对一道高考数学题的多角度思考
高考数学祝福语和鼓励的话
高考数学祝福语和鼓励的话
1. 祝福你们高考数学考试顺利，心态稳定，发挥出最佳水平，拿到理想的成绩。
2. 做题时注意细节，不要急于求成，耐心思考，认真审题，相信自己的能力，一定能解决难题。
3. 数学考试并不可怕，只要你平时勤奋，认真学习，掌握基本知识和技巧，就能轻松应对。
4. 记得做完每一道题后，要认真检查，防止粗心大意带来的失误，保证答案正确。
5. 高考数学考试中，要充分发挥自己的优势，抓住分数较高的题目，争取拿到更高的总分。
6. 不要紧张和焦虑，保持平静的心态，心态好了，一切都会变得容易。
7. 不要放弃任何一个机会，认真对待每一道题目，相信自己的能力，勇敢前行。
8. 数学考试中，要注重思维的发散性，多角度思考，灵活运用所学知识，创造性地解决问题。
9. 不要被题目中的难点所吓倒，要敢于挑战自己，勇往直前，克服难关。
10. 最后，祝愿你们成功，拿到自己满意的成绩，迈向美好的未来，实现自己的梦想。
多角度探究圆锥曲线中的定值问题——以２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题为例
二次曲线系方程可设为llBD ＋λ
lAB lAD ＝０．
设直线 AP :
x＝my－２,
AQ :
x＝ny－２,
PQ :
y＝
易 知 椭 圆 在 点 A 处 的 切 线 方 程 为x＝
k(
x＋２)＋３．
,
由引理可知过点
－２
A,
P,
Q 的二次曲线方程可设为
(
(
(
x＋２)
kx－y＋２
k＋３)＋λ(
x－my＋２)
９＋４
k２
１
１
２
－８
k２ ＋１８
３６
k２
,
．
yQ ＝
９＋４
k２
９＋４
k２
２
２
设 直线 PQ 方程为y＝k(
x＋２)＋３,将点 P ,
Q的
同理,可得 xQ ＝
２
坐标分别代入直线方程,可得
１２
k２
６
k１ ＋３６k＋２７＝０,
１ －３
{
１２
k２
６
k２ ＋３６k＋２７＝０,
２ －３
即 k１ ,
k２ 是方程 １２x２ －３６x＋３６k＋２７＝０ 的 两 个 根,
x１ ,
a＞
y１ )在 椭 圆 ２ ＋ ２ ＝１(
a b
b＞０)外,过点 P 可以作两条直线与椭圆相切,连 接 切
点 A,
B ,称线段 AB 为 切 点 弦,则 切 点 弦 所 在 直 线 的
x１x y１y
方程为 ２ ＋ ２ ＝１．
我们将 点 P 和 切 点 弦 分 别 称 为
a
b
椭圆的一对极点与极线 [１]．
让学生的个性品质在难题突破中得到升华--一道高考数学压轴题的突破感悟
一 、选题原则 ，导向为先
平常每次考试，学生都很难突破此类题.久而久之， 学生心理上已经将其归为难题了. 加上 2013年高考，命 题者将传统的直线与圆锥曲线题前移后，此题也确实承 载了压轴的重任.而用导数研究函数的性质是新课标倡 导的理念，也将其确定为核心知识，难怪高考要重 点 考 查这方面的内容了.
对一道高考数学题解法的探讨及感悟
．
（ 一２ ａ ＋３ ） ≥０ ． 所以ｎ ＝÷ ．
‘
一 Ⅱ（ ３ ２ 。 ＋ ） ＋ ＋
２ ｆ 一 ・ １ ≤０ （ ＊） 看 作 关 于 ａ的一 个 一 元 二 次 不 等 式 ．
当 ＞ ０， 由 △： （ ＋ 。） 一 ４ Ｘ （ ＋ 。 一＿ 丁一 １） 一
对 一追 道 高 局 考 数 学 题 解 法 的 探 讨 及 感 悟
■ 蒋 健
２ Ｏ １ ２年 浙 江 高 考数 学 （ 理） 第 １ ７题 ： 设 ｎ ∈Ｒ， 若 ＞ Ｏ ， 均
有 ｒ（ “ １） 一 １ ］（ 一“ 一 １ ） ≥ｏ ， 则 ｎ 一 ．
相对 于 基 础 一 般 的 学 生 来 说 比较 容 易 想 到 了 ， 入手 点 比 较低 ， 但 如 果 对 题 目 的理 解 不 够 透 彻 ， 容易造成“ 无解” 的 错 误
（ １ ） 求 （ ） 的单 凋 区间 ； （ ２ ） 求 所 有 的实 数 “ ， 使得 ｅ ｌ ≤
１
所以由÷
“ ｉ
一（ ｎ 一１ ） 一ｎ ， 得ｎ 一＿ 昙 Ｉ ．
Ｌ
厂 （ 丁 － ） ≤ｅ 对 ［ １ ， ｅ ］ 恒成立． 仅对本题第（ ２ ） 小 题 作 出解 答 ．
（ ． ２ ｆ 一 ２） （ 一３ ＋ ２ ）一 ０ ． 易 知 在 ＞ ０下 一 ３ ４ － ２＞ ０，
反思 ： 特殊 值 法 简 洁 合 理 快 捷 ， 是 解 决 选 择 题 和 填 空 题 行
之有 效 的一 种 好 方 法 ， 但 若 本题 不是 客 观题 ， 则 又 该 如 何 解
认识 ．
全方位多角度多视角--道高考题的多解研究
下解法 K 解法 5 :利用公式asin"+1cos"= " a 2 +12sin("+#)■ 由于/ = " 3 cos" +sin"=2 sin("+#)， 则 l/l !2,也 就 是说2 ! I / - 4 I! 6 ， 则距离( 的最小值为" T . 解法 6 :用万能公式代换■令tan ! =)， 则 cos"= 士 ， 2 1+)2
一元二次方程:4$2 -2 ( 4 ± " T /)y + ( 4 ± " T /)2-3=0,由 于方程必定有实数解， 故判别式$ & 0 ， 即 4 ( 4 ± " T /)2 -16[ ( 4 ± " T /)2 -3 ]&0. 求解此不等式， 且/ & 0 得到/ ' [ " T ， 3 " T ]， 则/ 最小值" 2 . 通过此求解过程知用此初中所学的判别式法不涉 及到分类讨论， 并且具有一定的普适性. 解法3 :绝对值的范围由"+$直 接 决 定 ， 故可以直接 对"+$的范围进行求解.由于条件"2 +3$2 &3都是平方项， 故 可以联想到对"+$进行平方， 即("+$ )2 ="2 +2"$+/. 由于直接利用基本不等式得到的结果"2+2"$+$2( 2("2 -/)， 此式子与条件没有直" 2 -1%"2 -
$2)-$2 =( 1-% )"2 -$-
横看成岭侧成峰 远近高低各不同——2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析
数理化解题研究2021年第01期总第494期横看成岭侧成峰远近高低各不同2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题的多角度分析章显联(浙江省绍兴鲁迅高级中学312000)摘 要：本文对2020年高考数学浙江卷第19题线面角问题进行多角度分析：非坐标形式的向量法(基底法)、三余弦定理法、等体积法、纯几何法、空间直角坐标系法.给出了复习的两个建议：关注最小，秒杀线面；重视非坐标形式的向量法.关键词：非坐标形式的向量法；线面角；两个原理中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)01 -0036 -04一、典型考题所成角为0 ,由已知，得0C 与平面DBC 所成角也为0.由公式，得例1（2020年浙江第19题）如图1,在三棱台ABC-DEF 中，平面 ACFD 丄平面 ABC , /ACB - /ACD -45°,DC -2B C.(1) 证明：EF 丄DB ；(2) 求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.本题主要考查空间直线互 相垂直的判定和性质，以及直 线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思 维能力，平面与空间互相转化 能力,几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强 的中档题.笔者认为此题无论图1是试题难度、试题背景、命题立意,还是对数学核心素养 的考查，都很到位,可谓简约不简单.它也是一道解题训 练的优质题,横看成岭侧成峰，很有研究价值.解法1非坐标形式的向量法(基底法)过点D 作D0丄AC 于点0,以｛ C B ，C B ,CD ｝为基底. 不妨设 DC - 2B C -2,贝V DB - 3 , C0 - 2 , / 0CB -：,/0CD - n , /DCB - n ,设平面DBC 的法向量为n - %-CD -0,（• C B -0 得｛2% + y + 4z - 0,% + y + z - 0.C O + y C B + zC B ，贝V 由所以n - -3 C0 +2 B + CD.设直线DF 与平面DBC解法2三余弦定理法过点D 作D0丄AC 于点0,由已知,得0在平面DBC 的射影H 在/DCB 的角平分线上,设直线DF 与平面DBC 所成角为0,由已知,得0C 与平面DBC 所成角也为0.由三余弦定理，得 cos n - cos n • cos 0,cos 0 - f •463所以sin 0 -耳.解法3等体积法.过点D 作D0丄AC 于点0,设直线DF 与平面DBC 所 成角为0,由已知，得0C 与平面DBC 所成角也为0.由 % - DBC 二 % - 0BC ，解得 h 二专,sin 0 二豊二专.