≤x5不恒成立．故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6 000(1＋x )－4 500]．即y ＝1 500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1 500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0，得6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝9 000(元)．故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大．12.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S .(1)用x ，y ，a ，b 表示S ；(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值．解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x >0，y >0.(2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay ≥22bx ·2ay ，从而S ≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．令t ＝xy ，则t >0，上述不等式可化为4t 2＋4ab ·t ＋ab －S ≤0， 解得－S －ab 2≤t ≤S －ab 2. 因为t >0，所以0＜t ≤S －ab 2， 从而xy ≤ab ＋S －2abS 4. 由⎩⎪⎨⎪⎧bx ＝ay ，S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab 2a . 所以当x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab 2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab ＋S －2abS .1．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )A ．90万m 2B ．87万m 2C ．85万m 2D ．80万m 2解析：选B 由题意500×(1＋1%)10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)． 2.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H 2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H 2时，增加越来越慢． 答案：②3．(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎨⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20≤x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20≤x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．(·浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．解：(1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由图知f (1)＝14，故k 1＝14.又g (4)＝52，故k 2＝54. 从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元，设企业利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝14x ＋5410－x (0≤x ≤10)． 令t ＝10－x ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝⎛⎭⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)． 当t ＝52时，y max ＝6516，此时x ＝3.75,10－x ＝6.25. 即当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516万元．。
函数的应用教案二
函数的应用教案二《函数的应用》教案12教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。
利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。
在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。
教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。
教学过程：（一）引入：分组复习旧知。
探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。
（二）新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。
例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a，且与x轴交于点b、c；在抛物线上求一点e使sbce= sabc。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点f，使bce与bcd 全等。
再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点m，使bom与abc 相似。
2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。
例如：已知一抛物线的顶点坐标是c（2，1）且与x轴交于点a、点b，已知sabc=3，求抛物线的解析式。
（三）提高练习根据我们学校人人皆知的`船模特色项目设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。
求此船龙骨的抛物线的解析式。
让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。
（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置1、在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点a（x1，0）、b （x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。
《函数的应用》全章教案完美版
《函数的应用》全章教案一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业1课时小结1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三、学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2018届高三数学二轮复习教案：模块二专题一第2讲 函数图象与性质
