单位分数的拆分
单位分数的分拆 北京市东城区东四十四条小学 曹 伟 将一个单位分数 1 n 拆成两个不相等单位分数之
单位分数的分拆北京市东城区东四十四条小学 曹 伟 将一个单位分数n1拆成两个不相等单位分数之和是竞赛题中常见的内容。
比如 ,由常见的裂项公式111)1(1+-=+n n n n , 即n 1=)1(111+++n n n , 知 1/2005= 1/2006 + 1/(2005×2006)。
问题是:将单位分数1/2005拆成两个单位分数之和,共有多少种分拆方法。
本文将给出一个简单明了的结论。
设n 是一个正整数,记sn r n +++=11n 1①，这里r,s 都是正整数,且r≠s。
探究r,s 应满足的条件。
将 ①式通分,有)(×)(1s n r n s n r n n +++++=, 即(n+r)×(n +s)=n×(2n+r+s), 亦即n 2+r×n+n×s+r×s=2n 2+n×r+n×s,故n 2=rs②。
由②知r,s 都是n 2的因数。
由于不计较r,s 的次序,因此,这样r,s 的对数共有21-因数的个数n 2个。
上式中分子减1是由于在n 2的因数个数的计算中,要去掉r=n 或r=1的情况。
于是,上式就是我们要找的结论,即n1拆成两个单位分数之和共有21-因数的个数n 2(种)分拆方法。
特别,当n 为质数时,n 2共有3个因数,即1,n,n 2。
此时,分拆方法是惟一的。
比如,5618171+=。
下面验证一下我们的结论, 若取n=6，则n 2共有1,2，3,4,6 ,9,12,18,36这9个因数,因此,共有（9-1）/2=4(种)分拆方法。
事实上,1/6=1/7+ 1/42,1/6 = 1/8+1/24,1/6=1/9+1/18,1/6=1/10+1/15。
恰好有4种分拆方法。
单位分数的拆分
正在老汉无奈之际，邻居把自己 家的一匹马牵来，则有了12匹马， 老大二分之一，牵走了6匹；老二 四分之一，牵走了3匹；老三六分 之一，牵走了2匹。一共11匹，分 完后，邻居把自己的马牵了回去。 即 11 1 1 1
问题：只拆成了两个单位分 数的和，能拆成3个及以上的 单位分数的和吗？
12
2
4
6
分数的拆分
将单位分数化为两个单位分数之和
授课人：李萌
单位分数： 分子是“1”的分数。
1 1 1 1 1 , , , , ...... 2 3 4 5 6
例1：把下列分数拆成两个 相同的单位分数之和
1 , 3
1 , 4
1 , 5
1 6
例2：把下列分数拆成两 个不同的单位分数之和
1 , 3
1 , 4
1 , 5
1 6
每个分数只有
一种拆分方法吗？
1.首先找出分母6的因数：1,2,3,6。 2.选出其中两个因数（较大数与 较小数的商要不同），分子分母 同时乘这两个因数的和。 3.利用乘法分配律把分子展开， 分母直接求出结果。 4.把结果分成两个分数相加的形 式，并约分。
1 以 为例 6
第1讲—分数拆分
第一讲——分数拆分【知识要点】分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位（单位分数） 把一个分数分拆成几个分数单位之和或者差的形式叫做分数的拆分具体步骤如下：（以拆成2个位例子）1、 找分母的因数2、 扩分：把分数单位的分子、分母分别乘以分母的任意两个因数之和或差3、 拆分：把所得分数拆成两个分数之和或差，使两个因数恰好是两个分数的分子4、 约分：把所得两个分数约成最简分数【例题选讲】 一、yx n 111+=型 例题1、在等式1116x y =+中，求出所有整数解。
在这些解中，找出两个分数单位之差最小的，和两个分数单位中分母的和最大的分别四多少？例题2、已知两个不同的单位分数之和是201，则这两个单位分数之差（较大分数为被减数）的最小值是多少?例题3、已知等式B A 11181+=，其中A,B 是非0自然数，求A+B 的最大值。
二、111()()A =-型例题4、求出112的所有形如11a b -的表达式（其中a 、b 为自然数）。
三、11()()B A =+型 ；11()()B A =-型 例题5、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()1-1152= （2）()()112110+=四、111+()()B A =++……（）型 例题6、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()()1111211++= （2）()()()1112313++=（3）()()()()111194+++=五、应用例题7、四个连续的自然数的倒数之和等于1920，则这四个自然数两两乘积的和等于多少？例题8、已知：21111=+++育教人巨，其中不用的汉字代表不同的整数，问：巨×人×教×育=？例题9、在1到100这100个自然数中，找出10个不同的自然数，使得它们的倒数和为1.例题10、651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【练习巩固】1、 把21拆成两个不同的单位分数之和。