解法4坐标形式的向量法以0为原点,0D 为Z 轴,0C 为Y 轴,在平面ABC 内, 过点0作0C 垂线为Z 轴，易求D ,C ,B 坐标，从而求得平面DBC 的法向量，利用线面角公式sin 0 - 3 •解法5纯几何法分析(1)题根据已知条件，作DH 丄AC ,根据面面垂直，可得DH 丄BC ,进一步根据直角三角形的知识可判断收稿日期：2020 -10 -05作者简介:章显联(1972. 12 -)，男，浙江省龙港人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.—36—2021年第01期总第494期数理化解题研究出厶BHC是直角三角形，且Z HBC_90°,则HB丄BC,从而可证出BC丄面DHB,最后根据棱台的定义有EF〃BC,根据平行线的性质可得EF丄DB.（2）题可先设BC_1,根据解直角三角形可得BH_1,HC_2,DH_2,DC_2,DB_3,然后找到CH与面DBC的夹角即为Z HCG,根据棱台的特点可知DF与面DBC所成角与CH与面DBC的夹角相图2等，通过计算乙HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC所成角的正弦值.二、考题赏析本题建系有些困难,不存在明显的过同一点的两两垂直的直线.这种情况下，非坐标形式的向量法（基底法）显得更实用.本题解法以｛CO,C B,CD｝为基底，因为它们不共面长度可求,且它们的夹角也可求.应用此法，可使求解过程更自由.若CO,C B,CD是单位向量且两两垂直,就是通常的坐标形式的向量法了.坐标形式的向量法可以看作是非坐标形式的向量法的一种特殊情形.解法2中0在平面DBC的射影H在Z DCB的角平分线上，利用三余弦定理可求出0C与平面DBC所成角.B图4三正弦定理（最大角定理）设二面角M-AB-N的度数为Y,在平面M上有一条射线AC,它和棱AB所成的角为0,和平面N所成的角为//a,贝V sin a_si叩•sin y.（为了力便于记忆，我们约定:0为线棱角,a为线面角，Y为二面角）证明如图4,C0丄平面N,0B丄AB,BC丄AB,0C△0BC,△0AC,△ABC均为直角三角形,sin y_,si叩_BCBCAC，sin a_器，易得sin a_sin S•sin y.说明由sin a_sin S•sin y且sin S W1,知sin a W sin y,a W y，所以二面角的半平面M内的任意一条直线与另一个半平面N所成的线面角不大于二面角,即二面角是线面角中最大的角.若平面斜线上异于斜足的点在平面上的射影不易确定，则可转换为其他点如是操作或利用等体积法求出垂线段的长，利用公式sin O_h求得.如本题解法3.其实不管是纯几何法还是坐标形式的向量法,都能解决线面角问题，高考试题的参考答案一贯都是纯几何法与坐标形式的向量法,每种方法的学习都可促进学生能力的提高,只是各有侧重.如解法4与解法5.三余弦定理（最小角定理或爪子定理）设点A为平面a上一点，过点A的斜线在平面a上的射影为B0,BC为平面a上的任意直线,那E么Z ABC,乙0BC,乙0BA三、复习建议三角的余弦关系为cosZ ABC图3_cos Z0BC•cos Z0BA.即斜线与平面内一条直线夹角0的余弦值等于斜线与平面所成角a的余弦值乘以射影与平面内直线夹角O的余弦值,cos0_cos a-cos O.（为了便于记忆,我们约定:0为斜线角,a为线面角,O为射影角）证明如图3,^0AB,△0BC,△ABC均为直角三角形,cosQ BCAB，cosaB0AB，cosO B0，易知cosQ_cos a•cos O，得证.说明这三个角中，角0是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之积.斜线与平面所成角a是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角.1.紧扣最小，秒杀线面在研究空间角的最值与求值问题时，我们应关注最大角与最小角定理,三余弦公式与三正弦公式.这样的考查在近几年的学考、高考试题中已多次出现：例2（2019年浙江高考第8题）设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角为a,直线PB与平面ABC所成的角为S,二面角P-AC-B的平面角为Y，则（）.A.S<Y,a<yB.S<a,0<yC.S<a,y<aD.a<0,y<0解法1由最小角原理，得S<a，记二面角V-AB-C的平面角为y'（显然y_y'），由最大角原理，得S<y，故选B.解法2（特殊位置）取V-ABC为正四面体,P是棱VA上的中点，算出a,0,y的正弦值，可得选项B.例3（2018年浙江高考第8题）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段—37—数理化解题研究2021年第01期总第494期AB上的点（不含端点）,设SE与BC所成的角为O],SE 与平面ABCD所成的角为O2,二面角S-AB-C的平面角为O3,则（）•A.O1W O2W O3B.O3W O2W O1C.O1W O3W O2D.O2W O3W O1解法1作出三个角，通过定量计算得出答案为D.解法2由最小角与最大角原理知：O1M O2,O3M O2,故选D.例4（2014年浙江高考第17题）如图5,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM-移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角O的大小•若AB=15m,图5AC=25m,Z BCM=30°,贝卩tan O的最大值解析由线面角W面面角,求tan O的最大值转化为求二面角M-AC-Q的平面角•易求最大值为5j•例5（2018年11月浙江学考）四边形ABCD为矩形，沿AC将A ADC翻折成A AD'C.设二面角D'-AB-C 的平面角为O,直线AD'与BC所成的角为O1,直线AD'与平面ABC所成的角为O2,当O为锐角时，有（）•A.O2W O1W OB.O2W O W O1C.O1W O2W OD.O W O2W O1解析由最小角原理，得O1M O2,由最大角原理，得O M O2,下面比较O]与O的大小即可•故选B.例6（2018年全国高考n卷理科第20题）如图6,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=4,0为AC的中点•（1）证明：PO丄平面ABC；（2）若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面图6PAM所成角的正弦值.解析（1）略.（2）由题意，知线棱角Z CPA=60°,二面角M-PA-C为30°，由三正弦定理，得sin a=sin60°sin30°=例7（2009年浙江高考理科第17题）如图7,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点•现将△AFD沿AF折起,使平面—38—ABD丄平面ABC.在平面ABD内过点D作DK丄AB,K为垂足•设AK=£,则t的取值范围是•」___E.$____C d/一A B A K B图7解析由三余弦定理及已知，得cos Z DAF= cosZ DAK・cosZ BAF,又Z DAF+Z BAF二;，则cos Z DAK=tan Z BAF.在Rt△DAK中t=cos Z DAB,因此t=tanZ BAF,又由折叠前的图形，知0<Z CAB<Z BAFn<Z EAB=；.4所以tan Z CAB<tan Z BAF<tan Z EAB.所以1<t<1.考查这类空间角的大小是命题者难以割舍的情结,其本质是考查线面角与面面角定义的合理性,是考查学生数学核心素养的有效途径•2.非坐标形式的向量法非坐标形式的向量法比坐标形式的向量法应用更自由，更广泛•相比较纯几何法可避免令人深感畏惧的辅助线的添加技巧等.当然,解题方法中的选择也是当用则用，不分彼此,有时多种方法可揉合于同一道题中,特别是向量与几何的紧密联系与转化•应用非坐标形式的向量法解题的基本步骤：（1）会选基底.只需要不共面的三条线段长度可求，且它们的夹角也可求即可.（2）会表示•会用基底表示其他向量,一般只涉及向量的三角形式及其推广（闭合回路）,数乘与平行,数量积与垂直两个定理•特别是要掌握好平面法向量的求法，方法可参考高考真题解法1•（3）会用公式•运算过程中无论是平面向量还是空间向量操作完全一致，运用的公式与坐标形式的向量法一致.笔者尝试用非坐标形式的向量法研究高考数学卷，发现非坐标向量法作为解答立体几何的方法有着诸多的可取之处.例8（2018年浙江高考第19题）如图8,已知多面体ABCA1B1C1中，A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC, Z ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.