3次方程根与系数的关系
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
方程两个根的关系
方程两个根的关系【最新版】目录1.引言：介绍方程及方程根的基本概念2.方程根的关系：一元二次方程根与系数的关系3.方程根的性质：根的判别式4.实际应用：方程根的关系在解决实际问题中的应用5.总结：方程根的关系的重要性和应用价值正文一、引言方程是数学中常见的一种表达形式，它由等号连接左右两边的代数式。
方程的解，也称为方程的根，是指能够使方程左右两边相等的未知数的值。
在代数学中，研究方程根与系数之间的关系具有重要意义。
二、方程根的关系：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
一元二次方程的两个根 x1 和 x2 满足以下关系：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a通过这两个关系式，我们可以根据已知的系数求解方程的根，也可以根据方程的根求解系数。
三、方程根的性质：根的判别式方程的根的性质可以通过判别式来描述。
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其判别式Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：1.当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；2.当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；3.当Δ < 0 时，方程无实根。
四、实际应用：方程根的关系在解决实际问题中的应用方程根的关系在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理、化学、生物、经济等领域，我们常常需要通过建立数学模型，利用方程根的关系来求解问题。
五、总结方程根的关系是代数学中的基本概念，它对于理解和解决实际问题具有重要意义。
根与系数的关系
根与系数的关系1．已知：方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，a、b、c为△ABC的三边且满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若a、b为方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0二根，求k的值．解：（1）∵方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，∴△＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，∵3a﹣2c＝b．∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a、b为方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0二根，且a＝b，∴△＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k﹣3）]＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得：k＝1或k＝﹣3，当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，（符合题意）；故k＝1．2．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．解：（1）将x＝2代入方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0，解得：a＝．将a＝代入原方程得﹣x2+2x﹣＝0，解得：x1＝，x2＝2．∴a＝，方程的另一根为．（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0；②当a≠1时，由b2﹣4ac＝0得4﹣4（a﹣1）2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2+2x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣1；当a＝0时，原方程为：﹣x2+2x﹣1＝0，解得：＝＝1．3．已知关于x的方程2x2﹣（2m+4）x+4m＝0．（1）求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）等腰△ABC的一边长b＝3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．解：∵△＝[﹣（2m+4）]2﹣4×2×4m＝4m2+16m+16﹣32m＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；（2）①当b＝c时，则△＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；②若b＝3是等腰三角形的一腰长，即b＝a＝3时，∵2x2﹣（2m+4）x+4m＝0．∴2（x﹣2）（x﹣m）＝0，∴x＝2或x＝m，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴m＝b＝3，∴c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8．综上所述，△ABC的周长为7或8．4．已知，关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若a，b是此方程的两个根，且满足（a2﹣a+1）（2b2﹣4b﹣1）＝，求m的值．解：（1）∵x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△＝4+4m≥0，解得：m≥﹣1；（2）将a，b代入一元二次方程可得：a2﹣2a﹣m＝0，b2﹣2b﹣m＝0，∴a2﹣2a＝m，b2﹣2b＝m，又（a2﹣a+1）（2b2﹣4b﹣1）＝，∴（m+1）（2m﹣1）＝，即（2m+5）（m﹣1）＝0，可得2m+5＝0或m﹣1＝0，解得：m＝1或m＝﹣（舍去）．5．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）＝﹣（k2+1），解得：k1＝0，k2＝2，∵k＞，∴k只能是2．6．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0有两个实数根．（1）求k得取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1、x2，且满足|x1|+|x2|＝4x1x2﹣5，求k的值．