2013-2014学年高中数学 3.1 二维形式的柯西不等式课后知能检测新人教A版选修4-5

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高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式

二一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）.定理 3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式定理设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni ini ini ii ba b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1;（2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一：用柯西不等式证明不等式例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二：用柯西不等式证明条件不等式例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三：用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2.由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2.当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xb x a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(x b x b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=x bx a cos sin +≥(a 32+b 32)32. 于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究思想方法探究问题试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以na a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a n a a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a na a a nn2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a -c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a -c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4. 人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。

3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)

小
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点的坐标分别为，根据△ 的边长关系，你能发现这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？

高中数学 3.1二维形式的柯西不等式练习新人教A版选修45

第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______．答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______．答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．。

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第三讲柯西不等式与排序不等式1.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.2.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.(1)柯西不等式向量形式: (2)(a2+b2)(c2+d2) 2 (ac+bd)2.⑶(X1—X2) 2+ (J1—^2)2 + yj(X2—X3) 2+ (j2—^3)2鼻V(Xl—占)2+ (必一必)2(通常称作平面三角不等式).3・用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：E n9i= laj• L n9i= 16^( L n,/=1«A)2.4.用向量递归方法讨论排序不等式・，1.在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景.学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质.2.准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力.3・1二维形式的柯西不等式学习目标.1.利用柯西不等式证明不等式.2.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.3.认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.均为实数，则____________________________________ ，其中等号当且仅当_______ 时成立.定理1（二维形式的柯西不等式的代数形式）：设a， b, c2.定理2（柯西不等式的向量形式）：设么，B为两个平面向量, 则_______ ,其中等号当且仅当两个向量____________________ 时成立.答案:\a\\p\^p\方向相同或相反（即两个向量共线）思考1几何意义：设么，B为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a9 b）, B（C9小,那么它们的数量积幻？= ________ ,而\a\=y/a2+b29 0|=费+护,所以柯西不等式的几何意义就是_______ ,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.3. 定理3（三角形不等式）: 设Xl，Jp X"丿2，兀3，必为任意实答案：ac+bd \a\\fi\数，则答案：\l（X X—X2）2+（必一丁2）2 + V （x2—x3）2+（力―丁3）yj （xt—x3）2+（Ji—2思考2 设a, b9 c9 d, m9 n都是正实数，P=y[ab-\-\[cd9 Q=yjma+nc •寸务+£则P 与Q 的大小关系是解析：由柯西不等式，得1.已知a, bWR, a 2+b 2=4f 则3a+2b 的最大值为（） A ・4 B ・2y[13 C ・8 D ・9 答案：B 2.设x, y f m 9 n>0,且学+彳=1，则的最小值是（）x yA ・（、/^i+、/齐FB ・、/万+丽C ・ m-\~nD ・（/n+〃）2答案：A3・已知a,方>0,且a+b=l,则场+牙的最小值为4.若3x+4y=2,求x+y 1的最小值及最小值点.解析：由柯西不等式有(x 2 +/)(32+42)(3x+4y)2,得25(x 2+ am^rnc•/)^4,：.x2+y2^f当且仅当扌=扌时等号成立，为求最小值点，需解3x+4r=2, X=25^x=y_・；o3_4>b=石因此，当y=25时，/+#的最小值为务，最小值点为(6_ 8},25' 255.若直线乡+扌=1通过点M(cos a , sin a),贝!J( )A ・ /+沪£1B . a 2-\-b 2^l C*+屛 1 D*+醫 1答案:D6・函数y=2寸l_x+寸2x+l 的最大值为 ________答案：37.已知2X 2+/=1,则2x+y 的最大值是 ______________答案：国區画国] 9.已知 &1 —沪+川I —,= 1,求证：/ +方2=].证明：由柯西不等式，得(刊1一方2+byjl —a 2)2[a 2+(1—a 2)][b 2 + (1—沪)]=1・当且仅当寸缶=洱歹时，上式取等号，:.ab=^l-a 2 • y)l~b 29 a 2b 2=(l-a)(l-b 2).于是 a 2+b 2=l.1Y 1} yGR,且xy=l 9贝!! 1+~ 1+~的最小值为() X) y)8.已知x,答案•：A10.设求证：/+方克证: a 8+A 8=|(l 2+l 2)[(aV+(*4)2]^|(lXa 4+lX64)2=|(a 4+ *4)2=| - \ (12+12) (/+於〉=|x|{(l 2+l 2)[(a 2)2+(*2)2]}2^ (1X a 2 4-1X b 2)2=^3(a 2 4- A 2)2=^3 • (a+b)2=^7. •••原不等式成立.解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x,则宽为忤2—込于是长方形 ABCD 的周长 /= 2(x+^4/?2-x 2)=2(l-x+l-^4/f 2-x 2), 由柯西不等式有 ______ 1 1l^2[x 2+(.^41?2-x 2)2]2( 12 +12)2 = 2^2 • 2R = 4y^R,等号成立、4,—*2____________ 0了= —j Ox=pR,此时宽为\I4R 2— (yj2R)2=^27?,即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4、/引?・12| (i 2+i 2) 3+們 ii ・在半径为/?的内，求周长最大的内接长方形.总方法川J箱二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求.2.理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆.另外，对等号“=”取到的条件是要从推导过程来理解的.。

