拱坝等效应力计算

为了解决拱坝的弹性有限元应力成果集中现象，人们采取了许多措施，如规定应力 点的位置、采用厚壳单元、利用有限元计算出坝体应力沿面积积分，得到截面内力，然 后用材料力学方法计算结点应力，即所谓的有限元等效应力法。
傅作新教授[30]提出的有限元等效应力法是基于有限元法的分析结果，将有限元所求 得的应力合成为截面内力，然后求出对应的线性化应力。该方法为有限元分析结果规范 化提出了一种新思路，但是该法截面内力是拟合出来的，不能精确满足内力平衡条件。 此外，该方法要求沿径向网格必须布置3层以上的单元格才能求得结果。
⎜
⎜
⎝
Rd Ru
+
⎜⎜⎝⎛
Rd Ru
1 + Rd Ru
⎟⎟⎠⎞ 2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
lg = t × Ru + 2Rd 3 Ru + Rd
（5-21） （5-22） （5-23）
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
45
Ia
=
t3 12
y0
=
t 6
⎜⎜⎝⎛
Ru Ru
− +
Rd Rd
⎟⎟⎠⎞
xd
= σ xd
cos2 ηd
+ σ yd sin 2 ηd
+ 2τ xyd sin ηd
cos ηd
( ) =
σ xd +2τ xyd tan ηd
+ σ yd tan 2 ηd
1 1 + tan 2 ηd
( ) τ ′xzd = τ ′zxd = τ zcd cos ηd − τ zyd sin ηd sec φd′
（5-24） （5-25）
（5-26） （5-27） （5-28） （5-29） （5-30） （5-31） （5-32）
（5-33） （5-34） （5-35） （5-36）
从以上理论分析可知，有限元等效应力是沿单位宽度的拱截面和单位宽度的梁截面 对局部坐标系的应力进行积分，求出拱和梁的内力，在用材料力学方法计算出一点的应 力分量和等效主应力，按文献[68]的观点，要保证截面内力计算有足够的精度，数值积 分应采用较多的应力积分点，这使得计算变得异常复杂。ANSYS 软件后处理的路经运 算功能(Path Operations)则能满足较高的积分精度要求，可以充分的考虑有限元计算带来 的应力集中问题，实现拱坝的等效应力的计算。借助路径运算功能能够虚拟映射任何结 果数据到模型的任意指定路径，这样就可以沿路径执行许多数学运算，并且还可以以图 形和列表方式查看结果沿路径的变化情况。
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-6）
梁的扭矩为：
∫ M b
=
−
t
2 −t
2
τ zx (y
−
y0
)⎜⎛1
⎝
+
y r
⎟⎞dy ⎠
（5-7）
式中， y0 为梁的截面形心坐标；
单位高度水平拱圈的径向截面宽度为 1，沿厚度方向对拱应力及距积分得到拱的内
力如下：
拱的水平推力为： 拱的弯矩为： 拱的径向剪力为：
t
∫ H a
通过以上三个应力分量就可以确定下游面的等效主应力为：
（5-17） （5-18） （5-19）
( ) σ pd
=
σ ′zd
+ σ ′xd 2
±
⎜⎛ σ ′zd − σ ′xd ⎟⎞2 + ⎝2⎠
τ
′
xzd
2
（5-20）
式中
tanφ′d = tanφd cosηd
Ib
=
Rut 3 36r
⎜⎛ ⎜
1
+
4
⎜
Mb Ib
t − lg
（5-11） （5-12） （5-13）
其他三个应力分量为：
( ) τ xyd = τ yxd = σ xd − Pd tan ηd − τ xzd tan φd ( ) τ yzd = τ zyd = σ zd − Pd tan φd − τ xzd tan ηd
σ yd = Pd + τ xyd tan ηd + τ yzd tan φd
42
基于有限单元法的高拱坝体形优化设计
清需要作等效线性化处理的主要应力，笼统地规定由截面内力按材料力学公式计算应 力；（3）拉应力控制标准的制定原则不够科学，规定的容许拉应力仍无法适合200m以上 的高拱坝。钱向东教授引入压力容器“分析设计法”中应力分类的概念，进一步阐述有
限元等效应力法的原理和有关计算方法，通过对若干国内已建拱坝的分析，提出基于有 限元等效应力法的拱坝强度设计准则。
⎢⎢l 2l 3 m 2m 3 n 2n 3 l 2m 3 + l 3m 2 m 2n 3 + m 3n 2
⎢⎣l1l 3 m1m 3 n1n 3 l1m 3 + l 3m1 m1n 3 + m 3n1
