2014年高考数学高分突破精品教案
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)直接证明和间接证明教学案
第六节直接证明和间接证明[知识能否忆起]一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示P⇒Q1Q1⇒Q2…Q n⇒Q Q⇐P1P1⇐P2…得到一个明显成立的条件文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 假设为“三个内角都大于60°”．2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x(x＜0)，则a与b大小关系为( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b解析：选A a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b ＝e x＜1，则a ＞b .3．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是________． 解析：“如果a >b ，那么3a >3b ”若用反证法证明，其假设为3a ≤ 3b . 答案：3a ≤ 3b5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析：∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b 1.证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．(2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．2．使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．综 合 法典题导入[例1] (2011·大纲全国卷)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n <1.[自主解答] (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，得⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n .所以a n ＝1－1n. (2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1. 由题悟法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．以题试法1．(理)(2012·东北三校模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )≤g (x )． 解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g 0＝f 0，f ′0＝g ′0，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．(文)设f (x )＝e x－1，当x ＞－1时，证明： f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1.证明：当x ＞－1时，要使f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1，即e x－1＞2x 2＋x －1x ＋1＝2x －1，当且仅当e x＞2x ，即e x－2x ＞0，令g (x )＝e x－2x ，则g ′(x )＝e x－2， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ∈(－1，ln 2)时，g ′(x )＝e x－2＜0，故函数g (x )在(－1，ln 2)上单调递减；当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )＝e x －2＞0，故函数g (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以g (x )在(－1，＋∞)上的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0.所以在(－1，＋∞)上有g (x )≥g (ln 2)＞0.即e x＞2x . 故当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1.分 析 法典题导入[例2] △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [自主解答] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．由题悟法分析法的特点与思路分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规X ．以题试法2．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：∵m ＞0，∴1＋m ＞0. 所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2≥0显然成立， 故原不等式得证.反 证 法典题导入[例3] 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？[自主解答] (1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3， 2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2， ∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．由题悟法反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)以题试法3．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得 1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd ＞1矛盾，故假设不成立．即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．1．(2012·某某模拟)命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定解析：选B ∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列． 2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：选B “恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”． 4．(2013·某某模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．5．(2012·某某模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 解析：选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：选B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b，c ＝y2b .代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a＜b.答案：a＜b8．(2012·黄冈质检)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.答案：a2＞b2＋c29．(2012·某某模拟)已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设＝a n－b n，则与＋1的大小关系为________．解析：由条件得＝a n－b n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，∴随n的增大而减小．∴＋1<.答案：＋1<10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．11．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0. 证明：必要性(直接证法)：∵a，b，c为正实数，∴a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，因此必要性成立．充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，∴a(b＋c)＞0.①又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0这与a＋b＋c＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a ，b ，c 均为正实数．12．设f (x )＝e x －1.当a ＞ln 2－1且x ＞0时，证明：f (x )＞x 2－2ax . 证明：欲证f (x ) ＞x 2－2ax ，即e x －1 ＞x 2－2ax ， 也就是e x －x 2＋2ax －1＞0.可令u (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则u ′(x )＝e x－2x ＋2a . 令h (x )＝e x －2x ＋2a ，则h ′(x )＝e x－2.当x ∈(－∞，ln 2)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在(－∞，ln 2]上单调递减，当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以h (x )的最小值为h (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a .因为a ＞ln 2－1，所以h (ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h (ln 2)＞0. 所以u ′(x )＝h (x )＞0，即u (x )在R 上为增函数． 故u (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以u (x )＞u (0)． 而u (0)＝0，所以u (x )＝e x －x 2＋2ax －1＞0. 即当a ＞ln 2－1且x ＞0时，f (x )＞x 2－2ax .1．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：选C 可以根据图象直观观察；对于C 证明如下： 欲证f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222.即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22.即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原不等式得证．2．(2012·某某模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试比较1a与c 的大小．解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根． 又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a ＜c ，∵1a＞0，∴由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞0， 这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a≥c .又∵1a ≠c ，∴1a＞c .1．已知非零向量a ，b 且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.word11 / 11 证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2， 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．2．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2 ＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2×2n ＋1＋1) ＝－2n＜0，所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [自主解答] (1)当 a1＝3 时，不合题意； 当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意； 当 a1＝10 时，不合题意． 因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比 q＝3，故 an＝2· 3n 1.