（1）证明:AB】丄平面A]B]C]；（2）求直线AC】与平面ABB]所成的角的正弦值.解析以｛BA,B C,B—｝为基底，可证明（1）,也可求2021年第01期总第494期数理化解题研究得直线AC]与平面ABB1所成的角的正弦值为晋•例9(2019年浙江高考第19题)如图9,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1丄平面ABC,/ABC-90°,/BAC-30°,A1A二A1C-AC,E,F分别是AC,A]B]的中点(1)证明：EF丄BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.解析以｛E b]c B,C B｝为基底,可证明(1)，也可求得直线EF与平面A]BC所成角的余弦值是3•我们研究的向量是自由向图9量，运用非坐标形式的向量法无需考虑建立空间直角坐标系所需要的特殊要求,使解题过程更自由•例10(2009年浙江高考理科第17题)如图10,在长方形ABCD中,AB-2,BC-1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点•现将△AFD沿AF折起，使平面ABD丄平面ABC.在平面ABD内过点D作DK丄AB,K为垂足•设AK-t，则t的取值范围是•图10解析以｛K4,KD,KF｝为基底，设DF-m,抓住折叠过程中的不变量AD-1,AB-2,由于平面ABD丄平面ABC,DK丄AB,从而DK丄平面ABC.由DF二D A+AF二d K+k A+AF，得m2二(d K+K4+AF)2.化简,得mt-1,即t——.由1<m<2,得<t<1.m2利用非坐标形式的向量法进行的上述解答,化动为静，简捷别致，令人耳目一新.例11(2000年全国高考理科第18题)如图11,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且/C1CB-/C1CD-/BCD-60°.(1)证明：C]C丄BD；3(2)假定CD-2,CC]-3，记Bi Ai图11面C]BD为a,面CBD为0,求二面角a-BD-0的平面角的余弦值；(3)当CD的值为多少时，能使A]C丄平面C]BD?请给出证明.解析以｛Cc1，CD,C B｝为基底，则CA]-C c]+CD+CB.(1)由BD-CD-CB,得C2C・BD-0,所以C2C丄BD.(2)易知平面a的法向量为C B；--8CC]+CD+C B，所以平面S的法向量为n--4CC]+CD+C B,从而求得a-D-S的平面角的余弦值为3•(3)当CD-1时,能使A]C丄平面C]BD.设CD-2,可证A]C丄BD,再由A]C丄BC2求得CC2-2.例12(2015年浙江省高考理科第13题)如图12,三棱锥A-BCD中，AB二AC二BD二CD-3,AD-BC-2,点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是•解析以｛BA,BC,BD｝为基底，在△ABD,由余弦定理得cos图12/ABD-7,同理得cos/CBD-[,cos/ABC-[,BA・933B C-2,BA・B D-7,B C・BD-2.用基底表示A N,C M,AN--BA+2BC,C M-2(BD+BA-2BC),异面直线AN,CM所成的角的余弦值是简]CM-T•平面向量仅是空间向量的一种特殊情形•“平面向量”可向“空间向量”自然转化.用向量方法求解空间角度与距离问题,为某些位置关系的判断问题创立了一种新的方法•在向量的运算中,要注意数形结合,灵活运用图形的几何意义、向量的几何意义去解题.《新课程标准(2017年版)》对空间向量的应用提出了更多、更高的要求,可见非坐标形式的向量法用于解决立体几何问题,完全符合新课程标准对学生的要求•如何使非坐标形式的向量法成为学生解决立体几何问题的又一个通用的好方法,还需要我们建一步地探索与总结•参考文献:[1]章显联.高考复习要注意回归教材[J].数理化解题研究，2020(13)：15-18.[责任编辑:李璟]—39—。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思我们先来看一下压轴题的特点。
压轴题通常是一道较为复杂、综合性较强的数学题目，需要运用多种数学知识和技巧进行综合运用。
压轴题往往要求考生运用数学知识解决现实生活中的问题，具有较强的实际应用性。
压轴题的解题过程常常需要一定的创新和思维深度，考查考生的数学建模能力和问题解决能力。
压轴题在一定程度上能够较全面地反映考生的数学素养和综合运用能力。
对于高考数学卷压轴题，教育部门和评卷人员通常会根据题目难度和考生答题情况对分数进行适当调整，以保证公平公正。
这也使得压轴题成为一种重要的教育评估工具。
通过对压轴题的考查，可以全面评估考生的数学能力和素养，促进教学质量的提高和学生数学素养的全面发展。
压轴题的设置也对教学有着积极的意义和影响。
一方面，压轴题的综合性和实际应用性能够激发学生学习数学的兴趣。
学生在解决复杂问题的过程中，不仅能够提升数学技能，更能够培养解决问题的能力和信心，促进学生的全面发展。
教师在备课和教学过程中，也可以通过研究压轴题的设置和解题方法，引导学生掌握数学知识，提高数学思维能力，提升教学质量。
压轴题也存在一些问题和挑战。
由于压轴题的综合性和难度较大，一些学生在面对这类题目时可能会感到困惑和沮丧，甚至影响考试发挥。
一些教师可能会为了迎合考试需求，过度注重压轴题的应试技巧和解题方法，忽略了对基础知识和思维能力的培养。
压轴题的设计和评分标准可能存在一定的主观性和不确定性，需要进一步完善和规范。
针对以上问题和挑战，我们可以从以下几个方面进行改进和完善。
教师在教学过程中应更加关注学生的数学基础知识和数学思维能力的培养，引导学生通过多样化的学习方式和实际应用，提升数学解决问题的能力。
教育部门和评卷人员应该在压轴题的设计和评分标准上加强规范和公正，确保对考生数学能力的全面评估。
学生本身也应该树立正确的学习态度，培养自主学习和解决问题的能力，以更加从容地应对高考数学卷压轴题。
对一道高考数学压轴题的几点思考——以2019年江苏数学高考卷第19题为例
为
犕 ，求证：犕
４ ≤２７．
不难发现，前两 问 比 较 常 规，所 以 下 面 我 们 重 点
谈谈对于第 （３）问 的 思 考．分 析 问 题，我 们 发 现：目 标
是要证明 “犕
≤
４”，要 ２７
达
到
目
标，必
须
先
研
究
函
数
犳（狓）的极大值；要研究函数犳（狓）的极大值，必须知 道函数犳（狓）的单调性；要知道函数犳（狓）的单调性， 必须先研究犳（狓）的导函数的零点．接着，我们就执行 这个分析思路．
３
．
因为犳（狓１）＝狓３ １ － （犫＋１）狓２ １ ＋犫狓１，所以犳（狓１）
（ ） ＝狓３ １
－
（犫
＋ １）狓２ １
＋犫狓１
＝犳′（狓１）狓３１
犫＋１ －９
－
２（犫２ －９犫＋１）狓１
＋
犫（犫＋１） 犫（犫＋１）
９
＝
２７
－
２（犫－１２）７２（犫＋１）＋２２７（槡犫（犫－１）＋１）．
因为０＜犫≤１，所以犳（狓１）≤２２７＋０＋２２７≤２４７．
解：因为犳（狓）＝狓（狓 －犫）（狓 －１）＝狓３ － （犫＋ １）狓２ ＋犫狓，所以犳′（狓）＝３狓２ －２（犫＋１）狓＋犫．
因 为Δ ＝４（犫＋１）２ －１２犫＝（２犫－１）２ ＋３＞０，所 以犳′（狓）有２个不同的零点，设为狓１，狓２，不妨令狓１ ＜
狓２． 当狓 ＜狓１ 时，犳′（狓）＞０，当狓１ ＜狓 ＜狓２ 时，
（ ） （２）要证ｌｎ狓＋狓犪－１＞１犪 ≥ １ ２，狓 ＞１ 成立，
（含有狓 和犪两个未知量，考虑消元）即证ｌｎ狓＋狓犪－１ ≥ｌｎ狓＋２（狓１－１）＞１．（利用不等关系消犪）即证２（狓 －１）ｌｎ狓＋１＞２（狓－１）当狓 ＞１时成立．
一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示
图1
&+y = m
+ 8kx + 4 - 4m二0,由韦达定理得xx + x2 =
FT乔g 滤 - 2%2,于是有I x2
丁,又由看=2岗得衍 1 + 4k
8丨 I 二
8
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+4厂4山+缶
8 2
=2,当且仅当I k\ =*时等号成
处取得最大值4,即点B的横坐标的绝对值取得最大 值2.
点评：解法2主要由两点坐标间的关系代 入椭圆方程,通过“消元”思想把点B横坐标的平方 珂转化为关于参数m的一个二次函数，运用二次函 数性质快速求解出m以及丨靭丨的最大值，让人耳目
一新，瞬间觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一 村”.该解法有效地避免了分类讨论，巧妙地简化了 繁琐的代数运算，解法虽很优美，但难点是如何巧妙 “消元”、构造二次函数，基础一般的同学恐怕难以 想到这个思路.