式中， (li , mi , n i )为坐标轴 x、y、z 的方向余弦。
2l 1 n 1 2l 2n 2
（5-14） （5-15） （5-16）
式中，ϕd 为径向铅直平面内坝面与铅直线的夹角，ηd 为水平面内坝面与拱中心线 切线的夹角。
平行于坝面的三个应力为：
σ
′
zd
= σ zd
sec2 φ′ − Pd
tan 2 φd′
( ) = σ zd 1 + tan 2 φ′d − Pd tan 2 φd′
σ
′
46
基于有限单元法的高拱坝体形优化设计
z
1
Y
B
Wb Mb
Qb
Mb
Ha
Ma
拱x 轴线 A
0 1
图 5-2 等效应力截面内力
Fig.5-2 the equivalent stress and the internal forces of cross-section
拱坝计算中常常使用 8 结点或 20 结点六面体单元，不难在水平拱圈的径向确定计 算等效应力的 A、B 两点，以两点为中心分别在拱中心线上截取单位宽度的水平拱作为 等效梁截面。在拱圈高度方向截取单位高度作为等效拱截面。现将局部坐标系（x，y， z）定位于中心点，各截面内力如图 5-2 所示。假定梁向应力在平行于 x 轴方向和拱向应 力在平行于 z 轴方向的单位宽度内均匀分布，则梁和拱的内力分别可以通过 A、B 两点 的路径进行数值积分计算（以压应力为正）。
其中： Ab
= t ； Aa
=t
； Ru
=
r+
t 2
； Rd
=
r−
t 2
当 (σ z′d − σ x′d ) > 0 时，上式根式用正号；反之用负号。
（2） 上游坝面的应力计算为
上游坝面的应力计算和下游一样，主要计算公式如下：
σ zu
= Wb Ab
+
Mb Ib
lg
σ zu
=
Ha Aa
+
Ma Ia
×t 2
σ ′zu = σ zu sec2 φ′ − Pu tan 2 φu′
( ) = σ zu 1 + tan 2 φu′ − Pu tan 2 φu′
σ
′
xu
=
σ xu
cos 2
ηu
+ σ yu
sin 2
ηu
− 2τ xyu
sin ηu
cos ηu
( ) =
σ xu +2τ xyu tan ηu + σ yu tan 2 ηu
针对目前拱坝内力计算流行着以二次曲线表示应力分布，即σ = a + bx + cx 2 ，朱伯 芳院士在文献[68]指出：从有限元应力计算内力时，以直接采用数值积分方法为宜，利用 三点应力决定二次曲线再求内力的方法是不妥当的，会带来不必要的误差。与此同时， 新修订的水利行业《混凝土拱坝设计规范》（SL282—2003）在有限元等效应力法的相关 条款中尽管明确了等效应力的概念和原理，但是还存在以下的问题[71]：（1）没有明确有 限元计算的模型和内力计算公式，不同的模型和算法可能导致很大的差异；（2）没有分
(x, y, z)，如图 5-1 所示，其中 x 轴平行于拱轴的切线方向，y 轴平行于半径方向，z 轴 为铅直方向，局部坐标系中的应力{σ }。
图 5-1 应力计算坐标系 Fig.5-1 Stress calculated coordinates
则局部坐标系下的应力由下式计算：
{σ} = [T ]{σ′}
=
−
2 −t
σ x dy
2
t
∫ M a
=
−
2 −t
σ x ydy
2
t
∫ V a
=
2 −t
τ
xy dy
2
（5-8） （5-9） （5-10）
5.2.2 坝体上下游坝面应力的计算
通过数值积分计算得到拱坝的内力后，就可以通过材料力学法[2][72][73]计算坝体上下
游三个应力分量，然后通过微分体平衡条件计算上下游的其它三个应力分量；
44
基于有限单元法的高拱坝体形优化设计
（1） 坝体下游面的应力计算
水平面上悬臂梁的铅直正应力为：
σ zdFra Baidu bibliotek
=
Wb Ab
−
Mb Ib
(t
− lg)
径向平面上拱的水平正应力为：
σ zd
=
Ha Aa
−
Ma Ia
×t 2
作用在水平面上悬臂梁的切向水平剪力为：
( ) τ zxd
=
τ xzd
= − Qb Ab
+
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
41
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
5.1 概述
