无锡市天一中学高三第一学期数学期中测试试题及答案
江苏省无锡一中高三上学期期中考试试题(数学)
江苏省无锡一中高三上学期期中考试试题（数学）考试时间：1 满分：160分一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“b a >∀，都有22b a >”的否定是 ．2．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}2,1{=B ，则=B A C U )( ． 3．已知(1,2),(2,),(2,1)a b k c =-==-，若()a b c +⊥，则k = ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于___________．5．已知椭圆22149x y +=的上．下两个焦点分别为1F ．2F ，点P 为该椭圆上一点，若1PF ．2PF 为方程2250x mx ++=的两根，则m = ．6．在△ABC 中，A =60,b =1,ABC ∆外接圆的半径为 ． 7．函数2log log (2)x y x x =+的值域是______________． 8．设0ω>，函数)3sin(πω+=x y 的图像向右平移45π个单位后与原图关于x 轴对称，则ω的最小值是 ． 9．给定下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②垂直于同一直线的两直线相互平行；③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．则其中真命题的序号是 ．10．设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额分成n 次付清，每期期末所付款是x 元，每期利率为r ，则x = ．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=)1(3)5()1(31)(2x x x x x f ，则=+---)35()3(4321f f ．12．对于函数)(x f 定义域中任意的1x ．2x （1x ≠2x ）,有如下结论：①12()f x x + = 1()f x 2()f x ; ②)(21x x f ⋅ =1()f x +2()f x;③;0)()(2121>--x x x f x f④2)()()2(2121x f x f x x f +<+当)(x f =2x时，上述结论中正确结论的序号是 ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9（k ∈N *），则k 的值为____________．14．二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15． （本小题满分14分）已知集合{4A x y =，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1+2，S 3=9+3 2 （1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； （2）设nS b nn =，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 17．（本小题满分15分）设函数)(x f 是定义在]1,0()0,1[ -上的奇函数，当)0,1[-∈x 时，212)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当]1,0(∈x 时，求)(x f 的解析式；（2）当1->a 时，试判断)(x f 在]1,0(上的单调性，并证明你的结论． 18．（本小题满分15分）已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+（1）求函数()f x 的对称轴方程； （2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围； （3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值．19．（本小题满分16分）设数列}{n b 满足：211=b ，n n n b b b +=+21， （1）求证：11111+-=+n n n b b b ；（2）若11111121++++++=n n b b b T ，对任意的正整数n ，05log 32>--m T n 恒成立．求m 的取值范围．本小题满分16分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． （1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值；（3）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21|()|(32)12g x a a ≤+．参考答案一、填空题：1．b a ≤∃，使得22b a ≤； 2．}2{； 3．8； 4．6； 5．339； 6．-3；7．),3[]1,(+∞--∞ ； 8．45； 9．③④；10．1)1()1(-++nnr r ar ； 11．3；12．①③④； 13．4；14．),0()21,(+∞--∞ ． 二．解答题：15．解：（1）∵),7[]2,(+∞--∞= A ，………………………………………………2分)3,4(--=B ，………………………………………………4分∴)3,4(--=B A ．………………………………………………6分 （2） ∵A C A =∴A C ⊆．………………………………………………8分①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m ．……………………………………9分 ②φ≠C ,则⎩⎨⎧-≤-≥2122m m 或⎩⎨⎧≥+≥712m m ．……………………………12分∴6≥m ．………………………………………………13分综上，2<m 或6≥m …………………………14分16．解：（1）∵S 3=9+32，∴a 2=3+2，∴d =2…………………………………2分∴a n =1222)1(21-+=⋅-++n n ，………………………4分n n n n S n 22)12221(2+=-+++⋅=．…………………6分（2）∵2+==n nS b nn …………………7分 假设数列{b n }存在不同的三项p b ，q b ，m b 成等比数列 ∴2q b =m p b b ⋅，…………………9分 ∴)2()2()2(2+⋅+=+m p q∴)(2222m p pm q q +⋅+=+…………………10分∴⎩⎨⎧+==mp q pm q 22，…………………………………12分 ∴0)(2=-m p ，即m p =与m p ≠矛盾，∴ 数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．…………………14分 17．解：（1）设]1,0(∈x ，则)0,1[-∈-x ，…………………1分212)(xax x f +-=-…………………3分 ∵)(x f 是奇函数∴)()(x f x f --=…………………5分 ∴212)(xax x f -=，]1,0(∈x …………………7分 （2）)(x f 在]1,0(上单调递增…………………8分 ∵3/22)(x a x f +=…………………10分 ∵1->a ，]1,0(∈x ∴013>+xa …………………13分 ∴0)(/>x f∴)(x f 在]1,0(上单调递增． …………………15分18．解：（1） ∵()sin 222f x x x =+=2sin(2)23x π++………………3分∴对称轴方程为212ππk x +=，Z k ∈．………………………………4分（2） ∵(0,)2x π∈ )34,3(32πππ∈+x∴sin(2)(3x π+∈ ∴]4,23(2)32sin(2+-∈++πx ……………………………7分∵函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解．……………8分即]4,23(+-∈-m)23,4[--∈m ． ……………9分（3）02()5f x =即022sin(2)235x π++= 即04sin(2)35x π+=-……10分∵0(,)42x ππ∈ ∴0542(,)363x πππ+∈又∵04sin(2)35x π+=-，∴042(,)33x πππ+∈……11分∴03cos(2)35x π+=-………………………………………………12分∴0sin(2)x =0sin[(2)]33x ππ+-…………………………………13分=00sin(2)coscos(2)sin 3333x x ππππ+-+=413()()5252-⨯--⨯．………………………………………………15分 19．解：（1）∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ∴对任意的0 *,>∈n b N n ． ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+．…………4分（2）111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T ．…7分 ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列． ∴数列{n T }关于n 递增．∴1T T n ≥．……………………………10分 ∵211=b ，∴43)1(112=+=b b b ∴321221=-=b T ……………………………12分 ∴32≥n T ∵05log 32>--m T n 恒成立， ∴53log 2-<n T m 恒成立，∴3log 2-<m ……………………………14分 ∴810<<m ．……………………………16分 ：（1）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f 依题意有-1和2是方程02322=-+a bx ax 的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=32321a a b ，． ……………………………3分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23--=．（经检验，适合）． ……………………4分（2）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x 且22||||21=+x x ， ∴8)(221=-x x ．……………………………6分 ∴834)32(2=+-a ab ， ∴)6(322a ab -=． ∵20b ≥∴06a <≤．……………………………7分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+．由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a ．………………………8分 即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数，∴当4=a 时，()p a 有极大值为96， ∴()p a 在]6,0(上的最大值是96，∴b 的最大值为64． ……………………………9分（3）证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=． ．………………………10分 ∵321ax x -=⋅，a x =2， ∴311-=x ． ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g ………12分 ∵21x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g ………13分 |()|g x )313)(31(3+-+-=a x x aa a a a x a 3143)2(3232+++--=……14分323143a a a ++≤12)23(2+=a a ．∴|()|g x 2(32)12aa +≤成立． ……………………………16分。
江苏无锡2024届高三上学期期终教学质量调研测试数学试题(解析版)
无锡市2023年秋学期高三期终教学质量调研测试数学2024.11. 已如集合{}1,0,1,2,3,4A 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.=−，集合{}2230B x xx =−−≤，则A B = （ ）A. {}1,0,1,2,3−B. {}1,0,1−C. {}0,1,2D. {}1,0−【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合B ，结合交集运算，可得答案. 【详解】由题意集合()(){}{}31013B x x x x x =−+≤=−≤≤，{}1,0,1,2,3A B ∩=−.故选：A. 2. 复数12i3i−+在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 笵三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算将12i3i−+化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】因为()()()()12i 3i 12i17i 17i 3i3i 3i 101010−⋅−−−===−++⋅−， 所以复数12i 3i −+在复平面内对应的点为17,1010 −，易得该点在第四象限.故选：D3. 已知a ，b 是两个不共线的向量，命题甲：向量ta b + 与2a b − 共线；命题乙：12t =−，则甲是乙的.（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】向量ta b + 与2a b −共线等价于()2ta ba b λ+=− .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以12t λλ= =− ，解得：12t =−.所以甲是乙的充要条件. 故选：C.4. 从甲地到乙地的距离约为240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q （单位：L ）与速度v （单位：km/h （0120v ≤≤）的下列数据：v0 40 60 80 120 Q0.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）A. Qav b =+ B. 32Q av bv cv =++C. 0.5v Q a =+D. log a Q k v b =+【答案】B 【解析】【分析】根据题意以及表中数据可知，函数在定义域[]0,120上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型．【详解】依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[]0,120；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.对于A 选项： Qav b =+不经过坐标原点，故A 不符合; 对于B 选项： 32Q av bv cv =++满足以上三个条件，故B 符合; 对于C 选项： 0.5v Q a =+在定义域内单调递减，故C 不符合;对于D 选项：当0v =时，log a Q k v b =+无意义，故D 不符合; 故选:B.5. 已知0a b >>，设椭圆1C ：22221x y a b +=与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e .若213e e =，则双曲线2C 的渐近线方程为（ ）A. y x =B. 45y x =±C. y x =D. y x = 【答案】A 【解析】【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得ba的值，写出双曲线的渐近线即可. 【详解】因为213e e ==，解得b a =，所以双曲线2C的渐近线方程为y x =. 故选：A.6. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D −底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=°.若M ，N 分别是侧棱1CC ，1BB 上的点，且2MC =，1NB =，则四棱锥A BCMN −的体积为（ ）A.B. 2C. D. 6【答案】A 【解析】【分析】通过分析得到AH 为四棱锥A BCMN −的高，计算体积即可. 【详解】取BC 的中点H ，连接AH ，由直四棱柱1111ABCD A B C D −的底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=°，所以60,ABC ∠=°易得AB BC AC ==，所以AH BC ⊥,又因为1BB ⊥面ABCD ，且AH ⊂面ABCD ，的所以1BB AH ⊥,又因为1,BB BC B ∩=且1,BB BC ⊂面11BB CC ， 所以AH ⊥面11BB CC ，故AH 为四棱锥A BCMN −的高.易得到AH =，四边形BCMN 的面积为()112232S =×+×=,所以四棱锥A BCMN −的体积为11333V S AH =⋅=×=,故选：A.7. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且存在k ∈N ，使得3k S +，9k S +，6k S +成等差数列.若对于任意的N m ∈，满足2532m m a a +++=，则8m a +=（ ） A. 32m + B. 16m + C. 32 D. 16【答案】D 【解析】【分析】借助等比数列知识，利用3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，求出312q =−，再利用2532m m a a +++=，求出2m a ，再计算8m a +即可.【详解】因为3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，所以9362k k k S S S +++=+ 即96930k k k k S S S S ++++−+−=， 即9879876540k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++++++++++=， 所以()98765420k k k k k k a a a a a a +++++++++++=， 因为数列{}n a 是等比数列，且0n a ≠，所以()543244444420k k k k k k a q a q a qaq a q a ++++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=， ()32242110k a q q q q q + +++++=，所以()3222110qqq q q +++++=，即()()322110q q q +++=， 所以210q q ++=（无解）或3210q +=，即312q =− 又因为2532m m a a +++=，所以()33222132m m m a a q a q ++++⋅=+=， 所以264m a +=，所以2682164162m m a a q ++ =⋅=×−=，故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()2f x x +为奇函数，()2f x x −为偶函数.令函数()()(),0,,0.f x xg x f x x ≥ = −< 若存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅<成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)(]8,31,3−− B. [)(]3,13,8−−∪ C. [)(]3,03,8− D. [)(]8,30,3−−【答案】B 【解析】【分析】先根据函数奇偶性定义求出()f x ，表示出()g x ，画出图象，分类讨论即可.【详解】令()()2h x f x x =+，()()2m x f x x =−，因为()2f x x +为奇函数，()2f x x −为偶函数.所以()()()2h x h x f x x −=−=−+，()()()2m x m x f x x −==−+， 所以()()()()22,h x f x x h x f x x =+ −=−+ 可得()()22f x f x x +−=− ①， 同理()()()()2,2mx f x x m x f x x =−=−+可得()()4f x f x x −−= ②， 由+①②得()22f x x x =−+，所以()222,02,0x x x g x x x x −+≥= −< ，要满足存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅< 成立， 而()()()()200000g x a g x g x g x a +⋅=+< ， 当0a =时，()200g x < ，显然不成立， 当a<0时，要使()()00,g x a ∈−只有一个整数解，因为()()111,3,g g =−= 所以13a <−≤，即31a −≤<−.当0a >时，要使()()0,0g x a ∈−只有一个整数解，因为()()()0,332,48g g g ==−=−, 所以83a −≤−<−，即38a <≤.综上所述：实数a 的取值范围为[)(]3,13,8−−∪. 故选: B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 第一组样本数据12,,,n x x x ，第二组样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中21i i y x =−（1,2,,i n =⋅⋅⋅），则（ ）A. 第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B. 第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D. 第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍 【答案】CD 【解析】【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.【详解】设样本数据12,,,n x x x ，的样本平均数为x ，样本中位数为m ，样本标准差为s ，极差为max min x x −，对于A,C 选项：由21i i y x =−，根据平均数和标准差的性质可知， 样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本平均数为21x −，故A 错误；样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本方差为2224a s s =，所以第二组数据的样本标准差2s ，故C 正确； 对于B 选项：根据中位数的概念可知，样本数据1y ，2y ，…,n y 的中位数为21m −，故B 错误； 对于D 选项：根据极差的概念可知, 样本数据1y ，2y ，…，n y 的极差为()()()max minmax min max min 21212y y x x x x −=−−−=−,故D 正确.