专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数图象与性质高考导航对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练．2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.1．(2017·山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B ＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.[答案] D2．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x[解析]A项中的函数为非奇非偶函数，B项和C项中的函数是偶函数，D项中的函数满足奇函数的定义，故选D.[答案] D3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是() A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3][解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.[答案] D4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()[解析] f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，因为0<8－e 2<1，所以0<f (2)<1，排除选项A ，B.当0≤x ≤2时，y ′＝4x －e x ，在平面直角坐标系中分别作出当0≤x ≤2时函数y 1＝4x ，y 2＝e x 的图象，如图所示．可知，当0≤x ≤x 0时，e x >4x ，y ′<0，即y ＝2x 2－e |x |单调递减；当x 0<x ≤2时，4x >e x ，y ′>0，即y ＝2x 2－e |x |单调递增，故选D.[答案] D5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.[解析] 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝f (1)，因此f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. [答案] －2考点一 函数及其表示1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[对点训练]1．(2017·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1)D ．(0,1][解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案] C2．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 [解析] 因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x <5，所以0≤x ＋2<7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1<7，解得13≤x <83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.[答案] D3．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．[解析] 由题意得2x －1≥0，解得x ≥12， 又∵f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数， ∴当x ＝12时，f (x )取最小值，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，且f (x )无最大值．∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 4．(2017·福建厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12(1)函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．②抽象函数：根据f [g (x )]中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)函数值域问题的4种常用方法 公式法、分离常数法、图象法、换元法．考点二 函数的图象及其应用1．作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．3．用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式 【例1－1】 (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin2x1－cos x 的部分图象大致为( )[思维流程]看条件――→奇偶性单调性析选项 ――→特殊点、线得结果[解析] 由题意，令函数f (x )＝sin2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin2x1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ1－cos π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，排除D.故选C.[答案] C角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等【例1－2】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)[思维流程]理解伙伴点组→当x <0时，作y ＝f (x )的对称图形→画y ＝kx －1与y ＝ln x (x >0)图象→由相切时的k 值求范围[解析] 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2. 当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时， 设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ， 则km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．[答案] B识别函数图象应关注的5点(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势． (3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性． (4)根据函数的周期性判断图象的循环往复． (5)取特殊值代入进行检验．[对点训练]1．[角度1](2017·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x[解析] 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.[答案] A2．[角度2](2017·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．[解析] 令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0考点三 函数的性质及其应用1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．函数的周期性对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0) 4．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例2－1】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析] 易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数， ∴f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A. [答案] A 角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合[思维流程] f (x )是R 上的偶函数且在(－∞，0)上单调递增――→对称性f (x )在(0，＋∞)上单调递减→脱去“f ”→解关于a 的不等式[解析] 解法一：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故0<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.解法二：依题意，令f (x )＝－|x |，由f (2|a －1|)>f (－2)，得－|2|a －1||>－|－2|，则|a －1|<12，解得12<a <32.