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[﹣（k+1）]2﹣4（k2+1）＝2k﹣3≥0解得：k≥；（2）∵k≥，∴x1+x2＝k+1＞0．又∵x1•x2＝k2+1＞0，∴x1＞0，x2＞0，∴|x1|+|x2|＝x1+x2＝k+1．∵|x1|+|x2|＝4x1x2﹣5，∴k+1＝4（k2+1）﹣5，∴k2﹣k﹣2＝0，∴k1＝﹣1，k2＝2，又∵k≥，∴k＝2．7．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+＝0（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．（2）若方程两实根分别为x1、x2且满足x12+x22＝|x1x2|+，求实数m的值．解：（1）由关于x的方程x2﹣（m+3）x+＝0，得△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×≥0，解得m≥﹣；（2）由根于系数的关系，得x1+x2＝m+3，x1x2＝＞0，x12+x22＝|x1x2|+，（x1+x2）2＝3x1x2+，（m+3）2＝+，解得m1＝﹣26（不符合题意，舍），m2＝2．8．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2＝0（1）请说明对于任意实数m方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝3﹣x1x2，求m的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2＝0，∴x2﹣3x+2﹣m2＝0，∴△＝9﹣4（2﹣m2）＝1+4m2＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2，∵（x1+x2）2＝3﹣x1x2，∴9＝3﹣2+m2，∴m＝±2．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝m2﹣1，求实数m的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4m＞0，即m＜；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝1，x1•x2＝m，∴1+m＝m2﹣1，整理得：m2﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1或m＝2，∵m＜，∴所求m的值为﹣1．10．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+＝1，求m的值．（1）证明：∵方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）是一元二次方程，∴△＝（m+2）2﹣8m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β＝，αβ＝，∵+＝1，∴＝＝1，解得m＝0，∵m≠0，∴m无解．11．关于x的方程x2﹣2k（x+1）x﹣k﹣2x＝0有实根；（1）若方程有一个实数根，求出这个根；（2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，且+＝﹣6，求k的值．解：（1）把原方程整理得：（1﹣2k）x2﹣（2k+2）x﹣k＝0，若方程有一个实数根，则1﹣2k＝0，解得：k＝，方程为：﹣3x﹣＝0，解得：x＝﹣；（2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝，∵+＝﹣6，∴＝﹣6，即＝﹣6，解得：k＝2．12．已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22﹣x1x2＝2，求m的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m（m﹣2）＝4m+1＞0，解得：m＞﹣，∵二次项系数≠0，∴m≠0，∴当m＞﹣且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝（）2﹣＝2，解得：m1＝+1，m2＝﹣+1（舍去）；∴m＝+1．13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣6，求k的值．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4k2≥0，解得k≤．（2）由根与系数关系知：，又|x1+x2|＝x1x2﹣6，化简代入得|2（k﹣1）|＝k2﹣6，∵k≤，∴2（k﹣1）＜0，∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣6，解得k1＝﹣4，k2＝2（舍去）∴k＝﹣4．14．已知关于x的方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这方程的两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值．解：（1）∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0有两个实数根，∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0；（2）设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣2）…①，x1•x2＝k2+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22＝x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2＝21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）＝21，∴k＝17（舍去）或k＝﹣1，∴k＝﹣1．15．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0．（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根．（2）若这个方程的两个实数根x1、x2满足|x1﹣x2|＝4，求m的值．解：（1）∵△＝（m﹣2）2﹣4×（m﹣3）＝（m﹣3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝2﹣m，x1．x2＝m﹣3，∴|x1﹣x2|＝＝＝4，解得：m1＝0，m2＝6．16．