五年级奥数精品讲义 第11讲分数单位的分拆(有精讲,有分层精炼)
五年级奥数讲义第十一讲 分数单位的分拆一、 学法指导我们把分子为1，分母为自然数的分数叫单位分数，用“n1”(n 为非零自然数)来表示。
把一个单位分数拆成两个或多个单位分数和的形式叫单位分数的分拆。
常用公式： n 1=11+n +)1(1+n n 扩、拆约分法：1、找出已知单位分数分母的所有约数；2、给已知单位分数的分子、分母同时乘以两个或几个约数的和；（拆成两个单位分数的和就乘以两个约数的和，拆成三个单位分数的和就乘以三个约数的和）3、把扩分得到的分数拆成两个分数之和；4、把拆分后的两个分数经过约分，使其成为两个单位分数。
二、 例题：例1、已知131=()1+()1=()1+()1,求出（ ）中的自然数。
例2、把211写成两个不同的单位分数之和，一共有几种不同写法？例3、把151表示成三个不同的单位分数之和。
例4、把和式21+41+61+81+101+121中去掉两个分数的和，余下的分数的和等于1。
那么去掉的这两个分数是多少？例5、在算式181+○1+△1+□1=1符号○、△、□代表不同的整数，求这三个数 的和。
例6、已知101=A 1-B 1 求出满足条件的所有自然数A 和B 。
例7、下面的算式中，所有分母都是四位数，请你在每个方格中填入一个数字。
使得等式成立（全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
□□□□1 + 19881 = □□□□1三、 练习A 卷、基本能力训练1.已知x 、y 是互不相等的非零自然数，当181=x 1+y 1时，求x+y.2.将101拆成三个单位分数之和。
3.在下列（ ）内，填上适当的数（要求分母互不相等）：61=()1+()1=()1+()1 91=()1+()1154=()1+()1 4. 在下列（ ）内，填上适当的数（要求分母互不相等）：71=()1-()1 245=()1-()1=()1-()1 5.在数串1，21，31，41，51，61，……中找出5个数，使得它们的和为1。
分数拆分口诀
分数拆分口诀口诀一：分数拆分基础法同学们呀听我言，分数拆分很简单。
分母相乘作新母，交叉相乘分子添。
比如说呀三分之一，想拆成几分之一加几分之一。
先把分母写成两数积，1×3咱就不变。
分子呢，设为a和b，那就有a×3 + b×1等于1。
可以试出a是1，b是 - 2，就变成了二分之一减去六分之一啦。
就像搭积木，一块大积木（原分数）可以拆成两块小积木（拆分后的分数），按照这个方法来，分数拆分不再难。
口诀二：同母分数拆分诀同母分数要拆分，分子拆分是窍门。
好比一群小娃娃，住在一个大房子（分母相同）里。
要把他们分成小组就从分子来划分。
比如七分之五，就想成五个娃娃。
可以分成二和三，那就是七分之二加七分之三喽。
记住分子之和等于原来的数，分母一直不变化。
就像把一篮苹果分给不同的人，苹果总数不变，只是分配的份数变了而已。
口诀三：异母分数拆分步异母分数要拆分，先通分来后细分。
好像不同班级的小要一起做游戏就得先站到同一个操场上（通分）。
通分之后再看分子，按照前面说的方法进行拆分。
例如二分之一加三分之一，先通分变成六分之三加六分之二等于六分之五。
那要是把六分之五拆回去呢，就看分子5能怎么分成两个数，3和2就正好，再变回原来的分数形式就好了。
这就像把混合在一起的小豆子（通分后的分数），再按种类分开一样。
口诀四：单位分数拆分招单位分数拆分找因数是个妙法。
分母的因数要找全，一对一对来挑选。
比如说分母是12，12的因数有1、12，2、6，3、4。
选一对因数啊，像2和6，然后分子分母这样算。
分子就是2加6等于8，原分数十二分之一就拆成了八乘以十二分之二加上八乘以十二分之六，化简一下就是四十八分之一加上十六分之一啦。
就如同把一颗星星的光芒分散到不同的角落一样。
口诀五：分数拆分约简法分数拆分和约简，两者关系紧相连。
拆分完了要看看，能不能再化简。
就像整理房间，收拾完了还要检查有没有多余的东西。
如果拆出来的分数分子分母还有公因数，那就约掉它。
单位分数的拆分.
1 3） 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 1 28 7 28 28 28 28 28 14 29 28 29 讨论：
结论：将一个单位分数的分子与分母扩大一定倍数，使得分子可以化为几
上面怎样将一个单位分数拆分为几个不同的单位分数 母的因数即可。
把一个分数单位拆分成几个不同 的分数单位之和方法总结
把一个分数单位拆分成几个不同的分数 单位之和方法：一扩、把这个分数单位 的分子和分母同时乘以分母的几个因数 的和二拆、再根据同分母分数加法的计 算法则，就能很快地拆分成几个不同的 分数单位之和了。三约：最后约分.