故选：CD.10. 已知函数()πsin 23f x x=+，()πcos 26g x x=+，则下列说法正确的是（ ） A. ()y f x =的图象关于点π,012对称 B. ()g x 在区间π5π,26上单调递增 C. 将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到()f x 的图象 D.函数()()()h x f x g x =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项：：将π12x =代入()f x 验证即可；对于B 选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于C 选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于D 选项：借助和差角公式计算即可.【详解】对于A 选项：将π12x =代入()f x ，得ππππsin 2sin 1121232f=×+==，故()y f x =的图象不关于点π,012对称,故选项A 错误; 对于B 选项：在()πcos 26g x x =+，令π26t x =+，则cos y t =， 因为π5π,26x∈ ，所以π7π11π2,666t x =+∈， 根据余弦函数图象可知cos y t =在7π11π,66单调递增，故选项B 正确； 对于C 选项：将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度, 可得到πππππππcos 2cos 2cos 2sin 2(),6666233g x x x x x f x −−+−−+++故选项C 正确；对于D 选项：()()()ππsin 2cos 236h x f x g x x x=+=+++,()π11sin 2cos 2sin 222sin 22,322h x x x x x x x x∴=+++=+−结合余弦函数的性质可知：()2h x x =≤，故选项D 正确.故选：BCD.11. 已知过点()0,t 的直线1l 与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，且1l 与2l 的交点为(),Q m n ，则下列说法正确的是（ ） A. m 为定值 B. n 为定值C. k −<<且0k ≠ D. 22t −<<【答案】BD 【解析】【分析】由两直线位置关系设出直线1l 的方程，联立直线与抛物线方程，求出点Q 的坐标，代入4y kx =+即可判断选项A 和B ，利用已知条件找出k 与t 的关系，结合0∆>即可判断选项C 和D.【详解】由题意可知，直线1l 的斜率存在且不为0，因为直线1l 过点()0,t 且与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，所以设直线1l ：1,0y x t k k=−+≠， 联立方程214y x t kx y=−+ = ，可得2440x x t k +−=， 所以216160t k ∆=+>,121244x x k x x t+=−=− ， 所以AB 的中点坐标222,t k k−+， 由题意可知，点(),Q m n 是AB 的中点，所以2m k =−，22n t k =+， 因为(),Q m n 在直线2l ：4y kx =+上，所以4n km =+，因为2m k =−，所以242n k k=−×+=，所以n 为定值，故选项B 正确； 因为k 是变量，所以m 不是定值，故选项A 错误；因为22n t k =+，2n =，所以222t k +=，即222t k =−， 又因为216160t k ∆=+>，所以221621620k k+−>，即216320k −>，解得k >k <C 错误； 对选项D ，由选项C 可得212k >，222t k=−， 所以22122k t =>−，解得22t −<<，故选项D 正确. 故选：BD.12. 已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为()01p p <<，我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作(),X NB r p ∼，则下列说法正确的是（ ）A. 若11,2X NB ∼ ，则()12kP X k ==，1,2,3,k =⋅⋅⋅ B. 若(),X NB r p ∼，则()()1k rr P X k p p −==−，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅ C 若(),X NB r p ∼，(),Y B n p ∼，则()()P X n P Y r ≤=≥ D. 若(),X NB r p ∼，则当k 取不小于1r p−的最小正整数时，()P X k =最大 【答案】ACD 【解析】【分析】利用负二项分布的概念可判断AB 选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C 选项；分析可得()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥≥− =≥≥+，结合负二项分布的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为11,2X NB ∼，则()11111111122222kk P X k − ==−−−⋅= 个，A对；对于B 选项，因为(),X NB r p ∼，则()()()11111C 1C 1k rk rr r r rk k P X k pp p p p −−−−−−−==−=−，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅，B 错； 对于C 选项，因为从{}1,2,,n 中取出()0r j j n r +≤≤−个数12r j a a a +<<< 的取法有C r jn +种，.这些取法可按r a 的值分类，即()0r a r i i n r j =+≤≤−−时的取法有11C C r ir i n r i −−+−−种，所以，110CC C n r jr i r jr i n r i n i −−−+−+−−==∑，因为(),X NB r p ∼，(),Y B n p ∼，设1q p =−，则1p q +=， 所以，()()111100C C n rn rn r ir r ir r ir ir i i i P X n p q p q p q −−−−−−−+−+==≤==+∑∑11110000CCC C n rn r i n r i n rr r ijj n r i jr j r j n r jr in r ir i n r i i j j i p q p qp q −−−−−−−−−−−+−−−+−−−+−−=====⋅=∑∑∑∑ ()0Cn rr jr j n r jnj p q P Y r −++−−==≥∑，C 对；对于D 选项，因为(),X NB r p ∼，()P X k =最大，则()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥≥−=≥≥+， 所以，()()()()111121111C 1C 1C 1C 1k r k r r r r r k k k r k r r r r r k k p p p p p p p p −−−−−−−−−+−−− −≥− −≥− ，解得111k r k p p −−≤≤+， 所以，当k 取不小于1r p−的最小正整数时，()P X k =最大，D 对. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查负二项分布的问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线6:30l x y −−=与圆222:40C x y x y +−−=相交于,A B 两点，则||AB =______.【解析】【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可. 【详解】圆222:40C x y x y +−−=，22(1)(2)5x y −+−=，圆心(1,2)，半径r =.圆心到直线的距离dAB =【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题. 14. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为______.（用数字作答） 【答案】144 【解析】【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位中，利用插空法可得出不同的排队方法种数. 【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位的3个空位中，所以，不同的排队方法种数为3334A A 624144=×=种. 故答案为：144.15. 已知函数()()sin 3f x x ϕ=+在区间[],ϕϕ−上的值域为，则ϕ的值为______.【答案】π8【解析】【分析】先得到0ϕ>，根据[],x ϕϕ∈−得到[]32,4x ϕϕϕ+∈−，根据值域得到方程，检验后求出答案. 【详解】由题意得0ϕ>，当[],x ϕϕ∈−时，[]32,4x ϕϕϕ+∈−，由于()()sin 3f x x ϕ=+在区间[],ϕϕ−上的值域为， 故①π24π5π424ϕϕ −=− ≤≤ 或②5π44π204ϕϕ= −≤−< ，解①得π8ϕ=，满足π5π816ϕ≤≤解②得5π16ϕ=，不满足π08ϕ<≤，舍去， 综上，ϕ的值为π8. 故答案为：π816. 已知函数()2e ,0,0x x f x x x ≥= −< ，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AM BN的取值范围为______.【答案】e,2 +∞【解析】【分析】由()()12f x f x =′′可得出21e 2x x =−，利用弦长公式得出22e 2x AM BN x =，利用导数求出函数()e 2xg x x=在()0,∞+上的值域，即可为所求. 【详解】当0x <时，()2f x x =−，()2f x x ′=−，则()112f x x =−′，当0x >时，()e xf x =，()e xf x ′=，则()22e xf x ′=，因为函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x<和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行，则()()12f x f x =′′，即212e x x −=，则21e2x x =−，AM =BN = 所以，2122e 2x AMx BN x x ==−=， 令()e 2xg x x =，其中0x >，则()()2e 12x x g x x′−=， 当01x <<时，()0g x ′<，此时函数()g x 在()0,1上单调递减， 当1x >时，()0g x ′>，此时函数()g x 在()1,∞+上单调递增，所以，()()e12g x g ≥=，因此，AM BN的取值范围是e ,2∞ +.故答案为：e ,2∞ +.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x 、1x 所满足的关系式，然后将AM BN转化为含2x 的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设数列{}n a 满足11a =，22a =，214363n n n a a a n ++=−+−. （1）证明：数列{}13n n a a n +−+为等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2）()131232n n n n a −−=−−【解析】【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案； （2. 【小问1详解】由214363n n n a a a n ++=−+−，则()21131339n n n n a a n a a n +++−++=−+， 所以()2113133n n n n a a n a a n+++−++=−+，由11a =，22a =，则21321340a a −+=−+=≠ 故数列{}13n n a a n +−+为等比数列. 【小问2详解】由（1）可知数列{}13n n a a n +−+是以4为首项，以3为公比，故11343n n n a a n −+−+=×，11433n n n a a n −+−=×−，的则0214331a a −=×−×；324332a a −=×−×；()214331n n n a a n −−−=×−×−.由累加法可得：()()()()1114133311312321322n n nn n n n a a −−×− +−×−−−=−=×−−−，由11a =，则()1312312n n n n a −−=×−−.18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC)222a b c +−. （1）求sin C ；（2）若()sin B A −，求tan A .【答案】（1（2. 【解析】【分析】（1.（2）借助三角函数的相关知识求出()()tan ,tan B A A B −+，利用配凑角及二倍角公式计算即可. 【小问1详解】结合题意：ABC的面积为)2221sin 2Sab C a b c ==+−, sin C =结合余弦定理可得：sin 0C C =>，所以22sin sin cos 1C C C C = +=，解得sin 1cos 8C C = =，所以sin C =【小问2详解】 因为()sin 0B A −=>，所以B A >，易得A 为锐角， 所以()31cos 32B A −==，所以()()()sin tan cos B A B A B A −−==−，由上问可知()sin sin C A B =+=,()1cos cos 8A B C +=−=−, 所以()()()sin tan cos A B A B A B ++=−+ ()()()()()()tan tan tan 2tan 1tan tan A B B A A A B B A A B B A +−−=+−−== ++−所以22tan tan 21tan AA A==−,整理得2tan 2tan 0A A +−=,即)(tan 33tan 0A A+=，解得tan A =，或tan A =19. 如图，在四棱锥A BCDE −中，平面ABC ⊥平面BCDE ，2CD DE BE ==，BC CD ⊥，//BE CD ，F 是线段AD 的中点.（1）若BA BC =，求证：EF ⊥平面ACD ；（2）若1BE =，60ABC ∠=°，且平面ABC 与平面ADE AC 的长. 【答案】（1）证明见详解 （2【解析】【分析】（1）首先证BG ⊥平面ACD ，通过证明四边形BGFE 是平行四边形，得EF BG ，进而得证； （2）利用空间向量法求解即可 【小问1详解】取AC 的中点G ，连接BG 、FG ，因为BA BC =，所以BG AC ⊥, 又因为 平面ABC⊥平面BCDE ，平面ABC 平面BCDE BC =，BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，所以CD BG ⊥，因为AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD , 所以BG ⊥平面ACD ，又因为F 是线段AD 的中点， 所以FG CD ∥且12FG CD =，BE CD 且12BE CD =，所以FG BE 且FG BE =， 四边形BGFE 平行四边形，所以EF BG ，所以EF ⊥平面ACD 【小问2详解】 如图建系因为1BE =，又2CD DE BE ==，所以22CD DE BE ===, 又因为BC CD ⊥，//BE CD ，所以四边形BCDE 是直角梯形， 所以BC =设ABm =，所以),,0Am ，()2D ，()0,0,1E ，所以),,1EAm =−，()ED =，设平面ADE 的一个法向量()1,,n x y z=，是所以11my znz+−=⇒=+=，平面ABC的法向量()20,0,1n=，设平面ABC与平面ADE夹角为θ，所以tanθ=，cosθ，所以m=，所以32A，()C，所以AC=20. 为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望.附：()()()()22()n ad bca b c d a c b dχ−=++++，n a b c d=+++α0.100 0.050 0.010 0.001xα2.7063.841 6.635 10.828【答案】20. 药物M对预防疾病A有效果. 21. 答案见解析.【解析】【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X 服从二项分布求分布列和数学期望即可． 【小问1详解】零假设为0H :药物M 对预防疾病A 无效果， 根据列联表中的数据，经计算得到()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++2100(30101545)75254555××−×=×××100 3.030 2.70633=≈>, 根据小概率值0.1α=的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为药物M 对预防疾病A 有效果. 【小问2详解】设A 表示药物N 的治愈率，1B 表示对未服用过药物M , 2B 表示服用过药物M 由题，()1150.625P B ==，()2100.425P B ==， 且()10.5P A B =，()20.75P A B =，()()()()()1122P A P B P A B P B P A B =×+×0.60.50.40.750.6=×+×=.药物N 的治愈率30.65P ==， 则3~3,5X B ，所以()303280C 5125P X === ， ()121332361C 55125P X ===， ()212332542C 55125P X ===， ()3333273C 5125P X ===， X 的分布列如下表所示 X123()8365427901231251251251255E X =×+×+×+×=． 21. 在直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 与定点()1,0F 的距离和P 到定直线l ：4x =的距离的比是常数12，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）过动点()0,T t （0t <）的直线交x 轴于点H ，交W 于点,A M （点M 在第一象限），且2AT TH =.作点A 关于x 轴的对称点B ，连接BT 并延长交W 于点N .证明：直线MN .【答案】（1）22143x y +=;（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意列出关于动点P 的轨迹表达式，化简整理即可.（2）设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>,借助2AT TH =及韦达定理，求出,M N 的坐标，表示并化简直线MN 斜率，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】结合题意：设点P 到定直线l ：4x =的距离为d ，则12PF d =，12=，化简得22143xy +=. 故W 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：直线AM 的斜率存在，故可设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>， 设()()1122,,,,A x y M x y ,所以()11,B x y −，,0t H k− ，因为2AT TH =，所以()11,2,t x t y t k−−=−−，且()0,T t 在椭圆内部.所以22,3,,3,t t A t B t k k −联立2234120y kx t x y =+ +−=，()2223484120k x ktx t +++−=， 所以122228,34t kt x x x k k −+=+=+所以()22216634k t t x k k −−=+，22212334k t t y k−−=+， 即点()2222166123,3434k t t k t t M k k k −−−− ++ , 因为2,3t B t k − ，()0,T t ，所以422BT t k k t k−==−， 所以直线BT 的方程可设为2y kx t =−+，设()33,,N x y 联立22234120y kx t x y =−+ +−=，()222316164120k x ktx t +−+−=， 所以()2133322216166,316316t kt k t t x x x x k k k k −−+=+==++， ()223322166481522316316k t t k t t y kx t k t k k k −−+=−+=−+=++， 故()22221664815,316316k t t k t t N k k k −−+ ++, 所以直线MN 斜率为 ()()224222232224242322248151233842885414454316342,166166192721927231634MN k t t k t t y y k k k k k k k k k t t k t t x x k k k k k k k k+−−− −+++++===×=+ −−−−−++ −++ 结合题意可知0k >，即()2223833224483MN k k k k k k k + +×+≥+当且仅当324k k =，即k =时，直线MN . 故直线MN .22. 已知函数()4ln f x x ax x =+（R a ∈），()f x ′为()f x 的导函数，()()g x f x ′=. （1）若12a =−，求()y f x =在 上的最大值；（2）设()()11,P x g x ，()()22,Q x g x ，其中211x x ≤<.若直线PQ 的斜率为k ，且()()122g x g x k ′′+<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1（2）[12,)−+∞【解析】【分析】（1）若12a =−，求得()3412ln 12f x x x =−′−，得到()2(1)(1)12x x x g x x ′−++=×，结合()g x ′的符号，得到()0g x <，即()0f x ′<，进而求得函数()f x 的最大值；（2）根据题意，转化为任意12,[1,)x x ∈+∞，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +−<−′′，令12x t x =，得出314(1)(2ln )0t a t t t−+−−>对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t t ϕ=−+−−，求得()22212(1)t a t t t ϕ+=−⋅′，分类讨论，求得函数的函数()t ϕ与最值，即可求解. 【小问1详解】解：若12a =−，可得()412ln f x x x x =−，则()3412ln 12f x x x =−′−， 即()()3412ln 12g x f x x x ==−−′，可得()2212(1)(1)1212x x x g x x x x −++=−=×′，当x ∈ 时，()0g x ′>，所以()y g x =在 上单调递增，又由4e 160g −=<，所以()0g x <，即()0f x ′<，所以函数()y f x =在 上单调递减，所以()()max11f x f ==，即函数()f x 的最大值为1.【小问2详解】 解：由()()()()1122,,,P x g x Q x g x ，可得1212()()g x g x k x x −=−， 因为()()122g x g x k +′′<，所以对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +−<−′′， 因为()4ln f x x ax x =+，可得()()34ln g x f x x a x a =+′=+，则()212a g x x x=′+， 对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，令12(1)xt t x =>， 则()()()()()()1212122x x g x g x g x g x −+−⋅−′′ ()()2233121211221121224ln 4ln a x x x x x a x x a x x =−++−+−− 3322121121212212441212()2ln x x x x x x x x x a a x x x =−−++−− 332214(331)(2ln )0x t t t a t t t−+−+−−>对于2[1,),(1,)x t ∀∈+∞∀∈+∞恒成立， 由332332224(331)(1)(1)x t t t x t t −+−=−≥−则314(1)(2ln )0t a t t t −+−−>对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t tϕ=−+−−， 可得()222222(1)1212(1)(1)t t a t t a t t t ϕ−+−+⋅′⋅=−， ①若12a ≥−，则()0t ϕ′>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，符合题意；②若12a <−，则()212(1)t t ϕ′−，当t ∈时，()0t ϕ′<，()t ϕ在(1,)+∞单调递减；当)t ∈+∞时，()0t ϕ′>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以，当t ∈时，()()10t ϕϕ<=，不符合题意（舍去）， 综上可得，12a ≥−，即实数a 的取值范围为[12,)−+∞【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题