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32函数3个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．【易错提醒】 在确定函数的奇偶性和单调性时，不能忽略函数的定义域．[对点训练]1．[角度1]下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A ．y ＝x 2＋2B ．y ＝－4x 3C ．y ＝－x ＋1xD ．y ＝x |x |[解析] ∵函数y ＝x 2＋2是偶函数，∴选项A 不满足题意；∵x 增大时，－4x 3减小，即y 减小，∴y ＝－4x 3为减函数，∴选项B 不满足题意；y ＝－x ＋1x 在定义域内不单调，∴选项C 不满足题意；y ＝x |x |为奇函数，且y ＝x |x |＝⎩⎨⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x <0.∵y ＝x 2在[0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(－∞，0)上单调递增，且y ＝x 2与y ＝－x 2在x ＝0处的函数值都为0，∴y ＝x |x |在定义域内是增函数．故选D.[答案] D2．[角度2](2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2[解析] 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.[答案] D热点课题2函数图象辨析[感悟体验]1．(2017·长沙模拟)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为()[解析] 由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin2x ，故选B. [答案] B2．(2017·南昌二模)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )[解析] 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.[答案] C。
数学高考复习名师精品教案：第19课时：第二章 函数-函数的应用
数学高考复习名师精品教案第19课时：第二章函数——函数的应用一．课题：函数的应用二．教学目标：1．能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；2．培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．三．教学重点：建立恰当的函数关系．四．教学过程：（一）主要知识：函数的综合问题主要有如下几个方面：1．函数的概念、性质和方法的综合问题；2．函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；3．函数与解析几何的综合问题；4．联系生活实际和生产实际的应用问题．（二）主要方法：解数学应用题的一般步骤为：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答．（三）例题分析：例1．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液又用水填满，这样继续下去，如果倒第(1)n n ≥次时共倒出纯酒精x 升，倒第1n +次时共倒出纯酒精()f x 升，则()f x 的表达式是19()120f x x =+．例2．（《高考A 计划》考点18“智能训练第7题”） 某工厂八年来某种产品总产量y 与时间x （年）的函数关系如右图，下列四种说法①前三年中，产量的增长的速度越来越快，②前三年中，产量的增长的速度越来越慢，③第三年后，这种产品停止生产，④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是()A ②与③ ()B ②与④ ()C ①与③ ()D ①与④例3．假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg ，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购mkg ．为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购可增加2x 个百分点．（1）写出税收y （元）与x 的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x 的取值范围．解：（1）由题知，调节后税率为(8)%x -，预计可收购(12%)m x kg +，总金额为1.2(12%)m x +元 ∴231.2(12%)(8)%(40042)(08)12500m y m x x x x x =+-=--<≤． （2）∵元计划税收1.28%m ⋅元，∴1.2(12%)(8)% 1.28%78%m x x m +-≥⋅⋅，得242880x x +-≤，442x -≤≤，又∵08x <≤，∴x 的取值范围为02x <≤．例4．某航天有限公司试制一种仅由金属A 和金属B 合成的合金，现已试制出这种合金400克，它的体积50立方厘米，已知金属A 的比重d 小于每立方厘米9克，大于每立方厘米8.8克；金属B 的比重约为每立方厘米7.2克．（1）试用d 分别表示出此合金中金属A 、金属B 克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属A 、金属B 克数的取值范围．解：（1）此合金中含A 金属x 克、B 金属y 克， 则400507.2x y x y d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得40(8.89)7.2d x d d =<<-，360(8)(8.89)7.2d y d d -=<<-． （2）∵407.240(17.27.2d x d d ==+--在(8.8,9)上是减函数，∴200220x <<． 360(8)0.8360(17.27.2d y d d -==---在(8.8,9)上是增函数，180200y <<．例5．（《高考A 计划》考点18例3）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可清除蔬菜上残留的农药量的12，用水越多洗掉的农药量越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数()f x 应满足的条件和具有的性质；（3）设21()1f x x =+，现有(0)a a >单位量的水，可清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．解答见《高考A 计划》第95页．（四）巩固练习：1．（《高考A 计划》考点18“智能训练第5题”）甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v ．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为（D ）．()B2）（1） （2） （3） （4）2．投寄本埠平信，每封信不超过20g 时付邮费0.6元，超过20g 不超过40g 时付邮费1.2元，依此类推，每增加20g 需增加邮费0.6元（重量在100g 以内），如果某人投一封重量为72.5g 的信，他应付邮费 （ D ）()A 2.1元 ()B 2元 ()C 2.3元 ()D 2.4元2 S S。
最新高三教案-2018届高三数学函数基本概念 精品
函数基本概念回归课本复习材料1今天，我怕谁之三1.（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是A 、M 中每一个元素在N 中必有象B 、N 中每一个元素在M 中必有原象C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的D 、N 是M 中所在元素的象的集合（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（3）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个；2.（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个；（2）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （3）函数212y x x =++定义域是[,1n n +]n N ∈，则函数的值域中共有 个整数。