1 1(1 2) 1 2 1 1 10 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15
例1．在括号里填上不同的数，使等式成立。
［分析与解］根据同分母分数加法的计算法则可知， 可以表示成三个分母是60的分数的和，要使这三个 分数约分后分子为1，每个分数的分子都必须是60的约数， 这道题就转化为把17拆分成60的三个约数的和。 例如：17=2＋5＋10，则有：
单位分数的拆分
把一个分数单位拆分成几个不同 的分数单位之和方法总结
什么叫分数的拆分？
• 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和 或差的形式，叫做分数的拆分。 • 例如：
1 1 1 18 54 27
1 1 1 6 2 3 1 1 1 18 45 30 1 1 1 12 3 4
想一想：你还能把
表示成哪三个不同分数单位的和？
例2． 把
表示成三个不同的分数单位的和。
［解］由例1得到启发，运用分数的基本性质，把
的分子和分母同时乘以一个相同的数（0除外）， 这道题便转化成了与例1同样的问题。
单位分数的拆分(教案)
《数学思维与能力训练》辅导讲义辅导时间 姓名单位分数的拆分【知识要点】1、一个单位分数，可以拆分成两个或两个以上单位分数的和或差，其形式为)(1)(11b a b n b a a n n +++= )(1)(11b a bn b a a n n ---= (a 、b 均是n 的约数) 2、利用上述公式，可以推出两个特例① )1(1111+++=n n n n 例如：613121+= ②)1(1111---=n n n n 例如：1321111121-=【夯实基础】［例题1］在 ( )中填上不同的数(1) )(1)(1)(1)(1)(1)(181+=+=+= (2))(1)(1)(1)(181+++= (1) 8的互质数对有1和8、1和4、1和2，11214188838589+++===⨯⨯⨯，故有 1111111812241040972=+=+=+ (2) 8的约数有1、2、4、8，112488815+++=⨯，故有111118153060120=+++［例题2］甲、乙合作加工一批零件，共需要15天，如果单独做，各需要多少个整天？学会单位分数的拆分，在编拟工程应用时大有用场∵ 241161901181601201151+=+=+= ∴ 答案有三种可能，即甲20天乙60天，或甲18天乙90天，或甲16天乙240天〖小试牛刀〗1、在 ( ) 中填上不同的数(1) )(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(161+=+=+=+= (2) )(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1181+=+=+=+=+=+=2、将201拆成两个分数单位的和，有几种拆法？并写出详细分法 3、计算：(1) 421113019201712156131+++++ (2) 4213012011216121----- 参考答案：1、(1)15110118191241814217161+=+=+=+= (2) 45130154118172124199122112612111801201181+=+=+=+=+=+= 2、4513617012814201211220122112012416013011001251201+=+=+=+=+=+=+= 3、(1) 原式 = ]716141313121[62111-++-+-+⨯+ = 36 + )7121(- = 36145 (2) 原式 = 71【拓展探究】［例题3］将下列和表示为一个最简分数 651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯111(1)1n n n n =-++ 参考答案：65 ［例题4］如果DC B A 111171-=+= (A ≠B)，则A + B + C +D = ∵421615618171-=+=，且表示方法唯一 ∴ A + B + C + D = 8 + 56 + 6 + 42 = 112［例题5］A 、B 都是三位数，且1998111=-B A ，求A 和B 利用公式 111()()()a b n n n n a b a b a b a b-==---- 参考答案：A = 629，B = 918 〖小试牛刀〗1、已知13611111=++++D C B A ，且A 、B 、C 、D 各不相同，求A 、B 、C 、D 四数的和 2、用2714、2528、5449分别除以一个分数单位a ，商都是整数，a 最大是多少？ 3、已知D C B A 1111151161+++=÷，求A 、B 、C 、D 四数的和 (A 、B 、C 、D 各不相同)参考答案：1、36191312136351111+++==+++D C B A ，故A + B + C + D = 50 2、由［27，25，54］= 1350，可知a 最大 =13501 3、16181412116151111+++==+++D C B A ，故A + B + C + D = 30。
第2讲 分数的分拆及答案
第二讲 分数的拆分参考答案【知识要点】1、基本概念单位分数:分子为1,分母是非零自然数的分数叫单位分数;分数的分拆: 把一个分数拆分成几个分数相加的和或差,叫做分数的拆分;2、方法和技巧 (1)把一个单位分数拆分成几个单位分数相加的和(或差); (2)把一个真分数拆分成几个单位分数相加的和(或差); (3)把一个假分数拆分成几个单位分数相加的和.3、分数拆分的意义 计算某些分数数列的和时,常采用“裂项相消法”,即先把其中的一些分数适当拆分,把算式中各项分解成两个数的差或和,使得其中一部分可以相互抵消,消去其中的若干个分数,从而达到简化计算的目地.4、几个常用的分数拆分公式:111)1(1+-=+⨯n n n n ; 11()k n n k n n k =-⨯++; 111)1(12++=+⨯+n n n n n . 一、巧填111()()a =+ 例1在等式1118()()=+的括号中填入适当的自然数,使等式成立. 解析 在等式1118()()=+中,从左往右看,是分数的拆分;从右往左看的话,则是分数的加法.因此可见,分数加减法和拆分是完全相反的两个过程.分数加法的计算过程:通分,合并,约分;所以拆分的过程为:扩分,拆分,约分.考虑8的约数:1,2,4,8.从中任选两个,取其和作为扩分的倍数.1121211;88(12)24242412+==+=+⨯+1141411;88(14)40404010+==+=+⨯+ 1181811;88(18)7272729+==+=+⨯+1242411;88(24)48482412+==+=+⨯+ 1282811;88(28)80804010+==+=+⨯+1484811;88(48)96962412+==+=+⨯+ 特殊地1111188(11)1616+==+⨯+. 注 1 解答形如111()()a =+之类的分拆题目,如果只求一组解,可用公式1111(1)n n n n =++⨯+直接写出;如果要求写出几组解,就先写出a 的约数,任取其中的2个约数,把1a的分子分母同时乘以这两个约数的和,再拆分成两个分数的和,通过约分,两个分数就都可以变成单位分数;如果要把1a的拆分成三个、四个单位分数的和,就取a 的三个、四个约数……练习一1.当1114x y +=时,求x y +的值. 解析 111111111,25;,16;,18.45204884612x y x y x y =++==++==++=所以这是一个简单的开放题.答: x y +的值可以是16,15,25等.2.