第1章多自由度体系自由振动分析

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振动分析1. 引言振动分析是一种研究和分析物体振动行为的方法。

振动是指物体在固有频率下的周期性运动。

振动分析可以应用于各个领域，如工程、物理学、机械等，以帮助我们理解和掌握物体的振动特性。

本文将介绍振动分析的基本概念、方法和应用。

2. 振动分析方法2.1 自由振动自由振动是指物体在无外力作用下以自身固有频率振动的现象。

自由振动可以用简谐振动模型来描述。

简谐振动是指物体在恢复力作用下按正弦或余弦函数的规律周期性振动。

2.2 强迫振动强迫振动是指物体在外力作用下振动的现象。

外力作用会改变物体原来的振动特性，使振动频率改变。

强迫振动可以通过叠加法和复合振动模型来描述。

2.3 阻尼振动阻尼振动是指物体在有耗散力的情况下振动的现象。

耗散力会使振动逐渐减弱，最终停止。

阻尼振动可以通过阻尼振动模型来描述。

2.4 频域分析频域分析是指将振动信号转换到频域进行分析的方法。

频域分析可以通过傅里叶变换将时域信号转换成频谱图，以研究振动信号中的频率成分和幅度。

频域分析常用于诊断和解决振动问题。

2.5 时域分析时域分析是指在时间轴上分析振动信号的方法。

时域分析可以通过绘制波形图、自相关函数和互相关函数来分析振动信号中的时间特性。

时域分析常用于振动信号的处理和特征提取。

2.6 模态分析模态分析是指通过确定物体的振动模态和固有频率来分析其振动特性的方法。

模态分析可以通过模态测试和有限元法进行，以确定物体的振动模态和模态参数。

模态分析可以帮助我们了解和设计物体的振动特性。

3. 振动分析应用振动分析在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的振动分析应用：3.1 结构健康监测振动分析可以用于结构健康监测，以检测和评估结构的损伤和变形情况。

例如在桥梁和建筑物中安装振动传感器，通过实时监测结构的振动信号，可以及时发现和诊断可能存在的结构问题。

3.2 故障诊断振动分析可以用于故障诊断，以检测和诊断机械设备的故障和异常情况。

通过分析机械设备的振动信号，可以判断是否存在轴承故障、不平衡、松动等问题，从而进行及时维修和更换。

振动理论09(1)-多自由度系统

正定系统中的各阶固有频率恒取正值半正定系统的每个零值固有频率对应着系统的一种刚
体运动形式：即系统没有弹性变形、离开中性平衡位置的整体的刚体转动或平动
例：三圆盘转动惯量均为I，中间两段轴的扭转刚度均为，求系统的固有频率及主振型
解：系统的动能为和势能分别为Leabharlann 代入拉格朗日方程，得到振动方程
下式中的是一个对角矩阵，称为主刚度矩阵
正则振型
主振型列阵表示系统作主振动时各坐标间的幅值的相对大小
由这样的主振型列阵构成振型矩阵，然后求得主质量矩阵，其对角元素各不相等
为方便起见，将各主振型正则化：对于每一阶主振动，定义一组特定的主振型－正则振型(Orthonormal mode)，满足
k21 m21 2
k22 m22 2
k2n2 m2n2 2
k2n1 m2n1 2
k2n m2n 2
kn21 m n21 2 kn22 m n22 2
k
n11
m
n11
2
kn12 m n12 2
k n 2 n 2 mn2n2 2 kn1n2 mn1n2 2
1
1
2
2
代入拉格朗日方程
外力虚功之和
P1 x1 m1
P2
P3
x2
x3
m2
m3
集中质量梁振动方程－柔度影响系数法
利用 ’
原理，把惯性力和外力共同作用在质量
上，由柔度影响系数求得变形，从而建立振动微分方程
P1
P2
P3
x1
x2
x3
m1
m2
m3
刚性支座上的无重量杆，杆上三个质量 1、 2、上的位移分别为 1、 2、 3. 是柔度影响系数

振动力学与结构动力学-(第一章).

摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章概论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章结构反应谱与地震荷载计算（8学时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。

结构动力学之多自由度体系的振动问题

3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1

0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

随机振动--第1章-1.1

影响乘坐的舒适性；降低机器及仪表的精度
危害人体健康；引起机械设备及土木结构的破坏；
琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等；振动检测；
?
√
√．系统设计和系统辨识
系统尚不存在，需要设计合理的系统参数，使系统在已知激励下达到给定的响应水平。

系统已经存在，需要根据测量获得的激励和响应识别系统参数，
以便更好地研究系统特性。

?√√已知系统的激励和响应
求系统参数
?√√确定系统的激励
实际系统力学原理微分
方程
解析
解
数学工具
理论分析
解决振动问题的方法。

动力学(第1章)

f
(t)
=
2P0
ωt π
∫ ∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt = 4ω π
π 2ω 0
f
(t) sin(iωt)dt
=
8P0 i2π 2
i −1
(−1) 2 (i
= 1,3,5,⋅⋅⋅)
6of12
结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员）
∑ 取
i=1~3
β1 算得：
=
1
−
1 ω2
= 1−ω
2ζω 3 2 + (2ζω )2
1+ 4ζ 2ω 2 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
5of12
结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员）
隔振要求：频率比： ω
=
ω
>
2⇒
ωn
阻尼比小：ζ ↓⇒ A ↓
B
A <1 B
但过小通过共振区不利
主动隔振：将振源隔开，使振动传播不出去（隔振器）
+ϕ)
振幅与相位角： A=
x02
+
⎜⎜⎝⎛
x&0 ωn
⎟⎟⎠⎞2
,ϕ
=
arctg
ωn x0 x&0
x
A
x&0
x0
t ϕ /ωn
t t +T
例题 1-1 求图示体系的固有频率
悬臂梁刚度：k1
=
3EI l3
与 K2 并联后等效刚度：k = k1 + k2 固有频率:ωn = k / m （串联弹簧）
l m
• •
能量守衡：We +Wd + Wf = 0 → ω = ωn →

多自由度体系

最后求第三主振型。将将3和3代入式（a),得
-6.054
K
32M
=
k 15
5
0
5 -5.027
3
0
3
-10.027
代入式（4-3-4），后两个方程为
-5Y13 5.027Y23 +3Y33 0 3Y23 +10.027Y33 0
令Y33 1，故式（f）的解为
Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
M
M
kn1
kn2
L
k1n
k2n
0
M
knn -2mn
（4-3-3b）
n个根12，22， n2
Y (i)表示与频率i相应的主振型：
Y (i)T =（Y1i Y2i Yni )
将i和Y (i)代入式（4-3-2）得
（K i2M）Y (i) 0
（4-3-4）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量 Y (1)，Y (2)，，Y (n)
（1）验算正交关系式（4-3-8）
2 0 0 0.924
Y (1)T MY (2) =(0.163, 0.569,1) 0 1 0 1.227 m
0 0 1 1
m0.163 2 (0.924) 0.5691 (1.227) 111
0.0006m 0
同理，
Y (1)T MY (3) 0.002m 0，Y (2)T MY (3) 0.002m 0
3
0
3
1.707
代入式（4-3-4）中并展开，保留后两个方程，得
-5Y11 6.707Y21 3Y31 3Y21 1.707Y31 0

多自由度系统振动理论及应用

多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

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４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与个别人难以相处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不良。因此 ,常会影响情绪 ,如鲠在喉。
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任务一了解自己与人交往的现状

3. 与他人交往平淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任务一了解自己与人交往的现状
2
任务二调整不良交际心态
任务一了解自己与人交往的现状

任务提出 :了解自己与人交往的现状。
任务目标 :了解自己与人交往的现状 ,激发学习热情 ,明确努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉妒心理。部分大学生不能正确对待别人的长处和优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽刺、挖苦、打击、嘲笑等不当方式 ,给别人造成伤害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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多自由度系统的振动、响应和求解

E
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为

多自由度振动系统的特征值问题与模态分析

多自由度振动系统的特征值问题与模态分析自由度是描述物体运动状态的重要概念，而多自由度振动系统则是指由多个物体组成的振动系统。

在工程领域中，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是非常重要的研究内容。

特征值问题是指在多自由度振动系统中，寻找系统的固有振动频率和振动模态的问题。

对于一个n自由度振动系统，其特征值问题可以表示为：[K] {x} + [M] {x} = \lambda [M] {x}其中[K]是系统的刚度矩阵，[M]是系统的质量矩阵，{x}是系统的振动位移向量，\lambda是特征值。

