【2014】四川省成都市石室中学2014届高三上学期“一诊模拟”考试(二)试题 理科数学

石室中学高2014届2013-2014学年度上期“一诊”模拟考试（二）数学（理科）试题一．选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ,集合{1,2}A =,}5,2,0{=B ,则集合=B A C U )(（ ） A ．{}6,4,3 B ．{}5,3 C ．{}5,0 D ．{}4,2,02. 复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是（ ）B.C.5D.83. 下列命题的否定为假命题的是（ ）A.2,220x R x x ∃∈++≤ B. x ∀∈R ，lg 1x <C.所有能被3整除的整数都是奇数D.22,sin cos 1x R x x ∀∈+= 4. 已知ABC ∆的面积为2，在ABC ∆所在的平面内有两点P 、Q ，满足0=+PC PA ,BQ QA 2=,则APQ ∆的面积为（ ）A.13 B.12 C.23D.1 5. 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．406. 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ． 1B ．13C ． 12D ． 327. 执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出的S 值为（ ）A.7B.6C.5D.48. 将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是（ ）A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π9. 已知,a b R +∈，若向量(2,122)m a =-与向量(1,2)n b =的最大值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．3 10. 定义域为R的函数()f x 满足()()[)22,0,2f x f x x +=∈当时，()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)()2,00,1- B.[)[)2,01,-+∞C.[]2,1-D.(](],20,1-∞-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan α= 12. 在区间[]1,2-上随机取一个实数x ，则事件“122x≤≤”发生的概率为______13. 若等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫-⎪⎭展开式的常数项，则37a a =14. ，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是_______15. 若直线1y kx =+与曲线11||||y x x x x=+--恰有四个公共点，则k 的取值集合是______三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数2()2cos cos f x x x x m =+⋅+.其中,m x R ∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）当]2,0[π∈x 时，求实数m 的值，使函数)(x f 的值域恰为17[,],22并求此时()f x 在R 上的对称中心.17．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2， 侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上， 且14AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1； （Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且1n a n T =-，令()n n n c a b n *=∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n R .19．（本小题满分12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65,70)的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．（本小题满分13分）已知函数2()43,()52.f x x x a g x mx m =-++=+- ⑴当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若函数(sin )y f x =存在零点，求实数a 的取值范围并讨论零点个数；⑵当0a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x x =-. （1）当2a =时，求函数()y f x =在1[,2]2上的最大值；（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区间(0,3)上不单调，求a 的取值范围；（3）当2a =时，函数()()h x f x mx =-的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，又()h x '是()h x 的导函数.若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥.证明：12()0h x x αβ'+<.石室中学高2014届一诊模拟考试(二)数学理科答案11. 34-； 12. 3 ； 9； 15. 11{0,,}88- .三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16. (本小题满分12分)解：m x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2m x x +++=2sin 32cos 11)62sin(2+++=m x π………………………4分∴函数)(x f 的最小正周期T=π。

……………5分（2）20π≤≤x 67626πππ≤+≤∴x 1)62sin(21≤+≤-∴πx3)(+≤≤∴m x f m 又2127)(21=≤≤m x f 故，…………8分令2,6x k k Z ππ+=∈，解得,212k x k Z ππ=-∈，对称中心为3(,)2122k ππ-。

