3.3 相似三角形的性质和判定1
相似三角形的性质及判定(1)含答案 非常的全面
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC kA B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BCAHkS B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB D E BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是D E 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC D EF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
3.3 相似三角形的性质和判定 第1课时湘教版九年级上册
2.判断下列命题的正误： 1、两个等边三角形相似（ √ ） 2、两个直角三角形相似（ × ） 3、两个等腰直角三角形都相似（ √ ）
4、有一个角为50°的两个等腰三角形相似（ × ）
5、有一个角为100°的两个等腰三角形相似（ √ ）
A 【例2】 △ABC 中， D、E 分别是AB、 AC上的点， 且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似． AD·AC=AE·AB； B D E C （1）试说明:
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A′， ∠B=∠B′ ∴ Δ ABC ∽ Δ A′B′C′． (两角对应相等，两三角形相似)
【例1】已知：Δ ABC和Δ DEF中，∠A=40°，∠B=80° ， ∠E=80°，∠F=60°．求证：Δ ABC∽Δ DEF ．
A
40°
D
80° 60° E 80° 60° F B C 【解析】 ∵ 在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80° ， ∴ ∠C=180°－∠A－∠B=180°－40°－80°＝60° ∴ ∠B=∠E=80°，∠C=∠F=60°． ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）．
画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75°． ①用刻度尺量出这个三角形三边的长度； ②看看与同桌的三角形的对应边是否成比例． 即如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角 相似 对应相等，那么这两个三角形_______．
相似三角形的识别方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角 对应相等，那么这两个三角形相似．（两角对应相等， 两三角形相似．） 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是 否 一定相似？
3.3
相似三角形的性质和判定
第1课时
1、理解相似三角形的概念； 2、理解相似比的概念及其意义； 3、通过探索，掌握相似三角形的判定定理1,并能应用 该定理解决有关数学问题．
九年级数学上册 3.3 相似三角形的性质和判定教案1 湘教版
九年级数学上册 3.3 相似三角形的性质和判定教案1 湘教版【教学目标】1.知识与技能：了解三角形相似及相似比的概念，会运用相似三角形的判定定理一判定两个三角形相似；掌握相似三角形周长之比、对应边上高线、中线以及对应角平分线之比都等于相似比。
2.过程与方法：引导学生通过观察以及动手测量实践，体验三角形相似的判定定理一；并在合作的基础上探究相似三角形周长之比、对应边上高线、中线以及对应角平分线之比都等于相似比这一特性。
3.情感态度与价值观：运用类比的方法，让学生体验知识的形成过程，从而增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】重点：三角形相似判定定理一及性质难点：运用三角形相似判定定理一判定两个三角形相似及性质的应用【教法与学法指导】学生自学——合作交流——教师释疑——检测反馈【教学过程】一、创设情境、导入新课(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(3) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？提示：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？带领学生画图探究；二、合作探究、解读交流知识点1：三角形相似判定定理一三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似． 如图所示：若△ABC 和△A 1B 1C 1三边满足 AB A1B1 = AC A1C1 = BC B1C1 ，那么 这两个三角形相似。
知识点2：相似三角形性质1. 相似三角形的周长之比等于相似比2.相似三角形对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的角平分线之比等于相似比三、课堂检测、迁移应用例1．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△EDF ． 例2，已知△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为1.5，若AB,为3，B 1C 1为4，AC 为8，求其余各边的长及各三角形周长。
相似三角形的性质及判定方法
相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
记为AA相似性质。
2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SSS相似性质。
3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。
具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
记为SAS相似性质。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。
即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。
三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。
已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。
根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。
根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。
由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
3.3(第七课时)相似三角形的性质
S ABC S ACD k 2 S A ' B 'C ' S A 'C ' D '
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k，它们的面积比是多少？
A D B
A/
D/ B/ C/
C
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
1.判断
练习
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个 三角形的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角 形的面积也扩大为原来的9倍．
A
B
C
（1）相似三角形有哪些判定方法？
定义，预备定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL)
（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？ 对应角相等， 对应角相等， 根据 对应边成比例； 定义； 对应边成比例； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 1 与ΔABC的相 似比是多少？
1 BC AD 2 1 B' C ' A' D' 2
1 k B' C 'k A' D' 2 k2 1 B' C ' A' D' 2
AD AB S△ ABC k S△ A'B 'C ' A' D' A' B'
3.3.1_相似三角形的性质和判定定理(1)
对应角相等即∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C
对应边成比例 相似三角形具有传递性
AD AE DE = = AB AC BC
练习
1.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为 AB=3cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 4︰3 的相似比是____; 2.若△ABC的三条边长为3cm、5cm、6cm,与其相似 的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么 24cm △A′B′C′的最大边长是_____; 3.若△ABC 的三条边长 3cm,4cm,5cm,且 △ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是直角三角形 .