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根；（3）设x1，x2是方程的两个实根，若2x1+x1x2+2x2＝8，求k的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，即4k＞﹣9，解得k＞﹣；（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；取k＝﹣2，原方程为x2﹣3x+2＝0，解得，x1＝1，x2＝2；（3）∵x1，x2是方程的两个实根，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣k，∵2x1+x1x2+2x2＝8，∴2（x1+x2）+x1x2＝8，即2×3﹣k＝8，解得k＝﹣2．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两根为x1，x2，求出当＝﹣4时k的值．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝k﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣3）＝k2+2k+1﹣4k+12＝k2﹣2k+13＝（k﹣1）2+12＞0，∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝k+1，x1•x2＝k﹣3，∴＝＝＝＝﹣4，解得：k1＝﹣2，k2＝﹣﹣2．18．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围．（2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k的值．解：（1）∵一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，∴k≤；（2）∵方程的两个实数根互为倒数，∴x1x2＝k2﹣1＝1，∴k＝±，∵k≤，∴k＝﹣．19．已知关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+＝0有两不等根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）是否存在+＝0的m的值？说明理由．解：（1）∵一元二次方程mx2+（m+2）x+＝0有两不等根，∴△＝（m+2）2﹣4m×＝4m+4＞0，解得：m＞﹣1；（2）∵一元二次方程mx2+（m+2）x+＝0有两不等根x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴+＝＝﹣＝0，∴m＝﹣2，∵m＞﹣1，∴不存在+＝0的m的值．20．已知关于x的方程x2+kx﹣1＝0．（1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？（2）若方程的一个根是2+，求另一根及k的值．解：（1）有道理，△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4，∴k2≥0，∴k2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为a，∵方程的一个根是2+，∴a（2+）＝﹣1，解得：a＝﹣2+，﹣2++2+＝﹣k，k＝﹣2．21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，且满足αβ＝1，求m的值．（1）证明：∵△＝（m+2）2﹣8m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得αβ＝，∵αβ＝1，∴＝1，∴m＝2．22．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m＝0（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根．（2）设x1、x2使（1）中所得方程的两个根，求x1x2+x1+x2的值．解：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即32﹣4（1﹣m）＞0，解得m＞﹣，所以m可取1；（2）∵m＝1时，方程为x2+3x＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝0，∴x1x2+x1+x2＝0﹣3＝﹣3．23．已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m2＝0的两根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×m2≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是m≤1；（2）由两根关系，得根x1+x2＝4（m﹣2），x1•x2＝4m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即4（m﹣2）＝0，解得m＝2，∵m≤1，∴m＝2不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2，∴△＝0，由（1）知m＝1，故当x12﹣x22＝0时，m＝1．24．已知关于x的方程x2﹣2ax+a﹣1＝0；（1）求证：方程必有两个不相等的实数根．（2）当a取何值时，方程的两根都是正数？（1）证明：△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+4＝（2a﹣1）2+3，∵不论a为何值，（2a﹣1）2+3＞0，∴△＞0，所以方程必有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2＝2a，x1•x2＝a﹣1，∵方程的两根都是正数，∴2a＞0且a﹣1＞0，解得：a＞1，当a＞1时，方程的两根都是正数．25．已知关于x的一元二次方程x2+x+2m﹣1＝0．（1）请你为m选取一个合适的正整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2是（1）中所得到的方程的两个实数根，求x12+x22+x1x2的值．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝15﹣4（2m﹣1）＞0，解得m＜．∴m＝1．（2）当m＝1时，则得方程x2+x+1＝0，∵x1，x2是方程x2+4x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝1，∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2＝（﹣）2﹣1＝14．26．