(12)分17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =，F ∴为AM 的中点，又E 为1AA 的中点，∴1//EF A M ， 在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 1//A D BM ∴，且1A D BM =，则四边形A 1DBM 为平行四边形，1//A M BD ∴，//EF BD ∴，又BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D ，//EF ∴平面1BC D ．·························· 5分 （Ⅱ）连接DM ，分别以MB 、MC 、MD所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,1)E -，(0,0,2)D，1C ，∴(1,0,2)BD =- ，(2,0,1)BE =-，1(BC =-．设面BC 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，面BC 1E 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，则由10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得1111120,20,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(2,0,1)=m ， 又由10,0,BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得2222220,20,x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(1,=n ，则cos ,||||⋅<>===m n m n m n ，……………11分故二面角E －BC 1－D．……………12分 18. (本小题满分12分)解（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵126a d +=，12922a d +=， ∴12a =,2d =，所以数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅=； ···················································· ···· 5分（Ⅱ）因为21111()2n a n n n T =-=-=-， 当1n =时，211112a T ==-=，当2n ≥时，111111()1()()222n n n n n n a T T --=-=--+=，且1n =时满足1()2n n a =， ··························································································· ···· 8分所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；所以1222n n n n n c -==，所以01211232222n n n R -=++++ ， 所以1242n n n R -+=-． ···································································································· ·· 12分 19. (本小题满分12分)解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5（2分）E设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =即中位数的估计值为77.5 (5分) （2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆），车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆） (7分) ∴0,1,2ξ=，2024261(0)15C C P C ξ===，1124268(1)15C C P C ξ===，0224266(2)15C C P C ξ===， ξ的分布列为(10分) 均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=. (12分 20. (本小题满分13分)解: ⑴令[]sin 1,1t x =∈-，22()43(2)1,f t t t a t a =-++=-+-∴函数()f x 图象的对称轴为直线2x =，要使()f t 在[]1,1-上有零点，则(1)0,(1)0,f f -≥⎧⎨≤⎩即80,0,a a +≥⎧⎨≤⎩80.a ∴-≤≤ 所以所求实数a 的取值范围是[]8,0-. ……3分当30a -≤<时，2个零点；当0a =或83a -≤<-，1个零点……………7分 ⑵当0a =时，22()43(2) 1.f x x x x =-+=--所以当[]1,4x ∈时，[]()1,3f x ∈-，记[]1,3A =-.由题意，知0m ≠，当0m >时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是增函数，[]()5,52g x m m ∴∈-+，记[]5,52B m m =-+.由题意，知A B ⊆15,352,0,m m m -≥-⎧⎪∴≤+⎨⎪>⎩解得6m ≥ ……9分 当0m <时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是减函数，[]()52,5g x m m ∴∈+-，记[]52,5,C m m =+-.由题意，知A C ⊆152,35,0,m m m -≥+⎧⎪∴≤-⎨⎪<⎩解得3m ≤- ……11分 综上所述，实数m 的取值范围是(][),36,.-∞-+∞ ……..12分 21. (本小题满分14分)解（1） ,2222)(2'x x x x x f -=-=函数)(x f y =在[21,1]是增函数，在[1,2]是减函数，……………3分所以111ln 2)1()(2max -=-==f x f ． ……4分 （2）因为ax x x a x g +-=2ln )(，所以a x xax g +-='2)(， ……5分 因为)(x g 在区间)3,0(上不单调，所以0)(='x g 在（0，3）上有实数解，且无重根，由0)(='x g ，有122+=x x a =)29,0(4)111(2∈-+++x x ，（)3,0(∈x ） ……6分 又当8-=a 时，0)(='x g 有重根2-=x ， ……7分综上∈a )29,0( ……8分（3）∵m x xx h --=22)('，又0)(=-mx x f 有两个实根21,x x ，∴⎩⎨⎧=--=--0ln 20ln 222221211mx x x mx x x ，两式相减，得)()()ln (ln 221222121x x m x x x x -=---， ∴)()ln (ln 2212121x x x x x x m +---=, ……10分于是)()ln (ln 2)(22)(212121212121'x x x x x x x x x x x x h ++---+-+=+βαβαβα))(12()ln (ln 2212212121x x x x x x x x --+---+=αβα． ……11分0))(12(,12,12≤--∴≤∴≥x x αααβ ．要证：0)(21'<+x x h βα，只需证：0)ln (ln 22212121<---+x x x x x x βα 只需证：0ln 212121>-+-x xx x x x βα．(*) ……12分令)1,0(21∈=t x x ，∴(*)化为 0ln 1<++-t t t βα，只证01ln )(<+-+=βαt t t t u 即可． ()u t 在（0，1）上单调递增，01ln ,0)1()(<+-+∴=<βαt tt u t u ，即0ln 2121<++-x x t x x βα．∴0)(21'<+x x h βα．……14分。