启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数 学 试 卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝ ． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝ ．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为 ．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为 ；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点． 设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足 ．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。
江苏省无锡市高三上学期数学期中考试试卷
江苏省无锡市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019高一上·罗庄期中) 设全集，集合，，则A .B . 4，C . 2，D . 2，4，2. （1分） (2019高二下·嘉兴期末) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .3. （1分） (2019高一下·双鸭山期中) 已知数列满足，，则此数列的通项等于（）A .B .C .D .4. （1分）(2018·鞍山模拟) 设满足约束条件，则的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （1分）(2018·宜宾模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .6. （1分）如右图所示，正三棱锥中，D,E,F分别是 VC,VA,AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A .B .C .D . 随P点的变化而变化。
7. （1分） (2016高一下·汕头期末) 若tanα= ，则cos2α等于（）A .B . ﹣C . 1D .8. （1分） (2020高一上·北京期中) 若，则的最大值是（）A .B .C .D . 19. （1分） (2020高二下·上饶期末) 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切，切点T，且交双曲线右支于点，若，则双曲线C的离心率为（）A . 2B .C .D .10. （1分） (2020高二上·遂宁期末) 在棱长为1的正方体中，异面直线与所成的角为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高二上·贺州月考) 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．12. （1分） (2020高三上·天津月考) 把函数的图像上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再将图像沿x轴向左平移个单位，所得图像的函数解析式为________．13. （1分） (2018高二上·鼓楼期中) 已知直线l1：ax+4y+4＝0，l2：x+ay+2＝0，若l1∥l2 ，则a的值是________．14. （1分） (2018高二上·南宁月考) 已知，则的最小值为________15. （1分） (2019高一上·如皋月考) 已知，，且，则向量与的夹角为________.16. （1分） (2019高二下·南宁期末) 已知等差数列的前项和为，________；17. （1分）已知f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．三、解答题 (共5题；共10分)18. （2分） (2019高三上·临沂期中) 设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且．（1）求函数的解析式；（2）若，求的值．19. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1=1，nSn+1﹣（n+1）Sn=，n∈N*（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式．20. （2分） (2019高二上·会昌月考) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC 的中点．（1）证明：MN//B1C；（2）求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．21. （2分）如图，已知椭圆的离心率为，且过点，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，．（1）求的取值范围；（2）求证：四边形ABCD的面积为定值．22. （2分） (2017高三上·宿迁期中) 设命题p：对任意的，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共10分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
无锡市第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
无锡市第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 2． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 3． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣24． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.5． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--6． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．7． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7 D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.8． 复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限9． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ） A.5B.2D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 11．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．124+ B．124- C. 34 D ．012．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ）A ．1B ．12 C. 34 D ．58二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.14．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分 别是AC ，BD的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.15．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.三、解答题（本大共6小题，共70分。
2025届无锡市一中高三数学上学期10月考试卷附答案解析
无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期阶段性质量检测试卷高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若虚数z 使得2z z +是实数，则z 满足（ ）A. 实部是12- B. 实部是12C. 虚部是12-D. 虚部是12【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），计算2z z +，由其为实数求得a 后可得．【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+-++=+-++，2z z +是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =-．故选：A ．2. 已知集合{}20M x x a =-≤，{}2log 1N x x =≤．若M N ⋂≠∅，则实数a 的取值集合为（ ）A. (],0-∞ B. (]0,4 C. ()0,∞+ D. [)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式可求得集合,M N ，由交集结果可构造不等式求得结果.【详解】由20x a -≤得：2a x ≤，则,2a M ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦；由2log 1x ≤得：02x <≤，则(]0,2N =；M N ⋂≠∅ ，02a∴>，解得：0a >，即实数a 的取值集合为()0,∞+.故选：C.3. 已知0a >，0b >，则“1a b +≤”是+≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合基本不等式进行判断即可．【详解】充分性：∵0a >，0b >，1a b +≤，212a b +≤≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴211222a b =++≤+⨯=，当且仅当12a b ==时，等号成立，≤.必要性：当1a =，116b =≤成立，但1a b +≤不成立，即必要性不成立，所以“1a b +≤”是≤”的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（ ）A. 116-B.72C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】由,,D P C 三点共线求出λ，再由11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ 得出AP BC ⋅的值.【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}11,n n a S na =+为常数列，则n a =（ ）A. 113n - B.2(1)n n + C.2(1)(2)++n n D.523n -【答案】B 【解析】【分析】由条件可得11(1)n n n n S na S n a +++=++，然后可得12n n a na n +=+，然后用累乘法求出答案即可.【详解】因为数列{}n n S na +是常数列，所以11(1)n n n n S na S n a +++=++，因为11n n n a S S ++=-，所以1(2)n n na n a +=+，即12n n a na n +=+，所以当2n ≥时1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅ 12321211143(1)n n n n n n n n ---=⋅⋅⋯⋅⨯⨯=+-+，1n =时也满足上式，所以2(1)n a n n =+.故选：B6. 已知x 、y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为 （ ）A. 24 B. 32C. 20D. 28【答案】C 【解析】【分析】转化()()112246()[(2)(2)]422x y x y x y x y +=+++-=++++-++，结合均值不等式，即可得解.【详解】,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20.故选：C.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,9B. 48[,]99C. 48(,]99D. 8(0,9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k=0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k=1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤.所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.8. 已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A. 31ln4+ B. 41ln3+ C. 3ln 3- D. 3ln 3+【答案】A 【解析】【分析】根据解析式研究()f x 、()g x 的函数性质，由()F x 零点个数知，曲线()g x 与直线y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，数形结合可得01m <<，12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，进而可得112123ln ,,333t t tx x x ===代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.【详解】由()f x 解析式，在(,0]-∞上()f x 单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+∞上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞，函数()f x 图象如下：所以，()f x 的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在(1,)+∞上任意函数值都有一个x 值与之对应，要使()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则曲线()g x 与直线y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，由2()2g x x x =-+开口向下且对称轴为1x =，由上图知：01m <<，此时12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，结合()f x 图象及123x x x <<有1321e 3xx t ==，323x t =，则112123ln ,,333t t tx x x ===，所以11123121433ln ln 233t tx x x t t t -+=-+=-+，且101t <<，令4()ln 23h x x x =-+且01x <<，则1434()33xh x x x -=='-，当3(0,)4x ∈时()0h x '>，()h x 递增；当3(,1)4x ∈时()0h x '<，()h x 递减；所以max 33()()ln 144h x h ==+，故12333x x x -+最大值为3ln 14+.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断()g x 与y m =的交点横坐标12,t t 的范围，进而得到123,,x x x 与12,t t 的关系，代入目标式并构造函数研究最值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且10a <，20002022S S =，则（ ）A. 0d > B. 20110a = C. 40220S = D. 2011n S S ≥【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列下标性质和单调性即可解答.【详解】∵20002022S S =，∴201120120a a +=，又∵10a <，则0d >，A 正确；∴201120120,0a a <>，B 错误；∵()()140224022201120124022201102a a S a a +==+=，C 正确；∵201120120,0a a <>，0d >则等差数列{}n a 前2011项均为负数，从2012项开始均为正数，∴2011n S S ≥，D 正确.故选：ACD.10. 若函数f (x )=A sin (ωx +φ)，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是πB. 函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D. 若圆C 的半径为5π12，则()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由图象得到π3C x =，进而得到()f x 的最小正周期；B 选项，求出2π2πω==，π3ϕ=，从而得到π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，判断出函数不单调；C 选项，求出平移后的解析式，得到当π4x =时，0cosπ2y A ==，故不关于π4x =对称；D 选项，由圆的半径求出π0,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，进而代入解析式，求出A ，得到答案.【详解】A 选项，由图象可知，,M N 关于点C 中心对称，故2π0π323C x +==，设()f x 的最小正周期为T ，则1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，A 正确；B 选项，因为0ω>，所以2π2πω==，故()()sin 2f x A x ϕ=+，将π,03C ⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得，sin 02π3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以2π2π5π333ϕ<+<，故2ππ3ϕ+=，解得π3ϕ=，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，因为sin y z =在5ππ,36z ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误；C 选项，函数()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后，得到s πππ63sin 22in 2cos 2y A x A x A x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π4x =时，0cos π2y A ==，故不关于π4x =对称，C 错误；D 选项，圆C 的半径为5π12，由勾股定理得4πOM ==，故π0,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得4sin 0ππ3A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得A =，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD11. 已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（ ）A. 当0k >时，121x x +>B. 当0k >时，21e 2ex x +<C. 当0k <时，121x x +< D. 