写出两组满足条件1112004a b +=的,a b 的值,其中,a b 为两个不相等的四位数. 解析 思路与例1完全一样.11111(1,2)(1,3)20043006601226728016=+=+ 3.在111()21()+=的每个括号中填入一个数,且要求所填的两个分母均为两位数,这三个分母不互质,即其最大公约数不等于1.解析 111,(14,21,42)7211442=-=满足条件. 二、巧填1111......()()()a =+++ 例2 将110拆分成三个单位分数之和(任求一解). 解析 一种方法是:可以先分拆成两个单位分数的和,然后再将其一个单位分数再拆分;例如111111101111012132110=+=++;(答案不唯一) 另一种方法则是将例1的思想加以推广.例如11251251111010(125)808080804016++==++=++⨯++.其它的拆分方法可类似地得到,略. 练习二1. 试计算:1111113()()()()()=+=++(任求一解). 解析 111111341251220=+=++. 2.在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的数,使等式成立.111118()()()()=+++ 解析 1124812481111.88(1248)120120120120120603015+++==+++=+++⨯+++ 3.把1拆分成五个不同的单位分数之和(任写三组解).解析115;5111111111111111;222362461224712421111111111223344551111111111111 1;223344552561220281247141111282824=⨯=+=++=+++=++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--------⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++===++11.71428++其中最后一种方法是巧借完全数.三、巧填11() ()()mm n n=±<例3在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的自然数,使等式41115()()=+成立.解析思路与例1类似,考虑到分母15的约数有:1,3,5,15,发现其中的1与3的和正好等于分子,由此我们得到41311;1515155+==+同样41115604=+.所以拆分的结果不是唯一的.特别应该注意的是,并不是所有的真分数都可以分拆成两个单位分数的和,但一定可以分拆成多个单位分数的和.例如89不可能拆分成两个单位分数的和.练习三1.把下列真分数拆分成两个单位分数和或差的形式:(1)31116()()=+; (2)5111124()()()()=-=+.解析 (1)311;16816=+ (2)56111;2424424-==-541112424624+==+.2．若,a b是自然数,求符合条件11110a b=-的,a b的值.解析1111111. 10510840615 =-=-=-3．如果711,1212a a=+++那么a是多少? 解析711, 2.121222a=+=++请同学们思考题之，如何把假分数119拆分成四个单位分数之和.例如112111111111.99229922545=+=+++=+++拆分的方式很多,尤其是在分数的加减法运算中,具体如何拆分,关键看题的构造.例4 把1629表示成最少的几个分子为1、分母尽可能小且互不相同的分数的和.试写出这几个单位分数的和的式子.解析 原分数的分母29是质数,除了1和29外,没有其它约数.因此无法象例3那样进行拆分.解决的方法是:利用分数的基本性质,先扩分,再拆分.例如1616232122911129292585822958⨯++====++⨯. 这是由于2是除0和1外的最小的自然数,所以这样拆分是个数最少,分母也尽可能小,而且三个公母互不相同,答合题意.这道题也可以从最小的单位分数入手考虑,同样会得到相同的结果.练习四1.在下面算式的括号中,填入适当的不同的自然数:41115()()()=++. 解析 48125111510101052++===++;同样4161105111520202042++===++,所以答案不唯一.2.试将分数1323拆分成三个不同的单位分数之和. 解析 1326122311123464646232++===++. 3.有七个单位分数之和等于1,其中的三个分数分别是111,,51525,其余四个分数的分母都是偶数.请你写出这四个分数.解析 111232352,1,51525757575++=-=将其分解成分母均为偶数的四个单位分数的和即可,例如521041325751111.751501501505062+++===+++【课后精练与思考题】1.在下面的算式中, 所有的分母都是四位数,请在每个括号中填入一个适当的数,使等式成立.111()1998()+=解析 111(3,1)199813323996=-,(3,1)是借助于其约数3,1的差进行扩分.2.在下式中的方括号和圆括号中,分别填入适当的自然数,使等式成立,圆括号中应填多少?(1)[]()14914+=; (2) []()1291112+=(1999年小学数学奥林匹克预赛A(B)卷试题)解析 (1)[]()14914714+=; (2) []()1291193612+=. 3．在算式()[]{}1111181=+++中,()[]{},,代表三个不同的自然数,这三个自然数分别是多少？解析 17111.18932=++ 4.已知两个不同的单位分数之和是112,那么这两个单位分数之差的最小值是多少? 解析 最小值是184.因为12的约数有1,2,3,4,6,12,要使两个单位分数之差最小必须使这两个分数最接近,所以1343411111;.121271271272821212884+==+=+-=⨯⨯⨯ 试进一步思考,如何计算两个单位分数之差最大值呢?5．把13个苹果平均分给12个小朋友,每个苹果只允许分成两份、三份或四份.问:应该怎么分?解析 把13个苹果平均分给12个小朋友,每个小朋友得1312个.将分数分拆成分母分别为2,3,4的单位分数,得到133461*********++==++. 6．试计算747628290.125 3.211111111154261220321771658-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⨯---÷+++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解析 原式46470.12580.41111111111111154444822334453377111115⨯⨯=⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+÷+-÷+-÷+-÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 46470.4146471549.1213525315=⨯=⨯=⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭。
单位分数的拆分问题
探究课学习单——分数的拆分问题把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。
单位分数又叫埃及分数。
在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和，把一个真分数表示成两个（或几个）单位分数的和叫单位分数的拆分。
例如1116(10)(15)=+。