解特征值问题可以得到系统的特征值和特征向量，从而确定系统的固有振动频率和振动模态。

在解特征值问题时，常常采用模态分析的方法。

模态分析是一种将多自由度振动系统的特征值问题转化为一组独立振动模态的方法。

通过模态分析，可以得到系统的振动模态和相应的特征值。

振动模态是指系统在不同频率下的振动形态，而特征值则代表了系统的固有振动频率。

在进行模态分析时，通常需要进行模态求解和模态分解两个步骤。

模态求解是指求解特征值问题，得到系统的特征值和特征向量。

而模态分解则是将系统的振动模态表示为一组独立的振动模态，通常采用线性组合的形式表示。

在实际工程中，多自由度振动系统的特征值问题和模态分析具有广泛的应用。

例如，在建筑结构设计中，通过模态分析可以确定结构的固有振动频率，从而避免共振现象的发生。

在机械系统中，通过模态分析可以评估系统的动态性能和稳定性。

在航天器设计中，模态分析可以帮助设计师优化结构，提高航天器的抗振能力。

总之，多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是工程领域中重要的研究内容。

通过解特征值问题和进行模态分析，可以得到系统的固有振动频率和振动模态，从而对系统的振动特性进行分析和优化。

在实际应用中，特征值问题和模态分析对于工程设计和结构分析具有重要的意义。

两个自由度体系的自由振动

两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我们发现某些参数条件下，两个自由度体系可以发生共振或反共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在两个自由度之间转移，表现出能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上，缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和传递机制。

多自由度体系自由振动讲解

代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12

K22 m2 2

K1n
K2n
0

Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )

FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)

K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记

1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时，完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重点：频率、振型难点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1

多自由度体系的振动

振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信号，主动改变系统的振动状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系统振动能量，被动地抑制系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控制力，通过实时监测和反馈系统振动状态，主动调整控制力的大小和方向，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、滤波和模数转换，以便进行后续处理和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的振动，并使用主动控制算法产生

第001章自由振动

A sin( ω 0 t + θ )
θ ω0
π ω0
2π
3π
ω0
ω0
图1.2
《振动力学》讲义第1章自由振动振动的大小和起始状态由振幅A和初相角θ 两个常数确定，即由初始条件确定，它们与系统本身无关。振动的波动特性（简谐特性），由参数 ω 0 确定，它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此参数 ω 0 称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。系统的振动周期T和振动频率为
k2x2 (a +b) = k3x3a
《振动力学》讲义第1章自由振动
k3b k3a x3， x2 = x3 得： x1 = k1 ( a +b) k2 ( a +b)
1 2 1 2 1 2 V = k1x1 + k2x2 + k3x3 2 2 2 b2k3 a2k3 1 2 ]x3 = k3[1+ + 2 2 2 (a +b) k3 (a +b) k2
x = eλ t
λ 2 + ω02 = 0
特征值为 λ＝ ± iω 0， = − 1 为虚数单位 i
方程复数形式的特解为 e λ t = e i ω 0 t = cos ω 0 t + i sin ω 0 t 和 e − λ t = e − i ω 0 t = cos ω 0 t − i sin ω 0 t cos ω 0 t 和 sin ω 0 t
《振动力学》讲义
主讲人：主讲人：何锃
华中科技大学土木工程与力学学院
力学系
参考教材：参考教材：等编著. 振动力学》高等教育出版社，刘延柱等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002

多自由度(线性)阻尼系统振动讲义

第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移，定义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1

振动力学第1章自由振动资料

振动力学 Mechanics of Vibrations
§0.4 振动力学在工程中的应用
刘延柱陈文良陈立群
机械、电机工程中：振动部件的强度和刚度，机械的故障诊断，精密仪器和设备的减振和降噪等。
交通、飞行器工程中：结构振动和疲劳分析，舒适性、操纵性和稳定性问题等。
土建、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震引起的动态响应，矿床探查、爆破技术的研究等。
振动力学 Mechanics of Vibrations
刘延柱陈文良陈立群
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刘延柱陈文良陈立群
（b）周期振动－响应是时间的周期函数。
（c）准周期振动－若干个周期不可通约的简谐振动组合而成的振动。（d）混沌振动－响应为时间的始终有限的非周期函数。
（2）随机振动－响应为时间的随机函数。
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第1章多自由度系统的固有振动特性

第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。

多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。

因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。

§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。

即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。

3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。

（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。

5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。

（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。

（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。

（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。

（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。