当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-【答案】ACD 【解析】【分析】求出()f x ¢，则可得f(x)在()0,e 上单调递增在()e,+∞上单调递减，则可画出f(x)的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne e x x x k x ==，结合图像则可判断AB 选项，当0k <时，则可得21e x x =，()10,1x ∈，构造函数即可判断CD 选项.【详解】()ln xf x x =，()ex x g x =，()21ln x f x x -∴='，∴当0e x <<时，()0f x ¢>，f(x)在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x ¢<，f(x)在()e,+∞上单调递减，所以()ln xf x x=图像如图所示：又()()12f x g x k ==，即2211ln lne ex x x k x ==，∴当0k >时，要使12x x +越小，则取21e 1x x =→，故有121x x +>，故A 正确；又1x 与2e x 均可趋向于+∞，故B 错误；的当2210,0e <1,e x xk x <<=，且()112110,1,ln x x x x x ∈∴+=+，记l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈，1()10h x x'=+>恒成立，即()h x 在(0,1)上单调递增，所以()(1)1h x h <=，即当()112110,1,ln 1x x x x x ∈+=<+成立，故C 正确；21e e kk x k x ⋅=，令()()()e ,0,1e k k g k k k g k k =+'=<，()g k ∴在(),1-∞-单调递减，在()1,0-单调递增，()()11eg k g ∴≥-=-，故D 正确，故选：ACD.点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出f(x)的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne ex x x k x ==，则可求出判断出AB 选项，构造函数l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈则可判断C 选项，构造函数()e ,0,k g k k k =<则可判断D 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知平面向量(2,)a m = ，(2,1)b = ，且a b ⊥．则||a b += ____________．【答案】5【解析】【分析】根据a b ⊥得到220m ⨯+=，解得4m =-，然后利用坐标求模长即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以220m ⨯+=，解得4m =-，所以()4,3a b +=- ，5a b +== .故答案为：5.13. 复平面上两个点1Z ，2Z 分别对应两个复数1z ，2z ，它们满足下列两个条件：①212i z z =⋅；②两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，若O 为坐标原点，则12Z OZ △的面积为______．【答案】8【解析】【分析】令()1,Z m n ，()2,Z a b ，且,,,R a b m n ∈，结合条件求参数，进而确定12,OZ OZ的位置关系及模【长，即可求12Z OZ △的面积.【详解】令()1,Z m n ，()2,Z a b ，且,,,R a b m n ∈，由212i z z =⋅，则i (i)2i a b m n +=+⋅，即i 22i a b n m +=-+，故22a nb m =-⎧⎨=⎩①，由两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，则1232a mb n +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即26a m b n +=-⎧⎨+=⎩②，联立①②，可得44a b =-⎧⎨=⎩，且22m n =⎧⎨=⎩，即()12,2OZ = ，()24,4OZ =- ，由2142420OZ OZ ⋅=-⨯+⨯=，即12OZ OZ ⊥ ，故12Z OZ △为直角三角形，又1OZ =，2OZ = 12Z OZ △的面积为182⨯=.故答案为：814. 若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为__________.【答案】3e 【解析】【分析】根据极值与导数()2(0)x ax bf x x x'-+=>的关系以及题意得20x ax b -+=有两个不相等的正根12,x x，故而利用辨别式和韦达定理求得a >(01x x =∈以及()f x在(上的单调性，又由()00f x '=得()20001ln 2f x x b b x =--+，从而将原命题转化为()21ln 02g x x b x b =-+-<在(上恒成立，接着研究()g x在(上的最值即可得解.【详解】由题意得()2(0)b x ax bf x x a x x x'-+=-+=>，因为()f x 存在极大值点0x ，所以20x ax b -+=有两个不相等的正根，则有21212=4000a b x x a x x b ⎧->⎪+=>⎨⎪=>⎩ ，由此可得a >120x x <=<=，所以()()()()()12120,,,0;,,0x x x f x x x x f x ''∈+∞>∈< ，所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，从而可得()f x 的极大值点为10x x =，因为1x==22a x=<=<<=，所以(0x ∈，且()f x 在()00,x 上单调增，在(0x 上单调减，当0x x =时()f x 取得极大值()0f x ，又由()00f x '=得2000x ax b -+=，所以()()2222000000000111ln ln ln 222f x x ax b x x x b b x x b b x =-+=-++=--+，令()(21ln ,2g x x b x b x =-+-∈，则原命题转化为()0g x <在(上恒成立，求导得()20b b x g x x x x-=-+=>'，所以()y g x =在(上单调增，故()13ln 022g x gb b b <=-≤，即ln 3b ≤，从而得30e b <≤，所以b 最大值为3e .故答案为：3e .【点睛】关键点睛：解决本题关键点1在于抓住极值与导数()2(0)x ax bf x x x'-+=>的关系结合一元二的次函数的性质求得a >(01x x =∈以及()f x 在(上的单调性，关键点2是利用()00f x '=求得极大值()20001ln 2f x x b b x =--+，从而将原命题转化为()21ln 02g x x b x b =-+-<在(上恒成立，于是研究()g x 在(上的最值得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，R x ∈．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．【答案】（1）π（2【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出()f x m n =⋅，然后利用三角公式整理为()sin y A ωx φ=+的形式，就可以求出周期了；（2）先通过πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 求出πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通过ππsin 2sin 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开计算即可.【小问1详解】()()2cos sin sin f x x x x x=--22cos sin cos x x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由（1）得π12sin 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由ππ62x ≤≤得ππ72π266x ≤+≤，所以π5cos 2613x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=⨯=．16. 已知数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n *---=≥∈N ，nS表示数列{}n a 的前n 项和（1）求证：21n n a S -=+（2）求使得211100k k a S --≥成立的正整数()3,k k k *≥∈N 的最大值【答案】（1）证明见解析 （2）11【解析】分析】（1）根据累加法即可证明；（2）结合数列特点根据穷举法即可求解.【小问1详解】证明：由12n n n a a a ---=得12n n n a a a ---=123n n n a a a ----=234n n n a a a ----=321a a a -=累加得223412n n n n n a a a a a a S -----=+++⋅⋅⋅+=于是2221n n n a S a S --=+=+.【小问2详解】解：由121a a ==，21n n n a a a --=+，得：对任意n *∈N ，210n n n a a a --=+>，进而120n n n a a a ---=>，故数列{}n a 单调递增，由（1）可知21n n a S -=+，故2211101k k k k a S S a ---==>-，于是只需求使得111100k a >-最大的正整数k ，【从而只需求使得101k a <最大的正整数k ，由121a a ==，21n n n a a a --=+，列举得：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，934a =，1055a =，1189a =，12144a =结合数列{}n a 单调递增，于是使得101k a <最大的正整数k 为11.17. 已知函数()3231f x x x ax =+++，1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点．（1）若0a =，()()13f x f x =，13x x ≠，求132x x +的值；（2）若()()125f x f x +≤，求a 的取值范围．【答案】（1）1323x x +=- （2）132a ≤<【解析】【分析】（1）对()f x 求导，求出1x 和2x ，利用()()135f x f x ==，求出3x ，从而求出答案；（2）对()f x 求导，根据1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，得到1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不相等的实根，化简()()12f x f x +，最终求出答案．【小问1详解】当0a =时，()3231f x x x =++，所以()()23632f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-．列表如下：x(),2-∞-2-()2,0-0()0,∞+()f x '+-+()f x极大值极小值所以()f x 在2x =-处取极大值，即12x =-，且()15f x =．由()()135f x f x ==，所以3233315x x ++=，即3233340x x +-=，所以()()233120x x -+=．因为13x x ≠，所以31x =，所以1323x x +=-．【小问2详解】由()236f x x x a '=++，因为1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，所以1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不相等的实根，且36120a ∆=->，即3a <，所以12122,.3x x ax x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩因为()()()()3232121112223131f x f x x x ax x x ax +=+++++++()()()()221212121212123322x x x x x x x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤=++-++-+++⎣⎦⎣⎦()()()()22223322226233a a a a ⎡⎤⎡⎤=---⨯+--⨯+⨯-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为()()125f x f x +≤，所以625a -≤，解得12a ≥．综上，132a ≤<．18. 如图，在ABC V 中，2π3BAC ∠=，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC V 面积的最小值．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求解即可；（2）设ABP θ∠=，则π3ACB θ∠=-，求出2sin BP θ=，1=πsin 3PC θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以三角形ABC 面积的可表示为只含θ的函数，利用二次函数的性质可得最大值.【小问1详解】因为2πππ2,326AP PC CAP ==∠=-=，所以在ACP △中由余弦定理可得2222cos PC AP AC AP AC CAP =+-⋅∠，所以21344AC AC =+-，解得AC =，由正弦定理得sin sin PA PC C CAP =∠，即22in 1s C =sin C =，所以cos C ==，()sin sin sin cos cos sin B BAC C BAC C BAC C =∠+=∠+∠=在三角形ABC 中由正弦定理得：sin sin BC AC BAC B=∠=，解得BC =PB BC PC =-=【小问2详解】设ABP θ∠=，则π3ACB θ∠=-，由于2AP =，则2sin sin AP BP θθ==，在ACP △中由正弦定理得：°πsin 30sin 3AP PC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得1=πsin 3PC θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过A 点做BC 的垂线，交BC 于M 点，设三角形的面积为S，则π2PAM BAM ABM BAM ∠+∠=∠+∠=，所以PAM ABM θ∠=∠=，所以cos 2cos AM AP θθ==，所以121cos cos π2sin sin 3S AM BC θθθθ⎛⎫ ⎪⎪=⨯⨯=+=⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos θ===≥ABC.19. 定义函数()()()23*1123nn n x x xf x x n n=-+-++-∈N ．（1）求曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率；（2）若()22e xf x k -≥对任意x ∈R 恒成立，求k 取值范围；（3）讨论函数()n f x 的零点个数，并判断()n f x 是否有最小值．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【答案】（1）12n - （2）(],1-∞- （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；（3）分成n 为奇数，n 为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数()n f x 的零点个数及最值.【小问1详解】由()()2111nn n f x x x x -'=-+-++- ，可得()2112212221212nn n n f --'-=-----=-=-- ,的所以曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率12n -.【小问2详解】若()22e xf x k -≥对任意x ∈R 恒成立，所以()22122e e x xx x f x k --+-≤=对任意x ∈R 恒成立，令212()e xx x g x --+=，则()4()2ex x x g x -'=，由()0g x '<解得0x <，或4x >；由()0g x '>解得04x <<，故在(),0-∞上单调递减，在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，又(0)1g =-，且当4x >时，()0g x >，故()g x 的最小值为(0)1g =-，故1k ≤-，即k 的取值范围是(],1-∞-.【小问3详解】()()1111n f n '-=----=- ，当1x ≠-时，()()()()()21111111n nnn n x x f x x x x x x -----'=-+-++-=-=--+ ，因此当n 为奇数时，()2311231n nn x x x xf x x n n-=-+-++-- ，此时()1,1,1, 1.n n x x f x x n x ⎧--≠-⎪=-'+⎨⎪-=⎩则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减，此时()010n f =>，()11f x x =-显然有唯一零点，无最小值，当2n ≥时，()2312222212231n nn f n n -=-+-++-- ()2123212220321n n n n -⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且当2x >时，()()2311231n n n x x x x f x x n n -⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()21311321n x x n x x x x n n -⎛⎫⎛⎫=-+-++-<- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ，由此可知此时()n f x 不存在最小值，从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值，当2n k =()*k ∈N 时，即当n 为偶数时，()2311231n nn x x x xf x x n n-=-+-+-+- ，此时()1,1,1, 1.n n x x f x x n x ⎧-≠-⎪=-'+⎨⎪-=⎩，由()0n f x '>，解得1x >；由()0n f x '<，解得1x <，则()n f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()1111111102321n f n n n⎛⎫⎛⎫=-+-++-+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，即()()10n n f x f ≥>，所以当n 为偶数时，()n f x 没有零点，即当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值，综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值.【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则：（1）()0f x >恒成立()min ()0,0f x f x ⇔><恒成立max ()0f x ⇔<；（2）()f x a >恒成立()min (),f x a f x a ⇔><恒成立max ()f x a ⇔<；（3）()()f x g x >恒成立()()min []0f x g x ⇔->，()()f x g x <恒成立()()max []0f x g x ⇔-<；（4）()()1212,,x M x N f x g x ∀∈∀∈>恒成立()()12min max f x g x ⇔>．。
2022-2023学年无锡市高三（上）期中考试数学试题及答案解析
2022-2023学年无锡市高三（上）期中考试数学试题及答案解
析
成老师最近把今年江苏各地市的高三（上）期中考试数学试卷基本都看了一遍，大多都中规中矩，没有什么特色，而无锡的这套试卷在中规中矩之余，多多少少还是揣摩了一下2023年高考的命题思路，有了一点与众不同的地方，这份试卷总体难度不大，但符合高考命题的基本方向，虽然题目创新上还有所不足，但还是做了一点点尝试，作为新高考高三学子的复习自检和能力自检还是不错的一套练习。
江苏省无锡市天一中学高三数学第一学期期中测试试题