就是把一个单位分数拆成两个单位分数的和的形式，叫做单位分数的拆分。
怎样才能把一个单位分数拆成两个单位分数和的形式呢？我们仍然以1116( )( )=+为例， 因为（约分）（拆开）（扩分）1011515635625632565161+=⨯+⨯=⨯+=⨯⨯= 所以1116(15)(10)=+。
1.思考：扩分时为什么分子分母上要同时乘以5，还可以乘以其他数吗？你还有哪些拆分方法？试一试 1116( )( )=+1116( )( )=+1116( )( )=+ 1116( )( )=+1116( )( )=+1116( )( )=+ 例1．填空：11114( )( )=+，并写出过程。
解：例2．填空：11118( )( )=+，并写出过程。
解：2.把一个分数拆成三个或三个以上单位分数的和也可以用上面的方法吗？试一试吧。
例3．填空：111118( )( )( )=++。
3.以上方法还可以把一个单位分数写成两个单位分数的差，试一试吧例4．填空：①1116( )( )=-；②11112( )( )=-；③11156( )( )=-。
4.观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系？55= 1116176⨯和1116115 1116176176--==；663== 28168⨯和118263=2816168--==；22= 7963⨯和11972796363--==；你能用字母表示以上规律吗？5．拆分方法可以运用在分数加减运算中进行巧算例5．计算111111 2612203042 +++++。
例6．计算：22221 121414161618182020 ++++⨯⨯⨯⨯。
单位分数的拆分-教学设计
单位分数的拆分——教学设计一、教学目标：1、了解单位分数的数学史2、掌握单位分数的拆分方法及规律，并学会将一个单位分数拆分为多个单位分数之和3、通过单位分数的学习学会归纳单位分数的拆分方法4、通过学习，启发学生对分数的拆分的思考，包括真分数拆分为单位分数的方法二、教学重难点1、重点：单位分数拆分为几个单位分数之和的方法与规律的探究2、难点：通过特殊的几个单位分数拆分，总结与归纳一般的单位分数的拆分方法和规律.三、教学内容《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一。
作者是书记官阿梅斯。
将9个饼分给10个人，那么该如何分呢？由于当时古埃及关于分数的概念只有单位分数，即问题转化为： 每个人分得109，需要将109可以拆分为几个单位分数之和. 那么109可以拆分为几个单位分数之和呢？ 古埃及人约于公元前1700年已开始使用分数，当时，古埃及人用荷鲁斯之眼来记数。
古埃及人将荷鲁斯之眼拆解为6个部份，每个部份各代表着一个分数，构成一个等比级数，相加起来便是一个荷鲁斯之眼，代表着1。
具体而言即：事实上等式右边尚差 1/64 ，但古埃及人将其舍去不计。
思考一：)()()()(61+=)()()()(+=262262161⨯=⨯⨯=1211+=121121+= 363363161⨯=⨯⨯=1821+=182181+=91181+= 464464161⨯=⨯⨯=2431+=243241+=81241+= 868868161⨯=⨯⨯=4871+=487481+=868868161⨯=⨯⨯=4862+=486482+=81241+=)()()()(121+=)()()()(+=)()()()(+=212221221121⨯=⨯⨯=2411+=241241+= 612661261121⨯=⨯⨯=7251+=245241+= 612661261121⨯=⨯⨯=7242+=724722+=181361+=结论：任何一个单位分数都可以拆为两个单位分数之和思考二：拆分的规律或方法是什么？方法：分子分母同时扩大相同的倍数，将分子进行拆分，拆分为分母的两个因数之和猜想：若有n 1如何拆分呢？)()(11⨯⨯=n n )()(1c a n c a +⨯+⨯=)(c )(c a n c a n a +⨯++⨯=a 、c 为n 的因数思考三：一个单位分数可以拆成三个，或者更多的单位之和吗？规律又是如何呢？)()(11⨯⨯=n n)()(1 +++⨯+++⨯=c b a n c b a ++++⨯++++⨯++++⨯=)(c )(b )(c b a n c b a n c b a n a 、、、c b a 为n 的因数所以，“一个单位分数可以拆分为两个及两个以上的单位分数之和.”思考四：真分数如何拆分为几个单位分数之和呢？分面包问题:109拆为单位分数之和该怎么拆？201052121029109+++=⨯⨯=2010205202201+++=2141101201+++=。
单位分数拆分
单位分数的拆分例题精析把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。
问：最少要切几刀？一、分数变形问题例1．(1) 有一个分数，分子加3可约简为57，分子减3，可约简为12，求这个分数。
(2) 有一个分数，分母加1可约简为23，分母减1，可约简为34，求这个分数。
基础知识把单位“1”平均分成若干份，表示期中一份的数叫分数单位。
分数单位又叫埃及分数。
在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。
在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。
在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。
比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。
可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。
这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。
(3) 有一个分数，分母减1可约简为12，分母加12，可约简为13，求这个分数。
例2．(1) 有一个分数，分子减4可约简为13，分母减7，可约简为12，求这个分数。
(2) 有一个分数，分子加5可约简为34，分母减2，可约简为12，求这个分数。
例3．(1) 将分数2943的分子减去a ，分母加上a ，则分数可约简为35，求a.(2) 将分数3944的分子、分母均加上a ，则分数可约简为1617，求a.二、比较大小方法汇总1、通分(通分母或分子)2、比较与1的差距(有时可能比较与1/2的差距)3、比较倒数4、估计、放缩5、交叉相乘6、 (0,0)a a xa b x b b x +<<<>+例（1）1219和1522（2）23和1320（3）71718383和717171838383（4）11115541和111554（5）218101654321和152347456789（6）218191654321和152347456789（7）9991000和10001001（8）117448和207888（9）661998和66619998三、单位分数(埃及分数)例1．(1)18＝1()＋1()＝1()＋1()＝1()＋1()＝1()＋1()(2) 18＝1()＋1()＋1()＋1() （填不同的数）例2．甲、乙合作加工一批零件，共需15天，若单独作，各需多少个整天？例3．(1) 将下列和表示为一个最简分数：(2) 你能从以下99个埃及分数中挑出10个，使这10个埃及分数的和为1吗？21，31，41，51，…，991，1001． 例：1133121122366663⨯===+=+⨯11441311334121212124⨯===+=+⨯11551411445202020205⨯===+=+⨯方法一：111(1)1n n n n =+⨯++ 或 111(1)1n n n n =-⨯++方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是⑴ 找分母的约数；⑵ 扩分 把分数单位1A 的分子、分母分别乘A 的任意两个约数之和；⑶ 拆分 把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子；⑷ 约分 把所得两个分数约成最简分数。
