导数及其应用运算单调性极值与定积分单元过关检测卷(四)含答案新高考高中数学辅导班专用

高中数学专题复习《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象 可能是（ ）答案 D2．函数y ＝x co s x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） （A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（2020全国2理）（10）3．已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是 （）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④（2020福建文）4．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( ) （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-（2020全国2文7）5．函数()()21n fx ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2020安徽文10）6．函数()()m nf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==（2020安徽理）B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.7．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为A ．2π5B ．43 C ．32D ．π28．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f)0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f（ ）A .31B .31-C .37D .31-或35答案B9．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．解析 因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢.10．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是ab ab aoxoxyb aoxyoxyb y（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+（2020安徽卷理）[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．设m R ∈，若函数2()xy e mx x R =+∈有大于零的极值点，则m 的取值范围是__▲______．12．若()22x x f =，则()1f '-等于 ▲ .13．计算：︒-︒+︒80cos 110sin 310cos ＝ .14．设0()cos f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n *∈N ，则函数20082009|4()()1|y f x f x =⋅-的最小正周期为15．已知定义在R 上的函数2()(3)f x x ax =-，函数()()()g x f x f x x '=+∈，若()g x 在0x =处取得最大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .16．设函数21()ln(1)3,[,](0)2xf x x e x x t t t =+-+∈->，若函数()f x 的最大值是M ，最小值是m ，则M m +=______评卷人得分三、解答题17．已知函数21()22f x a x x=+， ()g x lnx =.（1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，求 （1）a 的取值范围；（2）是否存在正实数a ，使得函数()()()(21)g x h x f x a x'=-++在区间1(,)e e 内有两个不同的零点？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．18．已知f (x )＝ax －ln (－x )，x ∈(－e ,0)，g (x )＝－ln(－x )x，其中e 是自然常数，a ∈R ．（1）讨论a ＝－1时, f (x )的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，|f (x )|＞g (x )＋12；（3）是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．19．已知函数()()2,f x x bx c b cR =++∈，并设()()xf x F x e =， （1）若()F x 图像在0x =处的切线方程为0x y -=，求b 、c 的值； （2）若函数()F x 是(),-∞+∞上单调递减，则① 当0x ≥时，试判断()f x 与()2x c +的大小关系，并证明之；② 对满足题设条件的任意b 、c ，不等式()()22f c Mc f b Mb -≤-恒成立，求M 的取值范围．20．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y k x b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln x e x ϕ=（其中e 为自然对数的底数）．(1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值；(2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．(本小题满分16分)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1． 2．B 3．C 【解析】(0),(1)4,(3)275427(0f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-=, 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>4．A A ：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =5．A 6．AB解析：代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B. 7．B 【2020高考真题湖北理3】【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 8． 9． 10．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．， 12． 4- 13． 14．；15．6(0,]516．128; 评卷人得分三、解答题17． 解：（1）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．……2分当0a ≠时，()y f x =的对称轴方程为2x a=-，由于()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，所以21a-≤，解得2a ≤-或0a >，综上，a 的取值范围是0a ≥，或2a ≤-． ………………6分 （2）()(2)(21)lnxh x ax a x=-+++，因()h x 在区间(1,e e )内有两个不同的零点,所以()0h x =，即方程2(12)0ax a x lnx +--=在区间(1,e e)内有两个不同的实根.