江苏省无锡市天一中学高三数学第一学期期中测试试题注意事项：1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始. 2. 交卷时，只交答题纸.一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ．2．“1x >”是“2x x >”的 条件．3．复数2(2)(1)12i i i+--的值是 ．4．若向量,0,(),a ba b a b c a b a c a a⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-=．8．在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ． 10．以下伪代码：Read x1f x≤2 Then y←2x－3 Else0．0．俯视图左视图主视图y←log 2x End 1f Pr1nt y表示的函数表达式是 ．2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l ，则2l 的方程是14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；②211n k k x n =>∑；ab<ab=ab >其中一定成立的是．（只需填序号）二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD⊥面ABCD （如图2）.（1）证明：平面PAD⊥PCD；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PD CMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.17．（14分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.18．（16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．（本小题满分15分）设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f124|x x |.-<20．（本题满分16分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()*n B n N ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233nn n B B i +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()*n N ∈都有n a M <成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．第Ⅱ部分 加试内容（满分40分，答卷时间30分钟）一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD∥AP，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP；（3）若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.4．（矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.5．（坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.·PEOD CBAF6．（不等式选讲） 设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.数学答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2π5. 486. 4 7．15-89．4 10．2232log 2x x y xx -⎧=⎨>⎩≤ 2．222S a =+ 12．94 13．022=+-y x 14．①②二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 15．解：（1）∵（2a －c ）cos B =b cos C ，∴（2s1n A －s1n C ）cos B =s1n B cos C .……………………………………………2分 即2s1n A cos B =s1n B cos C +s1n C cos B =s1n （B +C ）∵A +B +C =π，∴2s1n A cos B =s1n A .…………………………………………4分 ∵0<A <π,∴s1n A ≠0. ∴cos B =21.…………………………………………………………………5分 ∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………………6分 （2）m n ⋅=4k s1n A +cos2A .…………………………………………………………7分=－2s1n 2A +4k s1n A +1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设s1n A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2（t －k ）2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.……………………………14分 16．（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴…………2分.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h则312213131h h h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆- 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P …………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点.…………10分（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD∴O 不是BD 的中心……………………10分 又∵M 为PB 的中点∴在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴OM 所以直线与PD 所在直线相交 又OM ⊂平面AMC∴直线PD 与平面AMC 不平行.……………………15分17解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得k <<……………………5分 ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值……………………9分1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得 k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………2分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+= (12)2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………14分 18．解（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+，2ln 21x ax x=-+， ……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞ ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分 列表如下：)∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……8分 证明（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……2分故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分证明（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分19．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a ……………………2分 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b ………………………………………………4分 （2）∵f（0）=c ，f （2）=4a +2b +c =a －c………………………………6分 ①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f（0）=c ＞0且02)1(<-=af ∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分 ②当c≤0时，∵a＞0 0)2(02)1(>-=<-=∴c a f af 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分 （3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121……………………………………12分 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b124|x x |-<分20．（本小题满分16分） 解：（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-．……………………………………5分（2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n+++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯，……………………………………………………10分 （3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯ 112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯122334455667000000a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,-<-<-<-=->->所以等即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切()*n N ∈都有n a ＜M 成立. …………………………16分第2部分 加试内容一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．1.解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=………10分 2. 解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=分 二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 3. 解 （1）∵DE 2=EF·EC， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD∥AP， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．……………………3分 （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．………6分 （3）∵DE 2=EF·EC，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=227． ∴PB=PE－BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB·PC， ∴PA 2=215×245．∴PA=3215．……………………10分4. 解 （1）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M y x x x T y y y y ⎤--⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数z ＝i (﹣1﹣2i )的共轭复数为A ．2﹣iB ．2＋iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知z ＝i (﹣1﹣2i )=-i +2，则其共轭复数为2＋i.故答案选B.2．设集合M ＝{}2x x x =，N ＝{}lg 0x x ≤，则M N ＝A ．{1}B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(-∞，1]【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}10，=M ，{}10|≤<=x x N ，则M N ＝[0，1].故答案选C. 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为A ．24B ．26C ．28D ．302【答案】B【考点】文化题（数列的通项与求和）【解析】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则211820191820b b S b b S S ++=++=261183=++⨯=，故答案选B.4．已知函数1, 1()(2), 1x mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．94 D ．14【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R 上单调递增，则m >0，2-n >1，且m ×1+1≤(2-n )1，解得m >0，n <1，m +n ≤1，则由基本不等式可得mn 4121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n m ，当且仅当m=n=21时取等号.故答案选D. 5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为A ．24B ．﹣24C ．110D ．﹣110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，1F ，2F 的合力F ==1F +2F ==(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，()()51450104，，-=+--=→AB ，则由共点力平衡得合力F 对该质点所做的功为2()()2451421=-⋅-=⋅→→，，AB F .故答案选A. 6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知a -1=0，则函数可化为()x x f sin -=，则()()10cos -='-='f x x f ，，则由导数得几何意义可知曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为-1.故答案选D.7．若cos(15°＋α)＝3，则sin(60°﹣2α)＝ A． B． C ．59 D ．59- 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意()()()95194115cos 2152cos 230cos 2-=-=-+︒=+︒=+︒ααα，则sin(60°﹣2α)＝()[]()95230cos 26090cos -=+︒=-︒-︒=αα.故答案选D.8．某数学兴趣小组对形如32()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A ．函数()f x 的图象过点(2，1)B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值2C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称【答案】B 或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A 选项，()12482=+++=c b a f ；对于B 选项，()()00232=='++='b f b ax x x f ，；对于C 选项，由递减区间可得()()0412200=++='=='b a f b f ，；对于D 选项，函数()f x 的图象关于点(1，0)对称，则有()()011=-++x f x f ，可赋值得到：当x =0时，()012=f ，当x =1时，()()002=+f f ，即可得到010248=+++=++++c b a c c b a 与，综上可知选项B 、C 矛盾，则由A 选项和D 选项解得a =-3，b =3，c =-1，即()()3231133-=-+-=x x x x x f ，则选项BC 错误. 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列结论正确的有A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D ．“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件 【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查【解析】由题意可知，对于A 选项，当c =0时不满足，则选项A 错误；2 对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三个连续的数满足题意，所以为全称性命题，则选项C 错误；对于D 选项，2121<-x 解得10<<x ，显然10<<x 为x ＜1的真子集，则“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD. 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8f x x π=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8k ππ-，0)，k ∈ZD ．函数7()8y f x π=+是偶函数 第10题 【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8832T ，所以22==T πω，由图象过⎪⎭⎫ ⎝⎛-08，π，则Z k k ∈+=+⨯-，ππϕπ2228，解得Z k k ∈+=，ππϕ243，又0＜ϕ＜π，则043==k ，πϕ，所以函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432sin 3πx x f .对于A 选项，不正确；对于B 选项，当58x π=-时，343852sin 385-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππf ，为最小值，选项2B 正确；对于C 选项，当8ππ-=k x 时，343822sin 38=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππk k f ，显然对称中心不是(8k ππ-，0)，故选项C 错误；对于D 选项，x x x x f y 2cos 3222sin 3438722sin 387=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππ，为偶函数，故选项D 正确.综上，答案选BD.11．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a n a a n +=+-(n N *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >【答案】BC【考点】数列的通项与求和 【解析】由121n n n a n a a n +=+-可知nn n n n a n a a n a a n 1121-+=-+=+，即n n n a n a n a 11--=+， 当n =1时，则211a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；n n a a a S +++= 21 11112312011201+++=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n a n a a n a n a n a a a a ，所以n a S n n =+1，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.综上，答案选BC.12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托2 尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有A ．(sin )cos 2f x x =B ．(sin )f x x =C ．(1)f x x -=D ．2(2)1f x x x +=+【答案】AD【考点】文化题（函数的概念）【解析】对于A 选项，()x x x f 2sin 212cos sin -==，则()221x x f -=，满足函数的概念，故选项A 正确；对于B 选项，可代入特殊值验证65621ππ或可以为，则x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则不满足y 有唯一的值，故选项B 错误；对于C 选项，同样可以带入特殊值验证()1f ，则x 可以为1或0，同样不满足y 有唯一的值，故选项C 错误；对于D 选项，可令t x x =+22，则()221112+=+=++x t x x ，则()()111-≥+=+=t t x t f ，，满足函数的概念，故选项D 正确；综上，答案选AD.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ．【答案】82【考点】平面向量的线性运算、数量积综合 第13题【解析】由题意AB ⊥CN ，BN ⊥DC ，且可设BM=x ，则CN=2-x ，（0<x <2）则→→→→→→→→→→→→→→→⋅+++=⋅+⋅+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅CN BM CN BM DC BM CN AB AB CN DC BM AB DN AM 0092()()209229180cos 92<<+-=--=︒⋅+=→→x x x x x CN BM ，，则x 2-2x +9=（x -1）2+8≥8，当x =1时取得最小值.14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a +++＝ ．【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列{}n a 中，可解得a 1=1，q =2，则23102310a a a +++＝m =⋅++⋅+⋅+⋅9321210242322 ，则m 221024232210432=⋅++⋅+⋅+⋅ ，两式相减可得()m -=⋅-+++++⋅1094321210222222 ，则()2121222821--+⋅=-m 9216292101010-=⋅-=⋅-，则原式=m =9216.15．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．【答案】(54π，118π) 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为x∈(0，98π)，则⎪⎭⎫⎝⎛∈+25442πππ，x，可画出函数大致的图象则由图可知当122<<a时，方程()axf=有三个根，由8242πππ==+xx解得，852342πππ==+xx解得，且点()01，x与点()02，x关于直线8π=x对称，点()02，x与点()03，x关于直线85π=x对称，所以421π=+xx，893ππ<<x，则81145321ππ<++<xxx，即⎪⎭⎫⎝⎛∈++81145321ππ，xxx.16．已知函数3ln,1(),1x xf xx x x≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx=-，当k＝﹣2e2时，有0()0g x=，则x＝；若函数()g x恰好有4个零点，则实数k的值为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】0，1e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当x≥1时，()02ln2>+=xexxg恒成立，所以x0<0；当x<1时，()0223=++-=xexxxg，可化简得()02122=++-exx，则2210exx+-==或；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当0≠x时，可令()0=-kxxf，22则解得⎩⎨⎧=≥≠<+-1ln0112x x x x x x k ，，且，，若方程有四个解，则e k 1=. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝23BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；（2）若EF⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．【考点】平面向量的线性运算即数量积应用【解析】（1）由平面向量的线性运算可知a b AB AD AE AF EF 31313131-=-=-=→→→→→， a b AD AB BG EB EG 32323232+=+=+=→→→→→． （2）由题意因为EF⊥EG ，所以()()()()a b a b a b a b EG EF +-=+⋅-=⋅→→923231 ()()()()09292323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⋅-=⋅→→a b a b a b a b a b EG EF ，解得22a b =， 所以()A b a a A b a a b a EG AB cos 232cos 32322 =+=+⋅=⋅→→，则可化简上式为A A cos 2cos 3232=+，解得.321cos π==A A ，则 18．（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把⊥ABC 沿AC 翻折到⊥AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ． （1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求⊥ADP 面积的最大值．【考点】三角函数中的实际问题【解析】（1）由题意可知在⊥ABC 中，可设θ=∠=∠CAP CAB ，则由角度关系可得θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，设BC=y ，且θπθθtan 332tan tan ===yxy ，，则有33tan tan 3tan 1tan 22tan 2==-=θθθθθ，解得，则有x y 33=， ∴m x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+332，最后解得()m x 433-=． （2）由题意可设θ=∠=∠CAP CAB ，则θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，且()10tan ，∈θ，则有()m x x =⨯+2tan θ，解得()θtan 12+=m x ，即AD=BC=()θθtan 12tan +m ，∴()m m AD PD 4tan 1tan 2tan 1tan 12tan 2tan 2θθθθθθ-=-⋅+==， 则S ⊥ADP =()θθθθθθtan 1tan tan 164tan 1tan 12tan 21222+-⋅=-⋅+⋅m m ，令()21tan 1，，则∈=+t t θ2所以S ⊥ADP =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-+-⋅=---⋅32162316111622222t t m t t t m t t t m ≤()223162-⋅m ，当且仅当22==t tt ，即时取等号. 则⊥ADP 面积的最大值为()223162-⋅m .19．（本小题满分12分）已知⊥ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6π)＝14．（1）求⊥BAC 的值；（2）若A，sinB＝7，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．【考点】三角函数与解三角形 【解析】（1）由cosAsin(A ﹣6π)＝14．可化简得416sin cos 6cos sin cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππA A A即()A A A A A A A 2cos 32sin 4122cos 1232sin 41cos 23cos sin 212-=+⋅-=-24143=-，即162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ， ∵()π，0∈A ，∴326265662ππππππ==-⎪⎭⎫⎝⎛-∈-A A A ，，则，. （2）由题意在⊥ABC 中，可由正弦定理得B b A a sin sin =，代入化简得721237b=，解得b =2．又由余弦定理可得A bc c b a cos 2222-+=，代入化简得c c 2472-+=，解得c =3.则在⊥AMB 中，由余弦定理可得BM AB AM BM AB B ⋅-+=2cos 222，在⊥ABC 中，由余弦定理可得BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222，两式联立可得()77322732732273222222⋅⋅-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AM ，解得219=AM 20．（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：⊥()()0f x f x -+=，⊥(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判别函数33221()e ex x f x -+=-，2()cos()32x f x ππ=+是否具有性质P ？请说明理由；（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．2【考点】新定义函数的性质综合应用 【解析】（1）由题意()()02323232311=-+-=+-+--+x x x x eeeex f x f ，且()()x x x x eex f eex f --+--=-≠-=+232112521121，则()x f 1不具有性质P .又因为()()03sin 3sin 23cos 23cos 22=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-x x x x x f x f ππππππ，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+33sin 323cos 12πππππx x x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-33sin 2333cos 22πππππx x x f则()()x f x f -=+2122，即()x f 2具有性质P .（2）若函数()g x 具有性质P ，则满足()()0=+-x g x g 且()()x g x g -=+21，则()g x 在R 上为奇函数，且一个周期为6，则()00=g ，()06=g ，()06=-g ，而由()()x g x g =+6，可得()()33-=g g ，所以()()33g g -=，所以()()033=-=g g ，所以()()099=-=g g ，则函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，即为0，3，-3，6，-6，9，-9，n 的最小值为7.21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，21441n n a S n +=++，481b a =+．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；2（2）若不等式2(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题【解析】（1）由21441n n a S n +=++①，则当n ≥2时()114412+-+=-n S a n n ②，则①-②可得444441221+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以()2221244+=++=+n n n n a a a a ，因为0>n a ，则()221≥+=+n a a n n ，当n =1时，3542122=+=a a a ，则，此时212=-a a 亦满足上式，所以21=-+n n a a ，所以数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知()12121-=-+=n n a n ，且215411122=+=+=a b a a ，则，16115184=+=+=a b ， 因为数列{}n b 为等比数列，则设公比为q ，所以28143===q b b q ，则，所以n n n b 2221=⋅=-，所以2(4)(1)n n n a b m a ->-可化简为 ()()()2224212-≥-⋅-n m n n，则()()()max2212224⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ，可令()()nn n n c 212222⋅--=， ()()()()()()()()()()()1231222121212122524212122414124212142124++++⋅-++--=⋅-++---=⋅---⋅+=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c c 令()()*230252N n n n n n f ∈>+-=，且，所以()()5321062-=-='n n n n n f ，令()0='n f ，解得35=n ，则当⎪⎭⎫⎝⎛∈350，n 时()0<'n f ，即()n f 单调递减；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，35n 时()0>'n f ，即()n f 单调递增，且()()，，022011<-=<-=f f2()0113>=f ，所以当21≤≤n 时，01>-+n n c c ，321c c c <<；当3≥n 时，01<-+n n c c ，则 >>>543c c c ，所以()523max ==c c n ，则()()()52212224max 2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ， 解得518<m .所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-518，.22．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】（1）由题意函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()2ln ++='a x a x f ∴①当a =0时，()02>='x f 恒成立，则()x f 在定义域上单调递增，此时无极值；②当a ≠0时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='a x a x f 21ln ，可令()0='x f ，解得a e x 21--=，所以（i ）当a >0时，且当aex 210--<<时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减；当aex 21-->时，此时()0>'x f ，即()x f 单调递增，则()x f 的极小值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极大值；2（ii ）当a <0时，且当aex 210--<<时，此时此时()0>'x f ，即()x f 单调递增；当aex 21-->时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减，则()x f 的极大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极小值；综上所述，当a =0时，()x f 无极值；当a >0时，()x f 有极小值aae 21---，无极大值；当a <0时，()x f 有极大值aae21---，无极小值.（2）若a ＝2，()x x x x f 2ln 2+=，不等式化为()()2ln 4ln 2ln 22++≥+x x x x x m则令[)∞+-∈=，，2ln t t x ，则不等式化为()24222++≥+⋅t t e e t m t t ， 所以①当12-≤≤-t 时，参变分离得()2224222422+++=+⋅++≤t e t t e e t t t m t t t ，设()()22242+++=t e t t t g t ，()()()()()()01222224222222>++-=+--+='t e t t t e t t t e t g t t t ， 则()t g 在[]12--，上单调递增，∴()()2min 2e g t g m =-=≤. ②当t =-1时，不等式化为0>-1，显然成立.③当t >-1时，()22242+++≥t e t t m t ，则()()()22122++-='t e t t t g t ，可令()0='t g ，解得t =0， 且当01<<-t 时，()0>'t g ，即()t g 单调递增；当0>t 时，()0<'t g ，即()t g 单调递减，所以()()10max ==g t g ，所以()1max =≥t g m . 综上所述，实数m 的取值范围为[]21e ，．。
精选题库江苏省无锡市高三上学期期中数学试卷含解析答案
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13．（ 5 分）关于 x 的方程 2| x+a| =ex 有 3 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围 为 （1﹣ln2，+∞） ． 【解答】 解：∵关于 x 的方程 2| x+a| =ex 有 3 个不同的实数解， ∴ y=2| x+a| 与 y=ex 的图象有 3 个交点，
=﹣f（ x），
∴ f（x）是定义域 R 上的奇函数，
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把 f（ a+1）+f（a2﹣ 1）＞ 0 化为 f（a+1）＞﹣ f（ a2﹣1）=f（1﹣a2）， 即 a+1＜1﹣a2， 解得﹣ 1＜a＜0， ∴所求不等式的解集为（﹣ 1，0）． 故答案为：（﹣ 1，0）．
9．（5 分）已知 sin2x+2sinxcosx﹣3cos2x=0，则 cos2x= ﹣ 或 0 ．
2017-2018 学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1．（ 5 分）已知集合 A={ 0，1，2} ，集合 B={ 1， } ，且 B? A，则实数 x=
．
2．（5 分）若复数 z=a+i（a 为正实数）的模为 2，则 a=
．
3．（ 5 分）斐波那契数列（ Fibonacei scquence），又称黄金分割数列，因数学家
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4．（5 分）若函数 f（ x）=
则 f（5）= 2 ．
【解答】 解：∵函数 f （x）=
，
∴ f（5）=f（ 2） =f（﹣ 1）=1﹣（﹣ 1） =2． 故答案为： 2．
5．（5 分）已知函数 f （x）=x2+ax﹣ 2 的单调减区间为（﹣∞， 1），则实数 a 的 值为 ﹣ 2 ． 【解答】 解：函数 f （x） =x2+ax﹣2 的开口向上，对称轴为： x= ，
江苏省无锡市普通高中届高三上学期期中基础性检测考试卷数学Word版含答案
无锡市普通高中 2021 年秋季学期高三期中根底性检测考试卷数学试题一、填空 ：〔本大 共14 小 ，每小 5 分，共 70 分〕1. 集合A0,1,2 ，集合 B1,1，且 B A ， 数 x.x2. 假设复数 z a i 〔 a 正 数〕的模 2， a.3. 菲波那切数列〔 Fibonacci,sequence 〕, 又称黄金分割数列，因数学家列昂 多斐波那契〔 Leonadoda Fibonacci 〕以兔子繁殖 例子而引入，故又称 “兔子数列〞，指的是 一 个数列： 1,2,3,5,8,13,21，⋯， 数列的第10 .4. 假设函数 f x1 x, x 05 .f x 3 ， f, x 05. 函数 fxx 2 ax 2 的 减区,1 ， 数 a 的.x y 26. 假设 量 x, y 足2x 3y 6 ，且 x2 y a 恒成立， a 的最大.x 07. 将函数 y sin 2x 的 象向右平移0 个 位 度， 假设所得 象 点, 1， 的3 2最小 是 .8. 函数 fx 11 1， fa 1fa 2 1 0 的解.2x 29. sin 2x 2sin x cos x 3cos 2 x 0 ， cos2x.10. 在等差数列a n 中， a 1 a 30, a 2 a 42 a n的前 10 和， 数列2n1是 .11. 数 x, y 足 y 22 log2x，21的最小 .xy12. 如 所示，在平行四 形 ABCD 中，AP BD , P 垂足，且 AP 1，AP AC.13. 关于 x 的方程 2 x a e x 有 3 个不同的 数解， 数 a 的取 范.S n S m 2m S n m总成立，假设正整数p, q 满足 p q6，那么 1 1 的最小值S p S q为.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 . 解容许写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.〔此题总分值 14 分〕a3,1 , b 1, 2 , c1,1 .（1〕求a与b的夹角的大小 ;（2〕假设c // a kb，求k的值 .16.〔此题总分值 14 分〕如图，在四棱柱 ABCD ABC D1 中，底面1 1 1ABCD 为等腰梯形， AD //BC ,AD 2AB 2BC M, 为边 AD 的中点，CB1底面 ABCD .（1〕求证：C1M //平面A1ABB1；〔 2〕平面B1BM平面ACB1.17. 〔此题总分值 14 分〕在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，假设 sinA3, tan A B 1 ，角 C5 3为钝角， b 5.〔 1〕求sin B的值；〔 2〕求边c的长 .18.〔此题总分值 16 分〕在一块杂草地上有一条小路AB, 现在小路的一边围出一个三角形〔如图〕区域，在三角形 ABC 内种植花卉 . AB 长为 1 千米，设角C, AC边长为BC边长的a a 1 倍，三角形 ABC 的面积为S〔千米2〕.〔 1〕试用和a表示S；〔 2〕假设恰好当60 时，S取得最大值，求 a 的值.19. 〔此题总分值16 分〕数列 a n 满足 a13a n 3n, n为奇数，的前 n 项和为1,a n 记数列 a na n n 1,n为偶数，S n ,b n a 2n，n N .〔 1〕求证：数列b n 为等比数列，并求其通项b n；〔 2〕求S n；〔 3〕问是否存在正整数n ，使得 S2 n 1 b n S2 n成立？说明理由.20.〔此题总分值 12 分〕函数 f x 2ln x mx 1 m R .〔 1〕当m 1时，求 f x 的单调区间；1 5〔 2〕令g x xf x ，区间 D e 2 , e2 ， e 为自然对数的底数。
江苏省无锡市届高三上学期期中考试数学试题
无锡市2019届高三上学期期中考试数学试题2018.11一、填空题1、已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3},{2,4},A B ==则________.u C A B =（）2、函数()f x =_______.3、已知82,log 3,aa x a ==则实数________.x =4、设函数2()sin ,f x a x bx x =++若(1)0,f =则(1)________.f -= 5、已知向量,a b 的夹角为120︒，4,3,a b ==则2a b +的值为________.6、若实数,x y 满足条件1,2,2,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2x y +的最大值为________.7、已知定义在区间[,]44ππ-上的函数()2sin cos (0)f x a x x b a =+<的最大值为4，最小值为52，则________.a b ⋅=8、已知函数2log ,2,()1,2,x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________.9、已知sin()6x π+=则5sin sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为_________. 10、《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有桓厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”一古城墙某处厚33尺，大小老鼠按上述方式打洞，相遇时是第_______天.11、在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，且BM AB AC λμ=+，则_______.λμ+=12、设,x y 为正实数，且43112x y+=++，则xy 的最小值为________.13. 定义12...nn P P P +++为n 个正数12,,...,n P P P 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1,23n +又12n na b +=，则1223910111...________.b b b b b b +++=14. 已知函数()1g x kx =+在(2,)+∞上的零点为1x ，函数2()44f x kx x =+-在(0,2]上的零点为2x 则1211x x +的范围为_________. 二、解答题15、已知(2,4),B(3,1),C(3,k).A --- （1）若AB 与BC 垂直，求实数k 的值；（2）,,A B C 三点构成三角形，求实数k 的取值范围.16、在四棱锥P ABCD -中，已知,M N 分别是,BC PD 的中点，若ABCD 是平行四边形，90.BAC ∠=︒(1) 求证：//MN 平面;PAB(2) 若PA ⊥平面ABCD ，求证：.MN AC ⊥17、已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b ccos )sin .b a C c A -= （1）求角A 的值；（2）若AC 边上的中线BDABC △面积的最大值.18. 有一块圆心角为120度，半径为R 的扇形钢板OAPB (P 为弧AB 的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具CDEOF ，其下部为等腰三角形OEF ，上部为矩形CDEF .设,POC α∠=五边形CDEOF 的面积为S .（1）写出S 关于α的函数表达式，并写出α的取值范围； （2）当S 取得最大值时，求cos α的值.19、已知数列{}n a 满足122,n n n a a c a c +=++-+c 为正常数.（1）求证：对于一切*1,n n n N a a c +∈-≥恒成立；（2）若数列{}n a 为等差数列，求1a 的取值范围. 20、已知函数1()().x x x f x ae a R e-=-∈ （1）若0,a =求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若1,a <-求函数()f x 的单调区间； （3）若12,a <<求证：() 1.f x <-无锡市2019届高三上学期期中考试参考答案一、填空题1、已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3},{2,4},A B ==则________.u C A B =（）考点：集合的运算，补集与并集的运算。