单位分数拆分
数学第一讲 单位分数的拆分一、分数变形问题例1．(1) 有一个分数，分子加3可约简为57，分子减3，可约简为12，求这个分数。
解法1: 通分510714=,17214=，此时分母相同，分子差3，而由题意分子应差6，故再翻倍，520728=,114228=，所以原数为1728 解法2：设原数为y x ，则357312y x y x+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2817x y =⎧⎨=⎩(2) 有一个分数，分母加1可约简为23，分母减1，可约简为34，求这个分数。
解法1：通分子得：2636,3948==，此时分子相同分母差1，而由题意分母应差2，故再次翻倍，212312,318416==，所以原数为1217解法2：设原数为y x ，则213314y x y x ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪-⎩，解得1712x y =⎧⎨=⎩(3) 有一个分数，分母减1可约简为12，分母加12，可约简为13，求这个分数。
解法1：目前分子相同分母差1，而由题意应分子相同分母差13，故分子分母同时乘以13，113113,226339==，所以原数为1327 解法2：设原数为y x ，则1121123y x y x ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪+⎩，解得2713x y =⎧⎨=⎩例2．(1) 有一个分数，分子减4可约简为13，分母减7，可约简为12，求这个分数。
解：设原数为y x ，则413172y x y x -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得4519x y =⎧⎨=⎩(2) 有一个分数，分子加5可约简为34，分母减2，可约简为12，求这个分数。
解：设原数为y x ，则534122y x y x +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得167x y =⎧⎨=⎩例3．(1) 将分数2943的分子减去a ，分母加上a ，则分数可约简为35，求a.解法1：约分前分子分母总和不变29+43=72，分成3:5两份，即35=2745，可见a=2解法2：由题意得：293435aa -=+，解得a=2(2) 将分数3944的分子、分母均加上a ，则分数可约简为1617，求a.解法1：约分前分子分母差不变44-39=5，即16801785=，可见a=41解法2：由题意得：39164417aa +=+，解得a=41二、比较大小方法汇总1、通分(通分母或分子)2、比较与1的差距(有时可能比较与1/2的差距)3、比较倒数4、估计、放缩5、交叉相乘6、 例（1）1219_____1522真分数分子分母同时加3，故<(0,0)aa xa b x b b x +<<<>+（2）23_____1320与1的差距分别是13和720，而772120<，故>（3）71718383_____7171718383837171711017183838310183⨯==⨯, 717171711010171838383831010183⨯==⨯, 故=（4）11115541_____1115541111111055415540>，故>（5）218101654321____152347456789 与13比较，13=218107654321=152263456789，故<（6）218191654321____152347456789分别减去13得84654321和84456789，故<（7）9991000_____10001001显然<（8）117448_____207888与14比较，117448>14>207888，故>（9）661998_____66619998 661661066101866286661998998099801899989998+=<=<+三、单位分数(埃及分数)例1．(1)18＝1()＋1()＝1()＋1()＝1()＋1()＝1()＋1()解：8的约数有1，2，4，8，故有4种拆法：1211816161613118242412151184040101911872729==+==+==+==+(2) 18＝1()＋1()＋1()＋1() （填不同的数）1111111111,896324816896326012=+++=+++……例2．甲、乙合作加工一批零件，共需15天，若单独作，各需多少个整天？解：15的约数有1，3，5，15，故有4种拆法：121115303030141115606020161115909018116111524024016==+==+==+==+例3．(1) 将下列和表示为一个最简分数：111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯ 答：56(2) 你能从以下99个埃及分数中挑出10个，使这10个埃及分数的和为1吗？21，31，41，51，…，991，1001． 解：1111111111 (2233491010)1111111111261220304256729010=-+-+-++-+=+++++++++例4．(1) 若11111()7A B A B C D =+=-≠，则A ＋B ＋C ＋D ＝____. 解：111117568642=+=-，A ＋B ＋C ＋D ＝112(2) A 、B 都是三位数且1111998A B -=,求A 、B.答：A=666，B=999语文第一讲情节概括题期数：秋季年级：六年级编稿：刘薇责编：刘玉霞或者概括整个事件的情节，或者概括这个情节中的某几个部分。
单位分数的拆分法
单位分数的拆分法
大家都知道，分子为1，分母为大于1的自然数的分数，统称为单位分数。
然而，任何一个单位分数都可以拆分为多组两个单位分数之和，
如；；。
如果设被拆的单位分数为拆分后的两个加数的单位分数分别为、；
则可表示为：
上式中的n（即拆分的组数）等于原被拆单位分数分母m的约数中的个数，如：是被拆单位分数，8的约数中有1、2、4，所以n=3，即可分成3组；的分母13的约数中的只有1，所以只能拆分为一组。
其具体的简便拆分方法如下：以小于等于原被拆单位分数分母为m的每一个约数，加上原分母m，作为拆分后的第一个加数（即a）,并以该分母a与原分母m 的最小公倍数作为第二个加数的分母（即b），以此类推就可得到其它各组（即n组）加数的分母a和b。
例１：，8的约数中的是1、2、4，a1=1+8=9，a2=2+8=10，a3=4+8=12；
又8与9、8与10、8与12的最小公倍数分别为72、40、24，b1=72, b2=40, b3=24,
故；
例２：，13的约数中的只有1，a=1+13=14，b=182，；
例３：，78的约数中的只有1、2、3、6、13、26、39共7个，n=7；
而且可知：a1=79，a2=80，a3=81，a4=84，a5=91，a6=104，a7=117, 由此可知：b1=6162，b2=3120，b3=2106，b4=1092，b5=546，b6=312，b7=234，。
请注意，如果已经求出，根据和差之间的关系，用也可以得到，这样就有，也许在思维方式上更简捷些。