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+2m﹣1＝0：（1）若其根的判别式为﹣20，求m的值；（2）设该方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．解：（1）△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣10m+5，∵△＝﹣20，∴m2﹣10m+5＝﹣20∴m2﹣10m+25＝0解得m1＝m2＝5∴m＝5；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝m﹣1，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2 x1x2＝（m﹣1）2﹣2（2m﹣1）＝10，∴m2﹣6m﹣7＝0，解得：m1＝7，m2＝﹣1，当m1＝7时，△＝m2﹣10m+5＝﹣16＜0 方程无实数根，不符合意愿，舍去；当m2＝﹣1时，△＝m2﹣10m+5＝16＞0符合题意．∴m＝﹣1．27．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．解：（1）由题意有△＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，∴实数m的取值范围是m≥﹣1；（2）由两根关系，得x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1，（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16＝0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16＝0，∴m2+8m﹣9＝0，解得m＝﹣9或m＝1∵m≥﹣1∴m＝1．28．已知，关于x的方程x2﹣2mx＝﹣m2+2x有两个实数根x1、x2．（1）若2m﹣3＜0，求实数m的取值范围；（2）若x1、x2满足丨x1丨＝x2，求实数m的值．解：（1）方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2＝0，∵关于x的方程x2﹣2mx＝﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；2m﹣3＜0，m＜，∴﹣≤m＜；（2）∵|x1|＝x2，∴x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，解得m＝﹣1，而m≥﹣，所以m＝﹣1舍去，∴m的值为﹣．29．已知：关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣2m2+m＝0（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22＝2，求m的值．解：（1）∵△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4（﹣2m2+m）＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2≥0，∴方程总有实数根；关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣2m2+m＝0（2）∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝﹣2m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（m﹣1）2﹣2（﹣2m2+m）＝2，解得m1＝﹣，m2＝1．30．已知x的一元二次方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0有两个实数根，设它的两个根分别为x1、x2．（1）求k的取值范围．（2）若x1、x2满足x1x2﹣（x1+x2）＝3，求k的值．解：（1）∵一元二次方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0有两个实数根，∴△＝4（k﹣2）2﹣4（k2+4）＝﹣16k≥0，∴k≤0；（2）∵一元二次方程x2+2（k﹣2）x+k2+4＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣2）＝﹣2k+4，x1x2＝k2+4，∴x1x2﹣（x1+x2）＝k2+4﹣（﹣2k+4）＝k2+2k＝3，解得：k1＝﹣3，k2＝1，∵k≤0，∴k＝﹣3．31．已知：关于x的方程x2+（1﹣2t）x+t2＝0（1）若方程有两个相等的实数根，求t的值；（2）是否存在t，使方程的两个实数根的平方和等于7？若存在，请求出满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵关于x的方程x2+（1﹣2t）x+t2＝0有两个相等的实数根，∴△＝（1﹣2t）2﹣4t2＝0，解得：t＝；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2＝2t﹣1，x1•x2＝t2，令x12+x22＝7得：（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2t﹣1）2﹣2t2＝7，解这个方程得，t＝3或m＝﹣1，当t＝3时，△＜0，所以不合题意，应舍去，当t＝﹣1时，△＞0，所以存在实数t＝﹣1，使得方程的两个实数根的平方和等于7．32．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0，（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）设x1，x2是方程的两根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2﹣k，求k的值．解：（1）△＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8，∵k2≥0，∴k2+8＞0，即△＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵设x1，x2是方程x2+kx﹣2＝0的两根，∴x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣2，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣2+k+1＝k2﹣k解得：k1＝k2＝1．33．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）求使方程有两实数根的实数m的取值范围．（2）若方程的两实数根为x1、x2，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．