二维形式的柯西不等式知识点梳理(经典系统全面知识点梳理)

课题：二维形式的柯西不等式1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用.2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用.3、学生必须掌握的内容：1．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.注意：1．二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件(1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．(2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号．(3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号．3．掌握二维柯西不等式的常用变式(1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.(2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|.(3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.4．基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效．4、容易出现的问题：在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置的对应易出错。

二维形式的柯西不等式

06
二维形式的柯西不等式的拓展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对三角形的面积进行估计，得到面积的上界和下界。
边长关系
式关系，如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边长之间的关系。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式素材新人教A版选修4_5

一二维形式的柯西不等式知识梳理1.维形式的柯西不等式若a,b,c,d 都是实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥__________,当且仅当__________时,等号成立.二维形式的柯西不等式的推论：(a+b)(c+d)≥__________ (a,b,c,d 为非负实数);2222d c b a +∙+≥__________ (a,b,c,d∈R );2222d c b a +∙+≥__________ (a,b,c,d∈R ).2.柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则|α·β|≤__________,当且仅当β是__________，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立.3.二维形式的三角不等式22222121y x y x +++≥___________(x 1,y 1,x 2,y 2∈R )推论：232232231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-≥____,(x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3∈R ). 知识导学本节学习的是经典不等式中的又一个（均值不等式已学过）柯西不等式，而二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求.柯西不等式与均值不等式作对比,柯西不等式中的字母、数较多,不容易记忆,这就要求认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程,从数与形两个方面来理解和记忆. 对等号“=”取到的条件要从推导过程中来理解.疑难突破1.对柯西不等式的理解柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会.(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,(a 2+b 2)(d 2+c 2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系,要有一定的认识.“二维”是由向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量：横纵坐标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.2.“=”取到的条件柯西不等式取“=”的条件,也不易记住,我们可以多方面联系来记忆,如(a 2+b 2)(c 2+d 2)≤(ac+bd)2，取“=”的条件是“ad=bc”,有点像a,b,c,d 成等比时，ad=bc 的结论,a,b,c,d 的顺序不等式中是对应排列顺序的,柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆.典题精讲【例1】解方程1521234=-++x x .思路分析：利用二维形式的柯西不等式把y=x x 21234-++变形后求最值，取“=”号的x 值即为要求的方程的根，即15是此时的最值.解：15=(x x 2122322-++∙)2 ≤［(2)2+22］［(232+x )2+(x 21-)2］ =6(2x+23+1-2x)=6×25=15. 其中等号成立的充要条件是2212232x x -=+,解得x=31-. 绿色通道：利用二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2，取“=”的条件是ad=bc.因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”，否则容易出错.【变式训练】求函数f(x)=x x -+-126的最大值及此时的x 值.思路分析：利用二维形式的柯西不等式，可以先平方，再开方.变形的目的是为了能利用柯西不等式.解：由柯西不等式，得（x x -+-126）2≤［12+12］［(6-x )2+(x -12)2］=2(x-6+12-x)=12, 即x x -+-126≤32. 故当6-x =x -12,即x=9时，函数f(x)取得最大值32.【例2】设a,b∈R +(i=1,2,…,n)，且a+b=2. 求证：bb a a -+-2222≥2. 思路分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求bb a a -+-2222的最小值.因而需出现（a 2+b 2)(c 2+d 2)结构.把b b a a -+-2222视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是（2-a ）+(2-b).证明：根据柯西不等式，有［(2-a)+(2-b)］(bb a a -+-2222) =［(a -2)2+(b -2)2］［(a a-2)2+(bb -2)2］ ≥(a -2·a a-2+b -2·bb -2)2=(a+b)2=4. ∴b b a a -+-2222≥)2()2(4b a -+-=2. ∴原不等式成立.绿色通道：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形.这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.【变式训练】已知a>b>c,求证:ca cb b a -≥-+-411. 思路分析：原不等式可变形为(a-c)(c b b a -+-11)>4. 又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式即可.证明：∵(a -c)(cb b a -+-11) =［(a-b)+(b-c)］［c b b a -+-11］ =［(b a -)2+(c b -)2］［(b a -1)2+(cb -1)2］ ≥(b a -b a -1+c b -cb -1)2=4. ∴原不等式成立.问题探究问题：两批货物需要从A 城市运往C 城市，途中要经过B 城市中转，从A 城市到B 城市是公路运输，两批货物的每吨运价相同，从B 城市运往C 城市需经航运，两批货物的每吨运价也相同，问总花费最少是多少？导思：可分别设两批货物分别为x 吨、y 吨.从A 到B 每吨运价是a ，从B 到C 每吨运价是b ，求(x+y)(a+b)的最小值即可.探究：设两批货物分别为x,y 吨，从A 运到B 运费每吨是a ，从B 到C 每吨是b. 则(x+y)(a+b)=［(x )2+(y )2］［(a )2+(b )2］ ≥(by ax +)2 (by ax +)2也就是总花费最少的值.。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修4_5