3.换元法的视角（三角换元，快速突破） 解法3：由题意设点B坐标为（2 Jocose,
y/msinO）,于是由4P 二 2 PB 可得4（ - 40^cos&,3 2 v^sin^）,把力"两点坐标代入椭圆方程得
1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法) 解法1：如图1分类讨论:①当直线的斜率不
2020年第2期
中学数学研究
・17・
存在时，由题知4（0, -伍）上（0,丽）,于是得TH =9 ,xB = 0.
②当直线AB的斜率存 在时，设AP方程为y =蠢+
方程组
1y = kx + 1, x*12 2 =（i 〃）/
解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运 算的方法,体会数学思想，培养核心素养.本教学片 段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指 导和点拨.
一题多解在数学解题中的运用——以2010年高考数学(17)题为例
尹Ｂ ＝赢 由丢 ｓ詈 ｉ ｎ
‘
・
得。 ＇２ ＝ ５
ｄ
［ 解法 ６ 过 Ａ作 Ｂ ］ Ｃ的垂线 Ａ ，垂足为 Ｅ Ｅ 。
＝
，
而 ｓ Ｚ Ｄ ｓ ＺＡ Ｃ：｛。 ｉ Ａ Ｂ＝ ｉ Ｄ ｎ ｎ
、
由正 弦 定 理 得 ：
Ａ Ｂ
由 ｃｓ 。 ＺＡＤＣ＝ ，可 设 ＡＥ＝缸 ，Ｄ Ｅ＝３ ，Ａ ＝５ 。 ｘ Ｄ ｘ
１ ３ ５
：
翌
Ｄ Ｆ
＝２５。
ｃｓ Ｄ ｏＺＡ Ｃ＝导，求 Ａ 。 Ｄ
、
对这道高考题 ，可以采用如下多种解法 求解 ：
１ ｆＮ ＝ ） ＡＤ ￣
［ 解法 １ ］由题意可得 ：ｃ ｓ １ ｏＢ＝二 ｉＺＡ ７，ｓ ＝ ｎ ＤＣ＝ －。 ｉ －
从 而 ｓ Ｂ Ｄ ＝ｓ （ ＡＤＣ— ｉ ｎ Ａ ｉ ｎ Ｂ）
所 Ａ＝ Ａ 以Ｂ罢 。 。
１ ２
一 １ 。 ３
‘ｉ ｓｎＢ
Ｉ ． ｔｎＢ ‘ａ －
。
又 由余弦定理知 ｃ ｓ Ｂ Ｂ ｏＢ＝ Ａ Ｄ 一Ｄ
２ＡＢ ． ＢＤ
即
＝５
，
解 得 ：５ 。从 而 ＡＤ＝５ ＝５ ×５＝ ５ ２。
将 Ｂ 罢 Ｄ 人 式可 ：０Ａ １ ６Ａ Ａ： Ａ代 此 ，得２２Ｄ ０ ０Ｄ ７７ 一２ ０ ９
：
３ ×三 ：堕 ３
１ ３ １ ３
—
１ ３６ 一
学 园 ｌ Ｃ Ｄ ＭＹ ＡＥ Ａ
２１ ０ １年 ８月
高 中新课程 数学课 堂教 学 的思 考 与探索
吴伟 鸿 福 建 省晋 江 市 紫峰 中学
【 要】 摘 本文从问题驱动教学、数学建模教学、合理运用现代信息技术教学三方面，论述 了 高中新课程数学教学方法和ｉ
高考数学的解题思路技巧
高考数学的解题思路技巧高考数学的解题思路指导(一)选择题对选择题的审题，主要应清楚：是单选还是多选，是选择正确还是选择错误？答案写在什么地方，等等。
做选择题有四种基本方法：1 回忆法。
直接从记忆中取要选择的内容。
2 直接解答法。
多用在数理科的试题中，根据已知条件，通过计算、作图或代入选择依次进行验证等途径，得出正确答案。
3 淘汰法。
把选项中错误中答案排除，余下的便是正确答案。
4 猜测法。
(二) 应用性问题的审题和解题技巧解答应用性试题，要重视两个环节，一是阅读、理解问题中陈述的材料;二是通过抽象，转换成为数学问题，建立数学模型。
函数模型、数列模型、不等式模型、几何模型、计数模型是几种最常见的数学模型，要注意归纳整理，用好这几种数学模型。
(三) 最值和定值问题的审题和解题技巧最值和定值是变量在变化过程中的两个特定状态，最值着眼于变量的最大/小值以及取得最大/小值的条件;定值着眼于变量在变化过程中的某个不变量。
近几年的数学高考试题中，出现过各种各样的最值问题和定值问题，选用的知识载体多种多样，代数、三角、立体几何、解析几何都曾出现过有关最值或定值的试题，有些应用问题也常以最大/小值作为设问的方式。
分析和解决最值问题和定值问题的思路和方法也是多种多样的。
命制最值问题和定值问题能较好体现数学高考试题的命题原则。
应对最值问题和定值问题，最重要的是认真分析题目的情景，合理选用解题的方法。
(四) 计算证明题解答这种题目时，审题显得极其重要。
只有了解题目提供的条件和隐含的信息，确定具体解题步骤，问题才能解决。
在做这种题时，有一些共同问题需要注意：1 注意完成题目的全部要求，不要遗漏了应该解答的内容。
2 在平时练习中要养成规范答题的习惯。
3 不要忽略或遗漏重要的关键步骤和中间结果，因为这常常是题答案的采分点。
4 注意在试卷上清晰记录细小的步骤和有关的公式，即使没能获得最终结果，写出这些也有助于提高你的分数。
5 保证计算的准确性，注意物理单位的变换。
多角度思考__全方位探索_一道过定点问题引发的思考_夏娟
的找到解题方法． 一题多变将圆锥曲线中的
很多相关联 的 问 题 编 织 成 网，从 中 找 到 各 类
问题的相似 点 和 不 同 点，促 使 学 生 自 觉 进 行
知识体系整 理 与 思 想 方 法 归 纳，从 而 达 到 举
一反三，触类旁通的效果． 熟练记住题目中归
纳出的某些性质结论往往能使解题变得简易
方
程
x2 4
+ y2 2
= 1； 而在解决第（ 2）
问时却遇到
困难，选择恰当的自变量，写出圆的方程成为
解决这道题目的关键所在． 纵观当前课堂，老
师讲学生听的现象仍然十分普遍，所以多数
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
时，画 图 可 以 借 助 计 算 机 技 术，用 软 件 来 画 图． 举一个最简单的例子，如果要绘制函数解 析式“y = x2 － 2x + 1”的图象，只需打开《几何 画板》软件，在“数据”工具栏下选择“新建函 数”，输入函数解析式“y = x2 － 2x + 1”，最后 利用“函数工具”，即可进行绘制（ 如图 2） ． 运 用画图软 件，不 仅 效 率 很 高，而 且 非 常 准 确， 有利于学生形成良好的空间感．
再利用点 P 在椭圆上消去 y20 ，得 x2 + y2 － 2 +
2x0 y y0
=
0 过定点（
± 槡2 ，0） ．
思路 2 在苏教版选修 4 － 4 上曾介绍过
关于椭圆的参数方程，在这里不妨运用三角换
元，以此来减少自变量的个数，即设P（ 2cos θ，
槡2 sin θ） ． 接下来同思路1，可得圆的方程 x2 + y2
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思【摘要】本文旨在研究与反思一道高考数学卷压轴题，通过对题目背景和内容的分析，探讨解题方法，解析考生易错点，探讨思维能力的培养以及对考试制度的反思。
通过对这道题目的深入研究，我们可以发现其中蕴含的数学思想和技巧，提高学生解题能力。
也可以反思当前的考试制度是否能真正评估学生的数学能力，是否能激发学生的创新意识和思维能力。
通过本文的研究与反思，我们可以更好地理解高考数学卷的命题思路，为提高学生的数学学习能力提供一定的借鉴。
【关键词】关键词：高考数学卷、压轴题、背景分析、解题方法、考生易错点、思维能力、考试制度、反思、结论。
1. 引言1.1 对一道高考数学卷压轴题的研究与反思现在，让我们来掏探一道高考数学卷压轴题，通过深入研究和反思，探讨其中的奥秘和启示。
这道题目作为高考数学卷的压轴题，往往会引起广泛的讨论和争议。
我们将从题目的背景和内容分析开始，探讨这道题目的设计理念和考察重点。
接着，我们将深入研究解题方法，揭示其中的技巧和逻辑，帮助考生更好地应对类似类型的问题。
我们还将分析考生易错点，指出常见的误区和解题思路，帮助考生避免犯错。
在思维能力的培养方面，我们将探讨如何通过这道题目锻炼考生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。
我们将对考试制度进行反思，探讨如何更好地发挥高考数学卷的作用，促进学生全面发展。
通过对这道高考数学卷压轴题的研究和反思，我们将深化对数学学科的认识，提高解题能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
2. 正文2.1 题目的背景和内容分析高考数学试卷作为中国高等教育选拔的重要工具，一直备受广大考生和家长的关注。
每年的高考数学试卷都会有一到多道被称为“压轴题”的较为难题，这些题目不仅考察了考生的数学基础知识，还考察了他们的解题能力和创新思维。
在今年的高考数学试卷中，一道压轴题引起了广泛的讨论和研究。
这道压轴题是一道涉及数论和概率的复合题，内容相对较为复杂，题目设立了多个难点。
重视结构不良新题型 培养数学思维灵活性——对2020年全国新高考试卷中的结构不良型试题的分析与反思