目前，有限元法已经广泛应用于拱坝的应力分析，它在计算理论上比多拱梁法先进， 而且适合各种复杂的体形和结构布置形式，可以比较合理的考虑拱坝的整体作用和复杂 地基的影响，同时也可以考虑大孔口、复杂基础、重力支墩、不规则外形等多种因素的 影响，并可以进行仿真计算。但是，在弹性理论的假定下，有限元应力成果往往与所采 用的单元类型和单元网格划分的尺寸有着密切的关系，特别是在建基面附近存在着严重 的应力集中现象，使得有限元应力成果的数值稳定性较差，难以建立相应的应力控制标 准。实际工程中，由于岩体内存在着大小不等的各种裂隙，应力集中现象将有所缓和， 不一定像计算结果那么严重，计算中如何考虑应力集中，是有限元法应用于拱坝的“瓶 颈” [29][30][68]。我国一些学者提出了有限元等效应力法克服了这一“瓶颈”，新编的《混 凝土拱坝设计规范》（SL282—2003）[25]已经正式规定在拱坝的设计中采用有限元等效应 力法，为有限元法在拱坝设计中的应用开拓了良好的前景，由于有限元法的强大计算功 能，它将逐步取代多拱梁法，成为拱坝设计的主要方法。
⎤ ⎥ ⎥
2l 3n 3
⎥ ⎥ （5-2）
l1n2 + l2n1 ⎥
l 2n 3
+
l
3n
2
⎥ ⎥
l1n 3 + l 3n1 ⎥⎦
假设在局部坐标系中的三个主应力分量 (σ z ,σ x,τ zx )沿坝体厚度线性分布。根据拱坝
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
43
应力分析的假设，在用弹性有限元法求的拱坝应力后，便可以用等效应力求出拱坝上下
（5-1）
其中：[T]为坐标转化矩阵。
⎡ ⎢ ⎢
l
2 1
l
2 2
m
2 1
m
2 2
n
2 1
n
2 2
2l 1 m 1 2l 2m 2
2m 1 n 1 2m 2n 2
[T] =
⎢ ⎢
l
2 3
⎢l1l 2
m
2 3
m1m 2
n
2 3
n1n 2
2l 3m 3 l1m2 + l2m1
2m 3n 3 m1n2 + m2n1
李同春教授[69]提出的基于有限元内力法的等效应力算法和改进的拱坝等效应力分 析方法[70]，该方法假定拱和梁向的正应力与剪应力在拱和梁的截面上的面单元内呈双线 性分布，根据静力平衡原理导出以结点应力为未知量，截面约束内力为右端顶的平衡方 程。在此基础上导出根据截面约束内力求解等效结点应力的公式，然后根据截面约束内 力求解等效结点应力的公式，并在此基础上导出拱和梁向应力为直线分布的上下游面等 效应力的求解方程和主应力的求解公式，但是计算模型复杂。
游坝面的三个应力分量，然后由该处的微分体的平衡条件求得另外三个平行于坝面的应
力分量，就能进一步取出拱坝上下游坝面的主应力。
梁的水平截面在拱中心线上取单位宽度，在 y 点的宽度为1 + y ，r 为中心线曲率半 r
径，沿厚度方向对梁的应力及其矩进行数值积分，得到梁的截面内力如下[2]：
梁的水平截面竖向力为：
τ zxu
=
τ xzu
= − Qb Ab
−
Mb Ib
lg
( ) τ xyu = τ yxu = − σ xu − Pu tan ηu − τ xzu tan φu
( ) τ yzu = τ zyu = − σ zu − Pu tan φu − τ xzu tan ηu
σ yu = Pu − τ xyu tan ηu − τ yzu tan φu
1 1 + tan 2 ηu
( ) τ ′xzu = τ ′zxu = τ zcu cos ηu + τ zyu sin ηu sec φu′
( ) σ pu
=
σ ′zu
+ σ ′xu 2
±
⎜⎛ σ ′zu − σ ′xu ⎟⎞2 + ⎝2⎠
τ ′xzu
2
tanφ′u = tanφu cosηu
5.3 有限元等效应力在 ANSYS 中的实现
∫ W b
=−
t
2 −t
2
σ
x
⎜⎛1 ⎝
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-3）
梁的弯矩为：
∫ M b
=
−
t
(2
−t
y
2
−
y0
)σ
z
⎜⎛1 ⎝
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-4）
梁的切向剪力为：
∫ Q b
=
−
t
2 −t
2
τ
zx
⎜⎛1 ⎝
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-5）
梁的径向剪力为：
∫ Vb
=
−
t
2 −t
2
τ
zx
⎜⎛1 ⎝
5.2 有限元等效应力的计算
5.2.1 截面内力的计算 从力学的观点分析，双曲拱坝是一种具有不规则边界的变厚度壳体，在弹性壳体理
论中，一般取距上下游面等距离的中间曲面（简称中面）为研究对象。用有限元法计算
拱坝，得到整体坐标系 (x′, y′, z′)中的应力 {σ ′}，通过拱轴线上任意结点 i 取局部坐标系