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修4_51．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．柯西不等式的向量形式中α·β≤|α|·|β|，取等号的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥ .事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．∵＋＝1，∴x2＋y2＝(x2＋y2)≥2＝(m ＋n)2.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax ＋by|≤1.证明：由柯西不等式，得(ax ＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1， ∴|ax ＋by|≤1.2.已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明：(a1b1＋a2b2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a2b22 ≥2＝(a1＋a2)2.3．设a ，b ，c 为正数，求证：＋＋≥ (a＋b ＋c)．证明：由柯西不等式，得·≥a＋b ，即·≥a＋b.同理·≥b＋c ，·≥a＋c ，将上面三个同向不等式相加，得2()a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥2(a＋b ＋c)，∴＋＋ ≥ ·(a ＋b ＋c).函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用。

人教版高中数学选修4-5《3.2一般形式的柯西不等式》知能检测及答案

【讲堂新坐标】（教师用书） 2013-2014 学年高中数学 3.2 一般形式的柯西不等式课后知能检测新人教 A 版选修 4-5一、1． a， b， c∈R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1，a＋ b＋ c的最大是 ()A ． 1B ． 3C．3 D ．9【分析】由柯西不等式得 [(a)2＋(b)2＋ ( c)2](1 2＋ 12＋ 12) ≥(a＋ b＋ c)2，∴(a＋b＋c)2≤ 3×1＝3.当且当 a＝ b＝ c＝1等号建立．3∴ a＋ b＋ c的最大 3.故 B.【答案】B2222222．已知 a1＋ a2＋⋯＋a n＝ 1， x1＋ x2＋⋯＋ x n＝ 1， a1x1＋ a2x2＋⋯＋ a n x n的最大()A ． 1 C．－ 1【分析】B ． 2D ．不确立∵ (a ＋ a＋⋯＋ a22＋ a2＋⋯＋ a22＋ x2＋⋯＋ x2 1x12x2n x n)≤(n)(x12n)＝1×1＝1.12n当且当 a i＝ x i＝n (i＝ 1,2，⋯， n)等号建立．∴ a1x1＋ a2x2＋⋯＋ a n x n的最大是 1.故 A.【答案】A3．若数a， b， c 均大于 0，且 a＋b＋ c＝ 3，a2＋b2＋c2的最小() A ． 3 B ． 13C. 3 D ． 3【分析】∵ a＋ b＋ c＝ 1·a＋1·b＋ 1·c，且 a，b， c 大于 0.由柯西不等式，2222222(1 ·a＋ 1·b＋ 1·c)≤ (1＋1＋ 1)( a ＋ b＋ c )∴ a2＋ b2＋ c2≥3，当且当 a＝ b＝ c＝ 1 等号建立．∴ a 2＋ b 2＋ c 2的最小值为 3.【答案】 D4．已知 A ．24 C ．36【分析】149x ， y ， z 均大于 0，且 x ＋ y ＋ z ＝ 1.则＋＋的最小值为 ()B ．30 D ．481 49(x ＋ y ＋ z)( x ＋ y ＋ z )1 ＋23 2＝ 36.