3.3.1 相似三角形的性质 （一）
说一说 1.什么叫做全等三角形？ 2.全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？
3.怎样判定两Байду номын сангаас三角形全等？
4.一组三角形还存在其他关系吗？
说一说
A
B′
A′
C′
B
C
把 △ABC的边AB,AC分别缩小到原来的一半得到 △A′B′C′
想一想？
同学们想一想这两个三角形的边，角都有什么 关系？以及三角形之间存在怎样的关系？
顶点的对应性：对应顶点一定要写在对应位 置，这样可以准确地找出相似三角形的对应 角和对应边.
E
B D C
F
探究
1.如图所示如果△ADE∽△ABC，那么 哪些角是对应角？哪些边是对应边？对C 应角有什么关系？对应边呢？ E
2.如果△ABC∽△A1B1C1， △ 2，那 A A1B1C1∽△ D A2B2CB 么△ABC与△A2B2C2相似吗？为什么？由此可得相 似三角形有什么性质？
探究
A
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中一个重要的概念，理解相似三角形的性质和判定方法对于解题和应用数学非常有帮助。
本文将介绍相似三角形的性质，并讨论如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的性质1. 边长比例：两个三角形相似的充分必要条件是它们对应边长之比相等。
设两个三角形分别为ABC和DEF，若满足以下条件，则可判断它们为相似三角形：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 角度相等：两个三角形相似的另一个重要性质是它们对应角度相等。
即若三角形ABC和DEF满足以下条件，则可以判断它们为相似三角形：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
假设ABC 和DEF为相似三角形，且BC和EF为对应边，h1和h2为它们的高度，则有以下关系：h1/h2 = BC/EF二、相似三角形的判定方法1. AA（角-角）判定法：若两个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。
2. SAS（边-角-边）判定法：若两个三角形的两个对应边的比例相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形相似。
假设AB/DE =BC/EF，∠B = ∠E，可判断三角形ABC与DEF相似。
3. SSS（边-边-边）判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
即若AB/DE = BC/EF = AC/DF，可判断三角形ABC与DEF相似。
三、相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以测量高度。
例如，根据两个相似三角形的高度比例，可以利用已知的高度和对应的边长，求解未知高度的长度。
2. 图形放缩：相似三角形的性质使得我们能够进行图形的缩放。
通过改变相似三角形的边长比例，可以将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
3. 建模与设计：相似三角形的应用还可以用于建模和设计。
例如，在设计模型中，可以利用相似三角形的概念，按照一定的比例来缩放和调整图形的形状。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。
相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。
本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。
2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。
二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。
根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。
根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。
根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。
根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。
3.3(第二课时)相似三角形的判定1(SSS)
F
• 知识回顾
A
C B D
4相似三角形性质
对应角相等即∠A=∠D， ∠B=∠E ，
∠C=∠F；
对应边成比例
AC DF AB DE BC EF
F E
中 中 长 长
短 短
5相似三角形与全等三角形的异同 全等三角形 相似三角形 形状 相同 相等 相同 不一定相等
3cm
3.6cm 1.5cm 4.2cm 图 3-15 1.8cm 2.1cm
1、分别计算两个三角形对应边长度的比， 2、并比较对应角的大小．你能得出什么结论？
计算：
A B AB B C BC C A CA
= = =
1 2 1 2 1 2
， ， .