3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“文峰函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“文峰函数”共有______个4.（1）函数lg 3y x =-的定义域是__ _（2）函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是 A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ （3）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 （ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- （4）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（5）已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.（6）已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.（7）已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为_____ 5（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（2）sin cos sin cos y x x x x =++的值域为____ （3）313xx y =+的值域为_____（4）求函数312x y x +=-的值域 ． （5）求函数432+=x x y 的值域 。
高三数学第一轮复习 第18课时—函数的应用教案
一．课题：函数的应用二．教学目标：1．能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；2．培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．三．教学重点：建立恰当的函数关系．四．教学过程：（一）主要知识：函数的综合问题主要有如下几个方面：1．函数的概念、性质和方法的综合问题；2．函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；3．函数与解析几何的综合问题；4．联系生活实际和生产实际的应用问题．（二）主要方法：解数学应用题的一般步骤为：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答．（三）例题分析：例1．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液又用水填满，这样继续下去，如果倒第(1)n n ≥次时共倒出纯酒精x 升，倒第1n +次时共倒出纯酒精()f x 升，则()f x 的表达式是19()120f x x =+．例2．（《高考A 计划》考点18“智能训练第7题”）总产量y 与时间x 这种产品停止生产，④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是()A ②与③ ()B ②与④ ()C ①与③ ()D ①与④例3．假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg ，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购mkg ．为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购可增加2x 个百分点．（1）写出税收y （元）与x 的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x 的取值范围．解：（1）由题知，调节后税率为(8)%x -，预计可收购(12%)m x kg +，总金额为1.2(12%)m x +元∴231.2(12%)(8)%(40042)(08)12500m y m x x x x x =+-=--<≤． （2）∵元计划税收1.28%m ⋅元，∴1.2(12%)(8)% 1.28%78%m x x m +-≥⋅⋅，得242880x x +-≤，442x -≤≤，又∵08x <≤，∴x 的取值范围为02x <≤．例4．某航天有限公司试制一种仅由金属A 和金属B 合成的合金，现已试制出这种合金400克，它的体积50立方厘米，已知金属A 的比重d 小于每立方厘米9克，大于每立方厘米8.8克；金属B 的比重约为每立方厘米7.2克．（1）试用d 分别表示出此合金中金属A 、金属B 克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属A 、金属B 克数的取值范围．x 8解：（1）此合金中含A 金属x 克、B 金属y 克， 则400507.2x y x y d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得40(8.89)7.2d x d d =<<-，360(8)(8.89)7.2d y d d -=<<-． （2）∵407.240(1)7.27.2d x d d ==+--在(8.8,9)上是减函数，∴200220x <<． 360(8)0.8360(1)7.27.2d y d d -==---在(8.8,9)上是增函数，180200y <<．例5．（《高考A 计划》考点18例3）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可清除蔬菜上残留的农药量的12，用水越多洗掉的农药量越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数()f x 应满足的条件和具有的性质；（3）设21()1f x x =+，现有(0)a a >单位量的水，可清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．解答见《高考A 计划》第95页．（四）巩固练习：1．（《高考A 计划》考点18“智能训练第5题”）甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v <．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为（D ）．()A （1） ()B （3） ()C （1）或（4） ()D （1）或（2）（1） （2） （3） （4）2．投寄本埠平信，每封信不超过20g 时付邮费0.6元，超过20g 不超过40g 时付邮费1.2元，依此类推，每增加20g 需增加邮费0.6元（重量在100g 以内），如果某人投一封重量为72.5g 的信，他应付邮费（ D ）()A 2.1元 ()B 2元 ()C 2.3元 ()D 2.4元五．课后作业：《高考A 计划》考点18，智能训练3，4，10，13，14．t t t t。
最新高三教案-g3.201820函数的综合应用(2) 精品