2020年山东省高考数学是第一次以不分文、理科的形式出现，试卷坚持对数学学科基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求，作为第一年文理合卷，贯彻了“低起点，多层次，高落差”的调控策略，发挥了高考数学的选拔功能和良好的导向作用.笔者就全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第17题进行分析，谈谈自己的体会与反思.一、试题分析题目在①ac =3，②c sin A =3，③c =3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =3sin B ，C =π6，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.命题立意分析：该题为解答题，分值10分，命题立足于正弦定理和余弦定理等必备知识，考查学生的数学理解能力和数学探究能力.此题在题型上进行了调整，设计了开放性的结构不良型的新考试题型.它的引入既能增强试题条件的开放性，又能引导学生更加注重思维的灵活性及策略的选择，体现了对学生理性思维、数学探究能力等的考查.该题设计了三个开放性的可选择条件，并且问题的结论同样是开放的.学生容易初步确定问题解决方案，题目中所给的条件涉及正弦函数值，要考虑正弦定理，将角的关系转化为边的关系，代入余弦定理表达式中，得到边的关系b =c ，再结合所选条件进行求解.选条件①，将所得到的边的关系进行联立，解方程，就可以确定各边长；选条件②，根据边的关系，确定∠A =2π3，求出sin A ，进而确定各边长；选条件③，求出三边或者三角，与条件矛盾，得出结论.解：由C =π6和余弦定理，得a 2+b 2-c 22ab =.由sin A =3sin B 及正弦定理，得a=3b .所以3b 2+b 2-c 223b 2.所以b =c .选条件①时，由ac =3，得a =3，b =c =1.因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时c =1.收稿日期：2020-08-01作者简介：于莺彬（1979—），女，中学一级教师，青岛市教学能手，青岛市中小学学科带头人，青岛市名师，青岛市优秀教师，主要从事高中数学教学与实践研究.重视结构不良新题型培养数学思维灵活性——对2020年全国新高考试卷中的结构不良型试题的分析与反思于莺彬摘要：结构不良型试题是2020年高考数学全国新高考试卷中出现的新题型.对一道结构不良型试题进行分析与反思，提出针对高考复习的合理建议.关键词：结构不良；数学思维；新高考；高中数学··58选条件②时，由b=c，得B=C=π6，A=2π3.由c sin A=3，得c=b=23，a=6.因此，选条件②时，问题中的三角形存在，此时c=23.选条件③时，因为c=3b与b=c矛盾.所以，选条件③时，问题中的三角形不存在.由以上分析可以看出解答该题有三个关键点：由已知条件sin A=3sin B及正弦定理，得a=3b；由选择的方案结合正余弦定理得到一个正确结论；继续求出c值或者分析出矛盾.二、学生答题情况考后对班级学生进行调研，从学生的反馈来看，55%的学生思路清晰，能够由sin A=3sin B及正弦定理得出a=3b，选择正弦定理或者余弦定理来解决问题，求出三边或者三角，根据“两边之和大于第三边”“三角形内角和等于180°”“大边对大角，大角对大边”判断是否存在矛盾；或者求出边、角后研究与已知条件是否存在矛盾，从而判断问题中的三角形是否存在.综观学生反馈的答题情况，除了因为不重视规范性答题造成失分以外，笔者认为主要的失误有以下三个方面.其一，没有掌握正弦定理和余弦定理，不会根据条件恰当选择正弦定理或余弦定理，实现边角互化，达到解三角形的目的.其二，记错、记混特殊角的三角函数值，导致“会而不对”.其三，逻辑思维不完整，不知道从哪些角度判断三角形的存在性，导致“对而不全”.三、教学启示2019年12月，教育部考试中心正式发布了“一核”“四层”“四翼”的高考评价体系，在数学学科核心素养的基础上提出了理性思维、数学应用、数学探究和数学文化.2020年高考是山东、海南实行综合改革后的第一年高考，数学不分文理科，2021年又将有八个省实行高考综合改革，使用新高考试卷.该题的考查很好地诠释了试题注重基础性，通过开放性的题目设置，增强了学生的选择决策能力和数学探究能力，突出了理性思维、数学应用、数学探究的引领作用，坚持了素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向，落实了立德树人的根本目标.根据该题的分析及学生的调研反馈，笔者提出两点建议.1.应对新题型的建议（1）教师要建立对结构不良新题型的认知.综观数学教学现状，在教学中涉及的问题大多是结构良好的.这些问题条件清晰、目标明确，运用特定的数学模型就能解决.在教学中，教师运用大量结构良好的题型进行题海战术，注重总结问题的规律.对定理和概念进行熟练应用，掌握解题的一般模式，学生就可以取得不错的成绩.但是实际生活中的问题比较复杂、情境化强，往往条件不清晰，目标比较模糊，结构不够明朗，解决问题的途径多样，问题的答案不唯一，这其实就是我们所说的结构不良型问题.教师应该重视结构不良型问题在教学中的应用，将学生从被动的信息加工者变成主动的问题提出者和解决者.（2）提高学生解决结构不良新题型能力的教学策略.教师应该在教学中多设计结构不良型问题.笔者认为应该主要从以下三个方面来设计.一是结合真实的问题情境，以项目问题的形式，引导学生成为探索者、研究者、学习者，这种项目化教学可以激发学生的学习热情，使学生在解决真实问题的过程中学会与他人合作、交流，涉及的知识也不局限于数学学科知识，促进知识迁移和学科融合，培养学生的创新素质和实践能力，真正实现“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”.二是多设计开放性的课堂问题.例如，在新课讲授的过程中，不直接推导定理或者给出问题，而是给出开放性的问题，引导学生思考、探究，让学生找出新旧知识的内··59在联系，在探究中内化知识，最终转化为数学素养和能力.三是在单元复习中多运用结构不良型问题进行系统、科学的复习.例如，结合全国Ⅰ卷中的问题，重新构造结构不良型开放题.（全国Ⅰ卷·文18）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面积；（2）若sin A+3sin C，求C.可以尝试将该题的第（2）小题改编为：在①ab= 6+2，②c sin A=3，③c=3a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin A+3sin C=，且B=5π6，2.在教学中应该坚持三个注重（1）重基础，规范解题过程.2020年的高考数学试题尽管形式灵活多变，但是都以基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验为基础.因此，在教学中，要以《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）为基础，围绕教材，对重点内容强化复习，夯实基础知识，同时训练学生规范解题过程，尽量避免因步骤不全、审题不细、计算失误造成的失分.（2）重教材，挖掘数学本源.教材既是《标准》具体实施的基础，也是高考命题的源头活水，高三复习应立足教材、善用教材，对教材实施二次开发.首先，要重视教材上一些基础知识的形成过程.例如，借助单位圆建立一般三角函数概念形成的过程，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最值等性质；探索和研究三角函数之间的恒等关系；利用三角函数模型构建数学模型，解决实际问题；借助外接圆和向量证明正弦定理和余弦定理等.高考中的常考题型都源于这些知识的形成过程.其次，要加强对教材例题、习题的研究与创新.通过改编、重组、变式、拓展等方式充分挖掘教材上的典型例题、习题，做到一题多变、一题多解，注重对学生举一反三能力的培养.最后，要充分挖掘中国文化、生活材料与数学知识的联系.近年来，高考命题通过与文化背景的结合，增大了试题的阅读量，体现了对数学文化的重视.（3）重思想，提高数学能力.在对解三角形知识的考查中，我们也看到了对学生数学思想方法和能力的考查，这部分重点考查转化与化归、函数与方程、数形结合等思想，考查学生运算求解的能力和灵活变换的意识.因此，在教学和复习过程中，教师不仅要重知识传授，更要重思想渗透和能力发展，切忌随意拔高、盲目拓展，要让学生综合解决问题的能力在自我感悟中逐渐提高.参考文献：［1］于涵.新时代的高考定位与内容改革实施路径［J］.中国考试，2019（1）：1-9.［2］任子朝.从能力立意到素养导向［J］.中学数学教学参考（上旬），2018（13）：1.··60。
多角度破解高考数学压轴题
高考数学压轴题往往是难度最大的题目，需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维水平。
以下是一些多角度破解高考数学压轴题的方法：
1. 掌握基础知识：压轴题往往涉及到多个知识点，因此学生需要熟练掌握基础知识，包括代数、几何、概率统计等方面的知识。
只有掌握了这些基础知识，才能更好地理解和解答压轴题。
2. 训练思维方法：压轴题往往需要运用多种思维方法，包括归纳、演绎、分析、综合等。
学生需要通过练习，掌握这些思维方法，提高自己的思维能力和解题能力。
3. 掌握解题技巧：压轴题往往需要运用一些特殊的解题技巧，如构造反例、数形结合、参数设定等。
学生需要认真学习和掌握这些技巧，并在实践中加以运用。
4. 多做模拟题：模拟题是接近高考的题目，学生可以通过多做模拟题来熟悉压轴题的出题方式和解题思路。
同时，也可以通过模拟题来检验自己的学习成果和发现自己的不足之处。
5. 善于总结经验：学生需要总结自己在解题过程中的经验和教训，发现自己的不足之处并加以改进。
同时，也需要总结不同类型压轴题的解题思路和技巧，形成自己的解题方法和策略。
总之，破解高考数学压轴题需要学生具备扎实的基础知识、灵活的思维方法和丰富的解题经验。
只有通过多角度的训练和实践，才能提高自己的数学水平和解题能力。
2025新高考数学印象(三)结构不良题—引导学生多角度、开放性地思考问题【课件】
[解]
(1)由题意可得ba＝ 3， a2＋b2＝2，
解得ba＝＝1，3， 所以 C 的方程为 x2－
y32＝1. (2)由题意知直线 PQ 的斜率存在且不为 0，设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋
b(k≠0)，将直线 PQ 的方程代入 C 的方程，整理得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，
[解] (1)设 D(x，y)，C－p2，0，
由题可知|DF|＝x＋p2＝4⇒x＝4－p2，y2＝8p－p2.