－
(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2· 3n 1＋(－1)nln(2· 3n 1)＝2· 3n 1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－
－ － －
1)nnln 3， 所以 S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n 1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)
＋ ＋ ＋ ＋1
由题悟法 用错位相减法求和应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
Go the distance
以题试法 2．(2012· 济南模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝3n＋k. (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式； an＋1 (2)若数列{bn}满足 ＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 解：(1)当 n≥2 时，由 an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n 1－k＝2· 3n 1，得等比数列{an}的公比 q
－ －
＝3，首项为 2. ∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为 an＝2· 3n 1.
【三维设计】2014届高考数学一轮 (基础知识+高频考点+解题训练)命题及其关系、充分条件与必要条件教学案-推
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识能否忆起]
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为
真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二、四种命题及其关系
1．四种命题
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
命题
原命题
逆命题
否命题 若綈 p，则綈 q
逆否命题 若綈 q，则綈 p
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、充分条件与必要条件
1．如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
2．如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件．
1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件． 解析：①由 2>－3⇒/ 22>(－3)2 知，该命题为假；②由 a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知， 该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又 a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要 条件为真命题．
答案：②③
1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
11 A．若x＝y，则 x＝y C．若 x＝y，则 x＝ y
表述形式
若 p，则 q
若 q，则 p
[小题能否全取]
B．若 x2＝1，则 x＝1 D．若 x<y，则 x2<y2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
备考2014年中高考——教案_1
8.3 平面图形的旋转［教学内容及其地位］：本节位于八（上）数学新课标教材第67页-第69页，教学时间安排1个课时。
旨在引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题。
进一步发展学生的数学观，是学生学到活生生的数学。
分析旋转中线段，角度的等量关系，这为以后几何图形全等的证明很有帮助。
［教学目标］：知识与能力1、经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等活动，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识和有条理表达的能力。
2、通过具体的实例，认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质。
过程与方法1、通过观察生活中旋转实例，让学生自觉地发现和归纳出相应的结论。
并能用旋转的性质解简单的几何题。
2、遵循学生是学习的主人的原则，在为学生创造大量实例的基础上，引导学生动手操作、自主思考、合作交流、讨论归纳。
3、采用多媒体课件辅助教学。
情感态度和价值观通过对旋转的认识，进一步发展学生空间观念及审美意识。
［教学重、难点］：重点：把握旋转的基本要素，正确地分析图形的旋转过程。
旋转的基本性质。
难点：理解旋转中的旋转角。
探索旋转的基本性质。
［教学准备］：学生准备旋转的实物或图片。
教师准备多媒体课件。
［教学过程及分析］1、课件演示----激发学生的兴趣引入课件：转动的齿轮——学生自由发言，旨在引导学生要学好知识才可以将来有大为。
课件演示教材中的图片及问题：（可让学生补充些）生活中的旋转，课本安排了多幅图片，我举了学生熟悉的风扇、荡秋千、地球自转、雷达，这些学生熟悉的例子。
2、归纳、对比——弄清旋转的要素通过实物例子观察归纳总结它们的共性，由此加深对“旋转”概念的理解。
1．多媒体演示生活中旋转的动态实例，旨在找出它们的共性。
2．学生对比手中的实物，尝试着归纳得出“旋转”的概念。
3．让学生扩展思维，列举生活中还有哪些旋转图形。
3、实物操作-----------体验旋转性质（1）活动安排：自制的小风车将一块三角板旋转让学生思考、讨论以下问题：①旋转中心是什么？旋转角是什么？②经过旋转，点A、B分别移到什么位置？③找出图中相等的线段与角。
2014年高考数学高分突破精品教案
2014年高考数学高分突破精品教案“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r>,若A B φ=求r 的取值范围。
2014届高考数学知识点总复习教案40.doc
第3讲 数学归纳法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案 B2．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )．A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立解析 A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案 D3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )．A.12k ＋2B ．－12k ＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案 C4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n＞1324的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1(2k＋1)(2k＋2)，故填1(2k＋1)(2k＋2).答案1(2k＋1)(2k＋2)6．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1…解析 所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和为2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案 2n －2n 三、解答题(共25分)7．(12分)已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n2都成立．8．(13分)已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n ＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n .(1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k的基础上加上 ( )．A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D2．(2013·广州一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为 ( )．A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n2＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案 (5,7)4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值是________．解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝34×89＝23＝46，f (3)＝(1－a 1)·(1－a 2)(1－a 3)＝f (2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝23×1516＝58，由此猜想，f (n )＝n＋22(n＋1)(n∈N*)．答案n＋22(n＋1)(n∈N*)三、解答题(共25分)5．(12分)设数列{a n}满足a1＝3，a n＋1＝a2n－2na n＋2，n＝1,2,3，…(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式(不需证明)；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，试求使得S n<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想a n＝2n＋1.