≥(x · y · ＋z · ) xyz1 4 9∴ x ＋ y ＋ z ≥ 36. 【答案】 C二、填空题5．(2013 ·南高考湖 )已知 a ，b ，c ∈ R ，a ＋ 2b ＋ 3c ＝ 6，则 a 2＋ 4b 2＋ 9c 2 的最小值为 ________．【分析】∵ a ＋ 2b ＋ 3c ＝6，∴ 1×a ＋ 1×2b ＋1×3c ＝ 6.∴ (a 2＋ 4b 2＋ 9c 2)(1 2＋12＋ 12) ≥(a ＋ 2b ＋ 3c)2，即 a 2＋4b 2＋ 9c 2≥ 12当.且仅当 1＝ 1 ＝ 1 ，a 2b 3c即 a ＝ 2， b ＝ 1， c ＝23时取等号．【答案】 126．设 a ， b ， c ，x ， y ， z 都是正数，且 a 2＋b 2＋c 2＝ 25， x 2＋ y 2＋ z 2＝ 36，ax ＋ by ＋ cz ＝a ＋b ＋c ＝ ________.30，则x ＋ y ＋ z【分析】由柯西不等式知： 25×36＝ (a 2＋ b 2＋ c 2)(x 2＋ y 2＋ z 2) ≥(ax ＋ by ＋ cz)2＝ 302＝25×36，abc当且仅当＝＝＝ k 时取 “＝”．2222 2由 k (x ＋y ＋z ) ＝ 25×36，解得因此 a ＋ b ＋ c5x ＋ y ＋ z＝ k ＝ .65k ＝6.5 【答案】6三、解答题2227．已知实数 x ，y ， z 知足 x ＋ 2y ＋ z ＝ 1，求 t ＝ x ＋ 4y ＋ z 的最小值．(x 2＋ 4y 2＋ z 2)(1 ＋ 1＋1) ≥(x ＋ 2y ＋ z)2，∵x＋ 2y＋ z＝ 1，2＋ 4y222221∴ 3(x＋ z ) ≥1，即 x ＋4y＋z≥3.当且仅当 x＝ 2y＝z＝1，即 x＝1， y＝1， z＝1时等3363号建立．故 x2＋ 4y2＋ z2的最小值为1 3.8．已知 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 的全部系数均为正数，且a＋ b＋ c＝1，求证：关于任何正数x1， x2，当 x1·x2＝ 1 时，必有f(x1) ·f(x2 ) ≥ 1.【证明】因为 f(x)＝ ax2＋ bx＋c.且 a，b， c 大于 0.∴f(x1) ·f(x2)＝ (ax21＋ bx1＋ c)(ax22＋bx2＋ c)≥(ax1· ax 2＋ bx12＋ c)2· bx＝ (ax1x2＋ b x1x2＋ c)2＝ [f(x1x2)] 2＝ [f(1)] 2.又 f(1) ＝a＋ b＋ c，且 a＋b＋ c＝ 1，∴f(x1) ·f(x2) ≥ 1.9．务实数x， y 的值使得 (y－ 1)2＋ (x＋ y－ 2)2＋ (2x＋ y－6) 2取到最小值．【解】由柯西不等式，得(12＋ 22＋ 12) ×[( y－ 1)2＋ (2－ x－ y)2＋ (2x＋ y－6) 2]≥[1 ×(y－1)＋ 2×(2 －x－ y)＋ 1×(2x＋ y－6)] 2＝ 9，即 (y－ 1)2223＋ (x＋ y－ 2)＋ (2x＋ y－ 6)≥ ，2y－ 1 2－ x－ y 2x＋ y－ 6当且仅当 1 ＝2＝1，即 x＝5， y＝1时，上式取等号．22∴当 x＝5， y＝1时(y－1) 2＋ (x＋ y－2)2＋(2x＋y－ 6)2取到最小值．22教师备选10．△ ABC 的三边长a， b，c，其外接圆半径为 R.2221112求证：(a ＋ b ＋c )(sin2A＋sin2B＋sin2C) ≥ 36R.【证明】由三角形中的正弦定理得：a ，因此12＝4R22sin A＝，2R sin A a122 122同理＝4R2 ， C ＝4R2 ，sin B b sin c于是由柯西不等式可得22 24R 2 4R 2 4R 2 )左侧＝ (a＋ b ＋c)( 2 ＋ b 2 ＋ c 2a2R2R2R 2 2 ，≥(a · ＋ b · ＋ c ·＝ 36R a b c)∴原不等式得证．。