解：（1）要使方程有两实数根，则需△＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）≥0，解不等式得：m≥﹣2；（2）因为（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣3或4，又因为x1+x2＝2（m+1），所以2（m+1）＝﹣3或2（m+1）＝4，解得m＝﹣或m＝1，又因为m≥﹣2，所以m＝﹣舍去，所以m＝1．34．已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值．（1）证明：①当k＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵△＝（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）＝（k+1）2≥0，∴无论k为任何实数，方程总有实数根．（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，即﹣4×＝4，解得：＝±2，即k＝1或k＝﹣，经检验k＝1或k＝﹣是方程的解，则k＝1或k＝﹣．35．已知关于x的方程：（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求k的取值范围；（2）如果x1＝﹣2是原方程的一个实数根，求k的值及另一个根x2；（3）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且△＝﹣12k+13＞0，可解得k＜且k≠1；（2）∵x1＝﹣2是原方程的一个实数根，∴4（k﹣1）﹣2（2k﹣3）+k+1＝0解得：k＝﹣3∴方程为：﹣4x2﹣9x﹣2＝0解得：x＝﹣2或x＝﹣，∴k的值为﹣3，另一根为﹣；（3）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2＝0，∴﹣＝0，∴k＝，又∵k＜且k≠1，∴k不存在．36．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x13+x23）﹣（2m+1）（x12+x22）+2（x1+x2）+5的值．（1）证明：m≠0，∵△＝（2m+1）2﹣4m×2＝（2m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x＝，∴x1＝2，x2＝，∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，∴m＝±1；（3）解：∵方程的两个实数根分别为x1、x2，∴mx12﹣（2m+1）x1+2＝0，mx22﹣（2m+1）x2+2＝0．∴mx13﹣（2m+1）x12+2x1＝0，mx23﹣（2m+1）x22+2x2＝0．∴原式＝mx13﹣（2m+1）x12+2x1+mx23﹣（2m+1）x22+2x2+5＝0+0+5＝5．37．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求的a取值范围．（2）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．（3）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴，即，解得a≥0且a≠6；（2）存在．∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，△＝（2a）2﹣4a（a﹣6）＝24a≥0，∴a≥0，∵﹣x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+x2+x1，即＝4﹣，解得：a＝24；（3）∵由（2）知，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴（x1+1）（x2+1）＝x1•x2+x1+x2+1＝﹣++1．∵（x1+1）（x2+1）为负整数，∴﹣++1＜0，即＜0．∵a＞0且a≠6，∴a＝7，8，9，12．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22＝5，求m的值，并求出此时方程的两根．（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m2+6m+9﹣4m﹣4＝m2+2m+5＝（m+1）2+4，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+4＞0，则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，而x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝5，∴（m+3）2﹣2（m+1）＝5，∴m2﹣4m+2＝0，解得∴m＝﹣2+或﹣2﹣．当m＝﹣2+时，x2+（1+）x+﹣1＝0．解得x1＝，x2＝；当m＝﹣2﹣时，x2+（1﹣）x﹣﹣1＝0．解得x1＝，x2＝．39．已知关于x的一元二次方程px2﹣（3p+2）x+2p+2＝0（p＞0）．（1）求证：无论p为何值时，此方程总有两个不相等的实数根．（2）若设这个方程的两根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．且S＝x2﹣2x1，求S关于p的函数解析式．（1）证明：△＝[﹣（3p+2）]2﹣4p（2p+2）＝p2+4p+4＝（p+2）2＞0，∴无论p为何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1＜x2∴∴40．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）试说明无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两根分别是p和3，试求|p﹣3|的值．解：（1）△＝（m+2）2﹣4（m﹣1）＝m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得p+3＝m+2，3×p＝2m﹣1，∴p＝1，∴|p﹣3|＝|1﹣3|＝2．。
根与系数的关系
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
根与系数关系的推导过程
根与系数关系的推导过程
在研究多项式方程时,求解多项式方程的根与方程系数之间的关系是非常重要的。
通过建立根与系数的关系,我们可以直接由系数来判断方程是否存在实根、求解方程的实根,或者直接获得其他有关根的信息。
下面我们将推导出一般n次多项式方程根与系数的关系公式。
设n次多项式方程为:
x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_1x + a_0 = 0