………7分设2()(12)x ax a x lnx ϕ=+-- (0)x >，1()2(12)x ax a x ϕ'=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x +--+-== ………9分 令()0x ϕ'=，因为a 为正数，解得1x =或12x a =-（舍）当1(,1)x e∈时, ()0x ϕ'<, ()x ϕ是减函数；当(1,)x e ∈时, ()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数.…………11分为满足题意，只需()x ϕ在(1,e e )内有两个不相等的零点,故()min 1()0,()10,()0,e x e ϕϕϕϕ⎧>⎪⎪⎪=<⎨⎪>⎪⎪⎩解得1212-+<<e e e a ……14分．18．解：（1）∵f (x )＝－x －ln(－x )∴f '(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ∴当－e ≤x ＜－1时，f '(x )＜0，此时f (x )为单调递减当－1＜x ＜0时，f '(x )＞0，此时f (x )为单调递增∴f (x )的极小值为f (－1)＝1 （2）∵f (x )的极小值，即f (x )在[－e ,0)的最小值为1∴|f (x )|m i n ＝1 令h (x )＝g (x )＋12＝－ln(－x )x ＋12 又∵h '(x )＝ln(－x －1)x 2，当－e ≤x ＜0时，h '(x )≤0∴h (x )在[－e ,0)上单调递减，∴h (x )m a x ＝h (－e )＝1e ＋12＜12＋12＝1＝|f (x )|m i n ∴当x ∈[－e ,0)时，|f (x )|＞g (x )＋12（3）假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln(－x )有最小值3，x ∈[－e ,0), f '(x )＝a －1x①当a ≥－1e 时，由于x ∈[－e ,0)，则f '(x )＝a －1x ≥0，∴函数f (x )是[－e ,0)上的增函数∴f (x )m i n ＝f (－e )＝－ae －1＝3解得a ＝－4e ＜－1e （舍去） ②当a ＜－1e 时，则当－e ≤x ＜1a 时，f '(x )＝a －1x ＜0，此时f (x )是减函数 当1a ＜x ＜0时，f '(x )＝a －1x ＞0，此时f (x )＝ax －ln(－x )是增函数 ∴f (x )m i n ＝f (1a )＝1－ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝3解得a ＝－e 2．19．（1）因为()2xx bx cF x e ++=，所以()()()22xx b xbcF x e -+-+-'=， …………………2分又因为()F x 图像在0x =处的切线方程为0x y -=，所以()()0001F F =⎧⎪⎨'=⎪⎩，即1c b c =⎧⎨-=⎩，解得1b =，0c =． ……………………………………4分（2）①因为()F x 是(),-∞+∞上的单调递减函数，所以()0F x '≤恒成立， 即()()220x b x b c -+-+-≤对任意的x R∈恒成立， ………………………………………6分 所以()()2240b b c ∆=-+-≤，所以22442444c b b b b ≥+≥⨯=≥，即c b >且1c ≥，令()()()()()221g x f x x c b c x c c =-+=---，由20b c -<，知()g x 是减函数， 故()g x 在[)0,+∞内取得最小值()0g ，又()()010g c c =--≤， 所以x ≥时，()()00g x g ≤≤，即()()2fx x c ≤+． ……………………………………10分② 由①知，0c b ≥≥，当b c =时，b c =或b c =-，因为2440b c +-≤，即2440c c +-≤，解得2c =，2b =或2b =-，所以()222f x x x =±+，而()()()()2222222f c f b c bc c b b c c bc b c b c b -=++---=+-=+-，所以()()8f c f b -=-或0，不等式()()22f c Mc f b Mb -≤-等价于()()()22f c f b M c b -≤-，变为80M -≤或00M ≤恒成立，M R ∈， ………………………………………………12分当b c ≠时，c b >，即220c b ->，所以不等式()()22f c Mc f b Mb -≤-恒成立等价于()()22f c f b M c b -≥-恒成立，等价于()()22maxf c f b M c b -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭， ………………………………………14分 而()()()()()()2222121f c f b c b c b c b b c b c b c b c b c-+-+===--+-++， 因为c b >，1bc <，所以11b c -<<，所以012b c <+<，所以1121b c>+， 所以()()2213222f c f b c b -<-=-，所以32M ≥． ……………………………………………………16分20． 解：(1)()()()F x h x x ϕ=-=22ln (0)x e x x ->， 22()()()2e x e x e F x x x x-+'∴=-=． 当x e =时，()0F x '=．当0x e <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x e >时，()0F x '>，此时函数()F x 递增；∴当x e =时，()F x 取极小值，其极小值为0．…………6分(2)解：由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =处有公共点，由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且当x e =时取等号) ．若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b xR ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令x e =，则e k e b ≥+且e k e b ≤+…………………8分k e b e ∴+=，即e k e b -=．因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即e k e kx y -+=．由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立2)2(e k -=∆ ， ∴由0≤∆，得e k 2=．…………………12分下面证明e x e x -≤2)(ϕ当0>x 时恒成立． 令()()2G x x ex e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2， 则22()()2e e e x G x e x x-'=-=， 当x e =时，()0G x '=．当0x e <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x e >时，()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当x e =时，()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2ln 20G x e x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线2y ex e =-．…………………16分。