(2)S n＝n(3＋2n＋1)2＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．6．(13分)(2012·安徽)数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x2n＋x n＋c(n∈N*)．(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使{x n}是递增数列．(1)证明先证充分性，若c<0，由于x n＋1＝－x2n＋x n＋c≤x n＋c<x n，故{x n}是递减数列；再证必要性，若{x n}是递减数列，则由x2<x1可得c<0.(2)解①假设{x n}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由x n<x n＋1＝－x2n＋x n＋c知，对任意n≥1都有x n<c，①注意到c－x n＋1＝x2n－x n－c＋c＝(1－c－x n)(c－x n)，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c .由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③ 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1， x n <1－c 和 c －x n <(1－c )n －1两式相加，知 2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立． 根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得 2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立． 下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (i)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (ii)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即x n <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列． 由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)抛物线教学案
抛_物_线[知识能否忆起]1．抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R对称轴 x 轴顶点坐标 原点O (0,0)焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2离心率e ＝1标准方程x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0)图形范围 y ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 y 轴顶点坐标原点O (0,0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析：选A ∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．(教材习题改编)抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 抛物线的标准方程为x 2＝1ay .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则依题意得焦点F (0，1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．(2012·郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x .答案：y 2＝8x5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.答案：61.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可．抛物线的定义及应用典题导入[例1] (1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．以题试法1．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32抛物线的标准方程及几何性质典题导入[例2] (1)(2012·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.[答案] (1)D (2)B由题悟法1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．以题试法2．(2012·南京模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.( ) 解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |，如图．∴cos ∠MNH ＝32， ∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.答案：π6直线与抛物线的位置关系典题导入[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．由题悟法1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行． 2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.以题试法3．(2012·泉州模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F . (1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33. 故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．1．(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45y B ．y 2＝－45x C ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012·东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.3．(2013·大同模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12，所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012·唐山模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013·湖北模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012·乌鲁木齐模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ,＋OF , (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.答案：18．(2012·渭南模拟)已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.答案：59．(2012·广州模拟)已知直线y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为________．解析：直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －2可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|FA |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B ，则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k，所以y B＝－8k，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±22，又k ＞0，故k ＝2 2.答案：2 210．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.11.如图，过抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0＞0)作两条直线，分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离；(2)当MA 与MB 的斜率都存在，且y 1＋y 2y 0＝－2时，求MA 与MB 的斜率之和； (3)证明：直线AB 不可能平行于x 轴．解：(1)当y ＝4p 时，x ＝4p ，抛物线的准线方程为x ＝－p ，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p －(－p )＝5p .(2)设直线MA 的斜率为k MA ，MB 的斜率为k MB ， 由y 21＝4px 1，y 20＝4px 0，得k MA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝4py 1＋y 0， 同理k MB ＝4py 2＋y 0， 又y 1＋y 2y 0＝－2，所以y 1＋y 2＝－2y 0，因为k MA ＋k MB ＝4p y 1＋y 0＋4p y 2＋y 0＝4p y 1＋y 2＋2y 0y 1＋y 0y 2＋y 0＝0，所以k MA ＋k MB ＝0，故MA 与MB 的斜率之和为0.(3)证明：设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224p －y 214p＝4py 1＋y 2，由(2)知y 1＋y 2＝－2y 0，所以k AB ＝－2p y 0，由于M (x 0，y 0)为定点，所以－2p y 0为定值且－2py 0≠0，故直线AB 不可能平行于x 轴．12．(2012·安徽模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)， 故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.