假设该方程有n个根,分别为α_1,α_2,...,α_n,则可以将左边展开为: (x - α_1)(x - α_2)...(x - α_n) = 0
将两边展开,比较同次项系数,我们可以得到:
1) 常数项a_0与所有根的乘积有关:
a_0 = (-1)^n * α_1α_2...α_n
2) 次数为n-1的项系数a_(n-1)与所有根的和有关:
a_(n-1) = (-1)^(n-1) * (α_1 + α_2 + ... + α_n)
3) 次数为n-2的项系数a_(n-2)与所有根的平方和有关:
a_(n-2) = (-1)^(n-2) * (α_1α_2 + α_1α_3 + ... + α_(n-1)α_n)
...
k) 次数为n-k的项系数a_(n-k)与所有k次根式有关,其中一个k次根式为:
α_(i1)α_(i2)...α_(ik), 1≤i1<i2<...<ik≤n
最终我们得到了一个包含n个方程的方程组,这n个方程刻画了n次方程根与系数之间的精确关系。
利用这些关系,我们可以由已知的系数去推导方程的根,反之亦然。
这为多项式方程的理论研究和应用奠定了基础。
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式一、介绍在初中数学的学习中，根与系数的关系和完全平方公式是一个重要且基础的内容。
掌握了这两个概念和方法，可以帮助学生更好地解决代数题目，提高解题效率和准确率。
本文将分别介绍根与系数的关系和完全平方公式的相关知识，并共享解题方法，帮助学生更好地理解和运用这两个重要的数学概念。
二、根与系数的关系1. 什么是根与系数？在代数中，一个一元二次方程可以用一般形式表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根指的是能够使方程成立的未知数的值，不同的根可以使方程等式成立。
而系数则是指在方程中与未知数相关的常数。
2. 根与系数的关系根与系数之间存在着重要的关系，这一关系可以通过韦达定理来描述。
设一元二次方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下结论：（1）根的和与系数的关系x₁+x₂=-b/a根的和等于一次项系数b的相反数除以二次项系数a的负数。
（2）根的积与系数的关系x₁x₂=c/a根的积等于常数项c除以二次项系数a。
通过根与系数的关系，我们可以利用方程的系数来求解方程的根，或者根据已知的根来推导方程的系数，从而更好地理解方程的性质和特点。
三、完全平方公式1. 什么是完全平方公式？在代数运算中，完全平方公式是指一个代数式能够被一个一元二次不等式平方并展开成二次式的方法。
对于一元二次不等式(a+b)²，根据完全平方公式展开后得到a²+2ab+b²。
2. 完全平方公式的应用完全平方公式在代数运算中有着广泛的应用，尤其是在解决代数方程或不等式的过程中。
通过完全平方公式，我们可以将一个一元二次不等式进行因式分解，从而更好地理解并解决数学问题。
四、解题方法1. 根与系数的关系的解题方法（1）已知方程的系数求根当已知一元二次方程的系数时，我们可以通过根与系数的关系来求解方程的根。
根与系数的关系一元二次方程
根与系数的关系一元二次方程
嘿，宝子们！今天咱来唠唠一元二次方程里那奇妙的根与系数的关系呀！这关系可太重要啦！就好比是一把解开方程秘密的钥匙呢！
比如说方程x²+3x-4=0，它有两个根，咱可以通过计算或直接求解发
现这两个根。
那根与系数有啥关系呢？哈哈，这关系可神了，韦达定理就说明白啦！在一元二次方程ax²+bx+c=0 中，两根之和就等于 -b/a，两根之积就等于 c/a 呀！咱就拿刚才那个例子，两根之和不就是 -3 嘛，两根之积
就是 -4，神奇不神奇？这就好像你知道了一个人的特点，就能猜到他下一
步会干啥一样！
根与系数的关系用处可大了去了呀！咱可以用来判断方程根的情况。
你想想，要是能一下子就知道根的大概情况，那得多厉害呀！就好比你知道前方道路的状况，心里就有底了呀！还能快速解题呢，节省好多时间呢！哎呀，真的是超棒的哟！宝子们，一定要好好掌握这个神奇的根与系数的关系呀！。
高次方程的根与系数的关系及其应用研究
利用根与系数的关系解决几 何问题
利用根与系数的关系解决数 列问题
在数学研究中的应用
代数方程的求解：通过根 与系数的关系，可以更快 速地求解高次代数方程。
数学分析：根与系数的关 系在高次方程的导数和积 分等数学分析中也有应用。
数学建模：利用根与系数 的关系，可以建立更精确 的数学模型，解决实际问
对称性的应用：根的对称性在高次方程的求解、不等式的证明等方面有广 泛的应用，可以简化计算过程。
举例说明：以一元三次方程为例，其根的对称性可以通过系数之间的关系 式进行证明，并应用于求解其他高次方程。
根与系数互为反函数
根与系数的关系：对于 一元n次方程，根与系 数之间存在一定的关系，
可以通过求解得到
在数学教育中的应用前景
提高学生数学思维能力
帮助学生理解抽象概念
促进数学与其他学科的融合
为数学教育提供新的教学方法 和手段
在数学研究中的应用前景
代数方程的求解：高次方程根 与系数关系的应用可以帮助解
决复杂的代数方程问题。
数学建模：通过高次方程根与 系数关系，可以建立更精确的 数学模型，用于解决实际问题。
0 1
题目：已知一 元二次方程 x^2 + 3x - 4 = 0 的两个根 为 a 和 b，求 a^3 + b^3 的 值。
0 2
题目：解方程 x^4 - 6x^2 + 1 = 0，并利用 根与系数的关 系证明该方程 有四个实根。
0 3
题目：已知一 元三次方程 x^3 + 2x^2 4x + 5 = 0 的 一个根为 a， 求 a^2 的值。
数学理论的发展：高次方 程根与系数关系的研究可 以推动数学理论的发展， 为数学研究提供新的思路
根与系数关系及根的判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则acx x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0一、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系（ ）A. M =B.M >C.M <D.大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） A.012=+xB.0122=++x xC.0322=++x xD.0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） A.57 B.57- C.75 D.75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13D 、17. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（ ）A.0232=--x xB.02322=--x xC.0232=-+x xD.02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) A.6 B.-6 C.4 D.-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0 ( )A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15.两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为( )A.6B.－6C.4D.－416.已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是( ) A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ） A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 。