△ A B C 的三条边与△ABC的三条边对应成比例吗？
大小
联系：都是形状相同的两个或几个图形， 全等三角形是相似三角形的特殊情况。 区别：全等三角形要求大小相等，而 相似三角形的大小不一定相等。
三个角对应相等，且三条边对应相等的 两个三角形叫作全等三角形。 全等三角形 对应角 对应边 表示符号 相等 相等 相似三角形 相等 成比例
≌
∽
三个角对应相等，且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形
AC A'C ' 10 30 1 3
AB A' B '
AC A'C '
BC B 'C '
∴△ABC∽△A ' B ' C '
(三边对应成比例的两个三角形相似)
3.3相似三角形的性质和判定
AD 求 DB
A D B E
C
例.四边形DEFG是△ABC 的内接矩形.AM⊥BC，若 DG=2DE,AM=18,BC=20,求 矩形的周长。
A
AN DG AM BC
D B E
N
G
C M F
相似三角形的判定定理1:
三边对应成比例的两个三角 形相似. 相似三角形的判定定理2:
两角对应相等的两个三角形 相似.
2
E
3 2
C
B
相似三角形的判定定理1:三边对应成比 例的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2:两角对应相 等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3:两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似.
斜边和一条直角边对应成比例 的两个直角三角形相似.
练一练
Rt△ABC与Rt△DEF中， AB=8，CB=10,∠A=90°， DE=4，FE=5，∠D=90°， 则这两个直角三角形（ ） 相似
若找不到相等的角，则判断三边是否对 应成比例。
常见图形归纳：
A D B E
E A B E A
1
A D C
B
D
A D2 1 B E C
①
A D2
C
②
C
D C
③
④
B
⑤
B C
⑥
每个基本图形两个三角 形相似的条件:图①② 为DE//BC;图③为 ∠ACB=Rt∠,CD⊥AB;图 ④⑤为 ∠1=∠B,∠2=∠C;图⑥ 为∠C=∠D或∠B=∠E
练一练
AE 1.若 AB
F A E
则△AEF∽△ABC
B
C
AF AC
练一练
2.请你填入一个比例 式，使△ACD∽△BCA
三、相似三角形的判定及性质1
AB AC C C ， ' ' ' ' AB AC ' ' ' 求证：RtABC ∽ RtA B C
'
A
A
'
b
C
c
B
b
C
'
'
c
'
B
'
例5 如图，已知AD、BE分别是ห้องสมุดไป่ตู้ABC中 BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点
求证：（）AD BC BE AC 1 （2）AH HD BH HE A
引理 如果一条直线截三角形的两 边（或两边的延长线）所得的对应线 段成比例，那么这条直线平行于三角 形的第三边。
已知：如图，ABC中，点D、E分别在边 AD AE AB，AC上，且 ，求证：DE//BC AB AC
A D E
E
B
'
C
已知：在ABC和A B C 中，A A ，
' ' ' '
A B BC CA 已知：在ABC和A B C 中， ， AB BC CA ' ' ' 求证：ABC ∽ A B C
' ' '
'
'
'
'
'
'
A D E
A B
'
'
C
'
B
C
例4 已知D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB 的中点，求证： DEF∽ ABC
A
F
E
B
D
C
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。
本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。
2. 相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。
例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。
如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。
例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。
例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。
2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们是相似的。
例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。
例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。
例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
相似三角形的判定与性质1
4.相似三角形的判定 判定定理1:两角对应⑧ 相等 的两个三角 形相似. 判定定理2:两边对应⑨ 成比例 ,并且夹 角⑩ 相等 的两个三角形相似. 判定定理3:三边对应 11 成比例 的两个 三角形相似. 5.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应边上的高、中线和对 应角平分线的比都等于12 相似比 .