①且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.1．(2013·郑州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C 过点B 作准线的垂线，垂足为B 1，记准线与x 轴的交点为F 1，则依题意得|BB 1||FF 1|＝|BC ||CF |＝23，所以|BB 1|＝23|FF 1|＝2p3，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|＝2p3.过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，由△BEF ∽△ADF 得23p 3＝p －2p 33－p ，解得p ＝32.所以此抛物线的方程是y 2＝3x .2．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2解析：选C 由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，代入y 2＝4x 得y 2＝8，不妨设A (2，22)，则直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，与y 2＝4x 联立得2x 2－5x ＋2＝0，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×|y A－y B |＝322.3．(2012·浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ·2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝ 1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2，设△ABP 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u －2u 3，S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 32．(2012·东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，m ，A 点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条相互垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)；(3)直线x ＋my ＋1＝0与抛物线交于E ，F 两点，问在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由．解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则由抛物线的定义可得p 2＋12＝1，即p ＝1，所以该抛物线的方程为y 2＝2x .(2)由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，代入y 2＝2x 得y2－2my －2n ＝0.所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，其中y 1，y 2分别是P ，Q 的纵坐标，x 1，x 2分别是P ，Q 的横坐标．因为MP ⊥MQ ，所以k MP ·k MQ ＝－1. 即y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1， 又由x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入上式得2y 1＋y 0·2y 2＋y 0＝－1，所以(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＋4＝0，所以(－2n )＋2my 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝my 0＋x 0＋2. 所以直线PQ 的方程为x ＝my ＋my 0＋x 0＋2， 所以直线PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．(3)假设存在点N (x 0，y 0)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＋my ＋1＝0，消去x 得y2＋2my ＋2＝0，则y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2，且(2m )2－8＞0，即m 2＞2.由于NE ⊥NF ，所以y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，又点E ，F ，N 在抛物线上，所以x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，得2y 1＋y 0·2y 2＋y 0＝－1，即(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2代入并整理得y 20－2my 0＋6＝0，只要4m2－24＞0，即m 2＞6，该方程即有实数解．所以只要m 2＞6就存在满足条件的点N ，当m 2≤6时不存在满足条件的点N .。
2014年高考数学(文)二轮专题复习篇教案：专题六 解析几何 专题六 第二讲
第二讲圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1｜＋|PF2｜＝2a(2a＞｜F1F2|)｜｜PF1｜－｜PF2|｜＝2a(2a＜|F1F2｜）｜PF｜＝｜PM｜,点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px（p＞0）图形几何性质范围|x｜≤a,｜y｜≤b｜x|≥a x≥0顶点(±a，0）(0,±b)（±a，0)（0，0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c,0)（错误!,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e＝错误!＝错误!(0＜e＜1）e＝错误!＝错误!(e＞1)e＝1准线x＝－错误!渐近线y＝±错误!x1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C :y 2＝2px (p 〉0)的焦点为F ,点M 在C 上，|MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 （ ）A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F 错误!，抛物线的准线方程为x ＝－错误!,则由抛物线的定义知,x M ＝5－错误!,设以MF 为直径的圆的圆心为错误!,所以圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!，又因为圆过点（0，2），所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p 错误!，解得p ＝2或p ＝8,所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ,故选C.2． （2013·课标全国Ⅰ）已知双曲线C ：错误!－错误!＝1（a >0,b 〉0)的离心率为错误!，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±错误!xB ．y ＝±错误!xC ．y ＝±错误!xD ．y ＝±x答案 C 解析 由e ＝c a＝错误!知,a ＝2k ，c ＝错误!k (k ∈R ＋）, 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以错误!＝错误!。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(二)教学案
第十三节导数的应用(二)利用导数研究恒成立问题及参数求解典题导入[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1，f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0.(2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 由题悟法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．以题试法1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x>0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x<0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．利用导数证明不等式问题典题导入[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ， f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x＝ax －1x， 当0<1a<e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，所以[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.由题悟法利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.以题试法2．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f x ＋kx(k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋k x， ∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )． (2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)， 令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ，h (x )，h ′(x )的变化情况如下：x 1 (1，e) e (e ，＋∞)h ′(x ) －1 －0 ＋h (x )e －2故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.