高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)
高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根142b x a -+=，242b x a-=，则有12442222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【答案】6【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x ∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β(1)求m 的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．【答案】(1)m ≥﹣34；(2)m 的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．。
三次函数的根与系数的关系
三次函数的根与系数的关系三次函数的根与系数的关系可以总结为以下几点：
1.三个根的和等于系数a的相反数
如果一个三次函数可以分解为f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，那么它的三个根x1，x2，x3的和等于系数a的相反数。
具体来说，根据因式分解的性质，三次函数可以写为f(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)，将x=0代入方程可以得到-x1(-x2)(-x3) = -c，所以-c等于所有根的和。
而根据方程的对
称性，所有根的和等于-a。
因此，我们得到结论：三次函数的三个根的和等于系数a的相反数。
2.三个根的积等于常数项c
根据因式分解的性质，三次函数可以写为f(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)，当x=0时，可以得到-x1(-x2)(-x3) = c，所以c等于所有根的积。
因此，我们得到结论：三次函数的三个根的积等于常数项c。
3.任意一个根与常数项的和等于另外两个根的积
根据上述结论，我们可以得到任意一个根与常数项的和等于另外两个根的积。
具体来说，假设三次函数为f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，设其中
一个根为x1，则另外两个根的积为-c/x1。
因此，我们得到结论：任意一个根与常数项的和等于另外两个根的积。
综上所述，三次函数的根与系数的关系可以归纳为三个结论：三个根的和等于系数a的相反数、三个根的积等于常数项c、任意一个根与常数项的和等于另外两个根的积。
这些结论在解决有关三次函数的数学问题时非常有用。
初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)
专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。
根与系数的关系
一般 步骤
化为一般形式。 确定a，b，c的值。 判断b2-4ac的值。 代入求根公式求根。
用公式法解下列方程： x－2=－3x2
一元二次方程
提取公因式 3.分解因式法 公式法 平方差公式， 完全平方公式
a2-b2=（a+b）（a-b） a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2 用分解因式法解下列方程： x2－x=0
一元二次方程
x1，x2表示下列方程的两个根： 方程 x2=4x－3 x－2=－3x2 x2－x=0 一般形式 x2－4x+3=0 x1+x2 x 1· x2 3 －2 3 0
பைடு நூலகம்
4 3x2+x－2=0 － 1 3 x2－x=0 1
一元二次方程
根与系数的关系 x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 有： x1+x2= － b x 1· x2= c a a 作业 练习：已知一元二次方程5x2=6x-8的两个根 为x1，x2 ，则： 6 8 （1）x1+x2= ____; x2=____ 5 x 1· 5 。 （2）求x12+x22的值。
作业：78页9题，79 页第12题。
一元二次方程
回顾与思考
一元二次方程
解一元二次方程的方法： 1.配方法 二次项系数化为 1 。 一般 移项。 步骤 配方。 常数项是一次项系数一半的平方。 求根。 （X-2）2=1 方程x2=4x-3配方得
一元二次方程
- b ± b2 - 4ac 2 2.公式法 求根公式： x = .( b - 4ac 0) . 2a
三次方程根和系数的关系
三次方程根和系数的关系
三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d分别为三次项、二次项、一次项和常数项的系数。
三次方程
的根和系数之间存在一些重要的关系。
首先，我们知道三次方程的根可以是实数或复数。
根据代数基
本定理，一个三次方程在复数域内一定有三个根（可能重根），这
意味着方程的三个根可以用复数表示。
其次，三次方程的根和系数之间存在一个重要的关系，即
Vieta's formulas（维埃塔定理）。
根据维阿塔定理，三次方程的
根与系数之间有如下关系：
1. 三个根的和与系数b/a的符号是相反的，即x1 + x2 + x3
= -b/a。
2. 三个根两两乘积的和与系数c/a的符号是相反的，即x1x2
+ x1x3 + x2x3 = c/a。
3. 三个根的乘积与系数-d/a的符号相同，即x1x2x3 = -d/a。
这些关系表明了三次方程的根与系数之间的紧密联系。
通过这
些关系，我们可以利用方程的系数来推断方程的根，或者反过来，
已知方程的根来推断方程的系数。
另外，三次方程的系数也可以通过根和根与系数的关系来求解。