g3.1180函数的综合应用（2）一、 复习目标：以近年高考对函数的考查为主，复习综合运用函数的知识、方法和思想解决问题. 二、基本练习：1、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2Tf ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．2T C ．T D ．2T - 2、(2005年高考·福建卷·理12))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（错题！）（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、(2005年高考·湖北卷·理4文4)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）4、(2005年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 5、(2005年高考·天津卷·理10)若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是 （ ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(三、例题分析：1、 (05广东卷)设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 2、(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)(文20)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．3、已知函数f x a x k ()=+（a >0且a ≠1）的图像过（-1，1）点，其反函数f x -1()的图像过（8，2）点.（1）求a 、k 的值；（2）若将y f x =-1()的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y g x =()的图象，写出y g x =()的解析式； （3）若函数F x g x f x ()()()=--21，求F x ()的最小值及取得最小值时的x 的值。
《函数的应用》教案
《函数的应用》教案《函数的应用》教案教学目标1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．教学建议教材分析（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．教法建议（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的.信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．教学设计示例函数初步应用教学目标1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．教学重点，难点重点是应用问题的阅读分析和解决．难点是根据实际问题建立相应的数学模型教学方法师生互动式教学用具投影仪教学过程b一.提出问题数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书) (作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．当时，，(采用直接计算的方法)当时，．(板书)(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)综上，有，此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．下面我们一起看第二个问题问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：2000年2003年2001年2004年2002年2005年(板书)第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值=++=．=++=．(板书)第三步计算增长率．．(板书)计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．总结后再提出最后一个问题问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．解：．(板书)完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即(2)若使利润最大应满足同时成立即解得当或时，有最大值．由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．三．小结通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．四．作业略五．板书设计2．9函数初步应用问题一：解：问题二分析问题三分析小结：。
高三数学复习教案：函数的综合问题
高三数学复习教案：函数的综合问题【】欢送来到查字典数学网高三数学教案栏目 ,教案逻辑思路清晰 ,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高三数学复习教案：函数的综合问题希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高三数学复习教案：函数的综合问题●知识梳理函数的综合应用主要表达在以下几方面：1.函数内容本身的相互综合 ,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合 ,如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合.●点击双基1.函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数) ,假设x[1 ,+)时 ,f(x)0恒成立 ,那么A.b1B.b1C.b1D.b=1解析：当x[1 ,+)时 ,f(x)0 ,从而2x-b1 ,即b2x-1.而x[1 ,+)时 ,2x-1单调增加 ,b2-1=1.答案：A2.假设f(x)是R上的减函数 ,且f(x)的图象经过点A(0 ,3)和B(3 ,-1) ,那么不等式|f(x+1)-1|2的解集是___________________.解析：由|f(x+1)-1|2得-2又f(x)是R上的减函数 ,且f(x)的图象过点A(0 ,3) ,B(3 ,-1) ,f(3)答案：(-1 ,2)●典例剖析【例1】取第一象限内的点P1(x1 ,y1) ,P2(x2 ,y2) ,使1 ,x1 ,x2 ,2依次成等差数列 ,1 ,y1 ,y2 ,2依次成等比数列 ,那么点P1、P2与射线l:y=x(x0)的关系为A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上C.点P1在l的下方 ,P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方剖析：x1= +1= ,x2=1+ = ,y1=1 = ,y2= ,∵y1P1、P2都在l的下方.答案：D【例2】 f(x)是R上的偶函数 ,且f(2)=0 ,g(x)是R上的奇函数 ,且对于xR ,都有g(x)=f(x-1) ,求f(2019)的值.解：由g(x)=f(x-1) ,xR ,得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x) ,g(-x)=-g(x) ,故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4) ,也即f(x+4)=f(x) ,xR.f(x)为周期函数 ,其周期T=4.f(2019)=f(4500+2)=f(2)=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例3】函数f(x)= (m0) ,x1、x2R ,当x1+x2=1时 ,f(x1)+f(x2)= .(1)求m的值;(2)数列{an} ,an=f(0)+f( )+f( )++f( )+f(1) ,求an.解：(1)由f(x1)+f(x2)= ,得 + = ,4 +4 +2m= [4 +m(4 +4 )+m2].∵x1+x2=1 ,(2-m)(4 +4 )=(m-2)2.4 +4 =2-m或2-m=0.∵4 +4 2 =2 =4 ,而m0时2-m2 ,4 +4 2-m.m=2.(2)∵an=f(0)+f( )+f( )++f( )+f(1) ,an=f(1)+f( )+ f( )++f( )+f(0). 2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]++[f(1)+f(0)]= + ++ = .an= .