利用导数研究生活中的优化问题典题导入[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答] (1)依题意得△NDC 与△NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，故AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为20x －23x 2(0<x <30)．要使仓库的占地面积不少于144平方米，则20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0， 解得12≤x ≤18.(2)由(1)知仓库的体积V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，令V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时，V ′<0，所以当x ＝20时V 取最大值，且最大值为8 0003，即AB 的长度为20米时仓库的库存容量最大．由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．以题试法3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 解：①当6≤t <9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8. 当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t <9时，y ′<0，故t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75. ②当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋594是增函数，故t ＝10时，y max ＝16.③当10<t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18， 故t ＝11时，y max ＝18.综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xf ′x －f x x 2≤－2f x x 2≤0.则函数f x x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a≥f b b.即af (b )≤bf (a )．2．(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)4．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)5．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x＝1－x 2x 2＋x ＋1x.∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 6．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f (x )＝ex －m－x ，(文)f (x )＝1em e x－x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e －m>0，f (0)·f (m )<0， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m－2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设5858－u ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，显然，当x∈(6,9)时，y′>0；当x∈(9,11)时，y′<0.∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．∴当x＝9时，y取最大值，且y max＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．1．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)e x，x∈[－2，t](t>－2)．(1)当t<1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：m<n.解：(1)f′(x)＝(2x－3)e x＋e x(x2－3x＋3)＝e x x(x－1)，①当－2<t≤0，x∈[－2，t]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；②当0<t<1，x∈[－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，t]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当－2<t≤0时，y＝f(x)的单调递增区间为[－2，t]；当0<t<1时，y＝f(x)的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t]．(2)证明：依题意得m＝f(－2)＝13e－2，n＝f(t)＝(t2－3t＋3)e t，设h(t)＝n－m＝(t2－3t＋3)e t－13e－2，t>－2，h′(t)＝(2t－3)e t＋e t(t2－3t＋3)＝e t t(t－1)(t>－2)．故h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：t (－2,0)0(0,1)1(1，＋∞) h′(t)＋0－0＋h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－e2＝e2>0，又h(－2)＝0，故当－2<t<0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .2． (2012·资阳模拟)已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝4，f ′2＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．1．已知向量m ＝(x 0，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，x 0，334，y 0成等差数列，2，x 0，y 0成等比数列．(1)求证：m ⊥n ；(2)若存在不为零的实数k 与t ，使得a ＝(t 2－3)m ＋n ，b ＝tm －kn ，且a ⊥b ，|a |≤37，试讨论函数k ＝f (t )的单调性，并求出函数的极值．解：(1)证明：由x 0，334，y 0成等差数列得x 0＋y 0＝332，①由2，x 0，y 0成等比数列得x 0＝2y 0，② 由①与②可得x 0＝3，y 0＝32， 所以m ＝(3，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，因为m ·n ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，所以m ⊥n .(2)由(1)得|m |＝2，|n |＝1，因为|a |≤37，m ⊥n ，所以|a |2＝(t 2－3)2|m |2＋2(t 2－3)m ·n ＋|n |2＝4(t 2－3)2＋1≤37，所以0≤t 2≤6，所以－6≤t ≤ 6.又a ·b ＝t (t 2－3)|m |2－k (t 2－3)m ·n ＋tm ·n －k |n |2＝4t (t 2－3)－k ＝0，所以k ＝f (t )＝4t (t 2－3)(－6≤t ≤6)，k ′＝f ′(t )＝[4t (t 2－3)]′＝12t 2－12，令12t 2－12＝0，得t ＝±1.当t 变化时，f ′(t )，f (t )的变化情况如下表：的极大值为8，极小值为－8.2．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R. (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝1x－1.由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0， 从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上所述，实数p 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2.2．(2012·江西高考)若全集U ＝{}x ∈R|x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R||x ＋1|≤1的补集∁U A 为( )A.{}x ∈R|0<x <2B.{}x ∈R|0≤x <2C.{}x ∈R|0<x ≤2D.{}x ∈R|0≤x ≤2解析：选C 因为U ＝{x ∈R|x 2≤4}＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R||x ＋1|≤1}＝{x ∈R|－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R|0<x ≤2}．3．下列函数中，恒满足f (2x )＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝1x(x ≠0)C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x解析：选C 若f (x )＝e x，则f (2x )＝e 2x＝(e x )2＝[f (x )]2.4．(2012·大同调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R)，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到当b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．