பைடு நூலகம்
CF = CB
.
.
点评 由证明过程我们发现，本题可以
1 有以下一般结论： AB 1 + CD 1 = EF
.
变式 如 右 图 , 平 行 四 边 形
ABCD的对角线交于点O，OE 交 BC 于 E ，交 AB 的延长线于 F ， 若 AB=a,BC=b,BF=c, 则 BE= .
过O作OG∥BC，交AB于G，显然OG 是△ABC的中位线， 所以OG= GB= 1 2
化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷.
题型二 直角三角形射影定理及应用
已知，如图，在梯形ABCD中， 例2
AD∥BC,AC⊥BD ，垂足为 E,∠ABC=45°，过 E作AD的垂线交AD于F, 交BC于G，过E作AD的平
行线交AB于H.
求证：FG2=AF· DF+BG· CG+AH· BH.
2,BG· 2, 由射影定理可知 AF· DF = EF CG = EG 分析 故考虑将FG=FE+EG,然后只需寻找EF· EG与 AH· BH的关系.
典例精讲
题型一 平行线分线段成比例问题
如图,已知AB∥EF∥CD, 例1
18 . 5
若AB=6 cm,CD=9 cm,则EF=
分析 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，
且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相 似三角形可求EF.
3.3相似三角形的性质和判定(第一课时)
相似三角形的性质和判定(第一课时)教学目标1、知识与技能：理解并掌握相似三角形的判定方法.2、过程与方法：以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到掌握相似三角形判定的方法的目的.3、态度、情感、价值观：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.教学重点：掌握相似三角形的判定方法教学难点：理解和应用相似三角形判定.教具：课件、多媒体展台教学方法：讲练结合、点拨与讨论结合学具：教学过程及教学内容设计：已知：如图，DE交AB、AC于证：△ADE∽△3.3相似三角形的性质和判定(第二课时)教学过程设计教学过程设计34.3相似三角形的性质和判定(第三课时)〔教学目标〕1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。
此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”⇒“类比”⇒“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
3.3相似三角形的性质和判定1课件
（一）创设情境，快乐起航
1、这两幅湖南省地图有何相同和不同之处? 2、在地图上找出你最想去的三个城市，顺次连接三个城市对应的 点，得到两个三角形，分别为△ABC和△A'B'C' 3、这两个三角形相似吗？
［设计意图］习题强化了学生对相似三角形定义、性质和判定定理1的理解、 把握及灵活运用，同时发展了学生的说理能力.通过练习可以反馈学生对知 识的掌握.教师要关注学生的思维、交流状态，注意引导，及时评价.
想一想： 王叔叔蛋糕店的生意很好，特别是三角形的蛋糕很 受附近小朋友的欢迎，他平常用的是一个三边长分 别为4cm、5cm、6cm的三角形模具，他还想要制 作一些和这个模具相似的三角形模具,其中的一边如 果为2cm,请你帮他算算它的另外两边长应是多少?
谢谢各位
六、教学评价
在课堂教学过程中，教师通过与学生的 问答交流，发现其思维过程，在鼓励的 基础上，纠正偏差，并对其进行定性的 评价.在学生小组讨论、交流、合作时， 通过观察，教师就个别或整体参与活动 的态度和表现做出评价，以此来调动学 生参与活动的积极性.教师还通过练习和 作业来检验学生学习的效果，并在讲评 中肯定优点，指出不足，查漏补缺.