则|CD|＝4 2＝ 16＋8p－p2，得 p＝4.
(2)由(1)知 D(2,4)，显然直线 AB 不平行于 x 轴，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设直线 AB：λy＝x＋m，Ay821，y1，By822，y2，
λy＝x＋m， y2＝8x
问题目标界定不明确
[例 2] 已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，抛物线的准线交 x 轴于 C， A，B，D 为抛物线上三点(其中 D 在第一象限)，|DF|＝4，|CD|＝4 2.
(1)求 p 的值； (2)已知 O 为坐标原点，李同学从条件①kOA＋kOB＝－2 出发，而刘同学从条 件②kADkBD＝a 出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线 AB 过同一 个定点”，试问如何设计实数 a 的值． [审题指导] 本题(2)问基于直线AB过同一个定点，但定点究竟是哪个点尚 不明确，需要从李同学的条件入手，得到直线过定点(0,4)，再结合刘同学的条 件，求得实数a的值．
⇒y2－8λy＋8m＝0，y1＋y2＝8λ，
y1y2＝8m.
李同学：kOA＋kOB＝y81＋y82＝8yy11＋y2y2＝8mλ＝－2⇒m＝－4λ， 即直线 AB：λy＝x－4λ，直线过定点(0，－4)． 刘同学：kADkBD＝yy8121－－24·yy8222－ －24 ＝y61y422y＋1y24＋－1146[－y14＋yy1＋22－y22y1y2] ＝m＋28＋4λ， 代入 m＝－4λ 可知 kADkBD＝4.因此，a 的值为 4. [微点拨] 目标界定不明确类题目有利于培养学生的求异思维、创新思维， 是培养创新性人才的有益尝试．解决此类问题需“顺藤摸瓜”，利用所给条件， 综合运用发散思维、逆向思维，结合所学知识，创新解决问题．
多角度审视 六法解一题
多角度审视 六法解一题——2013年高考题的解法探究陕西宝鸡凤县凤县中学 特级教师 薛野高考题中的选择题在最后一道题目的设置上都会以选择题中的“压轴题”形式出现，对于其求解需要较强是数学基本功和较强的转化、思维、分析能力.现对2013年高考重庆理科第10题的求解展现6种方法，望读者从中受益.【考题展现】在平面上，12AB AB ⊥uuu r uuu r ，121OB OB ==uuu r uuu r ,12AP AB AB =+uu u r uuu r uuu r.若12OP <uu u r ，则OA uu r的取值范围是（ ）A.⎛ ⎝⎦B. ⎝⎦C.⎝D.⎝ 【考题分析】本题考查的是平面向量的运算及范围问题.试题的设置中涉及到向量的垂直、向量的加法、向量的模及模的范围.试题语句表述很精练，但是内涵丰富，需要考生依据平面向量知识准确构建几何图形，深度挖掘已知条件，巧妙转化，利用平面向量问题求解的两种思维（即代数方法或几何方法）合理的构建等式或不等式关系，通过等式或不等式关系去解决范围问题.对于问题的转化角度不同，就会产生不同的解题方法. 【解法探究】探究一：根据条件知12,,,A B P B 构成一个矩形12AB PB ,以12,AB AB 为坐标轴建立直角坐标系(如图)，设12,,AB a AB b ==点O 的坐标为(),x y ，则点P 的坐标为(),a b ，由121OB OB ==uuu r uuu r 得()()222211x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，则()()222211x a y y b x⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，由12OP <uu u r 得()()2214x a y b -+-<，则221114x y -+-<，即2274x y +> ①又()221x a y -+=，所以22222121x y a ax a x ++=+≤++，即21y ≤， 同理由()221x y b +-=得21x ≤，所以222x y +≤ ②由①，②知22724x y <+≤，所以72<≤，而OA =uu r ，所以72OA <≤uu rD. 思维点拨：作出几何图形后，由于所给向量有垂直关系，所以就可以联想采用坐标法解决问题，故可以采用建系的思路（即代数方法）去完成.建好系后，需要利用有关量的坐标及相关的数学知识构建方程或不等式，然后进行相关量代换以达到问题求解.本法中的最大难点是如何求21x ≤和21y ≤，它涉及到均值定理，求解中不易想到.探究二：根据条件知12,,,A B P B 构成一个矩形12AB PB ,以12,AB AB 为坐标轴建立直角坐标系(如图)，设12,,AB a AB b ==点O 的坐标为(),x y ，则点P 的坐标为(),a b ，由121OB OB ==uuu r uuu r 得()()222211x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相加整理得()()22222222x y a b ax by +++--=，①由12OP <uu u r 得()()22104x a y b ≤-+-<，即()222210224x y a b ax by ≤+++--<②①代入②得()()222210224x y x y ≤++-+<，22724x y ∴<+≤，即2724OA <≤uu r ,故可得2OA <≤uu rD.思维点拨：同样是建系，但是本法的求解中采用了整体代换的思维，思维略有变化，难点也就易突破，运算量相对也较小，比探究一就容易完成一些，可见思维的重要性.探究三：根据已知可构造出如图所示的几何图形（其中点12,,,A B P B 构成一个矩形12AB PB ），22OB OP PB =+uuu r uu u r uuu r Q ,11OB OP PB =+uuu r uu u r uuu r，且121OB OB ==uuu r ，()()222212122OB OB OP PB OP PB ∴=+=+++uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ()222121222OP OP PB PB PB PB =++++uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r2222OP OP OP PA PA ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭uu u r uu u r uu r uu r ()2222OP OP PA OP OA =++=+uu u r uu r uu u r uu r ,222OA OP ∴=-uu r uu u r ,又12OP <uu u r ，210,4OP ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭,故27,24OA ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦uu r ,即2OA ⎤∈⎥⎝⎦uu r ，故选D. 思维点拨：本法采用了平面向量问题求解中的几何法去思考，这种方法需要准确作出几何图形，依据图形及已知构建等式关系，同时要深刻转化已知，寻找已知与未知的关系式，最后局解决问题.由于题中121OB OB ==uuu r是已知的，所以就寻找与它有关的等式关系，努力将问题向这个已知靠拢，同时也向所求靠拢，这里能否用好几何图形及向量的基本知识准确、巧妙的转化是问题求解的关键.