通过维阿塔定理，我们可以利用方程的根来求解系数，这在实际问
题中有着重要的应用，例如在工程、物理学和经济学等领域。
总之，三次方程的根和系数之间存在着重要的关系，这些关系
不仅帮助我们理解方程的性质，还可以应用于实际问题中的求解和
分析。
高次方程的根与系数的关系及相关问题的应用
用
总结因式分解中 根与系数关系的
重要性
举例说明如何利 用根与系数关系
进行因式分解
演示具体因式分 解过程
在求函数解析式中的应用
已知根的和与积，求函数解析式 已知根的和与积，求函数导数 利用根与系数关系求函数的极值点 利用根与系数关系判断函数的单调性
在求函数值域中的应用
差和截断误差
控制方法：选择 合适的数学模型 和算法，提高计
算精度
注意事项：避免 误差的传递和积 累，及时处理异
常数据
应用场景：适用 于各种需要高精 度计算的领域， 如科学计算、工 程技术和金融分
析等
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与其他方法的比较与结合
根与系数关系与因式分解法的比较 根与系数关系与二次函数图象法的结合 根与系数关系在解方程中的应用 根与系数关系在实际问题中的应用
06 根 与 系 数 关 系 的 注 意事项
Part One
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Part Two
高次方程的根与系 数的关系
根的和与积
根的和等于常数项除以首项系数所得的商的相反数。 根的积等于常数项除以首项系数所得的商。 根的和与积可以用于解决一些实际问题，如求和、求积等。 根的和与积在数学中有着广泛的应用，是解决高次方程问题的重要工具之一。
Part Four
根与系数关系的应 用实例解析
代数题解析
根与系数关系在代数题中的应用 举例说明如何利用根与系数关系解决代数问题 解析一元二次方程根与系数关系在代数题中的具体应用 解析根与系数关系在代数题中的解题思路和技巧
几何题解析
题目：已知抛物线 y=ax^2+bx+c 与 x 轴 交于 A(-1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于 C(0,3) 点，求抛物线的解析式。
次数与根的关系
次数与根的关系根的关系是数学中一个重要的概念，涉及到多种数学分支，如代数、几何、数论等。
根的概念可以追溯到古代数学，而如今它仍然被广泛应用于各种数学问题的解决中。
本文将介绍根的定义、性质和应用，并探讨根与其他数学概念的关系。
首先，我们来定义根。
在代数中，根是方程的解，即能使方程式成立的数值。
对于一元多项式方程，比如 ax^2 + bx + c = 0 ，其中 a、b和c是已知的实数系数，x是未知数，方程的根就是能满足方程式的实数值。
根通常用字母r表示，方程的根可以有一到两个不等的实数根，也可以是复数根。
根的性质是研究根的关键。
首先，根的个数与方程的次数有关。
一元多项式方程的次数决定了它的根的最大数量。
对于一次方程 ax + b = 0，它的根是一个实数。
对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的根可以是两个不等的实数或复数。
对于高次方程，如三次方程、四次方程等，其根的个数可能达到对应次数的最大值。
其次，根之间存在关系，称为根的代数关系。
这种关系包括根之和、根之积、根之差等。
通过研究这些关系，我们可以得到方程根的性质，进一步求解方程。
此外，根还具有多项式系数与根之间的关系，如韦达定理和牛顿恒等式等。
根在几何学中的应用非常广泛。
根被用来解决诸如直线与曲线的交点问题、图形的对称性问题等几何问题。
几何中的根常常与方程式的根相对应。
例如，对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的根可以表示为二次曲线与x轴的交点，通过研究这些根的性质，可以推断出二次曲线的特征，如顶点、对称轴等。
此外，根还可以用来解决直角三角形的边长与角度之间的关系问题，以及利用相似三角形和勾股定理求解几何距离等问题。
根还与数论中的素数和完全数等概念有关。
素数是只能被1和自身整除的正整数，而完全数是除它本身外所有因子之和等于它本身的正整数。
根被广泛用于研究素数和完全数，特别是与分解定理及不定方程等数论问题相关联。
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=ac（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为 ()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0)二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
根与系数的关系难题【九年级】
根与系数的关系难题一．知识点二．例题精讲例1：二次方程210x ax b +++=的根是正整数，证明：22a b +是合数。
例2：设关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的一根为另一根的(1)a a ≠-倍，试求系数m n 、间的关系。
例3：方程2410x x ++=的两根是.αβ、 （1）求βαβα+的值； （2） 求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于αβ、的倒数的立方。
例4：二次方程20x nx p ++=的两根为αβ、；20x nx q ++=的两根为r δ、，证明：2()()()()().r r p q ααδββδ----=-例5：a b c 、、均是实数，且0, 1.a b c abc ++==证明：a b c 、、中必有一个数大于3.2例6：p q 、为正质数，方程2230x p x q ++=有整数根吗？A 卷一、填空题1. 2321x x x -=-的两个根是12x x 、，则12x x += ，12x x = 。
2. 若方程20x bx c ++=有两个正的实数根，则其中系数b c 、应满足的条件是 。
3. 关于x 的一元二次方程230x ax a --=的一个根是6，另一根是 。
4. 已知方程240x ax +-=的两根的绝对值相等，则这个方程的根是 。
5.已知12x x 、是关于x 的方程2220x x m ++=的两个根，且212()2x x -=，则m 的值是 。
6. 关于x 的方程22(23)60x m x m +-++=的两实数根之积是两实数根之和的2倍，m = 。
7. 已知151522-+-、是关于x 的二次方程210ax bx ++=的两个根，则b 的值是 。
8. 设方程210120x x k -+-=的一个根的3倍少7为另一个根，则k = 。
9. 已知方程20x px q ++=的一个根是另一个根的4倍，则p q 、所满足的关系式是 。
10. 设方程22(1)30x a x a --++=的两根差为1，则a 的值为 。