人教版高中数学选修4-5 《3.1 二维形式的柯西不等式》知能检测及答案

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1 二维形式的柯西不等式课后知能检测新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．4【解析】 ∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2，∴ax ＋by ≤ 2.【答案】 C2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3【解析】 ∵(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，∴a 2＋b 2≥2.【答案】 C3．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P <QC ．P ≥QD ．P >Q【解析】设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ax 2＋by 2·a 2＋b 2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q .【答案】 A4．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2的最小值为( )A ．1B ．2C.252D ．72【解析】 (a ＋1a )2＋(b ＋1b )2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b 2＝(a 2＋b 2)(1＋1a 2b 2)＋4， ∵a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝14， ∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1) ≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42＝17， ∴(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥172＋4＝252. 【答案】 C二、填空题5．函数y ＝1－x ＋1＋2x 的最大值为________．【解析】 y 2＝(1－x ＋1＋2x )2＝(1－x ＋2·12＋x )2≤[12＋(2)2][(1－x )＋(12－x )]＝92， ∴y ≤322，当且仅当 12＋x ＝2·1－x 即x ＝12时等号成立．【答案】 32 2 6．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为________．【解析】 (x ＋2y )(9x ＋2y) ＝[(x )2＋(2y )2][(3x )2＋(2y )2]≥(x ·3x ＋2y ·2y )2＝25，当且仅当x ·2y ＝2y 3x ，即x ＝245，y ＝85时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. 【答案】 258三、解答题7．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 【证明】设m ＝(a cos θ，b sin θ)，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝|a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ| ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ a cos θ2＋b sin θ2·1 ＝ a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 8．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求a 2＋b 2的值．【解】由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1，由a 1－b 2＋b 1－a 2＝1因此柯西不等式中等号成立．又当且仅当b 1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号，所以ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)，于是a 2＋b 2＝1.9．在半径为R 的圆内，求内接长方形的最大周长．【解】如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是 ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2)．由柯西不等式l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R .当且仅当x 1＝4R 2－x 21，即x ＝2R 时等号成立．此时，宽＝4R 2－2R 2＝2R ，即ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形周长最大，其周长为42R .教师备选10．求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【证明】设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B ＝－Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2时，取等号．由垂线段最短，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2.。