（三）自主探究，合作学习
1、提出问题：相似三角形的三条边对应成比例这一条性质的逆 命题是什么？它是真命题吗？ 2、学生大胆猜想： 3、分组探究，验证猜想： ①在方格纸（方格边长为1个单位）上任意画一个格点三角形， 再画一个三角形，使它的三条边都是第一个三角形三条边长的 相同的倍数，（每小组至少画两种情况）； ②测量两个三角形的对应角. 判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似. 4、得出结论：
33相似三角形的性质和判定第1课时
6
【1】两个全等三角形一定相似吗？为什么？它与相似三角 形有什么关系？
两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应 边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以
两个全等三角形一定相似。全等三角形是相似三角形的特殊形式！
答：它们相似， 相似比为2:1
14
谢谢各位
15
下列结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
D
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
1 C.△ABC与△A′B′C′的相似比为 3
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为 1 4
12
试一试
三、已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相
似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE EF DF
4
想一想
2.由相似三角形的定义可知，相似三角形有哪些性质？
对应角相等，对应边成比例。 此性质用符号语言表示为：如果△ABC∽△ DEF，
那么（∠A= ∠D， ∠B= ∠E， ∠C= ∠F
）且（ AB BC AC ）。 DE EF DF
5
想一想
3.如图，根据相似三角形的判定定理1填写：
蓦然回首
什么叫相似图形？ 直观上，把一个图形放大（或缩小）
得到的图形与原图形是相似图形。
1
看书要求与目标
❖ 1.关起书来看能否说出所看书的主要内容； ❖ 2.关起书来看能否说出什么叫相似三角形？相似比？
能否用符号表示两个相似三角形？ ❖ 3.看能否从相似三角形的定义中说一说相似三角形
有哪些性质？ ❖ 4.关起书来看能否说出相似三角形的判定定理1？能
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相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 即：如果△ ABC ∽△ABC 那么，∠A′=∠A ，∠B′=∠B，∠C′=∠C，
AB = BC = C A . AB BC CA
相似三角形的对应边的比k叫作相似比.
例1 如图3-16，已知△ ABC ∽△ABC，并且 AB =3cm，AB=2.4cm，BC=1.6cm，∠B=65°， ∠C=75°. 求 BC 的长，以及∠B′，∠A′的度数？
图3-16
再探新知
同学们阅读教材71页 “探究”部分
如图，△ABC的边AB，BC，CA的长度， 与△ ABC 的边 AB ， C ， A 的长ຫໍສະໝຸດ C B 如图所示：3cm
3.6cm 1.5cm 4.2cm 1.8cm
2.1cm 图 3-15
相似三角形的判定定理1
判定定理1 如果一个三角形的三条边 与另一个三角形的三条边对应成比例，那么 这两个三角形相似．
相似三角形的性质和判定 1
情境引入
同学们阅读教材 71页 “说一说”
探究新知
什么样的两个三角形叫做相似三角形？ 三个角对应相等，且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形．
如果△ ABC 与△ABC 相似 那么记作 读作 △ ABC ∽△ABC， “△AB C 相似于△ABC ”.
证明： AB = 2 , BC = 2 , AC = 2 ,
DE 3 EF 3 FD 3
AB = BC = AC = 2 , DE EF FD 3
∴ △ABC∽△DEF.
1 似. 三边也对应成比例，其相似比为 2 .
3. 已知△DEF∽△ABC，且∠A=50°，∠B=20°， 求∠F的度数.
答： ∠F=110°.
4. 已知：在△ABC与△DEF中，AB=2.2cm， BC=1.6cm，CA=3cm；DE=3.3cm，EF=2.4cm， FD=4.5cm. 求证：△ABC∽△DEF.
判定定理1可以简单说成：
三边对应成比例的两个三角形相似．
例2 图3-17中的两个三角形是否相似？为 什么？
图3-17
当堂练习
1. 任意两个等边三角形是否相似？为什么？
答：任意两个等边三角形相似.
三边对应成比例.
2. 三角形的三条中位线围成的三角形与原三 角形是否相似？为什么？
答：三条中位线围成的三角形与原三角形相