探究四：根据已知可构造出如图所示的几何图形（其中点12,,,A B P B 构成一个矩形OAB 1P B212AB PB ）， Q 22,AO AB B O =+uuu r uuu r uuu r 11AO AB B O =+uuu r uuu r uuu r ,AO AP PO =+uuur uu u r uu u r给前面两式平方相加减去后面一式的平方得22222222211112++2+AO AB AB B O B O AB AB B O B O =+⋅+⋅uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r-222AP AP PO OP -⋅-uu u r uu u r uu u r uu u r ，又121OB OB ==uuu r uuu r ，22221+AB AB AP =uuu r uuu r uu u r ,所以22221122AO OP AB B O AB B O AP PO ⎡⎤=-+⋅+⋅-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2221122OP AB PO B P AB PO B P AP PO ⎡⎤=-+⋅++⋅+-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()21222OP PO AB AB AP PO ⎡⎤=-++-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22222OP PO AP AP PO OP ⎡⎤=-+⋅-⋅=-⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 又12OP <uu u r ，210,4OP ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭,故27,24OA ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,即2OA ⎤∈⎥⎝⎦uu r ，故选D. 思维点拨：本法同样是几何法，它是采用直接切入要求的问题，挖掘所求问题与已知的关系，由未知向已知靠拢的逆向思维去思考完成的.问题求解的关键仍是如何合理转化，如何用好数与形的关系及平面向量的有关知识.探究五：根据已知可构造出如图所示的几何图形（其中点12,,,A B P B 构成一个矩形12AB PB ），连接12,B B AP 相交于M ，则可知M 是12,AP B B 的中点，()()121122OM OB OB OA OP ∴=+=+uuu r uuu r uuu r uu r uu u r ,2211222OB OB OB OB ∴+⋅+uuu r uuu r uuu r uuu r 222OA OP OA OP =++⋅uu r uu u r uu r uu u r, ①又1122,OB OA AB OB OA AB =+=+uuu r uu r uuu r uuu r uu r uuu r()2121212OB OB OA OA AB AB AB AB ∴⋅=+++⋅uuu r uuu r uu r uu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2OA OA AP =+⋅uu r uu r uu u r()2OA OA AO OP OA OP =++=⋅uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r, ②又121OB OB ==uuu r uuu r ,所以结合①、②可得222.OA OP =+uu r uu u rOAB 1P B 2OAB 1PB 2M222OA OP ∴=-uu r uu u r ,又12OP <uu u r ,210,4OP ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭,故27,24OA ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,即22OA ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦uu r ，故选D. 思维点拨：由于平面向量问题多有几何图形背景，所以可以深挖图形的几何特点，合理的添设辅助线，让抽象的问题变的更直观，更利于思考.本题作出中线后，平面向量的加法法则就自现，这样构造等式关系就很易，将等式关系向已知转化及结合图形，深挖已知是本法求解的难点.探究六：根据已知可构造出如图所示的几何图形（其中点12,,,A B P B 构成一个矩形12AB PB ），连接12,B B AP 相交于M ，则可知M 是12,AP B B 的中点，1122,PB PO OB PB PO OB =+=+uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r Q ,()222212121222PB PB PO PO OB OB OB OB ∴+=++++uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r ,即22242PA PO PO OM =+⋅+uu r uu u r uu u r uuu r ,又,2PA PO OA OM OP OA =+=+u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r , ()()22222PO OA PO PO OP OA ∴+=+++uu u r uu r uu u r uu u r uu r ,即222PO OA +=uu u r uu r ,222OA OP ∴=-uu r uu u r ,又12OP <uu u r ，210,4OP ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭,故27,24OA ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,即2OA ⎤∈⎥⎝⎦uu r ，故选D. 思维点拨：同样是添设辅助线，采用几何法完成.由于试题中可以理解为“12,,OB OB OP uuu r uuu r uu u r ”是已知的，所以要求OA uu r的取值范围，关键是求PA uu r ，所以将问题向之转化，从而就产生了上述思路.本题的求解需要由简到繁（如12PA PB PB PO OA=+=+uu r uuu r uu u r uu r等）转化，需有较强的思维能力.本法也充分体现了思维的灵活性.总之平面向量问题的求解虽然有两种求解思路，但是遇到问题后，要依据题意灵活处理，问题的切入点不同，求解的难度会不同，望大家在今后的问题中多思善用. 注:本文发表于《高中生》OAB 1PB 2M。
数学试卷反思(通用9篇)
2.贵在方法，重在思维
评讲的过程，不应该只是繁琐的数学推导与演算，应谈化数学中非重要的一般性演算，突出数学方法，寓数学思想方法于具体的试卷评讲之中。
4.鼓励性
学生由于受知识水平、能力水平的限制，不可避免地会在答题时出现诸如答不出、答非所问、分析不透、表达条理不清等问题，为此，教师在剖析学生答卷中存在的问题时还应注意学生的积极性，要鼓励学生士气，激发学生学习的热情。
数学试卷反思篇4
这次考试之所以没有考好，总结原因如下：
1平时没有养成细致认真的习惯，考试的时候答题粗心大意、马马虎虎，导致很多题目会做却被扣分甚至没有做对。
在下一次考试中，我必须会尽自我最大的努力做到最好。
数学试卷反思篇2
这天，数学期中考试成绩出来了。看到自我可怜的分数，我感到很内疚。因为我作为班长、大队委，在学习方面没有给同学们做到好的榜样，没有起到模范带头的作用。而且，我失分的题都是一些简单的计算题。
当你问起我为什么错时，你们肯定会猜到我要说：因为马虎。但是我不会这样说，反而会说：知识掌握得不牢固。老师教了许多做题的方法，而我却用超常的思路解决一些简单的题，导致了错误。
二、评讲试卷，方法先行
1.照顾一般，突出重点
不管是单元测试还是综合测试，试卷都必须覆盖测试范围的绝大部分知识点，不同的知识点难易程度不同，在教材中的轻重地位也不同；不同的题型考查的能力层次不同，能力要求的侧重点也不同；不同题型的试题所描述的数学过程简繁程度不同，分析难度也不同。因此，在评讲试卷时，不应该也不必要平均使用力量，有些试题只要“点到为止”，有些试题则需要“仔细解剖”，对那些涉及重、难点知识及能力要求较高的试题要特别“照顾”；对于学生错误率较高的试题，则要“对症下药”。
横看成岭侧成峰——一道求轨迹方程考题的多角度探究
横看成岭侧成峰——一道求轨迹方程考题的多角度探究周胜;田羿
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2017(000)006
【摘要】平面解析几何的核心就是用方程的思想研究曲线,用曲线的性质研究方程.轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式.解析几何中求动点的轨迹方程问题是一个综合问题,涉及函数、方程、三角、平面几何等基础知识,是高考数学考查的重点内容之一.本文从不同角度探究了一道解析几何轨迹问题的七种解法,希望同学们能从中熟悉基本方法,拓宽解题思路,又能培养分析问题、解决问题的能力.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】周胜;田羿
【作者单位】广东省中山市中山纪念中学,广东中山528454;广东省中山市中山纪念中学,广东中山528454