深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】函数f(x)的定义域为R ,且对任意x、yR ,有f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当x0时 ,f(x)0 ,f(1)=-2.(1)证明f(x)是奇函数;(2)证明f(x)在R上是减函数;(3)求f(x)在区间[-3 ,3]上的最大值和最小值.(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y) ,得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x) ,f(x)+f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0) ,f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.(2)证明：任取x1、x2R ,且x10.f(x2-x1)0.-f(x2-x1)0 ,即f(x1)f(x2) ,从而f(x)在R上是减函数.(3)解：由于f(x)在R上是减函数 ,故f(x)在[-3 ,3]上的最大值是f(-3) ,最小值是f(3).由f(1)=-2 ,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6 ,最小值是-6.深化拓展对于任意实数x、y ,定义运算x*y=ax+by+cxy ,其中a、b、c是常数 ,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现1*2=3 ,2*3=4 ,并且有一个非零实数m ,使得对于任意实数x ,都有x*m=x ,试求m的值.提示：由1*2=3 ,2*3=4 ,得b=2+2c ,a=-1-6c.又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立 ,b=0=2+2c.c=-1.(-1-6c)+cm=1.-1+6-m=1.m=4.答案：4.●闯关训练夯实根底1.y=f(x)在定义域[1 ,3]上为单调减函数 ,值域为[4 ,7] ,假设它存在反函数 ,那么反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性 ,f-1(x)的值域是[1 ,3].答案：C2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根 ,那么实数a的值是___________________.解析：作函数y=|x2-4x+3|的图象 ,如下列图.由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点 ,即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根 ,因此a=1.答案：13.假设存在常数p0 ,使得函数f(x)满足f(px)=f(px- )(xR) ,那么f(x)的一个正周期为__________.解析：由f(px)=f(px- ) ,令px=u ,f(u)=f(u- )=f[(u+ )- ] ,T= 或的整数倍.答案： (或的整数倍)4.关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解 ,求a的取值范围.解：a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.∵-11 ,0(sinx-1)24.a的范围是[-1 ,3].5.记函数f(x)= 的定义域为A ,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1)的定义域为B.(1)求A;(2)假设B A ,求实数a的取值范围.解：(1)由2- 0 ,得 0 ,x-1或x1 ,即A=(- ,-1)[1 ,+).(2)由(x-a-1)(2a-x)0 ,得(x-a-1)(x-2a)0.∵a1 ,a+12a.B=(2a ,a+1).∵B A ,2a1或a+1-1 ,即a 或a-2.而a1 , 1或a-2.故当B A时 ,实数a的取值范围是(- ,-2][ ,1).培养能力6.(理)二次函数f(x)=x2+bx+c(b0 ,cR).假设f(x)的定义域为[-1 ,0]时 ,值域也是[-1 ,0] ,符合上述条件的函数f(x)是否存在?假设存在 ,求出f(x)的表达式;假设不存在 ,请说明理由.解：设符合条件的f(x)存在 ,∵函数图象的对称轴是x=- ,又b0 ,- 0.①当- 0 ,即01时 ,函数x=- 有最小值-1 ,那么或 (舍去).②当-1- ,即12时 ,那么(舍去)或 (舍去).③当- -1 ,即b2时 ,函数在[-1 ,0]上单调递增 ,那么解得综上所述 ,符合条件的函数有两个 ,f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.(文)二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b0 ,cR).假设f(x)的定义域为[-1 ,0]时 ,值域也是[-1 ,0] ,符合上述条件的函数f(x)是否存在?假设存在 ,求出f(x)的表达式;假设不存在 ,请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x=- ,又b0 ,- - .设符合条件的f(x)存在 ,①当- -1时 ,即b1时 ,函数f(x)在[-1 ,0]上单调递增 ,那么②当-1- ,即01时 ,那么(舍去).综上所述 ,符合条件的函数为f(x)=x2+2x.7.函数f(x)=x+ 的定义域为(0 ,+) ,且f(2)=2+ .设点P是函数图象上的任意一点 ,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线 ,垂足分别为M、N.(1)求a的值.(2)问：|PM||PN|是否为定值?假设是 ,那么求出该定值;假设不是 ,请说明理由.(3)设O为坐标原点 ,求四边形OMPN面积的最小值.解：(1)∵f(2)=2+ =2+ ,a= .(2)设点P的坐标为(x0 ,y0) ,那么有y0=x0+ ,x00 ,由点到直线的距离公式可知 ,|PM|= = ,|PN|=x0 ,有|PM||PN|=1 ,即|PM||PN|为定值 ,这个值为1.(3)由题意可设M(t ,t) ,可知N(0 ,y0).∵PM与直线y=x垂直 ,kPM1=-1 ,即 =-1.解得t= (x0+y0).又y0=x0+ ,t=x0+ .S△OPM= + ,S△OPN= x02+ .S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN= (x02+ )+ 1+ .当且仅当x0=1时 ,等号成立.此时四边形OMPN的面积有最小值1+ .探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板 ,现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计：如图(a) ,在钢板的四个角处各切去一个小正方形 ,剩余局部围成一个长方体 ,该长方体的高为小正方形边长 ,如图(b).(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费) ,请你重新设计切、焊方法 ,使材料浪费减少 ,而且所得长方体容器的容积V2V1.解：(1)设切去正方形边长为x ,那么焊接成的长方体的底面边长为4-2x ,高为x ,V1=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x)(0V1=4(3x2-8x+4).令V1=0 ,得x1= ,x2=2(舍去).而V1=12(x- )(x-2) ,又当x 时 ,V10;当当x= 时 ,V1取最大值 .(2)重新设计方案如下：如图① ,在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图② ,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③ ,将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形 ,长为3 ,宽为2 ,此长方体容积V2=321=6 ,显然V2V1.故第二种方案符合要求.