三角函数图表式教材解读：第八节：正切函数图象和性质

《三角函数》图表式教材解读
第八节：正切函数图象和性质
图象
作 ， 的图象
y
0
说明：（1）正切函数的最小正周期是 ；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且 的图象，称“正切曲线”。
y
0
x
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的。
性质
（1）定义域： ；
D
3.(－ ， )内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象的交点个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
C4.利用函数图象，解源自等式－1<tanx< .
解：作出函数y＝tanx的图象， 如图所示.观察图象可得：在 内，满足条件的x为 ，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为
5.已知函数f(x)＝
6.求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈ 的值域.
解：设tanx＝t，∵x∈ ，∴t∈[1， ]，
∴y＝－tan2x＋10tanx－1
＝－t2＋10t－1
＝－(t－5)2＋24.
∴当t＝1，即x＝ 时，ymin＝8；
当t＝ ，即x＝ 时，ymax＝10 －4.
∴函数的值域为[8,10 －4].
7.函数y＝2tan(3x＋φ)， 的图象的一个对称中心为 ，则φ＝________.
解： 因为函数y＝tanx的图象的对称中心为 ，k∈Z，
令3x＋φ＝ ，k∈Z.
由题意知：3× ＋φ＝ ，k∈Z，
即φ＝ －3× ＝ － ，k∈Z.因为－ ＜φ＜ ，
所以当k＝1时，φ＝－ ；当k＝2时，φ＝ .即φ＝ 或－ .
（2）值域：R
观察：当 从小于 ， 时，
当 从大于 ， 时， 。
（3）周期性： ；
（4）奇偶性：由 知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。
（6）对称中心：
（7） 的周期为
练习题
答案
1．函数 在一个周期内的图象是()
A
2．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间 内的图象是()
(1)求f(x)的定义域和值域.
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.
解：(1)由 x－ ≠ ＋kπ，k∈Z，
解得x≠ ＋2kπ，k∈Z，
所以定义域为 ，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，周期T＝ ＝2π.
f(x)为非奇非偶函数.
由－ ＋kπ＜ x－ ＜ ＋kπ，k∈Z，解得－ ＋2kπ＜x＜ ＋2kπ，k∈Z.所以函数的单调增区间为 (k∈Z)，不存在单调减区间.