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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1 二维形式
的柯西不等式课后知能检测新人教A 版选修4-5
一、选择题
1．若a 2
＋b 2
＝1，x 2
＋y 2
＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2
D ．4
【解析】 ∵(ax ＋by )2
≤(a 2
＋b 2
)(x 2
＋y 2
)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. 【答案】 C
2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤1
2
B ．ab ≥1
2
C ．a 2
＋b 2
≥2
D ．a 2
＋b 2
≤3
【解析】 ∵(12
＋12
)(a 2
＋b 2
) ≥(a ＋b )2
＝4， ∴a 2
＋b 2≥2. 【答案】 C
3．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2
与Q ＝ax 2
＋by 2
的关系是
( )
A ．P ≤Q
B ．P <Q
C ．P ≥Q
D ．P >Q
【解析】设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n |
＝ ax 2
＋ by 2
· a 2
＋ b 2
＝ax 2
＋by 2
·a ＋b ＝ax 2
＋by 2
， ∴(ax ＋by )2
≤ax 2
＋by 2
.即P ≤Q . 【答案】 A
4．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则(a ＋1a )2＋(b ＋1b
)2
的最小值为( )
A ．1
B ．2
C.
252 D ．72
【解析】 (a ＋1a )2＋(b ＋1b
)2
＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b 2＝(a 2＋b 2
)(1＋1a 2b
2)＋4，
∵a ＋b ＝1，ab ≤(
a ＋b
2)2
＝14
， ∴a 2＋b 2
＝12
(a 2＋b 2)·(1＋1)
≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42
＝17， ∴(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥172＋4＝252.
【答案】 C 二、填空题
5．函数y ＝1－x ＋1＋2x 的最大值为________．【解析】 y 2
＝(1－x ＋1＋2x )2
＝(1－x ＋2·12
＋x )2≤[12＋(2)2
][(1－x )＋(12－x )]＝9
2
， ∴y ≤3
22，当且仅当
12＋x ＝2·1－x 即x ＝1
2
时等号成立．【答案】
32
2 6．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2
y
的最小值为________．
【解析】 (x ＋2y )(9x ＋2
y
)
＝[(x )2＋(2y )2
][(3
x
)2
＋(
2
y
)2
]≥(x ·
3
x
＋2y ·
2y
)2
＝25，当且仅当
x ·
2
y
＝2y
3
x
，即x ＝245，y ＝8
5时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8，
∴9x ＋2y ≥25
8. 【答案】
258
三、解答题
7．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2
≤a 2cos 2θ＋b 2
sin 2
θ. 【证明】设m ＝(a cos θ，b
sin θ)，n ＝(cos θ，sin θ)，
则|a ＋b |＝|a cos θ·cos θ＋b
sin θ·sin θ|
＝|m ·n |≤|m ||n |＝
a
cos θ 2
＋ b
sin θ
2
· 1
＝
a 2
cos 2
θ
＋b 2
sin 2θ
，
∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2
sin 2
θ
. 8．已知a 1－b 2
＋b 1－a 2
＝1，求a 2
＋b 2
的值．【解】由柯西不等式，得 (a 1－b 2
＋b 1－a 2)2
≤[a 2
＋(1－a 2
)][(1－b 2
)＋b 2
]＝1，由a 1－b 2
＋b 1－a 2
＝1 因此柯西不等式中等号成立．又当且仅当
b
1－a
2
＝
1－b
2
a
时，上式取等号，
所以ab ＝1－a 2
·1－b 2
，a 2b 2
＝(1－a 2
)(1－b 2
)，于是a 2
＋b 2＝1.
9．在半径为R 的圆内，求内接长方形的最大周长．【解】
如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2
－x 2
，于是 ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2
－x 2
)
＝2(1·x ＋1×4R 2
－x 2
)．由柯西不等式
l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12
＝22·2R
＝42R .
当且仅当x
1＝4R 2－x
2
1，即x ＝2R 时等号成立．
此时，宽＝4R 2
－ 2R 2
＝2R ，即ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形周长最大，其周长为42R .
教师备选
10．求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
【证明】设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2
＝(x －x 0)2
＋(y －y 0)2
，A 2
＋B 2
≠0.由柯西不等式，得
(A 2
＋B 2
)[(x －x 0)2
＋(y －y 0)2
] ≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2
＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2 ＝(Ax 0＋By 0＋C )2
，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2.
当且仅当
x －x 0A ＝y －y 0B ＝－Ax 0＋By 0＋C
A 2＋
B 2
时，取等号．由垂线段最短，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.。