●思悟小结1.函数知识可深可浅 ,复习时应掌握好分寸 ,如二次函数问题应高度重视 ,其他如分类讨论、探索性问题属热点内容 ,应适当加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中 ,掌握了这一点 ,将会体会到函数问题既千姿百态 ,又有章可循.●教师下载中心教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法 ,应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】设f(x)是定义在[-1 ,1]上的奇函数 ,且对任意a、b[-1 ,1] ,当a+b0时 ,都有 0.(1)假设ab ,比拟f(a)与f(b)的大小;(2)解不等式f(x- )(3)记P={x|y=f(x-c)} ,Q={x|y=f(x-c2)} ,且PQ= ,求c的取值范围.解：设-1x10.∵x1-x20 ,f(x1)+f(-x2)0.f(x1)-f(-x2).又f(x)是奇函数 ,f(-x2)=-f(x2).f(x1)f(x)是增函数.(1)∵ab ,f(a)f(b).(2)由f(x- )不等式的解集为{x|- }.(3)由-11 ,得-1+c1+c ,P={x|-1+c1+c}.由-11 ,得-1+c21+c2 ,Q={x|-1+c21+c2}.∵PQ= ,1+c-1+c2或-1+c1+c2 ,解得c2或c-1.【例2】函数f(x)的图象与函数h(x)=x+ +2的图象关于点A(0 ,1)对称.(1)求f(x)的解析式;(2)(文)假设g(x)=f(x)x+ax ,且g(x)在区间(0 ,2]上为减函数 ,求实数a的取值范围.(理)假设g(x)=f(x)+ ,且g(x)在区间(0 ,2]上为减函数 ,求实数a的取值范围.解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x ,y) ,点(x ,y)关于点A(0 ,1)的对称点(-x ,2-y)在h(x)的图象上.2-y=-x+ +2.y=x+ ,即f(x)=x+ .(2)(文)g(x)=(x+ )x+ax ,即g(x)=x2+ax+1.g(x)在(0 ,2]上递减 - 2 ,a-4.(理)g(x)=x+ .∵g(x)=1- ,g(x)在(0 ,2]上递减 ,1- 0在x(0 ,2]时恒成立 ,即ax2-1在x(0 ,2]时恒成立.∵x(0 ,2]时 ,(x2-1)max=3 ,a3.【例3】在4月份(共30天) ,有一新款服装投放某专卖店销售 ,日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(130 ,nN*)的函数关系如下列图所示 ,其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上 ,两直线的交点的横坐标为m ,且第m天日销售量最大.(1)求f(n)的表达式 ,及前m天的销售总数;(2)按规律 ,当该专卖店销售总数超过400件时 ,社会上流行该服装 ,而日销售量连续下降并低于30件时 ,该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?并说明理由.解：(1)由图形知 ,当1m且nN*时 ,f(n)=5n-3.由f(m)=57 ,得m=12.f(n)=前12天的销售总量为5(1+2+3++12)-312=354件.(2)第13天的销售量为f(13)=-313+93=54件 ,而354+54400 ,从第14天开始销售总量超过400件 ,即开始流行.设第n天的日销售量开始低于30件(1221.从第22天开始日销售量低于30件 ,即流行时间为14号至21号.该服装流行时间不超过10天.。
函数综合复习教案(精)
观察分子、分母中均含有 项，可利用部分分式法；则有 不妨令： 从而
注意：在本题中应排除 ，因为 作为分母。所以 故
20、如对于函数 ，利用恒等变形，得到： ，
容易观察得出此函数的值域为 。
注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
21、求函数 的值域。
由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得： 由复合函数的单调性（同增异减）知： 。
当函数 在 上单调，譬如 在 上递增时，自然有函数 在 上的值域为 (其中 ，当 时， 也称其存在，记为 );若 在 上递减，函数 在 上的值域为 。在闭区间 上也有相应的结论。
函数的值域为｛z|z≥1｝。
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
（10）.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y= 的值域
多种方法综合运用
故所求函数的值域为[ ，+∞）。
七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如： ），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取 成立的条件。）
15、当 时，求函数 的最值，并指出 取最值时 的值。
因为 可利用不等式 即： 所以 当且仅当 即 时取“=”当 时 取得最小值12。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
g3.1180函数的综合应用（2）一、 复习目标：以近年高考对函数的考查为主，复习综合运用函数的知识、方法和思想解决问题. 二、基本练习：1、(2005年高考·福建卷·理12))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（错题！）（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）3、(2005年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 4.（05江苏卷）若3a=0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = .5. （05北京卷）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = .（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）三、例题分析：1、 (05广东卷)设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.2. （05北京卷）设f (x )是定义在[0, 1]上的函数，若存在x *∈(0，1)，使得f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *，1]上单调递减，则称f (x )为[0, 1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f (x )，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I ）证明：对任意的x 1，x 2∈(0，1)，x 1＜x 2，若f (x 1)≥f (x 2)，则(0，x 2)为含峰区间；若f (x 1)≤f (x 2)，则(x *，1)为含峰区间；（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x 1，x 2∈(0，1)，满足x 2－x 1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；（III ）选取x 1，x 2∈(0, 1)，x 1＜x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或(x 1，1)，在所得的含峰区间内选取x 3，由x 3与x 1或x 3与x 2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定x 1，x 2，x 3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.18，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）3、已知函数f x a x k ()=+（a >0且a ≠1）的图像过（-1，1）点，其反函数f x -1()的图像过（8，2）点.（1）求a 、k 的值；（2）若将y f x =-1()的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y g x =()的图象，写出y g x =()的解析式； （3）若函数F x g x f x ()()()=--21，求F x ()的最小值及取得最小值时的x 的值。