同时，上述的拆分方法，都是以排开=和a与b互换的情形。
川煤达竹金刚煤矿：向俊卿
邮编：635018。
分数的分拆(奥赛培训)
分数的分拆(奥赛培训)单位分数的“三步法”，假设有一个单位分数为A1，a 1和a 2 是任意两个约数，则：第一步扩分：把单位分数的分子和分母同时乘以（a 1＋a 2）；第二步拆分：把所得的分数拆成两个分数的形式，其中a 1、a 2分别是两个分数的分子；第三步约分：把所得的两个分数分别约简，便可得到求得结果。
用公式表式为A 1=()()()a a a a a a a a a a A A A 2122112121+⨯++⨯=+⨯+ =()()a a a a a a A A 21221111+⨯++⨯例1：BA 11101+=，其中A 、B 是两个不相等的自然数，A 和B 的和可能有几组解？各是多少？ 101=()()()1413515210552102521052+=+⨯++⨯=+⨯+ 101=()()()1111101101101010110110110101+=+⨯++⨯=+⨯+ ①⎩⎨⎧==1435B A ②⎩⎨⎧==11110B A例2：如果BA 1119971+=，求A ÷B 的商是多少？ ()199811998199711997119971997119971+⨯=+⨯+= ⎩⎨⎧=⨯=199819981997B A A ÷B=1997或A ÷B=1998÷（1997×1998）=19971 例3：如果将101表示成三个不同的分数单位的和，那么101=()()()111++ 101=()16140180180580280152110521++=++=++⨯++例4：有一个等式如下7017111=++c b a ，现在知道a 、b 、c 是两两不相同的自然数，试求a 、b 、c 的最大公约数。
()10171171770717701017107701077017+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=⨯+⨯+= =()1413517152105271++=+⨯++ ⎪⎩⎪⎨⎧===14357c b a 7、35和14的最大公约数是7。
单位分数的拆分公式
单位分数是指分子为1的分数，如1/2、1/3、1/4 等。
将单位分数表示为连分数（Continued Fraction）时，可以使用欧几里得算法（Euclidean Algorithm）进行拆分。
连分数是一种将分数表示为无限循环的形式。
例如，假设要将单位分数1/x 表示为连分数，可以按照以下步骤进行：
计算商和余数：
计算商q = floor(x)（floor 函数表示向下取整）。
计算余数r = x - q。
以商和余数为新的分数，并将分数倒置（取倒数）：
令新的分数为y = 1 / r。
重复步骤1 和2，直到余数为零或达到所需的精度。
每一步的商就是连分数的一个项。
最终，所有项组合在一起就是连分数的表示形式。
连分数的循环部分可以帮助你理解分数的无限循环性质。
欧几里得算法在计算机科学和数学领域中有广泛的应用，特别是在分数的表示和近似计算方面。
具体实现会涉及到编程和数学的复杂性。
如果你需要计算特定的连分数表示，请考虑使用编程语言或数学工具进行实现。
分数大小的比较与单位分数的分拆(YLK)
分数大小的比较与单位分数的分拆知识概要1．分数大小的比较方法有很多，主要有通分、倒数比较、相减比较、相除比较、交叉相乘等。
通分：⑴ 统一分母，比较分子，分子越大分数越大。
⑵ 统一分子，比较分母，分母越小分数越大。
倒数比较：倒数大的分数小于倒数小的分数。
相减比较：若有两个分数.,0;,0,cda b c d a b c d a b c d a b c d a b <<->>-则若则与相除比较：分数cd a b c d a b ÷，与的商为真分数，则c d a b <；商为假分数，则.c da b >交叉相乘：分数c d a b 与，如果bc>ad ，则cda b >。
除了以上几法，还有用“1”减法、公式法、化小数比较等等。
2．分数单位的分拆 （1）)1(1111+++=n n n n （2）111)1(1+-=+n n n n （3）),()()()(1212122112121的任意两个约数为A a a a a A a a a A a a a A a a A +++=+⨯+= Ⅰ 基础方法一、交叉相乘方法：把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后在比较两分数的大小。
例1．比较58和79的大小。
解：5789⨯⇒5945⨯=，8756⨯=⇒因为4556<，则5789<。
练习：比较37和13的大小。
二、用“1”比较。
方法：当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小时，先分别求出它们与1的差，差较小的分数大。
例2.比较2222122223和3333133334的大小。
解：因为22221212222322223-=，333313133********-=而232222333334⨯⇒23333466668⨯=，32222366669⨯=⇒因为6666866669<，232222333334<，所以22221333312222333334>。
第21讲 分数单位的拆分√√
第47讲 分数单位的拆分例1、已知m 、n 是互不相等的自然数，当101=m 1+n1时，求m+n 的值。
【思路导航】这道题是要把一个分数单位拆成两个分数单位的和，方法如下：先找到10的因数（1,2,5,10），然后任意取分母的两个因数（可以是相同的，也可以是不同的。
）具体计算过程如下： ()()14135170570270525210521101+=+=+=+⨯+⨯= 试一试：1、已知m 、n 是互不相等的自然数，当81=m 1+n1时，求m+n 的值。
2、在()()1161+=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
3、把61表示成三个不同的分数单位的和的形式。
例2、在()()11101-=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
【思路导航】这道题是要把一个分数单位拆成两个分数单位的差，只要任意取分母的两个不同的因数。
具体计算过程如下：()()4018140140540151510151101-=-=-=-⨯-⨯= 试一试：1、在()()11201-=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
2、在()()11161-=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
3、在()()()111121--=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
例3、在()()()111121-+=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
【思路导航】48124116148148248348123)123(12)123(1121-+=-+=-+=-+⨯-+⨯= 试一试：1、()()()111101-+=2、()()()111451+-= 例4、在()()11103-=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
【思路导航】这道题与前面的例题不同，它的分子不是1，而是3.所以还应考虑约分时要把3约去，取分母的因数时要使它们的和是3的倍数。
比如取1和5.具体计算过程如下：()()412016015603601535110513103+=+=+=+⨯+⨯= 试一试：1、在()()11125-=的括号里添上合适的自然数，使等式成立。