天一中学期中数学试卷高三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则函数的极值点为：A. $x=1$B. $x=-1$C. $x=0$D. $x=\frac{1}{3}$2. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，则第10项为：A. 27B. 30C. 33D. 363. 设$a,b$是方程$x^2-2ax+b=0$的两个实根，且$\Delta=4a^2-4b>0$，则下列选项中正确的是：A. $a>0$，$b>0$B. $a<0$，$b<0$C. $a>0$，$b<0$D. $a<0$，$b>0$4. 在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为：A. $B(2,1)$B. $C(1,2)$C. $D(2,2)$D. $E(1,1)$5. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为：A. 以$(1,0)$为圆心，半径为1的圆B. 以$(-1,0)$为圆心，半径为1的圆C. 线段$[-1,1]$上的点D. 线段$[-1,1]$上的点6. 若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则下列选项中正确的是：A. $a>0$，$b>0$B. $a>0$，$b<0$C. $a<0$，$b>0$D. $a<0$，$b<0$7. 在三角形ABC中，$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，$C=75^\circ$，则$\sinA+\sin B+\sin C$的值为：A. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$8. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=5$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为：A. $a_n=2n-1$B. $a_n=2n+1$C. $a_n=n^2-1$D. $a_n=n^2+1$9. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}-\ln x$，则函数的零点为：A. $x=1$B. $x=e$C. $x=e^2$D. $x=e^3$10. 在平面直角坐标系中，点$P(1,1)$关于直线$x+y=1$的对称点为：A. $Q(0,2)$B. $R(2,0)$C. $S(1,0)$D. $T(0,1)$二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=3$，公差$d=2$，则$S_{10}=______$。
江苏省无锡市2022届高三数学上学期期中试题(含解析)
【详解】由题意 ， ，∴ ，又 为整数，∴ ．
故答案为－1．
【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题基础．
6.函数y=x﹣2sinx在（0，2π）内的单调增区间为___________
【答案】
【解析】
对函数求导可得 ，其单调增区间满足 ，得 ，即增区间为 ，限定在 范围内，则有 ．故本题应填 ．
18.如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 于 ，点 在边 上（不与端点重合），且 .
（1）若 ，求 的值.
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）把 面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得 ；
（2）同（1）把 面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得 ，再由余弦定理得 ，求出 ，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.
【答案】
【解析】
【分析】
由两个对称性可得函数的周期，从而可求得 的值，再由函数图象过点 ，求得 ，最终可求 ．
【详解】∵函数 的图象关于点 对称，也关于直线 ： 对称，且 的最小值为 .
∴ ，∴ ，即 ，
， ，∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的解析式．属于基础题．
天一中学高三数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 0.1010010001...C. 3D. π2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a ≠ 0，且f(1) = 0，f(-1) = 0，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，∠C = 75°，若AB = 4，则BC 的长度为（）A. 2√6B. 4√6C. 2√2D. 4√24. 下列各对数函数中，单调递减的是（）A. y = log2(3x)B. y = log3(2x)C. y = log4(3x)D. y = log5(2x)5. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项与第15项的和为（）A. 48B. 54C. 60D. 66二、填空题（每小题5分，共50分）6. 已知复数z = 3 + 4i，其模为________。
7. 函数y = |x - 2| + |x + 1|的图像与x轴的交点个数为________。
8. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为________。
9. 等比数列{an}的前n项和为S_n，若a_1 = 2，q = 3，则S_5 = ________。
10. 圆的标准方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4，则该圆的圆心坐标为________。
三、解答题（每小题20分，共80分）11. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），且f(1) = 2，f(-1) = 0，求函数f(x)的解析式。
12. （本题满分20分）已知数列{an}是等差数列，且a_1 = 3，d = 2，求第10项a_10的值。
13. （本题满分20分）已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。
2023-2024学年江苏省无锡市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{3}B ．{1}C ．{5}D ．{1，3}2．已知复数z ＝2﹣i ，则z （z +i ）的虚部为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．6D ．23．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0（1+k ）n （k ＞﹣1），其中P n 为预测期人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k ＜0，那么在这期间人口数（ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．摆动变化D ．不变4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√235．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．326．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.077．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知a ＞0，b ＞0，1a+3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为211．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称12．已知函数f （x ）定义域为R ，满足f （x +1）=12f （x ），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣4x （x ﹣1）．则下列结论正确的是（ ） A ．f （−32）＝4B ．方程f （x ）=13x 共有三个不同实根 C ．∑ 2n i=1f （i 2）＝2−22nD ．使不等式f （x ）≥38成立的x 的最大值是74三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ ． 16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ． ①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1}C．{5}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，4}．∴∁U B＝{1，5}∴A∩（∁U B）＝{1}．故选：B．2．已知复数z＝2﹣i，则z（z+i）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．6D．2解：复数z＝2﹣i，则z=2+i，z（z+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝6+2i，虚部为2．故选：D．3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0（1+k）n（k＞﹣1），其中P n为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（）A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变解：P n+1﹣P n＝P0（1+k）n+1﹣P0（1+k）n＝P0（1+k）n（1+k﹣1）＝P0（1+k）n•k，∵﹣1＜k＜0，∴0＜1+k＜1．∴（1+k）n＞0．又∵P0＞0，k＜0，∴P0（1+k）n•k＜0．即P n+1﹣P n＜0，∴P n+1＜P n．故选：B．解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有﹣1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势， 故选：B ．4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√23解：因为sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝﹣cos （θ+π6）＝sin （θ−π3）=−13． 故选：B ．5．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．32解：因为f ′（x ）＝3x 2+2bx ﹣12， 又f （x ）在x ＝2处取得极值， 所以f ′（2）＝0， 所以3×22+2b ×2﹣12＝0， 所以b ＝0，所以f （x ）＝x 3﹣12x ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣12， 令f ′（x ）＝0，得x ＝±2，所以在（﹣∞，﹣2）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在（﹣2，2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）在x ＝2处取得极小值，符合题意，所以在（﹣4，﹣2）上f （x ）单调递增，在（﹣2，2）上f （x ）单调递减，在（2，4）上f （x ）单调递增，由f （﹣2）＝（﹣2）3﹣12×（﹣2）＝16，f （4）＝43﹣12×4＝16， 所以f （x ）在[﹣4，4]上的最大值为16． 故选：C ．6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.07解：由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，把θ1＝60，θ0＝15，t ＝3，θ＝42代入公式， 得42＝15+（60﹣15）e ﹣3k，化简得e﹣3k=35，所以﹣3k ＝ln 3﹣ln 5＝1.099﹣1.609， 解得k ＝0.17． 故选：C ．7．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32，所以f （2πω）＝sin （2π+φ）＝sin φ=√32，所以φ=π3，所以f （x ）＝sin （ωx +π3）的图象向右平移π6个单位后得到f （x ）＝sin （ωx −π6ω+π3），因为所得函数的图象关于y 轴对称， 所以−π6ω+π3=k π+π2，k ∈Z ， 所以可得ω＝﹣6k ﹣1，k ∈Z ， 因为ω＞0，所以ω的最小值为5． 故选：D ．8．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解：因为f （x ）＝x +lnx 的定义域为（0，+∞），所以f ′(x)=1+1x ＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又因为f （12）=12−ln 2＜0，f （1）＝1＞0，所以存在a ∈(12，1)，使得f （a ）＝0，所以a ∈(12，1)， 因为g （x ）＝xlnx ﹣1，g '（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e时，g '（x ）＜0，则g （x ）在（0，1e）上单调递减，当x ＞1e 时，g '（x ）＞0，则g （x ）在 (0，1e) 上单调递增， 又因为 g （1）＝﹣1＜0，g （2）＝2ln 2﹣1＞0， 所以b ∈（1，2），ℎ′(x)=2x 3+12+1x2＞0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （12）＜0，h （1）＞0，所以存在c ∈(12，1)，使得h （c ）＝0， 所以b 最大， 因为58=11.6=√2.56√e，所以ln 58＞ln√e=−12，f （ln 58）＝ln 58+58＞−12+ln 58＞0，所以12＜a ＜18，因为h （58）＝1−85+516+25643＜0，所以58＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，|c →|=2√3，故可设a →=(1，0)，B(12，√32)，C(2√3cosθ，2√3sinθ)，θ∈[0，2π），则a →+b →+c →=(32+2√3cosθ，√32+2√3sinθ)，所以|a →+b →+c →|=√(32+2√3cosθ)2+(32+2√3sinθ)2=√15+12sin(θ+π3)∈[√3，3√3]， 故选：ABC ．10．已知a ＞0，b ＞0，1a +3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为2解：对于A ，因为a ＞0，b ＞0，所以1=1a +3b ≥2√3ab， 当且仅当b ＝3a 且1a +3b =1，即a ＝2，b ＝6时取等号，所以ab ≥12，A 正确；对于B ，a +b ＝（a +b ）(1a+3b)=4+b a+3a b ≥4+2√b a ⋅3a b=4+2√3，所以a +b 的最小值不是4√3，故B 错误；对于C ，将1a +3b =1两边平方，得1a 2+6ab +9b 2=1，所以a 2+b 2＝（a 2+b 2）(1a 2+6ab +9b2)=10+b2a 2+9a 2b2+6(b a +ab )， 而b 2a 2+9a 2b 2≥2√b 2a 2⋅9a 2b 2=6，6(b a +a b )≥6×2√b a ⋅ab =12，且两不等式的等号不能同时取得，所以a 2+b 2＞10+6+12＝28，即a 2+b 2的最小值不可能是24，故C 错误； 对于D ，1a−1+3b−3=1bb−3−1+3b−3=b−33+3b−3≥2√b−33⋅3b−3=2，当且仅当b−33=3b−3=1，即b ＝6，a ＝2时等号成立，故1a−1+3b−3的最小值为2，D 选项正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称 解：因为f(x +π)=sin(x +π)+1|sin(x+π)|=−sinx +1|sinx|≠f(x)， 所以π不是f （x ）的周期，A 错误；对于B，由sin x≥﹣1，1|sinx|≥1，得sinx+1|sinx|≥0，当sin x＝﹣1时取“＝”，故f（x）的最小值为0，B正确；对于C，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）+1|sin(2π−x)|=−sin x+1|sinx|，可得f（2π﹣x）+f（x）=2|sinx|≠2，故f（x）的图象不关于点（π，1）对称，C错误；对于D，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+1|sin(π−x)|=sin x+1|sinx|=f（x），可知f（x）的图象关于直线x=π2对称，故D正确．故选：BD．12．已知函数f（x）定义域为R，满足f（x+1）=12f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．f（−32）＝4B．方程f（x）=13x共有三个不同实根C．∑2n i=1f（i2）＝2−22nD．使不等式f（x）≥38成立的x的最大值是74解：x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1），当x∈（1，2]时，f(x)=12f(x−1)=−2(x−1)(x−2)，…，x∈（k，k+1]时，f（x）＝﹣22﹣k（x﹣k）（x﹣k﹣1），∴k取﹣2时，f(−32)=−16(−32+2)(−32+1)=4，A正确．作出f（x）大致图象如下，联立{y=13xy=−2(x−1)(x−2)，解得x=32或43，y ＝f （x ）与y =13x 共四个交点，B 错．对于 C ，k为奇数时，f(k 2)=(12)k−12，k 为偶数时，f(k2)=0，∴∑ 2n i=1f(i2)=f(12)+f(32)+⋯+f(2n−12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=1−(12)n1−12=2−22n ，C 正确． 对于D ，当x ∈（1，2）时，令f(x)=−2(x −1)(x −2)=38⇒x =54或x =74，结合图象知x max =74，D正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （﹣1，1） ． 解：A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}， ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， ∴B ⫋A ， ∴﹣1＜m ＜1，∴m 的取值范围为：（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 x ﹣πy +π＝0 ． 解：曲线y =sinxx 的导数为y ′=xcosx−sinxx 2， 可得曲线在点M （﹣π，0）处的切线斜率为k =−πcos(−π)−sin(−π)(−π)2=1π，即有曲线在点M （﹣π，0）处的切线方程为y =1π（x +π），即为x ﹣πy +π＝0． 故答案为：x ﹣πy +π＝0．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ 4 ．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则{Sn n }为等差数列，故S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1，即−2m+3m+2=0，解得m ＝4．故答案为：4．16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ﹣3 ．解：设∠APO 1＝θ，则∠AO 1P ＝π﹣2θ，因为∠APB =2π3，∠BO 2P =π3−θ，θ∈[0，π3]，过O 1作O 1D ⊥AP ，所以|P A |＝2cos θ，同理|PB|=4cos(π3−θ)， 所以PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos120°=8cosθ⋅cos(π3−θ)⋅(−12) =−4cosθ⋅(12sinθ−√32cosθ)=sin2θ+2√3cos 2θ=sin2θ+2√3⋅1+cos2θ2=−2[sin(2θ+π6)+12]≤−3， 所以(PA →⋅PB →)min =−3． 故答案为：﹣3．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．解：（1）因为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B +b cos A =c2cosC， 所以由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）＝sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）＝2cos C sin C ＝sin C ， 因为C 为三角形内角，sin C ≠0， 所以cos C =12， 又0＜C ＜π， 所以C =π3；（2）因为c ＝6，AB 边上的高等于2√3，所以S △ABC =12×6×2√3=12ab sin C =√34ab ， 解得ab ＝24，又由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得36＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝（a +b ）2﹣72， 所以可得a +b ＝6√3，所以△ABC 的周长a +b +c ＝6√3+6．