5．(2013·龙岩四校联考)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (3，f (3))处的切线方程是y ＝13x ＋23，则f (3)＋f ′(3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：选B 因为切点(3，f (3))在切线上，所以f (3)＝1＋23＝53，切点处的导数为切线的斜率，所以f ′(3)＝13，所以f (3)＋f ′(3)＝2.6．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x2|x ＋1|－1的定义域，集合B 是整数集，则A ∩B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选A 要使函数f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋1|－1≠0，解得－1≤x <0或0<x ≤1，所以函数的定义域A ＝{x |－1≤x <0，或0<x ≤1}．所以A ∩B ＝{1，－1}，其子集的个数为4.7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .8．(2012·南昌一模)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B 函数y ＝x 12＝x ，该函数的图象就是抛物线y 2＝x 在x 轴及其以上的部分，故函数y ＝x 12－1＝x －1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x 轴对称的图象，即选项B 中的图象．9．(2012·长春第二次调研)若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 依题意得f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，因此f (x )在(0,2)内只有一个零点．10．(2012·河南三市第二次调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z解析：选B 依题意得(X *Y )＝∁U (X ∩Y )＝(∁U X )∪(∁U Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U(X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪(∁U Z )＝(X ∩Y )∪(∁U Z )．11．(2012·重庆高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：选D 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立．12．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：选A 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b，又c <0，可得c a >cb，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④不正确．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2013·河北质检)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，即a ＝2.答案：214． (2012·南通一调)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：依题意得，y ＝x 32＋x 12，y ′＝32x 12＋12x －12(x >0)，当x >0时，y ′＝32x 12＋12x －12≥232x 12×12x －12＝3，即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3，即tan θ≥ 3.又θ∈[0，π)，因此π3≤θ<π2，即θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π215．(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.答案：1416．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x－1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合的函数序号)解析：对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1＝f (x )，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0.是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78x>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．答案：②④三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3. 当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 函数的减区间为(－1,0)，(0,1)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的部分图象如右图所示． (1)求f (x )的解析式与定义域；(2)函数f (x )的图象能否由y ＝log 3x 的图象平移变换得到．解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是f (x )＝log 3(ax ＋b )上的两点，将其代入函数表达式可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，5a ＋b ＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )的解析式为f (x )＝log 3(2x －1)． ∵f (x )有意义需满足2x －1>0，∴x >12.∴f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)∵f (x )＝log 3(2x －1)＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋log 32， ∴f (x )的图象是由y ＝log 3x 的图象向右平移12个单位，再向上平移log 32个单位得到的．故可以由y ＝log 3x 的图象平移得到．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x (x 2－ax －3)． (1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[1,4]上的最大值．解：(1)∵f (x )＝x (x 2－ax －3)，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．∵当x ≥1时，32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)依题意得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0， 即13＋23a －3＝0，得a ＝4， 故f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 在[1,4]上变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间[1,4]上的最大值是f (1)＝－6.20．(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N)．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋200，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N.(2)①∵当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.21.已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． 由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a >0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点即⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f －1>0，f 0<0，解得0<a <13.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.22. (2012·安徽名校模拟)已知函数f (x )＝a x 2－x －1ex(x ∈R)，a 为正数．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝a x 2－x －1ex，∴f ′(x )＝a 2x －1e x －a x 2－x －1e x e2x＝－ax x －3ex.令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. ∵a >0，∴由f ′(x )>0，得0<x <3；由f ′(x )<0，得x <0或x >3.故函数f (x )的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)，(3，＋∞)．(2)由(1)易知函数f (x )在[0,3]上为增函数，在[3,4] 上为减函数． ∴函数f (x )在[0,4]上的最大值f (3)＝5ae 3，又∵f (0)＝－a <0，f (4)＝11a e －4>0， ∴f (0)<f (4)．∴f (x )在[0,4]上的最小值为f (0)＝－a . ∴要使函数f (x )对任意x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，只需|f (3)－f (0)|<1即可， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5a e 3＋a <1. ∵a >0，∴0<a <e 35＋e 3.。