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讨论：
上面怎样将一个单位分数拆分为几个不同的单位分数
之和呢？
结论：将一个单位分数的分子与分母扩大一定倍数，使得分子可以化为几 个正整数的和，且这些正整数为分母的因数即可。
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把一个分数单位拆分成几个不同的 分数单位之和方法总结
把一个分数单位拆分成几个不同的分数 单位之和方法：一扩、把这个分数单位 的分子和分母同时乘以分母的几个因数 的和二拆、再根据同分母分数加法的计 算法则，就能很快地拆分成几个不同的 分数单位之和了。三约：最后约分.
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看 答案
二
下一 題
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1, 2, 6, 24，（ ），720
下一 題
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120
下一題
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想一想：你还能把 表示成哪三个不同分数单位的和？
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例2． 把 表示成三个不同的分数单位的和。 ［解］由例1得到启发，运用分数的基本性质，把
1×1 = 1
(猜一成语)
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一成不变
下一 題
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其中
(猜一数字)
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并驾齐驱
(打一个数学名词)
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平行
下一題
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垂钓
(打一个数学名词)
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看答案
等于（等鱼）
下一題
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五个手指
(猜一成语)
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看答案
三长两短
下 一題
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1 11 12 3 4
111 18 99 22
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例1．在括号里填上不同的数，使等式成立。
［分析与解］根据同分母分数加法的计算法则可知， 可以表示成三个分母是60的分数的和，要使这三个
分数约分后分子为1，每个分数的分子都必须是60的约数， 这道题就转化为把17拆分成60的三个约数的和。 例如：17=2＋5＋10，则有：
将一个单位分数拆分为几个不同的单位分数之和（方法二 ）
1） 1 3 1 2 1 2 1 1 2 6 6 66 63
2）
1 5
6 1 23 30 30
1 2 3 111 30 30 30 30 15 10
先扩后 拆法
3） 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1
再把其中的一个分数单位拆分成两个不同的分数单位之和 即可得到答案。如：
所以：
。
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填一填：
1 6
1
1
1
1
1
1 20
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
1
1
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把一个分数单位拆分成几个不同的分数单 位之和方法：一扩、二拆、三约.
看 答案
不三不四
下 一題
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考试不作弊
(打一个数学名词)
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看答案
真分数
下一題
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一扩：把这个分数单位的分子和分母同 乘以分母的几个约数的和（想一想：这是为 什么？），
二拆：根据同分母分数加法的计算法则， 拆分成几个不同的分数单位之和.
三约： 用这种方法，可以把一个分数拆 分成任意个不同的分数单位之和。
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案
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一加一
不是二
(猜一字)
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看答案
王
下一題
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八分之七
(猜打一成语)
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看答案
七上八下
下一題
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七除以二
(猜一成语)
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单位分数的拆分
把一个分数单位拆分成几个不同 的分数单位之和
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什么叫分数的拆分？
• 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式， 叫做分数的拆分。
• 例如：
111 18 54 27
1 11 6 23
111 18 45 30
的分子和分母同时乘以一个相同的数（0除外）， 这道题便转化成了与例1同样的问题。
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例3．把 表示成5个不同的分数单位的和。 ［分析与解］ 6的约数有：1、2、3、6。
的分子、分母同时乘以（1＋2＋3＋6），则有
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活动规则
• 1、本次活动由几个组以组为单位参与，并以抢答趣味数 学问题的形式开展。
• 2、最后，以得分高低决出胜方。
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抢答题（数学谜语）
答题规则: (1)举手抢答。 (2)每道题答题时间限制为3分钟,3分钟内答不 对将直接公布答