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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由
得 ａ ２ ，＝ ， ＝ ／ ，故 椭 圆 Ｃ 的力 裎 ＝ ｃ ｌ６ Ｘ ３
为 ＋ 等手 Ｌ
（ 法二 ） 由条件知 ， （ ， Ｌ）故直线 峨 的斜率 为 Ｐ Ｌ
，
。
过点 Ｐ － ， ） （ ｃ 的椭 圆的切线方 程为 二 ＋ ＝ ， 上 １ 显
－ ０
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于 点 Ｑ ．
一
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ｒ
－ ２ ：， 。 得
＝， — 争 ７ ，
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Ⅱ Ｄ
（ 如果点 Ｑ的坐标是（ ，）求此时椭 圆 Ｃ的方 Ｉ） ４４ ，
程：
（Ｉ 证明 ： １） 直线 Ｐ Ｑ与椭圆 Ｃ只有一个交点．
ｙ
・
【 析 】Ｉ（ 解 （ 法一 ） ｐ 一 ，ｔ（】 ）代入 ＋ ） 点 （ｃｙ）ｙ ＞０ ，
黼 ２｛ ０ ２年 籀 ｛ ０期
Ｏ
在 Ｒ Ａ Ｎ ： 显然Ｉ ｌｌ Ｎ ｌ与上述所推出结 ｔ Ｍ Ｆ 中， Ｍ ＞Ｍ ， 论 Ｉ ２＝Ｍ ＭＦ ＩＪ Ｎ Ｉ ， 矛盾 所以假设不成立 ，故直线 Ｐ Ｑ
与椭 圆 ｃ只有一个交点．
如此 ，而且 第 （Ｉ Ｉ）问的实际背景 尤为深刻 ，从射影 几何的角度 看 ，其 实质是 ：椭 圆的焦点与相应 准线构
名 师 解 惑
对一道高考数学题的多角度思考 ｛： 。，，椭方为 ４ ：：故圆程 ， ２１ 得
￣ ａ ４， ２＝
■高 慧明
＋＝ 手１ ・
（ 四） Ｑ（ ， ， 法 设 ｍ） 由已知得
Ｐ ， ）则 ： （２， ） （ ， －ｃ ， ： － ， ． Ｐ ａ＿ （ ｃｍ） 由 ＦＡ
又 ： － ． ４…． ②
Ｃ
ｂ（ ， ，＞ ） ０ｂ ｃ ０ ……③
ｃ 将上式代入椭圆方程得 ｘ ２ｘ ｃ Ｏ 解得 ＝ ｃ ＿ ２ ｃ＋ Ｚ ， ＋ ＝ 一，
， ， ， ： 所以直线 Ｐ Ｑ与椭圆 ｃ只有一个交点． ， （ 三） 法 由已知得 Ｐ（ｃ ） 利用导数 知识 可得 一，
库面积建到最 大 ，此规 划是否符合规 定？
四
分析 ：这是 一个 实 际问题 ，给出 的条件 是几何 图形及其 要满足 的条 件． 首先 ．我们知道 临时仓库 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是平 行 四边形 ，且平行 四边形 Ａ Ｄ ＢＣ 的周 长是 ４ ０ 由于平 行 四边形 两对 边平 行且 相等 ，所 以 ＡＢ Ｂ ＝ Ｄ＋ ０ ｍ， ＋ ＣＡ ＡＣ ２ ０ １ ０ 建立 以 ＡＣ所在 直线为 轴 ，Ａ ＝０＞６． ｃ中点 为原点建 立直角 坐标
｛ 一 ・ＮＰ￣ Ｏ 以 线 的 Ｎ ＝＆ ， 直 方 Ｆ 所
然 Ｑ（ ，ｎ满 足上述 切线方程 ， ２） 也即过点 Ｐ的椭圆 切线就是直线 Ｐ 由椭 圆的切线性质可 知直线 Ｐ Ｏ， Ｏ与 椭 圆 Ｃ只有一个交点．
（ 四） 法 假设直 线 － 圆 Ｃ相交 ， ｑ椭 另一 个交点
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例题． 图 ，在一条直的 国道 同侧有 相距 １０米的 Ａ、Ｃ两处 ，点 Ａ、 如 ２
Ｃ到公路 的距 离分别是 １９米 、４ １ ７米 ． 拟规划建设 一个 以 Ａｃ为对角线 的
平行四边 形 Ａ Ｄ的临时仓库 ，且 四周 围墙 总长为 ４ ０米． ＢＣ ０ 根据公路 如何利用解 几知识解决面积最大问题 法以 及省公路管 理条例规定 ，建筑物离公 路距离不得少 于 ２ ０米． 若将临 时仓
系 ，可知 曰、Ｄ两 点在 以 Ａ、Ｃ为焦 点的椭 圆上 （ 除去两个点 ）． 其次 ，临时仓库 面积最大 ．即 ＡＢ Ｄ面积最大． Ｃ 什么时候 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ面积
最大？这是我们要解 决的一个难 点． 由于平行 四边形 Ａ Ｃ 的面积等 于两 ＢＤ 个三角形 Ａ ＤＣ的面积 ，即等于 ＡＣ乘 以高． 图形知 。当 Ｂ、Ｄ是 椭圆 观察 短轴的两个端点时 ，满足条件． ■ 再次 ，建筑物 （ 临时仓库 ）离公路距离不得少 于 ２ ，即求最 近点 ０米 Ｄ到公路 的距离是 多少 ，即可判 断规划是否 符合题意． 问题又可转化 为求
过 Ｆ 做 轴 的垂线 交 Ｉ 椭 圆 Ｃ的上 半部 分 于 点 Ｐ ．过 点 作 直 线 Ｐ 的 垂 线 交 直 线 ：
Ｎ Ｐ Ｎ－ ＿ ＮＹ ￣手１ Ｎ ＋ ・
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— —
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一
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（Ｉ（ Ｉ】 法一 ） Ｑ（ 设 ｃ ｉ ￣
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ｙ ， 上 ｌ 则 ） 口甘 ＿ ×
Ｋ、 过点 Ｍ 作 删 上Ｑ 垂足为点 Ｎ， 由椭 圆的第 Ｈ． ， 则
Ｐｃ口 为叽 —Ｆ ，以ｒ１ （， △ ＡＭ 所 槲ｒ＝ ＿譬 ￣ Ｑ ｌ Ｊ
ｂ
，
即 亡
８
，
二义 ，籍＝ｅ 圆离率 定得 书＋， 椭的心） ｅ为 （ ， ２ 以 即 ＝ ，Ｋ Ｈ ＝ ， 槲 由／ ， ＰＭ得 槲 ／
【 Ｍ］２１ 年高考安徽卷理科 ２ 题 ）如图， ｈ （ｏ２ Ｘ ０ 点
（ｃ０ ， （ ，） 别 一 ，） 一 ｃ０ 分
是 椭 圆 ｃ ： １ （
Ｑ 知 ・ Ｆ－ ，ｍ＝ ’ ： ，ａ ４ ． ，＝ ， 椭 Ｑ ＝ ． ２ ． ４２＝ ２ｃ １故 － ． － Ｏ
ｂ ０ 的左 、 焦 点 ， ＞） 右 经
点 Ｄ到 直线 （ 公路 ）的距离 ． 这里求直线方程 （ 公路所 在的直线 ）又 是一
童 其 林
个难点． 有两种思路 ：一是 由 （６ ， ，ｃ６ ，） 一 ００ （ ０ ，设公路所在 的直线方程为 ） ｏ
ｙｋ＋， 由 、 ＝ ｘ ｂ再 ｃ到直线 的距离 分别为 １９ １ ｍ、４ ｍ， ７ 建立 关于 、ｂ的二元
一
次方程组 ．再 求出 ｋ 、ｂ的值 ，方程便可求 出；另一种思路是 利用 几何
由Ｐ ： Ｍ ， Ｆｆ Ｎ￣
＝
＇ Ｉ Ｆ ｌ ｆｉ ． Ｍ ２＝Ｍ 是 ． ．
线 Ｐ 与椭 圆 ｃ都只有一个 交点． Ｑ 在此请读 者思考 思
考 上 述 结论 对 于 双 曲 线 、抛 物 线是 否也 成 立呢 ？ 不但
程ｙ 为＝ —
乒故 （，． 设 譬 ， ，Ｑ ２由 知 ２ 。题 ） 。 ＝
４６ ａ，１ 椭 方 为 ＝ ，￣ ＝ｃ ， 圆 程 等 手 １ ｆ ２＝故 ＋ －
（ ）直 譬 交 点 ， 件 法 设 线＝与 轴 于 Ｍ由 知 三 条
为 ．分别过 Ｐ、 Ｍ作直线 ＝ 的垂线 ，垂 足分 别为 Ｃ
过点 Ｐ与 椭 圆 Ｃ相 切 的直线 斜率 ｋ ｙＩ ： ＝ 一 ｋ 所以 尸） 邢， （直线 与椭 圆 Ｃ只有一个交点．
鲁 ｌ ＝． － 譬 ’
ｚ ｂ
． ． ． —
—
—
０
一
Ｐ、Ｑ Ｆ Ｆ
（ 二 ） 线 Ｐ 的方 程 为 法 直 Ｑ
ａ Ｃ２ ａ２ ＝
一
ｃ
，
即
的 某条 弦 时 ．那 么这条 弦所在 的直 线就是 该 点的极
线 ．此 时该 点 与 弦 端 点 的连 线 一 定 与 椭 圆相 切 ． 此 对
考 查层 次分 明，所 以解答起来 ，视 角开放 ，笔者在上
述 解答 中主要 涉及 方程 （ ）法、平几法 、向量法 、 组 同一法等众多重要数 学思 想方 法．
有兴趣的读者不妨探 究一下双曲线、抛 物线 中是 否也 有类似的结论？ （ 作者单位 ：北京市第十二 中学 ）
责 任 编校 徐 国坚
特 别是 第 （Ｉ 问，看似 平淡无奇 ，但仔 细品味 Ｉ ） 起 来 ，意味 深长，实际上 它的逆命题也成立 ，并且可
以证 明 对 椭 圆 上 除 椭 圆与 长 轴 交 点 外 的任 一 点 ｐ ．直
成 了椭 圆的 一 对 极 点 与极 线 ，而 椭 圆准 线上 任 一 点 的
【 点评】本题主要考查椭圆方程和椭圆的几何性
质 、直线与椭 圆的位置关 系等基础知识和运算求解的
基本技 能 ．考查推理论证 能力及数形 结合思想 ． 该题
极线一定垂直于该点与相 应焦点的连线 ：反过 来，当
椭 圆准 线上 某 一 点 与相 应 焦 点 的连 线垂 直 于过 该 焦点