高分突破教材全解
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本教材包括了考试中的各种题型和知识点，通过系统的讲解和案例分析，让考生能够更好地理解题目要求，提高解题能力，从而实现高分突破。
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2014年高考数学高分突破精品教案“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。
本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若AB B =，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。
解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a=或15。
综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r>,若A B φ=求r 的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心，以r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r 的取值范围。
思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合{}2|40A x x x =+=、(){}22|2110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。
答案：1a=或1a ≤-。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x 、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
解析：由于()22214y x ++=得(x+2)2=1-42y ≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2-16x-12=+328因此当x=-1时x 2+y 2有最小值1, 当x=-38时，x 2+y 2有最大值328。
故x 2+y 2的取值范围是[1,328]【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件()22214y x ++=对x 、y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x ≤-1，22y -≤≤。
此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【练2】若动点（x,y ）在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为（） （A ）()()2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（B ）()()2402422b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩（C ）244b +（D ）2b 答案：A【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、()2112x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1f x - 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.（2）由1a =即()2121x x f x -=+，设()y f x =,则()211xy y -=+由于1y ≠故121x y y+=-，112log yyx +-=，而()2121x xf x -=+()211,121x =-∈-+所以()()1112log 11xx f x x +--=-<< 【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。
（2）应用1()()f b a f a b -=⇔=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】函数()()111f x x x =-≥的反函数是（）A 、()2221y x x x =-+<B 、()2221y x x x =-+≥C 、()221y x x x =-< D 、()221y x x x =-≥答案：B【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数()121x f x x-=+，函数()y g x =的图像与()11y f x -=-的图象关于直线y x =对称，则()y g x =的解析式为（）A 、()32x gx x -=B 、()21x g x x -=+C 、()12x g x x -=+D 、()32g x x=+ 【易错点分析】解答本题时易由()y g x =与()11y f x -=-互为反函数，而认为()11y f x -=-的反函数是()1y f x =-则()y g x ==()1f x -=()()1213211x xx x---==+-而错选A 。
解析：由()121x f x x -=+得()112x f x x --=+从而()()()11121211x x y f x x----=-==+-+再求()11y f x -=-的反函数得()21xg x x-=+。
正确答案：B 【知识点分类点拔】函数()11y f x -=-与函数()1y f x =-并不互为反函数，他只是表示()1f x -()11x f y -=+再将x 、y 互换即得()1y f x =-的反函数为()11y f x -=+，故()1y f x =-的中x 用x-1替代后的反函数值。
这是因为由求反函数的过程来看：设()1y f x =-则()11f y x -=-，反函数不是()11y f x -=-，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1-x)的图象是（）答案：B【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例5、 判断函数()2lg 1()22x f x x -=--的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：()()2lg 1()22x f x f x x --=≠+-从而得出函数()f x 为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知x 满足21022x x ⎧->⎪⎨-≠±⎪⎩即函数的定义域为()()1,00,1-定义域关于原点对称，在定义域下()()2lg 1x f x x-=-易证()()f x f x -=-即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
（2）函数()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内x 的恒等式。
常常利用这一点求解函数中字母参数的值。
【练5】判断下列函数的奇偶性：①()2244f x x x =-+-②()()111xf x x x+=--③()1sin cos 1sin cos x x f x x x++=+-答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。
从而导致解题过程繁锁。
例6、 函数()2221211log 22x x f x x x -+⎛⎫=<-> ⎪⎝⎭或的反函数为()1f x -，证明()1f x -是奇函数且在其定义域上是增函数。
【思维分析】可求()1f x -的表达式，再证明。
若注意到()1f x -与()f x 具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数()f x 的单调性和奇偶性即可。
解析：()212121212121222log log log x x x x x x f x --+--+-+-===-()f x =-，故()f x 为奇函数从而()1f x -为奇函数。
又令21212121x tx x -==-++在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均为增函数且2log ty =为增函数，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上分别为增函数。
故()1f x -分别在()0,+∞和(),0-∞上分别为增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。
（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。
（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。
（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。
即1()()f b a f a b -=⇔=。
【练6】（1）已知()2x x e e f x --=，则如下结论正确的是（）A 、 ()f x 是奇函数且为增函数B 、()f x 是奇函数且为减函数C 、()f x 是偶函数且为增函数 D 、 ()f x 是偶函数且为减函数答案：A （2）设()1f x -是函数()()()112x x f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为（）A 、21(,)2a a -+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞ 答案：A （1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()()()21111112a f x f f x f x f a--->⇔>⇔>=.）【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。