四、作业 同步练习 g3.1180函数的综合应用（2）1、(2005年高考·上海卷·理16)设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c2、已知)(x f y =是偶函数，当0>x 时，xx x f 4)(+=，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)(恒成立，则n m -的最小值是 （ ）A ．31B ．32C ．1D ．343、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ( )A ．0B ．23C ．25D ．23-4、（04年全国卷三.理11）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1141)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（A ）]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞（C ）]10,1[]2,( --∞ （D ）]10,1[)0,2[ -5、（04年湖南卷.理6）设函数⎩⎨⎧≤++〉=,0,.0,2)(2x c bx x x x f 若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6、（04年上海卷.文理5）设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-. 若当[0,5]x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 . 7、(05北京卷)对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论： ①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③;0)()(2121>--x x x f x f④.2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是 .8、(2005年高考·天津卷·理16)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________.9、(05全国卷Ⅰ)若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则 10、 已知函数12)(+=x xx f 与函数)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，（1）求)(x g 的表达式。
（2）若)(1)2(x x Φ=+Φ，当)0,2(-∈x 时，)()(x g x =Φ，求)2005(Φ的值。
11、（本小题满分12分）(2005年高考·全国卷II ·理17)设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围.12、函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.答案： 例题：1、解: (I) 由于在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，故(0)0f ≠．若()f x 是奇函数，则(0)0f =，矛盾．所以，()f x 不是奇函数．由(2)(2),()(4),(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10x (f )x (f +=⇒, 从而知函数()y f x =是以10T =为周期的函数．若()f x 是偶函数，则(1)(1)0f f -==．又(1)(110)(9)f f f -=-+=，从而(9)0f =． 由于对任意的x ∈（3，7]上，()0f x ≠，又函数()y f x =的图象的关于7x =对称，所以对区间[7，11）上的任意x 均有()0f x ≠．所以，(9)0f ≠，这与前面的结论矛盾．所以，函数()y f x =是非奇非偶函数．(II) 由第(I)小题的解答，我们知道()0f x =在区间（0，10）有且只有两个解，并且(0)0f ≠．由于函数()y f x =是以10T =为周期的函数，故(10)0,()f k k Z ≠∈．所以在区间[－2000,2000]上，方程()0f x =共有4000280010⨯=个解． 在区间[2000,2010]上，方程()0f x =有且只有两个解．因为(2001)(1)0,(2003)(3)0f f f f ====，所以，在区间[2000,2005]上，方程()0f x =有且只有两个解．在区间[－2010,－2000]上，方程()0f x =有且只有两个解．因为(2009)(1)0,(2007)(3)0f f f f -==-==，所以，在区间[－2005,－2000]上，方程()0f x =无解． 综上所述，方程()0f x =在[－2005,2005]上共有818个解.例2解：（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间.当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间. （II ）证明：由（I ）的结论可知：当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1； 对于上述两种情况，由题意得210.510.5x r x r +⎧⎨-+⎩≤≤ ①由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r. 又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知 x 1＋x 2＝l ， ④在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤由④与⑤可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩,当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．由条件x 1－x 3≥0.18，得x 1－(1－2x 1)≥0.18，从而x 1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．3、解：（I ）由f x ()及fx -1()的图像分别过点（-1，1）和点（8，2），得： 181212==⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎩-++aak a kk（II ） f x fx x x ()()log =∴=-+-21112，将y fx x ==--121()log 的图像向左平移2个单位，向上平移1个单位得到()()y x x =+-+=+log log 222112 ()∴=+>-g x x x ()log ()222（III ）()()F x x x ()log log =+--22221∴=++F x x x()log 2221 x F x >∴≥+=0221522，()log 当且仅当x x=2且x >0，即x =2时，F x ()取到最小值52作业：1—5、CCCCC 6、(2,0)(2,5)- 7、②③ 8、0 9、15510（1）28()5x g x x -=-；（2）3(2005)5Φ= 11解：由于2x y =是增函数，()f x ≥3|1||1|2x x +--≥ ① （1） 当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立。