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．解：（1 ）由题意，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，当P 为DE 中点时，AP →=AD →+DP →=AD →+12DE →=AD →+12(DC →+CE →) =AD →+12AB →−14AD →=12AB →+34AD →=λAB →+μAD →， 所以λ=12，μ=34， 所以λ+μ=54；（2）因为点P 在线段DE 上运动，设DP →=λDE →，λ∈[0，1]，则AP →=AD →+λDE →=AD →+λ(DC →+CE →)=AD →+λAB →−12λAD →=λAB →+(1−λ2)AD →，AF →=AD →+DF →=AD →+12DC →=12AB →+AD →，∴AP →⋅AF →=[λAB →+(1−λ2)AD →](12AB →+AD →) =λ2AB →2+2−λ2AD →2+2+3λ4AB →⋅AD → =λ2×4+2−λ2×1+2+3λ4×2×1×cos60°=9λ+64， 又λ∈[0，1]，所以AP →⋅AF →=9λ+64∈[32，154]．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 解：（1）b 1＝1+a 1，b 2＝2﹣（a 1+a 2）， 结合a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5，∴{a 1=1b 1=2，∴{a 2+b 2=1a 2−b 2=5⇒{a 2=3b 2=−2， a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n =n 2， ∴b n =n −(−1)n ⋅n 2． （2）①T 10=(1+10)×102−(−12+22−32+42+⋯+102)=55﹣（1+2++10）＝0， ②事实上n 为偶数时，T n ＝（1+2+⋯+n ）﹣（﹣1+22﹣32+...+n 2） ＝（1+2+...+n ）﹣（1+2+...+n ）＝0，均满足T n ≤100， n 为奇数时，T n =(1+n)n2−(−12+22−32+...+(n −1)2−n 2) =n(n+1)2−(1+2+...+n −1)+n 2=n 2+n ， 当T n ≤100时，n 2+n ≤100，∴n ≤9，n ＝1，3，5，7，9， ∴A 中所有元素的和为（2+4+...+100）+（1+3+5+7+9）=102×502+25=2575． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＜2化为：log 2（1x +2）＜2，∴0＜1x +2＜4，解得x ∈（﹣∞，−12）∪（12，+∞），经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（﹣∞，−12）∪（12，+∞）．（2）a ＞0，对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，∴log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， ∴(1+ta)(t+1)t[1+a(t+1)]≤2，化为：a ≥1−tt 2+t=g （t ），t ∈[12，1]，g ′（t ）=t 2−2t−1(t 2+t)2=(t−1)2−2(t 2+t)2≤(12−1)2−2(14+12)2＜0，∴g （t ）在t ∈[12，1]上单调递减，∴t =12时，g （t ）取得最大值，g （12）=23． ∴a ≥23．∴a 的取值范围是[23，+∞）．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和．解：（1）由a 1＝1，a n ＞0，（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立， 可得S n+1+1a n+1=S n +1a n=S n−1+1a n−1=...=S 1+1a 1=1+11=2， 即1+S n ＝2a n ，当n ≥2时，1+S n ﹣1＝2a n ﹣1，上面两式相减a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则a n ＝2n ﹣1；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列， 则c k =12（k +2）（2k ﹣1+2k ）﹣（2k ﹣1+2k ）=3k2•2k ﹣1，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =32（1•20+2•21+3•22+...+n •2n ﹣1），2T n =32（1•2+2•22+3•23+...+n •2n ），上面两式相减可得﹣T n =32（1+21+22+...+2n ﹣1﹣n •2n ）=32（1−2n1−2−n •2n ），化为T n =32[1+（n ﹣1）•2n ]．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．解：（1）证明：当a ＝1时，f(x)=xlnx −12x 2−x ，则f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝lnx +1﹣x ﹣1＝lnx ﹣x ， 设u （x ）＝lnx ﹣x ，则u ′(x)=1x −1=1−xx， 当0＜x ＜1时，u ′（x ）＞0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递增； 当x ＞1时，u ′（x ）＜0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递减，故u （x ）≤u （1）＝﹣1，故f ′（x ）≤﹣1，故f （x ）为减函数；（2）由题意，得f ′（x ）＝lnx +1﹣ax ﹣1＝lnx ﹣ax 有两个不同正实数根x 1＜x 2（x 1＜x 2）， 所以{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，所以a =lnx 1−lnx 2x 1−x 2=ln x1x 2x 1−x 2．1+λ＜lnx 1+λlnx 2=ax 1+aλx 2=(x 1+λx 2)ln x1x 2x 1−x 2=x 1x 2+λx 1x 2−1ln x1x 2， 令x 1x 2=t ∈(0，1)，则1+λ＜t+λt−1lnt ，即lnt −(1+λ)(t−1)t+λ＜0在t ∈（0，1）恒成立， 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，t ∈(0，1)，则ℎ′(t)=1t −(λ+1)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2， 若λ≥1，当t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0恒成立；若0＜λ＜1，当t ∈（λ2，1）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 所以h （t ）＞h （1）＝0，不符合题意， 综上，正实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
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无锡市天一中学高三第一学期数学期中测试试题及答案Revised as of 23 November 2020江苏省无锡市天一中学2008-2009高三第一学期期中测试数学试题注意事项：1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始.2. 交卷时，只交答题纸.一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上）1．集合{3,2},{,},{2},a A B a b A B A B ====若则 ． 2．“1x >”是“2x x >”的 条件．3．复数2(2)(1)12i i i+--的值是 ．4．若向量,0,(),a ba b a b c a b a c a a⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-= ．0．0．8．在∆ABC 中,60A ︒∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ．10．以下伪代码：Read x 1f x≤2 Then y←2x －3 Else y←log 2x End 1f Pr1nt y表示的函数表达式是 ．2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线2l ，则2l 的方程是14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nk k n a b x =+=∑；俯视图左视图主视图②211()n k k a b x ab n =->+∑； ③12n n y y y ab <④12n ny y y ab =⑤12n ny y y ab >．（只需填序号）二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC.（1）求角B 的大小；（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.16．（15分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD （如图2）. （1）证明：平面PAD ⊥PCD ；（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.17．（14分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.18．（16分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．（本小题满分15分）设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证：（1）4330-<<->a b a 且；（2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,x x 是函数)(x f 124|x x |.-<20．（本题满分16分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()*n B n N ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233nn n B B i +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()*n a n N ∈的表达式； （3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()*n N ∈都有n a M <成立若存在，求M ；若不存在，说明理由．第Ⅱ部分 加试内容（满分40分，答卷时间30分钟）一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（2）求η的分布列及期望E η．二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC（1）求证：P=EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP ；（3）若CE BE=3 2，DE=6，EF= 4，求PA的长4．（矩阵与变换） 已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.·PEODCBAF5．（坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.6．（不等式选讲） 设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1.高三调研测试数学答案（）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2π5. 486. 4 7．15-89．4 10．2232log 2x x y xx -⎧=⎨>⎩≤ 2．222S a =+ 12．9413．022=+-y x 14．①②二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程．15．解：（1）∵（2a －c ）cos B =b cos C ，∴（2s1n A －s1n C ）cos B =s1n B cos C .……………………………………………2分即2s1n A cos B =s1n B cos C +s1n C cos B =s1n （B +C ） ∵A +B +C =π，∴2s1n A cos B =s1n A .…………………………………………4分∵0<A <π,∴s1n A ≠0. ∴cos B =21.…………………………………………………………………5分∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………………6分 （2）m n ⋅=4k s1n A +cos2A .…………………………………………………………7分=－2s1n 2A +4k s1n A +1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设s1n A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2（t －k ）2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.……………………………14分 16．（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴ …………2分.PCD PAD PCDDC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（2）由（1）知⊥PA 平面ABCD ∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h则312213131hh h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P …………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点.…………10分（3）连接BD 交AC 于O ，因为AB ⊂…………………15分17解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得k <<……………………5分 ()22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值……………………9分1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………2分 212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=……………………12 2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………14分 18．解（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+，2ln 21x ax x=-+，……2分 ∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞ ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =， ……4分 列表如下：)∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． ……6分(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥， ∴(2)0g >． ……8分 证明（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， ……10分 从而当0x >时，恒有()0f x '>， ……2分 故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……12分 证明（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， ……13分 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ……14分∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ……15分 ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……16分19．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a ……………………2分 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b ………………………………………………4分 （2）∵f （0）=c ，f （2）=4a +2b +c =a －c………………………………6分 ①当c ＞0时，∵a ＞0，∴f （0）=c ＞0且02)1(<-=af∴函数f （x ）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分 ②当c≤0时，∵a ＞0 0)2(02)1(>-=<-=∴c a f af 且 ∴函数f （x ）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f （x ）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分（3）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121……………………………………12分2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b124|x x |-<……………………………………15分20．（本小题满分16分） 解：（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-．……………………………………5分（2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n+++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯，……………………………………………………10分（3）1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯ 112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯122334455667000000a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,a a ,-<-<-<-=->->所以等即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数M =6，对一切()*n N ∈都有n a ＜M 成立. …………………………16分第2部分 加试内容一、 解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．1.解 函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .…………………4分又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0123)2(dx x x x ⎰++-+223)2(1237=………10分 2. 解（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．…………4分（2）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为200E η=分二、 解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分． 3. 解 （1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE CE=EF ED ． ∵DEF 是公共角，∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴EDF=C ． ∵CD ∥AP ， ∴C= P ． ∴P=EDF ．……………………3分 （2）∵P=EDF ， DEF=PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE PE=EF EA ．即EF·EP=DE·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ．∴CE·EB=EF·EP ．………6分（3）∵DE 2=EF·EC ，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE BE=3 2， ∴BE=6．∵CE·EB=EF·EP ，∴9×6=4×EP ．解得：EP=227． ∴PB=PE －BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB·PC ， ∴PA 2=215×245．∴PA=3215．……………………10分 4. 解 （1）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M ⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，':'2222M y x x x T y y y x y ⎤⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦，即有''22x y y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')2'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。